Base Ortogonal

Ejercicios resueltos

Sea R3 un espacio vectorial definido con producto interno (/). Además, S=(u, v, w) es

base de R3 tal que u=(1,-1,1), v=(2,1,1), w=(1,0,1)

A partir de S calcular una base ortogonal de R3

conociendo que:

║v║ = ║w║ = 1, v/(u+v)=0, (v/w)=0, (u/w)=4

Nota: El producto interno (/) no es el usual.

t3 =

║v║= 1

║v║=

v/(u + v) = 0 v/u + v/v = 0

v/u + 1 = 0 v/u = -1

(t1,t1) = (v,v)

(s3/t2) = (u/t2) = (v,v) = -1

(t2/t2) = (v/v) = 1

(s3/t1) = (u/w) = 4

t3 = (-1,0,-2)

T = {(1,0,1),(2,1,1),(-1,0,-2)}

En R2, determinar x, tal que (3,2) y (1, x+2) sean ortogonales.

Sea: u = (3, 2)

v = (1, x+2)

(u/ v) = 0

(u/v) = (3+2x+4)

0 = (3+2x+4)

-7 = 2x

Ejercicios propuestos

1.- Sea f: M2x2 M2x2 tal que:

a ) Dar una aplicación ortogonal para la imagen de f.

b) Completar una base ortogonal para el espacio vectorial M2x2 a partir de la base

calculada para la imagen de f.

2.- Sea (R3,R,+,*) un e.v. con producto interno (/)

S = (u, v, w) base de R3, u = (1,-1,1); v = (2,1,1); w = (1,0,1).

A partir de S calcule una base ortogonal de R3 , conociendo que:

║v║= ║w║ = 1, v/(u+v) = 0, (v/w) = 0, (u/w) = 4

Nota: El producto interno(/) no es el usual.

Evaluación

1.- Explique brevemente con sus propias palabras que es base ortogonal.

2.- Cual es la condición necesaria para que exista este tipo de bases.

3.- Ponga un ejemplo de base ortogonal en R2