BALANZA DE JOLLY - umsa

Incertidumbre de la Medición

1

PRESENTACIÓN

Estimado estudiante: La ciencia y la tecnología no habrían llegado a ser lo que son ahora, si no

fuera por la experimentación, por ello es importante desarrollar habilidades y conocimientos

referidos al diseño de experimentos, y dentro de esto, el de reconocer la imperfección natural de la

realización de las mediciones, lo que hace imposible conocer con certeza absoluta el valor

verdadero de una magnitud; toda medición lleva implícita una incertidumbre, se entiende por

incertidumbre de la medición, al parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que pueden

ser atribuidos razonablemente al elemento a ser medido.

El método y el procedimiento de medición son determinantes en el valor de la incertidumbre de la

medición. Un conocimiento insuficiente de ellos muy probablemente conducirá a una estimación

equivocada, o incompleta en el mejor de los casos, de la incertidumbre de la medición.

En la presente guía se muestran fundamentos básicos para la obtención de la incertidumbre en

mediciones a realizarse en laboratorios.

La Paz, Agosto 2013 Oscar Febo Flores Meneses

Febo Flores

2

INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN

1 INTRODUCCIÓN

El término tratamiento de errores ha sido muy ampliamente usado para interpretar resultados obtenidos en

experimentos, pero la palabra error da a entender como que la lectura obtenida está equivocada, lo que no es totalmente

cierto, sobre todo cuando las mediciones se realizan con el mayor cuidado posible, por ese motivo, instituciones como

la VIM (International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology) y la GUM (Guide to the Expression of

Uncertainty in Measurement), recomiendan realizar el tratamiento de los resultados experimentales en función de la

incertidumbre de la medida.

Por tanto, en el presente capítulo se hará una introducción de la “Incertidumbre de la Medición” y la forma cómo se

aplicará en los experimentos a realizarse en laboratorio.

1.1 ¿QUÉ ES UN EXPERIMENTO?: En el ámbito de la tecnología, es frecuente hacer experimentos o

pruebas con la intención de resolver un problema o comprobar una idea (conjetura, hipótesis); por ejemplo, hacer

algunos cambios en los materiales, métodos o condiciones de operación de un proceso, probar varias temperaturas en

una máquina hasta encontrar la que da el mejor resultado o crear un nuevo material con la intención de lograr mejoras

o eliminar algún problema relacionado con la ingeniería.

PROCESO DE INDUCCIÓN: Es aquél que se emplea para plantear la hipótesis “teoría” a partir de los datos obtenidos

del experimento “realidad” (flechas que van de derecha a izquierda en la figura 1). Como se podrá advertir, el “proceso

de inducción”, requiere del investigador un profundo conocimiento del fenómeno natural, mismo que intentará

describir en base a modelos matemáticos.

PROCESO DE DEDUCCIÓN: Es aquél en que los modelos o hipótesis “teoría”, son la base para predecir los

fenómenos o datos que se obtendrán en el experimento “realidad” (las flechas que van de izquierda a derecha en la

figura 1). El “proceso de deducción” es el que se empleará en los experimentos de la presente guía para contrastar los

modelos o hipótesis ya establecidos por reconocidos científicos.

2 ERRORES EXPERIMENTALES

Al hacer un experimento, se deben realizar mediciones directas como indirectas de las variables que intervienen en el

mismo. En ese proceso es común no obtener el valor verdadero de la magnitud a medir, pues se pueden cometer errores

gruesos, errores sistemáticos y errores aleatorios que a continuación se explican:

Error grueso: Aquel que se comete por desconocimiento de la medición a realizar, mal uso o falla de los instrumentos

de medida o de laboratorio, o hasta simples distracciones que hace se obtengan lecturas que en algunos casos es fácil

de reconocer por lo alejadas de los valores esperados, por eso es recomendable tener una idea de la magnitud

aproximada del valor a obtenerse para así descartar estos registros, ya sea al momento de medir o cuando se realiza el

De similar modo, en el ámbito de la investigación

básica de las ciencias que fundamentan la ingeniería

como la física, el método científico exige la validación

de la teoría, modelos, hipótesis, supuestos, mediante el

proceso interactivo entre la experimentación y la teoría

en un ciclo indefinido como se muestra en la figura 1.

El experimento es el único camino que relaciona la

realidad con la teoría. (flechas de la figura 1)

Teoría: Realidad

modelos, hechos,

hipótesis datos figura 1: Método científico

Realidad: hechos, fenómenos, datos figura 1: proceso interactivo de la experimentación

inducción

deducción


3

tratamiento de datos. Es posible también cometer este tipo de errores al hacer cálculos, usando erróneamente fórmulas,

parámetros o unidades de medida.

Error sistemático: Cuando en algún tipo de medición directa, el valor medido se desfasa del verdadero, ya sea en

exceso (demás) o en defecto (menor) debido a alguna característica del instrumento de medida o al método empleado,

o cuando se realizan mediciones indirectas, al emplear fórmulas o constantes que afectan otra vez en exceso o en

defecto al valor de interés. También se incorpora error sistemático en un experimento, al intervenir en el mismo la

influencia de alguna variable de tipo físico no considerada en el experimento, por ello que es más difícil de detectarlo.

