YBanco de Vizcayak

BABESTUTAKO ARGITARAPENA

EDICION PATROCINADA POR EL

Banco de Vizcaya

'I ^

E=RLAT=I=B=I=T=ATEAREN=========

TEORIA..===__=ESPEZIALA

-

lejoa, 1978. urtea

Lan hau VI. Udako Euskal Unibertsi-

taterako prestatu da, urtean zehar

Zientzi Fakultatean egin diren min-

tegi batzutan.

Egileak:

Luis

Jose Ramon Etxebarria

BegoNa Jauregizar

BegoNa Zurimendi

AURKIBIDEA

Horria

SARRERA 1

1, GAIA : Erlatibitate klasikoa. Galileoren transformakuntza,

Uhinak 3

2. GAIA : Erlatibitatearen teoriaren sorreran garrantzia ukan

zutbn zenbait esperimentu: Doppler efektua. Izarren

aberrazioa. Fizeau-ren esperimentua, Michelson-Mor-

ley-ren esperimentua. Argiari buruzko teorien azter-

keta 17

3, GAIA Lorentz-entransformakuntza: Michelson-Morley-ren

esperimentuaren adierazpenak. Einstein-en printzipi-

oak, Simultaneitatea. Lorentz-en transformakuntza.. 32

4, GAIA : Lorentz-en transformakuntzaren zenbait ondorio :

Luzeraren kontrakzioa, Denboraren dilatazioa, Muo-

ien esperimentua 42

5. GAIA : Minkowsky-ren diagramak. Simultaneitatearen erlati-

botasuna, S eta S'sistemen adierazpen grafikoa

( x, t ) koordinatu-sistemen bidez. Minkowsky-ren

diagramak. Zenbait adibide 49

ii

Horria

6. GAIA : Erlatibitatea eta kausalitatea : Gertakarien

arteko unibertso-interbaloa. Kausalitatea.

Michelson-Morley-ren esperimentuaren adieraz-

pen berria

63

7, GAIA : Kinematika : Abiaduraren transformakuntza. Ar-

giaren abiadura iturriaren higidurarekiko in-

depandentea da. Azelerazioaren transformakun-

tzak. Abiadura propioa

69

8. GAIA : Zenbait fenomenoren azalpen erlatibista. Do-

ppler efektua, Atoi-koefizientea. Izarren a-

berrazioa. Bikien paradoxa

76

9 GAIA : DiMaMika. erlatibista : Momentu linealaren a-s-----

dierazpen ez-erlatibista, Momentu linealaren

•adierazpen erlatibista. Momentu lineal erla-

tibistaren kontserbapenaren legea, Masa eta

energia, Momentu lineala eta energia. Masa

nuluko partikulak, Fotoiak 86

BIBLIOGRAFIA 100

EUSKARA-GAZTELANIA HIZTEGIA 10{

SA R FIERA

XIX. mendearen buka.rako fisikariak herro zeuden beren jekituriaren

ahelmenaz. Sost ziren ordurarte Fisikaren atel negusiak: Mekan 4._ka, Elektri-

ka, Vagnetika, Optika eta Termodinamika.

Mekanika newtondarra ongi ereikirik zegoen: Ordurako,Mekan:.ka Anali-

tikoa Nagrange, Hamilton,..) egina zen, fcrmulazio siñple eta orokorraz,

gainera. Bestalde,Termodinamikaren gorabeherak mekanikoki azal zitezkeen,

eta honela, nolabait, Mekanikaren barnean geratzen zen Termodinamika.

•axv,,e11-en lanari eoker, argia uhin elektromagnetikoa zela frogatu-

rik zegoen,Modu honetan,Elektrika, Vagnetika eta, Optika, Teoria Elektro-

magnetiko bateratuaren atalak ziren. Beraz, laburtuz, bi atal nagusi zi-

tuen Fisikak: Mekanika eta Elektromagnetika.

Bi atalok elkartzeko, zailtasun handiak ziren. Hala ere,joan den

mendearen bukaera aldera,hainbat saio egin ziren biak lotzeko. Lorentz-en

eta Poicare-ren lanetan, lotzerako zeudn kontraesanak argi finkatu ziren,

eta,gainera,irtenbide matematikea cre proposatu zen. Baina irtenbide mate-

matiko horri ikuspegi fisiko ejokia falta zitzaion,

Egoera horretan hazirik, Einstein-ek sakonki aztertu zituen desber-

dirtasunok eta kontraesanok, eta espazio eta denborari buruzko aurreri-

tziengatik sortzen zirela asmatu zuen. Kontraesan horik deusezteko bi pos-

tulatu onhartu zituen batera. Lehena oinhrrizkoa zen Mekanikarako eta

bigarrena, Elektromagnetikarako. Eta biak batera betetzean,zer certatzen

zen hasi zen aztertzen, inolako aUrreritzirik gabe. Eiien arteko lotura

horretatik, Fisika Modernoaren hazkunderako hain garrantzizkoa izan den

erlatibitatearen teoria sortu zen, eta hauxe da, hain zuzen ere, ikastaro

honetan aztertuko duguna.

Ohar gisa, diogun ezen sistema inertzialak aztertuko ditugula soilik.

Hots, Erlatibitatearen Teoria espeziala aztertuka dugu, Teoria generala

alde batetara utziz,

Teoria espeziaiaren oinharria diren bi postulatuak,ondoko hauk dira:

1.- Sistema batetan Osorik eginiko esperimentuen erresultatuak ber-

berak dira,lehen sistemarekiko abiadura uniformez higitzen den

beste edozein sistematan eginik,

Postulitu hau erlati.bite ,= ren pestuLtLa da diccna

da, sisteme inErtzial baliokideak

2,- Edczein sistema inertzialekiko neurturik, argiaren abadurak Ez

du aroi-iturriaren higidureren dependentziarik. Kesu guztietan

abiadura berbera neurtzen da.

Postulatu hau arqiaren abiaduraren postulatua da

lehen eta bei bigerren postulatuak arlo klasikostan zeudbn idGia

arruntetatik sortzen dira,geroago ikusiko duzunez. Einstein-en originalta-

suna biak batera erabiltzen egon zen.

-3-

LEHEN GAIn:

ERL ATIBI T A T E KLASIKOA:

GALILZC-RE.N TRANSFORMAKUNTZA.

B.-11HINAK

-4-

Erlatibitcto klasikc,aren arauara, gertakri fisikoak modu barean ja-

zotzen dira E.düzin sis'_Lma inortzialetan; hau da, higidun: uniformez higi-

tzen diren sistona :uztiak, baliokideak dira.

Erlatihitatearen postulatu klasikocren garrantziaz eta ondorioetaz

jabetzeko, -interesararria da,lehenik eta behin erreferentziazko si.stema i-

nertzialak defin:_tzea etc-sero zenbait adibide jartzea. Horrela,aldakari

fisikoek sistema desbardinetan duten bolcrea eta balore desberdinen arteko

erlazicak definitu ahalko ditJgu.

Sistema inertzialak, Hiru Oimentsiotako espazioan, hiru ardatz koor-

dinatu definitzen dira (triodro ortogonal eta direktua) eta hauekin•batera

denbora ere kontsideratzen da. Denetara x, y, z eta t aldakariak.

Horrelako erreferentzi sistema bat inertziala izen dadin, bertan New-

ton-en lehen legea beste behar da:

"Kanpotiko inolako eraginik jasaten ez duten partikulak, abiadura

konstantez ( hots, azeleraziorik gabe ) higitzen dira sistema iner-

tzialetan".

Izatez problema'ttiki bat dago definizio honetan, baina gu ez gara

horretaz hemen arituko, Nahikoa dugu jakitea, ezen hitzarmenez, izar fi-

xoekin doan sistema, inertzialtzat hartzen dela. Eta bestelako hurbilketa

batez, Lurrarekin batera eta izar fixoei begira doan sistema ere inertzial-

tzat hartzen da,

Hurrengo puntuan, elkarrekiko abiadura konstantez higitzen Oiren

sistemen arteko erlazioak aztertuko ditugu: Horixe izanen da, hain zuzen

ere, Galileo-ren transformakuntza, Transformakuntza hau aztertzen ikusiko

dugunez, sistema bat inertziala bada, berarekiko abiadura konstantez higi-

tzen diren sistema guztiak ere inertzialak dira. Bestela esanik, Galileo-ren

transformakuntza honek erlatibitate klasikoa adierazten du ; erlatibitate

klaeikoaren adierazpen matematikoa GalileoLren transformakuntza da.

Arrazoi horiengatik, guztiz beharrezkoa da, Erlatibitate Teoriaren

azterketa Galileo-ren transformakuntzaren azterketatik hastea. Ikusiko du-

ganez, transformakuntza honetan kontserbatze-lege batzu agerikq dira, hala

nola luzerarena edo eta azelerazioarena. Halaber, denbora magnitude absolu-

tu gisa agertuko da, eta masa beti ere kontserbatuko da. Erlatibitate Teo-

-5-

rian Galileo-ren transformakuntza alde batetara utzi beharko dugus Lorentz-

en transformakuntza erabiltzeko; eta orduan, berriro ere aztertu beharko

ditugu "kontserbatze-legeak" eta "magnitude absolutuak", eta hainbat aur-

reritzi deuseztu beharko ditugu. Dena den, aldez aurretik esan behar da,

abiadura ttikien kasuan, Lorentz-en transformakuntza Galileo-renera erre-

duzitzen dela.

A.- GALILEC-REN TRANSFORMAKUNTZA

Lehenik, modu generalean aztertuko dugu transformakuntza hau. Demagun

bi , sistema cartestar ditugula: Oxyz eta O'x'y'z'. Sistema bakoitzean beha-

tzail bat doa ( B eta B'). Denbord, magnitude absolutu gisa hartzen da, eta

bi sistemetan doazen behatzaileek, sinkronizaturik dituzte erlojuak. Hots:

t = t•

Hasierako aldiunean (t=o) bi sistemen origenak puntu berean daude

( 0=-01 eta ardatz guztien kointzidentzia dago. Gero, O'x'y'z'sistema pa-

raleloki higitzen da oxyz sistemarekiko V abiadura konstantez.

-6-

Bi sistema hauetan doazen bchatzaileak, P puntuaren higidura azter-

tzen ari dira. Bi sistemetan puntu horrck dituen posizio-bektorean arteko

erlazioa, hauxe da:

r = R - r -

Bestalde : = V t

Beraz : r = V t - r'

transformskuntza bekt3rial honek eta denboraren absolututasuna adi-

erazten duenak Galileoren transformakuntza asotzen dute:

r =Vt- r

t t'

Ikus ditogun tronsfermakuntza honen propietateak :

i) Zer esanik ez, de(boraren eboluzioa mcdu berean neurtzen

tema bietatik, Magnitudo absclutua da,

Honela, bi certakariren artean dageen denbora-tartea, berbsra

nen da edozein behatzailerentzat

t2 - t l = t; - t;

Eta hori, 1 eta 2 gertakariok nonnahi jazotzen dir-larik.

Kasu honetan, ba, simultaneitatea ere kontzeptu H7Jr_clutua da. Hsts

ber batek hi gertakari desberdin aldiune O g rean :,,ertaton

dircla ikusten badu --hau,daimultaneoak direla ikuten badu--,

behatzaile horrekin Galileoren transformakuntzaren bidez erlzien1:-

turik dancen beste edozein behatzailek ere, simultancoki iku.7ikn

bi gertakariok.

t2 = t, baldin bada,

-7-

t = o = t' - t'2 1

Beraz, t2 = t:

ii) Kontsi,dera dezagun, bi puntu desberdinen artean ( P eta

artean ) dagoen distantzia. Denbora absolutua izanik, B-k eta B=k

aldiune berean neurtuko dute distentzia hori:

131 puntua : r = V t - r'

puntua : r2 = V t -

kenketa arrunta eginez:

r2 - = r'

- r = r'-.-

/ I I 2 f I

Hau da, bi gertakari simultaneoren artean dagoen distantzia espa-

ziala, magnitude absolutua da : Edozein behatzailek distantzia ber-

bera neurtzen du,

iii) Hala ere, abiadur6 kontzeptu erlatibo bat da. Kontsidera ditza-

gun P puntuaren posizio -bektoreak :

r = V t - r'

Deriba dezagun expresio hau denborarekiko oxyz ($) sisteman:

(d;)

-•= V

dt dt

Hemen • dr =( -,-1

dtis

7: S sistemako behatzeileak (B-k) neurtzen duen

abiadura

( -'\dr= zeren eta S'sistemak ez baitu biratzen $

dtS

dtsistwerekika

Ç

d;= v' : S'sistemako behatzaileak (3=k) neurtzen duen

dt ,abiadura.

-8-

Beraz, erlazio hau dago abiaduren artean:

=

Ikusten denez, sistema bakoitzetik abiadura bat neurtzen da, eta

abiadura biak aurreko formulaz daude erlazionaturik, Puntu hau oso

garrantzizkoa da, Erlatibitatearen Teorign lortzen diren erresulta-

tuekin konparatzeko eta,prezeski, argiaren abiadurarekin gertatuko

dena eztabaidatzeko, Hain zuzen ere, Erlatibitatearen Teoriaren sor-

reran, formula honen extrapolazioaz sortzen ziren paradoxek garran-

tzi handia ukan zuten.

iv) Azelerazioa kontzeptu absolutua da.Abiadurak erlaZionatzen dituen

expresioa, berriro ere S sisteman eta denborarekiko deribatuz:

(

dv)

Id7)

dtjs tftis

Hemen : V

t

= K r-- denez ,

t' izanik ete

dV) o

dt

birarik ez egonik

\11,

dt fIS

= .5-Y1=dt'l-./S

-ai>": S'sistemetik neurtz,,n den

azelcruzioe

= a S sistemutik riL:urtzen den ezule-xaZica\dts

FlerLz, z.re:

a = a '

Hau da, bi sistemetako behatzaileek azelerazio barbera neurtzen

dute: Azeler3zicam,2nitude ebsolutua de transformakuntza honetan.

Horregatik, sistema bietako bat inertziala bada (hots, bertan par-

tikulaaskatu bat abiadura konstantez higitzen bada, bi-

garrena ere inertziala da ( zoren v = V v' = kt3- baita ).

v) Galileoren transformakuntzarekin betera, •!ekanika Klasikoen mwsa

ez dela abiedurarekin aldetzen onhartzen da.Honela, abiadura edozein

izanik, momentu linealaren eta indarraren adierazpenak ondcko hauxek•

dira: -I = m

dp d(4dvm m a

dt dt dt

vi) Aurreko puntuan finkatuz, Galileoren transformakuntzaz erlaziorL

turik dauden edwein bi behctz:.ilek, indar berberak ikusiko dituzte

eragiten p:Ttikula ber batetan;

a = a'

eta m = m' denez,

F= F'

Indarren absolututasun honen kausaz, Dinamikaren legeak modu berean

ikusten dira, Galilcoren transfomakuntza batez erlazionatzen diren

sistemetan. Hauxe da, azken batez, Erlatibitatearen Teoriaren Lehen

postulatuaren oinharria.

Adibidea: Galileoren transformekuntzaren kasuan Dinamikaren legeak

inbarianteak direle ikusteko, adibide bat jarriko dugu, Erabil de-

zegun, adibidez, momentu linealaren kontserbapenaren legea, sistema

mekaniko isclatua osotzen duten bi partikukaren txokearen kasuan.

Eta azter dezagun kontserbapen hori bi sisteme inertzialetatik.

—1 0-

Neurketak

B behatzeilea B' behatzailea

iA(?.1i-San Offilign

U•

Mas .)52an i3lOgn Masa

1. gorputza m u U m u'

2. gorputze m 11 U m u' U'

Txoke aurreko eta txoke ondoko partikulak berberak direla kontsideretyko

dugu.

a) Azter dezagun problema S sistematik.

Bi gorputzek osotzen duten sistema mekanikoa isolatua izanik, momen-

tu lineal osoa kontserbatu egiten da txokean. Beraz:

m 4 u4 4 m2 u2 = + m2U2

b) Ikus dezagun zer gertatzen den Galileoren transformakuntza erabiliz.

•••••

v = V + v' denez,

( n•n• , —••• —10 s

m i I V 4 u; J + m2 I V + u;) = V + U;) + [11 V U;)

Eta hemendik :

m i u' + m 2= m, + m2 U'

Honek zera esan nahi du, halegia, S'sisteman ere momentu lineala

—1 1—

kontserbatu egiten dela txokean.

