1COLEGIO DEBACHILLERESMATEMTICAS IFASCCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJEALGEBRAICO:EXPRESIONES ALGEBRAICAS.Autores: Rosa Ma. Espejel MendozaMario Luis Flores FuentesRolando Pous VillalpandoPedro Romo AltamiranoMa. Estela Ruiz HernndezAndrs Sosa Estrada2Colaboradores:Juan Prez RodriguezOlivia Hernndez RomeroElosa Poot GrajalesAsesora PedaggicaDora Ma. Mireles AlvaradoRevisin de ContenidoJos Luis Prez CossJoel Daz GuadarramaDiseo EditorialLeonel Bello CuevasJavier Daro Cruz OrtizC O L E G IOD EB A C H IL L E R E S3INTRODUCCINCAPTULO 1. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.PROPSITO1.1 TERMINOLOGA Y NOTACIN ALGEBRICA 1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRICAS 1.2.1 Reduccin de Trminos Semejantes 1.2.2 Adicin y Sustraccin de Polinomios 1.2.3 Multiplicacin de Polinomios 1.2.4 Divisin de Polinomios RECAPITULACINACTIVIDADES INTEGRALESAUTOEVALUACINCAPTULO 2. LENGUAJE ALGEBRICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIN Y SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.PROPSITO 2.1 PRODUCTOS NOTABLES 2.1.1 Productos de Dos Binomios con Trmino Comn 2.1.2 Productos de Dos Binomios Conjugados 2.1.3 El Cuadrado de un Binomios 2.1.4 El Cubo de un Binomio 2.1.5 El Binomio de Newton57911202026366276778085878989929598100 N D I C E42.2. FACTORIZACIN2.2.1 Factorizacin por Factor Comn2.2.2 Factorizacin por Agrupacin de Trminos 2.2.3 Factorizacin de un Trimonio Cuadrado Perfecto2.2.4 Factorizacin de una Diferencia de Cuadrados2.2.5 Factorizacin de una Suma de Cubos2.2.6 Factorizacin de una Diferencia de Cubos2.2.7 Factorizacin de los Trinomios de la Formax+bx + cyax+ bx + c2.3SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES2.3.1 Expresiones Algebraicas Racionales 2.3.2 Operaciones con Expresiones Algebraicas RacionalesRECAPITULACIN ACTIVIDADES INTEGRALES AUTOEVALUACINRECAPITULACIN GENERALACTIVIDADES DE CONSOLIDACINAUTOEVALUACINACTIVIDADES DE GENERALIZACINGLOSARIOBIBLIOGRAFA CONSULTADA1091091121131171181231241331331511681691711731741771801811825Son muchas y muy diversas las actividades del ser humano en las que es suficiente usarprocedimientos aritmticos para resolver problemas; sin embargo, son tambinmuchasen las que stos no bastan.A partir de este fascculo veremos otro tipo de ejemplos ms especficos y estudiaremosprocedimientos ms generales para resolver problemas.El mtodo algebraco, de hecho presente en toda la matemtica puesto que la solucinde gran nmero de problemas requieren del clculo algebraco.El lgebra tiene su propio lenguaje, el lenguaje algebraco, por medio del cual se puedeobtenerexpresionesgeneralesquepuedenoperarseyaplicarseenmuchasymuyvariadas situaciones particulares.Aunqueenelfascculounoestudiastealgunoselementosdeestemtodoalgebracoysuimportancia,paraestefascculoestudiarslaoperatividaddelasexpresionesalgebricas,utilizandolosconocimientosquetienessobreexpresionesyoperacionesaritmticas y retomando problemas sobre este tema, para que puedas manejar ejemplosy des solucin a problemas. I N T R O D U C C I N6Elsiguienteesquemaindicalostemasysubtemasqueestudiarsylavinculacinqueexiste entre ellos.FASCCULO2OPERATIVIDAD EN EL LGEBRACAPTULO1OPERATIVIDAD DEL LENGUAJEALGEBRAICO: EXPRESIONESALGEBRAICASCAPTULO2LENGUAJE ALGEBRACO:PRODUCTOS NOTABLES,FACTORIZACIN YSIMPLIFICACIN DEEXPRESIONES ALGEBRAICASRACIONALESTERMINOLOGA YNOTACINOPERACIONESCONEXPRESIONESALGEBRQAICAS7OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:EXPRESIONES ALGEBRAICAS1.1TERMINOLOGA Y NOTACIN ALGEBRAICA1.2OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS1.2.1 Reduccin de Trminos Semejantes1.2.2 Adicin y Sustraccin de Polinomios1.2.3 Multiplicacin de Polinomios1.2.4 Divisin de PolinomiosC A P T U L O 19Al finalizar el estudio de este fascculo conocers con mayor detalle la terminologa quese emplea en lgebra, as como la notacinque se usa comnmente, gracias a la cualpodrs operar con las expresiones algebraicas.QU APRENDERS? Diversos mtodos para resolver problemas, ademsconocer las ventajas del mtodo consistente enestablecer modelos algebraicos para la solucindeproblemas.CMO LO APRENDERS?A travs de la elaboracin de operaciones algebraicastal como; la suma, la sustraccin, multiplicacin y divisinde polinomios, aplicando las propiedades de los nmeros reales y las leyes de los exponentes.PARA QU TE VA A SERVIR?Para encontrar la solucin de ecuaciones que te ayudarn a resolver un gran nmero de problemasdiarios. P R O P S I T O11CAPTULO 1. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJEALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS1.1 TERMINOLOGA Y NOTACIN ALGEBRAICA.Enelfascculo1estudiastediversosmtodospararesolverproblemas,ademsdeconocer las ventajas del mtodo consistente en establecer modelos algebraicos para lasolucin de los problemas, modelos que has empleado, aunque no les llamaras as; porejemplo: la frmula que se utiliza para calcular el rea de un tringulo.Siconocemoslamedidabdelabaseylamedidahdelaalturadeuntringuloyqueremos obtener su rea, sustituimos en la frmula las letras por los datosnmericos.As, si la base mide 12 metros y la altura 8, el rea del tringulo es:Otros ejemplos que has visto son los siguientes:Estas igualdades, que expresan ciertos fenmenos o Leyes de la Fsica y la Geometra,sonexpresionesalgebraicasdelasqueiniciaremossuestudio,puesstasnospermitirn operar de una manera fluida y se facilitar con ello la resolucin de problemasComo ejemplo de expresiones algebraicas tenemos:A =bh 2A = (12m) ( 8m)= 48m2 2f =ma A =t r2 a = Vf - Vot12Alasletras,queenlasexpresionesalgebraicasrepresentananmerosrealescualesquiera, se