Error aleatorio: El error aleatorio es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar

durante el proceso de medición, ya que además de las variables de interés en un experimento, intervienen otras de tipo

ambiental y otras generadas en el mismo proceso de medición que influyen ligeramente en el resultado tanto en exceso

como en defecto, por ello al repetir un experimento o medición en condiciones supuestamente idénticas, los resultados

difieren entre sí, y ello puede ser considerado como normal en un experimento.

¿Qué hacer para evitar cometer estos errores?

En un experimento, el conocer bien el objetivo del mismo, entender el método a emplear, conocer los instrumentos,

comprender las variables que intervienen y hacer metódicamente el experimento, hace que se reduzcan las

probabilidades de cometer error grueso. Al error sistemático es más difícil reconocerlo, deben conocerse con mayor

profundidad los métodos, medios y fenómenos físicos que intervienen en el experimento. En cambio el error aleatorio

es inevitable, siempre está presente en los experimentos por causas naturales que generan aleatoriedad en los

resultados, la única forma de evitar el error aleatorio es incrementando el número de mediciones o réplicas “n” de cada

lectura, pero no debe olvidarse que esto requiere de más tiempo, y al incrementar el tiempo, variables como por ejemplo

las climáticas (temperatura y humedad), se modifican, y al cambiar pueden estar afectando las condiciones del

experimento, por ello en pocos casos se recomienda un n > 10.

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA MEDICIÓN: En general cuando se emplean instrumentos de medición,

éstos pueden dar lecturas digitales o analógicas (figura 2), las lecturas digitales brindan valores fijos mientras que las

analógicas al variar de modo continuo, sus valores dependen de la apreciación del observador.

(a) lectura digital (b) lectura analógica (c) lectura analógica

figura 2: tipo de lecturas obtenidas en mediciones

Lecturas digitales: Supóngase se desea obtener la masa de un cuerpo, entonces se emplea una balanza de visor digital

con una resolución (mínima diferencia detectada por el instrumento) de 0,1 [gr] y se obtiene la siguiente lectura:

Como la resolución del instrumento es de 0,1 [gr], entonces se podría aseverar que

la masa del cuerpo es 05,04,83 [gr]; ó que está entre 83,35 [gr] y 83,45 [gr].

Febo Flores

4

2.2 INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN: Es posible conseguir balanzas de mayor resolución, tienen más

tecnología y son costosas, pero generalmente no se justifica, ya que el resultado siempre se expresará en un rango,

además todo proceso de medición es en realidad un acto de comparación de la magnitud a medir con otro referencial

o patrón, que entre sí nunca llegarán a ser exactamente iguales, por tanto el valor verdadero no puede ser conocido.

La función de distribución probabilística que mejor se ajusta a este tipo de lecturas, es la rectangular que a continuación

se explica:

Existen otras fuentes de incertidumbre que se ajustan bastante bien a FDP rectangular.

Lecturas analógicas: Supóngase ahora que empleamos una balanza de visor analógico para pesar el mismo cuerpo y

obtenemos la siguiente lectura:

A continuación se emplea una balanza con una resolución mayor 0,01 [gr],

dando una lectura de 83,36 con lo que podría aseverarse que la masa del

cuerpo es 005,036,83 [gr]; ó que está entre 83,355 [gr] y 83,365 [gr].

Toda medición tiene asociada una incertidumbre

La Función de Distribución Probabilística

“FDP” rectangular muestra que existe la misma

probabilidad de obtener un valor en el rango “a”.

El área achurada 3

2 au (1), indica que

existe un 58 % de probabilidad de que un valor se

encuentre en dicho rango.

“u” es la incertidumbre estándar

P(x)

0

1/a

x

a

u

figura 3: FDP rectangular

Ejemplo 1: Para la lectura de una balanza digital 83,36 gr; hallar la incertidumbre estándar debida a la resolución del

instrumento.

a = 83,365 – 83,355 = 0,01 gr (resolución del instrumento). La función de distribución es rectangular.

La incertidumbre estándar para FDP rectangular está dada por ec. (1) 3

2 au ; entonces 0029,032

01,0

32

au gr

La incertidumbre estándar “u” para la medida de la balanza es 0,0029 gr

Nótese que la incertidumbre estándar debida solamente a la resolución del instrumento de medida 0,0029 no afecta a la

lectura 83,36 ya que es muy pequeña, se pierde al redondearla a dos dígitos decimales correspondientes a la resolución

de la medida proporcionada por el visor digital.

83,355 83,36 83,365 83,35 83,37

a


5

La incertidumbre debida a la apreciación del observador en lecturas analógicas se puede describir mejor con una FDP

triangular, ya que la medida se encuentra entre dos registros, siendo más probable que el valor medio de ambos registros

esté más próximo al valor verdadero.

Hasta aquí se vieron dos factores que generan incertidumbre en la medición; la debida a la resolución del instrumento

y la debida a la apreciación del observador. Sin embargo existen otros factores que pueden también añadir

incertidumbre a la medición, tal como certificaciones de calibración, error máximo permisible “emp”, histéresis, error

de linealidad y otros que suelen especificar los fabricantes o los organismos de certificación como IBMETRO en

Bolivia.

El valor a registrarse dependerá de la apreciación y criterio del

observador pero estará en el rango comprendido entre 83 [gr] y 84 [gr].

Si se incrementa a continuación la resolución

del visor analógico se obtiene un valor

comprendido entre 83,4 [gr] y 83,5 [gr].

