balance hidrostático

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2020 1

3. Ecuaciones de conservación

El comportamiento de la atmósfera se estudia considerando la evolución de sumasa, su momento y su energía. Para ello es necesario derivar ecuaciones deconservación de estas cantidades.

3.1 Distribución de masa en la atmósfera

La atmósfera de la Tierra tiene una masa de 5.265x1018 kg. La presión ejercidadisminuye con la altura a medida que existe menos masa por encima de un cierto nivel.Por lo tanto, como fue derivado en el capítulo 2, existe una fuerza de gradiente depresión vertical dada por

que induce un movimiento desde la alta presión a la baja presión, o sea hacia arriba.Este movimiento es contrarrestado por la fuerza de la gravedad actuando sobre cadaparcela de fluido de masa unidad

Para una atmósfera en reposo estas dos fuerzas deben ser iguales y opuestas por lo queen la dirección vertical vale

Este balance se denomina balance hidrostático y, si bien se cumple exactamente sóloen el caso de una atmósfera en reposo, es el balance de primer orden en casi toda laatmósfera real.

Consideremos ahora una columna de atmósfera de área unidad contenida entrelos niveles de presión de 1000hPa y 500hPa (figura 3.1). Como la presión se definecomo fuerza por unidad de área, hemos aislado en esa columna una masa de atmósferasuficiente como para ejercer 500 hPa de presión. La masa de esa columna es la mismade otra columna que se extendiera entre los niveles de 710mb y 210mb. La masa de lacolumna es

Notas: Prof. Marcelo Barreiro


Masa=Fuerza

g= Presión∗Área

g=500∗100 N /m2∗1m2

9.8m2/ s

=5102.04 kg

Figura 3.1 – Columna de atmósfera entre los niveles de 1000 y 500 hPa.

Mientras que la masa entre los niveles de 1000 y 500 hPa es la misma, el ancho (oaltura) de la capa varía de un día a otro. Por lo tanto, el volumen y la densidad de lacapa también variarán día a día. Por la ley de gases ideales, a aire menos (más) densocorresponde una temperatura virtual promedio en la capa, T v , mayor (menor).(Recordemos que Tv=T(1+0.61w), donde w es la razón de mezcla, y es la temperaturaque debería tener el aire seco para tener la misma presión y densidad que una muestrade aire húmedo a temperatura T.)

Por lo tanto debe ser posible relacionar la temperatura virtual con el ancho de la capa.Para ello combinamos la ley del gas ideal (p=ρRdTv, ver Apéndice A) y la ecuaciónhidrostática:

ó



Integrando esta ecuación entre los niveles p1 y p2 (p1>p2) a alturas z1 y z2 (z1<z2)

donde

es la temperatura virtual promediada en la capa. La ecuación anterior se denominaecuación hipsométrica y cuantifica la relación entre el espesor de la capa de atmósferaentre presiones p1 y p2 dado por Δz y la temperatura media virtual de la capa. Notar queel ancho de la capa será mayor cuanto mayor sea la temperatura y la humedad de lacolumna (ambas variables combinadas en Tv)..

La ecuación hipsométrica también puede expresarse en términos del geopotencial Φ.Puesto que dΦ=gdz, podemos escribir

(α=1/ρ) y la ecuación hipsométrica queda



Recordemos que la altura del geopotencial Z se define como Z=Φ/g0, donde g0 es lagravedad promedio a nivel del mar (g0=9.81 m/s2) y que la altura geométrica (z) y laaltura del geopotencial (Z) son casi iguales en la tropósfera.

La ecuación hipsométrica tiene múltiples aplicaciones en meteorología. Por ejemplo, esposible utilizarla para hallar la presión a nivel del mar que corresponde a la ubicación deuna estación meteorológica situada en una montaña. Asimismo, en los países dondenieva se utiliza como guía el ancho de la capa entre 500 y 1000 hPa como indicador deprecipitación sólida. Por ejemplo, la isolínea de 540 (5400 gpm) tiende a dividir la zonade nieve (donde hay valores menores del espesor) y la zona de lluvia (donde hay valoresmayores).