le llaman literales.Sienunaexpresinalgebraicasesustituyenlasliteralespornmerosrealesyseefectan las operaciones indicadas, se obtiene como resultado un nmero real, llamadovalor numrico de la expresin para esos valores.En los casos en que las literales aparezcan en el denominador hay que tener cuidado dequeelvalordeldenominadorseadistintodeceroalefectuarlasustitucin.Cuandosetratederaices,sedebetenercuidadodequealsustituirlasliteralespornmerosnoresultenracesparesdenmerosnegativos,porquesusresultadosnosonnmerosreales.Observa el siguiente ejemplo:Ejemplo:Calcular el valos numrico de la expresin algebraicaPara los siguientes valores de x:Solucin:a) Al sustituir a x por 7 obtenemos:a) x = 7;b) x = 12, y c) x = -5.a) 3a + 2bb) 2x + 6y - 3zc) 8x -yd) 6x5ae) 6x3f)x22123=xx+357 37 5412+=16=13 ,,,.b) Si sustituimos a x por 12 resulta:c) Si x = -5, obtenemos:Mientras por una parte8no es un nmero real, por otra no es posible dividirlo entrecero; por lo tanto, si x toma el valor de -5, la expresin no simboliza un nmero real.Cuando en una expresin algebraica aparece nicamente la operacin de multiplicacindenmerosypotenciaspositivasenterasdelasliterales,starecibeelnombredetrmino, como se muestra a continuacin:Ahora revisaremos los elementos que conforman un trmino, para lo cual tomaremos elejemplo de la expresin32a4b5Comoyasabes,untrminoeselproductodedosomsfactores(losfactoressonelementos de la multiplicacin). En este caso los factores son:32,4 5. aybb23x25 2xax y z2 3 4317 .12 312 5917+= += 5 35 580?14Al factor numrico se le conoce como coeficiente numrico del trmino y se acostumbraescribirlo al principio del trmino.Por otra parte, cada uno de los factores es coeficiente del producto de los otros. As:Al producto de los factores literales se le llama parte literal del trmino.Unfactorliteralestcompuestoporbaseyexponente.Enelsiguientecuadrosemuestra la base y el exponente de los factores literales deFactor literal Base Exponentea4a 4b5b 5324 5a b .32factornumricoa b4 5,factoresliteralescoeficiente numricoa4es coeficiente de325bb5 es coeficiente de524aEntoncespodemosdecirunfactoresunnmero,unaletraolacombinacindenmerosyletrasqueindicancuantas veces entra la literal como sumando.32a b4 5coeficiente numricoparte literal15Cmo se puede determinar el grado de un trmino algebraico?Recuerdaque a4indicaunproductodecuatrofactoresigualesyb5unproductodecinco factores iguales:a a a a a4= b b b b b b5=Observa que en el ejemplo anterior significa multiplicacin y que no se usa el signo de xpara no confundir con la literal x que en algunas expresiones se utiliza.Qu producto indicara X8?Otro elemento del trmino es el signo (positivo o negativo), que corresponde al signo delcoeficiente numrico. As, si tenemos que en la expresin 32xsu signo es positivo y enlaexpresin46y elsignoesnegativo,puedesobservarqueenloscasosconsignopositivo no se acostumbra anotar ste.Otro elemento es el grado de un trmino, el cual puede ser absoluto o en relacin a unaliteral.Elgradoabsolutodeuntrminoeslasumadelosexponentesdelasliteralesovariables, de ah tenemos que:Trmino Grado absoluto deltrminoa225y 132xy362 4x y69x yn n2nObservaqueelexponente1noseescribe,ademsdequeeltrmino72 4x y esdegrado 6 por la suma de los exponentes (2+4) de los factores literales.Porotrolado,elgradodeuntrminoconrespectoaunaliteralcorrespondeasuexponente, es decir, en72 4x yel grado del trmino con respecto a x es 2 y con respectoa y es 4.16Con el propsito de comprender los conceptos vistos se presenta el siguiente cuadro:Trmino CoeficientenmericoFactoresliteralesGradoabsolutoGrado respectoa xGradorespecto ay42 3x y-4x y2 35 2 333 4x y3x y3 47 3 4xy2-1xy23 1 2346 2x y34x y6 28 6 2x 1 x 1 1 08 8 0 0 0 0Alclasificarloselementosdecadaunadelasexpresionessiguientessecometieron4errores, encuntralos.54x ycoeficiente-5basex,yexponente 4,1x2coeficientenotiene;basex___exponente 26a coeficiente6baseaexponente no tiene32xycoeficiente3basexexponente1,2Enlasexpresionesalgebraicaslostrminosestnseparadoslossignosdems(+)omenos(-).Esta expresin tiene tres trminos :52x; 2x; 3 .Esta expresin tiene dos terminos:92m;42n. 3) 5Esta expresin tiene un trmino: 5.1) 5 2 32x x + 2) 9 42 2m n ACTIVIDAD DE REGULACIN17Como puedes ver, estas expresiones algebraicas estn compuestas por un trmino o lasumadedosomstrminos.Aestetipodeexpresionesselesllamamonomiosopolinomios segn sea el caso.A los polinomios los podemos clasificar segn el nmero de trminos que contengan. Siuna expresin algebraica tiene un trmino se le llama monomio, si tiene dos, binomio; sitiene tres trminos, trinomio, y as consecutivamente.Observa los siguentes ejemplos:Expresiones Algebraicas Clasificacion1) 3 62 2 5x y xy binomio2) 6 2 x + binomio3) 6 2 62a b a + +trinomio4) 6y monomio5) + + + 6 3 4 82xy xy xpolinomioLospolinomios,comolostrminos,tienegrado,quepuedesergradodelpolinomioogrado con respecto a la variable. As, en el ejemplo 13 62 2 5x y xy el grado del polinonio es seis (6), que corresponde al grado del trmino de mayor grado,en este caso 65xy . El grado del polinomio respecto ax es dos ya que corresponde almayor exponente de esa variable en el polinomio32 2x y -6xy5Realiza las siguientes actividades:1.Delossiguientestrminossealalaparteliteral,elcoeficientenumricoyelgradoabsoluto del trmino.a) 3x3y5b) 4ab3c)23xy2d) aACTIVIDAD DE REGULACIN181 Trmino Coeficiente numrico Parte literal Grado absolutoa)33 2x y3x y3 252. Clasifica los polinomios por su nmero de trminos y seala su grado absoluto y conrespecto a una variable.a) 3x 3x 22+ b) 8x y 3x y 6x y 86 1 5 2 3 3 + c) x 162d) x 2xy y2 2 +e) x 8 f) 61 ExpresinAlgebraicaClasificacin por elnm. de trminosGrado absoluto Grado conrespectoa xa)3 3 22x x + trinomio 2 2Hastaelmomentohemosvistoqueenellenguajealgebraicoseutilizanletraspararepresentarnmerosrealesyquelasexpresionesalgebraicasestnconformadasporuna serie de elementos tales como:TERMINO,COEFICIENTE,LITERAL,EXPONENETE,GRADOyqueseclasificanenMONOMIO(untrmino),enBINOMIO(dostrminos),TRINOMIO(trestrminos)yPOLINOMIO (cuando son dos o ms trminos). EXPLICACIN INTEGRADORA19EXPRESIONES ALGEBRAICASUN TRMINO DOS O MS TRMINOSMONOMIO BONOMIO, TRINOMIO,POLINOMIOCOEFICIENTENUMRICOLITERALES EXPONENTESGRADOABSOLUTOGRADO CONRESPECTO AUNA LITERAL201.