Adibide honetan, ba, Dinamikaren oinharrizko lege baten inbariantzia

aztertu dugu, Beina, eraman duoun prozedura matematikoa arakatzen badugu,

inbariantzia hori ondoko arrazoiengatik gertatu dela ikusiko dugu:

1.- Galileoren transformakuntzaren izakeragatik

.4. •- ► ,•n•••

u = V - u'

2.- Masaren kontserbapenagatik

m 4 + M2 = M4 + m2

3.- Momentu linealaren definizioagatik

Erlatibitatearen Teoriaren barnean arrazoi hauk beteko ez direnez,

kontzeptu dinamikoen errebisio osoa egin beharko dugu.

Galileoren transformakuntza baliagarri bat

Gai honekin bukatzeko, gerorako baliagarri gertatuko zaigun modu ba-

tez idatziko dugu Galileoren transformakuntza,

Hurrengo irudian 5 eta S'sistemak adierazten dira. Hasierako aldiu-

nean ( t = t'= o ) bi sistemak kointzidentzia osoan daude. Eta denborare-

kin, S'sistema v abiaduraz higitzenda S-rekiko, x ardatzaren direkzioan.

,Y1

r = R

delako expresioa hcnela idazten da

-12-

edo

x x' 4- V t

Y = Y'

z = z'

t t•

A" = x — V t

Y' = Y

z' = z

t' = t

Modu berean, abiaduren arteko erlaziosk idwtz ditzakesu :

ux = uX - V UX = u„ - V

uy =

u, = u;

edo =

u; =

uy

-13-

B. UHINAK

Uhin izena,Naturan gertatzen diren fenomeno batzuri ematen zaie,

Fenomeno horien izakera ondoko hau da : Espazioko puntu batetan perturba-

zio bc.t 3ertatzen da. Perturbazio horrek eragina du inguruko plintuetan,

eta hedatu ejiten da Espazioan zehar, Perturbazioaren hedapenaren abiadura

fase-abiadura deitzen da,

Fenomeno heu adierazten duen ekuazio diferentziala, ondokoa da:

ir 2( (1g Ìg_.£

'? 0V 2 22

Ekuazio honetan letra bakoitzak zera adierazten du

: perturbazioa (x, y, z, t )

t : denbora

x, y, z, : posizioaren koordinatuak

v : fase-abiadura

Lehen sailkapen batetan, eta Erlatibitatearen Teoriaren historian

duten garrantziagatik, bi eratako uhinak aipatuko ditugu:

a) Uhin mekanikoak

Uhin hauek ingurune bat behar dute hedatzeko: Uhin elastikoak eta

presiozkoak ditugu. Perturbazioa puntu batetan jazotzean, inguruneko

materiaren arteko lotura dela eta ( elastizitatea, presioa,...) al-

boko puntuetara pasatzen da, Honelako uhinak ez dira hutsean hedatzen.

Izan ere, uhin hauk intuitiboenak dira. Eta aurreko mendeko fisi-

kariek uhin guztiek horrelckoak izan behar zutela uste zuten, Eta ar-

giak ere inguruno bat behar zuela uste zuten; hortik zetorren etere-

aren premia. Uhin hauen artean uretako olatuak, soinua, solidoetako

uhin elostikoak eLa beste ditugu.

b) Uhin elektromaimetikook

Hauek hutscon ere hedatzen dira, c abiaduraz hain zuzen ere

( c = 3 x 10 m/s ). Konkretuki, argia uhin elektromagnetikoa da.

Beste sailkapen batzu ere egin daitezke, hala nola uhin longitudi-

nalak ( zeintzuetan perturbazioaren direkzioa fase-abiadurarena baita )

eta uhin transbertsalak ( zeintzuetan perturbazioaren direkzioa eta fase-a-

biadurarena perpendikularrak baitira).

Uhinak, berez edozein eratako perturbazio baten hedapenak dira. Baina,

gehienbat uhin periodikoak erabiltzen eta aztertzen dira. Eta Fourier-en

analisiaren bidez ikusten denez, hauk guztiok uhin harmonikoren bilketa

gisa azter daitezke, Uhin harmoniko unidimentsionalaren adierazpen genera-

la hauxe da ( distortsiorik gabeko uhina ).

50 5Ln k ( x trt) = s44 2 R t

(x,0 , 5,

Adierazpen honetan erabiltzen diren magnitudeak, ondokoak dira:

anplitudea

uhin-luzera

k uhin-numeroa

p : periodoa

4 : frekuentzia

),)>,=t7 : fase-abiadura

2rry.ca: frekuentzia angularra

Fisikaren magnitudeei dagokienez, uhin-higiduran energia eta momen-

tu lineala hedatzen direla esan behar da.

Erlatibitatearen Teoria aztertzeko gaudelarik,gehien interesatzen

zajzkigunak uhin elektromagnetikoak dira, nahiz eta, problema historikoa

ulertzeko, uhin mekanikoetatik abiatu beharkc dugun, eta hasiera batetan,

XIX, mendearen bukaerako fisikarien eritzitik abiatu beharko dugun ; hots,

hasiera batetan, uhin elektromagnetikcak eterean zehar hedatzen diren uhin

mekanikoak bailiren aztertuko ditugu.

Dena den, gai hon,tan uhin elektromagnetikoen zenbait propietate

aipatuko ditugu,

—15—

Maxwell-en ekuazioetatik, uhin elektromagnetikoetako perturbazioak

E( eremu elektrikoa ) eta B ( eremu magnetikoa)direla ikusten da,Per-

turbazio hauk laun perpendikularretan gertatzen dira ( ikus irudia ) eta

trnasbertsalak dira hedatze-abiadurarekiko. Maxwell-en ekuazioetatik lor-

tzen denez, honelako ekuazio diferentzialak betetzen dituzte hutsean:

4 aaE.

ta ?xa

,«2 6 ,a23

t2 =- 4, ),(0 'a x2

Hemen E.: hutsaren permitibitate elektrikoa

hutsaren permeabilitate magnetikoa

Ikusten denez, uhin-higiduraren ekuazio diferentziala. Baina, uhin

mekanikoez bestalde, hutsean ere hedatzen dira, Hedatze-abiadura hauxe

c1

3 x 10 m/sEe.ro

Materian zehar, argia v abiaduraz hedatzen da, erlazio hau betetzen

delarik:

-1 6-

n = —

v

n delakoa, errefrakzio indizea da,

Bukatzeko, uhinek dituzten propietate batzuren izena aipatuko dugu:

isladapena, errefrakzioa, difrakzioa, interferentzia eta beste, Doppler

efektua ere aipag=ia da, hurrengo gaietan ikusiko dugunez,

-17-

BIGARREN GAIA:

ERLATIBITATEAREN TEORIAREN WRRERAN WIRANTZIA UKAN

ZUTEN ZENBAIT ESPERIMENTU

- Ooppler efektua

- Izarren aberrazica

- Fizeau-ren esperimentua

- Michelson-Morley-ren esperimentua

- Argiari buruzko teorien azterketa

3ARPASRA

Historian zehar-fisikariek bi teoria azaldu aituzten, argia zer

den adierazteko.

Teoria hauk, teoria gorpuzkularra eta teoria ondulatorioa dira.

Teoria gorpuzkularra PitagoraseR asmatu zuen. Teoria honetaz, ar

gia lerro zuzen batez higitzen dela adierazten da, baiaa ez ditu bea

te fenomeno batzu azaltzen.

Adibidez: difrakzioa polarizazioa e.a., fenomeno hauk aztertzeko

Hooke-k teoria ondulatoria proposatu zuen, eta geroago Huygens teori

a honekin segitu zuen.

Huygens-ek isladatzea eta errefrakzioa, frogatu zituen, teoria on

dulatoriaren bidez.

Huygens-en bidean mendean Young-ek interferentzi fenomenoa aa

aztertu zuen, eta r'resnel-ek interferentzi fenomeno, difrakzio, eta

polarizazioaren kalkuluak egin zituen.

Orduan, teoria ondulatoria finkatu zen.

argia uhin bat balitz, ingurune bat beharko luke. InEuru-

ne honi, eterea deitu zioten.

Hasieran, argia hhin mekaniko gisa konsideratzen zen, baina propo

samendu hau onharturik, etereak propietate arraroak eta elkarrenkon-

trakoak edukiko lituzke.

Hau da argiaren abiadura beste uhin mekaniko baten abiad.ura baino

handiago izanik, eterea oso "mehe" izango litaateke, baina beste ald

de batetik, indar errekuperatzaile handiak ukan beharko lituzke.

1861-ean Maxwell-ek argia uhin elektromagnetikoa zela esan zuen.

Honetaz, argiaren teoria ondulatoria are gehiago, finkatu zen. leo-

ria honen arauera argiaren abiadura, edozein ingurunetarako, neur li

teke, propietate elektriko eta magnetikoen bidez.

-19-

Hots, argiaren abiadura eta argiturriaren higidura independien---

teak lirateke.

Teoria ondulatoria onhartuz, fisikariek lurraren abiadura eterea-

rekiko neurtzen hasi ziren. flonetarako esperimentu batzuk eEin zi--

tuzten.

DO2ELh .1?'"E.KTIJA

Uhin bat begiratzean, ez da beti frekuentzia berdinez neurtzen.

.ftekuentziak iturriaren eta behatzailearen higidura erlatiboaren de-

pendentzia du. Efektu hau, Doppler efektua deitzen da.

Orduan demagun, S iturria eskuinerantz higitzen dela inguruneare-

kiko, eta ingurune hau eta 0 behatzailea geldirik daudela. '

Iturriak, A puntuan dagoenean, uhin bat jaurtikitzen du, uhin hau

zjrkungerentzia bat da.

Baina beste uhinak sortaen direnean, iturria beste puntu batzue--

tan egongo da eta orduan hhin hauei dagozkien zirkunferentziak gero

eta eskuinetarago egongo dira. Baina, uhinen abiadurak iturriaren a

biaduraz ezerikusirik ez duenez , eskuineko behatzaileek ezkerreko -

behatzaileek baino frekuentzia handiagoa neurtuko dute.

-20-

Irudia ikusten dugun bezala, iturria v abiaduraz h.Litzen da eta

bereak sorterazten duen uhina1 puntuan dauoenean, 0 behatzailearen

gana heltzen da. eangulua, iturriaren abiadura eta behatzailearenga

nako norabidea formatzen duen angulua da.

Iturriak bigarren uhina sorterazten duenean, S 2 puntuan dago eta

fs iturriaren frekuentzia bada, thin bien artean, daroen den4ora lif

izango da. Denbora honetan, iturria v/f s distantzia higitzen da eta

orduan S1S2=v/fs.

Lehengo uhina t=0 denboran sortzen bada, 0 puhtura t1=r

1/c denbo-

ran helduko da.

Bigarren uhina 1/f s denboran sortzen da eta r 2/c denbora behar du

0 puntura heltzeko eta orduan 0 puntura helduko da t2=1/fs +r2/c --

denboran.

Orduan, uhin bien artean dagoen denbora, O puntura heltzen direne

an,

p+ ---r - ,tc c

\Y. , ?' (

baina S,sd L 1(1. citços.6-

eta orduan:

r , u)S _ _ los 9-At: 4.

iS c.

eta "jc1"1"'1:$

Y- (.4(5')

Orduan, 0 behatzaileak neurtzen duen frekuentzia

io = i3-AtT C14,4t i-X-cose-

cosepositiboa bada, f o frekuentzia, fs baino handia$p izango da.

cose,negatiboa dendan, f s , fo baino handiago izanro da.

Eta aurkako kasu honetan: Behatzailea, iturrira hurbiltzen denean

+ )tz

-21-

Geroago, erlatibitatearen teorian, berriz Doppler efektua aztertu

ko dugu.

AbEb-AZIGA

XV111, mendean i)radley-ek izar batetarik lurreraino dagoen distan

tzia neurtzen saiatu zen,

Hau eEiten ari zenean, fenomeno berri bat, aurkitu zuen. r'enome-

no hau ez zegoen lurraren posizioarekin lotuta, baizik bere eklipti-

kako puntu batetako hiEiduraz, eta beraz ez zen paralaje efektua.

Hau, izarren aerrazioa deitzen da. Arciaren abiadura neurtzea,

ordea posible zen.

Irudiak lurraren eklintika euzkiarekiko azaltzen du, eta izar --

tat lau posizio des -cerdinetan ere bai lurretik Le.,Tiratuz.

Izarraren altitudea ek1iptikaren planurekiko, anEulua da.

Bo

.2 •

—22—

Lurraren posizioaren aldaketagatik, altitudea 2. posizioan handie

na izatea, itxaroten dugu, eta 4. posizioan txikiena. bradley

-ek 3. posizioan altitude handiena eta 1. posizioan altitude txikie-

na aurkitu zituen.

Fenomeno hau, azal dezagun:

a) Lur geldi batetan, teleskopioak kangulua formatuko luke.

b) Lurra higitzen denean, teleskopioak beste angulu bat,6 ,-, for-

matuko luke, 9s Ao izanez.

eta fY„-en artean desberdintasuena oC aberrazioa da.

Aberrazio efektua, lurra abiadura konstante batez higituko balitz,

ez litzateke inoiz aurkituko.

3. irudia ikus dezagun:

1. eta 3. posizioetan, lurraren abiadur 1:-ektoreak, d)ta e,uzkitik

izarrera doan lerroak 90°-ko an gulua formatzen dute; posizio haue--

tan 4-1Au. .2n . v

d_aberrazio angulua eta v eguzkiarekiko lurraren abiadura izanez.

c, 1-4 3 r),5.2i,-,e (e, .

-23-

Orduan, urtean zehar, izar batek ekliptika bat egiten duke, gure

eritziz. Ekliptika honen ardatz txikiak 2vsin&o/c balio du, eta ar-

datz handiak 2v/c balio du. Bradley-ek metodo honen bidez, c argia-

ren abiadura neurtu zuen.

Ikusten dugun bezala argiaren teoria gorpuzkuarra onena izango

tzateke, esperimentu hay adierzateko, lurrera erortzen den euria be-

zala da eta.

Baina teoria ondulatoria onhartu zutenez, konklusio batzu asmatu

zituzten:

a) Eterea libreki teleskopioan sartzen da.

b) Lurrak berekin, ez du etererik eramaten. Eramango balu, ez -

litzateke aberraziorik enongo, etereak argia ere eraman go luke eta,

eta teleskopioak betS, &o angulua formatuko luke.

Baiezpen honek, lurraren abiadura eterearekiko neurtzeko posibili

tate bat emnten du.

Abiadura hau neurtzeko, aberrazio exoerimentuan aldaketa bat egin

go dugu.

Experimentua aldaturik.

Experimentu honetan, e-o =90 3 hartzen dugu, eta aberrazio angulua

neurtu nahi dugu.

v lurraren n.H.adura eterearekiko neurtzeko, teleskopioa rrez bete

ko dugu. Ingurune honek, n errefrakzio koefizientea du.

Argiak teleskopioan zehar pasatzeko, denbora gehiago erabiliko du.

Orduan, 'f-,aberraZio angulu berri bateraino, ipini beharko dugu .teles-

kopioa.

lentsa dezake gu, =nv/c izango dela, baina arziak haizetik ureta

ra pasatzean errefrakzio bat pairatzen du. Errefrakzio anEulu hau,

deitzen dugu, eta orudan,

V

eta orduan vtor-a.:

,„ 1).si-orduan

–24–

s;it rs,rn

Çix 8".

Orain, areiak c/n abiaduraz hi gitzen da eta teleskopioa abiadu-

raz. Izarraren irudia begira heltzeko baldintza hauxe da:

Nagnitude guztia neur ahal ditugu, v salbu. zer gertatu

zen, experimentua egitean?

Ex zuten izarraren posizioaren aldaketarik aurkitu.

onen adierazpena, 1,resnel—ek, atoi—koefizientearen bidez eman --

zuen.

har dezagun, f urak a ia ernmaten dueneko v,abiadurara,•n frakzioa

dela.

",:xperimentuak aberrazio angulu berria eta olangulua berdinnk

rela azaldu zuen, eta orduan

Ieleskopioaren luzera. 1 bada, ar giak irauten duen denbora telesko

pioaren zehar, nl/c dateke.