Por otro lado, la ecuación hipsométrica da información sobre la estructura vertical delos sistemas meteorológicos de gran escala en latitudes medias. Por ejemplo,consideremos el ancho de la capa entre 500 y 1000 hPa en una estación dada. Entoncesnos queda (Rd=287 J/kg/K)

y por lo tanto un cambio de 60 m en el espesor de la capa corresponde a un cambiopromedio en la temperatura de 2.96 °C.

Si se tiene dos columnas, una fría a temperatura Tv1 y otra mas cálida a temperatura Tv2,entonces se cumple

Δ z1

T v1

=Δ z2

T v2

lo cual implica que la presión disminuye más rápidamente con la altura en una columnafría que en una columna cálida ( Δ z1<Δ z2 ). Las consecuencias de este hecho seilustran en la figura 3.2 que muestra un corte vertical a través de un ciclón de núcleofrío. Como la columna en el medio del ciclón es fría relativo a su entorno, en todos losniveles su espesor es menor que en cualquier otro lugar. Por lo tanto la fuerza gradientede presión, dirigida hacia el centro del ciclón aumenta en magnitud con la altura. Así,los ciclones de núcleo frío, los más usuales en latitudes medias, se intensifican con laaltura lo cual es una característica muy importante en la dinámica de estos ciclones.



Figura 3.2 – Corte vertical a través de un ciclón de núcleo frío. Líneas sólidas sonisóbaras (las isotermas son casi paralelas a las isóbaras), líneas finas son los niveles de

0.5 km y 5 km. Las flechas indican la fuerza gradiente de presión.

----- Resuelva ejercicio 7 del Práctico 2 -----

3.2 Derivada total en un sistema rotante

Como se mencionó anteriormente en meteorología se describe el movimiento de laatmósfera con respecto a un sistema que rota con la Tierra. Por lo tanto para escribir laecuación de Newton es necesario hallar la relación entre la derivada total de un vectoren un sistema de coordenadas inercial y la derivada total en un sistema rotante.

Sea A un vector arbitrario cuyos componentes cartesianos en el sistema inercial son



y sus componentes en un sistema que rota a velocidad angular Ώ son

Sea daA/dt la derivada total en el sistema inercial (absoluto), entonces

La misma derivada en el sistema rotante es

o

donde dA/dt es la derivada siguiendo el movimiento relativo de A. Los últimos trestérminos aparecen pues los versores cambian de orientación con la rotación de la Tierra.

Consideremos el versor en la dirección zonal (i'); su cambio está dado por (en longitud,latitud y altura)

δ i '=∂ i '∂λ

δλ+∂ i '∂ϕ

δϕ+∂ i '∂ z

δ z

Para una rotación de cuerpo sólido

por lo que δ i 'δt

=∂ i '∂λ

Ω y tomando el límite δt -> 0 se obtiene

d i 'd t

=∂ i '∂λ

Ω

De la figura 3.3 vale que



∂ i ´∂λ

= j ' sin ϕ−k ' cosϕ

pero como (ver figura 3.4)Ω=(0,Ωcos ϕ ,Ωsinϕ )

se obtiene

d i 'dt

=Ω∧i ' .

Figura 3.3 – Descomposición de δi' en sus componentes horizontal, meridional yvertical.

Análogamente, d j 'dt

=Ω∧ j '

d k 'dt

=Ω∧k '

por lo que



y se obtiene la siguiente expresión que relaciona las derivadas totales en los sistemasinercial y rotante

3.3 Ecuación de conservación de momento en un sistema rotante

Aplicando la relación anterior al vector posición r (r es el vector perpendicular al eje derotación de magnitud igual a la distancia entre el eje de rotación y la superficie terrestre)para una parcela de aire

que por definición es

y dice que la velocidad absoluta es igual a la velocidad relativa más la velocidad derotación de la Tierra. Si aplicamos la relación de transformación de coordenadas a lavelocidad absoluta obtenemos



ya que x xr=−2r . La última ecuación establece que la aceleración

lagrangiana en un sistema inercial es igual a la suma de (1) la aceleración lagrangianarelativa al sistema rotante, (2) la aceleración de Coriolis, y (3) la aceleración centrípeta.

De acuerdo a la 2da ley de Newton y recordando que las fuerzas fundamentales queconsideraremos son el gradiente de presión, la gravedad y la fricción se obtiene

o alternativamente

donde la aceleración centrípeta ha sido combinada con la gravedad en una gravedadefectiva (sección 2.2).