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICASEnestetemaestudiarslasexpresionesalgebraicascomoelelementodelasoperacionesmatemticas,porejemplo,laAdicinySustraccindepolinomios,laMultiplicacindePolinomiosascomo,laDivisindepolinomios,paralocualseconsideran las propiedades y condiciones que se establecieron en el tema anterior.1.2.1 REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTESComoeneltemaanterioraprendisteadistinguirculesexpresionesalgebraicassontrminos y que elementos constituyen a estos ltimos, ahora operars con ellos.En el estudio de las Matemticas se encuentran con frecuencia expresiones como3x, 42x , 23x . Representamos a x por un segmento de longitud x, a x2 por un cuadradode lado x, y a x3 por un cubo de aristax como se ve en la siguiente figura: 1Fig. 1Deacuerdoconlainterpretacinanterior,culesdelassiguientessumascreesquepueden expresarse como un solo trmino?:a) 2 32x x + ; b) 4 23 3x x + ;c) 2 5 x x + ;d) 6 22x x -Para saber cundo podemos reducir la suma de dos o ms trminos a un solotrminonecesitamos observar su conformacin.Recuerda cules son los componentes de un trmino?Considera la expresin -3 x2 y3x xx2xx3xxx-3x2y3coefiecientenumricoexponentesparte literalliterales21Analicemos los trminos de cada uno de los siguientes grupos:a) -3x2; 42xEstos dos trminos tienen la misma parte literal, es decir, las literales y sus respectivosexponentes son iguales.b) 53a ; -2a2.Laspartesliteralesdeestostrminossondiferentesauncuandosetratadelamismaliteral porque tienen diferentes exponentes:c) 23 2xy ,-3xy3 24Los dos trminos tienen la misma parte literal.d) . . 0 52 4xy , 124 2. y x , -3.54 2x y .nicamentelosdosprimerostrminoscoincidenenlaparteliteralyaqueporlapropiedad conmutativa.x y y x2 4 4 2= .e)344m , -5m n4,124m ,234m n,134m .Aqutienenlamismaparteliteralelprimero,elterceroyelquintoyporotraparte,elsegundo y el cuarto trminos.Hemosencontradoquealgunostrminoscoincidenensuparteliteral.stosrecibenelnombre de trminos semejantes y su importancia es muygrande en la simplificacin deexpresiones algebraicas.Porlotantotrminossemejantessondosomstrminoscuyaspartesliteralessoniguales.22Identifica los terminos semejantes en cada uno de los siguientes incisos.a) 22x y , -3xy2, 42y x , -x y2.b) 31v , 22v , -4v1, 52v*.c) 2tr2,4tr ,r2,-3r en donde t =3.141592En expresiones como V1, V2 los nmeros 1 y 2 son subndices. Se usan para indicar queV1 es la velocidad de un mvil y V2 la del otro.Lasexpresionesalgebraicassonunconjuntodenmeroy/oletrasquerepresentannmerosreales;porlotantocumplencontodaslaspropiedadesconmutativa y asociativa de la adicin y de la multiplicacin, y la distributiva de lamultiplicacinconrespectoalaadicin,puedeextenderseamsdedossumandos o factores segn sea el caso, esto es:1) La suma o el productodeunnmerofinitodenmerosrealesnoesafectadoporlaforma en que se ordenen o asocien.por ejemplo:( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] a c b d f e a b c d e f a b c d e f + + + + + = + + + + + = + + + + + .2) El producto de un nmero real a, por la suma de un nmero finito de nmeros reales,es igual a la suma de los productos de a, por cada uno de los sumandos.Por ejemplo:( ) a b c d e ab ac ad ae + + + = + + + .La ms sencilla de las operaciones con expresiones algebraicas es la suma de trminossemejantes. Se acostumbra llamar a esta operacin reduccin de trminos semejantes,y la forma de llevarla a cabo se observa en los siguientes ejemplos:1) Reducir los trminos8 62 2x x + .ACTIVIDAD DE REGULACIN23Solucin:8 6 142 2 2x x x + = .Esteresultadoseobtuvoalaplicarlapropiedaddistributivadelamultiplicacinconrespecto a la adicin en su modalidad ax+bx=(a+b)x a nuestro ejemplo, como vemos enseguida:( ) 8 6 8 6 142 2 2 2x x x x + = + = .Observa que hemos sumado los coeficientes numricos de los trminos dejando intactala parte literal.2) Simplificar la expresin 8y3- 7y3Solucin:8y3 - 7y3 = (8 - 7) y3= 1 - y3= y33) Simplificar la expresin3 7 11 ab ab ab + -Solucin:( ) 3 7 11 3 7 11 ab ab ab ab + - = + -= -1ab= -abRecuerda que -1(a) = -a para todo nmero real a.Veamos otros ejemplos en donde no todos los trminos son semejantes.Simplificar la siguiente expresin:1) 3 22b b + .Solucin:Estasumanosepuedereducirporquelostrminosnosonsemejantes.Recuerdalainterpretacin geomtrica que le dimos a x, yx2, en la que la primera se representa unalnea mientras que la segunda se refiere a una superficie.2) a+b-a+b. Trata de identificar qu propiedad utilizaras antes de ver la solucin.24Solucin:Aqu conmutamos y asociamos a los trminos semejantes:a+b-a+b=(a-a)+(b+b) =(1-1)a+(1+1)b=0a+2b= 0+2b=2b.3)6.5h + 2.5k +6-1.7h + 3.4kSolucin:6.5h + 2.5k + 6-1.7h + 3.4k = (6.5h - 1.7h) + (2.5k + 3.4k) + 6 = (6.5 - 1.7)h + (2.5 + 3.4)k + 6 = 4.8h + 5.9k + 6.Conlaprcticapuedessuprimiralgunospasosdelproceso,comoseveenlossiguientes ejemplos:1)131214431213431214122 2 3 2 3x x x x x x x x + + + = +|\