Denbora honetan, teleskopioa vt distantziaz higitzen da. Distan-

tzia hau, teleskopio barruen ar gia errefrakzioagntik higitzen den 1

distantziaren, eta urak eramaten duen fvt disLantziaren botudeta da.

vt

Baina

C KL.` =V j'–111"

LAL

—25—orduan =(s 4-/„,)

Erresultatu honekin, izarren aberrazioaren lehenengo adierazpena

desegin zuen Izarren at. errazioa, hasierar4 argiaren abiadraren eta

lurraren abiaduraren batuketaren bidez azaldu zuten. uaina orain, e

experimentu aldatuaren erresultatuak desberdina ezan beharko luke, -

ars,earen abiadura urarekiko desberdina da eta.

Fresnel-ek beste irtentiderik aurkeztu zuen:

A) Eterea geldirik dago, ingurune transparentietan salbu.

b) Ingurune hauen barruan eterea ingurunearen abiadura baino a--

biadura txikiagoz higitzen da n2-1/n

2 ffia(nerrefrakzio koefizientea)

faktorea izanez.

hurrengo experimentua, Fizeau-rena bigareen ideia frogatzen saia-

tuko da, eta Michelson-Korley lehenengo ideia aztertzen saiatuko dif

ra.

FIZEAUhiE1,1 EXF.AdMbWItA

Fizeau-k Fresnel-en atoi-koefizientea neurtzeko tresna bat asmatu

zuen. Tresna hau, irudian dagoena da.

argirurri batetik, izpi bat irteten da. P izpiluak izpi hau er

di bitan zatitzen du.

Lehengo zatia, errefrakzio batez A1 izpiluraino heltzen da, lerro

zuzen batez. bigarren tatia, isladatze batez, M izpilura heltzen 43

Tr;

da, 90°—ko isladatze angulu egn et geró.

izpiluareJ bidz, izpiaren, zati ;.iek bide berbera egiten dute,

eta P izpilura berriro heltzen dira, zati bat isJfadatzen da, eta bes

tea errefrakkzioaren bidez, i teleskopiora heltzen dira.

Argi monokromatikoa erabiltzen abdu qu, interferentzi lerroak ikus

ten dira teleskopioaren bidez. •

Lerro bakoitzak, bide optikoan desberdintasun bat dagoela esaten

diFu.

Atoi-koefizientea lortzeko, irudiko hodi bietatik ura sartzen du-

gu. Hola, argi izpi bat ur higiduraren norabidean higitzen da eta -

bestea norabide honsn aurka.

Hodietatik kanpoan, bide optikeak izpi bientzat berdinaK dira, ba

ina hodi barnean desberdintasun bat daFo.

Hodiaren luzera 1 bada, v uraren abiddura eta f atoi-koefizientea,

orduan, denboren artean dagoen desberdintasuna izpi bientzat

4(1- 1-Vc11440

hau da At "14%itc4

Orduan bide optikoen diferentzia c,Tt4 izango da. (> uhinaren ;

luzera izanez).

r 41444vtHau da: oz------

Xe

Fizeauk, bere experimentuan f ^,0,48 aurkitu zuen , eta f=1-Vn 2 -

formula honen bidez neurtuta fa.0,43 da.

Hau, atoi-koefizientearen froga bat izan zen.

Dena dela, orain arte ez dakigu, zein den lurraren abiadura etere

arekiko.

MiCHELSON-MORLEY-.E;fl ESPERINENTUA

') Maxwell-en proposamendua.

-27—

Michelson-orley-ren experimentua baino lehenaf • , Aaxwll-ek eguz-

ki sistemaren abiadura eterearekiko neurtzeko, experimentu bat asma-

tu zuen, Jupiterren satelite baten eklipsen bidez.

Jupitereek, 12 urtetako periodoa du, eta orduan urte erdian lurra

A puntutik y puntura doan artean Jlipiter ez da askorik higituko bere

ortitan.

Orduan A puntuan eta puntuan luera da goenean eklipseen denborak:

neurtzen baditugu, argiak lurraren orbitaren diametroa pasatzean ira

uten duen denbora jakin dezadegu.

Baina denbora hau neurtzeko, bageneki, Jupiter A' puntuan eta B'

puntuan noiz dagoen (hau da 6 urte gutxi gora behera), orduan eteree

rekiko eguzki sistema abiaduraz higitzen den jakinen genuke.

Hau da, 1 lurraren orbitaren diametroa bada:

-t-+-v c-V

At aLle:

Maxwell-ek ezina zuen efektu hau aurkitu, guztiz txikia zen eta.

Baina Michelson-ek posibilitate bat aurkitu zuen formula honen bi

dez, abiadura eterearekiko neurtzeko.

B) Michelson-en experimentua.

Michelson-ek tresna bat, sos hospetsua asmatu auen: Michelson-en

interferometroa.

Argia, S argiturritik irteten da, eta P xaflaraino heltzen. P x£

flen argia erdibitzen da; zati bat M 2 izpilura heltzen da eta beste

-28-

n,

zatiak P xafla pasatzen du, eta M,-ra helduz.

M1 izpilura heldu den izpiak bide berdina, baina aurkako zentzuan •

egiten du eta berriz P xaflara heltzen, eta han, bere zti bat isla-

datu eta gero, T teleskopiora aileratzen da.

M2 izpilura heldu den izpia, itzultzen da, C "konpentsazio" xafla

baten bidez eta T teleskupiera heltzen, beste izpiarekin l-Jtern.

P xaflak 45°-ko angulu bat formatzen badu, eta izpiluak 90 o-ko an

sulu bat, bien artean, interferentzi lirro batzu arertuko dirateke.

Lerro hhuk, zuzen daitezke, izpiluen zuzendeta e#in eta gero.

1 1 eta 1 2 bide optikoak badira, orduan 2(1 1-1 2 ).m baldintza

kagu interferentzia ikusteko m zenbaki osoa izanez.

Demagun, Michelson-en tresna PM, norabidean hisitzen dela, v abie

4uraz eterearekiko. Laborategiko sisteman, eterear haixe bat erongo

da tresna gainean.

Orduan P-tik, M 2-ra eta P-ra doan argiak, haize horretan

angulu batezsartu beharko du, holaxe izpiaren abiaduraren eta ete--

rearenhaizearen abiaduraren batuketak, PM 2 norabidea ukanez

Batuketa honek, (c2-v

2) balio du. Galileoren abiadura konparaRe

ta erabiliz, interferometroarekiko. P-tik, M 1-ra doan argiak c-v a-

biadura ukango du, eta M1-tik p-ra doanak, aldiz, c v abiadura ukan

go du.

Iha

-29-

Orduan, argiak erabiltzen dituen denborak P-tik izpilu bietaraino

joanpetorrian, hauk izango dira.

t, -2 1,c _ 2tlic

4-V CA-Yvikt

2 1c.

vikgy'

Orduan v izanez:

t, .= c,

bit 4, -

c3 C3

Orain, tresna osoa 0°-ko bira egiten ba dugu, PM 2-ek abiaduraren

norabidea ukangn du.

Eta horrela denboraren desberdintasun berria izango da:

t _{2 2 (, 11 \_11) 222_ ( -4- It./e..z-i.)

J,C4 c

A t n•n 2_i_tylli) 4_ ,t 111 _

c> c3

eta b. t -ren artean dagoen desberdintasuaak, interferentzi lerroen

:akdadeta bat egibgth dy,

Lerroen korrimendu hau, da ct4 a‘j

Ltt ÷.2-'1) L• A

VICAL.

.ota 1 1=1

2=1 Rasuan orduan:

Emaitza kalkulatua hauxe zen: Laina Plichelson-ek ez zuen

korrimendurik aurkitu. Bere konkluzioa hau zen: Ez zen etere geldi

rik existitzen.

Baina ez zen konkluzio hau oahartu, eta fisikariek beste adieraz-

pen bat pentsatu zuten. Holaxe Lorentz-ek, Fresnel-en teoria onhar-

tu zuen, eta Michelson-en konklusioa bateratzeko teoria berri bat as

matu zuen. Teoria honek, abiaduraren norabidean doan besoa laburtu

egiten dela dio. Laburpen honek balio du. Hau da Lorentz-

en kontrakmboa.

Experimentu hau, erlatibitatearen teoriarako oinarri sakon bat -

da.

AZTERKETA OROKORRA.

Experimentu guztien irtenbideak, taula batetan bil ditzakegu.

T.Gorpuzkularra T.Ondulatorioa

argia lerro zuzenaz Ongi Ongi, uhin luzera

higitzen da. izpiren zabalera ba-

d.

Interferentzia eta

difrakzioa

Ez da adierazten. Ongi.

Argiaren polarizazio

a.

Ez da adierazten. Ongi.

Argiaren abiadura e-

ta iturriaren abiadu

ra independenteak di

ra.

Aurka Ongi.

Argiaren abiadura ai

rean argiaren abi

adura uretan.

Aurka OnFi.

-31-

Fizeau eta Airy-ren Ingurunek argia e- Ingurunek argia e

experimentua. raman behar du. raman behar du.

Izarren aberrazioa. Ongi. Ongi, lurra eterea

reliko higitzen ba

da.

Michelson-Morley ex Ongi. Lnrra ez da eterea

perimentua. rekiko higitzen.

-32-

HIRUGARREN GAIAt

LORENTZ-EN TRANSFORMAKUNTZA

- Michelson-Morley-ren esperimentuaren adierazpenak

- Einstein-en printzipioak. Simultaneitatea.

- Lorentz-en transformakuntza.

-33—

islieuELL. 1V - ,,OLEY-RliL xDIE,AePEAK.

Aurreko ,aian ikusi dugunez, Michelson eta Aorley-k be

ren esperimentuarekin eterearen existentzia frogatu eta berarekiko

Lurraren aeiadura neurtu nahi zuten. Horretarako, le"nendabizi Lu-

rraren higiduraren sentidoa jarritako interferometro batetan, in-

terferentzi lerroak lortu zituzten. Ondoren, interferometroa bira

tuz, beste interferentzi lerro batzu lortu zituzten. Lerro berri

hauk teorikoki kalkulatutako distantzian larraturik agertu behar

ziren. Baina, ikusi genuenez, lerratzea askoz laburragoa gertatu

zen.

Emaitza honek zalantzan jartzen zituen orduo teoriak

eta fisikariak azalpen zuzen bat bilatzera saiatu ziren. Ikus ditza

gun ondorengo urteetan emaniko azalpen batzu:

1,iichelson-ek berak eman zuen azalpen bat. Lerratzea

agertzen ez bazen, Lurra eteretan higitzen ez zelako zen. Lurrak

berarekin erakartzen zuen eterea. Honela bere esperimentuarexin

emaitza explika zezakeen arren, Fizeau-k airearekin eginiko espe-

rimentuaren emaitzen kontra joango litzateke, bertan airea eterea

erakartzeko gauza ez zela ikusten baitzen. Horrez gain, izarren

aberrazioaren behatzearen ondoriotzat, Lurra eteretan

zela lortu genuen. Ez dirudi, beraz, Nichelsonen adierazpena zu-

zena zenik.

Fitzgerald eta Lorentz-ek, bakoitza bere aldetik,

adierazpen harrigarri bat eman zuten. Bere ardatzaren direkzioan

v abiaduraz higitzen den edozein barrak, eteretan higitzeagatik,

bere luzeran kontrakzio bat pairatzen du, non kontrakzio horren

balida y 1- v2/c2 faktorea den. Baina hau horrela balitz, kris-

tale isotroporik formatzerik ez legoke, zeren kontrakzioa luzeran

soilik eta ez beste direkziotan gertatzen baita, eta, ondorioz,

sare kristalinotan akatsak ageriko bailirateke. Kontrakzio horrek

Michelson-Morley-ren esperimentuaren emaitza explikatuko luke,

baina ikusi dugunagatik ez zaigu onhargarri egiten.

Ritz-ek, aldiz, beste azalpen hau eman zuen: Eterea ez

da existitzen, Maxwell-en ekuazioetatik bi bakarrik daude ondo;

Ampere eta Gauss-en ekuazioak ez ditu ametitzen, eta argiaren abia

durak iturriarekiko bakarrik balio du c. Baina Ritz-en adierazpena

ontzat harturik, ezin genezake iturriaren abiadurarekiko argiaren

abiadurak sortzen duen Doppler efektua explika.

Einstein-ek ez dio hauziari zuzenki erantzuten, fenome-

-34-

no hori explikatuko lukeen teoria baten oinharriak jartzen baino.

Uinharriak, bi printzipiotan dautza. Dakusagun teoria berri hau

hots, erlatiitate espeziala, eta ero juzkatuko du-

gu beraren baliotasuna.

EINSTEIN-EN Pillj, =.)TAK. SIMULTANEITATEA.

Erlatibitate espeziala bi printzipio hauetan finka-

tzen da:

1.- ERLATIBITATE PRINTZIPIOA.- Lege fisiko guztiak inertzi errefe

rentziale guztietan berdinak dira. Printzipio honek logikoa diru

di. Gorputz bat berdin erortzen da mahai batetik zein higitzen ari

den-auto beten barruan. Hau horrela ez balitz bilarrean, esate -

baterako, udaberrian edo udazkenean jokatzea arras desberdina

tzateke Lurraren abidura aldatu egiten baita.

2.- INBARIANTZIA Arigiaren abiadura beti da c, argi

turria eta behatzailea zeintzu direnak direlarik. Printzipio hau

ondo dagoenik ez dago batere argi, Galileo-ren transformakuntzaren

kontra baitoa.

Ontzat eman dezagun oraingoz eta dakusagun nora ga-

ramatzan.

Printzipio honen arauera beharrezko da gertakari bat

noiz jazotzen den jakiteko leku berean dagoen erloju batetan neur-

tzea, zeren neurketa urrun xamar dagoen erloju batetan egiten badu-

gu, jazotzen den unetik neurtzen dugun unera denbora tarte bat pa-

satuko baita. Baina gertakari bat jazotzen den leku bakoitzean ezin

dugu erloju bana ukan, beraz oso garrantzitsua litzateke beste erlo

ju batetan neurketak egin ahal izatea. Horretarako ez du edozeinek

balioko, propietateren bat kunplitu beharko du eta.

Demagun erreferentzi sistema bateteko 0 origenean

gertatuko dela jazoera, bertan erloju bat ukanen dugula, eta beste

puntu batetan, M-n, origenetik r distantzian aldendurik, beste erlo

ju bat daukagula. Gertakariaren jazotorduan 0-ko erlojuak t i ordua

►

-35-

markatzen badu eta M-koak t + r/c, bi erlojuek ordu bera darama-

tela esan dezakegu. Bi erlojuak sinkrinizaturik daude.

Honela sistema batetan erloju guztiak sinkronizatuta

badaude sistema horretan ordu bat definiturik dago.

Eta, gertakari bi simultaneoak izanen dirateke, hots,

une berean gertatuk. dirateke, lekuko erlojuak, aurrez sinkroniza-

turik egonda, ordu bera markatzen badute.

Baina mekanika klasikoan ez bezala hemen inbariantzia

printzipioa onhartuz bi gertaera sistema batetan simultaneoak badira

ez dirateke beste sistema batetan izanen.

Demagun bi sistema ditugula, bata bestearekiko abiadura

konstante batez higitzen delarik. Urigeneak kointziditzen direnean

sistemeetako erlojuak zeroan jartzen ditugu. Har dezagun halaber

higitzen den S' erreferentzialean barra bat daukagula, mutur bakoi-

tzean ispilua duena, A eta B, eta erdian N argiturria.

Argi pultsu bat N-tik jaurtikitzen badugu S' erreferen-

tzialean aurkitzen bagara argia B ispilura ikusiko dukegu, abidura -

konstante batez higitzen dela onhartzen badugu (inbariantzia prinzi-

pioa). Beraz, erlatibitate espezialaren teorian simultantitatea erre-

ferentzi sistemarekiko kontzeptu erlatiboa da.

LORENTZ-EN TRANSFORMAKUNTZA.

Erlatibitate espezialaren teoriak, lehenago esan dugu-

nez, ez du Galileoren transformakuntza betetzen. Transformakuntza -

berri bat bilatu behar dugu beraz. Baina edozeinek ez du balioko, -

baldintza batzu bete beharko baititu.