3.3.1 Coordenadas esféricas

A los efectos meterológicos es posible considerar a la Tierra como una esfera perfecta.Por lo tanto consideraremos un sistema de coordenadas esférico de forma que lasuperficie coincida con una superficie de las coordenadas. Los ejes de coordenadas sonentonces (λ ,ϕ , z) =(longitud, latitud, altura). Es usual definir x e y como lasdistancias hacia el este y hacia el norte, respectivamente. Por lo tanto

dx=a cosϕ dλ , dy=ad ϕ donde a es el radio terrestre y se desprecia la distanciadesde la superficie hasta la altura de la parcela por ser muchísimo menor que a. Lavelocidad relativa se puede escribir como V=ui+vj+wk, donde los componentes estándefinidos por



Notemos que este sistema de coordenadas no es cartesiano pues la dirección de losversores cambia con la posición en la superficie (por ej. todos los meridianos convergenen los polos y la dirección “norte” no apunta al mismo lugar en todos lados). Estadependencia en la posición debe tomarse en cuenta cuando el vector aceleración seexpande en sus componentes

y debemos encontrar expresiones para los últimos tres términos. Por ejemplo,consideremos el versor i. Expandimos la derivada total

donde la derivada temporal local es nula pues cada punto de grilla dado i siempre indicala misma dirección. Además, i es sólo función de x por lo que se tiene

didt=u

∂ i∂ x

De acuerdo a la figura 3.3 por similaridad de triángulos se tiene

y

Tomando el límite δx -> 0

Por similares argumentos geométricos es posible derivar las siguientes expresiones para



los cambios de los versores j y k

Por lo tanto, combinando las expresiones derivadas anteriormente obtenemos

que describe las componentes en el sistema de coordenadas esférico de la derivada totaldel movimiento relativo.

Consideremos ahora la fuerza de Coriolis. Dado que Ώ sólo tiene componentes verticaly meridional (figura 3.4), el término de Coriolis queda de la forma



Figura 3.4 – Componentes de la velocidad angular Ώ.

Los componentes de la fuerza de gradiente de presión son

mientras que la gravedad, que apunta en la dirección vertical local, es

y la fricción se representa como

Combinando todas las expresiones anteriores y separando por componente se encuentraque en un sistema rotante con la Tierra las ecuaciones de conservación de momento sonlas siguientes



Los términos que involucran 1/a son resultado de la esfericidad terrestre y por lo tantose denominan términos de curvatura. Estos términos son cuadráticos en las variables(u,v,w) y por lo tanto su no-linealidad dificulta el análisis. Por suerte, como se mostrarámas abajo, los términos de curvatura no juegan ningún papel en la dinámica de lossistemas meteorológicos en latitudes medias. No obstante, aún en ausencia de esostérminos, las ecuaciones anteriores son no lineales debido a la presencia de los términosadvectivos incluídos en las derivadas totales.

3.3.2 Análisis de escala

Las ecuaciones de conservación de momento descritas en la sección anteriordescriben todos los tipos y escalas de movimientos atmosféricos. Incluyen, por ejemplo,las ondas de sonido que son, no obstante, de importancia menor en meteorologíadinámica. El análisis de escala es una técnica que permite estimar el orden de magnitudde los términos que componen la ecuación de movimiento para el tipo de movimientoque nos interesa y retener solo aquellos que sean significativos. En esta secciónrealizaremos un análisis de escala que tiene como objetivo describir los sistemassinópticos y que filtra aquellas soluciones, como las ondas sonoras, que no juegan unpapel importante en la dinámica de estos sistemas.

Las características del movimiento atmosférico dependen en gran medida de laescala horizontal por lo que su consideración es un método conveniente para clasificardistintos sistemas de movimiento. La tabla 3.1 muestra algunos tipos de movimientocomunes en la atmósfera.



Tabla 3.1 – Escalas horizontales características de movimientos atmosféricos.

En forma general es posible definir rangos de variaciones espaciales con límitesaproximados, que se muestran en la tabla 3.2.

Tabla 3.2 – Escalas de movimiento atmosférico.