La Función de Distribución Probabilística

“FDP” triangular muestra que existe mayor

probabilidad en el punto medio del rango “a” y

que no hay valores fuera de ese rango.

El área achurada 6

2 au (2), indica que

existe un 65 % de probabilidad de que un valor

se encuentre en dicho rango.

“u” denota la incertidumbre estándar

figura 4: FDP triangular

0

2/a

x

P(x) a

u

Ejemplo 2: Calcular la incertidumbre estándar debida a la

apreciación de lectura de intensidad de corriente “a”.

La aguja marcadora se encuentra entre 46 y 48 mA; por

tanto a = 48 – 46 = 2 mA; aplicando ec. (2); 6

2 au

se tiene que 41,062

2u

Por tanto la incertidumbre estándar es 0,41 mA.

Como en el ejemplo anterior, la incertidumbre estándar

debida a la apreciación del observador 0,41 mA es muy

pequeña con respecto a 47 mA.

Febo Flores

6

Incertidumbre estándar combinada “uC”: Cuando actúan simultáneamente varios factores que añaden

incertidumbre “u(xi)” a una medida, debe obtenerse la resultante de todas ellas, con la denominada incertidumbre

estándar combinada, haciendo uso de la siguiente ecuación:

Donde:

uC: incertidumbre estándar combinada de N fuentes de incertidumbre en la medida resultante de y.

ui: cada una de las incertidumbre xi estándar que intervienen en la medición.

i

ix

yc

coeficientes de sensibilidad, se emplean para propagar la incertidumbre en mediciones indirectas.

Cando existe dependencia entre factores de incertidumbre, la ecuación se corrige con componentes de correlación.

Ejemplo 3: Indicar la lectura la incertidumbre estándar combinada, de la medida obtenida con el vernier cuya escala se

muestra en la figura.

Incertidumbre estándar debida a la apreciación del observador “uaprec” considerando FDP triangular:

La apreciación como se ve en la figura, es a = 0,04 mm, luego ec.(2) 008165,062

04,0

62

auaprec

mm

Incertidumbre estándar debida a la resolución del vernier “uresol” considerando FDP rectangular:

Como la resolución del vernier es a = 0,02 mm, entonces la ec.(1) 005776,032

02,0

32

auresol

mm

La incertidumbre combinada se encuentra con la ec. (3) aplicada a las dos incertidumbres estándar aprecu y resolu

que intervienen en esta medición. Los coeficientes de sensibilidad se hacen igual a uno (ci = 1) cuando la medición es

directa.

010001,0005776,0008165,0

2222 resolaprecC uuu

Redondeando a dos dígitos decimales para conciliar con la resolución del vernier se tiene: 01,0Cu [mm]

Note que en este caso, la incertidumbre debida a la apreciación del instrumento es la que predomina con respecto a la

incertidumbre debida a la resolución del vernier.

En este caso es posible

encontrar dos componentes de

incertidumbre estándar,

debidas a:

apreciación del

observador

resolución del vernier

Lectura del vernier: 3,60 mm

(3) xucyuN

i

iC

2

1

2

222

2

2

2

2

1

2

1 ... NNC ucucucu o

0,58 0,62

0,62 - 0,58 = 0,04 mm

3 60


7

Dispersión en las mediciones

Cálculo de la incertidumbre estándar tipo A: Como las mediciones se deben realizar en condiciones de repetibilidad,

es decir manteniendo inalterable la magnitud a medir, el medio ambiente, los instrumentos y observadores que

intervienen en la medida, no debería apreciarse dispersión en las lecturas de una misma magnitud, a menos que la

resolución del instrumento sea tan fina que permita detectar el error aleatorio atribuible a la medición, en cuyo caso

debe tratarse estadísticamente, según se muestra a continuación:

Llamemos , al valor verdadero de una variable a medir en el experimento que en realidad no es conocido.

Sean nxxx ...,, 21 , las mediciones realizadas en el experimento.

Entonces:

En la mayor parte de los casos, la mejor estimación disponible del

valor esperado µ de una magnitud x que varía de modo aleatorio con

n observaciones independientes xk que han sido obtenidos bajo las

mismas condiciones de medición, es la media aritmética o promedio

x de n observaciones.

Los valores de las observaciones individuales xk difieren en

razón de las variaciones aleatorias de las magnitudes de

influencia o de efectos aleatorios. La varianza experimental

de las observaciones s2, que estima la varianza 2 de la

distribución de probabilidad de x, viene dada por ec. (5):

La desviación estándar experimental de la

media )(xs determina la bondad con que x

estima la esperanza matemática de x, y puede ser

utilizada como medida de la incertidumbre tipo

A. ec (6)

Si al realizar más de una medición de alguna magnitud

que vaya a ser empleada como variable de entrada en

un experimento, y aunque las condiciones se

mantengan inalterables, se obtengan diferentes

valores, tal como los doce registros mostrados en la

figura 5, ello se deberá a la dispersión característica

del “error aleatorio”.

De encontrarse esta variabilidad en algún

procedimiento de medición, se concluirá que éste tiene

INCERTIDUMBRE DEL TIPO A y que su

tratamiento puede realizarse con el método estadístico

que emplea el promedio como elemento de medida de

tendencia central y la varianza experimental como

medida de la dispersión.

x11 x7 x1 x2x6 x4 x5

x3 x9 x10

x8 x12

x

x

figura 5: FDP normal

n

k

kxn

x1

1

n

j

jk xxn

xs1

22

1

1

11

2

nn

xx

n

xsxsxu

n

j

j

kA

(5)

(6)

(4)

Febo Flores

8

Este valor puede hallarse directamente en calculadoras, paquetes como el Excel y programas de estadística.