- Uhin-ekuazioak inbariantea izan beharko du. Nahiko -

-36—

frogaturi Uago Laxwell-en ekuazioak eta ondorioz sortzen du uhin-

-ekuazioa foacLeno auztiak espliaaLzeko direla. aeraz,

tein-en lehen priatzipioaren arauera b..tldbtza hau bete erazteak -

bidezkoa dirudi.

- Argiaren abiadura ere inbariantea izanen da, ains-

tein-en bigarren printzipioaren arauera.

- Abiadura Txikietarako Galileo-ren transformakuntza-

ren berdina izan6o da. Aski forgatuta baitago eguneroko bizitzan

G y lileo-ren tranjormakuntza zuzena dela. deraz, transformakuntza

berri honek baldintza bau ere bete beharko du.

Baldintzak jarririk has gaitezen pausoka transforma-

kuntza deduzitzen.

Gertakari baten Koordenaauak sistema batekiko (x,y,zA

At) baldin badira beste batetarekiko (x', y', z' A t') izanen dira.

Guk lortu nahi diguna x'= f(x,y,z,t) funtzioa da non f transforma

kuntz funtzioa baita.

Inertzi printzipioaren arauera transormakuntzak line

ala izan beharko du. aau da, sistema batetan lerro zuzena dena -

beste batetan ere lerro zuzena izanen da. Berz, transformakuntza

funtzioa ondorenGo taukerakoa izanen da.

allx al2Y a13z a14 t kl

a21x a22y a

23 z a24t k2

z = a3ix + a32y + a33z + a34 t + k3

= a41x a42y + a43z + + k4

Demagun, ekuazioak errazteko, origenean sistemak koin

tziditzen direla eta baita ere, higidura a ardatzaren direkzioan

gertatzen dela, y eta z koordenatuak sistema bietan berdinak iza-

nik.

Honela, (0, 0, 0, 0) s = ((6, 0, 0, 0) a , izanik, k1=k2=

k3=k4= 0 dirateke eta ai . koefizienteak abiadura erlatiboaren fun-

tzio. 3

y eta z badira, gure ekuazioak honela geratu-

ko zaizkugelaa;

x = a11x

a12Y + al3z + a14t

= y

Z .= z

= a41x a42y a

43z a44t

-37-

Erlatibitate printzipioak sortzen duen simetriagatik -

x eta t koordenatuak ez dukete y eta z - rekiko dependentziarik. Ekua

zioak, beraz, holaxe geratzen dira;

x'= allx a14t

=• y

=• z

= a4lx a44t

Origenean x'= 0 eta beraz 0 = allx 1.

a14t. Honek -4, x a.iyx .--5.71r- t ematen du, eta nola abiadura v =.t- den, v --57-,

a14 = aliv izanen a, nd non v abiadurå sistemen abiadura erlatiboa bai

ta.

Inbariantzi printzipioan oinharriturik, zera esan deza-

kegu, hasierako aldiunean argipultsu bat emititzen badugu, uhin-fron

teak t unean ondoko hau beteko dukeela.

S sisteman (ct) 2 = x2 + y2 + z2.2

S 'sisteman (et . ) 2= z'2 + y + z

,2

Bi ekuazio hauetatik ondorengo identitatea lor dezakegu.02 t.. x2 .,. y2 4. z2 _ (zt2 ) 2. x ,2. 4. y ,2 4. z

,2 .. (ct'2)

Identitate honek edozein sistematarako berdin. balioko -

du. Beraz s2 delakoa inbariante bat dugu.

Bainax'=

f

allx - allvt

t.= a41x - a44t denez) lortu dugun azken ekuazioa

honela geratuko zaigu.

x2

+ y2

+ z2

- (ct)2= (allx - allvt)

2 + Y

,2 -1. z

,2 - c2 (a41x -/- a44t)

2

Operatuz,2 2 2 2 2 2 2 2 2x 4. all v t - 2 all v x t - c ( a41 4- a44 + 2 a41 44a ll a t x ) =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)+ x tx -ct+x( all - ) + t ( all v - c aki4c a41

2( - 2 all v - 2 c

2 aki al44. ) = x

2 - c

2 t2

eta koefizienteak berdinduz,2 2 2

all c a 41 = 12 2 2 2

a44 v / c all = 1

-a2ll v- c

2 a41 a44 = lortzen dugu.

Hirugarren ekuaziotik a41 despejatuz eta lehengoan susti-

2a 11 11-

a41 cz atly

tuituz,

-38-

2 2 4 2 2 / 4c )= 1

11a c (all / a44)(v2 2 2 4 2

all -(v c)( a 11/ a44)= 1

Bigarren ekuaziotik a44 = 1 + 2a v

2 / c

2 lor dezakegu,11

eta lortutakoan sustituituz:

2 T2 a4a11 = 1-

z. fi, 2.1.2_ a..z) ii -C 1 .r ,3 .11

Operatuz, all -4

,4z ( c.z + r z,,Ì;9 a11tiv

=

2 2 4 2 2c all 11 -

11 = c + a11

a2 ( c

2 - v

2 ) = c

211

ca11

-

V c -

Eta beste era batera jarriz5

1a11

V 1 _ v2 / ,2

2 2 2zenez, aurreko balorea sustituituza44 = 1+ al1 v /

c

2 rt CZ 2a44 = 1 a44 cz-v-t

2a44

c dela lortzen dugu

V c2 - v2

Beraz,

all = a44 v- v2 /

&2‘41 v- Eta zenez, denez,ca41 z eta all = a44

all v v c

a41

a41

c2 V c2 - v2 c2 V c2 _ v2v / c2

V 1-v /c

v / =p eta 1 / V1 -(3 2 eginik. Transformakuntza-

ko ekuazioak honela geratuko dira:

= r(x-v t)

= y

= z

V X

-39-

Eta hau da, hain zuzen ere, Lorentz-en transformakun-

tza.

Ekuazioei buelta emanez, honelakoak ditugu:

y x ,v t' )

y'

z'v

= t' +c

2

( Oharra: Liburu batzutan ez dute guk hemen erabili

dugun notazioa erabiltzen, haiek X'-ren ordez erabiltzen baitute,

non 0(=V12

-(3 den. )

Konproba dezagun orain, lehen jarri ditugun baldintzak

betetzen direla eta halaber teoria honen baliogarritasuna.

Uhin-ekuazioaren inbariantzia:

= C z + 91S ta.si sistema batetan eta,"" 9xz `?yt

e-Ò zs _r� x"."•-•

ctpis_ .� 1.5JI

bestean.a Y4

S delakoak, uhin-funtzioa delarik, x, y, z eta t koor-

tuen dependentzia du; eta bestalde, x-ek x' eta t'-rena, y-k y'-rena,

z-k z oe -rena eta t-k t'eta x'-rena.

x'

Beraz, lehen deribatua hau izanen da:

S _ r s• + s atx' x r)Xi

9s _ `)S

y' ry

r)5

_ s- r. )< `t

`?x `"?t' + (?t. (?t/

-40-

eta9)(/

r x z ( 1)-

_ r)t-

(?)(' cl

izanik, bigarren deribatua hauxe da:

2 25 = "? a s )s- z z5 Y-4‘r r2 r 1?xt r)t.';x C Z axat CZ t atCI4

(?Zs

2,y3-

gzs 2' 2" r)2Z

r". S 2 "" 2-s z. b' t v- + + (X2"

Sustituituz eta operatuz:

/ -n 2. s _,, v_z , V:s ,6_2. '‘r_ + r

'z's fir + ') zs ( z.7 _c2 L (- >c z `'W . t- K (--t-z

'-2 s .6.`

- ± r.z-s f v\r- ÷ r.2.s. 'Ítl- Z..S Ò'2 V- 4 1 +L r .x2' t-,‹ ,z. " r-,,c(- c z + gt zc‘i J

, z.5-+ +_r1_kais___ _ - (` I zs r 7--5, .4 _ .5 + (-)z9yi l 2' --- C2 W-2. Lri`C" 9 y 2 t-2

f z.v-'- rt 5 ts -6-1 `(1- v-) (z. st=15 +

r), ?.. cz c,,,c1� tz ---

n; 1.5 d 2

cz a t x rx2

'(z\rz- 1-' - 1 p ( 2- ( 2----C2)2 — Ca

cz

C2 --j;> C 7."

v%,2-

Ikusten denez, inbarianLzia frogaturik geratzen da, hura

onhartzean identitate bat lortzen baibuu.

-41-

Uhinen ekuazioen inbariantzaz gainera, Lorentzen trans

formakuntzari eskatu dizkiogun baldintzak ere betetzen dituela ikus

daiteke. Honela:

Argiaren abiaduraren inbariantzia: abiadura erlatiboen

konposaketakin ikusten da erraz.

Lorentzen eta Galileoren transformakuntzak berdinak dira

abiadura ttikietarako:

v«c bada, orduan / , beraz 1. Eta orduan:

=x-vt

= y

z' = z

= t ( ikus lehen gaia ).

-4 2 -

LAUGARREN G A. I A:

LORENTZ-EN TRANSFORMAKUNTZAREN

ZENBAIT ONDORIO

- Luzeraren kontrakzioa

- Denboraren dilatazioa

- Muoien esperimentua

-43-

SARRERA

Erlatibitatearen teorian beti behatzaileak agertzen dira. Beha--

tzaile bakoitza erreferentzi sistema batez lotuta dago. ,Dehatzaile

honek neurketa bat egiten du, holaxe gertaera bakoitzaren bi deskrip

zio desberdinak ukanen ditugu. Hots, A behatzaileak, S sistemaz lo-

tuta dagoelarik, gertaera bat z espazioan eta t denboran gertatzen -

dela neurtzen du, eta B behatzaileak, S' sistemaz lotuta, gertaera -

berbera x' espazioan eta t' denboran neurtzen du.

Iusten dugunez, gertaera baten koordenatuak desberdinak dira e--

rreferentzi sistema bakoitzean. Koordenatu hauen artean dauden ha--

rremanak hauk dira:

v=y1

= 2 ?I

y /t v x lic2)y

Hauk Lorentz-en transformakuntzak dira, S' sistema x norabidean v

abiaduraz S-rekiko higitzen bada.

LUZERAREN KONTRAKZIOA

Newton-en mekanikan luzera, inertziako erreferentzi sistema guz--

tietan, konstante bat da, Galileoren transformakuntzak erabiliz. .--

Baina erlatibitate teorian lege berri batzu dauzkagu, Lorentz-en ---

transformakuntzak. Orduan, zer gertatzen da luzerarekin?

Barra bat badaukagu geldirik S erreferentzi sistema batetan, x=x1

-44-

eta x=x2 bere mutur bien koordenatuen eduazioak izango dira denboran

zehar.

4

Orduan, barraren luzera ii sisteman 1 .x -x da.0 2 1

Beroni "luzera propioa" deitzen diogu. Hots, luzera propioa ba--

rra geldirik dagoen sistemako behatzaile batek neurtzen duen barra--

ren luzera da.

Baina zein da barraren luzera beste erreferentzi sistema d' bate-

tan? S'-ko behatzaileak t' denboran barraren mutur bien koordenatu-

ak neurtzen ditu eta koordenatu hauen artean dagoen diferentzia hori

izango da luzera.

Hots, S' erreferentzi sisteman bi gertaera P1 eta g2 dauzkagu,

Pi-k (xi,V) koordenatuak ditu eta P 2-k, (x,t') koordenatuak ditu.

Orduan 1 luzera 1=x-xi da.

xl eta x2 S erreferentzi sistemako koordenatuen eta xi eta x2 S'

erreferentzi sistemako koordenatuaren artean dagoen harremana Lorentz

-en tranaformakuntzak emango digu.

)(4 ::1l +vt)Orduan,

)(2, bt1.2"

Eta:

v'IczN

Hau da luzeraren kontrakzioa.

Hau simultaneitatearen definizioaren ondorio bat da. Hauda, S e-

rreferentzi sisteman simultaneitatea S'-ren eimu1taneitatea ez beza-

lakoa da.

Ikusten dugunez erlatibitate teorianluzera ez da inbariante bat,

1A3 1

3) cuA,

v eti

v--o

—45—

hau da behatzaile bakoitzak luzera desberdina neurtzen du, eta zenbe

bat eta abiadura handiago eraman nemmtzen duen luzera txikiagoa izan

go da.

DENBORAREN DILATAZIOA

Orain bi gertaeraren artean dagoen denbora neurtuko dugu.

Demagun bi gertaera inertziako erreferentzi sistema batetan.

Lehengo gertaera argiaren emisioa izango da.

bigarren gertaera argiaren heltzea izango da, ispilu batez lagun-

duta.

S sistema honetan erloju bat dago. Bi gertaeraren koordenatuak -

erloju honen bidez (x0'

t1) eta (x t ) izango dira.

O' 2

- o

eta,

2L argiak egiten duen distantzia izanez.

Ikus dezaF,,un gertaera berbera S' siatema batetan. S' sistema

S-rekiko v abiaduraz higitzen da, x norabidean.

–46–

Argia Si sistematik irteten da. Argia ispiluraino doa, gero itu-

rrira heltseko. bains ispilua eta iturria S 1A1-tik 8 2A2-ra eta

S3A3–ra higitzen dira.

At' bidaia osoak darabilen denbora deitzen badugu, vAt' S dis–4- 3

tantzia izango da, irudian ikusten dugunez.

L1 +IvEk111-

Eta S1A2S3

distantzia osoa,

S ,A2, 53 \ + i V At izango da.2

S' sisteman argia c abiaduraz higitzen da, edozein inertziako e--

rreferentzi sistema bezala, orduan:

CAtt=

Lehengo kasuan bi gertaerak erloju beraz neurtu ditugu, eta hola-

xe neurtutako At denbora "denbora propioa" deitzen da. Eta bigarren

kasuan gertaera biak espazioko puntu desberdinetan gertatzen dira, e

ta ezin dira erloju berberaz neurtu; holaxe nerututako denbora

"denbora inpropioa" deitzen da.

At eta At i artean dagoen erlazioa hau da.

at( ?ro pn 0 0-) o vifct i .e do

4,t 4, , V 244

Hau denboraren dilatazioa da.

Denboraren dilatazioa erloju batek neurtzen duena beste bi erlo--

juek egiten dituzten nevrketekin gonbaratzean aurkitzen den ondorioa

da.

Beste alde batetatik dilatazioaren formulak erloju desberdinak

sinkronizatzeko posibilitatea ematen digu.

—47—

sinkronizatzeko posibilitatea ematen digu.

MUOIEN EXPERIMENTUA

Denboraren dilatazioa frogatzeko, experimentu batzu egin dira. -

Hauetatik garrantzitsuena muoiekin Rossi-k eta Hall-ek 1941. urtean

egin zutena izan zen.

Muoiak desintegratu egiten dira, elektroi, neutrino eta antineu--

trinoak emanez 1,53.11-4 s. periodo batez. Denbora hau muoiak geldi-

rik daudeneko erreferentzi sisteman neurtzen da.

ji,t± 4.44, +

Muoiak izpi kosmikoek sorterazten dituzte atmoeferara heltzen di-

renean. Muoien abiadrua argiaren abiaduraren antzekoa da (Adc).

Experimentua hau da. Zenbat muoi desintegratzen diren bide bate-

tan zehar muoien erlojuan eta lurraren erlojuan neurtuta. Neurketa

hau egiteko neurgailu bi epintzen dira bat mendi tontor batetan eta

bestea itsas ertzean.

Itsas ertzetik mendi tontorrera 1.911 m. dago.

Mendi tontorrean dagoen neurgailura 563+10 muon/o heltzen dira.

Itsas ertzeko neurgailuak 408± 9 muoi/o neurtzen ditu.

Lurrarekiko muoiek mendi tontorretik itsas ertzera heltzean At=

=d/rve 6,4.10 s. denbora hartzen dute. Orduan, muoien desintegra-

fze formularen bidez &/25 muoi gelditzen direla aurkitzen dugu.

Desintegratze formula hau da:

tn1' Clit°‘'4.1o4

SC3 .e– :t1;71-°-'

Baina muoiekiko, berauek beren bidaian hartzen duten denbora,

izango da.

–48–

tz543

'... • 10-‘

izango da.

0 / 4 iS. lo-45-

Eta orduan, denboraren dilatazioa egiaztatzen da:

At z

( -

4 1 .1i 10- C n:) 1 .10-014- i0-4

_ A'13

-49- •

BOSTGARREN

GAIA

MINKOWSKY-REN DIAGRAMAK

- Simultaneitatearen erlatibotasuna

- S eta S'sistemen adierazpen grafikoa.