|.|+ |\

|.|+= + +5314122 3x x x2) 3E+2D-F-4E+3D-F=-E+5D-2F.Unadelasfinalidadesdelaprendizajedelasoperacionesconexpresionesalgebraicases el llegar a resolver diversos problemas que se presentan cotidianamente o en algunoscasosrelacionadoscondiferentesciencias.Porelelementonicamentellevaremosacabo uno de los pasos que se siguen en la resolucin de esos problemas: la obtencinde la expresin algebraica para una cierta cantidad.Observa los siguientes ejemplo:1)Escribelaexpresinalgebraicaqueseutilizaparaobtenerelpermetrodeuntringulo tal que, uno de sus lados mide x unidades, otro 45 de ste y el tercero la mitaddel primero.Solucin:El permetro solicitado es 2310x .2) Expresar algebraicamente el precio total de un pantaln cuyo precio es x pesos msel 10% del IVA.25Solucin:El 10% de x es 0.1x, as que el precio total del pantaln es x+0.1x=(1+0.1)x=1.1xObservaquelaexpresin1.1xeselprecioconelIVAincluido,decualquierartculodeprecio x.Resuelve los siguientes ejercicios:1. Identifica los trminos semejantes en los siguientes incisos.a)1.8c ,2 52. c , 3 42. c,-2c .b)-mv252mvmv23-mv2.c) 32x,4xy -2xy52y2. Simplifica las siguientes expresiones adems de reducir los trminos semejantes.a)x xy xy y2 22 2 + - +b) a ab ab b2 22 2 + + +c) 27 18 12 18 12 83 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b - + + + +d)18162916298273 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b + + - - -e) a b a b a b a b a b a b1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3+ + + - -f) 8 6 12 92 2a ab b b + - +ACTIVIDAD DE REGULACIN26 Elestudiodelasexpresionesalgebraicascomoelementosdelasdiferentesoperacionesmatemticas,sehacetomandoencuentaentodomomentolaspropiedades y condiciones establecidas en el tema anterior.Esto es muy comprensible, porque las letras nicamente simbolizan valores, yenconsecuencia,losclculosmatemticosaplicadosaesossmbolossehacencon los valores del coeficiente y del exponente de los trminos en las expresionesalgebraicas.RECUERDA:1.2.2 ADICIN Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOSEnlasolucindeproblemascomoelsiguienteseobservalautilidaddedenominarprocedimientos para resolver operaciones con polinomios.Setieneunamesarectangularalaquesedeseaponercomoadornoenlaorillacintametlica. Si las dimensiones de la mesa son las que muestra la siguiente figura. 2Cul es la cantidad de cinta que se usa?Paradeterminarlacantidaddecintaausar,necesitamosresolveroperacionesconpolinomios.Apartirdeestemomentollamaremospolinomioaexpresionesalgebraicascomo:0,7,3x(monomios); 5 72y - ,-4xy+3x(bonomios); 6 2 84 3x y x z w + (trinomio),loscuales podemos escribir en forma general como:P x a x a x a x annnno( ) ... , = + + + +111 con n e Z , n > 0 y a e R3x-42y+52y+53x-4Fig. 227de lo que concluimos que 1xy 7 +xno son polinomios.Ahoravamosainiciarconlasoperacionesbsicasdeadicinysustraccindepolinomios.En vista de que las literales de las expresiones algebraicas representan nmeros reales,lospolinomiosrepresentannumerosreales,porloqueenlasoperacionesconellosseaplican las propiedades de los nmeros reales.Parahacermsfcileltrabajoconpolinomiosesconvenienteordenarlosyaseadeforma creciente a decreciente, de esta menera:P x x x x ( ) = + + 4 2 8 63 2P x x x x ( ) = + + 4 6 2 83 2 En forma decreciente es la manera ms utilizada.P x x x x ( ) = + + 8 2 6 42 3 En forma creciente.P x x x ( ) = + 9 3 44P x x x x x ( ) = -9 + + + -4 3 20 0 3 4 Enformadecreciente,queeslamaneramsutilizadaPx x x x x ( ) = -4 + + + - 3 0 0 92 3 4En forma crecienteParailustrarelprocesoqueseempleaparasumarpolinomios,utilizandolaspropiedades de los nmeros reales, observa los siguientes ejemplos:Sumar los monomios53xy- 93x.5 5 93 3 3 3x x x x + -9 = - ( )= - ( ) 5 93x por propiedad distributiva.= -4x3 .Observa que para sumar monomios simplemente se reducen trminos semejantes.Ejemplos:Para resolver la suma de los polinomiostrminosagregados28( ) ( ), + + + + 8 7 6 4 3 74 2 2x x x x xse realizan los siguientes pasos:1.ordenar en forma decreciente los exponentes de los trminos de cada polinomio.( ) ( ) 7 6 8 4 7 34 2 2x x x x x + + + por conmutatividad.2.Hacer que los polinomios sean completos.( ) ( ) 7 0 6 8 0 0 0 4 7 34 3 2 4 3 2x x x x x x x x + + + + + + 3.Agrupar los trminos semejantes( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 0 0 0 6 4 8 7 0 34 4 3 3 2 2x x x x x x x x + + + + + + + porpropiedadasociativa y conmutativa.4.Redicir trminos semejantes:7 2 34 2x x x + .5.Aselresultadodelasumadelospolinomiosoriginalesquedadelasiguientemanera: (-8x + 7x4+ 6x2) +(-4x2- 3 + 7x) = 7x4+ 2x2- x - 3Observa que los trminos cuyo coeficiente es cero no se escribenEjemplo:Efecta la suma de los polinomios(4x3y + 5x2y2+ 9xy3+ 8) + (3xy3+ 7 - 10x3y)Observa que en estos polinomios algunos trminos tienen dos literales pero la formade resolver esta suma es igual:(4x3y + 5x2y2+ 9xy3+ 8) + (-10x3y+3xy3+7)Notaste que los polinomios han sido ordenados con respecto a la literal x en formadecreciente?(4x3y - 10x3y) + (5x2 y2+0x2 y2) + (9x y3 + 3xy3) + (8+7) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15Por lo tanto:(4x3y +5x2y2+ 9x y3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3 y) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 1529Ejemplo:Suma los polinomios35122314723 2 2x x x x + |\