Notar la gran diferencia en escalas horizontal y vertical dado por las extensiones



horizontal y vertical de la tropósfera. Para escalas sinópticas los sistemas en latitudesmedias tienen las siguientes características:

La escala para las fluctuaciones horizontales de presión está normalizada por ladensidad para que produzca una estimación que sea válida en todas las alturas de latropósfera a pesar de que δp y ρ decrecen exponencialmente con la altura. Esta escalaindica que la diferencia de presión entre altas o bajas adyacentes es del orden de 10 hPa.La escala temporal es una escala advectiva apropiada para sistemas de circulación quese trasladan aproximadamente a la misma velocidad que el viento horizontal que loscaracteriza, lo cual se observa a escala sinóptica. Por lo tanto L/U es el tiempo requeridopara recorrer una distancia L a velocidad U y la derivada total escala d/dt ~ U/L paraestos movimientos.

Asumiendo una latitud media de 45° el parámetro de Coriolis es del orden de 10-4 s-1, ypodemos calcular los órdenes de magnitud de todos los términos involucrados en lasecuaciones de conservación de momento horizontal (ver figura 3.5). Notar que eltérmino de fricción molecular es tan pequeño que puede despreciarse en todos los casosexcepto cerca del suelo.



Figura 3.5 – Escalas de los términos en las ecuaciones horizontales de conservación demomento.

De este análisis se desprende claramente que a primer orden el balance de momento serealiza entre la fuerza del gradiente de presión horizontal y la fuerza de Coriolis. Estebalance se conoce como balance geostrófico y representa la relación de diagnósticofundamental para el flujo de latitudes medias. Esta aproximación de las ecuaciones notiene referencia al tiempo y por lo tanto no puede ser usada para predecir la evolucióndel campo de velocidades. Notar que el término con derivada temporal es el que tienemagnitud sólo un orden menor que los términos del balance geostrófico y por lo tantouna aproximación no tan restrictiva de las ecuaciones permitirá determinar la evolucióndel flujo (ver más abajo).

Para determinar el tipo de flujo que describe el balance geostrófico es necesarioconsiderar el balance de las fuerzas que actúan. La fuerza del gradiente de presión estádirigida siempre de alta a baja presión en forma perpendicular a las isóbaras. Para que lafuerza de Coriolis balancee esa fuerza debe estar dirigida en forma perpendicular a ladirección del movimiento de la parcela de aire y hacia la derecha (izquierda) en el H.N.(H.S.) (figura 3.6). Por lo tanto el movimiento de la parcela será a lo largo de lasisóbaras y el sentido estará dado por f.



Fuerza de Coriolis

p+δp

Vg

p-δp

Fuerza gradiente de presión

Figura 3.6 – Viento geostrófico en HS.

La expresión del viento geostrófico es

En forma vectorial

lo cual muestra claramente que el viento geostrófico debe ser siempre paralelo a lasisóbaras y de magnitud proporcional al gradiente de presión e inversamenteproporcional a la densidad y al parámetro de Coriolis.

Para latitudes medias el viento geostrófico es muy cercano al observado, quizás dentrode un margen del 10-15%, mientras que cerca del ecuador el balance no es válido yaque f →0 y el viento geostrófico no se parece en nada al real. Dado que el balance geostrófico no hace referencia a derivadas temporales, el viento



geostrófico es estrictamente válido solamente en regiones de aceleración nula, lo cualimplica que ni la magnitud ni la dirección del viento pueden cambiar. La figura 3.7muestra la situación sinóptica en 250 mb para el 15 de febrero de 2011 incluyendo lasisotacas. Como se observa, en la mayor parte de la región la magnitud y/o la direcciónde la velocidad cambia.

Figura 3.7 – Situación sinóptica en 250 mb para el 15/02/2011. Se muestran loscontornos de altura (blanco, dam) y en verde las isotacas mayores a 70 nudos.

Los cambios en la magnitud del viento son más prominentes en la vecindad de máximosde vientos llamados “jet streaks”, mientras que cambios en la dirección del viento(máximos de curvatura) son claros cerca de las vaguadas y cuñas que se distinguen en elcampo de presión. El grado de alejamiento del balance geostrófico que caracteriza estasregiones puede ser determinado considerando la diferencia entre el viento real y elgeostrófico calculado en el mismo punto. Esta diferencia se conoce como vientoageostrófico Vag y se define matemáticamente como



El valor de esta definición proviene del hecho de que es posible introducir la posibilidadde pronóstico. Para ello consideremos los términos mayores o iguales a 10-4 de lasecuaciones de momento. Entonces,

Sustituyendo el balance geostrófico en estas ecuaciones

lo cual puede ser escrito como

lo cual indica que el viento ageostrófico está asociado a regiones de aceleraciónlagrangiana del viento, y predice la evolución temporal del viento total. Notemos que laaceleración está siempre a 90° de Vag.

