B_CINEMATICA DE LA PARTICULA.pdf

U.M.S.S. – F.C. y T. – Curso Prefacultativo Cinemática de la Partícula

1 Física

UNIDAD 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

1. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

INTRODUCCIÓN La Mecánica Clásica, la más antigua de las ciencias físicas, trata del estado de reposo o movimiento (efecto) de un cuerpo bajo la acción de fuerzas (causa). Cinemática es la parte de la Mecánica Clásica que se dedica al estudio del movimiento (efecto) de las partículas sin importar la causa de dicho movimiento. Partícula es todo objeto de dimensiones reducidas (despreciables) frente a las dimensiones de su movimiento (salvo aclaración del problema). 1.1. POSICIÓN La Posición es la ubicación de una partícula respecto de un Sistema de Referencia. La posición es una Magnitud Vectorial. Las unidades de medida de la posición corresponden a la Magnitud Fundamental Longitud (L): metro [m] en el Sistema Internacional (SI), pie [ft] en el Sistema Inglés (fps) y centímetro [cm] en el Sistema Cegesimal (cgs). 1.2. VECTOR POSICIÓN ( r ) Es un vector que va desde el origen de coordenadas hasta la posición de la partícula, por lo tanto para toda Posición de una Partícula existe un Vector Posición y viceversa. El vector posición es una Magnitud Vectorial y se lo representa por el vector: r . Al ser una Magnitud Vectorial, posee un Módulo, una Dirección y un Sentido. De acuerdo al Sistema de Referencia Cartesiano se tiene:

Lzyx kjir Lzyxr Si una de las componentes del vector posición es cero se tiene un vector posición en el plano (xy, xz o yz). Si son dos las componentes iguales a cero se tendrá un vector posición en una dimensión y en cuyo caso se puede escribir, por ejemplo en la dirección del eje “x”: r = x Las unidades de medida del vector posición son las correspondientes a la Magnitud Fundamental Longitud (L): metro [m] en el Sistema Internacional (SI), pie [ft] en el Sistema Inglés (fps) y centímetro [cm] en el Sistema Cegesimal (cgs). 1.3. CONCEPTO DE MOVIMIENTO Tomando en cuenta la definición de posición podemos decir que: “El movimiento de una partícula es el cambio continuo de posición”, y a partir de que para cada posición existe un vector posición, el vector posición va cambiando también de manera continua, este hecho nos lleva a definir al movimiento de la siguiente manera: “El movimiento es el cambio continuo del vector posición al transcurrir el tiempo”. 1.4. VECTOR DESPLAZAMIENTO ( rΔ )

El vector desplazamiento rΔ es la primera magnitud cinemática y se la define como: “El cambio del vector posición, donde al vector posición final se le quita el vector posición inicial”. Usaremos la letra griega delta “” para denotar un cambio o variación en cualquier magnitud física.

rΔ = f

r - 0

r [ L ]

Donde: rΔ = Vector Desplazamiento o Cambio (Variación) del Vector Posición.

fr = Vector Posición Final.

0r = Vector Posición inicial.


2 Física

De acuerdo al Sistema de Referencia Cartesiano se tiene:

rΔ = kzjyix fff - kzjyix ooo

Es decir: kjir zyx zyxr

Si una de las componentes del vector desplazamiento es cero se tiene un vector en el plano (xy, xz o yz). Si son dos las componentes iguales a cero se tendrá un vector desplazamiento en una dimensión en cuyo caso se puede escribir, por ejemplo en la dirección del eje “x”:

rΔ = xΔ = fx - ox

El vector desplazamiento rΔ es un vector que va desde donde parte la partícula hasta donde llega finalmente la partícula, es decir es el vector que une las posiciones inicial y final de la partícula, y sus unidades de medida son las correspondientes a la Magnitud Fundamental Longitud (L), es decir iguales a las de posición: metro [m] en el Sistema Internacional (SI), pie [ft] en el Sistema Inglés (fps) y centímetro [cm] en el Sistema Cegesimal (cgs). El desplazamiento total de una partícula en una dimensión y en presencia de dos o más desplazamientos parciales no solo se puede determinar a partir de su definición sino también como la suma de los desplazamientos parciales.

xΔ = 1xΔ + 2xΔ + 3xΔ + ....

1.5. TRAYECTORIA “La trayectoria es la línea determinada por las sucesivas posiciones de un punto o partícula durante su movimiento” Si tomamos un punto “0” de la trayectoria a partir del cual vamos a medir el camino recorrido sobre la misma, la posición de un punto tal como el A1 queda definida por el valor absoluto del “arco” 0A1 = d. La trayectoria puede ser: rectilíneo o curvilínea como se puede observar en la siguiente figura, en la misma se puede ver también el vector desplazamiento.

A1

0 origen

d Trayectoria Rectilínea

rΔ

Vector Desplazamiento

origen

0

A1 d Trayectoria

Curvilínea

rΔ Vector Desplazamiento

1.6. DISTANCIA ( d ) La línea que une las sucesivas posiciones de la partícula es su trayectoria y muestra todas las posiciones de la misma. Su longitud “d” que es una Magnitud Escalar representa la distancia entre dos puntos, tal como se muestra en la figura precedente. Es decir que: “La distancia es la longitud de la trayectoria recorrida por una partícula durante su movimiento”

1.7. VELOCIDAD MEDIA ( mv )

La velocidad media mv es la segunda magnitud cinemática y es una magnitud vectorial, esto implica

que tiene módulo, dirección y sentido y se define como “El cambio del vector posición (desplazamiento

rΔ ) en un determinado tiempo ( t )”.

tΔ

rΔv m

T

L

Donde:

mv = Vector velocidad media.


3 Física

rΔ = Vector Desplazamiento o Cambio (Variación) del Vector Posición.

t = Variación de tiempo. De acuerdo al Sistema de Referencia Cartesiano se tiene:

k

tΔ

zΔ j

tΔ

yΔ i

tΔ

xΔ v m

tΔ

zΔ

tΔ

yΔ

Δt

xΔ v m

Si una de las componentes de la velocidad es cero se tiene la velocidad en el plano (xy, xz o yz). Si son dos las componentes iguales a cero se tendrá una velocidad en una dimensión en cuyo caso se puede escribir, por ejemplo en la dirección del eje “x”:

tΔ

xΔv m

of

ofm tt

xxv

La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento rΔ y sus unidades son las correspondientes a la razón entre la Magnitud Fundamental Longitud (L) y

la Magnitud Fundamental Tiempo (T), es decir que la velocidad media es una Magnitud Derivada: [m/s] en el Sistema Internacional (SI), [ft/s] en el Sistema Inglés (fps) y [cm/s] en el Sistema Cegesimal (cgs). Para una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea se puede representar su movimiento en una gráfica de posición en función del tiempo y cualquiera que sea el tipo de movimiento, la pendiente de la recta que une dos puntos cualesquiera de dicha gráfica representa la velocidad media; para la misma partícula si representamos su velocidad en función del tiempo, el área comprendida entre la curva velocidad en función del tiempo y el eje del tiempo representa su desplazamiento. 1.8. RAPIDEZ MEDIA ( mv )

Definiremos la rapidez media . mvLa rapidez media es una magnitud escalar, esto implica que solo tiene módulo. mvLa rapidez media se define como la longitud de trayectoria recorrida por una partícula (distancia

“d”) en un determinado tiempo ( t ). mv

T

L

tΔ

dmv

Donde: vm = Rapidez media. d = distancia o longitud de trayectoria recorrida por una partícula. t = Variación de tiempo. Las unidades de medida de la rapidez media son las mismas que corresponden a la velocidad es decir la razón entre la longitud y el tiempo. 1.9. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN CON VELOCIDAD CONSTANTE Se dice que un movimiento es rectilíneo uniforme cuando su velocidad es constante ( v = cte). Debemos recordar que la velocidad es una magnitud vectorial, por lo tanto, tiene un módulo, una dirección y un sentido y al afirmar que es constante queremos decir que ninguna de esas características cambiará. Como consecuencia de ello se tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales. Esto equivale a decir, también, que recorrerá espacios (distancias) iguales en tiempos iguales, puesto que al ser el módulo de la velocidad constante su rapidez (v = cte) también lo será, además el movimiento mantendrá su dirección y sentido, lo cual lo convierte en un movimiento unidimensional, es decir en un solo eje (por eso se dice rectilíneo).


4 Física

1.10. VELOCIDAD ( v ) Y RAPIDEZ (v) INSTANTÁNEA

Definiremos a la velocidad instantánea v como el límite de la velocidad media ( mv ) a medida que el

intervalo de tiempo (t) tiende a cero.

tΔ

rΔlímv

0tΔ

Es decir la velocidad instantánea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

td

rdv

T

L

Cuando la velocidad es constante la velocidad media y la velocidad instantánea son coincidentes. Para determinar la velocidad instantánea de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea representada en una gráfica de posición en función del tiempo y cualquiera que sea el tipo de movimiento, calculamos la velocidad media trazando una recta entre dos puntos de la curva en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, lo cual hace instantánea a la velocidad y a la recta la convierte en una recta tangente a la curva y por lo tanto la velocidad instantánea gráficamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva de posición en función del tiempo. La rapidez instantánea de una partícula es una magnitud escalar y se define como la magnitud de la velocidad instantánea.

1.11. ACELERACIÓN MEDIA (m

a )

La aceleración media m

a es la tercera magnitud cinemática. La primera magnitud cinemática es el

desplazamiento rΔ y la segunda magnitud cinemática es la velocidad media m

v .


a se define como: el cambio de velocidad vΔ al transcurrir un determinado

tiempo . tΔ

of

ofm2m

t - ta

T

L

ta

vvv

Δ

Δ


a es una magnitud vectorial, por lo tanto y de acuerdo al Sistema de Referencia

Cartesiano se tiene que:

2zyxm

T

Lkajaiaa

2zyxm

T

Laaaa

Si una de las componentes de la aceleración es cero se tiene la aceleración en el plano (xy, xz o yz). Si son dos las componentes iguales a cero se tendrá una aceleración en una dimensión en cuyo caso se puede escribir, por ejemplo en la dirección del eje “x”:

k0j0iaa xm xm aa

of

xofx

2x t - t

vvxa

T

LtΔ

x)vΔ(a

Las unidades de la aceleración (media e instantánea) son: [m/s2] en el Sistema Internacional, [ft/s2] en el Sistema Ingles y [cm/s2]en el Sistema Cegesimal.


5 Física


a tiene la misma dirección y sentido que el cambio de velocidad v (o

viceversa). Esto quiere decir, por ejemplo en una dimensión y de acuerdo al Sistema de Referencia Cartesiano, que si el v está en la dirección del eje “x” (u otra de las dos direcciones) la aceleración también se encontrará en la misma dirección; si tiene sentido positivo la aceleración también tendrá sentido positivo; de igual manera si el sentido es negativo. 1.12. ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( a )

Se define a la aceleración instantánea a de una partícula, esto es, su aceleración en cierto instante

(t0) o en un determinado punto de su trayectoria como el valor límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a ser cero.

m0tΔ

alíma

tΔ

vΔlíma

0tΔ

Es decir que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

a =

2T

L

td

vd

Es importante destacar que si la aceleración instantánea a es constante, entonces coincide con la

aceleración media m

a , porque una aceleración media, y en general cualquier magnitud física media, es

esencialmente constante. 1.13. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON ACELERACIÓN CONSTANTE (MRUV)

Se define al movimiento unidimensional de una partícula con aceleración constante ( cteaa m )

cuando la velocidad aumenta o disminuye en la misma proporción durante todo el movimiento, es decir que varía uniformemente para un mismo tiempo. Es importante aclarar que la velocidad presenta variaciones únicamente en cuanto al módulo, permaneciendo constante la dirección y sentido, a partir de estas consideraciones podemos afirmar que un movimiento con estas características constituye un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Aunque de manera general podemos destacar que cualquier cambio en las características vectoriales de la velocidad implican una aceleración tal cual se describen a continuación: Variación del módulo (rapidez) aceleración lineal o tangencial. Variación de la dirección aceleración centrípeta. Variación del módulo y dirección aceleración centrípeta y tangencial a la vez. En un MRUV la gráfica de velocidad en función del tiempo constituye una recta cuya pendiente positiva o negativa representa la aceleración y el área comprendida entre la recta velocidad en función del tiempo y el eje del tiempo representa el desplazamiento. Si la pendiente es cero ( a = 0) implica que la velocidad no cambia y el tipo de movimiento resultante constituye un caso particular denominado Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). 1.14. GRÁFICA DE ACELERACIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO ( a = f (t)) La gráfica de aceleración en función del tiempo es una recta paralela al eje del tiempo, debido fundamentalmente a que la aceleración es una magnitud que permanece constante en el tiempo. Para efectuar la gráfica de a = f (t) se trazan un par de rectas perpendiculares entre sí donde la

ordenada corresponde a la aceleración “ a ” y la abscisa corresponde al tiempo “t”. Dado que el tiempo negativo no tiene significado en nuestro estudio, la recta a trazarse puede ubicarse en el primer cuadrante, sobre el eje del tiempo o en el cuarto cuadrante dependiendo de la aceleración tal como se muestra en la siguiente figura, de tal manera que las gráficas posibles son:


6 Física

2

xT

La

0 Tt

0a x

Gráfica de aceleración en función del tiempo para una aceleración positiva. La recta se encuentra por encima del eje del tiempo.