Incertidumbre expandida “U ": Es el valor final de incertidumbre de una medición donde se considera además de la

combinación de todas las incertidumbres estándar que intervienen en el proceso, un determinado nivel de confianza

que se escoge de acuerdo a la probabilidad deseada para que el rango de incertidumbre expandida “U” incluya al valor

verdadero.

De manera que una medición experimental debe expresarse o reportarse de la forma:

o

No debe olvidarse de especificar el nivel de confianza con el que se determinó “U”

La incertidumbre expandida “U” se ajusta a una distribución normal o a una distribución t de Student.

Ejemplo 4: determine el promedio y la incertidumbre estándar tipo A de las siguientes medidas en [cm] obtenidas de

un experimento con un tornillo micrométrico: 6,605; 6,612; 6,607; 6,608; 6,610; 6,608; 6,609; 6,606

En el EXCEL usando la fórmula “=PROMEDIO(rango de celdas)”, se obtiene 608125,6x

A continuación la fórmula “=DESVEST(rango de celdas)”, se obtiene 002232071,0)( kxs

Encontramos la incertidumbre estándar tipo A con la ec.(7): 000789156,0

8

002232071,0

n

xsxu k

A

Tanto el promedio de las mediciones como la incertidumbre tipo A deben redondearse a tres decimales para conciliar

con las cifras significativas obtenidas de las medidas, por lo que la incertidumbre estándar tipo A de la lectura quedará

001,0 [cm]

En calculadoras se suele representar a la varianza experimental con 2n-1 y a la desviación estándar experimental con

n-1.

UxUx

Ux

P(x)

x n

suA

22

La Función de Distribución Probabilística “FDP”

normal o de Gauss es la que mejor describe

variabilidad aleatoria en la medición. Los valores se

pueden encontrar en todo el rango de la variable de

entrada pero tienden a concentrarse más en el centro.

El área achurada n

su A22 (7), indica que existe

un 68,26 % de probabilidad de que un valor se

encuentre en dicho rango.

“uA ” denota la incertidumbre estándar tipo A

figura 6: FDP normal

(8)


9

Cuando el número de réplicas de la muestra es grande 30n , se emplea la distribución normal para expresar

la incertidumbre expandida U según la ec. (9).

Donde:

p : es el nivel de confianza o probabilidad para que el rango de U incluya al valor verdadero

kp : es el factor de cobertura de la distribución normal obtenido a partir de p, por ejemplo:

kp = 1; representa probabilidad o nivel de confianza “p” (porcentual) del 68,26 %

kp =1,96; representa probabilidad o nivel de confianza “p” (porcentual) del 95,00 %

kp = 2; representa probabilidad o nivel de confianza “p” (porcentual) del 95,46 %

Cuando el número de réplicas de la muestra es pequeño 30n , se emplea la distribución t de Student para

expresar la incertidumbre expandida U según la ec. (10).

Donde:

α : se define como significancia; p1

vef : representa los grados de libertad efectivos de todas las incertidumbres estándar

Para incertidumbres estándar tipo A ajustadas a una FDP t de Student 1 nv

Para las demás formas de incertidumbres estándar, conocidas como tipo B v

En las incertidumbres de tipo B, se considera que el grado de certeza es alto, por ello se le suele asignar infinito como

grados de libertad.

Para encontrar los grados de libertad efectivos vef se emplea la ecuación de Welch-Satterthwaite ec. (14)

La ecuación anterior muestra que vef es mayormente influenciado por las fuentes de incertidumbre altas y con pocos

grados de libertad.

Si vef < 30 debe emplearse la FDP t de Student; en base a vef con usualmente α = 0,05

Si 30efv debe emplearse la FDP normal o de Gauss; con usualmente kp = 1,96 para p = 0,95

Cp ukU

CvutU

ef

;

2

(9)

(10)

(11)

N

i i

iii

Cef

v

xuc

yuv

1

44

4

(12)

(13)

(14)

El método de evaluación de incertidumbre tipo A, está basado en un análisis estadístico de

una serie de mediciones aleatorias (ejemplo 4), mientras que las fuentes de incertidumbre

tipo B comprende todas las demás maneras de estimar la incertidumbre (ejemplos 1, 2 y 3).

Febo Flores

10

Resumen gráfico del proceso para determinar la incertidumbre expandida “U”

Resumen paso a paso del proceso para determinar la incertidumbre expandida “U”

1er paso: Reconocer todas las fuentes de incertidumbre estándar, según figura 7 (a)

tipo A corresponde a la variabilidad en las lecturas.

Se determina uA con la ecuación (7) de FDP normal: n

suA

22

tipo B corresponde a la información que se obtiene del instrumento de medida.

Si la FDP es triangular, se encuentra u con la ec.2: 6

2 au

Si la FDP es rectangular, se encuentra u con la ec.1: 3

2 au

Existen otras formas de incertidumbre estándar tipo B que son proporcionadas por el fabricante del

instrumento de medida o según criterio del operador.