( x,t ) koordinatu-sistemen bidez

- Minkowsky-ren diagramak

- Zenbait adibide

X

XA8

–5 0–

Aurrekc gai batetan Lcrentz-en transformakuntza aztertu dugu, eta,7

halaber, transformakuntza horrek dituen ondorioak ere: luze raren kontrak-

zioa, denboraren dilatazioa eta beste. Oraingo gai honetan transforma-

kuntza horren adierazpen grafikca egitera saiatuko gara, "Minkowsky-ren

diagramak" izenekoen bidez. Aplikbzioetan ikusiko dugunez, diagrama hauk

oso baliagarri gertatuko zaizkigu zenbait puntu berezi azaltzeko.

SIMULTANEITATEAREN ERLATIBCTASUNA

Lehen pauso bezala —Einstein-en postulatuak jadanik onhartuz—,

grafiko sinple bat erabiliz, bi sistema desberdinetatik aztertuko dugu

bi gertakariren simultaneitatea,

Hasteko, x, t diagrama definituko dugu, Oemagun S sistema iner-

tziala. Sistema horren x ardatzean A, 8 eta C puntuak daude,

/3, 5-

Adieraz ditzagun x eta t aldakariak sistema errektangular bate-

tan ( ikus goiko irudia ). Grafiko horretan partikulen unibertso-lineak

definituko ditugu ondoko moduan: Linea hauek partikulek denborarekin eta

espazioarekin duten eboluzioa adierazten dute; linea horietako puntu ba-

koitzak partikula horren gertakari puntual baten posizioa (x) eta aldiu-

nea (t) adierazten ditu,eta linea osoak, partikularen historia,

-51—

Kontsidera dezagun, A puntuan geldirik ( S sisteman ) dagoen par-

tikularen unibertso-linea, Beraren ekuazioa x = xA izanenda, hots, t

ardatzaren paraleloa den zuzen bat. Modu berean, B eta C puntuetan gel-

dirik dauden partikulen unibertso-lineak x = xe, eta x = xc izanen dira

errespektiboki.

Demegun orain, t = 0 aldiunean B puntutik bi argi-izpi bidal-

tzen direla x ardatzaren direkzioan, bata +co-rantz eta bestea

-oo-rantz, Irudika ditzagun bi argi-izpi horien unibertso-lineak, aurre-

tik irudikatuekin batera,

Eskuinetarantz doan argi-izpiaren ekuazioa

x c t

izanen da, eta ezkerretarantz doanarena

x = xo-ct

beti ere argiaren abiaduraren postulatua kontutan daukagularik,

Irudian ikusten denez, C 1 puntuak izpia C puntura heltzen den al-

diuneko gertakaria adierazten du : C 4 ( xc ,t ). Eta Al puntuak, ezkerre-

tarantz doan izpia A puntura heltzen denekoa : A 4 ( x, ,t ). Irudiaren

simetriaz ikusten denez, A4 eta C4 gertakariak simultaneoak dira, biak

t 1 aldiunean gertatzen baitira, Simultaneoak diren gertakarien leku geo-

metrikoa t i = Kt. zuzenak definitzen du.

A

5

A

-52-

Demagun orain, A, B eta C puntuak geldi daudela S' sisteman.

Sistema hau V abiadura konstantez ari da higitzen S sistemLrekiko

x ardatzaren direkzioan (ikus hurrengo irudia eta hasierako aldiu-

nean A, B eta C puntuen koordinatuak x, ,x 8 eta x, izan dira,

Hiru puntuen unibertso-lineak ondokoak dira:

A puntuarena : x = xA + v t

B puntuarena : x = + v t

C puntuarena : x = x, + v t

Hots, inklinaturik dauden hiru zuzen paralelo dira.

Lehen egin dugun bezala, kontsidera dezagun orain ere, t = 0 al-

diunean B puntutik bi argi-izpi bidaltzen direla, A-rantz bata eta

C-rantz bestea. Argiaren abiaduraren postulatua onharturik, bakoitzarem

ekuazioak ( S sisteman ) hauxek izanen dira:

x = •X C

x = xa - c t

Beraz, izpi hauk A eta C puntuetara heltzean jazotzen diren

gertakariak, A; eta C; puntuen bidez adierazten dira unibertso-lineetan.

Irudian ikusten denez, bi gertakari hauk ez dira simultaneoak S sisteman.

-5

Konkretuki esateko, argi-izpia lehenago heltzen da A-ra C-ra baino.

Hala ere, S' sisteman, berau ere inertziala denez eta argiaren

abiaduraren unibertsaltasuna onhartuz, A; eta C; gertakariak simul-

taneoak dira.

Beraz, grafikoki ikusten denez, gertakari desberdinen simultanei-

tatea ez da kontzeptu absolutua, erlatiboa baizik. Eta behatzaile bate-

kiko simultaneoak diren gertakariak, berarekiko higitzen ari den beste

behatzaile batekiko ez dira simultaneoak.

S ETA S' SISTEMEN ADIERAZPEN GRAFIKOA, ( x,t ) KOORDINATU-SIS-

TEMEN BIDEZ

Osotu eginen dugu aurreko irudia, baldintza bat jarriz: Demagun,

t = 0 aldiunean S eta S' sistemen origena berbera dela. Lehengo

diagraman, S' sisteman t'= 0 denbora eta x'= 0 puntua adierazten

duten ardatzak irudikatuko ditugu.

t

n,k,

,,,

,

Je

1-

c'

+0

n irr — x

0 t' ardatza ( hots, x . = 0 zuzena ) erraz marrazten da, zeren

eta Sf.en origenaren unibertso-linea baita:

x = v t

zuzenaren bidez adierazten da x fl t diagraman.

tP

XP

—54—

Nola adierazten da 0 x' ardatza ? Zuzen hau t'= 0 da, 8aina

t'= kte den edozein zuzen, horren paraleloa da; eta A; C; zuzena t.1 k

( hots, gertakari simultaneoen ) zuzena denez, t'= o ardatza ere, be-

rorren paraleloa izanen da.

Honela, ba, guk prestatu dugun diagraman ( erabat abstraktua, bes- '

talde ), gertakarien unibertso-lineak adieraz daitezke, eta sistema iner-

tzial desberdinetatik ikusirik, edozein gertakariren koordinatu espazio-

denboralak edieraz daitezke grafikoki.

Alboko irudian P puntua adierazten da. Beronek gertakari puntual

bat adierazten du. Gertakari honek —bakarra izanik ere— koordinatu des-

berdinak ditu sistema desberdinetan

( x p , t P )

( x p• , t •p )

S sisteman

S' sisteman

Lorentz-en transformakuntza aztertzean ikusi dugunez, koordinatu

hauen artean dagoen erlazioa, hauxe da:

x' = ( x - v t )

t •( t — Yja x )

Edo eta transformakuntza inbertsuan

—55—

x ( x-+ v t-)

t r(

MINKOWSKY-REN DIAGRAMAK

Ondoren ikusiko ditugun diagramen erabilera, 1908, urtean H.

Minkowsky-k asmaturikoa da, Aurreko puntuan ikusiriko diagramen antze-

rakoak dira, Dena den, kasu honetan ( x,t ) koordinatuak erabili beha-

rrean, ( x, c t ) koordinatuak erabiliko ditugu, Honela, diagramaren

direkzio bietako unitateen dimentsio-ekuazioak luzerak dira.

Hasteko, demagun S sistema inertziala, Berau (x, ct ) ardatz or-

togonalez adieraziko dugu (lehengo antzera). Sistema honetan x s 0

eta t 0 puntutik eskuinetarantz irteten den argi-seinalearen uni-

bertso-linea, ardatzen bisektrizea da, baldin eta ardatz bietan aukeratu

ditugun eskalak berberak badira.

Argi-izpi horren ekuazioa, x ct da, noski. Zer esanik ez, argi-

izpi hori beste edozein sistematan beste modu batez adierazi beharko da.

Demagun, ondoko bi sistemak ditugula:

S' sistema : Hasierako aldiunean S sistemarekin kointziditzen du,

baina v abiaduraz higitzen da x ardatzaren direk-

zioan *O,0 -rantz

-56-

S" sistema: Hasierako aldiunean S sistemarekin kointziditzen du,

baina -v abiaduraz higitzen da x ardatzaren direk-

zioan, hau da -oo-rantz.

Aurreko puntuan ikusitakoaren arauera, hurrengo irudietan dauden

( x; ct') eta ( x", ct" ) ardatzen bidez adierazi ahal ukanen ditugu

gertakarien koordinatuak sistema bietan.

Ordea, kasu bietan, hasierako aldiunean ( t'= 0, t" = ) origene-

tik eta x ardatzaren direkzioan +00 -rantz bidaltzen den argi-izpiaren

unibertso-linea, ardatz bien bisektrizea da, zeren eta argiaren abiadura

c baita kasu bietan ( eta bai sistema inertzial guztietan ere ) :

x' = c t'

x" = c t"

Hala ere galdera bat egin dezakegu: Dianrama ber batetan ageri diren

koordinatu-sistema desberdinetan erabiltzen diren luzera-eskalak berdinak

al dira?.

Galdera honi erantzuteko, espazio-denbora inbariantea --gero beste

modu batez ikusiko dugu, unibertso-interbaloa aztertzean-- definituko

eta analisatuko dugu.

Kontsidera dezagun (x,t) puntua eta defini dezagun ondoko magnitudea:

—57—

2 2 ,2 2S=Cz-

x

Magnitude hau gertakari puntual bl.koitean definitzen da, bAna izatez

origeneko gertakariaren erreferentzia hartuz ( x w o, t o ) egiten

da, hurrengo gaian ikusiko dugunez. Azter dezagun, ba, P gertakaria

S eta S' sistemetan.

S sisteman S2 = C2 t2 - x

S' sisteman ► s .2 = c2 t .2_

Baina Lorentzen transformakuntza kontutan hartuz:

2S = c 2 y2 ( t - Y2-.` ) -

2 x - vt)

2

2

2 V2 Xc

2 2 V XS = y 2 ( c2c+ - 2 t

C42

- x z - v2 t2 + 2 x v t

V2 X2,2 2 ( 2 - X2 V2 t2 )S = C +

s ,2 IÍ2 [ ( c2 v 2 ) t2

5,2 y2( c 2 v2 ) c2 t 2 -( C2- V2 ) X2 2 - 2 c - v2 ( c 2 t2 x2)

--2C

I c2

eta1

denez

s' 2= cz t2 X2 = S2

Ikusten denez, hasierako aldiunean S sistemarekin kointzidituz

x ardatzaren direkzioan higitzen den edozein sistema inertzialen kasuan,

2 delaknaren balorea berbera da. Honela izanik,inbariante hau batera erre-

cz

-58-

presentatzen diren sistema desberdinen eskalak definitzeko erabil de-

zakegu.

Egin dezagun s2

= -1

Kasu honetan, S sisteman ekuazio hau oeratzen zaigu:

x2 - c

2t2 = 1

Baina hori hiperbola ekilatero baten ekuazioa da ( x,'ct ) sisteman.

Erraz froga daitekeenez,hiperbola ekilatero honen asintotak koa-

dranteen bizektrizeak dira.

Bestalde, ekuazioaren arauera

OA2 = x

2 — c

2 t2 = x2 = 1 zeren tA = 0

A A

Beraz OA 1 ; eta hauxe da xOt sistemaren eskala. Modu berean:

—2 2 2 2 ,2 2 ,2 2OB =x-ct=x-ct= x' = 1

8 B 8 8

2 2 2 2 h. ,2OC = xe. — C tc = Xc — C = = 1

zeren t' = a baita

zeren = o baita

Beraz:

OB=1

S'( t') sistemaren eskala da

OC . 1 S"( x" 0 t") sistemaren eskala da

-59-

Era honetan, osoturik gelditzen da Minkowsky-ren diagramen de-

finizioa.

ZENOAIT ADIBIDE

Aurreko lerroetan definitu ditugun diagramak erabiliz, Erlatibi-

tatearen Teoriaren ondorio batzu berraztertuko ditugu grafikoki, hala

nola luzeraren kontrakzioa eta denboraren dilatazioa.

Luzeraren kontrakzioa,

S sisteman geldi dagoen barra baten luzera neurtuko dugu S eta S'

sistemetatik.

Demagun, barraren muturrak 1 eta 2 puntuak direla. Bakoitzak bere

unibertso-linea du.

1 puntuak :

2 puntuak :

S sisteman, bi unibertso-lineok ct ardatzaren paraleloak dira.

Sistema horretan, barraren luzerd ondoko hau da:

—60—

= X2 —

sisteman --berau barrarekiko higitzen denez-- simultaneoki

neurtu beharko dira bi muturren posizioak. Horrela, neurketan erabil-

tzen diren P eta P puntuak gertakari puntual simultancoak dira S'

sisteman.

S sisteman S'sisteman

Pf

puntua ( X 4 , t 4 ) ( X; , t')

t')P2 puntua ( x„ , t2 ) ( xj ,

Baina bai koadroan eta bai irudian ikusten denez, eta P2 ez

dira simultaneoek S sisteman:

t t2

S'sisteman neurtzen den luzera, zera da:

= x; — x;

Eta Lorentzen transformakuntza erabilirik:

x2 = ( xZ + v t')

x = ( x; + v t')

.2 - x l = ( x i - .;)

=I =

Hots, luzeraren kontrakzioa ageri zaigu.

Kontrakzio hau grafikoki ere ikus daiteke

-61—

Eskala decberdinak erabiltzen direla hartu behar dugu kontutan:

0A =

1773 =

Eta 0 D< 0 B denez,

t dela ikusten da.

Denboraren diltazioa

Kasu honetan S sistemako puntu batetan ( x - en ) jazotzen di-

ren bi gertakari puntualen arteko denbora neurtzen da ( 1 34 -ren eta P2.-ren

artekoa ).

ct c '

21 n

I

iSt'/

ii

i

At

_- -r -- -- 1

x., '

x,,,

x'4►

-62-

Gertakari horien koordinatuak hauxek dira

S s'

P4puntua ( x, t 4 ) ( x;, t; )

P2puntua ( x, t

2 )( x' t' )

2' 2

Bistan denez, S'sisteman ez dira leku berean gertatzen ( x'4 x;).

Hots, S'sisteman neurtzen den denbora, inpropioa da

t 2 - t 4

= - t4

Lorentzen transformakuntzaz:

= ( t z - VZ x )

t •( t, -x )c2

tj - t; ?), ( t,- ti)

= Qt - t v2c'

Eta denboraren dilatazioa ageri zaigu

6t denbora propioa

At' : denbora inpropioa,

-63-

SEIGARREN G A I A:

A„,-ERLATIBITATEA ETA KAUSALITATEA

- Gertakarien arteko unibertso-interbaloa

- Kausalitatea

8.-MICHELSON-MORLEY-REN

E SPERIMENTUAREN ADIERAZPEN

B E R R I A

—b4—

GERTAKARIEN ARTEKO UNIBERTSO-INTERBALOA. KAUSALITATEA.

Demagun bi gertakari, E1 eta E2 , desberdin ditugula,

zeintzuek xl , yi , zl eta tl , eta x2 , y2 , z2 eta t2 koordenatuak di-

tuzten.

21x2"y2+Az2)Inertzi erreferentziale batetan

2=c2 6 t2 ..(

definitzen badugu. Beste edozein sistemetan As.2=c2At.2_(ix,24.A7,24.

4-Az' 2 ) izanen da. Eta Lorentzen transformakuntza lortu genuenean iku-

si zenez, edozein sistematarako A6245.2.

As-ri unibertso-interbaloa deritzogu eta bere koadratua

inertzi erreferentziale guztietan inbariantea da.

Unibertso-interbaloak lau dimentsiotako espazio bate-

tako bi puntuen arteko distantzia adierazten du, non x,y, z eta ct

baitira koordenatuak. Beraz, Minkowsky-ren espazioan bi puntuen

teko distantzia unibertso-interbaloa da.

Bi gertakarien arteko distantzia zero denean, hots

As2 =0, orduan bi gertakariak memento eta leku berean gertatzen dira,

hau da, oimultaneoak eta isotopoak dira eta interbaloa argi-moetakoa

dela esanen dugu.