2

xT

La

0 Tt

0a x

Gráfica de aceleración en función del tiempo para una aceleración cero. La recta se encuentra sobre el eje del tiempo. Corresponde a un MRU

2

xT

La

0

Tt

0a x

Gráfica de aceleración en función del tiempo para una aceleración negativa. La recta se encuentra por debajo del eje del tiempo.

1.15. VELOCIDAD MEDIA CON ACELERACIÓN CONSTANTE ( mv ; a = cte)

La velocidad media mv ha sido definida como el cambio del vector posición “ rΔ ” al transcurrir el

tiempo “t” durante el movimiento de la partícula:

T

L

tΔ

rΔv m

En una dimensión, por ejemplo “x”:

k0j0i

dt

xΔ v m

tΔ

xΔ v m

pero cuando la aceleración es constante (y solo si la a = cte), se define también a la velocidad media como la semisuma de las velocidades final e inicial de la partícula durante su movimiento, es decir:

2

vv v oxfx

m

Por lo que la velocidad media en una dimensión con aceleración constante será:

2

vv

tΔ

xΔv oxfx

m

1.16. ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL MRUV En el estudio del MRUV se puede describir el movimiento de una partícula en términos de: tiempo (t y t), posición, velocidad y aceleración, que nos permitirán determinar fundamentalmente la velocidad, la posición de la partícula durante su movimiento en cualquier instante de tiempo, por lo tanto a partir de las definiciones de aceleración y velocidad media con aceleración constante y operando adecuadamente se tienen las Ecuaciones Fundamentales del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado que se muestran a continuación:

2xxoof

xxofx

tΔ2

atΔvxx

tΔavv

Estas ecuaciones son válidas para cualquier instante “t” donde la aceleración es constante y dentro del intervalo ( to ; tf ). Si llevamos la posición inicial al primer miembro:


7 Física

2xxoof

tΔ2

atΔvxx

y recordando que: of

xxxΔ , se tiene:

2x

xotΔ

2a

tΔvxΔ

Una ecuación sumamente útil lo constituye la ecuación “cuadrática”, ecuación independiente del tiempo. Esta ecuación se obtiene a partir de las ecuaciones fundamentales, al despejar el tiempo de la ecuación de velocidad y reemplazar en la ecuación de posición en función del tiempo dando como resultado la siguiente ecuación:

xa2vv x2

ox2

fx

Cuando la aceleración es cero el movimiento es rectilíneo uniforme (velocidad constante) y las ecuaciones correspondientes se reducirán únicamente a la ecuación de posición en función del tiempo

tΔvxx

vvv

mof

xofx tetanconsm

A continuación analizaremos cuando un Movimiento es Acelerado (MRUA), desacelerado (MRUD) o Variado (MRUV), para ello efectuaremos unos diagramas ilustrativos y lo analizaremos en la gráfica de velocidad en función del tiempo. Se dice que una partícula posee un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

cuando la velocidad inicial “extrema” es cero o al ser diferente de cero tiene el mismo sentido que la aceleración y como consecuencia de ello la rapidez crece.

Se dice que una partícula posee un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Desacelerado (MRUD) cuando el módulo de la velocidad inicial “extrema” es mayor que cero y dicha velocidad tiene sentido contrario al de la aceleración y como consecuencia de ello la rapidez decrece hasta alcanzar el reposo si el intervalo de tiempo donde la aceleración es constante así lo permite.

Se dice que una partícula posee un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) cuando primero siempre es un MRUD y luego un MRUA, es decir cuando el módulo de la velocidad inicial “extrema” es mayor que cero y dicha velocidad tiene sentido contrario al de la aceleración y como consecuencia de ello la rapidez decrece hasta alcanzar el reposo correspondiendo a un MRUD y cuando el intervalo de tiempo donde la aceleración es constante permite que el movimiento continúe hasta alcanzar velocidades que tienen el mismo sentido que la aceleración correspondiendo a un MRUA, tal como se puede ver a continuación.

Crece

MRUA

v

0v

0a x

i[L/T]v

fv

oxv

t [T] tf 0

tx

Decrece

MRUD

v

0v

0a x

Decrece

MRUD

v

0v

0a x

i[L/T]v

fv

oxv

t [T]

tx

0 tf

Crece

MRUA

v

0v

0a x

0a

MRU

x

0v

0v

0v

i[L/T]v

0 tf t [T]


8 Física

1.17. GRÁFICA DE POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Dado que la ecuación de posición en función del tiempo x = f(t) es una ecuación de 2° grado, debemos establecer que la gráfica de x = f(t) es una parábola.

x [L]

t [T]

MRUV: Parábola con ramas hacia abajo (los brazos abiertos hacia abajo), sí y solo sí la aceleración es negativa.

0a x

0v ox

x [L]

t [T]

MRUV: Parábola con ramas hacia arriba (los brazos abiertos hacia arriba), sí y solosí la aceleración es positiva.

0a x

0v ox

0 0

Punto de inversión del movimiento:

0v

Punto de inversión del movimiento y

Recta Tangente de Pendiente Cero:

0v

x [L]

t [T] 0

MRU: Recta con pendiente “+” si la velocidad es positiva, recta con pendiente cero si la velocidad es cero y recta con pendiente “-“ si la velocidad es negativa

0a x

tetanconsv

0v

0v

0v

En la gráfica de la figura precedente se observa un punto denominado como “punto de inversión del movimiento” donde la partícula cambia el sentido de su movimiento; este punto es el único con velocidad cero 0v y donde si se traza una recta tangente ésta tiene una pendiente cero, indicador exacto de velocidad cero en una gráfica x = f(t). Si la aceleración es cero, las gráficas de posición son rectas, tal como se observa en la figura, tomando en cuenta que las pendientes (positiva, cero o negativa) dependerán exclusivamente de la velocidad. 1.18. CAÍDA LIBRE El movimiento de Caída Libre es un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, pero en la dirección del eje “y ”. Se establece que un cuerpo cambia de velocidad por la acción de una fuerza resultante diferente de cero y que en un determinado intervalo de tiempo se traduce en una aceleración. En el estudio de Caída Libre dicha fuerza es la fuerza gravitacional o gravitatoria, más conocido como peso, de tal manera que: “Un cuerpo está en Caída libre, en ausencia de la fuerza resistiva del aire, si la única fuerza que provoca el cambio de velocidad es el peso y si su velocidad inicial es vertical o cero” Es bueno aclarar que el peso, es una magnitud vectorial, por lo tanto tiene un módulo (mg), dirección (eje “y”) y sentido (negativo). Recordemos que ésta fuerza es vertical, por tal razón y de acuerdo al Sistema de Referencia Cartesiano le asignamos la dirección del eje “y”, además está dirigida hacia el centro de la tierra por lo tanto le asignamos el sentido negativo “-“. Es bueno también, recordar que la aceleración tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante aplicada (el peso), por lo tanto la aceleración resultante denominada aceleración gravitatoria o gravitacional tendrá la dirección del eje “y” y tendrá sentido negativo “-”. Para fines de nuestro estudio consideraremos el movimiento de los cuerpos cercanos a la superficie de la tierra donde el peso puede considerarse constante y por lo tanto la aceleración gravitatoria o gravitacional también lo será.


9 Física

Al ser constante la aceleración gravitatoria, el tema Caída Libre de Cuerpos, es un tema particular del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). En los cuerpos en Caída Libre consideraremos a la aceleración gravitatoria o gravitacional como un vector definido y constante:

jaagy

g , donde “g” es la magnitud de la aceleración gravitacional o gravitatoria gga

y cuyo valor es g = 9.8[m/s²] en el Sistema Internacional (SI), g = 32[ft/s²] en el Sistema Inglés y g = 980[cm/s²] en el Sistema Centesimal. En consecuencia reemplazando la aceleración

gyaa en las Ecuaciones Fundamentales del MRUV

en la dirección del eje “y” se obtienen las Ecuaciones Fundamentales para Caída Libre tal como se detalla a continuación:

yΔg2vv

tΔ2

gtΔvyy

tΔgvv

2

oy

2

fy

2oyo

oyfy

Para la resolución de problemas, es necesario tener en claro ciertos conceptos, y para ello vamos a suponer el movimiento de una partícula que sale, en el instante to = 0[s], con un a velocidad inicial oyv a

nivel del suelo y hacia arriba. Colocamos el sistema de referencia como se muestra en la figura donde:

0

“ymáx”

y m

x m

oyv

yv = 0

hmáx

fv

oyv Velocidad inicial (siempre

vertical). “ymáx” Posición más elevada

(máxima) donde la velocidad es cero.

fv Velocidad final con la que

llega al final de su recorrido vertical.

h máx altura máxima (t = ( ts), es la longitud vertical de recorrido de la partícula, medida normalmente desde el punto de lanzamiento hasta el lugar donde la velocidad es cero: yv = 0m/s.

ts tiempo de subida y corresponde al tiempo que demora en llegar la partícula desde el inicio de su movimiento vertical hasta el punto más alto donde la velocidad es cero.

tb tiempo de bajada, es el tiempo que demora la partícula en bajar desde el punto más elevado hasta el final de su recorrido vertical.

tv tiempo de vuelo, es el tiempo que dura todo el movimiento. tv = t s + t b


10 Física

En muchos casos el tiempo de subida y el tiempo de bajada son iguales, y esto solamente se da cuando el movimiento de la partícula es simétrico. En éste caso, ya que es simétrico, se cumple que:

t v = 2 t s = 2 t b Para el cálculo del tiempo de subida y la altura máxima alcanzada por la partícula, se debe tomar en

cuenta que la velocidad en el punto más alto es cero y proceder a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

“y máx” = f ( t s)

fyv = f (t s) = 0 h máx

El resto de los cálculos y gráficas corresponden a los del movimiento rectilíneo uniformemente

variado.

2. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

INTRODUCCIÓN La descripción del movimiento bi-dimensional (plano) se realizará en términos de los vectores: Posición: r

Velocidad: v

Aceleración: a 2.1. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN El Movimiento en el Plano a considerar está caracterizado por ser un movimiento que tiene aceleración constante, tanto en la dirección del eje “x ” como en la dirección del eje “y ”. Las ecuaciones cinemáticas para el caso bidimensional se deducen a partir de las definiciones fundamentales de desplazamiento, velocidad media y aceleración media. En la figura se muestra una partícula que se mueve en una trayectoria curvilínea en dos dimensiones. Su posición desde el origen de coordenadas queda determinada por el vector posición r , su velocidad por el vector v (tangente a la trayectoria de la partícula) y su aceleración indicado por el vector a , cuyo módulo y dirección son constantes. 0

Trayectoria

x

y

r

av

La posición de una partícula, de acuerdo al Sistema de Referencia Cartesiano, está determinada por el par ordenado (x ; y) las cuales se constituyen en las componentes del vector posición r como x e y , por lo tanto el vector posición queda definido como:

L)yx(r L)jyix(r Donde las componentes “x” e “y” del vector posición cambian continuamente con el tiempo para una partícula en movimiento. Considerando las ecuaciones de posición en función del tiempo en las direcciones de los eje ”x” e “y” con aceleración constante definidas durante el estudio del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) y operando adecuadamente se tiene:

2yx

yoxooo t2

jaiatjvivjyixr L2

oo t2

atvrr

Constituyéndose en la primera ecuación fundamental del movimiento en el plano con aceleración constante, donde cada término representa un vector que posee componentes en las direcciones de los ejes “x” e “y”. Obsérvese que estructuralmente esta ecuación es similar a la estudiada en el MRUV. La velocidad en términos de sus componentes se describe de la siguiente forma:


11 Física

yx vvv jvivv yx

Para una partícula en movimiento los respectivos valores de la velocidad en las direcciones del eje “x” y del eje “y” varían uniformemente al transcurrir el tiempo de acuerdo a las ecuaciones correspondientes a las ecuaciones de velocidad en función del tiempo del MRUV y operando adecuadamente se tiene:

T

Ltjaiajvivv yxyoxo

T

Ltavv o

Por lo tanto se tiene que el vector velocidad de la partícula en función el tiempo será:

T

Ltavv o

Constituyéndose en la segunda ecuación fundamental del movimiento en el plano con aceleración constante, donde cada término representa un vector que posee componentes en las direcciones de los ejes “x” e “y”. Obsérvese que estructuralmente esta ecuación es similar a la estudiada en el MRUV.