2do paso: Se integran todas las incertidumbres obtenidas del tipo A y tipo B como se muestra en la figura 7(b),

mediante la ec. (3) que al no considerar los efectos de correlación, queda en:

u

a

a

u

U

U

u

uC

n > = 30

n < 30

figura 7: Proceso para la determinación de la incertidumbre expandida U

(a) escoger todas las fuentes de u (b) combinando todas las fuentes de u en uC (c) escoger “p” o “α” para obtener U

PDF normal

PDF t de Student


11

222

2

2

2

2

1

2

1 ... NNC ucucucu

Donde:

ci : son los coeficientes de sensibilidad; valen 1 cuando la medición es directa. En caso que la

medición sea indirecta, debe encontrase con:

i

ix

yc

ixu 2 son las incertidumbre estándar que intervienen en la medición

3er paso: Se calcula el valor de vef (grados de libertad efectivos) con ec. (14) ó (16), en función de ello se determina

si se emplea FDP normal o FDP t de Student, como se muestra en fig. 7 (c).

N

NN

Cef

v

uc

v

uc

v

uc

uv

44

2

4

2

4

2

1

4

1

4

1

4

...

Si la medición es directa, los factores de sensibilidad c1, c2, … cN se hacen igual a uno.

Las incertidumbres tipo B tienen v (grados de libertad) igual a infinito.

Como 1 nv entonces:

Si vef < 30 debe emplearse la FDP t de Student; en base a vef con usualmente α = 0,05

Entonces CvutU

ef

;

2

Si 30efv debe emplearse la FDP normal o de Gauss; con usualmente kp = 1,96 para p = 0,95

Entonces Cp ukU

Para finalmente expresar la medida en la forma: Ux con nivel de confianza p (porcentual)

No debe olvidarse que α + p = 1; si se desea en el modo porcentual, los términos se multiplican por 100.

Ejemplo 5: Se pesa en condiciones de repetibilidad cinco veces un cuerpo en una balanza digital certificada para

emplearse en la ciudad de La Paz por Ibmetro. Habiéndose obtenido los siguientes registros:

Capacidad máxima: 4100 g

Clase de exactitud: I

Resolución: 0,01 g

EMP (error máximo permisible): ± 0,03 g

NÚMERO DE MEDICIÓN RESULTADO OBTENIDO [g]

1 3001,01

2 3001,00

3 3001,02

4 3001,02

5 3001,00

(15)

(16)

Febo Flores

12

1er paso: Existen tres fuentes de incertidumbre

Tipo A: Existe variabilidad en la medición, se debe calcular la media y desviación estándar experimental.

01,30015

54321

mmmmm

m

0045,0

451

5

1

2

1

2

i

i

n

i

i

A

mm

nn

mm

msmu

Existen dos tipos de incertidumbre estándar Tipo B; la debida a la resolución del instrumento y la debida al “emp”.

Resolución del instrumento: Al considerar distribución rectangular, empleamos ec.(1) 3

2 au

Como a = 0,01 g; tenemos 0029,032

01,0

32

auresol

El Error Máximo Permisible “emp” es proporcionado por el fabricante y certificado por el ente regulador.

Este valor fluctúa entre -0,03 y +0,03; por tanto a es 0,06; usando nuevamente la FDP rectangular, ec.(1):

32 au

0173,0

32

06,0empu

2do paso: Para combinar las tres incertidumbres estándar, se emplea la ec. (3) 2

1

1

22

N

i

iiC xucyu

Donde la ec.15: 12

i

ix

yc

porque la medición es directa

Quedándonos: 2

1

1

2

N

i

iC xuyu o

222

empresolAC uuuu

222

0173,00029,00045,0 yuC

0181,000032795,0 yuC

3er paso:

4

4

444

4

1

44

4

0045,0

0181,04

0173,00029,0

15

0045,0

0181,0

N

i i

iii

Cef

v

xuc

yuv

Por tanto se emplea la FDP normal, entonces 0181,096,1 Cp ukU g

Entonces la medición debe expresarse: 3001,01 ±0,04 [g] con un nivel de confianza del 95 %

Nótese que la incertidumbre expandida “U” se redondeó a dos cifras decimales para conciliar con la medida

del promedio y que el nivel de confianza porcentual es del 95 % porque se escogió un kp = 1,96

g

g

En el EXCEL “=PROMEDIO(rango de celdas)”, se obtiene 01,30001m

“=DESVEST(rango de celdas)/raiz(5)”, se obtiene 004472,0)( muA

g

g

g

vef = 1047

U = 0,0355 g

En el Excel “=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,95)”; se obtiene 1,964485…


13

La influencia de la variable temperatura: Una variable que debe tomarse en cuenta cuando se requieren medidas

exactas de longitud, es la referida a la dilatación de los cuerpos cuando estos se exponen a variaciones de temperatura.

Por ejemplo una regla o un vernier se dilatan si la temperatura sube; en cambio cuando la temperatura baja, la longitud

de dicho instrumento de medida disminuye, la ecuación que describe tal comportamiento es: Tll 0

(17), donde:

l es la variación de longitud al cambio de temperatura T ;

0l es la longitud inicial del objeto antes de someterse al cambio de temperatura T ;

es el coeficiente de dilatación lineal y depende del material, por ejemplo en el acero es 15 º101,1 C , mientras que del aluminio es 15 º104,2 C ; que implica que el aluminio cambia más

su longitud l que el acero cuando se exponen a variaciones de temperatura T .

