BENEMRITA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS FSICO MATEMTICAS

LICENCIATURA EN MATEMTICAS APLICADAS

DINMICA POLINOMIAL ALTERNADA

TESIS PRESENTADA QUE PARA OBTENER EL TTULO DE:

LICENCIATURA EN MATEMTICAS APLICADAS

PRESENTA

EDUARDO MONTIEL ORTEGA

DIRECTOR DE TESIS:

M. C. JUAN FRANCISCO ESTRADA GARCA

PUEBLA, PUE. DICIEMBRE 2015

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DEDICATORIA

A mi esposa Lul, al Maestro Estrada, a mis padres... en general a todos y atodo aquello que me ha permitido conservar mi paz mental, asesinar al dragn yencontrar el corazn sagrado.

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AGRADECIMIENTOS

I accept chaos, im not sure whether it accepts me Bob Dylan.

Ser breve, para los que me conocen, no deber ser difcil imaginar la razn deotorgarle una inmensa gratitud a mi esposa, que tiene que lidiar conmigo durantemuchas horas cada da, aunque supongo que mi compaa, en ocasiones le causaalguna emocin o sentimiento al menos semejante a la felicidad.

El segundo personaje con el que estoy enteramente agradecido es el maestroEstrada que me ha enseado a dilucidar un panorama ms all de los lineamientosgenerales hablando no solamente de la cuestin matemtica.

Por ltimo al M.C. Julio Erasto Poissot Macias, al Dr. Francisco Javier Men-doza Torres y al Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna que me hicieron favor de revisarsta tesis y de ser mis sinodales, adems de ser profesores de algunos de mis cursosy brindarme su apoyo.

Introduccin

Esta tesis presenta un tema reciente, aunque no nuevo, que ha acaparado laatencin de propios y extraos, la dinmica holomorfa, es decir el tratado de laspropiedades cualitativas de los sistemas dinmicos generados por la iteracin defunciones holomorfas, en particular nos enfocaremos al caso polinomial cuadrticoy luego daremos un pequeo giro al asunto para intentar generar una novedad.

La historia de esta teora empieza con el trabajo en ecuaciones diferenciales deIsaac Newton que intentaba solucionar el problema del movimiento de n cuerpos,luego en 1890 Poincar en lugar de buscar las soluciones explicitas, se ocup del estu-dio cualitativo de los sistemas dinmicos. En la dcada de 1920 los franceses PierreFatou y Gaston Julia, separadamente, continuaron con el estudio de la dinmicade funciones analticas complejas, de hecho lograron describir globalmente el com-portamiento de su dinmica, produciendo una dicotoma, el conjunto de Fatou ysu complemento el conjunto de Julia; pero el trabajo se detuvo debido a la falta deimgenes de computadora. En los ltimos 35 aos se ha tenido un auge, motivadopor los resultados obtenidos mediante computadora en 1980 por Mandelbrot, enespecial el descubrimiento del conjunto que lleva su apellido, y por las poderosasherramientas del anlisis complejo, desarrolladas principalmente en los trabajos deA. Douady, J. Hubbard y D. Sullivan. El estudio de esta teora es muy bello yenriquecedor; Uno es premiado con imgenes estupendas, obras de arte, surgidasde la naturaleza matemtica, ya uno sumergido en el trance onrico originado porstas, es atrado sin remedio (como insecto a la orqudea) a entender su origen, suscaractersticas, su esencia, y nalmente uno acaba con las patas llenas de polen(para continuar con la analoga del bicho) fecundando la misma or o incluso otras,tales como ecuaciones diferenciales, teora de nmeros, grupos, anlisis, topologa,etctera; En la aqu presentada, despus de la confusin de no poder escapar tanfcil de la orqudea se intentara fecundar una de la misma especie o ser inclusola misma or?.

En el captulo 1, se presenta un poco del material necesario para la compren-sin de esta teora, el lector debe observar desde un principio la versatilidad deltema, y ms tarde quedara claro el rol que juegan, por ejemplo el teorema sobrefamilias normales de Montel o el por dems utilizado teorema de la transformacinde Riemann. Adems en este captulo se dan las deniciones bsicas de la teora deiteracin y una herramienta que ser utilizada con frecuencia, la conjugacin. Porltimo se dan a conocer las funciones racionales, este tipo de funciones es dondemuchos de los teoremas sobre iteracin son validos, y por consecuencia son tilesen nuestro caso donde solo nos jamos en polinomios.

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INTRODUCCIN 5

En el captulo 2, se exponen las deniciones del conjunto de Fatou y del conjuntode Julia, desde el punto de vista de las familias normales, y se maniestan losresultados clsicos obtenidos por Fatou y Julia. Luego se revela la importancia delteorema de Montel, siendo parte esencial en las demostraciones de resultados queconciernen al conjunto de Julia. Despus usando hechos topolgicos se muestra laestructura de ambos conjuntos. Posteriormente se esclarece la importancia de lospuntos jos y la conjugacin, analizando el fenmeno localmente, como se hicieraal inicio del desarrollo de esta teora con los teoremas de Koenigs y Btcher. Sesigue con ms propiedades de nuestros conjuntos de estudio, obtenidos en granmedida al restringir nuestro campo de trabajo a funciones racionales y en ocasionesa polinomios. Finalmente hace su aparicin (al menos de cierto modo) el caso deun polinomio cuadrtico.