|.|+ + |\

|.|.Observaqueloscoeficientessonracionales,sinembargo,ensteejemploelprocedimiento es el mismo:a)35231214723 2 2x x x x +|\

|.|+ |\

|.|=b)3523012014723 2 3 2x x x x x x + +|\

|.|+ + |\

|.|=c) ( )3502314012723 3 2 2x x x X x x +|\

|.|+ +|\

|.|+ + |\

|.|=d) ( )35023140 112723551233 2 3 2+|\

|.|+ +|\

|.|+ + |\

|.|= x x x x x xPor lo tanto:35122314723 2 2x x x x |\

|.|+ + |\

|.|=3551233 2x x x Ejemplo:Suma los polinomios736552548932252 2 4 3 2 3 4 4 3 2xy x y x y x y x y x y xy +|\

|.|+ + +|\

|.|.Enesteejemplosetienencoeficientesracionalesydosliterales;sinembargo,elprocedimiento para sumar es igual.526573328954254 3 2 2 4 3 3 4 2 2x y x y xy x y x y x y xy +|\

|.|+ + +|\

|.|;305206573328954254 3 3 4 2 2 4 3 3 4 2 2x y x y x y xy x y x y x y xy + +|\

|.|+ + +|\

|.|=5232890655473254 3 4 3 3 4 3 4 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y xy xy |\

|.|+ +|\

|.|+ |\

|.|+ +|\

|.|=5232890655473254 3 3 4 2 2|\

|.|+ +|\

|.|+ |\

|.|+ +|\

|.|= x y x y x y xyx y x y x y xy4 3 3 4 2 28949204115+ +Por lo tanto:7365525489322589492041152 2 4 3 2 3 4 4 3 2 4 3 3 4 2 2xy x y x y x y x y x y xy x y x y x y xy +|\