Debido a este aspecto, las mediciones de longitud deben estar referidas a una temperatura, por ejemplo si la regla se

dilata más que el objeto a medir cuando aumenta la temperatura, se estarán obteniendo mediciones más chicas que las

reales, es decir se estaría cometiendo error sistemático, además si la temperatura del recinto donde se hace la medida

tiene fluctuaciones, deberá considerarse incertidumbre debido a variación de longitud del instrumento de medida como

del objeto a medir.

Ejemplo 6: Refiriéndose a mediciones con vernier, supóngase que se desean considerar las condiciones

ambientales en la medición, específicamente las debidas a la temperatura. Para ello se dispone de los siguientes

datos:

El objeto a medir tiene un coeficiente de expansión lineal αcuerpo = 11,5 × 10-6 ± 1 × 10-6 ºC-1 con probabilidad 0,95

El vernier a usar tiene un coeficiente de expansión lineal αvernier = 5,6 × 10-6 ± 0,5 × 10-6 ºC-1 con probabilidad 0,95

La medición se realiza en un laboratorio donde la temperatura se mantiene a 10 ± 3 ºC con probabilidad del 0,95,

y se obtiene una medida de 99,99 mm. Determinar la medición corregida para condiciones estándar e incertidumbre

debida al factor ambiental uamb.

Nótese que todos los parámetros empleados en física, tal como los coeficientes de dilatación lineal así como la

temperatura del laboratorio deben incluir sus correspondientes incertidumbres.

Cálculo del error sistemático: La medición en condiciones estándar debe darse cuando la temperatura es de 20 ºC;

pero como la medida se realiza a 10 ºC como indica el enunciado, tanto el vernier como el objeto a medir se

contraen, sin embargo como sus coeficientes de dilatación son distintos, sus longitudes se reducen en distinta

proporción. Consecuentemente se estaría cometiendo error sistemático, para corregirlo se hace uso de la ecuación

(17), como se muestra a continuación:

Tll 0 , es decir;

Tlll CverniercuerpoCC º10º10º20 , o sea;

1020106,5105,11199,991 66

º10º20 Tll verniercuerpoCC

99589941,99º20 Cl

Como el vernier da lecturas con 2 decimales de resolución, redondeamos a 2 decimales o sea l20ºC = 100,00 mm

Nótese que el error sistemático debido al cambio de temperatura sería de 100,00 - 99,99 = 0,01 mm.

Como el vernier tiene un coeficiente de dilatación “α” menor que del objeto, se contrae menos (al disminuir la

temperatura) que el objeto a medir, entonces a 10 ºC mide al objeto como si fuera más pequeño de lo que realmente

es o viceversa, que al aumentar la temperatura, de 10 ºC a 20 ºC (corrigiendo la medición), el vernier se dilata

menos que el objeto y mide al objeto más grande de lo que era a 10 ºC.

Siempre que sea posible deben encontrarse las fuentes de error sistemático y eliminarse.

Febo Flores

14

Calculando la incertidumbre debida a la variación de la temperatura: Las fuentes de incertidumbre debidas a

los cambios de temperatura son:

Tll verniercuerpo 0

1er paso: Los datos de incertidumbre proporcionados en el enunciado son del tipo B porque no son obtenidos del

proceso mismo de medición, sino de referencias o información previa. Supondremos que la “l0” no contribuye en

esta ocasión con incertidumbre, en muchos casos ello es cierto cuando al redondear los dígitos decimales

correspondientes a la resolución del instrumento, se hacen cero como se vio en los ejemplos 1 y 2.

La información: 20 ± 3 ºC significa que la temperatura en el lugar de medición varía entre 17 y 23 ºC con 95% de

probabilidad y está descrita en la forma TUT , entonces 3ºC es incertidumbre expandida, pero para combinarla

con las incertidumbres de las otras variables, previamente debe convertirse a incertidumbre estándar con la ec. (9).

Cuk

U

k

Uu T

T

p

T º53,196,1

3

95,0

Del mismo modo, para la incertidumbre debida a la variabilidad del coeficiente de expansión del cuerpo a medir:

17

6

95,0

º1010,596,1

101

Cuk

U

k

Uu cuerpo

p

cuerpo

Lo mismo, para encontrar la incertidumbre debida a la variabilidad del coeficiente de expansión del vernier:

17

6

95,0

º1055,296,1

105,0

Cuk

U

k

Uu vernier

p

vernier

2do paso: Como Δl depende de otras variables como αcuerpo ,αvernier y ΔT; los coeficientes de sensibilidad se

obtendrán con la ec. (15), la aplicación de estas ecuaciones también es conocida como “propagación de errores”.

mmCclT

lc TverniercuerpoT

16

0 º00059,0101006,55,11

CmmcTll

c cuerpo

cuerpo

cuerpo º1000101000

CmmcTll

c vernier

vernier

vernier º1000101000

Para combinar las incertidumbres estándar debidas a la temperatura, se aplica la ecuación (3):

222222

)( vernierverniercuerpocuerpoTTTC ucucucu

27227222

)( 1055,21000101,5100053,100059,0TCu

uC(T) = 0,00107 mm incertidumbre estándar debida solamente a la influencia de la temperatura.

Pero la incertidumbre debida a la temperatura debería también combinarse con las fuentes de incertidumbre debida

a la resolución y apreciación del vernier.