Asimismo, es posible escribir la anterior ecuación de la siguiente forma

k̂f×

d V⃗d t

=V⃗ ag

Como a la entrada de un “jet streak” el flujo se acelera (dV/dt>0) el flujo ageostrófico



es hacia alturas de geopotencial más bajas; por el contratio a la salida el flujoageostrófico es hacia alturas de geopotencial más altas. Mas adelante veremos la granimportancia del viento ageostrófico en la comprensión de la dinámica de la atmósfera delatitudes medias.

Por lo que vimos más arriba, para determinar si un flujo estará cercano al balancegeostrófico es necesario comparar el término de aceleración lagrangiana con el términode Coriolis. Recordando que el término de aceleración escala como U2/L y el deCoriolis como f0U entonces el cociente entre estas aceleraciones es

Este cociente es adimensional y se denomina número de Rossby (Ro). Para valores deRo < 0.1 la aceleración lagrangiana es despreciable frente a la de Coriolis y el flujo esaproximadamente geostrófico.

La figura 3.8 muestra un análisis de escala para la componente vertical de lasecuaciones de movimiento. En este caso está muy claro que el balance predominante esentre la gravedad y la componente vertical del gradiente de presión, o sea domina elbalance hidrostático.

Figura 3.8 – Escalas de los términos de la componente vertical de la ecuación deconservación de momento.

Por todo lo anterior se desprende que a primer orden la atmósfera en latitudes medias seencuentra en balance hidrostático y geostrófico.

----- Resuelva ejercicios 8 y 9 del Práctico 2 -----



3.4 Ecuación de conservación de masa

La conservación de la masa de un fluido en su movimiento está dado por la ecuación de continuidad. El flujo de masa que entra y que sale de un elemento de volumen δxδyδz en la dirección x puede escribirse como (ver figura 3.9)

Figura 3.9 - Balance de masa de un elemento de volumen.

Flujo de masa que entra ρuδ z δ y

Flujo de masa que sale (ρ+∂ρ

∂ xδ x )(u+

∂u∂ x

δ x)δ zδ y

El flujo de masa neto (sale-entra) es entonces

(ρ∂u∂ x

+∂ρ

∂ x∂ u∂ x

δ x+u∂ρ

∂ x)δ x δ z δ y ,

Cuando δx -> 0, el segundo término es despreciable comparado con los otros dos y obtenemos

(ρ∂u∂ x

+u∂ρ

∂ x)δ xδ z δ y=

∂ρu∂ x

δ x δ yδ z .

En tres dimensiones



(∂ρu∂ x

+∂ρ v∂ y

+∂ρw∂ z

)δ xδ y δ z

El flujo de masa debe estar balanceado por el cambio de masa en el elemento de volumen

∂ρ

∂ tδ x δ y δ z

y por lo tanto la ecuación de conservación de masa queda

∂ρ

∂ t+∂ρu∂ x

+∂ρ v∂ y

+∂ρw∂ z

=0 .

Esta ecuación fue derivada por primera vez por L. Euler (1707-1783).

Es posible también escribir esta ecuación de la siguiente forma

Un fluido cuyas parcelas individuales no experimentan un cambio en su densidadsiguiendo el movimiento (dρ/dt=0) se conoce como fluido incompresible. Es claro quela atmósfera es un fluido compresible. No obstante para muchos procesos atmosféricosla compresibilidad no juega un papel importante. En estos casos la ecuación decontinuidad simplemente establece que la divergencia del campo de velocidades es nula.

----- Resuelva ejercicio 10 del Práctico 2 -----

3.5 Ecuación de conservación de energía

La atmósfera puede guardar energía en forma de calor latente, energía cinética, energíainterna y energía potencial. Uno de los mayores problemas en el estudio de los procesosatmosféricos es determinar cómo es la conversión entre las diferentes formas de energía.