Distantzia hori positiboa denean, hots ,68 2>0, orduan

unibertso-interbaloa denbora-moetakoa dela esanen dugu. Moeta hone-

takoak isotopoak baina memento desberdinetan jazotako bi gertakari

ditugu, esate baterako.

Ax2+Ay21.6z2=.2a eginik, moeta honetakoak c20t2-d2.>0

kunplituko dute.

Beti aurki dezakegu inertzi erreferentziale bat, non

gertakariak isotopoak baitira. Hau da, S sisteman c24t

2..d2)0, beti

existitzen da sistema bat non c2At,2=c2At2..d2>0 den. Horretarako

jazo behar den gauza bakarra, S'-n denbora-interbaloa luzeagoa iza-

tea da, hau da, denboraren dilatazio bat dugu.

Demagun, partikula bat Pi eta P2 puntuetatik c baino

abiadura txikiago batekin iragaten dela. P 1 puntutik pasatzea E1

gertakaria izan bedi, zein ti aldiunean gertatzen den, eta P2-tik

pasatzea E2 gertakaria, t2 mementuan. Ri gertakari hauen unibertso-

interbaloa denbora-moetakoa izanen.da, At=t 2-ti eta v<c baitira.

Beraz, cAt>vdt=d eta ondorioz c 2,At2 -d2>0.

Bi gertakari hauen artean, gainera, kausalitate erla-

zio bat dagoke, zeren E 2 gertakaria E1 jazo eta gero gertatzen baita.

-65-

Baina gertakari bat beste baten kausa izan ahal izateko, bien

arteko unibertso-interbaloa denbora-moetakoa izan daiteke soilik.

Hots edozein aistematan lehenazo gertatu behar da.

As2.<0 denean, unibertso-interbaloa espazio-moetakoa

dela esanen dugu. c2At2-d2<0 izanen da. Eta ezina izango da kausa-

litate erlaziorik egotea, zeren eta lehenago edo beranduago gerta-

tzea gauza erlatiboa baita.

Adibidez, moeta honetakoak ditugu memento berdinean

eta sistema batetako leku deaberdinetan jazotako gertakarien uni-

bertso-interbaloa. c 2d t2=o eta d2>0. Beraz

Sistema batetan, S-n, &t,,�0 eta c1,40 badira eta As:0,

beti izango da posible bilatzea beste inertzi erreferentziale bat,

S', non, At=0 eta d=0 izanik,As 2<0 baita.

Ikusi dugunarekin, azter dezagun nola geratzen diren

iragana eta etorkizunaren kontzeptuak.

Bi gertakari sistema batetan bata bestearen ostean

gertatzen baziren ere, beste batetan ez zirela halabeharrez ordena

horretan gertatzen ikusi dugu.

Beraz, ondorengo kontzeptu hauk definitu ,beharrean gaude:

Iragan absolutua: Gertakari bat beste baten iragan ' abso-

lutuan egonen da, sistema guztietan lehenago jazotzen bada. Bi ger-

takarien arteko unibertso-interbaloa denbora-moetakoa izan beharko

da.

Etorkizun absolutua: Gertakari bat beste baten etorki-

zun absolutuan egonen da, hura bestearen iragan absolutuan badago.

Iragan-etorkizun-presente erlati,boa: unibertso-interba-

loa espazio-moetakoa denean, sistema batetan gertakari bat beste

baten etorkizunean dagoke, baina beste batetan iraganean edo presen

tean. Beraz, gertakariak etorkizun, iragan edo presente erlatibo

batetan egon daitezke.

Hurrengo irudian kontzeptu hauk grafikoki adierazten

dira Minkowsky-ren diagrama batetan.

Irudi honetan gertakariak ct=0, x=0 gertakariaren

konparatzen dira. Unibertso-interbaloak kontutan edukiz, diagram&

hiru partetan banatzen da. Banaketaren mugak origenetik bidaliri-

ko argi-izpiek eortzen dituzte.♦

-66—

i i i

Eto- rxi.zur;absoPotuct

Ict, n

' i F,'

;'" 1

1

Irqqan - eto rk i 2UI7 - pr2tPnf o>r/cilloa. »;

,,,,

Ira cJanabzot'utua_

MICHELSON - MORLEY-REN ESPERIMENTUAREN ADIERAZPEN BERRIA.

Beste gai batetan aztertu genuen, nola egin zuten Michel

son eta Morley-k beren esperimentua. Orain ikusi dugun teoriaren apli

kapen zuzen bezala iker dezagun berriro esperimentua, baina ispilu mu

gikorrari lotuta dagoen erreferentzialaren ilcuspegia ere kontutan har

turik.

Hichelson eta Morleyren interferometroa honela marraz

zakegu.

Interferometro osoa Lurrarekin, eguzkian dugun erreferen'

tzialearekiko ♦ abiaduraz higitzen da geziaren sentidoan.

Eguzkiko arreferentzialearekiko ispiluan

den argiaren ibilbidea hauxe dateke.

,--,...=-----11L-411,- -.,-- -.

•

-67-

1.1411

11r

s,r

fi •

."\

L /

r 6S/

lotuta dagoen erreferentzialeak hauxe iku-S,siko dut

Kasu honetan joan-etorriko denbora t= 2L inanen da.

leehengo kasuan aldiz,argiaren ibilbidea hauxe izango

da.RBT 2.V Lt

Eta argia c abiadurarekin biligktuko denez

dAe i = 2, t L z' 4- er--11-9zEta operatuzt

GZ 42 tr2- AtAirL

1? (L.4 t- ti

(c 4- v-) / Z.2-

Baraa,b/

‘1" cz-Tz.edo

(v/c)3'Eta interferometroareu beso bakoitzarentsat denborak

berdinak ez direnaz (gogora ispilu batantana aq/a de).a eta bestera5tzat kalkulatu-dugunez J1I4 ) interfzrentzi lerroak agertu be

—68—

har lirateke.

Baina, kontuz!, beso batentzat denbora propioa darabil-

gu eta bestearentzat inpropioa. Eta hau ez dugu zilegi.

Kalkula dezagun beso mugikorraren deAbora propioa, behin

goan Lorentzen transformakuntza erabiliz.

t (propioa) = t (inpropioa) V 1 - v2 /, c2c/.0

t (propioa) =

VV 1 - Cric

Beraz,

t (propioa) = 2 L / c

Beso bien denbora propioa berdina da, beraz interferentzi

lerroak ez dira agertuko.

-69-

ZAZPIGARREN GAIA:

K INEMATIKA

- Abiaduraren transformakuntza

- Argiaren abiadura iturriaren higidurarekiko

independentea da

- Azelerazioaren transformakuntzak

- Abiadura propioa

-70-

ABIADURAREN TRANSFORNAKUNTZAK

Demagun gorputz bat,S'sisteman ull'abiaduraz higituz,eta u; ,

u' abiadura honen konponenteak izango dira.S 'sisteMa d siste-

marekiko v abiaduraz higitzen bada,gorputz horren abiadura ,S sis-

temarekiko aurkituko dugu

Eau egiteko,ba dakigu,abiadura posizio bektorearen deribatua

dela,eta konponenteetan :

14- cl'`.4C

Baina x',y'eta x ,y kordenatuen artean dauden harramanak,Lorentzen

transformakuntzek ematen dizkigute

7(1/?(-)'*"14') 1

)

Eta transformakuntza hauk deribatzean :

citl

I t v't441)

Ekuazio hauetatik zera ateratzen da :

'‘./-Ukt, _ \t/2?

ck Nru!ye.

Eta d sistemako neurketaren bidez,aldiz

,-- -

- - Nru.,/c,

Llcuazio hauen lehengoa norabide berbera duten abiadura bien

batuketa da.

Crduan ,u; eta v ,c baino txikiagoak balira v u;/ ter

minoa,baztergarria dateke ete ondoren kekanika klasiko barruan

geundeke,hau da,',;alileoren transformakuntzetan

-71-

ARG1A44 ABIADURA ITURRIAREL HIGIDURARLIKO IMDEPELDENTEA DA

dateke

hau da,sistema geldi baterekiko higitzen den argturriak ematen

duen argia c abiaduraz higitzen da,argiturriaren abiaduraz inde-

pendentea izanez.

Erresultatu hau,Binsteinen postulatuekin batera dator.

E°in deza • es•erimentu at konklusio hau frogatzeko

Tresna erebiliz ,hau da

Sargiturriako argia Mispilura

heltzen da eta M ispilutik P

banatzailera joaten.P bane.4

tzailetik irten diren zatiak

M eta h ispiluetara heltzen

dira.P eta P beirazko xafla

bi dira ,v = w r abiaduraz

bira daitezkeenak ,elkarren

aurkakoak izanez

Demggun argiaren abladura,b1 a•laduren batuketa dela.Abiadura bat,

berea eta bestea argiturriaren abiadura

brduan ,izpi bakoitzako abiadura aldaturik,1 distantzian erabiltzenda = M,M, = M,P izanez .

Argiak v abiaduraren f frakzioa onhartzen badu

tSkz / 2.11Nr

.1.•n/"

AtOrduan,interferentzi lerroen korrimendua litzatekela pentsa-

tu zuten eta biraren zentzua aldatzean efektu hau berretuko

tekeela,orduan lerroen korrtmendua v-i izanez .

Esperinentuan ez zen korrimendurik aurkitu,ondorioz argiturria

higitzen denean,argiturriaren abiadura eta argiaren abiadura inde-

pendenteak izanez.

Demagun kasu berezi bat 11',=c denean ,oeduan =1 izanen da

Lehengo ekuazioak erabiltzen baditugu:

vit = _ c = 4-nr _ c4. ir 4,), 4 I 4-tv 1 4- Nric..

-72-

AZELBRAZIOAREN TRANS'FORMAKUNTZAK

Hemen lortuko duguna,inertziako erreferentzi sistema des:)erdi-

netan neurtzen den azelerazioa izango da ,bai eta bien artean dau-

den harremanak ere.

Hau lortzeko,lorentzen transformakuntzak erabiliko ditugu.

Abiaduraz egin dugun moduan ,bi azelerazio hartuko ditugu,ba-

ta inertziako erreferentzi sistema bien abiadurak daraman

dean eta bestea zeharkako norabidean.

Abiaduraren transformakuntzak ,hauk dira:

ki.( = 4.1‘ 4- tr

- t.

4- •V*

I 4- '«V").:£/c'l.

Orduan abiadura eta denbora deribatuz

a u-k _ 4- v . eLr-44.8rLx. t-r-fu- tkt,y(,)

(i _

- g L 4- '1r- (1-14/1.")41.r u.-LA. f_ )2"

eta beste alde batetik

+ dx%)_ n,) ld

du-tz--

( I

4- orduan

4 ( I Nr Lt-',(AL

eta modu berean

u-i

ckth 14-

ti r 51) (I 4- '1r U,54,/,' orduan

,N; ch2./a4'a1/4r _ U-

,2/-(4 •

tive,t ( 4 + c_

_ (%.r /c)-) x

-

r 1? 1 (1+ NTU-VcS- ) 1. 1Lt I +hasu berezi bar da ,u;_= 0 edo a Ŕ = denean ,a g orduan

- genuke

Gorputz bat geldirik badagq„mementu batetan ,O'sistema bate-

tan ( 11',1 = u;, =0) bere azelerazioaren konponenteak beste S sistemar,3

ý , x norabidean, eta b, y norabidean, proortzioan txikitzen dira.

Azaldu dw,unez,erlatibitatearen teorian ,azelerazioa ez da

inbariantea eta ondorioz Newtonen mekanikan jokatzen zuen papera

galdu egite:n du .

-73-

ABI.s.DUEU PROPIOA

a) Zer den abiadura propioaLekanika klasikoan,abiadura n=tzeko bi denbora erabil ditza-

kegu.Adibidez:demajun herri batetik irteten den automobil bat bes-

te herri batetara . heltzeko.i-iidaian zehar ,bere abiadura distantzia-

ren eta denboraren zatiketa izan da.Denbora bere etlojuaren bidez

neur daiteke edo herrien erlojuen bidez.

Lehengo kasuan denbora propioa deitzen dugu eta bigarren

suan denbora inpropioa. •.Lekanika klasikoan,lehen esan dujunez , bi

denbora erabil ditzakegu.

1,aina erlatibitatearen teorian,denbora bien artean dagoen des-

berdintasuma finkatu behar dugu.

Orduan distantziaren eta denbora Fpropioaren zatiketa abiadu-

ra propioa da.

Demagun gorputz bat )111.isitzen dela.Gorputzearen abiaduraren

konponenteak hauk dira S sisteman

c abiaduraz zatiketa eginez,abiaduraren unitateak ematen dirå,bai-

na dirientsiorik gabe.

Lenbora propio eta denbora inpropioaren artean dagoen harrema-

na,beraz,hau da:

15 = t

orduan,abiadura propioaren konponenteak

X u,

yrr. t

lk-

I - 1./

lirateke

modu berean,S'sisteman abiadura prepioa,zera,izango da:

= - `'›

hots: Cljc_

b)Abiadura propioaren batuketa

S sisteman,higitzen den gorputz baten abiaduraren konponenteak

eta 12.,„; dira eta abiaduraren propioaren konponenteak 7, eta 2y .

-74-

Beste sisteman,S;gorputz berdinen abiaduraren konponenteak

u'‘ eta u' izanso dira. Baina‘k-

Zeintzuk izango dira abiadura propioarenonponenteak J'sis-

teman ?

Galdera hau erantzunen dugu :

alde batetik,abiaduraren batuketa ezagutzen dusu

L( •- -

- 1.1 ,,

n in"---7.7-= 1-

( c abiaduraz zatituz ) eta

_ 7„„_ )1A-4

tiA

Egin .dezagun

A-

I- 1 LL (5) , _ (s)/. 11.; _

R I- u, p 141s

-(')(4,`)

• iti_ . 2.tt,,uitf _1.1:,-zAL,ip-pt-1-Y t-13.1)(si\

4- 11,t.

VU- Itt) (' t ( LI-L)

- Lt.(

irced-r1) (1-v-`)

A _

V17-00'

orduanLt: - u..•p)

t < - • ‘4-

tx‘ h )7:7 VA 11U-ct-

eta

-u`

definitzen badugu l e

Eta lehengo ekuazioak idazten diugu

1,0 : vi° 7' r. Ni4)

111

1,)t

2° h - - 2.)

T7`

-75-

Lkuazio hauek,Lorentzen transformatzen lorua bera dute,ct eta

ip ,x eta 1, ,y eta ðt5. -ren baliokideak izanez.

Lau kohoonente hauk (z ko,pone p_te ere bai ),tetrabektore baten

Lonponenteak dira-

Ikus dezasun ,zer den tetrabektore bat .

Tetrabektore bakoitzak magnitude fisiko bakar ':)at adierazren

du.Ikusi dusunez,tetrabektore baten Lonponenteak,Lorentzen trans-

formakuntzak bezala aldatzen dira,hau da,hiru espaziar konponenteen

transformakuntzetal: denbora sartzen da ,eta denboraren transforma-

kuntzan :,pspaziarrak ere bai.

L.rduan erlatibitatearen tcorian ,c:'_enbora eta es pazioa ez dira

independenteak,lehen uste senuenez.

''etrabehtore bakoitzak lau konboente‘ukanen ditu,eta espaziar

konponenteek bektorearrunt bat formatzen du,betiko hiru dimentsioz-

ko espazioan.

A.dibidez,abiadura arruntaren konponenteak,Lorentzen transfor-

makuntzen bidez ,ez aldatzean,ez dira izan tetrabektore baten kon-

ponenteak. aina esan duzunez ,abiadura propioarenak bai

-76-

ZORTZIGARREN G A I A:

ZENBAIT FENOMENOREN AZALPEN

ERLATIBISTA

- Doppler efektua

- Atol-koefizientea

- Izarren aberrazioa

- Bikien paradoxa

0-9

ÿ‹,

t..c. qi,lcir±1.°

-77-

DOPPLER EFEKTUA

Pultsu baten frekuentziak iturriaren eta behatzailearen higidura

erlatiboaaen dependentzia du.

Efektu hau oso esaguna da fisi ga klasikoan.

Demagua behatzailea eta iturria norabide berean, lerro zuzen bate

tan higitzen

S iturria ñl abiadurza eta R hargailua (behatzailea) u2 abiaduraz

higitzen dira airearekiko, irudian ikusten dugunez.

S itUrriak ij frekuentziaz eta z periodoaz botatzen du pultsua.