± 3ºC; p (porcentual) del 95%

±0,5×10-6 ºC-1; p (porcentual) del 95%

±1×10-6 ºC-1; p (porcentual) del 95%


15

Ejemplo 7: a) Combine los valores de incertidumbre debidas a la apreciación y resolución vistas en el ejemplo 3

con la incertidumbre debida a la variación de temperatura determinada en el ejemplo 6. b) Encuentre la

incertidumbre expandida.

a) Ya se vio en el ejemplo 3 mmuuu resolaprecC 010001,0005776,0008165,02222

En el ejemplo 6 se obtuvo uC(T) = 0,00107 mm

Por tanto el valor nuevo de la incertidumbre combinada estará dada por:

mmuuuu TCresolaprecC 010058,000107,0005776,0008165,0222222

Note que el principal componente de incertidumbre es la apreciación del vernier y que la incertidumbre

debida a la deformación térmica del vernier es tan pequeña que podría despreciarse.

b) Suponiendo que no existen otras fuentes de incertidumbre, por ejemplo que no hay variabilidad en las

lecturas, determinamos la incertidumbre expandida con la ecuación 9: Cp ukU debido a que son

fuentes de incertidumbre tipo B con grados de libertad igual a infinito.

mmukU Cp 019714,0010058,096,1

Redondeando a dos dígitos decimales, se tiene 0,02 mm; por tanto la lectura sería 3,60±0,02 mm con un

nivel de confianza del 95 %.

x [mm]

3,58 3,62 3,60

Área = 0,95

Ejemplo 8: En los vertederos de escotadura triangular, el caudal de descarga está dado por la siguiente ecuación

2

5

tan215

8HgQ (18), donde φ y H se muestran en la figura, encontrar la propagación de incertidumbre para el

caudal Q, haciendo uso de la ec. 3.

2

252

22

252232542

4

25tan2

225

64

cos

1tan2

225

64tan

9

32sec

225

128

HHgu

senHguHguHguu HHQ

2

2

2

22

2

2

2

22

25

4

25

cos

1

4

25

cos

1tan2

225

64HHQ u

Hu

senQu

Hu

sengHu

φ

H

2

2

2

22222

H

Qu

Qucucuu HHHQ

54

2

2

5

2

2

sec225

128sec2

15

8HgHg

Q

2

2

2

32

tan9

32tan2

30

40 3

gHHgH

Q

Febo Flores

16

2

2

2

22 4

25

cos

1H

Qu

Hu

senQ

u

Si el vertedero tiene un ángulo φ = 17,5º y se emplea una altura de carga H=35mm, indique en que porcentaje

varía el caudal de escurrimiento si la incertidumbre en la medida de la altura es uH =5 mm

Suponiendo que no hay incertidumbre en la medición del ángulo, es decir uφ = 0, se tiene:

36,05

354

250

º5,17cosº5,17

1 2

222

mm

mmsenQ

uQ

Es importante tomar nota de la influencia que tiene la incertidumbre en la medida de la altura para la

determinación del caudal de escurrimiento, pues en la práctica de vertederos, un estudiante tiene que mantener la

altura H constante, si no lo consigue, la incertidumbre obtenida en el caudal es demasiado grande.

Incertidumbre relativa

Significa que la incertidumbre propagada para el

caudal está en el orden del 36% con respecto al

caudal correspondiente.

Ejemplo 9: En el anterior ejemplo se mostró el modelo matemático idealizado (ec 18), para estimar el caudal de

escurrimiento por un vertedero triangular, cuya deducción se muestra en la práctica de vertederos. Sin embargo,

la forma de determinar el caudal experimentalmente se basa en la medición del volumen de agua V vertido en un

recipiente en determinado tiempo t, para así obtener Q = V/t. Pero al no contarse en laboratorio con un recipiente

con graduación, se determinará el volumen con una medición indirecta, empleando V= m/ρ, donde ρ es la

densidad del agua. Los valores obtenidos para seis réplicas se muestran a continuación:

No existe información de los instrumentos de medida pero, se sabe que los mismos están certificados.

¿la balanza mide peso o masa?... En realidad, lo que mide una balanza es el peso de un cuerpo, debido a que

ésta se acciona por el efecto de la gravedad, sin embargo, si la balanza ha sido calibrada en el lugar, dígase en

nuestra ciudad con sus características propias de gravedad “g” y empuje del aire. Entonces, como las balanzas se

calibran para ser certificadas mediante una masa patrón, al pesar, lo que se está haciendo es comparar el cuerpo

con una masa de referencia, por tanto una balanza calibrada mide la masa.

1er paso: Identificar las fuentes de incertidumbre; como hay variabilidad en la lectura de la masa, existe

incertidumbre Tipo A, misma que se encuentra con las ecuaciones de distribución normal.

Para la medición de la masa en [g]:

Para la medición del tiempo en [s]:

m

[gr] 1042 1040 1040 1045 1043 1041

t

[s] 5,58 6,01 6,00 6,03 6,00 5,57

En el EXCEL “=PROMEDIO(rango de celdas)”, se obtiene 83,1041m

“=DESVEST(rango de celdas)/raiz(6)”, se obtiene 79,0)( muA

En el EXCEL “=PROMEDIO(rango de celdas)”, se obtiene 86,5t

“=DESVEST(rango de celdas)/raiz(6)”, se obtiene 09,0)( tuA


17

La incertidumbre estándar Tipo B se obtiene de las características de la información disponible de los

instrumentos de medida.

