BACHILLERATO C: MATEMATICAS I....

1◦

BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16

(PI) Nombre:

1. Reduce a una sola raız, efectuando el mcm de los ındices:5

√

4x2y3√

x3y3

√

3yx2=

2. Siendo p(x) = 6x3 − 2x2 + 4x − 7, q(x) = x2 + 2x − 1, s(x) = x − 2 hallap(x) : q(x) y 3p(x) − 4s(x).

3. Resuelve:

a)x + 7

x + 3+

x2 − 3x + 6

x2 + 2x − 3= 1 b)

xy = 6

1

x+

1

y= 1 − 1

xy

4. Resolver las inecuaciones:

a) x2 − 4x − 5 > 0, b) − 2x − 1 − 3x

2> 4 +

x − 1

3.

5. Representa las siguientes funciones e indica su dominio, su imagen, sumonotonıa (intervalos de crecimiento y de decrecimiento) y sus maximosy mınimos:

a) f(x) = x2 − x b) f(x) =3

2− xc) f(x) =

−1 si x 6 −3

−x2 + 8 si − 3 < x 6 4

−2x + 6 si x > 4

6. Si cosA = 14, y el angulo A pertenece al cuarto cuadrante, calcula el seno

y la tangente.7. Dados los puntos A = (−1, 2), B = (3, 5) y C = (2,−2). calcular:

a) Distancia del punto A al punto C .b) Punto medio del segmento de extremos A y B.c) Recta que pasa por los puntos A y B.d) Recta perpendicular a la del apartado c) y que pasa por el punto C .

1

2 1◦


(PI) Nombre:

1. (1p) Expresa en forma de intervalo los numeros que cumplen |x− 4| > 2.

2. (2p) Efectua y simplifica:

a)3√

3 −√

2− 2√

3 +√

2=

b)√

125 +√

54 +√

45 −√

108 =3. (1p) Halla el valor de x usando las propiedades de los logaritmos:

lnx = ln 12 + ln 25 − 2 ln 6.

4. (1p) Escribe como potencia y simplifica:

(

3

√

5√

a12 · 3

√

1

a2

)

:(

a3√

a−2)

=

5. (1p) Halla el valor de x: log7 3x = 0,5.

6. (2p) Sabiendo que log k = 0,36, halla, usando propiedades:

a) log3

√

1

k=

b) (log k)1/2

7. (2p) Calcula la base en los siguientes logaritmos:

a) logx

1

4= 2

b) logx 0,04 = −2

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BACHILLERATO C: MATEMATICAS I. 2015-16 3

(PI) Nombre:

1. (1p) Expresa en forma de intervalo los numeros que cumplen |x − 4| > 2.

(4 − 2, 4 + 2) = (2, 6). Solucion: (−∞, 2] ∪ [6,∞).2. (2p) Efectua y simplifica:

a)3√

3 −√

2− 2√

3 +√

2=

3(√

3 +√

2)

3 − 2− 2(

√3 −

√2)

3 − 2= 3

√3 + 3

√2 −

2√

3 + 2√

2 =√

3 + 5√

2 .

b)√

125+√

54+√

45−√

108 = 5√

5+3√

6+3√

5−6√

3 = 8√

5 + 3√

6 − 3√

3 .3. (1p) Halla el valor de x usando las propiedades de los logaritmos:

lnx = ln 12 + ln 25 − 2 ln 6 = ln 12·2536

= ln 253⇒ x =

25

3.

4. (1p) Escribe como potencia y simplifica:

(

3

√

5√

a12 · 3

√

1

a2

)

:(

a3√

a−2)

=

a12

15 · a−2

3

a1− 2

3

=a

4

5 · a−2

3

a1

3

= a4

5−1 = a−

1

5 =15√

a.

5. (1p) Halla el valor de x: log7 3x = 0,5.

3x = 70,5 =√

7 ⇒ x =

√7

3.

6. (2p) Sabiendo que log k = 0,36, halla, usando propiedades:

a) log3

√

1

k=

log 1k

3=

log 1 − log k

3=

0 − 0,36

3= −0,12 .

b) (log k)1/2 = 0,361/2 = 0,6 .

7. (2p) Calcula la base en los siguientes logaritmos:

a) logx

1

4= 2 ⇒ x2 = 1/4 ⇒ x = 1/2 .

b) logx 0,04 = −2 ⇒ x−2 = 0,04 =4

100=

1

25= 5−2 ⇒ x = 5 .

4 1◦


1. Aclaracion a la suma de terminos de una progresion

geometrica

La formula de la suma Sn de los n primeros terminos de una progresiongeometrica a1, a2, . . . , an es

(1) Sn =an · r − a1

r − 1.

Si hay n+1 terminos en lugar de n, la formula es practicamente la misma:

(2) Sn+1 =an+1 · r − a1

r − 1.

En ambos casos, podemos leer la formula ası: “Para hallar la suma determinos consecutivos de una progresion geometrica, se multiplica el ultimopor la razon, se resta el primero y se divide por la razon menos uno.”En la suma 1 + 2 + · · · + 2n hay n + 1 terminos. El primero es a1 = 1 y elultimo es an+1 = 2n. Entonces, usando la formula (2),

Sn+1 =an+1 · r − a1

r − 1=

2n · 2 − 1

2 − 1= 2n+1 − 1.