Para derivar la ecuación de conservación de la energía mecánica comenzamosmultiplicando las ecuaciones de momento por la componente de la velocidad



correspondiente, y obtenemos

Sumando estas tres ecuaciones y notando que los términos de Coriolis y de curvaturasuman cero (recordemos que Coriolis no realiza trabajo) resulta

El término de la izquierda representa la razón de cambio de la energía cinética total delflujo. El primer término de la derecha representa el trabajo realizado por la velocidadageostrófica contra el gradiente de presión. Cuando la velocidad está dirigida a través delas isóbaras de alta a baja (de baja a alta) presión se produce (consume) energía cinética.Notar que en el caso de un flujo exactamente geostrófico V es paralelo al gradiente de lapresión y el término se anula.

Por definición w=dz/dt y -gw puede escribirse como

donde es el geopotencial, o sea una medida del trabajo necesario para elevar unaunidad de masa una distancia z por encima del nivel del mar. Entonces vale



donde ahora el lado izquierdo representa la suma de la energía cinética y potencial porunidad de masa de una parcela de atmósfera. El último término a la derecha representala energía disipada por la fricción. Notar que como V y F son en general opuestas elproducto V.F será negativo y la energía de la parcela decrecerá en presencia de friccióncomo es esperable.

Como la ecuación anterior se derivó de las ecuaciones de movimiento relacionaúnicamente formas de energía mećanicas y se denomina ecuación de energíamecánica.

Para incluir las otras formas de energía existentes en la atmósfera es necesarioconsiderar la primera ley de la termodinámica

que relaciona la razón del calentamiento Q̇ con cambios en la energía interna y eltrabajo de expansión. La razón de calentamiento incluye procesos de liberación de calorlatente, conducción y radiación. Cv es el calor específico del aire seco a volumenconstante (717 J/kg/K) y α es el volumen específico.

Reordenando la ecuación de energía mecánica

y sumándosela a la 1a ley obtenemos

Notando que

1V .∇ p=

dpdt

−∂ p∂ t

y que



es posible reagrupar los términos de la forma

que se conoce como la ecuación de conservación de la energía. Esta ecuación implica

que para un flujo adiabático ( Q̇=0 ), estacionario (∂ p∂ t

=0 ) y sin fricción (F=0) se

conserva la suma de las energías cinética, potencial y entalpía (h=cvT+pα), o sea

la cual es similar a la ecuación de Bernoulli para un fluido incompresible (válida a lolargo de líneas de corriente)

Esta última relación sugiere que para una atmósfera en reposo un incremento en laelevación resulta en una disminución de la presión hidrostática (obvio!). Si la atmósfera,por el contrario, está en movimiento aparece una mayor diferencia de presión aúnconsiderando el mismo incremento de elevación pues en este caso es una diferencia enpresión dinámica. Por ejemplo, para un flujo sobre una montaña, siguiendo las líneas decorriente, a medida que el aire sube la velocidad del viento aumenta. Por lo tanto ladiferencia de presión entre el pico y la base de la montaña (p2-p1) debe ser mayor que sudiferencia hidrostática pues la velocidad del viento es mayor en el pico que en la base(u2>u1).

3.5.1 Temperatura potencial

Consideremos nuevamente la 1a ley de la termodinámica y sustituyamos el término de



trabajo usando una versión diferencial de la ley de gases ideales

y, usando que cp=cv+R queda

Dividiendo por T y recordando que α/T=R/p

donde el término de la derecha es la entropía. Consideremos un proceso isentrópico (aentropía constante) donde una parcela se mueve desde una presión p y temperatura T aun nivel de presión p0 de referencia con una temperatura θ de referencia. Este procesodefine la temperatura potencial θ ; integrando

Esta última se denomina ecuación de Poisson. Físicamente θ es la temperatura quetendría una parcela de aire si fuera comprimida (o expandida) adiabáticamente desde supresión original p (altura) hasta una presión (altura) de referencia p0 (en general1000mb). Líneas de θ constante se denominan isentrópicas, y cuando los procesosatmosféricos son adiabáticos las parcelas de aire deben moverse a lo largo de lassuperficies de θ constante. Esto puede verse diferenciando la ecuación para θ



c pd ln θ

dt=c p

d lnTdt

−Rd ln p

dt

y comparando con la ecuación donde se definió la entropía, resultando en

c pd ln θ

dt=

Q̇T

O sea que cuando Q̇=0 la parcela debe conservar θ en la trayectoria. Fuera deregiones de precipitación el calentamiento diabático está dado fundamentalmente por elcalentamiento radiativo. En la tropósfera el calentamiento radiativo Q̇ /c p es pequeño,menor a 1 °C/día y a primer orden el movimiento de escala sinóptica en la atmósfera sepuede considerar adiabático o isentrópico. Por lo tanto, el cambio horizontal de θ a lolargo del movimiento debe balancearse con el enfriamiento/calentamiento adiabáticodebido a los movimientos verticales de la parcela.