De igual manera la aceleración considerando sus componentes “x y” como xa y ya , se puede expresar

como:

yx aaa jaiaa yx

Tomando en cuenta que las componentes de la aceleración en las direcciones de los ejes “x” e “y” permanecen constantes al transcurrir el tiempo, para una partícula en movimiento, por lo tanto la aceleración es constante. 2.2. ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL MOVIMIENTO EN EL PLANO El Movimiento en el Plano está caracterizado, como lo mencionáramos antes, por ser un movimiento que tiene aceleración constante, tanto en la dirección del eje “x ” como en la dirección del eje “y ”. Las ecuaciones fundamentales que manejan este movimiento son:

L2oo

o

tΔ2

atΔvrr

tΔavvT

L

Para facilitar la resolución de los problemas es conveniente que las Ecuaciones Fundamentales del Movimiento en el Plano se separen en sus respectivas componentes tal como se muestra a continuación.

xΔa2vv

tΔ2

atΔvxx

tΔavv

"x"

x2

ox

2

fx

2xoxof

xoxfx

yΔa2vv

tΔ2

atΔvyy

tΔavv

"y"

y2

oy

2

fy

2yoyof

yoyfy

r = ( x i + y j )[L v = ( vx i + vy j )[L/T v = v [L/T ;

a = ( ax i + ay j )[ L/T 2


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2.3. MOVIMIENTO DE PROYECTILES A continuación pasaremos a describir un caso particular del Movimiento en el Plano Traslacional, este es el caso del Movimiento Parabólico. Cuando en un Movimiento en el Plano la fuerza resultante que provoca el cambio de velocidad en la dirección del eje “x ” es cero ( F x = 0 ), tiene como consecuencia un movimiento con velocidad

constante en esa dirección (MRU), es decir que su aceleración es a x = 0[m/s2; y cuando la fuerza que provoca el cambio de velocidad en la dirección del eje “y” corresponde únicamente a la fuerza

gravitatoria o gravitacional (peso de un cuerpo: yF = gf = – mg j ), tiene como consecuencia un

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) – Caída Libre, vale decir con una

aceleración en la dirección del eje “y ”, ya = ga = g j , donde “g” es el módulo de la aceleración

gravitatoria o gravitacional, que consideraremos constante en todo el recorrido del movimiento, y cuyo valor en el Sistema Internacional (SI) es de 9.8[m/s2 o 32[ft/s2 en el Sistema Ingles y si en este movimiento se cumple además que la velocidad inicial v o ( 0) tiene una dirección diferente a 90°, dicho movimiento recibe el nombre de Movimiento Parabólico o Movimiento de Proyectiles1; el nombre se debe a que bajo las condiciones mencionadas anteriormente, el camino recorrido (la trayectoria) por la partícula o el “proyectil” corresponde a una parábola (ecuación de 2º grado). En resumen considerando que el movimiento de la partícula en la dirección del eje “x” corresponde a un MRU y en la dirección del eje “y” corresponde a un movimiento MRUV de Caída Libre, dicho movimiento se puede describir como una superposición de dos movimientos independientes en las direcciones “x” e “y”. Con las consideraciones descritas anteriormente con respecto a la aceleración:

a x = 0[m/s2 y ya = ga = g j y reemplazando en las ecuaciones Fundamentales del Movimiento en el

Plano se obtienen las Ecuaciones Fundamentales del Movimiento de Proyectiles (Parabólico) que se muestran a continuación.

tΔvxx

constantevv

)MRU("x"

oxo

oxx

yΔg2vv

tΔ2

gtΔvyy

tΔgvv

Libre) Caída -(MRUV "y"

2

oy

2

y

2oyo

oyy

r = ( x i + y j ) [L

v = ( vox i + vy j ) [L/T v = v [L/T ;

a = ( 0 i g j ) [L/T2 Para la resolución de problemas, ya que el tratamiento en relación al movimiento horizontal y vertical es independiente, se efectuará de acuerdo al tipo de movimiento y de acuerdo a las técnicas correspondientes es decir MRU y MRUV-Caída Libre respectivamente. Sin embargo, se realizarán las siguientes consideraciones, para ello vamos a suponer el movimiento de una partícula que sale con un a rapidez “vo” a nivel del suelo y con un ángulo “” por encima de la horizontal, tal como se muestra en el siguiente diagrama:

1 Aun que el estudio del movimiento real de los proyectiles es sumamente complicado por la cantidad de factores que intervienen, entre los que se tiene: 1) La resistencia del aire, 2) La aceleración de la gravedad varía con la altura, 3) La tierra no es plana, 4) La dirección de la gravedad varía de un punto a otro y no pasa exactamente por el centro de la tierra, 5) La tierra tiene un movimiento de rotación. Estas correcciones deben tenerse en cuenta únicamente en los cañones de largo alcance y en los cohetes, pero en los problemas corrientes es suficiente suponer la trayectoria parabólica.


13 Física

voy

vox

vf x = vox

xa 0

ymáx

y m

x m

xmáx

va y = 0

va x = vox

vf y

hmáx

Trayectoria seguida por la partícula: y = f ( x )

f

v

o

v (vo)

fv (v f ) Donde: = Angulo de disparo o de tiro, ángulo formado con el eje “x”

o

v = vo L/T ; = velocidad inicial.

ox

v y oy

v , son las componentes, las proyecciones de la velocidad inicial en las direcciones del eje

“x” y del eje “y”: o

v = vox i + voy j L/T, cuyo valor es:

]T/L[ sen v ±= v

cos v ±= v

ooy

oox ]T/L[

En cuanto se refiere al tiempo empleado para el movimiento de la partícula, estos representan los mismos a los correspondientes a caída libre, es decir:

Δ t s = Tiempo de subida

Δ t b = Tiempo de bajada

Δ t v = Δ t s + Δ t b = Tiempo de vuelo

En muchos casos el tiempo de subida y el tiempo de bajada son iguales, y esto solamente se da cuando el movimiento de la partícula es simétrico y con aceleración constante. h máx = altura máxima (t = ts), es el lugar donde la

componente de la velocidad en la dirección del eje “y” es cero es decir vy = 0m/s. En el caso que se analiza la altura máxima coincide con el módulo de la posición máxima h máx = ymáx ; el que coincida o no la posición con la altura máxima, depende exclusivamente del sistema de referencia elegido. Para determinar su valor, de las tres ecuaciones que gobiernan el Movimiento Parabólico, normalmente, se plantean las siguientes ecuaciones:

h máx

y máx = f (t s)

v y = f (t s) = 0

x máx = posición de alcance máximo horizontal (t = tv),

lugar en la dirección del eje “x” donde termina el movimiento. Para determinar el alcance máximo, de las tres ecuaciones que gobiernan el Movimiento Parabólico, normalmente, se plantean las siguientes ecuaciones, donde la posición de y =

x máx x máx = f (t v)

y = f (t v) = “0”


14 Física

“0” dependerá del sistema de referencia elegido, pudiendo ser diferente de cero.

De manera general si se quiere determinar una posición 1

r

cualquiera, para un determinado instante, por ejemplo t1, las ecuaciones a utilizarse, normalmente, serán:

x 1 = f (t 1)

y 1 = f (t 1) 1r = ( x 1 i + y 1 j )[m

1r

De manera general si se quiere determinar la velocidad 1v para un determinado instante, por

ejemplo t1, las ecuaciones a utilizarse, normalmente, serán:

v 1 x = f (t 1) = vox = cte

v 1 y = f (t 1) 1v

1v = ( v ox i + v 1y j )[L/T

1v = v 1 [L/T ;

Y donde la rapidez “v1” y la dirección “1” con el eje “x” será:

yo

y

yox v

vvv

112

1

2 tany11

v

3. MOVIMIENTO CIRCULAR

El movimiento circular es un tipo específico del movimiento en dos dimensiones. Se dice que una partícula está en movimiento circular cuando la trayectoria que describe corresponde a una circunferencia de radio “r” y donde su posición se determina mediante un ángulo , como se muestra en la figura y la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula corresponde a la longitud del arco descrito por SΔP

oP tal como se muestra en la figura.

Po

r

s

P

3.1. MEDIDA DE ÁNGULOS Para especificar el ángulo frecuentemente se emplean las siguientes medidas: grados sexagesimales, radianes y revoluciones (vueltas o giros). La más familiar el grado sexagesimal . La medida de un ángulo recto es 90 (¼ de revolución),

de un llano es 180 (½ revolución), de ¾ de revolución 270° y el giro completo es de 360; además el grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

La otra medida del ángulo es el radián rd, que se define como el ángulo subtendido por el arco cuya longitud es igual al radio del círculo. definición que corresponde a la siguiente relación matemática:

r

SΔ

radio

arco del longitudradianes en ángulo

La medida de un ángulo recto es 2 rad (1.5707...), de un llano es rd (3.1415...), de ¾ de giro

23 rd (4.7123...) y el giro completo es de 2rd (6.2831...). Medido en el Sistema Internacional la longitud del arco (en [m]) y el radio (en [m]), tendríamos que la unidad de medida del desplazamiento angular () o de las posiciones angulares () es el radián.


15 Física

[ ] = [m] / [m] = [rad] Observemos que el radián, más que una unidad de medida es una denominación, una medida. En lo sucesivo designaremos al radián [rad] como la medida del desplazamiento angular () o de las posiciones angulares (). Resumiendo en cuanto se refiere a las medidas angulares se tiene:

2 [rad] = 1 [rev] = 360º Cualquiera sea la situación de un movimiento circular (uniforme, uniformemente variado o no uniforme), habrá siempre una relación entre las cantidades (magnitudes) angulares y lineales de acuerdo a la definición del radián, donde la longitud del arco “S” (ó Arco “S”) se relaciona con el desplazamiento angular “” (ó la posición angular “”) a través del radio “r” mediante la siguiente relación.

S = r ó S = r

3.2. VELOCIDAD TANGENCIAL O LINEAL MEDIA E INSTANTÁNEA (m

v e v )

La velocidad tangencial o lineal media se define como, el arco recorrido por la partícula en un intervalo de tiempo, y su magnitud se determina de la siguiente manera:

0f

0f

tttΔ

Δ SSSmv

La velocidad tangencial instantánea se define como el límite de la velocidad tangencial media cuando el tiempo tiende a cero “t 0”, es decir la derivada del arco con respecto al tiempo.

td

d

tΔ

Δlimv

SS

0Δt

La velocidad tangencial o lineal se mide según el SI en m/s , [km/h]; en otros sistemas: ft/s, [cm/s]. 3.3. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA (m e )

La velocidad angular media se define como, el desplazamiento angular que experimenta una partícula en un intervalo de tiempo, es decir: 0f

0f

tt

θθ

tΔ

θΔmω

La velocidad angular instantánea se define como el límite de la velocidad angular media cuando el tiempo tiende a cero “t 0”, es decir la derivada de la posición angular con respecto al tiempo.

td

θd

tΔ

θΔlimω

0Δt

La velocidad angular se mide según el SI en rad/s; en otros sistemas: rev/s rps y rev/min rpm. 3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Cuando una partícula recorre arcos iguales en tiempos iguales o barre ángulos iguales en tiempos iguales, entnces se tiene un movimiento circular uniforme (MCU); es decir la magnitud de la velocidad (lineal y angular) se mantiene constante. En este tipo de movimiento la partícula está sujeta a la Tomando en cuenta las definiciones de las velocidades medias se tienen las sighuientes vecuaciones:

Ecuación en función del tiempo: S = f(t) Ecuación en función del tiempo: = f(t)

tm0 vSS Δ tΔωθθ m0

3.5. RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD TANGENCIAL Y ANGULAR Considerando la relación entre “S” y “” y las ecuaciones precedentes de “S” y “” en función del teimpo se puede demostrar que:

rv


16 Física

Ecuación que relaciona a la velocidad tangencial con la velocidad angular. 3.6. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac) En el MCU la magnitud de la velocidad se mantiene constante, en tanto que su dirección varía de un punto a otro. Recordemos que al ser la velocidad una magnitud vectorial y al cambiar una sola de sus características, en este caso la dirección, supone un cambio de velocidad lo cual se traduce en el tiempo en una aceleración, denominada centrípeta y cuya magnitud es:

rωr

va 2

2

c

Esta aceleración es perpendicular a la trayectoria y dirigida hacia el centro del círculo. Debe quedar claramente establecido que la razón de la existencia de la aceleración centrípeta se debe exclusivamente al cambio de dirección de la velocidad tangencial, aunque en realidad, como se verá más adelante este cambio de dirección de la velocidad es debido a la presencia de una fuerza resultante que tiene dirección radial y está dirigida hacia el centro del círculo denominada fuerza centrípeta “Fc”. 3.7. PERÍODO (Tp) Y FRECUENCIA (f) Se define al período de revolución (Tp) como el tiempo transcurrido por una partícula en dar una revolución completa durante su movimiento circular. La frecuencia (f) en cambio es el número de revoluciones efectuada por una partícula en la unidad de tiempo durante su movimiento circular y se puede determinar calculando la inversa del período, es decir:

f = pT

1

Entonces la unidad de medida de la frecuencia resulta ser: [ f ] = [1/s], unidad denominada Hertz [Hz] Cuando se trata de una revolución, es decir un desplazamiento angular de 2[rad], entonces t = Tp, la velocidad angular media se puede determinar como:

pT

π2 fπ2

3.8. ACELERACIÓN TANGENCIAL Y ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA Generalmente el módulo de la velocidad tangencial (angular) no es constante, aunque en ciertas circunstancias si lo es. El cambio o los cambios ocurridos en la magnitud de la velocidad dan lugar a la aceleración tangencial (angular). La aceleración tangencial (angular) media e instantánea (como límite de la velocidad media) se definen como:

Cantidades tangenciales o lineales Cantidades angulares

0f

0f

tt

vv

Δ

Δa

tv

t

0f

0f

tt

ωω

Δ

Δα

tω

m

td

vd

Δt

Δvlima

0Δt

td

ωd

Δt

Δωlimα

0Δt

Cuando la aceleración tangencial (angular) es constante entonces sus valores medios e instantáneos son iguales. La aceleración lineal es tangente a la trayectoria circular y la aceleración angular es perpendicular al plano del movimiento circular, positiva si la partícula gira en sentido antihorario y negativa si es en sentido horario. Debe quedar claramente establecido que la razón de la existencia de la aceleración tangencial se debe exclusivamente al cambio de módulo de la velocidad tangencial (cambio de rapidez), aunque en realidad, como se verá más adelante este cambio de rapidez de la velocidad es debido a la presencia de una fuerza resultante que tiene dirección tangencial a la trayectoria circular denominada fuerza tangencial “Ft”. Considerando las definiciones de aceleración tangencial y angular se puede demostrar que:


17 Física

rαt

a

3.9. VELOCIDAD TANGENCIAL (ANGULAR) MEDIA CON ACELERACIÓN TANGENCIAL (ANGULAR) CONSTANTE

Cuando la aceleración tangencial (angular) es constante (por lo menos en módulo y sentido), la velocidad media se define, también , como la semisuma de sus velocidades tangenciales (angulares), es decir:

2

vv

tΔ

Δm

v 0fS

2

ωω

tΔ

Δω 0fθ

m

3.10. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) Una partícula posee un Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV) en relación a un sistema de referencia cuando su trayectoria es circular y la rapidez tangencial (angular) varía uniformemente en el tiempo, lo cual equivale a decir que su aceleración es constante, por lo menos en módulo y sentido, ya que su dirección cambia permanentemente y de manera tangencial a la trayectoria circular. Tomando en cuenta las definiciones de las aceleraciones y las velocidades medias con aceleración constante se obtienen las Ecuaciones Fundamentales del Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV) lineales y angulares que se describen a continuación.