Otro ejemplo: Hallar a suma

Sn = 1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · · + 1

2n−1.

Aplicando la formula (1) tenemos

Sn =an · r − a1

r − 1=

12n−1 · 1

2− 1

12− 1

=1

2n−1 · 12− 1

−12

=1 − 1

2n−1 · 12

12

= 2 − 1

2n−1.

1◦


2. Lımite de una sucesion

Consideremos la sucesion {an} cuyos primeros terminos son

2,1, 2,01, 2,001, . . .

Parece claro que sus terminos se van aproximando al numero 2. Vamos a decirque el lımite de esta sucesion es 2.

Consideremos otro ejemplo, la sucesion de termino general an = 3nn+1

. Susprimeros terminos son

a1 =3

2= 1,5,

a2 =6

3= 2,

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a99 =297

100= 2,97

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·Parece que sus terminos se van aproximando a 3. Para asegurarnos de que 3 esel lımite de la sucesion vamos a comprobar que la distancia entre an y 3 es tanpequena como queramos a partir de un cierto n en adelante.

Primero calculamos esa distancia, como una diferencia en valor absoluto.

|an − 3| =

∣

∣

∣

∣

3n

n + 1− 3

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

3n − 3n − 3

n + 1

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

3

n + 1

∣

∣

∣

∣

=3

n + 1

Queremos que esa distancia sea muy pequena. Si, por ejemplo, queremos que seamenor que una milesima, bastara que sea

3

n + 1< 0,001 ⇒ n + 1

3> 1000 ⇒ n + 1 > 3000 ⇒ n > 2999 ,

es decir, siempre que sea n > 3000 sera an distante de 3 menos que una milesima.Si en lugar de 0,001 consideramos cualquier cantidad pequena ε > 0, los calculos

serıan parecidos:

3

n + 1< ε ⇒ n + 1

3>

1

ε⇒ n + 1 >

1

ε⇒ n >

3

ε− 1 .

En general, diremos que el lımite de una sucesion an es un numero L si para

cualquier cantidad pequena ε > 0 existe un determinado termino de la sucesion a

partir del cual todos distan de L menos que ε.El parrafo anterior, con sımbolos matematicos se escribirıa ası:

lımn→∞

an = L ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N : n > N ⇒ |an − L| < ε.

6 1◦


Nombre:

1. (1p) Simplifica:3√

40a + 33√

135a − 93√

5a =

2. (1p) Racionaliza y simplifica:1

2(√

3 −√

5)=

3. (1p) Sabiendo que ln k = 0, 45, calcula el valor de

a) ln3√

kb) ln k

e

4. (1p) Expresa usando intervalos el conjunto de numeros x que cumplen lacondicion |x − 2| > 3

5. (3.5p) Calcula los siguentes lımites:

a) lımn→∞

(

3n2 − 3n + 1

3n + 1

)

=

b) lımn→∞

(

2n2

1 + n− 4n + 3

2

)

=

c) lımn→∞

(

2n − 1

2n

)3n

=

d) lımn→∞

(√4n2 + 6n −

√4n2 − 6n

)

=

6. (0,5p) Halla el termino general de la sucesion 40, 36, 32, 28, . . . .

7. (1p) Calcula la suma de los infinitos terminos de la sucesion 4, 2, 1, 0,5, 0,25, . . . .

8. (1p) Calcula la suma de los multiplos de 3 que hay entre 33 y 333, ambosinclusive.

1◦


3. Recapitulacion

1. Efectuar: (2 ±√

3)2 = 4 + 3 ± 4√

3.2. Racionalizar:

1

2 +√

3=

2 −√

3(

2 +√

3) (

2 −√

3) =

2 −√

3

4 − 3= 2 −

√3.

3. Resolver la ecuacion (2 +√

3)x + (2 −√

3)x = 14.Usamos el cambio t = (2+

√3)x. Entonces (2−

√3)x = ((2+

√3)−1)x =

((2 +√

3)x)−1 = t−1 = 1t.

Por tanto, debemos resolver la ecuacion

t +1

t= 14 ⇒ t2 + 1 = 14t ⇒ t2 − 14t + 1 = 0.

Aplicando la formula de la ecuacion de segundo grado tenemos

t =14 ±

√196 − 4

2=

14 ±√

192

2=

14 ± 8√

3

2= 7 ± 4

√3.

Entonces, por un lado tenemos que (2+√

3)x = 7+4√

3 ⇒ x = 2 y por otro(2 +

√3)x = 7 − 4

√3 ⇒ (2 +

√3)x = (2 −

√3)2 = (2 +

√3)−2 ⇒ x = −2.

4. Se considera la sucesion an = (2 +√

3)n + (2 −√

3)n.a) Hallar a1, a2 y a3.b) Comprobar que a3 = 4a2 − a1.c) Comprobar que siempre es an = 4an−1 − an−2.