3.5.2 Estabilidad estática

La temperatura potencial permite estudiar la estabilidad vertical de la atmósfera.Tomando el diferencial del logaritmo de

Sustituyendo dp/dz con la ecuación hidrostática y usando la ley de gases ideales

Si la temperatura potencial es constante con la altura se halla una expresión para el“lapse rate” seco

Γd=−∂T∂ z

=gc p

=9.8C / km



en otro caso ( Γ=−∂T∂ z

)

Γ=Γd−Tθ∂ θ∂ z

Esta expresión permite diagnosticar la estabilidad de parcelas de aire no saturadas frentea perturbaciones verticales, es decir determinar si un perfil vertical de temperatura es

estable frente a convección seca. Si∂θ∂ z > 0 entonces Γ < Γd y corresponde a una

estratificación estable (Figura 3.10a). En este caso una parcela de aire seco (que debeenfriarse a 9.8 °C/km) que ascienda se enfriará a una razón mayor que el entorno. Dadoque la parcela se ajusta inmediatamente a la presión del entorno, de la ecuación deestado está claro que la parcela será mas densa que el aire a su alrededor y tenderá a

bajar. Si ∂θ∂ z = 0, Γ = Γd, corresponde a una estratificación neutra y la temperatura de

la parcela tendrá siempre la misma temperatura que el entorno. Finalmente, si∂θ∂ z <

0, Γ > Γd, corresponde a una estratificación inestable y la parcela de aire seco queasciende adiabáticamente estará siempre mas cálida que el entorno por lo que podrárealizar convección libre (Figura 3.10b). Esta situación no es muy común pues laatmósfera tenderá a mezclarse rápidamente hacia una condición de estabilidad neutra.

(a) z Γd Γ

T(b) z Γd

Γ

T



Figura 10 – Estabilidad estática de una parcela de aire seco: (a) caso estable, (b) casoinestable.

En el caso estable una parcela que es elevada a cierta altitud será forzada a volver a suposición original y, despreciando la fricción, tenderá a oscilar alrededor de su posiciónde equilibrio original. La frecuencia de oscilación dependerá de la fuerza restitutiva, queserá la gravedad multiplicada por la diferencia de densidades entre la parcela y elentorno. La expresión para la frecuencia de oscilación es

y se conoce como frecuencia de Brunt-Vaisala.

----- Resuelva ejercicios 11 al 14 del Práctico 2 -----

Apéndice

A. Ley de gases ideales para aire húmedo

En el caso de aire seco la ecuación de un gas ideal es

pd=ρd Rd T

donde Rd=287 J/kg/K.

Para el vapor de agua se puede escribir una ecuación similar

pv=e=ρv Rv T

donde Rv=461 J/kg/K.

De acuerdo a la ley de Dalton la presión total es la suma de las presiones parciales, porlo que p=pd+e.

Notar que la densidad total también cumple que ρ=ρd+ρv .

Por definición la temperatura virtual Tv es la temperatura que debe tener una parcela de



aire seco para tener la misma densidad que otra parcela húmeda.

Despejando las densidades ρd y ρv de las ecuaciones de estado y sustituyendo en laúltima ecuación se obtiene

p=ρRd T v

con T v=

T

1−pv

p(1−ϵ)

, siendo ϵ=Rd /Rv .

Si definimos la razón de mezcla como w=mv

mdes posible mostrar que

pv

p=

ww+ϵ

y

T v=Tw+ϵ

ϵ(1+w)

lo cual se puede aproximar como:

T v=T (1+0.61w)

Referencias– An Introduction to Dynamical Meteorology, Holton, 2004.– Mid-Latitude Atmospheric Dynamics, Martin, 2006.


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