Ecuaciones Fundamentales Lineales Ecuaciones Fundamentales Angulares tavv to Δ

2too t

2

atvSS ΔΔ

Sa22o

v2f

v t Δ

tαωω o

2oo Δt

2Δtωθθ

Δ22o

2f

Observese que las ecuaciones, del MCU y del MCUV tienen la misma estructura que los correspondientes a los del MRU y los del MRUV respectivamente, por lo tanto los cálculos, consideraciones, interpretaciones y gráficas de dichos movimientos son similares y se efectuarán de la misma manera. 3.11. ACELERACIÓN TANGENCIAL, CENTRÍPETA Y TOTAL En el MCUV y el MCNU (Movimiento Circular No Uniforme: aceleración tangencial variable) la velocidad de un punto a otro cambia tanto en dirección como en módulo dando lugar a la aceleración centrípeta como a la aceleración tangencial respectivamente, la presencia de ambas aceleraciones define la aceleración instantánea a , denominada aceleración total. Si consideramos en cada posición de la partícula un Sistema “Natural” de Referencia, conformado por los ejes perpendiculares Radial (coincidente con el radio) y Tangencial (tangente a la curva en el lugar que se encuentra la partícula) podemos representar a dichas aceleraciones: ca = cc ua y ta = tt ua , como se muestra

en la siguiente figura y consecuentemente considerar a las aceleraciones tangencial y centrípeta como las componentes de la aceleración total a .

ta

Eje Tangencial

Eje Radial

y

x

ca

a

Es decir que la aceleración instantánea o total en un movimiento circular será:

ttcc uauaa


18 Física

Donde tu y cu son los vectores unitarios correspondientes al movimiento circular que indican las

direcciones de los ejes tangencial y radial respectivamente. Como ca y ta son componentes rectangulares de la aceleración a , su módulo se obtiene mediante el

Teorema de Pitágoras: 2t

2c aaa

Y para fijar la posición de la aceleración total a podemos determinar el ángulo que forma dicha aceleración con el radio, de la siguiente manera:

c

t

a

a1tan

Observese que en el MCUV (aceleración tangencial constante) y en el MCNU (aceleración tangencial variable) la aceleración total es variable para cada instante, porque la aceleración centrìpeta cambia en cada instante, debido al cambio de rapidez y debe calcularse para cada instante. En un MCU la componente tangencial es cero, luego la rapidez tangencial es constante y la aceleración total es igual a la aceleración centrípeta (constante en módulo) y el ángulo que forma dicha aceleración con el radio es cero, es decir que se encuentra sobre el eje radial. PREGUNTAS RESUELTAS 1. El velocímetro de un auto indica:

a) La rapidez promedio b) La rapidez instantánea c) La velocidad instantánea d) La velocidad media e) Ninguna de las anteriores R.: b) Explicación: El “velocímetro” de un automóvil indica la rapidez instantánea, ya que nos da a conocer solamente la magnitud de la velocidad instantánea (rapidez instantánea) y no su dirección. Por ejemplo si el “velocímetro” registra en un instante de tiempo 30[km/h] nos da la rapidez instantánea y no su dirección. Entonces un “velocímetro” debería llamarse “rapidímetro”, puesto que registra sólo la rapidez instantánea.

2. La gráfica de x en función de t de la figura es de una partícula que se mueve en línea recta. ¿En que tramo la partícula desacelera (frena)? (Despreciar el comportamiento en los extremos de los intervalos).

a) Tramo OA b) Tramo AB c) Tramo BC d) Tramo CD e) Ninguna de las anteriores R.: a)

Explicación: En el tramo OA es frenado, es decir, la magnitud de la velocidad instantánea disminuye. Para ver esta situación dibujamos en ciertos instantes de tiempo , y rectas tangentes, las pendientes

de estas rectas son la velocidad instantánea en esos instantes de tiempo 1t 2t 3t


19 Física

Entonces como las pendientes van disminuyendo, lo cual muestra que la magnitud de la velocidad disminuye y por tanto la partícula frena en ese tramo.

3. En un movimiento uniforme a velocidad constante con el tiempo. Esto significa que: a) Las distancias recorridas son proporcionales a los tiempos b) Las distancias recorridas no dependen del tiempo c) Las distancias recorridas son proporcionales a los cuadrados de los tiempos d) Las distancias recorridas son proporcionales a las velocidades e) Ninguna de las anteriores R.: a) Explicación: El movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza por recorrer distancias iguales en intervalos de tiempo iguales, es decir, las distancias recorridas son proporcionales a los tiempos.

4. En el diagrama posición – tiempo de una partícula que se mueve rectilíneamente. Su función de posición con respecto del tiempo es:

a) tx 25 b) tx 25 c) tx 5.05 d) tx 5.05 e) Ninguna de las anteriores R.: c)

Explicación: En una gráfica posición tiempo, una recta indica que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme y su ecuación cinemática es la de una recta tvxx 0 . De acuerdo a la gráfica su posición

inicial a un tiempo t = 0 [s], su posición es 5 [m] y a un tiempo t = 10 [s] su posición es 0 [m]; entonces resolviendo la ecuación v1050 se tiene que: v = 0.5. En consecuencia su ecuación cinemática será . t5.05x

5. En los pares de gráficos, velocidad )t(fv y aceleración )t(fa . ¿Cuál es la única alternativa en que los gráficos pueden representar el mismo movimiento?

R.: b)


20 Física

Explicación: La opción (c) queda descartada de antemano, ya que de acuerdo a la gráfica velocidad tiempo es constante y por tanto su aceleración es cero que no corresponde con esta opción. El inciso (d) también queda descartado puesto que en su gráfica velocidad tiempo al ser una recta se trata de un movimiento rectilíneo con aceleración constante, lo cual no coincide con su gráfica aceleración tiempo. Quedan por tanto las opciones (a) y (b), sus gráficas velocidad tiempo corresponden a un movimiento con aceleración constante y debido a que la pendiente de estas gráficas es negativa corresponde a una aceleración negativa; en consecuencia la respuesta es el inciso (b).

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Un camión se encuentra inicialmente a 3[m] del origen de coordenadas hacia la derecha, un tiempo

después se halla a 5[m] hacia la izquierda del origen de coordenadas. Se pide: a) Dibujar un Sistema de referencia y ubicar las respectivas posiciones y vectores posiciones del

camión. b) Escribir analíticamente las posiciones y los vectores posición del camión. c) Calcular analíticamente el desplazamiento del camión. d) Determinar gráficamente el vector desplazamiento del camión. Solución a) Trazamos el sistema de referencia y en él ubicamos las posiciones y los vectores posición

inicial y final del camión.

+ y [m]

o

x f = - 5- x + x [m]x o = 3

fx ox

b) Analíticamente las diferentes posiciones y vectores posición inicial y final serán: Partícula Posición Vector Posición

Camión x o = 3[m] ox = 3[m] i

x f = 5[m] fx = 5[m] i

c) Analíticamente el vector desplazamiento será:

xΔ = fx ox

xΔ = ( 5[m] i ) ( 3[m] i )

xΔ = ( 5 3 ) [m] i

xΔ = 8[m] i

El desplazamiento del camión es de: xΔ = 8[m] i .

d) Gráficamente: tomando en cuenta la definición: xΔ = fx ox , el vector desplazamiento se

determinará utilizando el método del Polígono ubicando los vectores sumandos en nuestro

caso los vectores posición “ fx ” y “ ox ”, uno a continuación de otro y teniendo el cuidado de

colocarlos en el orden respectivo, es decir primero el vector posición inicial “ ox ” y luego el

vector posición final “ fx ”, tal como se muestra a continuación:


21 Física

+ y [m]

ox f = - 5 - x + x [m] x o = 3

fx ox

Δx

Observemos que los vectores sumandos (vectores posición) están cabeza con cola y el vector resultante (desplazamiento) parte de la primera cola hasta la última cabeza quedando cabeza con cabeza, de tal manera que el módulo del desplazamiento es xΔ = 8[m], dirección del eje “x”,

por lo que le corresponde el vector unitario “ i ”, y su sentido es negativo “”, entonces el

desplazamiento del camión es: xΔ = 8[m] i . 2. En la figura se muestra la gráfica de posición en función del tiempo para cierta partícula que se

mueve a lo largo del eje x. Encontrar la velocidad media en los intervalos de tiempo: 0 a 4[s].

a) 1.30 [m/s] b) 1.30 [m/s] c) 1.25 [m/s] d) 1.25 [m/s] e) Ninguna de las anteriores R.: d)

Solución: En una gráfica posición tiempo la pendiente de una recta definida por dos puntos es numéricamente igual a la velocidad media, por tanto:

m/s 1.254

5V

m


22 Física

3. Un tren se mueve con velocidad constante. Calcular la longitud de un tren cuya velocidad es de 72 [Km/h] y que ha pasado por un puente de 720 [m] de largo, si desde que penetró la máquina hasta que salió el último vagón han pasado 3/4 de minuto. a) 100 [m] b) 720 [m] c) 120 [m] d) 180 [m] e) Ninguna

R.: d) Solución:

La velocidad del tren es 72 [km/h] = 20 [m/s]. Tomamos el origen el punto “o” donde entra al puente. Le toma 3/4 [min] = 45 [s] salir del puente (último vagón). Podemos calcular la posición que tendrá la parte delantera del tren:

m 900(45) 200t xx o v

Por tanto la longitud L del Tren será m 180 720xL

4. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 [Km/h] y 12 [Km/h] (ambas son constantes) respectivamente se cruzan perpendicularmente en su camino. Al cabo de seis horas de recorrido, ¿cuál es la distancia que los separa? a) 80.7 [km] b) 93.7 [km] c) 120 [km] d) 120.7 [km] e) Ninguna

R.: b) Solución:

Como ambas realizan movimiento rectilíneo uniforme se tiene: Para el vehículo que viaja horizontalmente

km60d

10(6)d0

tvxx

1

1

10

Para el vehículo que viaja verticalmente

km72d

12(6)d0

tvyy

1

2

20

Por el teorema de Pitágoras

km93.7)(d)(dd 22

21

5. Dos trenes están frente uno frente a otro en la misma vía moviéndose con igual rapidez de 20 [m/s]. Cuando se encuentran a una distancia de 2 [km], cada maquinista avista al otro y empieza a desacelerar. Si sus aceleraciones son uniformes e iguales, ¿cuál deberá ser su magnitud si deben evitar apenas la colisión? R.: b) a) 0.1 [m/s2] b) 0.2 [m/s2] c) 0.3 [m/s2] d) 0.4 [m/s2] e) Ninguna


23 Física

Solución

Ambos trenes tienen la misma rapidez cuando están separados a 2 [km] y como tienen que desacelerar de manera igual y uniforme, entonces se encontrarán en la mitad a 1000 [m]. Ahora para que apenas eviten la colisión su velocidad final de ambos trenes deben ser igual a cero. Para el tren A:

2a(1000)20)x2a(xvv 20

20

2

El signo de su desaceleración del tren A es negativa y como v = 0 (para apenas evitar la colisión), entonces

a = 0.2 [m/s2] Para el tren B:

2000)2a(100020)x2a(xvv 20

20

2

El signo de su desaceleración del tren B es positiva y como v = 0 (para apenas evitar la colisión), entonces

a = 0.2 [m/s2] 6. Dada la gráfica de la velocidad en función del tiempo. Determinar: (a) la aceleración en 2

segundos, (b) la velocidad media es de 0 a 5 segundos.

a) 3 [m/s2] ; 10 [m/s] b) 2 [m/s2] ; 11.5 [m/s] c) 5 [m/s2] ; 12.5 [m/s] d) Ninguna de las anteriores R.: c)

Solución: La recta en la gráfica velocidad tiempo indica que el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado. Cuando la aceleración es constante, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea una recta. Calculamos la aceleración media en 0 a 5 [s], pendiente de la recta AB

2m m/s 5

5

25a (1)

Como: 2

m m/s 5aa (2)

Entonces al ser constante la aceleración en el intervalo de 0 a 5[s], ecuación (2). La aceleración en 2[s] será de 5 [m/s2]. Por otra parte en una gráfica velocidad tiempo, el área que subtiende esta gráfica es numéricamente igual al desplazamiento. Calculamos el área A:


24 Física

xA 5.62)25)(5(2

1 (3)

Y la aceleración media se define como:

m/s 12.5s5

m 62.5

Δ

t

Δxmv (4)

7. Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra en una trayectoria circular a una altura de 600 [km] ( radio de la Tierra 6400 [km], período de rotación 24 [h] ¿Cuál debe ser la rapidez del satélite para que un observador, ubicado en la Tierra, tenga la impresión de que el satélite se encuentra parado?. a) 5.1630 [km/h] v b) 7.1731v [km/h] c) 7.1831v [km] d) Ninguna R.: c) Solución: Para que se vea que el satélite parado respecto de un observador en la Tierra debe cumplirse que: TS ωω

Pero: ST ω[rad/h]24

2πω

Como: SS ωrv

Y el radio de giro es: hRr T

Entonces: ]km/h[1831.7vS

PREGUNTAS PROPUESTAS 1. Un automóvil acelera a 2[m/s2]. ¿Cuál es su rapidez 3[s] después de que el automóvil empezó a

moverse? a) 2 [m/s] b) 3 [m/s] c) 4 [m/s] d) 6 [m/s] e) Ninguna R.: d)

2. Diez segundos después de partir del reposo, un automóvil está moviéndose a 40[m/s]. ¿Cuál es la aceleración del automóvil? a) 0.25 [m/s2] b) 2.5 [m/s2] c) 4.0 [m/s2] d) 10 [m/s2] e) 40 [m/s2] R.: c)

3. Un objeto que viaja en una trayectoria rectilínea. Recorre 8 metros en el primer segundo de viaje, 8 metros de nuevo durante el 2º segundo de viaje, y 8 metros nuevamente durante el tercer segundo. Su aceleración es a) 0 [m/s2] b) 8 [m/s2] c) 16 [m/s2] d) 32 [m/s2] e) Ninguna R.: a)

4. La velocidad instantánea de un punto que se mueve sobre el eje “x” es: a) La posición dividida por el tiempo b) La distancia recorrida dividida por el tiempo utilizado en recorrerla c) El límite, cuando t tiende a cero, de t/x d) El promedio de las velocidades medias e) Ninguna de las anteriores R.: c)

5. ¿Cuál de los siguientes mandos de automóvil cambian la dirección de la velocidad? a) El acelerador b) El freno


25 Física

c) El volante d) La persona que conduce e) Ninguna de las anteriores R.: c)

6. Si un objeto cae con aceleración constante, la velocidad del objeto debe a) Ser también constante b) Cambiar continuamente en la misma cantidad cada segundo c) Cambiar continuamente en cantidades que varían que dependen de su rapidez en cada punto d) Ninguna de las anteriores R.: b)

7. ¿Cuándo se dice que un cuerpo esta en caída libre? a) Cuando cae sin velocidad inicial b) Cuando cae con libertad c) Cuando sobre el cuerpo tan solo actúa el peso y se desprecia la resistencia del aire d) Cuando sobre el cuerpo actúa el peso y no se puede despreciar la resistencia del aire e) Ninguna de las anteriores R.: c)

8. Un objeto pesado y otro liviano se dejan caer al mismo tiempo desde el reposo en un vacío (no hay aire). El objeto más pesado alcanza el suelo: a) Más pronto que el objeto liviano. b) Al mismo tiempo que el objeto liviano c) Después que el objeto liviano d) Ninguna de las anteriores R.: b)

9. Se dispara una bala hacia abajo desde la cima de un acantilado alto. Despreciando la resistencia del aire, la aceleración de la bala es a) Menor que 9.8 [m/s2] b) Mayor que 9.8 [m/s2] c) 9.8 [m/s2] d) Se necesita más información para determinar R.: c)

10. Cuando una pequeña piedra lanzada verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima, en esta altura su a) Velocidad es cero y su aceleración es cero. b) Velocidad es cero y su aceleración es alrededor de 10 [m/s2]. c) Velocidad es alrededor de 10 [m/s] y su aceleración es cero. d) Velocidad es alrededor de 10 [m/s] y su aceleración es alrededor de 10 [m/s2]. e) Ninguna de las anteriores R.: b)

11. Un cuerpo cae libremente del reposo en un planeta donde la aceleración debido a la gravedad es 20 [m/s2]. Después de 5 [s] cae una distancia de: a) 100 [m] b) 150 [m] c) 250 [m] d) 500 [m] e) Ninguna R.: c)

12. Alguien que esta parado sobre el borde de un acantilado lanza una pelota verticalmente hacia arriba y otra verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial. Despreciando la resistencia del aire, la pelota que choque abajo del acantilado con la rapidez más grande será la que inicialmente se lanzo: a) Hacia arriba. b) Hacia abajo. c) Ambas golpearán con la misma rapidez d) Ninguna de las anteriores R.: c)

13. Una partícula se mueve a través de una trayectoria curvilínea. La partícula: a) Puede moverse con velocidad constante b) Nunca puede moverse con velocidad constante


26 Física

c) Se mueve sin aceleración d) No puede moverse en una trayectoria curvilínea e) Ninguna de las anteriores R.: b)

14. Una bala lanzada horizontalmente choca el suelo en 0.5 segundos. Si ha sido lanzada con una rapidez mucho más grande en la misma dirección, tendría que chocar la el suelo (despreciando la curvatura de la Tierra y la resistencia del aire) en: a) Menos que 0.5[s] b) Más que 0.5[s] c) 0.5[s] d) Ninguna R.: c)

15. Al lanzar una pelota horizontalmente sobre un terreno plano se deja caer otra al mismo instante que estaba al lado de la primera. Sin tomar en cuenta la resistencia del aire. ¿Qué podemos decir de la llegada de ambas pelotas al suelo? a) Que la primera llega antes que la segunda b) Que la segunda llega antes que la primera c) Que ambas llegan juntas d) Que primera llega mucho antes que la segunda e) Ninguna de las anteriores R.: c)

16. Una piedra se lanza horizontalmente desde una altura sobre el suelo, si se desprecia la resistencia del aire. La componente horizontal de su velocidad permanece constante debido a que a) No actúa sobre la piedra ninguna fuerza. b) No actúa sobre la piedra ninguna fuerza horizontal. c) No tiene una componente inicial vertical. d) Ninguna de las anteriores R.: b)

17. Se suelta un objeto y cae libremente al suelo con una aceleración de g 1 . Si en cambio se lanza hacia arriba a un ángulo, su aceleración sería: a) 0g b) 1g hacia abajo c) 1g hacia arriba d) mayor que 1g e) Ninguna de las anteriores R.: b)

18. Un aeroplano vuela a 40 [m/s] a una altitud de 50 [m]. El piloto deja caer un paquete el cual cae y choca el suelo. ¿Dónde, horizontalmente, aterriza el paquete? a) Justo abajo del aeroplano b) 400 [m] atrás del aeroplano. c) 500 [m] atrás del aeroplano. d) 100 [m] delante del aeroplano. R.: a)

19. Si pateas un balón de fútbol 20 [m/s] en trayectoria parabólica hacia un compañero que se encuentra adelante. La rapidez del balón al momento de que tu compañero la atrape, despreciar la resistencia del aire, será: a) 25 [m/s] b) 22 [m/s] c) 30 [m/s] d) 20 [m/s] e) Ninguna R.: d)

20. Se dispara un proyectil en dirección vertical a 40 [m/s]. (a) ¿Cuál es su rapidez en la parte más alta de su trayectoria?. Ahora supón que este proyectil se dispara hacia arriba a 45º con la misma rapidez sobre un plano horizontal. (b) ¿Cuál es la rapidez del proyectil en el parte superior de su trayectoria parabólica?

a) (a) 0 [m/s] ; (b) 220 [m/s]

b) (a) 0 [m/s] ; (b) 210 [m/s]

c) (a) 220 [m/s] ; (b) 220 [m/s]


27 Física

d) (a) 220 [m/s] ; (b) 220 [m/s] e) No se puede determinar falta más información R.: a)

21. Un primer proyectil se lanza con una cierta rapidez inicial a un ángulo de 25º sobre un terreno plano. ¿Cuál debe ser el ángulo de lanzamiento de un segundo proyectil que lanzado con la misma rapidez que el primero, tenga el mismo alcance que la primera?. a) 45º b) 30º c) 65º d) 55º e) Ninguna R.: c)

22. Una rueda gira con rapidez angular constante de 1200 [rpm]. La frecuencia y el período son respectivamente: a) 1200 [Hz];

0.05 [s] b) 60 [Hz] ;

1[min] c) 20 [Hz];

0.05 [s] d) 20 [Hz];

0.5 [s] e) 12 [Hz];

0.08 [s] R.: c)

23. En el movimiento circular uniforme. ¿Cuánto cambia la magnitud de la aceleración si su rapidez aumenta en 3 veces? a) Aumenta 3

veces b) Aumenta 4

veces c) Aumenta 7

veces d) Aumenta 9

veces e) Ninguna

R.: d)

El siguiente enunciado es para las preguntas 24 y 25. La figura representa una polea que gira en torno de un eje. La velocidad del punto A es de 50 [cm/s] y la del punto B es de 10 [cm/s]. La distancia AB es de 20 [cm].

24. La velocidad angular de la polea es: a) 2 [rad/s] b) 5 [rad/s] c) 10 [rad/s] d) 20 [rad/s] e) 50 [rad/s] R.: a)

25. El diámetro de la polea es: a) 20 [cm] b) 50 [cm] c) 75 [cm] d) 100 [cm] e) 150 [cm] R.: b)

26. Para que un satélite artificial, en órbita alrededor de de la Tierra, sea visto como parado en relación a un observador fijo en la Tierra es necesario que: a) Su velocidad angular sea la misma que de la Tierra. b) Su velocidad lineal sea la misma que de la Tierra. c) Su orbita este contenida en el plano del ecuador. d) Su orbita este contenida en el plano que contiene los polos de la Tierra. e) Ninguna de las anteriores R.: a)

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos móviles parten simultáneamente uno al encuentro del otro con velocidades de 5[m/s] y

15[m/s] respectivamente. Si en el punto de encuentro se observa que uno de ellos ha recorrido 60[m] más que el otro. Calcula la separación de los móviles en metros.

a) 120 b) 100 c) 300 d) 240 e) Ninguno 2. Dos automóviles “A” y “B” se mueven con velocidades constante va y vb uno contra el otro sobre

la misma carretera recta. La distancia de separación de los automóviles inicialmente es “L”. Cuando se cruzan “A” ha recorrido “L/5”. La razón de las rapideces va/vb es:

a) 1/4 b) 1/5 c) 1/2 d) 1/6 e) Ninguno 3. Un tren que tiene 100[m] de longitud llega a la boca de un túnel y 30[s] después, el extremo de su

último vagón sale del túnel. Sabiendo que la velocidad del tren es constante e igual a 20[m/s], la longitud del túnel es:

a) 300 b) 600 c) 500 d) 400 e) Ninguno


28 Física

4. La gráfica de posición en función del tiempo para un cierto objeto en movimiento rectilíneo se muestra en la figura. a) A partir de dicha gráfica determinar la velocidad

media y la ecuación de posición en función del tiempo

correspondiente. R.: v = 2.5[m/s i ; x = 10 2. -15

10

4 t

x[m

t[s

b) Con la gráfica posición en función del tiempo determine la rapidez media v y la velocidad media v para el intervalo 0 a 5[s]. R.: v = 2.5[m/s; v = 2.5[m/s i

c) Encuentre el valor de “t”, cuando la posición es x = - 15[m y grafique velocidad en función del tiempo. R.: 10[s

5. Un carguero que viaja a 15[m/s en dirección oeste se dirige en línea recta hacia un automóvil que va a 30[m/s en dirección este. Están separados 400[m. a) ¿Cuánto tiempo tardarán en chocar?. R.: 8.89[s b) ¿A qué distancia del punto original del carguero se encuentran cuando finalmente chocan?.

R.: 133.33[m 6. Entre dos ciudades "A" y "B" existe una distancia de 630[km], desde "A" sale un automóvil a una

rapidez de 90[km/h] con rumbo a la ciudad "B "; dos horas mas tarde sale un camión desde la ciudad "B" hacia la ciudad "A" con una rapidez de 70[km/h]. Calcular el tiempo en horas y la posición en kilómetros a la que se encuentran desde que partió el automóvil. a) 5.81 ; 653.13 b) 4.81 ; 433.13 c) 3.85 ; 735.23 d) 6.18 ; 433.13 e) Ninguno

7. Dos personas salen del mismo punto y se dirigen en la misma dirección, la primera de ellas lo hace a una velocidad constante de 5[Km/h] y la segunda a 8[km/h]. Después de 50[s] de haber partido, la segunda persona se sienta a descansar en una plaza durante 45[s] y luego retoma su marcha con la misma velocidad; mientras tanto la primera persona la alcanza y le pasa. a) Construir las gráficas posición y velocidad en función del tiempo. b) Calcular los tiempos y las posiciones en que las personas se encuentran.