(a) Por un lado es a1 = (2 +√

3) + (2 −√

3) = 4 y vimos antes quea2 = 14. Ademas:

a3 =(2 +√

3)3 + (2 −√

3)3 = (2 +√

3)(2 +√

3)2 + (2 −√

3)(2 −√

3)2

=(2 +√

3)(7 + 4√

3) + (2 −√

3)(7 − 4√

3)

=(14 + 8√

3 + 7√

3 + 12) + (14 − 8√

3 − 7√

3 + 12) = 52.

(b) Es obvio que 52 = 4 · 14 − 4. Por tanto, se cumple a3 = 4a2 − a1.(c) Llamando α = 2 +

√3 y β = 2 −

√3,

4an−1 − an−2 =4(αn−1 + βn−1) − (αn−2 + βn−2)

=(4αn−1 − αn−2) + (4βn−1 − βn−2)

=αn−2(4α − 1) + βn−2(4β − 1)

=αn−2(7 + 4√

3) + βn−2(7 − 4√

3)

=αn−2 · α2 + βn−2 · β2 = αn + βn = an.

5. Las soluciones de x2 = 4x − 1 son 2 +√

3 y 2 −√

3.

8 1◦


(1ev) Nombre:

1. (4,5p) Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 22x+1 − 2 · 2x = −3

8.

b) log2(x + 1) + log2(x − 1) = 3 + log2(x/3).c)

√x + 5 − 2

√x = −1.

2. (1,5p) Al sumar los n primeros terminos de la sucesion 9, 13, 17, 21, . . .obtenemos 2139. ¿Cuantos terminos se han sumado?

3. (1,5p) Aplicar el metodo de Gauss para resolver el sistema

x + y + 2z = 2

x− 2y − z = −4

3x + y − 2z = 8

.

4. (1,5p) Halla los siguientes lımites de forma razonada:

a) lımn→∞

300n − 1

3n2 + 1=

b) lımn→∞

(

2n2

3n + 1− 2n

3

)

5. (1p) Sabiendo que ln k = 0,9, halla

a) ln k3√

k =b) ln((ek)3) =

1◦


(1ev) Nombre:

1. (1,5p) Halla el termino general de las sucesiones:a) 2, 6, 12, 20, . . .

b) 4,−1,−6,−11, . . .

c) 5,−5, 5 − 5, 5,−5, . . .

2. (1,5p) Halla la suma de tods los multiplos de 6 con 3 cifras.

3. (4,5p) Resuelve las siguientes ecuaciones:a)

√1 − x +

√x + 7 = 4.

b) 2 log 4 + 2 log(x− 3) = log x

c) x2 =5

x2 − 6.

4. (1,5p) Aplica el metodo de Gauss:

x + y + 2z = 3

x − y − 3z = 2

3x − 2y + z = 14

.

5. (1p) Calcula el lımite: lımn→∞

(√4n2 + 6n −

√4n2 − 6n

)

=

10 1◦


(r1ev) Nombre:

1. (1p) Efectua y simplifica:

√7 −

√5√

7 +√

5−

√7 +

√5√

7 −√

5=

2. (2p) Calcula de forma razonada los siguientes lımites:

a) lımn→∞

(

3n

3n + 2

)3n

b) lımn→∞

(

3n2

3n + 2− 2n2

2n + 3

)

3. (4,5p) Resuelve las siguientes ecuaciones:a)

√x − 1 +

√x + 2 = 3.

b) 2 log2(x + 2) − 2 log2(2x) = 2.

c) 4x + 16x = 6.

4. (1,5p) Aplica el metodo de Gauss:

x + 2y + z = 12

x + y + 2z = 13

2x − y − z = −3

.

5. (1p) Calcula la siguiente suma: 7 + 14 + 21 + · · · + 777:

1◦


(2r1ev) Nombre:

1. (1,5p) Resuelve la ecuacion:√

2x + 1 −√

x − 3 = 2.

2. (1,5p) Resuelve la ecuacion: 2x + 2x+2 + 2x+4 = 212.

3. (1,5p) Resuelve la ecuacion:1

x − 2+

x2

x2 − 4=

14

x + 2.

4. (1,5p) Halla el termino general de las siguientes sucesiones:a) 5,−10, 20,−40, 80 . . .b) 19, 16, 13, 10, 7 . . .c) 4, 9, 16, 25, 36 . . .

5. (1p) Simplifica:3

√

1

3+

3

√

8

3=

6. (2p) Resuelve las siguientes inecuaciones:a) (2x − 5)(x + 2) 6 0

b)3

2− x 6

1

2(x + 1)

7. (1p) Halla la suma de todos los terminos de la sucesion: 6, 3, 32, 3

4, . . .

12 1◦


La ecuacion senx = sen y . Si sabemos que senx = sen y no podemos decir

que y = x. Tambien puede ser y = 180◦ − x, ya que sen(180◦ − x) = sen x.Por ejemplo, si sen x = sen 30◦, puede ser x = 30◦ o x = 150◦. En realidad

tambien podrıa ser x = 30◦, 30◦ + 360◦, 30◦ +2 · 360◦, . . . , que podrıamos expresarx = 30◦ + 360◦k y tambien x = 150◦, 150◦ + 360◦, 150◦ + 2 · 360◦, . . . que expre-sarıamos x = 150◦ + 360◦k. Como normalmente damos las soluciones entre 0◦ y360◦ damos las soluciones x = 30◦ y x = 150◦.

