Ayudantía Nº 4Algebra I fmm010

Carola Muñoz R.1

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son reflexivas?

R1 = {(x,y)|x = y} ( -1 , -1)( 0 , 0 )( 1 , 1 )

R

R2 = {(x,y)|x y}( -1,-1)( 0 , 0 )( 2 , 2 )

R

R3 = {(x,y)|x es múltiplo de y}

x = y

x = k y, si k = 1 entonces x = y

( -1,-1 )( 0 , 0 )( 2 , 2 )

R

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son reflexivas?

R4 = {(x,y)|(x = y) (x = y)} ( -1,-1)( 0 , 0 )( 2 , 2 )

R

R5 = {(x,y)|x = y + 1}( -1,-1 )( 0 , 0 )( 2 , 2 ) R

R6 = {(x,y)|x + y ≥ 5}

x ≠ y

Solo se cumple con x e y > 3

( -1,-1 )( 0 , 0 )( 2 , 2 ) R

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son reflexivas?

R7 = {(x,y)|z (x y= 2z) }

R8 = {(x,y)|n (x – y = 5n)}

R9 = {(x,y)|z [(x + y)*z = 0]}

Cuando x = y, la resta es igual a 0,

0

( -1,-1 )( 0 , 0 )( 2 , 2 ) R

Solo se cumple con x = y = par

( -1,-1 )( 0 , 0 )( 2 , 2 )

R

( -1,-1 )( 0 , 0 )( 2 , 2 )

R

Solo se cumple con x = y z = 0

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son simétricas?

R1 = {(x,y)|x = y} S

R2 = {(x,y)|x y} S

R3 = {(x,y)|x es múltiplo de y}

x y y x

x = k y / ky = x/kx = k y y k x

x = y y = x

S

6 múltiplo de 3 y 3 no múltiplo de 6.

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son simétricas?

R4 = {(x,y)|(x = y) (x = y)}

R5 = {(x,y)|x = y + 1}

R6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} S

x = y y = x

x = y / 1 y = xS

x = y + 1 / 1x – 1 = y

x = y + 1 y x + 1

S

x + y = y + xx + y 5 y + x 5

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son simétricas?

R7 = {(x,y)|z (x y= 2z) }

R8 = {(x,y)|n (x – y = 5n)}

R9 = {(x,y)|z [(x + y)*z = 0]}

S

x + y = y + x, entonces(x + y)z = 0 (y + x)z = 0

x y = y x, entoncesx y = 2z y x = 2z

S

S

x y = 5n , y – x = 5n

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son antisimétricas?

R1 = {(x,y)|x = y}

R2 = {(x,y)|x y}

R3 = {(x,y)|x es múltiplo de y}

x = y

- 5 = (-1) 5 , 5 = (-1) -5( -5,5 ) R3 , ( 5,-5 ) R3 , y -5 5

Esta relación es antisimétrica ya que para todo ( x , y ) existe un ( y , x ), donde x = y

Esta relación es antisimétrica ya que para todo ( x , y ) existe un ( y , x ), donde x = y

A

A

A

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son antisimétricas?

R4 = {(x,y)|(x = y) (x = y)}

R5 = {(x,y)|x = y + 1}

R6 = {(x,y)|x + y ≥ 5}

x = y / 1 y = x(3,-3), (-3,3) y 3 -3, es decir siempre x y

x = y + 1 / 1x – 1 = y

x = y + 1 y x + 1

S

x + y = y + xpero x y

A

A

A

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son antisimétricas?

R7 = {(x,y)|z (x y= 2z) }

R8 = {(x,y)|n (x – y = 5n)}

R9 = {(x,y)|z [(x + y)*z = 0]} x + y = y + x, pero no siempre x = y

x y = y x, pero no siempre x = y

(20, 5) R8, (5, 20) R8, y 20 5

x y = y x, pero no siempre x = y

A

A

A

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son transitivas?

R1 = {(x,y)|x = y}

R2 = {(x,y)|x y}

R3 = {(x,y)|x es múltiplo de y}

x = y, y = z x + y = y + zx = z T

x y, y z x + y y + z

x z

T

x = k1y, y = k2z x =k1k2z x = kz

T

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son transitivas?

R4 = {(x,y)|(x = y) (x = y)}

R5 = {(x,y)|x = y + 1}

R6 = {(x,y)|x + y ≥ 5}

T

T

x = y, y = z x + y = y + zx = z

x = y + 1, y = z + 1 x + y = y + 1 + z +1x = z + 2 x z + 1

x + y 5, y + z 5 x + z 10 – 2yx + z 5 T

Propiedades de las relaciones

• ¿Cuáles de las relaciones en son transitivas?

R7 = {(x,y)|w (x y= 2w) }

R8 = {(x,y)|n (x – y = 5n)}

R9 = {(x,y)|z [(x + y)*z = 0]}

T

T

T

(1,2) R7, (2,3) R7 y (1,3) R7

x – y = 5n1, y – z =5n2 x – z = 5 (n1 + n2)

x – z = 5n

(1,-1) R9, (-1,1) R9 y (1,1) R9

Propiedades de las relaciones

• En resumen:

Relación R S A T

R 1 -------- -------- -------- --------

R 2 -------- -------- --------

R 3 -------- --------

R 4 -------- -------- --------

R 5 --------

R 6 --------

R 7 --------

R 8 -------- -------- --------

R 9 --------

Relación de equivalencia

Relación de orden parcial

Relación de orden total