R.: A 111.11[m, 80[s y a 166.67[m, 120[s 8. Un motociclista observa que pasa dos postes cada 5 segundos, los postes están separados en 50

metros. ¿Cuál es la rapidez del motociclista? R.: 20[m/s] 9. Dos móviles parten de “A” y “B”, los cuales en línea recta se encuentran separados a una distancia

“d”. Si la velocidad de “A” es 2/3 de la velocidad de “B”, ¿cuál es el tiempo que demoran en

encontrarse, en función de “d” y “VB”? R.: t = BV5

d3

10. Dos ciudades A y B están separadas por una distancia de 300 [km]. En un mismo instante de tiempo un móvil P pasa por A, dirigiéndose a B, y un móvil Q pasa por B, dirigiéndose a A. Sus movimientos son rectilíneos uniformes y sus velocidades en módulo son igual a 80 [km/h] (P) y 70 [km/h] (Q). Determinar: (a) el tiempo de encuentro; (b) la posición de encuentro a) 2 [h] ; 160 [km/h] de A b) 3 [h] ; 150 [km/h] de A c) 1 [h] ; 120 [km/h] de A R.: a)

11. La gráfica muestra la velocidad de un policía en motocicleta en función del tiempo. (a) calcular la aceleración instantánea en 3, 7 y 11 [s]. (b) la velocidad media en los primeros 9 [s].


29 Física

a) (a) 0[m/s2], 5.25[m/s2], 11.25[m/s2] ; (b) 25.56[m/s] b) (a) 0[m/s2], 6.25 [m/s2], 11.25[m/s2] ; (b) 25.56[m/s] c) (a) 0[m/s2], 6.25[m/s2], 11.25 [m/s2] ; (b) 25.56[m/s] d) Ninguna de las anteriores R.: b)

12. Determinar la velocidad media y la aceleración media de un punto en el intervalo de tiempo de 5 y 10 segundos, si su movimiento está dado por el gráfico de velocidad.

a) 3.9 [m/s] ; 1.9 [m/s2] b) 2.9 [m/s] ; 0.6 [m/s2] c) 3.9 [m/s] ; -1.9 [m/s2] d) 2.9 [m/s] ; 0.6 [m/s2] e) Ninguna de las anteriores R.: b)

13. Un móvil que pasa en línea recta hacia la derecha de un punto “A”, animado de un MRUV, con una velocidad de 8[m/s] y una aceleración de 2[m/s2] pero en sentido contrario. Determinar: a) Después de cuanto tiempo se detiene. R.: 4[s] b) ¿A qué distancia de “A” lo logra?. R.: 16[m]

Y si regresa inmediatamente: c) ¿Cuánto tarda en volver a pasar por “A” ?. d) ¿En qué instante pasa por un punto situado a 15[m] a la derecha de “A” ?. R.: 3[s] e) ¿En qué instante pasa por un punto situado a 33[m] a la izquierda de “A” ?. R.: 11[s]

14. Un cuerpo sigue una trayectoria rectilínea con aceleración constante. En el primer segundo recorre 20[cm]. a) ¿Cuál es la distancia recorrida durante 10[s]?. R.: 20[m] b) ¿Cuánto demora en alcanzar la velocidad de 24[m/s] i ? R.: 60[s]

15. Un móvil parte del reposo con aceleración constante “a” desde un punto “A” hacia un punto “B” cuya separación es “L” en línea recta. En el mismo instante otro móvil parte desde “B” con destino al punto “A” con rapidez constante “V”. ¿Cuál será el valor de “V” para que ambos móviles se crucen en la mitad de la distancia entre “A” y “B”?. R.: La21V

16. Dos trenes están uno frente al otro en la misma vía moviéndose con igual rapidez de 20[m/s]. Cuando se encuentran a una distancia de 2[km], cada maquinista ve al otro y empieza a desacelerar. a) Si sus aceleraciones son uniformes e iguales. ¿Cuál deberá ser su magnitud si deben evitar

apenas la colisión? R.: 0.2[m/s2] b) Si solo uno de los trenes deja de acelerar. ¿a qué distancia ocurrirá la colisión? R.: 828[m]

17. Un avión de propulsión a chorro aterriza con una velocidad de 100[m/s] i y puede acelerar con una

aceleración de - 5[m/s2] i hasta que llegue al reposo.


30 Física

a) ¿Cual es el tiempo desde el momento que toca la pista de aterrizaje hasta alcanzar el reposo?. R.: 20[s]

b) ¿Puede aterrizar el avión en una pista de 0.8[km], con que velocidad aterrizara? (si, no, por que)

18. Un cuerpo que se mueve con aceleración uniforme tiene una velocidad de 12[m/s] i cuando su

posición x es de 3[m]. Si su coordenada x dos segundos más tarde es 5[m] Determinar: a) La magnitud de la aceleración a . R.: a = 16[m/s2

b) Las ecuaciones fundamentales: velocidad en función del tiempo { v = f(t)} y posición en

función del tiempo {x = f(t)} R.: v x = 12 – 16 t ; x = 3 + 12 t – 8 t 2 c) ¿Cuál es el valor del desplazamiento y cuál la distancia recorrida?.

R.: x = 8[m i ; d = 17[m 19. Dos autos “A” y “B” que se mueven por vías paralelas y en el mismo sentido, llegan

simultáneamente al punto “P”, sus velocidades son 60[km/h] i y 80[km/h] i respectivamente. Si A comienza a acelerar cuando llega a “P” a razón de 0.2[m/s2] determine ¿cuándo y a qué distancia de “P” el auto A alcanza al auto “B”?. R.: 55.5[s] ; 1233 [m]

20. Dos automóviles parten simultáneamente en la misma dirección y el mismo sentido desde las posiciones “A” y “B” que distan 200[m]. El que parte de “A” lo hace con una velocidad inicial de 50[m/s] i y una aceleración de 3[m/s2] i ; y el que parte de “B” con una velocidad de 70[m/s] i y una desaceleración de 2[m/s2] ¿En que instante y a que distancia de “A” el primero alcanza al segundo?.

a) 2.0 ; 42 b) 4.0 ; 59 c) 5.0 ; 87 d) 8.0 ; 100 e) Ninguno 21. Un avión recorre, antes de despegar, una distancia de 1800[m] en 12[s], con una aceleración

constante. Calcular: a) La aceleración. R.: 25[m/s2] i

b) La velocidad en el momento del despegue. R.: 300[m/s] i c) La distancia recorrida entre el primero y el doceavo segundo. R.: 1787.5[m]

22. Un tren pasa frente a la torre de control con una velocidad v ox y lleva aceleración constante. A 0.5[km] más allá de la torre su velocidad es de 30[km/h] y a 1[km] más allá de la torre su velocidad es de 40[km/h]. Hallar v ox. R.: v ox = 14.1[km/h] i

23. Un ciclista en el ultimo tramo de una prueba deportiva se mueve con aceleración constante y cubre entre dos puntos separados por 100[m] en 10[s], si la rapidez al pasar por el segundo punto es de 30[m/s]. ¿Cuál es su aceleración?. R.: 4[m/s2] i

24. De un tren en movimiento uniforme se desprende un vagón. el tren continua moviéndose con la misma velocidad .¿Cuál es la relación dt / dv entre las distancia recorrida por el tren (dt) y el vagón (dv) desde el momento de la separación hasta el instante en que se detiene?. Considere que el vagón se detiene con aceleración constante.

a) 6 b) 2 c) 4 d) 5 e) Ninguno 25. Un móvil que lleva una velocidad de 8[m/s] i acelera uniformemente su marcha de forma que

recorre 640[m] en 40[s]. Calcular: a) La velocidad media durante los 40[s]. R.: 16[m/s] i

b) La velocidad final. R.: 24[m/s] i

c) El incremento de velocidad en el tiempo dado. R.: 16[m/s] i

d) La aceleración. R.: 0.4[m/s2] i


31 Física

26. Dos móviles “A” y “B” se desplazan, uno contra el otro, en vías paralelas y rectas, como se muestra en la grafica adjunta.

B

)8.0(a B

)3.3(v B

)8.1(a A

15 [m]

A )7.2(v A

En el instante en que la distancia que los separa es de 15[m] “A” se mueve con una velocidad de 2.7[m/s] i y una aceleración de – 1.8[m/s2] i , en tanto que “B” lo hace con una velocidad de –

3.3[m/s] i y una aceleración de – 0.8[m/s2] i . ¿Determinar donde y cuando ambos móviles se cruzan por primera vez? Observe que el móvil “A” tiene dos movimientos, uno desacelerado y otro acelerado. R.: 3.55[s] ; 1.76[m] y 8.45[s] ; 41.44[m]

27. Un auto marcha a una velocidad de 90[km/h] i . El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4[s] que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante. R.: 60[m]

28. Dos móviles “A” y “B” están separados por una distancia de 17500[cm], el cuerpo “A” se mueve con una velocidad de 65[m/s] i y una aceleración de 2[m/s2] hacia la izquierda, el móvil “B” lo hace con una rapidez constante de 25[m/s] hacia la derecha. Determinar la posición, el instante de encuentro y las distancias recorridas por cada uno. R.: 300{m] ; 5[s] ; 300[m] ; 125[m] ; 47.5[m] ; 1.9[s] ; 47.5[m] ; 127.1[m]

29. Un conductor se aproxima a un semáforo en verde con una velocidad “ v o” en el momento en que la luz cambia a amarillo. Si su tiempo de reacción es “t”, durante el cual decide parar y aplica el freno, siendo “a” la desaceleración máxima de frenado, ¿Cual será la mínima distancia “dmin” al semáforo, en el momento que este cambia a amarillo, que le permita detener su vehículo?.

a) a2

v2o b) tv

a2

vo

2o c) tv2

a

vo

2o d) tv

a2

vo

2o e) tv2

a

vo

2o

30. Al iniciar una cuesta de30º de pendiente, un coche lleva una velocidad de 72[Km/h]. ¿Qué recorrido podrá hacer en la rampa si ha parado el motor? a) 20.4 [m] b) 18.6 [m] c) 40.8 [m] d) 19.6 [m] e) Ninguna R.: c)

31. Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 2[m] de altura y un ángulo de inclinación de 30º. La aceleración del móvil es de 4[m/s2]. Calcular el tiempo que tarda el móvil en recorrer la rampa. a) 2 [s] b) 3 [s] c) 1.41 [s] d) 2.41 [s] e) Ninguna R.: c)

32. Una bala que se mueve con una rapidez de 150[m/s] choca con árbol y penetra 3.5[cm] antes de detenerse. Encuéntrese la magnitud de la aceleración en [m/s2] que tarda en detenerse: a) 4.1x103 b) 3.0x103 c) 2.3x105 d) 3.2x105 e) Ninguna

R.: d)


32 Física

33. La cabeza de una serpiente de cascabel puede acelerar a razón de 50[m/s2] al atacar a su víctima. Si un automóvil lo hiciera también, ¿cuánto le tomaría llegar a una velocidad de 100[km/h] desde el reposo? a) 555.6 [s] b) 50.0 [s] c) 655.6 [s] d) Ninguna R.: a)

34. Una motocicleta que esta parada en un semáforo acelera a 4.20[m/s2] tan pronto se enciende la luz verde. En ese instante, un automóvil que viaja a 72.0[km/h] rebasa a la motocicleta. Este acelera durante un tiempo t, y después conserva su velocidad. Rebasa al automóvil 42.0[s] después de haber arrancado. ¿A qué velocidad va el motociclista cuando rebasa y a que distancia está del semáforo en ese momento? a) 19.3[m/s]

900[m] b) 21.3[m/s] 840[m]

c) 10.0[m/s] 900[m]

d) 12.0[m/s] 840[m]

e) Ninguna

R.: b) 35. Una partícula “A” se mueve a lo largo de la línea y = d (30[m]) con una velocidad constante “v”

(v = 3 [m/s]) dirigida paralelamente al eje-x positivo. Una segunda partícula “B” comienza en el origen con velocidad cero y aceleración constante a ( a = 0.4 [m/s2] ) en el mismo instante en que la partícula “A” pasa el eje-“y”. ¿Qué ángulo entre a y el eje-y positivo resultaría en una colisión entre estas dos partículas?.

a) 25º b) 45º c) 64º d) 60º e) Ninguna de las anteriores R.: d)

36. Imagina que estas en la azotea del edificio de física, 46[m] sobre el suelo. Un profesor de física que tiene una estatura de 1.80[m], camina junto al edificio a 1.20[m/s] (constante). Si dejas caer un huevo sobre su cabeza, donde deberá estar el profesor cuando tu sueltes el huevo?

a) 4.6 [m] b) 5.6 [m] c) 9.6 [m] d) 3.6 [m] e) Ninguna R.: d)

37. Desde el nivel del piso se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30[m/s] j . Calcular: a) Tiempo de subida y altura máxima alcanzada. R.: 3.06[s] ; 45.92[m]


33 Física

b) Tiempo que tarda para regresar al punto de partida. R.: 6.12[s] c) Tiempo a partir del momento de ser lanzada hasta adquirir una rapidez de 25[m/s].