La ecuacion senx = sen 2x .Segun hemos visto antes puede ser 2x = x + 360k o 2x = 180 − x + 360k.En el primer caso tenemos x = 360k. Dando a k los valores k = 0 y k = 1

obtenemos x = 0◦ y x = 360◦.En el segundo caso tenemos 3x = 180 + 360k ⇒ x = 60 + 120k. Dando a k los

valores k = 0, k = 1 y k = 2 obtenemos x = 60◦, x = 180◦, x = 300◦.En el primer caso hemos dado a k dos valores, y en el segundo caso hemos dado

a k tres valores, en ambos casos los necesarios para obtener todos los angulos entre0◦ y 360◦.

Otra forma: aplicando la formula del angulo doble.

sen x = sen 2x = 2 sen x cos x

⇒2 sen x cos x− senx = 0

⇒ sen x(2 cos x− 1) = 0 ⇒

senx = 0 ⇒ x = 0◦, 180◦, 360◦.

cosx =1

2⇒ x = 60◦, 300◦.

1◦


(c2ev) Nombre:

1. (2p) Resolver el triangulo ABC conocidos los datos a = 15, b = 25, A =33◦.

2. (2p) Demuestra la identidad: cos α cos(α − β) + senα sen(α − β) = cos β.

3. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: senx +√

3 cos x = 2.

4. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: 1 − cos2 x = 2 sen x.

5. (2p) Desde cierto punto vemos dos arboles que distan 7.5m y 12m denosotros. Sabiendo que el angulo que forman las visuales a los dos arboleses de 80◦, halla la distancia que separa a los dos arboles.

14 1◦


1. (2p) Resolver el triangulo ABC conocidos los datos a = 15, b = 25, A =33◦. Usando el teorema de los senos,

a

senA=

b

sen B⇒ senB =

b senA

a=

25 sen 33

15= 0,91.

Entonces B = 65◦11′38′′ o B = 114◦48′22′′

Si B = 65◦11′38′′, C = 81◦48′22′′.

a

senA=

c

senC⇒ c =

a sen C

sen A=

15 sen 81◦48′22′′

sen 33= 27,26.

Si B = 114◦48′22′′, C = 32◦11′38′′.

a

senA=

c

senC⇒ c =

a sen C

sen A=

15 sen 32◦11′38′′

sen 33= 14,67.

2. (2p) Demuestra la identidad: cos α cos(α − β) + senα sen(α − β) = cos β.(1) Desarrollando,

cos α(cos α cos β + sin α sinβ) + sinα(sinα cos β − sinβ cosα)

= cos2 α cos β + sinα cos α sinβ + sin2 α cos β − sinα cos α sinβ

=(cos2 α + sin2 α) cos β

=cos β.

(2) Usando la formula del coseno de una diferencia,

cosα cos(α − β) + sinα sin(α − β)

= cos(α − (α − β)) = cos β.

3. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: senx +√

3 cos x = 2.√

3 cos x = 2 − sen x ⇒ 3 cos2 x = 4 − 4 sin x + sin2 x

⇒ 3 − 3 sin2 x = 4 − 4 sin x + sin2 x

⇒ 4 sin2 x − 4 sin x + 1 = 0 ⇒ sinx =1

2⇒ x = 30◦, 150◦.

4. (2p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: 1 − cos2 x = 2 sen x.Sustituyendo, sin2 x = 2 sin x ⇒ sinx = 0 o sinx = 2, que es imposible.

Por tanto, x = 0, 180◦, 360◦.5. (2p) Desde cierto punto vemos dos arboles que distan 7.5m y 12m de

nosotros. Sabiendo que el angulo que forman las visuales a los dos arboleses de 80◦, halla la distancia que separa a los dos arboles.

Usando el teorema del coseno,

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC = 168.993 ⇒ c = 13m.

1◦


Se consideran puntos A = (2, 5), B = (0, 0) y C = (6, 0). Hallar:

1. Mediana mA que pasa por A y el punto medio de BC .

El punto medio de BC es M = (3, 0). Hallando el vector ~u =−−→AM = (1,−5),

la ecuacion de mA sera de la forma 5x + y + K = 0, y sustituyendo x = 2, y = 5,obtenemos K = −15, por lo que tenemos mA : 5x + y − 15 = 0.

2. Mediana mB que pasa por B y el punto medio de CA.

El punto medio de CA es M = (4, 52). Hallando el vector ~u =

−−→BN = (4, 5

2) ∼

(8, 5), la ecuacion de mB sera de la forma 5x − 8y + K = 0, y sustituyendox = 0, y = 0, obtenemos K = 0, por lo que tenemos mB : 5x − 8y = 0.

3. Altura hA que pasa por A y es perpendicular a BC .

Es una recta vertical que pasa por el punto A = (2, 5), por tanto, resulta hA :x = 2.

4. Altura hB que pasa por B y es perpendicular a CA.

El vector v =−−→BN = (4,−5) es perpendicular hB, por tanto su ecuacion sera de

la forma 4x − 5y + K = 0. Como pasa por el punto B = (0, 0), tenemos K = 0 yhB : 4x − 5y = 0.