|.|+ + +|\

|.|= + +Porlotantoenlasumadetresomspolinomiosqueincluyendosomsliteralesseemplea el mismo procedimiento.Para restar polinomios se debe recordar que por definicin a-b=a+(-b). Esto significa queen la resta de nmeros reales al minuendo se le suma el inverso aditivo del sustraendo.Porloconsiguiente,esimportantequeidentifiqueselinversoaditivodecualquierpolinomio.Recuerdas cmo se localizan en la recta numrica los inversos aditivos de los nmerosreales?.Polinomios Inverso aditivo3 6 42x x +( ) + = + 3 6 4 3 6 42 2x x x x + 6 3 22y y( ) + = + 6 3 2 6 3 22 2y y y y + 12 6 82xy xy( ) + = + 12 6 8 12 6 82 2xy xy xy xysustraendominuendoa - b31Ahora puedes realizar la sustraccin de polinomios.Resuelve las siguientes operaciones:( ) ( ) ( ) ( )x x4 45 3 8 7 2 5 3 8 7 2 + = + + Elprocedimientoaritmticoqueutilizastepararealizarlaoperacinanteriorseutilizapara restar polinomios; por ejemplo, para restar los polinomios.( ) ( )7 8 6 2 6 4 83 4 3 2 4x x x x x x x + + + seobtieneelinversoaditivodelsustraendo.sustraendo inverso aditivo + + 2 6 4 83 2 4x x x x 2 6 4 83 2 4x x x x + Unavezobtenidosteseprocedeaefectuarlasumadepolinomios,aplicandoelprocedimiento adecuado.( ) ( ) + + + + + 8 7 6 8 6 4 24 3 4 3 2x x x x x x x( ) ( ) + + + + + + = 8 7 0 6 8 6 4 24 3 2 4 3 2x x x x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + = 8 8 7 6 0 4 6 24 4 3 3 2 2x x x x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + 8 8 7 6 0 4 6 24 3 2x x x x.( ) ( )7 8 6 2 6 4 8 16 4 83 4 3 2 4 4 3 2x x x x x x x x x x x + + + = + + + .Observaqueenlasustraccindepolinomiosloquerealmentesehaceessumaralminuendo, el inverso aditivo del polinomio correspondiente al sustraendo.Si en la solucin de la siguiente sustraccin de los polinomios.( ) ( )3 2 6 6 82 2x x x x + + .seobtienecomoresultado2x2-4x+2,seestaracometiendounerror,realizaentucuaderno la operacin, Cul es el error?ACTIVIDAD DE REGULACIN32Resta los siguientes polinomios:a)( ) ( )7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y xy x y x y x y + + .( ) ( )7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y xy x y x y x y + + + + .inverso aditivo del sustraendoordenando los polinomios:b)( ) ( ) + + + + + 8 7 5 6 6 3 4 53 3 2 4 4 2 3 3 2x y x y xy x y x y x y .completando los polinomios:c)( ) ( )0 8 7 5 6 6 3 4 0 54 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4x y x y x y xy x y x y x y xy + + + + + +Agrupando trminos semejantes:d)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 8 3 7 4 5 0 6 54 2 4 2 3 3 3 3 2 2 4 4x y x y x y x y x y x y xy xy + + + + + + +Sacando factor comn:e)( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 6 8 3 7 4 5 0 6 54 2 3 3 2 4 + + + + + + + x y x y x y xy .Efectuando operaciones:f)( ) ( )7 8 5 6 4 6 5 3 6 5 3 5 112 3 3 4 2 4 2 3 3 4 2 3 3 2 4x y x y xy x y x y x y x y x y x y xy + + = + + .Otra manera de resolver las adiciones y sustracciones de polinomios es colocndolos enformavertical,aunquesedebecuidarqueenlamismacolumnaquedenlostrminossemejantes.Ejemplo:Suma de polinomios:( ) ( )8 3 7 2 3 43 2 2x x y x x + +8 3 0 73 2x x x + ++ 0 2 3 43 2x x x + +8 3 113 2x x x +33Ejemplo:Si se tiene la sustraccin:( ) ( )7 8 6 2 6 4 83 4 3 2 4x x x x x x x + + + .Recuerdaqueenlasustraccin,alminuendoselesumaelinversoaditivodelsustraendo,porloqueselecambiadesignoatodosycadaunodelostrminosdelsustraendo y se suman los polinomios. + + + 8 7 0 64 3 2x x x x+ + + 8 6 4 24 3 2x x x x + + + 16 4 84 3 2x x x x.Ejemplo:Realiza la operacin de :35122314723 2 2x x x x + |\

|.| + |\

|.|.35230123 2x x x + ++ 014723 2x x x + +35111243 2x x x + + .Ejemplo:Resta los polinomios:( ) ( )7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y x y x y x y x y + + 0 8 7 5 64 2 3 3 2 4x y x y x y x y + ++ + + + 6 3 4 0 54 2 3 3 2 4x y x y x y x y + + 6 5 3 5 114 2 3 3 2 4x y x y x y x yCuandoserealizanoperacionesdeadicinysustraccinesnecesariotrabajar,enalgunoscasos,consignosdeagrupacin,porloqueacontinuacintepresentamosalgunos ejemplos tomando en cuenta las siguientes reglas:34REGLAS:-Parasuprimirsignosdeagrupacinprecedidosdelsigno(+)sedejaelsignoquetenga cada trmino que se halle dentro de l.-Parasuprimirsignosdeagrupacinprecedidosdelsigno(-)secambiaelsignoacada trmino que se halle dentro de l.Ejemplo:( )| | { } + + 6 3 4 8 2 ab a a ab a .Recuerda que para restar se suma el inverso aditivo.Seiniciaconlaeliminacindelsignodeagrupacinquecontienemenornmerodetrminos. (Parntesis.)| | { } + 6 3 4 8 2 ab a a ab a .Secontinaconelsignodeagrupacinquecontienemenornmerodetrminos,despus de los parntesis. (Corchete.){ } + + + 6 3 4 8 2 ab a a ab a .Despusseaplicaelprocedimientoparalasolucindelaadicinylasustraccindepolinomios:( ) ( ) + + + 6 8 3 4 2 ab aAs, el resultado de suprimir signos de agrupacin es:( )| | { } + + = + 6 3 4 8 2 2 ab a a ab a ab aEjemplo:( ) { }| |2 5 2 3 x x y x y + +Al aplicar el mismo procedimiento, obtenemos:{ } | |2 x 5 x 2 y x 3 y +| |2 5 2 3 x x y x y + + 2 5 2 3 x x y x y + +2 5 2 3 x x x y y + +6x y +35Ahora retomemos el problema de la mesa rectangular.( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 2 5 2 5 x x y y + + + + + .Con lo que al hacer la adicin tenemos:( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 2 5 2 5 x x y y + + + + += 3 4 3 4 2 5 2 5 x x y y + + + + +=( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 4 4 5 5 + + + + + x y= 6 4 2 x y + +La expresin algebraica que representa la cinta metlica a utilizar es 6 4 2 x y + +Resuelve las siguientes operaciones:a)( ) ( )3 9 1 2 3 7 42 3 3x x x x x + + + + =b)3414395758367322 3 2x x x x x +|\

|.|+ +|\

|.|=c)( ) ( ) + + + = 8 5 2 9 53 2 3x x x x bxd)( ) ( ) + + = 3 8 4 5 2 92 2 2 2x y xy xy x ye)2783453427543 2 3 2 2 3x y x y xy xy x y + |\

