Die Ausbreitung einer Welle kann durch Reflexion an Flächen, Brechung in Medien und Beugung an Hindernissen verändert werden. Diese Veränderungen lassen sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips verstehen.

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Phasenfläche ist Ausgangspunkt einer neuen Kugelwelle.

Phasenebene einer ebenen Welle in z-Richtung Elementarwellen von N Quellpunkten im Abstand δ

Beispiel:

€

z = z0

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

€

Q1, Q2, ... QN

In Richtung α gegen die Wellennormale k ist die Wegdifferenz benachbarter Elementarwellen:

€

Δs = δ sinα

⇒ 

€

Δϕ =2πλ

Δs = k δ sinα

Überlagerung aller Elementarwellen (Amplitude a) der N Quellen vom Punkt P im Abstand r >> d = N δ.

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Die Gesamtamplitude im Winkelbereich α ± Δα ist dann:

€

ξ α( ) = a ei ωt − krn( )

n=1

N

∑

€

rn = r +N2− n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ δ sinαmit

€

ξ α( ) = a e−i N

2Δϕ

a ei n Δϕn=1

N

∑ ei ωt − kr( )

€

= A ei kr − ωt( )

€

ei n Δϕn=1

N

∑ = ei Δϕ e−i N Δϕ −1e−i Δϕ −1

€

= ei N−1

2Δϕ e

i N2Δϕ− e

−i N2Δϕ

ei Δϕ2 − e

−i Δϕ2

€

= r +N2− n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ Δϕk

€

=> A(α) = aei Δϕsin(N

2Δϕ)

sin(12Δϕ)

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Intensität: ⇒ 

€

I α( ) ∝ A α( )2

€

I α( ) ∝ a2sin2 N

2Δϕ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin2 12Δϕ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

= a2sin2 N

2k δ sinα

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin2 12k δ sinα

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Falls λ < δ treten p Maxima für alle Winkel auf, für die gilt:

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

€

αn

€

sin αn( ) = n λδ

€

n = 0, 1, 2, ... p <δλ

Reflexion und Brechung von Wellen

Snelliussches Brechungsgesetz ⇒ 

€

sin α( )sin β( )

=v1v2

Brechung und Reflexion lassen sich auf ein Minimalprinzip zurückführen, das Fermatsche Prinzip: Eine Welle nimmt von einem Punkt zu einem anderen immer den Weg der kürzesten Laufzeit.

€

T =s1v1

+s2v2

€

=1v1

x − x1( )2 + y12 +

1v2

x2 − x( )2 + y22

€

0=! dTdx

€

=x − x1( )

v1 x − x1( )2 + y12−

x2 − x( )v2 x2 − x( )2 + y2

2

€

sin α( ) =x − x1( )s1

sin β( ) =x2 − x( )s2

€

sin α( )v1

=sin β( )v2

Nach Fourier lässt sich eine beliebige Störung ξ, die sich in z-Richtung ausbreitet, darstellen als Superposition unendlich vieler harmonischer Wellen:

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

€

A ω( ) =12π

ξ t,z( ) e− i ωt − kz( )dt−∞

∞

∫

Die Amplituden A(ω) ergeben sich durch inverse Fourier-Transformation: €

ξ t,z( ) = A ω( ) ei ωt − kz( )dω−∞

∞

∫

Variiert die Phasengeschwindigkeit einer Welle mit der Wellenlänge, kommt es zur Dispersion: das Wellenpaket zerfliesst.

€

vPh =ωk

=ω

k0n ω( )

Wasser-Oberflächenwellen

Bsp.: Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude

€

ξ1 = A cos ω1t − k1z( )ξ2 = A cos ω2t − k2z( )

€

ωm =ω1 +ω2

2

km =k1 + k22

ξ heißt Schwebungswelle, dargestellt durch eine Welle mit der Mittenfrequenz und der mittleren Wellenzahl, deren Einhüllende durch die Frequenz Δω und die Wellenzahl Δk beschrieben wird (zeitlich variable Amplitude).

⇒ 

€

ξ = ξ1 + ξ2 = 2A cos Δω2t − Δk

2z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ cos ωmt − kmz( )

€

Δω2

=ω1 −ω2

2Δk2

=k1 − k22

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

€

vPh =ωm

kmDie Einhüllende bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit

€

vG =ΔωΔk

≈dωdk

Dispersion,  Phasen-­‐  und  Gruppengeschwindigkeit  

Zusammenhang  zwischen  Phasen-­‐  und  Gruppengeschwindigkeit:  

€

k =2πλ

⇔ λ =2πk

€

vG =dωdk

€

=ddk

vPh k( )

€

= vPh + k dvPhdk

⇒      €

dλdk

= −2πk 2

€

vG = vPh + k dvPhdλ

dλdk

€

= vPh −dvPhdλ

2πk

€

= vPh − λdvPhdλ

Dispersion,  Phasen-­‐  und  Gruppengeschwindigkeit