5. Mediatriz lA que es perpendicular a BC en su punto medio.

Es una recta vertical que pasa por el punto M = (3, 0), por tanto, lA : x = 3.

6. Mediatriz lB que es perpendicular a CA en su punto medio.

Podemos usar que es una paralela a la altura hB : 4x − 5y = 0, por tanto suecuacion sera 4x− 5y + K = 0, y pasando por el punto medio N = (4, 5

2), que nos

da K = −72. Por tanto, lB : 4x − 5y − 7

2= 0 o lB : 8x − 10y − 7 = 0.

7. Hallar el baricentro G de ABC , interseccion de las medianas.

Resolvemos el sistema:{

5x + y = 15

5x − 8y = 0⇒ 9y = 15 ⇒

{

y = 5/3

x = 8/3⇒ G =

(

8

3,5

3

)

.

8. Hallar el ortocentro H de ABC , interseccion de las alturas.


x = 2

4x − 5y = 0⇒ H =

(

2,8

5

)

.

9. Hallar el circuncentro O de ABC , interseccion de las mediatrices.


x = 3

8x − 10y = 7⇒ O =

(

3,17

10

)

.

10. Comprobar que G = 13(A + B + C).

A + B + C

3=

(2, 5) + (0, 0) + (6, 0)

3=

(8, 5)

3=

(

8

3,5

3

)

= G.

11. Comprobar que−−→HG = 2 · −→GO.

Por ser

−−→HG =

(

8

3− 2,

5

3− 8

5

)

=

(

2

3,

1

15

)

,−→GO =

(

3 − 8

3,17

10− 5

3

)

=

(

1

3,

1

30

)

,

se cumple que−−→HG = 2 · −→GO.

16 1◦


Observaciones

La formula G = 13(A + B + C) indica que G es el centro de masas del

sistema formado por A, B y C .

La formula−−→HG = 2 · −→GO indica que H, G y O estan alineados. Dicha

formula se cumple en cualquier triangulo, indicando no solo que estos trespuntos estan alineados, sino que siempre estan alineados manteniendo estaproporcion. A la recta que pasa por H, G y O se le llama recta de Eulerdel triangulo ABC .

1◦


Consideramos las rectas los puntos A = (0, 0), B = (2, 1), C = (1, 3) y las rectas

r1 : 2x − 3y + 5 = 0, r2 : 3x − y − 7 = 0, r3 :x − 2

3=

y − 1

−1. Hallar:

1. El punto medio del segmento AB.

2. La ecuacion general de la recta que pasa por A y B.

3. Un punto y un vector de cada una de las rectas r1, r2, r3.

4. La pendiente de cada una de las rectas r1, r2, r3.

5. Un vector perpendicular a r1.

6. La ecuacion implıcita de la recta paralela a r1 que pasa por B.

7. Unas ecuaciones parametricas de la recta perpendicular a r2 que pasa porC .

8. El producto escalar de los vectores−→AB y

−→AC.

9. El angulo formado por las rectas AB y AC .

10. La distancia del punto A a la recta r1.

11. El punto de interseccion de las rectas r1 y r2.

12. El punto simetrico de A respecto de B.

13. El punto simetrico de A respecto de la recta r1.

14. La ecuacion de la circunferencia con centro A que pasa por B.

15. Los dos puntos que trisecan el segmento AB.

18 1◦


Consideramos los puntos A = (0, 0), B = (2, 1), C = (1, 3). Hallar:

16. La distancia del punto A a la recta BC .

17. La distancia entre los puntos B y C .

18. El area del triangulo ABC .

19. Las ecuaciones de las alturas hb y hb.

20. (Usando el apartado anterior) Las ecuaciones de las mediatrices lb y lc.

21. El baricentro del triangulo ABC .

22. El ortocentro del triangulo ABC .

23. (Usando los dos apartados anteriores) El circuncentro del triangulo ABC .

24. El angulo A del triangulo ABC .

25. El angulo formado por las rectas hb y hc.

Otros ejercicios:

26. Unas ecuaciones parametricas, otras continuas y la ecuacion implıcita dela recta y = 2x.

27. Halla el angulo formado por las rectas y = 3x e y = 4x.

28. Halla los valores de m para que la recta y = mx forme un angulo 60◦ conla recta y = 2x.

29. Las ecuaciones explıcitas de las rectas paralelas a y = 2x que distan 3unidades de ella.

30. Las ecuaciones implıcitas de las bisectrices del angulo formado por lasrectas y = 0 y 3x − 4y = 0.

1◦


Consideramos las rectas los puntos A = (0, 0), B = (2, 1), C = (1, 3) y las rectas

r1 : 2x − 3y + 5 = 0, r2 : 3x − y − 7 = 0, r3 :x − 2

3=

y − 1

−1. Hallar:

1. El punto medio del segmento AB.Sol : M = 1

2(A + B) = (1, 1

2).

2. La ecuacion general de la recta que pasa por A y B.

Sol :−→AB = (2, 1) ⇒ x− 2y + K = 0 ⇒ x − 2y = 0.