En el ltimo captulo, se intenta analizar un caso bastante peculiar, la dinmicapolinomial alternada, la cual depender de dos parmetros. Por tanto dividiremosel estudio en tres partes, la primera cunado ambos parmetros son cero, dondese usara la conjugacin para reducir nuestro problema al caso cuadrtico. Luegose tratara el caso cuando solo uno de los dos sea cero, otra vez se mostrar queuna conjugacin aligera el problema. Por ltimo se dan algunos resultados cuandoambos parmetros no son cero, y su relacin con el caso cuadrtico.

Fecha: Diciembre, 2015.

Eduardo Montiel Ortega

re

DINMICA POLINOMIAL ALTERNADA

EDUARDO MONTIEL ORTEGA

DICIEMBRE 2015

ndice

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Introduccin

ndice de smbolos

Captulo 1. Preliminares 91.1. Anlisis Complejo 91.2. Sistemas dinmicos discretos 211.3. Funciones racionales 26

Captulo 2. Conjuntos de Julia y Fatou 302.1. Denicin y primeros resultados 302.2. Propiedades del conjunto de Julia 332.3. Estructura topolgica de los conjuntos de Fatou y de Julia 372.4. Teora local de los puntos jos 392.5. Ms propiedades de los Conjuntos de Julia y de Fatou 482.6. El espacio de parmetros 53

Captulo 3. Dinmica polinomial alternada 59Introduccin mnima y observaciones 593.1. Dinmica del polinomio P (z) = z4 613.2. Dinmica de la familia de funciones z4 + c 653.3. Dinmica de la familia de funciones (z2 + c1)2 + c2 79

Conclusin 94

Apndice 95Programa A 95Programa B 97Programa C 98Programa D 100Programa E 102Programa F 103

Bibliografa106

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ndice de smbolos

R Nmeros realesZ Nmeros enterosN Nmeros naturalesC Plano complejoC Esfera de RiemannC Plano perforadoD Disco abierto unitarioD Disco cerrado unitarioD Disco PerforadoS1 Circunferencia unitariaS2 Esfera unitariaO+(z) rbita hacia adelante de z0O(z) rbita hacia adelante de z0GO(z) rbita grande de z0F o F (R) Conjunto de Fatou (de R)J o J(R) Conjunto de Julia (de R)K(P ) Conjunto de Julia lleno de Po |Zn| Termino residual cuyo radio a |zn|tiende a cero

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CHAPTER 1

Preliminares

En este capitulo introduciremos los conceptos bsicos utilizados en la teora deiteracin de las transformaciones holomorfas conocida como dinmica holomorfa,se introducen tambin algunas ideas y resultados que se usarn en los captulosposteriores.

Desde muchos puntos de vista esta teora es muy bella y ofrece grandes rec-ompensas, tal vez la primera de ellas es descubrir toda la matemtica inmersa enella, la segunda recompensa sera por consecuencia comprender sta matemtica;Y bueno uno de los objetivos de estos preliminares es exactamente exhibir esasprimeras recompensas.

1.1. Anlisis Complejo

En esta primera seccin puesto que hemos mencionado que nos enfocaremosen las transformaciones holomorfas parece bastante natural hablar de anlisis com-plejo y la relacin existente con nuestro estudio. Algunos teoremas aparecern sindemostracin, en ocasiones por no ser largos y en otras por la complejidad del teo-rema lo que nos llevara a caer en la primera situacin. Empecemos con algunasdeniciones.

Definicin. Una transformacin f uno a uno y sobreyectiva de A en B es unhomeomorsmo si ambas f y f1son continuas.

Por ejemplo f(x) = 11x 1x es un homeomorsmo entre el intervalo (0, 1) y R.

Dado la naturaleza de las transformaciones complejas como veremos ms adelantecuando denamos por ejemplo las transformaciones racionales, nos es convenienteintroducir el smbolo para representar al innito con las convenciones usuales,pero como sabemos no hay donde acomodar un nuevo punto en el plano, excep-tuando sto por el momento, presentemos a como una idealizacin de un punto,el cual llamaremos el punto en el innito, de ste modo podemos dar la siguientedenicin:

Definicin. Los puntos del plano complejo junto con el punto en el innito constituyen al plano complejo extendido, denotado por C.

Es inmediata la necesidad de una representacin geomtrica en la cual todos nue-stros puntos tengan cabida, para solventar sta utilicemos el concepto de la esferaunitaria, es decir de

S2 = {(x1,x2, x3) = x R3| |x| =x21 + x

22 + x

23 = 1}

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1.1. ANLISIS COMPLEJO 10

tambin llamada la esfera de Riemann. Para asociar cada punto en el plano conuno en S2, usamos la siguiente idea geomtrica: tomamos al plano x3 = 0 como elplano complejo y la recta que proyecta el polo norte e3 = (0, 0, 1) de la esfera deRiemann a cualquier otro punto x = (x1, x2, x3) en la misma esfera, sta lnea cruzaal plano complejo el un nico punto ( x11x3 ,

x21x3 , 0), con esto en mente se dene la

transformacin : S2 {e3} C dada por

x = (x1, x2, x3)