|.| + |\

|.|=f) ( )| | { }2 1 63 a x a a x + + Recordemos que las dimensiones de esta mesa son 3x-4y2y+5. Como ya sabes elpermetro es la suma de los lados de la figura, por lo tanto hay que obtener la suma delos polinomios.ACTIVIDAD DE REGULACIN361.2.3 MULTIPLICACIN DE POLINOMIOSComo ya se tiene conocimiento de los polinomios y en particular se aprendi la forma desumarlos, iniciaremos ahora el estudio de la multiplicacin de polinomios. Para efectuarel producto de polinomios haremos uso de las operaciones de los nmeros reales.Empezaremos nuestro estudio con la multiplicacin de dos potencias de la misma base:Ejemplo:Multiplicar x2por x3.Solucin:2 factores 3 factoresx x2 3 =x xx x xes decir, x x2 3 5 += :2 factores 3 factores 5 factoresx x2 3 = ( )x x ( )x x x =( )x x x x x .Se observa en el ejemplo que se han sumado los exponentes.Ejemplo:Multiplica xmpor x2.Solucin:m factores 2 factores m+2 factoresx xm

2( )x x x x .......( ) x x ,es decir,( )x x xm...... =+2.Engeneral,siaesunnmerorealdistintodeceroymynsonnmerosenterosnonegativos, entonces:m factores nfactoresa am n = ( )a a a a .......( )a a a..... ,m+n factoreses decir, a a am n m n =+.37Esto nos conduce a lo que llamamos la primera ley de los exponentes, la cual se enunciade la siguiente manera:Ejemplo:Multiplicar y y y y5 2 5 2 7 = =+Cmo multiplicaras 52apor 4a ?Observa que en este ejemplo hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativadel producto.( )( ) ( )( )5 4 5 42 2a a a a = .Sustituimos las factores 5 y 4 por su producto, es decir:( )( ) ( )5 4 202 2a a a a =;( )( )5 4 20 202 2 1 3a a a a = =+Ejemplos:( )( )2 5 2 5 102 2 1 3m m m m ==+( ):,( )( ) ( )( )5 6 5 6 30 302 5 2 5 2 5 7x x x x x x = = =+;( )( ) = = +3 8 24 242 6 2 6 8a a a a ;( )( ) ( )| |( )7 8 7 8 56 565 5 1 5 6y y y y y y == = +( )( ) ( )( )| |( ) = = =+3 6 3 6 18 182 8 2 8 2 8 10b b b b b bEl producto de dos potencias de la misma base, es igual a la base elevada a la suma desus exponentes.38Ejemplo:La siguiente figura representa la cubierta de una mesa.fig. 3El rea de la figura se obtiene a travs de una multiplicacin de monomios, es decir,A=(4m)(2m)=8m2.Seobservaenelejemplo,quelasolucinresultaserotromonomioenelcualhacambiadonosloelcoeficiente,laexpresindelavariable(concretamente,suexponente)yelgradodelmonomio,sinotambinsucaractersticaesencialyaquealmultiplicar longitudes se obtienen superficies.Estonosmuestraquelamultiplicacindeexpresionesalgebraicasproducecambiosimportantes; por ejemplo, al multiplicar una potencia por un tiempo, se obtiene trabajo; sise multiplica una masa por una aceleracin, se obtiene fuerza, etc. De esta manera, sepuede comprender mejor el carcter de la multiplicacin algebraica y su importancia.Mediante las propiedades de los nmeros reales, las leyes de los exponentes y la regladelossignossehaobtenidoelproductodemonomios.Enlosejerciciosquesedanacontinuacindebersobtenerelproductodemonomiosconlaaplicacindelaspropiedadesyleyescorrespondientes.Indicacomoenlosejemplosplanteadosculespropiedades o reglas utilizaste.1)(8mn)(m2)6) x x xp p + 12)(-6x2y)(3xy)7) x y yn n n y2 3)(-5ab)(-4a2b)8)x xy ym m24)(x3 y2 z6)(2x2 y3 z3 )(5xyz)9) x x x x2 2 2 23 5 2 5)(-6x2yz)(2x3 yz2 )10) 8 27 2 3 7m n m n 2m4mACTIVIDAD DE REGULACIN39Sabemosqueelreadeunafiguracomolasiguiente,seobtienepormediodeunamultiplicacindelosmonomios.Determinaculeselmonomioresultantedelareginsombreada.fig. 4a)Monomio resultante del cuadro mayor: __________________________.b)Monomio resultante del cuadro menor: __________________________.c)Monomio resultante de la regin sombreada: ______________________.Unavezquetehazfamiliarizadoconpotenciasdelamismabase,determinaremoslapotencia de otra potenciaEjemplo:(34)5 = 3 3 3 3 34 4 4 4 4, y por la primera ley de los exponentes:5 Factores5 Sumandos(34)5 = 34+4+4+4+4 = 320 ,Se observa en el ejemplo que se han multiplicado los exponentes.Ejemplo:(b2)n = b2 b2........b2 ;n factoresn sumandos(b2)n = b2+2+2+..........+2 , esto es,(b2)n = b2 ny3y3y40Engeneral,siaesunnmerorealdistintodeceroymynsonnmerosenterospositivos entonces.(am)n = amamam ......... am ;n factoresn sumandos(am)n = am+m+m+.........+mPor lo tanto, (am)n =am