3. Un punto y un vector de cada una de las rectas r1, r2, r3.Sol : ~u = (3, 2), ~v = (1, 3) y ~w = (3,−1) son vectores de r1, r2, r3.P = (2, 3), Q = (0,−7) y R = (2, 1) son puntos de las rectas r1, r2, r3.

4. La pendiente de cada una de las rectas r1, r2, r3.Sol : m1 = 2/3, m2 = 3 y m3 = −1/3 son las pendientes de las rectasr1, r2, r3.

5. Un vector perpendicular a r1.Sol : (2,−3) es perpendicular a r1.

6. La ecuacion implıcita de la recta paralela a r1 que pasa por B.Sol : 2x − 3y + K = 0 ⇒ K = −1 ⇒ 2x − 3y − 1 = 0.

7. Unas ecuaciones parametricas de la recta perpendicular a r2 que pasa porC .Sol :

{

x = 1 + 3t

y = 3 − t.

8. El producto escalar de los vectores−→AB y

−→AC.

Sol :−→AB = (2, 1) y

−→AC = (1, 3) ⇒ −→

AB · −→AC = 2 + 3 = 5.9. El angulo formado por las rectas AB y AC .

cos(AB, AC) =∣

∣

∣cos(

−→AB,

−→AC)

∣

∣

∣=

5√5√

10=

5

5√

2=

1√2⇒ (AB, AC) = 45.

10. La distancia del punto A a la recta r1.

d(A, r1) = d ((0, 0), 2x − 3y + 5 = 0) =5√13

.

11. El punto de interseccion de las rectas r1 y r2.Sol : Resolviendo el sistema se obtiene x = 26/7, y = 29/7.

12. El punto simetrico de A respecto de B.Sol : A = 2B − A = (4, 2).

13. El punto simetrico de A respecto de la recta r1.Sol : Se halla la interseccion de r1 y su perpendicular por A, la recta 3x +2y = 0 y se obtiene el punto Q = (−10

13, 15

13). El simetrico es A′ = 2Q−A =

(−2013

, 3013

).14. La ecuacion de la circunferencia con centro A que pasa por B.

Sol : x2 + y2 − 5 = 0.15. Los dos puntos que trisecan el segmento AB.

Sol : M = (23, 1

3) y N = (4

3, 2

3).

16. La distancia del punto A a la recta BC .Sol :

d(A, BC) = d ((0, 0), 2x + y − 5 = 0) =5√5

=√

5.

17. La distancia entre los puntos B y C .

Sol :−−→BC = (1, 2) ⇒ d(B, C) =

√5.

18. El area del triangulo ABC .Sol : Usando los dos apartados anteriores, el area es 5

2.

20 1◦


19. Las ecuaciones de las alturas hb y hb.Sol : x + 3y − 5 = 0 y 2x + y − 5 = 0.

20. (Usando el apartado anterior) Las ecuaciones de las mediatrices lb y lc.Sol : Son paralelas a las alturas: x + 3y − 5 = 0 y 2x + y − 3

2= 0.

21. El baricentro del triangulo ABC .Sol : G = (1, 4

3).

22. El ortocentro del triangulo ABC .Sol : H = (2, 1).

23. (Usando los dos apartados anteriores) El circuncentro del triangulo ABC .Sol : O = (1

2, 3

2).

24. El angulo A del triangulo ABC .Sol : Lo mismo que en el problema 9.

25. El angulo formado por las rectas hb y hc.Sol : Coincide con el angulo del problema anterior, ya que cada altura esperpendicular al lado correspondiente.

26. Unas ecuaciones parametricas, otras continuas y la ecuacion implıcita dela recta y = 2x.Sol : Las ecuaciones son en ese orden:

{

x = t

y = 2t,

x − 0

1=

y − 0

2, 2x − y = 0

27. Halla el angulo formado por las rectas y = 3x e y = 4x.Sol :

tan(r, s) =

∣

∣

∣

∣

3 − 4

1 + 3 · 4

∣

∣

∣

∣

=1

13⇒ (r, s) = 4◦23′55,33′′.

28. Halla los valores de m para que la recta y = mx forme un angulo 60◦ conla recta y = 2x.Sol :∣

∣

∣

∣

m − 2

1 + 2m

∣

∣

∣

∣

=√

3 ⇒ m2 − 4m + 4

4m2 + 4m + 1= 3

⇒ m2 − 4m + 4 = 12m2 + 12m + 3

⇒ 11m2 + 16m − 1 = 0.

⇒ m =−16 ±

√256 + 44

22=

−16 ±√

300

22=

−8 ±√

75

11=

−8 ± 5√

3

11.

29. Las ecuaciones explıcitas de las rectas paralelas a y = 2x que distan 3unidades de ella.Sol : y = 2x ± 3

√5.

30. Las ecuaciones implıcitas de las bisectrices del angulo formado por lasrectas y = 0 y 3x − 4y = 0.Sol : Un punto que este en cualquiera de estas bisectrices debe cumplir:

|y| =|3x − 4y|

5⇒ 3x − 4y = ±5y ⇒

{

3x − 4y = 5y ⇒ 3x = 9y

3x − 4y = −5y ⇒ 3x = −y.