R.: 0.51[s] ; 5.61[s] 38. Desde un globo aerostático que se eleva verticalmente con una rapidez de 20[m/s], se deja caer una

carga en el instante en que el globo se encuentra a 160[m] sobre el suelo. Determinar la altura máxima alcanzada por la carga medida desde tierra y en cuanto tiempo llegará a tierra en segundos. ( g = 10[m/s2]).

a) 180 ; 8 b) 200 ; 11 c) 180 ; 10 d) 190 ; 8 e) Ninguno

39. Desde una torre de 80[m] de altura se lanza una piedra hacia arriba con una rapidez de 30[m/s]. Calcular la máxima altura y la velocidad con la que llegará al suelo. R.: 125.92[m] ; 49.67[m/s] j

40. Desde el borde de la azotea de un edificio se dispara verticalmente un proyectil con una velocidad de 50[m/s] j . Si demora 23[s] en golpear al suelo, ¿En qué tiempo en segundos logra recorrer todo el edificio? ( g =10[m/s2])

a) 10 b) 13 c) 19 d) 16 e) Ninguno 41. Desde lo alto de una torre de 200[m] se de caer un objeto Al mismo tiempo desde su base se lanza

hacia arriba otro objeto con una rapidez de 100[m/s]. Hallar la altura en metros a la que se cruzan ( g = 10[m/s2]).

a) 100 b) 163.5 c) 140 d) 180 e) Ninguno 42. Un estudiante deja caer una piedra por el interior de un pozo profundo y escucha el ruido del

impacto con el agua 3.8[s] después. Calcular la profundidad del nivel de agua (vsonido = 340[m/s]). a) 70.76 b) 63.86 c) 72.20 d) 66.20 e) Ninguno

43. Se dejan caer dos esferitas con un intervalo de tiempo de 1[s].¿Cual es la distancia en metros que los separa luego de 5[s] de ser soltada la primera?. ( g = 10[m/s2]).

a) 12 b) 56 c) 45 d) 24 e) Ninguno 44. Desde un globo aerostático, se deja caer una bolsa de lastre y demora 18[s] en llegar al suelo.

Calcular la altura del globo en el momento del impacto y la velocidad de impacto, en los tres siguientes casos: a) El globo esta en reposo. R.: 1587.60[m] ; 176.40[m/s] j b) El globo esta ascendiendo verticalmente con una velocidad de 15[m/s].

R.: 1317.60[m] ; 161.40[m/s] j c) El globo esta descendiendo verticalmente con una velocidad de 10[m/s].

R.: 1857.60[m] ; 191.40[m/s] j 45. Desde una altura de 9.8[m] se deja caer un cuerpo. Un segundo después, desde una altura de

19.6[m], se lanza verticalmente hacia abajo otro objeto. Si ambos llegan simultáneamente al suelo; calcular la velocidad de lanzamiento del segundo objeto.

46. Unos exploradores del espacio deciden visitar varios planetas, Venus, Mercurio y Júpiter. En su viaje, por razones mecánicas, desvían su curso y se “pierden”, “aterrizando” en algún planeta, pero no saben cuál es; lo único que conocen es la magnitud de la aceleración gravitacional (gravedad) en [m/s2. Los exploradores, inteligentemente, observan que una pequeña roca lanzada verticalmente hacia arriba a razón de 28.55[m/s desde un montículo de 5[m] de altura respecto del suelo, tarda 7.72[s en llegar al suelo y así logran determinar el planeta en el que se encuentran. ¿En qué planeta “aterrizaron”?.

a) Júpiter:22.90 b) Tierra:9.80 c) Mercurio:3.78 d) Venus:7.56 e) Ninguno 47. En una obra en construcción se arroja verticalmente hacia arriba desde los 15[m] de altura un

martillo con rapidez inicial de 40[m/s], en ese mismo instante, a 8[m] de altura, sube un montacargas con rapidez constante de 2[m/s], si el martillo no pudo ser atajado, ¿cuánto tiempo


34 Física

después y a que altura chocará con el montacargas?. R.: 7.93[s] b) 23.86[m]

48. Una piedra se deja caer desde el reposo, a una altura H. Cuando está a 16[m] sobre el terreno, su rapidez es de 12[m/s]. a) Calcule la altura H. R.: 23.35[m] b) Encuentre el tiempo que la piedra estuvo en el aire. R.: 2.18[s]

c) Calcule la velocidad de la piedra cuando choca con el piso. R.: 21.35[m/s] j 49. Un cuerpo se deja caer desde una altura de 200[m]. Determinar a que altura en metros su velocidad

es la mitad de la velocidad con la que llega al suelo. a) 25.44 b) 75.19 c) 300.20 d) 150.07 e) Ninguno

50. Un ascensor sube con rapidez constante de 2[m/s]. Cuando se encuentra a 10[m] sobre el nivel del suelo los cables se rompen. Prescindiendo del rozamiento, se pide: a) Calcular la máxima altura a que llega la cabina medida desde el suelo. b) Si los frenos de seguridad actúan automáticamente cuando la velocidad del descenso alcanza

el valor de 4[m/s], determinar la altura en metros desde el nivel del suelo en la que actúan los frenos.

a) 12.2 ; 19.40 a) 14.5 ; 8.56 b) 10.2 ; 9.4 c) 1.2 ; 8 d) Ninguno 51. ¿A cuantos [m/s2] equivalen 32.2[pies/s2]?. R.: 9.8[m/s2] 52. Se dio la noticia de que una mujer había caído 144[ft] desde el decimoséptimo piso de un edificio,

golpeándose finalmente contra la caja metálica de un ventilador que se aplastó 1.5[ft]. La mujer sólo sufrió pequeñas lesiones. Calcular: a) La rapidez de la caída de la mujer precisamente antes de chocar contra el ventilador.

R.: 96[ft/s] b) Su desaceleración al estar en contacto con la caja. R.: 3072[pies/s²] j c) El tiempo que tardó en aplastar la caja. R.: 0.0312[s]

53. Un niño dispara una piedra con una honda, verticalmente hacia arriba, desde la planta baja de un edificio. Un amigo ubicado en el piso 6 (18[m]), ve pasar la piedra con una velocidad de 40[m/s] j calcular ¿A que altura en metros, llega la piedra respecto al suelo? (g = 10[m/s2]).

a) 98 b) 108 c) 78 d) 88 e) Ninguno 54. Una pelota que se deja caer desde la cornisa de un edificio, tarda 0.25[s] en pasar por una ventana

de 3[m] de altura. ¿A qué distancia por debajo de la cornisa se encuentra la parte superior de la ventana?. R.: 5.92[m]

55. Un cohete acelera verticalmente a 1.45g durante 38[s]. En ese momento se termina su combustible, y el cohete continua moviéndose solo por acción de la gravedad. Encuentre la altura alcanzada por este cohete, el tiempo total que permanece en el aire y la velocidad con la que choca con el suelo.

(No tomar en cuenta la variación de g con la altura). R.: 25136.56[m]; 164.72[s]; 701.9[m/s] j 56. Un cuerpo cayendo desde el reposo viaja 1

3 de la distancia total de caída en el último segundo, calcular el tiempo y la altura desde la cuál se dejó caer. R.: 5.45[s]; 145.5[m]

57. Se dejan caer dos piedras desde el borde de un acantilado, primero una y 2[s] después la segunda. Encuentre la distancia que ha caído la primera piedra cuando la separación entre las dos piedras es de 48[m]. R.: 58.3[m]

58. Un muchacho desea lanzar una lata en línea recta hacia arriba y golpearla después con una segunda lata. Desea que la colisión ocurra 5[m] arriba del punto de lanzamiento. Sabe que el intervalo que se necesita entre los lanzamientos es de 3[s]. Considerando que lanza las dos latas con la misma rapidez, ¿cuál debe ser la rapidez inicial de las latas?. R.: 17.72[m/s]

59. Una mujer esta en un elevador que se mueve hacia arriba con una rapidez de 4[m/s]. Si la mujer deja caer una moneda desde una altura de 1.2[m] sobre el piso del elevador, determine.


35 Física

a) ¿Cuánto tarda la moneda en llegar al piso del elevador?. R.: 0.49[s] b) ¿Cuál es la distancia que recorre la moneda? R.: 0.853[m] c) ¿Cuál es el desplazamiento de la moneda? R.: 0.779[m] j

60. Un auto y un camión parten del reposo en el mismo instante, el auto se encuentra a una distancia d detrás del camión. El camión tiene una aceleración constante de 2.1[m/s2], y el auto 3.40 [m/s2]. Si el auto alcanza al camión cuando ha recorrido una distancia de 40.0 [m]. a) ¿Cuánto tarda el auto en alcanzar el camión? b) Calcula el valor de la distancia “d” c) Calcula la rapidez de los vehículos cuando el auto alcanza al camión d) Realiza la gráfica la posición en función del tiempo para ambos vehículos en un mismo

sistema de coordenadas. Considera 0x la posición inicial del camión. a) (a) 6.00 [s] ; (b) 24.0 [m] ; (c) [m/s]13.0vcamion

[m/s] 21.0vauto

b) (a) 6.17 [s] ; (b) 24.8 [m] ; (c) [m/s]13.0vcamion [m/s] 21.0v auto

c) (a) 5.17 [s] ; (b) 24.0 [m] ; (c) 12.0[m/s]vcamion [m/s]18.0vauto

d) Ninguna de las anteriores R.: b)

61. Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de o

v =26.83[m/s] E

63.43 N. A partir de dicha información se pide: a) Cuales son las componentes de la velocidad después de 4[s].

R.: vx = 12.00[m/s] ; vy = 15.20[m/s] b) Altura y alcance máximo. R.: 29.39[m] ; 58.80[m] c) Velocidad con la que impacta y tiempo con el que se mantiene en el aire.

R.: fv = 26.83[m/s] E 63.43 S ; 4.9[s]

62. Se lanza un proyectil con una rapidez inicial de 200[m/s] y una inclinación de 30º por encima de la horizontal. Suponiendo que el proyectil es disparado desde lo alto de un acantilado de 50[m] de altura y considerando despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular: a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?. R.: 560.20[m] b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?. R.: 1766.64[m] c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?. R.: 3619.88[m]

63. Se lanza un proyectil de modo que para un alcance horizontal de 2684[m] logra una altura máxima de 671[m] sobre la horizontal. Determinar: el tiempo de vuelo, la rapidez inicial y el ángulo de lanzamiento.

64. Se lanza un proyectil con una rapidez “vo”y con un ángulo de elevación de 45º. La relación entre la altura máxima “hmáx” y su alcance máximo “xmáx” es:

a) 1/3 b) 1/5 c) 1/2 d) 1/4 e) Ninguno 65. Una manguera para incendios ubicado cerca del suelo dispara agua con una rapidez de 15[m/s]. ¿Qué

dirección debe darse a la boquilla para que el agua expelida golpee el suelo a 18[m] de distancia?. R.: 25.81° ; 64.19°

66. Se dispara un proyectil desde el suelo hacia una plataforma elevada como se muestra en la figura. El módulo y la dirección de la velocidad inicial son 42[m/s] y 60° respectivamente. Si el proyectil hace impacto sobre la plataforma después de 5.5[s], calcule en metros, la altura “h” de la plataforma y la altura máxima “Hmáx” que sube el proyectil.

60°

ov ( 4 2 ) h Hmáx


36 Física

a) 55.72 ; 67.49 b) 51.81 ; 83.9 c) 57.81 ; 134.9 d) 51.81 ; 67.49 e) Ninguno 67. Un cañón está ubicado en la base de un cerro, cuya inclinación es de 20º sobre la horizontal. Si el

cañón se coloca con un ángulo de 40º con respecto a la rampa y comunica al proyectil una velocidad de 600[m/s], calcular la distancia, medida a lo largo del cerro, a la cual caerá el proyectil. R.: d = 26740.66[m]

68. Un motociclista realiza un salto mortal consistente en saltar desde una rampa de 45º de inclinación hasta una tarima separada a 10[m] de la rampa y 1[m] mas alta que el borde superior de la rampa. a) ¿Con qué velocidad mínima debe salir la motocicleta de la rampa? R.: 10.5[s] b) ¿Con qué velocidad llega a la tarima? R.: 9.55[m/s] E 38.66º S

69. Un avión vuela horizontalmente a una altura “h” y con rapidez de 360[km/h]. En el instante que pasa por la vertical de un punto “P”, un cañón antiaéreo le lanza un proyectil con una dirección que forma un ángulo α = 60° con el plano horizontal. Si el proyectil hace impacto en el avión 3[s] después del disparo, la rapidez con la que fue lanzado el proyectil en [m/s] es:

a) 100 b) 50 c) 150 d) 200 e) Ninguno 70. Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ángulo de 53º por encima de la horizontal y

una rapidez inicial de 60[m/s]. Un tanque avanza directamente hacia el mortero sobre un terreno horizontal a una rapidez de 3[m/s]. ¿Cuál deberá ser la distancia en metros desde el mortero hasta el tanque en el instante en que el proyectil es disparado para lograr impactar en el blanco?.

a) 374.81 b) 421.58 c) 382.50 d) 402.02 e) Ninguno 71. Un cañón está situado en lo alto de un arrecife a una altura de 121.9[m]. Dispara un proyectil con una

rapidez de 239.6[m/s] haciendo un ángulo de 30º sobre la horizontal. Calcular el alcance horizontal del cañón. Si un auto se dirige directamente hacia el arrecife con una rapidez de 96.5[Km/h] a lo largo de un camino horizontal, ¿a qué distancia debe estar el auto del arrecife para sentir el impacto del proyectil?. Repetir el problema para un disparo bajo la horizontal. Repetir el problema cuando el auto se aleja del arrecife. R.: xmx = 5276.17[m] ; d = 5957.76[m] ; d = 4594.57[m]

72. Una bola de nieve rueda del techo de un granero de inclinación igual a 40º (ver figura). El borde del techo esta a 14[m] del suelo y la bola tiene una rapidez de 7.00[m/s] al dejar el techo. Se puede despreciar la resistencia del aire. (a) ¿A qué distancia del borde del granero golpea la bola el piso?. (b) un hombre de 1.9[m] de estatura esta parado a 4.0[m] del granero. ¿Lo golpeará la bola?

a) No lo golpea b) Lo golpea c) No se puede saber R.: a)

73. Un cañón de un barco lanza horizontalmente, desde una altura de 5 metros respecto al nivel del mar, un proyectil con una rapidez inicial de 900[m s - 1]. Si el tubo del cañón es de 15[m] de longitud y se supone que el movimiento del proyectil dentro del tubo es uniformemente acelerado, debido a la fuerza constante de los gases de la combustión de la pólvora y considerando que la aceleración de la gravedad g = 10[m/s2], calcular:


37 Física

a) La aceleración del proyectil dentro del cañón y el tiempo invertido por el proyectil en recorrer el tubo del cañón. R.: 27000[m s - 2] ; 0.033[s]

b) La distancia horizontal alcanzada por el proyectil desde que abandona el cañón hasta que se introduce en el agua. R.: 900[m]

74. Se deja caer verticalmente una pelota sobre un punto de un plano inclinado de 20º. La pelota rebota formando un ángulo de 40º con la vertical. Sabiendo que el próximo rebote sobre el plano inclinado tiene lugar a 3[m], calcular: la velocidad de la pelota tras el primer rebote y el tiempo transcurrido entre los dos rebotes. R.: 4.64[m/s] ; 0.95[s]

75. Desde un acantilado se dispara horizontalmente un proyectil de 2[kg] con una rapidez inicial de 100[m s - 1]. Si cuando el proyectil choca contra el mar su rapidez es de 108[m s - 1]. Calcular el tiempo que el proyectil permanece en el aire. (g = 10[m/s2]). R.: 4.16[s].