Pultsu bakoitaa w abiaduraz, adibidez soinuaren abiaduraz, higi--

tzen da airearekiko.

t=0 denboran P pultsu bMM eta t= denboran P2 bigarren pultsua

1

botatzen dira.

denboran P1 pultsuak wt distantzia egiten du, eta denbora be--

rean E iturriak u1distantzia egiten.

Orduan, P1 eta P2-ren artean dauden distantzia g , "hhin luzera"hau izango da:

Eta R hargailura P1 eta F 2 pultsuak denbora berdinetan helduko di

ra. Eta denbora bitarte hau "C .1 da.

-78-

>,'

":‘(7:Z

Eta frekuentzia,

Masu berezi bi azaldukth ditugu. Lehengokoa iturria geldirik da--

goenean eta behatzailea 7/1 abiaduraz higitzen denean; orudan:

U,=0

Eta bigarren kasua iturria higitzen denean eta behatzailea

rik dagoenean:

1147.

.1)

14-

Kasu bietan iturri eta behatzailearen artean dagoen distantzia --

gehitu egiten da.

Iturria eta behatzailea hurbiltzen direnean, Vordez -4 abiadura

ipiniko dugu formuletan.

Orain, efektu hau erlatibitatearen bidez azertuko dugu.

Demagun iturri bat S inertziako erreferentzi sietema batetan gel-

dirik dagoela eta behatzaile bat -‹7 abiaduraz S sistemarekiko higise

tzen dela hau da, geldirik gagobla S' sisteman. Iturriak jarutiki--

tzen duen pultsu bakoitza c abiaduraz higitzen da, hots, argiaren a-

biaduraz.

Lehengo pultsua t=0 denboran botatzen da, hots, behatzailea x4x0

puntuan dagoenean, eta n+ 1. t=nt. denboran botatzen da 2)-JL itu--

rriaren frekuentzia S sisteman izanez.

Fenomenoa hobeki azaltzeko 1,qnkowski-ren diagram) bat erabiliko -

dugu. Diagraman ikusten dugunez lehen go pultsua eta n +1. pultsua -

(xt1) eta (x 2, t 2 ) puntuetan heltzen dira behatzailearentana sis-

trit(v.,t)

InLI:tg;tek

X,)

—79—

teman, hauk behatzailearen unibertsoaten lerroa eta pultsu bien uni-

bertsoaren lerroak ebakitzen direneko puntuak dira.

Orduan,

XI=

CL41-- Vt4

Eta,

carcv

x _ V(-1“t I- c-V

Baina S' eisteman, Lorentz-en transformakuntaak erabiliz hau aur-

kitzen dugu:

-v (vz-vmczi.

– V 11SLl

t C-V cv

Eta orduan behatzailearentzat periodo itxurazkoa ddo berak neur4-

tzen duen periodoa z i = izango da. Hots:n

z1,Yetc-v l ct

z , Vh. ,izanez4-£

=1( 440t

Baina , eta orduan

c

Edo,14.vi 11.1/S1U- ren. t. e. ,

\ q..))

‘+/, I

Eta, S sistema, 3-rekiko, - :"v4 abiaduraz higiko balitz, orduan:

C _. --r C# ,I...6

n 44>

v el-4 (44-4 4

kl-h./)

Ikusten dugunez fisika klasikoaren erresultatua honen hurbilpen -

bat besterik ez da vcccc denean.

-80—

Ikusi dugun kasuan behatzailea eta iturria lerro zuzen baten gai-

nean higitzen ziren. Demagun, orain, beste kasu bat: iturriaren --

trajektoria eta behatzailearen trajektoriaren artean h distantzia da

goela.

Iturriaren ekuazioak hauk dira:

Xr..- V4 ,

t=0 denboran iturria juxtu juxtu behatzailearen gainean dago.

Iturriaren sisteman, hau da iturria geldirik dagoen sisteman fre-

duentzia izango da.

Iturriak bi pultsu javutikitzen ditu xl eta x2 puntutan .eta ti --

eta t 2 denboretan. Pultsu bien artean dagoen denbora =- 1- da itu-

ttiarekiko, baina behatzailearekiko, aldiz,

izango da.

Lehengoko pultsuak r i/c denbora hartzen du 0 puntura, behatzailea

renganaino, heltzeko, tta bigarren pultsuak r 2/c denbora hartzen du.

Eta behatzailearekiko pultsu bien artean dagoen denbora hau izang

go da:

+ (4 1C- 44-- r4IG

'=‘(t--Ifi -01C

Baina, x2-xicc rl ba da, orduan,

- r, N tx,— x,) Los e- = VYr use-

-81—

Eta,

cl-zI•Ct4..-YcetO'ic)

Eta frekuentzia bien artean dagoen harremana

(4. - 1>LoSer)

Hots:

ATOI-KOEFIZIENTEA

Erlatibitateko abiaduraren transformakuntzak erabiliz, Fizeau-fen

experimentua aztertzean noski atoi-koefizientea aurkituko dugu.

Ba dakigu Fizean-ren experimentuan argia ingurune baten barnean h

higitzen dela eta ingurune honen errekfrazio koefizientea n bada, ox«,:

duan argiaren abiadura ingurunearekiko c/n izango dateka.

Demagun ingurunea eta argia norabide berean higitzen direla eta -

ingurunearen abiadura -74% dela. Orduan, ghldirik dagoen behatzaile ba

tek argiaren abiadura V neurtuko du.

Eta abiaduraren transformakuntaa 1► 1 =

erabiliz:1.-Voic&

Hota,

V ('L Ì#» (4.-+k hC

!!.\ Y-h /C

Eta vccc badda orduan:

V _ Vkc)

Ikusten dugunez erlatibitatearen irtenbidea eta Fresnell-en ir4ea

bidea gauza bera dira, baina erlatibitatearen,bidez ez da beharaezdo

a hipotesis arrarorik egitea, hots, eterearen atoi partziala sartzea.

IZARREN ABERRAZIOA

Abiaduraren transformakuntzak izarren aberrazi,oa era argitzen di-

gute.

Demagun S sistema eguzkia geldirik dagoen sistema dela, eta S' lu

rraren sistema dela. S' v abiaduraz higitzen da S-rekiko, sis

teman eta S' sisteman lurretik izar batetara doan lerroak eta lu

rraren orbitak eratzen dituen anguluak ba dira, orduan:

ux=— c wse

uy = - c ÇGILO-

lurrera heltzen den argiaren abiaduraren osakinak izango dira S sis4

teman. Eta abiaduraren transformakuntzak erabiliz:

t1

_ (c. (49- +v)

+ V tkYlfijc.

Uiy

_ sukf>

Yt 4.-+v tA I>lc)

Eta,

– 1,4 tbS

V

c y+VwS OIc

Eta, v/c= erabiliz,

ur; 4- Š,

F, coS 0-

Baian h txiki-txikia denez gero:

Vt efr I s />) - wi 6r)

—9

SJg I ItiA

S?-AllthA

-83-

Hots,

("se-'OEL use- bs, , st- ti)

Eta, c< aberrazio angulua erabiliz, hau da , orduan,

(,db.1 = 1418- tsfa+stlit> wicz

Baina OC txikia da, hots, coa oZ eta sin oe- , eta orduaa

tirte- wh o- (2-)

Eta (1) eta (2)-tik,

sNe-

BIKIEN PARADOXA

Demagun biki bi, bakoitza erloju batez, biak ordu berean jarriak.

bata suziri batetan sarturik bere erlojuaz bidaia bat egitera -

doa izar batetara tioan-etorria egiteko. Bestea lurrean gelditzen da.

Lurrean dagoen bikiak bere anaiaren erlojua atzeratzen dela neurtzen

du. Ukar aurkitzen direnean bidaia egin duen bikia gazteagoa izan-

go da. Baina suzirian egon denak lurrean gelditu dena gazteagoa de-

la neurtzen du. Hemen dago paradoxa.

Paradoxa hau Doppler efektuaren bidez azalduko dugu.

Demagun B bikia lurrean gelditzen dela, eta A suzirian doan bikia

dela. L distantzia A bikiak,bira egiten duen puntua da B-rekiko.

A eta B-k radar bana dute. Radar hauek f pultsu segunduko bota--

-84-

tzen ditzte biki bakoitzaren sistema propioan (bikia geldirik dago-

en sisteman).

A bikiak izarrerantz doanean B-rengandik hartzen duen frekuentzia

V-b .41

izango da.iS

L distantzia egiteko A-k ti=1./ .1(v denbora hartzen du. Bta'or.L--

duan pultsuek zenbaki osoa hauxe da

= (")

A lurrerantz datorrenean B-rengandik hartzen duen frekuentzia,

, n ,izangu da.

I- /,

Eta etorrian hartzen duen denbora t v da. Orduen etorrian2

pultsuen zenbaki osoa,

p)V> 4.4 6 \5j,

d-,‘ I

1..4. da.V

Bidaia osoan A-k B-rengandik hartzen duen pultsuen zenbaki osOit-

rti 4-f"g izango da. Hau da:

Ikus dezagun orain B-k neurtzen duena.

B-k, A izarrerantz doanean, A-rengandik hartzen duen frekuentzia

da.k14-6

Eta A lurrerantz datorrenean

I. (d

a.1-6

B-k pultsuak f • frekuentziaz hartzen duen denbora, A izarrera hel

tzeko hartzen duen denbora plus argiak B-rengana heltzeko hartzen --

duen denbora izango da. Hots,

V c.

-85-

Orduan, pultsuen zenbakia hau da

it - ‘_- Pý.ziI- v

Eta etorrian,

-V

Eta pultsuen zenbakia

-1 11t<f= 62)11/ da.

Eta pultsuen zenbaki osoa bidaia osoan,

2,1Lda.

YV

A-rentzat bidaia osoak dirauen denbora 2LAiv da. Eta f frekuen--

tzia propioa izanez A-k 2L/yv f pultsu-zenbakia botatzen du. Zenba-

ki hau B-k hartzen duen zenbaki barbera da.

Holaxa, B-k 2Lf/v pultsu zenbakia botatzen du, eta hau da A-k ---

neurtzen duena.

Ikusten dugunez ea dago diskontinuitaterik hartzen diren pultsu e

ta botatzen diren pultsuen artean.

-86-

BEDERATZIGARREN GAIA

DINAMIKA ERLATIBIBTA

- Momentu linealaren adierazpen

ez-erlatibista.

- Momentu linealaren adierazpen

erlatibista.

- Momentu lineal erlatibistaren

kontserbapenaren legea

- Masa eta energia

- Momentu lineala eta energia

- Masa nulua duten partikulako Fatoiak

- 8 7 -

Erlatibitatearen Teoria Espezialari buruzko ikastaro hau bukatze-

ko, interesgarria da Dinamikaren oinharriak aztertzea. Konkretuki, abi-

aduraren transformakuntza kontutan edukiz, ez da harritzekoa magnitude

dinamikoen kasuan ere transformakuntza bitxiak aurkitzea. Bestalde, gai

honetan masa eta energia kontzeptuen artean dagoen erlazio hertsia az-

tertuka dugu, beharbada erlatibitate espezialaren ondoriorik garran-

tzizkoena berau, zeren eta horretan finkatig abiatu baita energie nu-

klearraren azterketa eta hazkundea.

Problemaren azterketa bideratzeko, bi partikularen txokearen az-

terketa ez-erlatibistatik hasiko gara, Mekanika ez-erlatibistan erabil-

tzen diren oinharriak ikusteko.

td<

sistema inertzialetatik ( S eta S' sistemegk aztertuko dugu arazoa).

S'sistema pc abiaduraz higitzen da S sistemarekiko x erdatzaren di-

rekzioan eta hasierako aldiunean bi sistemen kointzidentzia dago. Par-

tikulen abiadurak argiaren abiadurarekiko adierazten dira, eta ondoko

baloreak dituzte:

Abiadurak

Partikularen

masa

S

sisteman

S'

sisteman

Txoke

aurretik

ma c a c --a''

m b c I; c 1- *

Txoke

ondoren

mdc d c d'

me

-.c e c e'

MOMENTU LINEALAREN ADIERAZPEN EZ-ERLATIBISTA

Demagun, bi partikularen ( ma , m b ) txokean beste bi partikula

( m m e ) sortzen direla. Partikula-sistema hori isolaturik dago, Bi

d e

, —88—

Hurrongo irudian grafikoki adierazten da txokea

5

y

5'

ca

c ,5

md

51 A nle

»c c -1

2/7-7( r\/, /f.Txoke aurretik Txoke ondoren

Mekanika ez-erlatibistan honela aplikatzen da momentu linealaren

kontserbapenaren legea S'sisteman:

ey

ma a; 4. mb b; =

ma a; mb = md d; + me

Baina bi sistemak Galileoren transformakuntzeren bidez erlazio-

natzen dira:

a; = ax - p

a abiaduraren kasuan a; =. ay

a = az

Beraz, goiko ekuazioetan sustituituz:

Ma EtX + m b bx p ) = md dx ) + ex — p )

ma aymb by, mddy

me ey

ma az m6 bz = md d z me ez

f

md d; 4- me e;

ma + m b = + m,

ez

-89-

Azken ekuazio biek, OZ eta Oy ardatzen direkzioetako inbarian-

tzia adierazten digute besterik gabe. Baina azter dezagun Ox ardatzari

dagokiona.

ma mx mb bx md dx me ex ma mb md me) f °

Hemen momentu linealaren x konposatuaren kontserbapenaren legea bete

dadin, p delakoak edozein balore eduki dezakeela kontutan hartuz, bal-

dintza hau bete behar da :

ma mb - md - me = 0

Hots : ma m b = md me

Beste hitz batzutaz esanik, txokean masaren kontserbapenaren le-

gea bete behar da, momentu linealaren kontserbapenaren legea bete dadin.

Masaren kontserbapen hau besterik gabe onhartzen da Mekanika ez-erlati-

bistan, eta ondoko esaldi fairetuaz adierazi o6i da : "Masa ez da sortzen

ez deusezten ; soilik transformatzenM

Masaren kontserbapen3onhartuz, zera geratzen zaigu:

ma ax tmbbX = md dx * me ex

Antzerako gauza bat egin genuen lehen gaian(ikus 9,10 eta 11

horrialdeak). Bertan azaltzen zenez, kontserbatze-lege hau Galileo-

ren transformakuntzaren ondorio da, Zer gertatuko da, ba, Galileorena-

ren ordez Lorentzen transformakuntza erabili behar denean? Horixe da,

ba, orain aztertuko duguna.

MOMENTU LINEALAREN ADIERAZPEN ERLATIBISTA

Erlatibitatearen teoriaren barnean, Lorentzen transformakuntza

erabili behar dugunez, bi posibilitate geratzen zaizkigu momentu

nealari dagokionez:

-90-

a) Momentu lineela Mekanika ez-erlatibistan bezala definitzen da

—hots, p = m v baina ez do momentu linaalaren kontserbatze-

legerik betetzen,

b) Momentu linealaren kontserbatze-legea batetzen da, baina horre-

tarako bestelako modu batez definitu behar da mcmentu linaala.

Bi posibilitate hauetarike bigarrena aukeratuko dugu, eta, beraz,

momentu linealaren adierazpen erlatibista lortzera saiatukc gara. Dena

den,adierazpen berri honek zenbait baldintza bete beharko dite:

- abiadura ttikthen kasurako, hots, v<.< G denean,Mekanika ez-er-

latibistaren adierazpena agertu beharko da limitean. Hau da,

p =mv

- bestalde, erlatibitatearen lehen postulatua kontutan hartuz, era

berean agertu beharko da sistema inertzial guztietan, eta kcntser-

batze-legea edozein sistema inertzialetan bete beharko da,

Baina, nola lor dezakegu momentu linealaren adierazpena? Izatez haz-

tewuka ibiii behar dugu.Eta saioak egin behar ditugunez, adibide konkretu

batetatik abiatuko gara. Adibide hau G.M. Lewis-ek eta C. Tolman-ek asma-.

turikoa da, nahiz eta gero W. Pauli-k argiroago argitaratu zubn.

Masa bereko bi gorputzen txokea aztertuko dugu.Gorputz bat bertikalki

higitzen da c v abiaduraz; abiadura hau ttikia da ( c v « c) eta ho-

rrela ez-erlatibistikoki azter daitekeela eman dezakegu.Bigarren gorputza

abiadura handiz higitzen da ( c tr) , ia-ia horizortalki ( e oso ttikiada) ; partikula hau erlatibistikoki tratatu behar da. Beronen momEntu

neala p izanen da, eta problemaren kakoa p honen expresioa lortzea da.