Entonces las bisectrices son 3x + y = 0 y x − 3y = 0.

1◦


Nombre:

1. (1.5p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: sen 2x cos x = 6 sen3 x.

2. (1.5p) Demuestra la identidad cos(α + β) · cos(α − β) = cos2 α − sen2 β.

3. (1.5p) Resuelve el triangulo ABC con A = 35◦, B = 65◦ y a = 2 cm.

4. (1.5p) Dada la recta r : 2x − 3y + 5 = 0, halla las coordenadas del puntosimetrico P ′ de P = (3, 0) respecto de r.

5. (1.5p) Halla la ecuacion general de la recta que pasa por el punto A =(3,−5) y por el punto de interseccion de las rectas 3x − y − 2 = 0 yx + y − 2 = 0.

6. (1p) Calcula la distancia del punto A = (1, 5) a la recta r : 2x− y− 5 = 0.

7. (1p) Halla unas ecuaciones parametricas de la recta r : 3x − 4y − 5 = 0.

8. (0.5p) Halla el angulo formado por las rectas y = 2x + 3 e y = 3x + 2.

22 1◦


El mundo de las funciones

(a). Es una recta que pasa por (0, 2), por tanto y = 2 + mx. Para que tambienpase por (−2, 0), es m = 1, por tanto y = x + 2.

(b). Lo mismo y = 3 −mx. Para que pase por (1, 0), y = 3 − 3x.(c). Es una parabola con ramas hacia abajo y = 4−ax2. Para que y = 0 cuando

x = 2, a = 1, por tanto y = 4 − x2.(d). Una parabola que corta a y = 0 en x = −3 y x = 0. Cualquiera de la forma

y = ax(x + 3).(e). Una cubica que corta a y = 0 en x = −1, x = 0 y x = 1. Cualquiera de la

forma y = ax(x− 1)(x + 1) con a > 0.(f). Una cubica que corta a y = 0 en x = 0, x = 1 y x = 2. Cualquiera de

la forma y = ax(x − 1)(x − 2) con a < 0 para que la y comience y acabedecreciente.

(g). Una cuartica que corta en 0, 1 y 2 al eje x, siendo x = 1 una raız doble.Cualquiera de la forma y = ax(x− 1)2(x − 2) con a > 0.

(h). Una cubica que comienza decreciendo, corta al eje x en x = 0 y tiene unaraiz doble en x = 1. Cualquiera de la forma y = ax(x − 1)2 con a < 0.

(i). Una parabola que corta en x = 1 (doble). Serıa dela forma y = −a(x−1)2.Para que sea y = −2 cuando x = 0 tiene que ser y = −2(x − 1)2.

(j). Aquı tenemos una hiperbola de la forma y = kx. Para que y = 2 cuandox = 1, debe ser y = 2/x.

(k). Es una traslacion de la anterior con vector (2, 1): y = 1 + 2/(x − 2).(l). Puede ser de la forma y = k/x2 con k > 0. Como para x = 2 queremos

y = 2, debe ser k = 8. Por tanto, y = 8/x2.(m). y = |x|.(n). y = −|x| − 2.(n). y = |2x/3|.

1◦


(2r) Nombre:

1. (1.5p) Resuelve la ecuacion trigonometrica: cos 2x + 3 sen x = 2.

2. (1.5p) Demuestra la identidad√

2 cos(π

4− α

)

= sen(α) + cos α.

3. (1.5p) Resuelve el triangulo ABC con A = 35◦, b = 3 cm y a = 2 cm.

4. (1.5p) Halla la ecuacion continua y la ecuacion implıcita de la recta quepasa por los puntos A = (2,−1) y B = (2,−3).

5. (1p) Halla la ecuacion general de la recta que pasa por el punto A = (3,−5)y es perpendicular a la recta 3x − y − 2 = 0.

6. (1p) Calcula el punto simetrico del punto A = (1,−5) respecto del puntoB = (2,−3).

7. (1p) Halla la ecuacion implıcita de la recta

{

x = 2 − 3t

y = 3 + t.

8. (1p) Halla el angulo formado por las rectas x + y− 5 = 0 y x− 3y− 2 = 0.

24 1◦


1. Representa y = 8/x usando una tabla y usa el resultado para representary = 8

x− 2 e y = 8

x−2.

2. Representa las funciones y = ln(x + 1) e y = ln |x| sin el uso de tablas.

3. Calcula y representa lımx→u

f(x) siendo f(x) = (x2 − 5x + 6)/(x2 − 4) y

u = −∞,−2, 0, 2, +∞.

4. Calcula y representa las asıntotas que pueda tener la funcion f(x) = x4

x3−8.

5. Halla la funcion compuesta de f y g, siendo f(x) =√

x + 1 y g(x) =(x2 − 1)2.

6. Estudia la continuidad de la funcion definida por la formula:

f(x) =

x2

x + 1si x < 0

2x si x > 0.

7. Halla la funcion recıproca de la funcion f(x) = 3x−1x−2

.

8. Calcula, usando la definicion, la derivada de f(x) = x2 + x.

9. Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x2 − 2x en el puntox = 2. Dibuja la curva y su tangente.

10. Halla la derivada de las funciones f(x) = ex+2 y f(x) = ex

x.