76. ¿Con qué ángulo debe dispararse un proyectil desde el nivel del suelo para que su altura máxima sea igual a su alcance horizontal?. R.: 75.96º

77. Se lanza una piedra desde un acantilado con un ángulo de 37° con la horizontal como se indica en la figura. El acantilado tiene una altura de 30.5[m] respecto al nivel del mar y la piedra alcanza el agua a 61[m] medidos horizontalmente desde el acantilado. Encontrar:

a) El tiempo que tarda la piedra en alcanzar el mar desde que se lanza desde el acantilado.

b) La altura “h” máxima alcanzada por la piedra.

61 [m]

h ov

37º

30.5[m]

e)a) 4.95[s];6.84[m] b) 3.95[s];6.84[m] c) 4.95[s];6.95[m] d) 4.95[s];8.64[m] Ninguno R.: b)

78. Un piloto acróbata desea saltar del plano inclinado y aterrizar sobre la plataforma. ¿Con qué rapidez debe ir la motocicleta si el acróbata logra realizar su hazaña?

a) 11.1 [m/s] b) 9.1 [m/s] c) 11.9 [m/s] d) 13.9 [m/s] e) Ninguna R.: d)

79. Una pelota perfectamente elástica, se lanza contra una pared y rebota sobre la cabeza del lanzador, como se muestra en la figura. Cuando abandona la mano del lanzador, la pelota está 2 [m] por encima del suelo y a 4 [m] de la pared y tiene una velocidad smvv yx /1000 . ¿A qué distancia

por detrás del lanzador golpea la pelota el suelo? (suponer que g = 10 [m/s2]).


38 Física

2[m]

4[m]

a) 10.8 [m] detrás del lanzador b) 13.8 [m] detrás del lanzador c) 15.8 [m] detrás del lanzador d) Ninguna de las anteriores R.: b)

80. Un niño arroja una piedra desde una altura de 1[m] con un ángulo de elevación de 45º respecto del piso horizontal, el movimiento se realiza con una rapidez inicial de 20[m/s]. Si a una distancia de 10[m], de donde arroja la piedra el niño, se encuentra una pared determinar la altura en la pared sobre el cual impacta la piedra respecto del punto horizontal. Considerar la magnitud de la aceleración de la gravedad g = 10[m/s2] R.: 8.5[m]

81. Un jugador de fútbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de 30º con respecto a la horizontal y con una rapidez de 20[m/s]. Un segundo jugador corre para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde 20[m] más delante de la posición de disparo. Despreciando el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qué velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando ésta llegue al suelo. R.: 7.52[m/s]

82. Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60º con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26[m] de altura y a 200[m] del cañón. Determinar:

a) ¿Con qué rapidez debe salir el proyectil?. R.: 49.47[m/s] b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posición se podría haber disparado?.

R.: xo = 183.67[m] 83. Un chico patea una pelota contra un arco con una rapidez inicial de 13[m/s] y con un ángulo de 45º

respecto del campo, el arco se encuentra a 13[m]. Determinar: a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?. R.: 1.41[s] b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?. R.: No c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?. R.: 17.18[m]

84. Un cañón forma un ángulo “β” con la horizontal. El cañón dispara un proyectil con una rapidez “vo” desde el extremo inferior de una colina (punto “A”) el cual forma un ángulo “θ” con la horizontal, como se muestra en la figura. El proyectil cae en un punto “B” a una distancia “R” del punto de partida, si θ = 30º y β = 60º, entonces “R” vale:

ovR

B

A

x

y

a) g

v2o b)

g4

v2o c)

g3

v2 2o d)

g

v2 2o e)

g2

v2o

85. La boquilla de una manguera de bomberos descarga agua a presión sobre la azotea de un edificio, con una velocidad de 12.2[m/s] y un ángulo de 60º sobre la horizontal, además de encontrarse a una altura de 1.22[m]. La boquilla está a una distancia de 4.6[m] del edificio. El edificio tiene las siguientes dimensiones: 7.6[m] de largo y 6.1[m] de altura.


39 Física

a) Determinar a que distancia del borde de la azotea cae el chorro de agua. Verifique que el agua rebasa el borde de la azotea. R.: d = 4.46[m]

b) Determinar las velocidades máximas y mínimas, para que el agua caiga sobre la azotea. R.: 13.40[m/s] ; 11.59[m/s]

86. Transformar: a) Averigua la distancia de la Tierra al Sol en kilómetros y exprésala en metros. R: 150x106 [km] ; 150x109[m] b) 416.23º en [rad] y en [rev]. R.: 7.26[rad] ; 1.16[rev] c) 135.73[rad] en grados sexagesimales y en [rev] R.: 7776.76[rad] ; 21.60[rev] d) 34.11[rev] en grados sexagesimales y en [rad] R.: 12279.60º ; 214.32[rad] e) 76.35[rad/s] en [rps] y en [rpm] R.: 12.15[rps] ; 729.09[rpm] f) 950[rpm] en [rad/s] y en [rps] R.: 99.48[rad/s] ; 15.83[rps] g) 25 [rad/s2] a [rev/s2] R.: 3.979[rev/s2]

87. Un punto material recorre una circunferencia de 20[cm] de diámetro efectuando 12 [rpm] con movimiento uniforme. Determinar: (a) la frecuencia; (b) el período; (c) la velocidad angular; (d) la velocidad lineal v ; (e) la aceleración centrípeta. a) (a) 0.2 [Hz] ; (b) 5 [s] ; (c) 2/5 [rad/s] ; (d) 4 [cm/s] ; (e) 1.62/4 [cm/s2] b) (a) 2.0 [Hz] ; (b) 4 [s] ; (c) 3/5 [rad/s] ; (d) 4 [cm/s] ; (e) 62/4 [cm/s2] c) (a) 0.2 [Hz] ; (b) 5 [s] ; (c) 3/5 [rad/s] ; (d) 4 [cm/s] ; (e) 52/4 [cm/s2] d) Ninguna de las anteriores R.: a)

88. Un cuerpo gira con movimiento circular uniforme completando una vuelta en cada 4[s]. El radio es 5 [cm]. Determinar: (a) el período; (b) la velocidad angular; (c) el módulo de la aceleración centrípeta. a) (a) 4 [s] ; (b) /2 [rad/s] ; (c) 52/4 [cm/s2] b) (a) 8 [s] ; (b) /3 [rad/s] ; (c) 82/4 [cm/s2] c) (a) 3 [s] ; (b) /2 [rad/s] ; (c) 52/4 [cm/s2] d) Ninguna de las anteriores R.: a)

89. Una rueda de 10[cm] de diámetro que gira a razón de 0.4[rev/s] enreda una cuerda sobre su perímetro. ¿Cuál es la longitud de la cuerda que se enredó en la rueda en 30[s]?. ¿Cuántas revoluciones efectuó un punto situado en la periferia de dicha rueda al cabo de los 30[s]?. R.: 3.77[m]

90. ¿Cuál seria la longitud de un segundero de un reloj si la aceleración centrípeta de su trayectoria es de 0.0001g ?. R.: 8.94[cm]

91. Dos poleas acopladas con una correa tienen rotaciones de 30 [rpm] (polea A) y 120[rpm] (polea B). Si el diámetro de la polea B es de 15 [cm], determine el diámetro de la polea A. a) 50 [cm] b) 55 [cm] c) 60 [cm] d) 65 [cm] e) Ninguna R.: c)

92. Un volante tiene una velocidad angular de 1200[rpm] en sentido antihorario y al cabo de 10[s] su velocidad es de 400[rpm] en sentido contrario. Calcular: a) La aceleración angular del volante. R.: 8.38[rad/s2] b) Número de vueltas que ha dado en ese tiempo. R.: 133.33[rev] c) Tiempo que tarda en parar. R.: 15[s] d) Velocidad del volante 2[s] antes de parar. R.: 16.76 [rad/s] e) La posición de la partícula de acuerdo al Sistema de Referencia Cartesiano en t = 12.77[s],

considerando el radio del volante r = 0.5[m]. R.: r = ( 0.31 i + 0.40 j )[m]


40 Física

93. En cierto instante, una partícula que se mueve en el sentido contrario a las manecillas del reloj, en una circunferencia cuyo radio es de 2[m], tiene una rapidez de 8[m/s] y su aceleración total esta dirigida como se muestra en la figura. En ese instante, determine: a) La aceleración centrípeta de la partícula. R.: 32[m/s2] b) La aceleración tangencial. R.: 55.43[m/s2] c) La magnitud de la aceleración total. R.: 64[m/s2]

60° a v

r

94. Un automotor parte del reposo y se mueve en una vía circular de 400[m] de radio con un

movimiento uniformemente acelerado. A los 50[s] de iniciada la marcha alcanza la velocidad de 72[km/h], desde ese momento conserva esa velocidad. Calcular: a) La aceleración en la primera fase del movimiento. R.: 0.4[m/s2] b) La aceleración normal, la aceleración total y la longitud de vía recorrida al final de los 50[s].

R.: 1[m/s2] ; 1.07[m/s2] ; 500[m] c) Velocidad angular media en la primera etapa. R.: 0.025[rad/s] d) La velocidad angular al final de los 50[s]. R.:0.05[rad/s] e) El tiempo que tardará en dar 100 vueltas al circuito. R.: 12591.3[s] f) Asumiendo que parte del origen, determinar la aceleración total, el ángulo que forma dicha

aceleración con el radio y la posición de acuerdo al Sistema Cartesiano en t = 25.73[s] y en el instante t = 73.33[s]

95. Un disco que parte del reposo es acelerado uniformemente hasta alcanzar 600/2 [rpm] en 5 [s]. Para un punto situado a 3 [m] del eje, encontrar la aceleración tangencial y centrípeta. a) ac = 300 [m/s2] : at = 6 [m/s2] b) ac = 100 [m/s2] ; at = 5 [m/s2] c) ac = 900 [m/s2] ; at = 6 [m/s2] d) Ninguna de las anteriores R.: a)

96. Una partícula gira con aceleración angular constante. La magnitud de su aceleración tangencial es igual a la magnitud de su aceleración centrípeta. Si parte del reposo, ¿qué ángulo habrá recorrido? a) = 0.4 [rad] b) = 0.5 [rad] c) = 0.6 [rad] d) Ninguna R.: b)

97. Un volante parte del reposo con aceleración constante, después de dar 100 vueltas la rapidez angular es de 300[rpm] Calcular. a) La aceleración angular. R.: 0.79[rad/s2] b) La aceleración tangencial de un punto situado a 20[cm] del eje. R.: 0.158[m/s2]

98. Una rueda de 30[cm] de diámetro parte del reposo y es acelerado uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 900[rpm.] en 20[s]. Mantiene esta velocidad durante los próximos 15[s] y finalmente se detiene en 15[s] más. a) ¿Qué distancia habrá recorrido un punto situado en su periferia en el transcurso del

movimiento de la rueda?. R.: S =459.5[m b) ¿Cuál es la aceleración total de dicho punto cuando han transcurrido 10[s] y 40[s]?. Indicar en

cada caso, el ángulo que forman la aceleración total y el radio de la rueda. R.: Para 10[s: a10 = 333.1[m/s2, 10 = 0.122º ; para 40[s: a40 = 592.18[m/s2, 40 = 0.0912º

99. Dos ciclistas parten del reposo moviéndose en sentidos opuestos sobre una pista circular de radio r = 50[m]. Si la aceleración angular del ciclista A es de A= 2[rad/s2] y la de B es B=3[rad/s2], determine:

a) ¿En qué tiempo y en qué posición se encuentran?. R.: .s54 ; r = (- 40.5 i + 24.4 j )[m]

b) En el momento en que se encuentran ¿qué ángulo forman sus vectores aceleración total?. R.: 18.8°

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