Bi erreferentzi sistema inertzial erabiliko ditugu: S delakoa geldi dago

laborategian, eta S'eskuinetarantz higitzen da (u c cose) abiaduraz.

Hurrengo irudian S sistemako behatzaileak ikusten duena adierazten da.

• c14.,•

uc cosa•

X

=91—

Momentu linealaren kontserbatze-legea bete egiten dela kontside-

ratuko dugu ( irbektorea halegia)

Horrela, y direkzioan :

-psine +mcv = psine -mcv

psine =mcv (11

Demagun orain, txoke berbera S' sistematik aztertzen dela. Beha-

tzaile honek ( S'-koak ) ikusten duena, hurrengo irudian azaltzen da.

—92—

Irudi hau aurrekoaren simetrikoa da, Beraz,simetriaz:

c u' = c v

c v' = c u

Erabil dezpgun abiaduren transformakunt±a ( ikus 70. hor. )

, U y /‘1.13

V1 U

C7-

kasu honetan :

Beraz:

[

1:1.9 = - c u sing

ux = C U COS e

= - u-

v = c u cos e

C U - -c u sin e th. - u 2 ..52 e u sin e [2]-U C CO5 e1 c u cos e \11 - u 2 cos20

c2

Bestalde: c u' = c v

Honelatan, ba, [1] eta [2.1 konbinatuz:

p sine =mcv =mcu'v, c u sin em

\I 1 - u 2 cos2

Eta azkenean zera gertatzen zaigu;

p

Jl - u z cosze

Zer esanik ez, eta adibide honetan erabili ditugun baldintzak

kontutan hartuz, B angulua zenbat eta ttikiago izan, expresio erlati-

bista hainbat eta zehatzago izanen da.

Beraz, limitean, a egiten denean

cos e = 1 p M C U

M C U

—93—

Eta bektorialki:

M C Up

- uz

Formula hau aztertuz, u delakoa

- u2

abiadura propioa dela ikusten dugu ( ikus 73 hor.) Unitate adimentsio-

naletan:

7 - 1/1 — u2

Beraz, momentu linealaren adierazpen erlatibista ondoko hauxe da

= M C

Dena den, aurrera pasatu baino lehen, expresio hau kasu partikular

batetarako lortu dela esan behar da. Horregatik, oraingoz, ezin esan de-

zakegu, goiko adierazpen hori generala denik. Baina hurrengo puntuan

kusiko dugunez, ongi aukeraturik dago edozein kasutarako.

MOMENTU LINEAL ERLATIBISTAREN KONTSERBAPENAREN LEGEA

Oraingo puntu honetan, aurrekoan lorturiko adierazpenean oinharri-

tuz, momentu linealaren kontserbatze-legea zeintzu baldintzatan betetzen

den ikusiko dugu,

Demagun m, eta m b partikulen txokea, Txoke ondoren md eta me

partikulak sortzen dira (ikus gai honetako lehenengo puntua: "Momentu

linealaren adierazpen ez-erlatibista" ). Orain lehengo problema berbera

aztertuko dugu, baina erlatibistikoki:

S'sisteman eta y direkzioan:

. P<;,y + P;i Pdy+ pe'y

-=Eta p = m c 7 dela kontsideratuz:

ma (7:3Y mb 96y = md Tdy me 7;y

—94—

Eta abiadura propioaren transformakuntza kontutan hartuz (ikus 74.hor)

7.; =

Hots:

ma 7ay mb 76, = m d 7dy me 1]ey

Beraz, y direkzioari dagokionez, p m c07 delako forma,egokia da

momentu linealaren kontserbapenaren printzipioa bete dadin. Bestalde, y

direkzioaren aukerapena guztiz arbitrarioa denez, esanikoa erabat gene-

rala dela esan dezakegu.

Momentu linealaren adierazpen hori onhartuz, azter dezagun orain

x direkzioan gertatzen dena.

S'sisteman:

malai x + m b Tb>c = mci x + me Tex

Eta abiadura propioen transformakuntza erabiliz; (ikus 74. hor)

--1(?),--P 7o)

Beraz, balore hauk aurreko ekuaziora erams.nez:

' r ( rrta 7ax '116 ?bx 7dX 7es) "-}-

rrid

V 4-d3

o

1- ezi

—95—

Eta delakoak edozein balore har dezakeenez, ondorio bi hauk

Lortzen ditugu, ekuazio hori bete dadin:

rn b n 1 m +7 +

1 211 4-62 F-7 yi-ez

ma 7ax + mb?bx rld qdx+ me

Dndorio hauk aztertzean, honetaz ko!!lituratzen gara: Batetik, ii)

expresioak momentu lineal erlatibistaren kontserbapena adierazten du,

puntu hau y direkzioari buruz esandakoarekin ados dagoelarik. Baina bes-

talde, ii) expresioa bete dadin, i) expresioa bete behar da, i) expresi-

oan ikusten denez, ordea, txokean " masa ez-erlatibista " ez da kon-

tserbatzen zeren eta generalean

ma m b mdme

Dena den, i) expresio honek nolabait "masa erlatibistaren" kon-

tserbapenaren legea adierazten digu.

MASA ETA ENERGIA

Aurreko puntuan ikusi dugunarekin segituz, problema semantiko bat

ageri. zaigu. Lehentx pago "masa ez-erlatibista" eta "masa erlatibista"

hitzak erabili ditugu eta hori zerbait argitzea komeni da.

Azken batez, hitz egiteko moduaz ari gara. Nahi izanez gero, er-

latibitatean ez dela masaren kontserbapenaren printzipiorik esan deza-

kegu.Hala ere,ohituraz egiten dena ez da hori. Masaren kontserbapenaren

legea bete egiten dela esaten da, baina "masa" beste modu batez defini-

tzen da.

c u abiaduraz doan masaren kasuan izen hau ematen zaie ondoko

magnitudeei:

m :

–96–

nerreposorpmasa"

" masa"

" momentu lineala"p = st C "L— 1.1

Nolabait esateko,./1‘ "masa erlatibista" da,hots,kontserbapenareri

printzipioe kontutan hartuz behar dena.

,frb b = ,frbe

Azter ditzagun.Shonen berezitasunak:

delakoa eskalare bat da eta abiaduraren moduluaren dependen-

tzia du. Honetaz, Mekanikan definitzen den energia kinetikoaran antzerakoa

dela esan dezakegu. Eta ez hori soilik: Hurrengo kalkuluetan ikusiko du-

gunez, lotura handia dago bien artean.

Seriez desarroilatuz:

M m U. 2 _2

c.8 c 2 Z MC2 +—mC

2 U.2

Bigarren termino hau energia kinetikoa da:

E = m c2(4-2K 2

Eta energi aldakuntzak konstante batez indeterminaturik daudela

dakigunez, uf•tc2 partikularen energia deituko dugu:2

E Jit C 2 MC

Honela eginik, masa eta energia arteko erlazio zuzena ikusten da :

}"bc 2 . E

-97—

Bestalde, modu honetan kcntsideratuz, ensrgia prozesu el, stiko

zein inelastikotan kontserbatzen da, bi lege nagusi geratuz: masaren

kontserbapenarena eta energiaren kontserbapenarena, Eta argi dagoenez,

bi lege hauk lege bakar bat dira.

Energia eta masaren lotura hertsiaren adierazpen hau Erlatibita-

tearen Teoria Espezialaren ondoriorik garrantzizkoenetarikoa da. Ho-

rretan finkatuz, energia nuklearraren erabilkeraren posibilitatea sus-

matu zen eta,hortik abiatuz,mundu berri bat sortu da, Fisika Nuklea-

rrarena halegia. Honela,denok dakigu masa eta energia gauza berbera dire-

la, eta masa energiatan bihur daitekeela eta,halaber,energia masatan bihur

daitekeela. Horrela apurtu egiten da masaren kontserbapenaren kontzep-

zio klasikoa, halegia "masa ezin sor ez deusezta daitekeela",Dena den,

esan beharra dago ezen, prozesu arruntetan abiadura oso ttikia delarik,

efektu erlatibista ez dela neurtzen ahal, eta masa kontserbatu egiten

dela esen dezakegula.

MOMENTU LINEALA ETA ENERGIA

Aurreko puntuetan ikusi ditugun expresioak batuz eta ordenatuz,

modu honetan aurkez ditzakegu momentu linealaren konposatuak eta energia:

P m c .1x

133 = mcpy

p. = m c 7a

2m c 2E = = m c

Eta momentu linealaren konposatuak argiaren abiaduraz biderkatuz:

—98—

px C = m C2

7x

p c = m c2

2

E = m c2 7a

Ikusten denez, ba, momentu linealaren konposatuek ( c—z biderkatuz)

eta energiak osoturike tetrabektorea, abiadura propioaren proportzional

da (m c2 faktoreaz biderkatuz). Puntu honetan ere, berriro ere da

abiadura propioaren gprrantzia.

Dena den, bukatzeko, ekpresio hauk froga ditzekegu:

p c=uE

2 2 2E —p c = m

zc4

Expresio hauk aurreko lerroetan idatzirikoetatik lortzen dira zu,

zenki; eta gero, praktikan, hauxek dira gehien erabiltzen direnak, batez

ere, partikula elementalen dinamika erlatibista lantzean.

MASA NULUA DUTEN PARTIKULAK. F[TCINK

Argiaren izakerari buruzko teorien azterketan sartu gabe, ikus

dezagun zer gertatzen den arzi—izpi bat partikula gisa tratatzean.

Izpi horren abiadura c denez, u = 1 da. Eta ondoko expresioan

sustituituz:

p c = u'E

zera geratzen zaigu

p c = E

Hemendik zera ikusten da, halegia, argi—izpiak p momentu

lineala duela, Maxwell—en teoria elektromagnetikoarekin ados beraU.

-99-

Eta beste expresic honetara erumanik:

E2 - p

2 c2 .., M

2 c4

p E 2 - E2 = m 2 C4 =

Beraz, ateratzen den ondorioa hauxe da : n7=0

Hots, partikula horrek erreposoan masa nulua duela ikusten da.

Azken batez, ba, Mekanika erlatibistaren ondorio bezala, argi-izpiak

erreposoan masa nulua duten partikulek bezala kontsidera daitezkeela

ikusten da. Argiaren ikuspegi gorpuzkularra azpimarkatu nehi denean,

argi-partikula hori fctoi deitzen da.

Fotoiez gainera, ba dira masa nulua duten beste partikula batzu,

hala ncla, neutrineak. Eta inoiz obserbatu ez badira ere, fisikariek

uste dutenez, beharbada,elkarrakzio grabitatorlearekin zerikusirik dukeen

masa nuluko beste partikula moeta bat ere ba dagoke. Eta datekeen parti-

kula horri, prabitoi izene eman diote.

-10C-

BIBLIOGRAFIA

J. H. SMITH " Introducci6n a la relatividad especial".

Ed. Revert6 1.969.

A.P. FRENCH : "Relatividad especial". Ed. Revert6 1.974

P. MITTELSTAEDT : "Problemas filos6ficos de la fisica moderna"

Ed. Alhambra 1.969

L. LANDAU, Y RUMER " 4u6 es la teoria de la relatividad?"

1.969

A. EINStEIN, A. GRUNBAUM, A.S. EDDINGTON y otros : " La teoria

de la relatividad", Alianza Universidad 1.977

-101—

EUSKARA - GAZTELANIA HIZTEGIA

ABERRAZIO : Aberraci6n

ABIADURA Velocidad

ASIADURA PROPIO : Velocidad propia

ADIERAZPEN Expresidn

ALDIUNE Instante de tiempo

ANPLITUDE Amplitud

ARDATZ : Eje

ARDATZ KOORDINATU Eje coordenado

ARGI-ETERE : Eter luminoso ( ikus etere luminoso)

ARGIAREN IZAERA : Naturaleza de la luz

ARGI-IZPI : Rayo de luz

ARGI-SEINALE: SeFlal luminosa

ATOI-KOEFIZIENTE: Coeficiente de arrastre

AZELERAZI2 : Aceleraci6n

BEHATZAILE : Observador

BIDE OPTIKO: Camino 6ptico

BIKIEN PARADOKA: Paradoja de los gemelos ( mellizos)

DENBCRA : Tiempo

DENBORA INPROPIC : Tiempo impropio

DENBORA PRCPIO : Tiempo propio

DENBORAREN DILATAZIO : Dilataci6n del tiempo

DERIBA (TU): Derivar

DERIBATU : Derivada

DINAMIKA Din6.mica

DOPPLER EFEKTU : Efecto Doppler

EKUAZIO : Ecuaci6n

ENERGIA Energia

ENERGIA KINETIKC: Energa cinftica

-102-

EREMU ELEKTRIKO : Campo elActrico

EREMU MAGNETIKO : B4Do magnftico

ERLATIBO Relativo, a

ERLATIBITATEAREN TEORIA ESPEZIAL: Teoria de la relatividad especial.

teoria especial de lo relatividad

ERLATIBITATEAREN TEORIA GENERALA: Teoria de la relativdad general

teoria general de lg relatividad.

ERRADIAZIO : Radiaci6n

ERREFERENTZIA: : Referencia

ERREFERENTZI SI3TWA INERTZIAL Sistema inercial de referencia

EFnEFRAKZIO—INDIZE : Indice de refracci6n

ESPAZIO Espacio

ESFAZIO—DENSORA DIAGRAMA: Diacrama espacio—tiempo

ESPZIO—DENBCOA INBARIANTE Invariante espacio—tiempo

ESPAZIO—DENDORA INTERBALD Intervalo espacio—tiempo

ESPERIMENTU : Experimento

ETERE : Eter

FASE—ABIADURA : Velocidad e fase

FREKUENTZIA : Frecuencia

FREKUENTZIA ANGULA : Frecuencia angular

GALILEO—REN TRANSFORMKUNTZA : Transformación de Balileo

GERTAKARI : Suceso

GERTAKRI PUNTUAL Suceso puntual

GURRIRANZKO KORRIMENDU : Borrimiento hacia el rajo

HARMONIKC : Arm6nico, a

HEDA (TU) : Propagar (se)

HEDAFEN : Propagaciån

HEDATZE—ABIADURA : Velocidad de prcipac,acibn

HUTS : Vacio (Fisica)

IN3ARIANTE : Invariante

INGURUNE : Medio (entorno mE:terial)

-103—

/NTERFERENTZIA : Interferencia

INTERFERUMETRO : Interfer6metro.

INTERFEFIENTZI LEnno : Frunje de interferencia

IZARREN ADERAZIO : Aberracidn de lae estrellas

IZPI : Rayo (de tuz)

IZPI KCSMIKC : Rayq c6smico

KAUSALITATE : Causalidad

KINEMATIKA : Cinem&tica

KOORDINATU-SISTE•A. : Sistema de coordenadas

LCRENTZ-EN TRANDFORMAKUNTZA : Transformaci6n de Lorentz

LCRENTZ-EN KONTRAKZI:: Contracci6n de Lorentz

LUZERA : Longitud

LUZERAREN KONTRAKZIC: Contracci6n de 1a longitud

.mINKO•SKY-REN DIAGRAMA t Diagrama de Minkowsky

MOMENTU LINEAL : Momento lineal

MUCI : Mu6n

NEURKETA t Mediciån

PARADCXA : Paradoja

PERIC00 : Periodo

POSTULATU 2 Postulado

PULTSU Pulso

SIMULTANEITATE : Simultaneidad

SIMULTANEC Simultaneo, a

SISTEMA Sistema

SISTEMA INERTZIAL : Sistema inercial

TEDRIA GORPUZKULAR feoria gorpuscular

TECRIA ONDULATCRIO : Teoria ondulatoria

TETRABEKTORE Tetravector

TRANSFORMAKUNTZA : Transformaci6n

TXOKE : Choque

-104-

UHIN Onda

UHIN MEKANIKO : Onda mecdnica

UHIN ELEKTRCMAGNETIKC Onda electromagndtica

UHIN-LUZERA o Lorpgitud de onda

UHIN-NUMERO : Nlimero de onda

UNIBERTSO-INTERBALO : Intervalo de universo

UNIBERTSO-LINEA : Linea de universo