11. Halla la derivada de las funciones f(x) = (x−2)2

x3 y f(x) = x2 lnx.

12. Suponiendo demostrado que (ex)′ = ex, demostrar que (lnx)′ = 1/x.

1◦


Nombre:

1. (1p) Representa la funcion y = 1 − ln(x + 1) sin el uso de tablas.

2. (1.5p) Calcula y representa las asıntotas: f(x) =x2 − 3x + 4

x − 1.

3. (1.5p) Estudia la continuidad de la funcion definida por la formula:

f(x) =

x2

x + 1si x < 0

2x si x > 0.

4. (1p) Calcula el lımite lımx→−∞

(

x2 + 1

x − 1− x2 − 3

x + 3

)

5. (1.5p) Calcula, usando la definicion, la derivada de f(x) = x3.

6. (1p) Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x en elpunto x = −2. Dibuja la curva y su tangente.

7. (2.5p) Halla la derivada f(x) en los siguientes casos:a) f(x) = ln(3x2 + 3x)

b) f(x) =x + 5

x − 5c) f(x) =

√5x +

√5 − x

d) f(x) = sen(3x) + cos(3x)e) f(x) = xe3x

26 1◦


(1a3a) Nombre:

1. (1.5p) Resolver la ecuacion 22x − 4x+1 = 12.

2. (1.5p) Resolver la ecuacion log2 (x + 1) − log2 (x − 1) = log2 (3x − 7).

3. (1.5p) Resolver la ecuacion√

x − 1 +√

x + 2 = 3.

4. (1.5p) Estudiar la continuidad de la funcion

f(x) =

x2

x + 1si x 6 0

2x si x > 0.

5. (1.5p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2

x + 2.

6. (1p) Halla la derivada de f(x) = x2 · sen2 x.

7. (1.5p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion

f(x) =x2 − 5x

x + 4.

1◦


(3a) Nombre:

1. (2p) Estudiar la continuidad de la funcion

f(x) =

x2

x + 1si x 6 0

2x si x > 0.

2. (2p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2

x + 2.

3. (3p) Halla la derivada de f en los siguientes casos:a) f(x) = x2 · sen2 x.b) f(x) =

√1 + lnx.

c) f(x) = ex · tanx.

4. (2p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion

f(x) =x2 − 5x

x + 4.

5. (1p) Halla la funcion recıproca de f(x) =x

x − 1.

28 1◦


(2a3a) Nombre:

1. (1,5p) Resolver el triangulo ABC conociendo B = 35◦, b = 7 cm y c = 8cm.

2. (1,5p) Dos observadores separados 250 m ven un globo estatico entre ellosbajo angulos de 72◦ y 85◦. ¿A que altura se encuentra el globo?

3. (1,5p) Dados los puntos A = (0, 0), B = (2, 1) y C = (1, 3), hallar el puntosimetrico de A respecto de la recta BC .

4. (1,5p) Estudiar la continuidad de la funcion

f(x) =

x2

x + 1si x 6 0

2x si x > 0.

5. (1,5p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2

x + 2.


7. (1,5p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion

f(x) =x2 − 5x

x + 4.

1◦


(Todo) Nombre:

1. (1p) Resolver la ecuacion 22x − 4x+1 = 12.

2. (1p) Resolver la ecuacion log2 (x + 1) − log2 (x − 1) = log2 (3x − 7).

3. (1p) Resolver el triangulo ABC conociendo B = 35◦, b = 7 cm y c = 8 cm.

4. (1p) Demostrar la identidad tan2 α − sen2 α = tan2 α · sen2 α.

5. (1p) Dos observadores separados 250 m ven un globo estatico entre ellosbajo angulos de 72◦ y 85◦. ¿A que altura se encuentra el globo?

6. (1p) Dados los puntos A = (0, 0), B = (2, 1) y C = (1, 3), hallar el puntosimetrico de A respecto de la recta BC .

7. (1p) Estudiar la continuidad de la funcion

f(x) =

x2

x + 1si x 6 0

2x si x > 0.

8. (1p) Halla y representa las asıntotas de la funcion f(x) =x2

x + 2.


10. (1p) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la funcion

f(x) =x2 − 5x

x + 4.

(3 ev) Nombre: __________________________________________________________

1. (1p) Estudia la continuidad de la función2 si 1

( ) .14 2 si 1

x xf x x

x x

− ≤= + − >

2. (1p) Halla la función recíproca de ln( 1).y x= −

3. (1p) Halla los valores de a y b sabiendo que la función la ecuación de la recta tangente a la función 3( )f x x ax b= + + tiene un mínimo relativo en el punto de coordenadas (2,1).

4. (1,5p) Halla y representa las asíntotas de la función 2

2 .2 1xy

x x=

− +

5. (1,5p) Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos (absolutos y

relativos) de la función 2

.4

xyx

=+

6. (3p) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a. 3

1

2xxy e − =

b. arctany x=

c. 3 2cosy x=

7. (1p) Halla el valor de x para que las tangentes a las curvas 23 2 5y x x= − + e 2 6y x x= + sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes.

BACHILLERATO C: MATEMATICAS I....

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