Resolución de la balanza: Al considerar distribución rectangular, se emplea ec.(1) 3

2 au

Como a = 0,01 g; tenemos 0029,032

01,0

32)(

au bresol

Resolución del cronómetro: Puesto que el cronómetro a usar es digital con resolución de a = 0,01 s, se tiene:

0029,032

01,0

32)(

au cresol

Tiempo de reacción en el empleo de cronómetro: Debe considerarse que la incertidumbre debida al tiempo

de reacción “utr” depende del operador y debe aplicarse tanto al inicio como al final del periodo de tiempo a

cronometrar. Supongamos que por las características del operador

1,0)( finaltrinictr uu inicialfinal ttt

2do paso: Se combinan las incertidumbres

Incertidumbre debida al tiempo de reacción del operador para activar el cronómetro

222

22

1,02

iniciotrfinaltriniciotr

inicial

finaltr

final

tr uuut

tu

t

tu

14,0tru

Incertidumbre en la medición de la masa: Debida a la variabilidad en la medida y resolución de la balanza

79,00029,079,02222 bresolAm umuu

Incertidumbre en la medición del tiempo: Debida a la variabilidad en la medida, la resolución del

cronómetro y el tiempo de reacción al inicio y final de la medición.

17,014,00029,009,0 222222 trcresolAt uutuu

Finalmente combinamos según la ecuación (3): 22

tmQ u

t

Qu

m

Qu

(19) , considerando que

el valor de densidad del agua no tiene incertidumbre, así también que no hay correlación entre las mediciones

de la masa y el tiempo.

Como: t

m

t

VQ

por otra parte; 79,17786,5

183,1041

t

m

t

VQ

entonces 17,086,51

11

tm

Q

34,3086,51

83,104122

t

m

t

Q

reemplazando en la ec. (19), se obtiene 16,517,034,3079,017,022Qu

3er paso:

t

t

m

m

Q

N

i i

iii

Cef

v

ut

Q

v

um

Q

u

v

xuc

yuv

4

4

4

4

4

1

44

4

donde:

5

5

79,0

79,0

1

4

4

4

4

n

mu

uv

A

mm

64

5

09,0

17,0

1

4

4

4

4

n

tu

uv

A

tt

s además

cm3/s

cm3/s

Febo Flores

18

3. PRINCIPIOS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

Un estudio experimental o una investigación, por lo general tiene como último objetivo, responder en forma segura

ciertas preguntas y tomar decisiones. En este contexto, el experimentador tiene a priori ciertas suposiciones o hipótesis

que desea comprobar. Por ejemplo:

La velocidad de caída en régimen permanente de una esfera en un líquido viscoso es constante.

El caudal de escurrimiento en un vertedero varía potencialmente respecto a la altura de carga.

El caudal de escurrimiento de un vertedero en condiciones ideales es mayor que en condiciones reales

El tiempo de vaciado de un fluido desde un recipiente cilíndrico está dado por:

gaC

HAt

D 2

2

3.1 PREBA DE HIPÓTESIS: Emplearemos dos tipos:

1. Contraste entre un parámetro “x” obtenido experimentalmente con uno referencial o teórico “µ”.

Ux

Ux

figura 8: µ está en el rango de Ux figura 9: µ no está en el rango de Ux

2. Contraste entre dos parámetros obtenidos experimentalmente.

xUx

xUx

U

U

figura 10: hay solape entre xUx y

U figura 11: no hay solape entre xUx y

U

Entonces:

64

64

17,034,30

5

79,017,0

16,544

4

4

4

4

4

4

t

t

m

m

Q

ef

v

ut

Q

v

um

Q

uv

Al ser el número de grados de libertad (64) mayor a 30, puede emplearse la distribución normal para

determinar la incertidumbre expandida (ec.9) con el 95% de probabilidad.

11,1016,596,195,0 QukU

Entonces la medición del caudal se expresa como: 177,79 ± 10,11 cm3/s

165 170 175 180 185 190

µ

x x

µ

x x

Se dice que x cuando el valor referencial µ está en el rango xUx o cuando

xUx tiene solape con U

Se dice que x cuando el valor referencial µ no está en el rango xUx o cuando

xUx no solapa con U


19

hipótesis nula Expresada como “Ho” se deriva del hecho de que comúnmente se plantea como una igualdad, tal como

se aprecia en las figuras 8 y 10, donde se puede aseverar que: x . En general, la estrategia a seguir para probar una

hipótesis es suponer que la hipótesis nula es verdadera, y que en caso de ser rechazada por la evidencia que aportan

los datos, se estará aceptando la hipótesis alternativa HA.

hipótesis alternativa Expresada como “HA”, es aceptada después de descartar la hipótesis nula y puede ser de dos

tipo:

BILATERAL; o de dos colas, cuando x como se muestra en las figuras 9 y 11

UNILATERAL; o de una cola, cuando se desea comprobar x ó x

La hipótesis alternativa bilateral es la normalmente empleada y es la que será empleada en el presente texto.

Las figuras 8, 9,10 y 11 muestran el método gráfico para determinar, si se acepta o descarta de la hipótesis nula, sin

embargo es más práctico verificar el contraste de las t de Student.

BIBLIOGRAFÍA

Evaluation of measurement data, Guide to the expression of uncertainty in measurement – JCGM 100:2008

Measurement Uncertainty Analysis Principles and Methods – NASA Handbook

BALANZA DE JOLLY - umsa

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