n.Esto nos conduce a la que llamaremos segunda ley de los exponentes:Ejemplo:(x2)3 = x2x2x2 ; 3 factores3 sumandos(x2)3 = x2+2+2 = x6,es decir, (x2)3 = x6.Observa que se han multiplicado los exponentes.El siguiente ejemplo nos servir para mostrar cmo obtener el producto de monomios.Ejemplo:Multiplicar (5a2)3 por (2a)2.(5a2)3 (2a)2Al aplicar la segunda ley de los exponentes se obtiene:(5a2)3 (2a)2 = (53a6)(22a2).La potencia de otra potencia de la misma base, es igual a la base elevada al productode los exponentes.41Porlapropiedadconmutativadelamultiplicacincambiamoselordendelosfactores53 a6 22 a2y asociamos de diferente manera.(5a2)3 (2a)2 = (53 22)(a6 a2).Efectuamos operaciones:(1254) = 500. es decir,(5a2)3(2a)2 = 500 (a6a2).Por la primera ley de los exponentes, se tiene:500(a6a2) = 500(a6+2)= 500a8; por lo tanto.(5a2)3 (2a)2 = 500a8Obten los siguientes productos:a)(3x2)3 (x)2b)(-8a3)(2a2)2c)(-6a5)2(-2a)3d)(3y5)(-6y2)3 A continuacin determinaremos la potencia de un producto.Ejemplo:(ab)5 = (ab) (ab) (ab) (ab) (ab).5 factoresAl continuar los factores y asociar de diferente manera:(ab)5 = (aaaaa) (bbbbb). 5 factores 5 factoreses decir, (ab)5 = a5 b5.ACTIVIDAD DE REGULACIN42Ejemplo:(xy)n = (xy) (xy) (xy).............. (xy) n factoresAl conmutar los factores y asociar de diferente manera:(xy)n =(x x x x ...... x) (y y y y ...... y). n factores n factores(xy)n = xn ynEngeneral,siaybsondosnmerosrealesymesunnmeroenteropositivo,entonces:(a b)m =(ab)(ab).....(ab)m factores= a a a ....... a b b b ....... b m factoresm factores(a b)m = ambmEjemplo:a) (xy)m = xm ym b) (3 4)2 = 32 42 = 9 16 = 144.c) (a2 b3)3 = a23b3 3 = a6 b9.d) (5a2)3= 53a23 = 125a6 .La ley anterior tambin podemos utilizarla para obtener el producto de un monomio; porejemplo:Multiplicar (3a2)2 por (5b)3.La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevadosa la misma potencia.43Por la tercera ley de los exponentes, se tiene:(3a2)2 (5b)3 = (32a4)(53b3).Porlapropiedadconmutativa,combinamoselordendelosfactores32,53,a4,b3yasociamos de diferente manera:(3a2)2(5b)3 = (3253)(a4b3).Efectuamos el producto y se tiene:(3a2)2(5b)3= (1125)(a4b3)Obtener el producto de los siguientes monomios.a)(-3x)3 (ab)2c) (4y5)2 (x3y2)5e)(-a2b5)2 (-3a2b2)3b)(a2b2)3 (3a3b)2d)(m2n)3 (-8xy2)2f )-(3x2y3)5 (2x3y)2A continuacin se determinar la forma de elevar una fraccin a un exponente. Para elloveamos el siguiente ejemplo:xyxyxyxy|\

|.|=|\

|.||\

|.||\

|.|3.3 factoresAsociado:xyxyxy|\

|.||\

|.||\

|.| = x x xy y yxy =33.Se observa en el ejemplo que tanto el numerador x, como el denominador y se elevan alexponente 3.Engeneral,siaybsondosnmerosenterosdiferentesdeceroymesunnmeroentero positivo entonces:ACTIVIDAD DE REGULACIN44ababababa a ab b bm|\

|.|=|\

|.||\

|.|=|\

|.|

m factores m factoreses decir, ababmmm|\

|.|=Estonosconducealacuartaleydelosexponenteslacualseenunciadelasiguientemanera:Paraelevarunafraccinaunexponente,tantoelnumeradorcomoeldenominadorseelevan a dicho exponente.Ejemplos:xyxyb b bababbaba|\

|.|=|\

|.|= =|\

|.||=|\

|.|=555333 323369255104 4 64Ahora trataremos la divisin de potencias de la misma base distinta de cero.El cociente de dos potencias de la misma base distinta de cero, presenta tres casos, loscualesdependendequeelexponentedeldividendo(numerador)seamayor,igualomenor que el del divisor (denominador), es decir.aaa si m nnanmnm nn m=>=Ejemplo:888 8 8 8 88 8 88 8535 3 2= = = ;888 8 88 8 88 8 1 8 8532 2= = = ;m factoresaaa a a aa a a aamnm n= =

n factoresPor lo tanto,aaamnm n= si m>n, lo cual nos muestra el primer caso de la quinta ley delos exponentes.Ejemplos:a)101010 10525 2 3= =c) 666 6848 4 4= =b)mmm m838 3 5= =d)yyy y44 1 3= =Ahora, obtengamos el producto de monomios.Ejemplos:Multiplicar( )( )( )( )6633422523xxyy46Para la ley de los exponentes se tiene:( )( )( )( )( )( )( )( )66336 36 34225232222 2 2 4xxyyx yx y ==Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores6 32 2 2 4, , ,,x y es decir,( )( )( )( )( )( )66336 34225232 2 2 4xxyyx y =Se sustituyen los factores62 y32 por su producto, esto es:( )( )6 3 3242 2 2 4 2 2- - = x y x yPor lo tanto: ( )( )( )( )66333244225232 4xxyyx y =Obtnelproductodelossiguientesmonomiosaplicandolaspropiedadesdelosnmeros reales y las leyes de los exponentes. Justifica la respuesta.( )( )( )( )axxxx) 4422833( )( )baa)332725cbb)8865( )( )dxx)223532( )( )exx)5362( )( )faa)442223ACTIVIDAD DE REGULACIN47Segundo casoaamn= 1sim = n.Aqu el cociente es igual a uno ya que una cantidad dividida entre s misma da la unidad.Ejemplo:333 33 3122= =.Engeneral,siaesunnmerorealdiferentedeceroymynsonnmerosenterosnonegativos, entonces:m factoresaaa a a a aa a a a amn= = ,

1ya que m = n.n factoreses decir, aamm= 1,lo cual demuestra el segundo caso de la quinta ley de los exponentes.Ejemplos:a mm) ,331 = b) ,88122= c nn) ,551 = d bb) .10101 =En el tercer caso de la quinta ley de los exponentes,aa amn n m=1, donde m