OCTAVO AO:TRINGULOS

Un tringulo es el polgono que resulta de unir 3 puntos con lneas rectas.

Todo tringulo tiene 3 lados (a, b y c), 3 vrtices (A, B y C) y 3 ngulos interiores (A, B y C)

Habitualmente se llama lado a al lado que no forma parte del ngulo A. Lo mismo sucede con los lados b y c y los ngulos B y C.

Los tringulos podemos clasificarlos segn 2 criterios:

Segn la medida de sus lados

- Equiltero Los 3 lados (a, b y c) son iguales

Los 3 ngulos interiores son iguales

- Issceles Tienen 2 lados iguales (a y b) y un lado distinto (c)

Los ngulos A y B son iguales, y el otro agudo es distinto

- Escaleno Los 3 lados son distintos

Los 3 ngulos son tambin distintos

Segn la medida de sus ngulos

- Acutngulo Tienen los 3 ngulos agudos (menos de 90 grados)

- Rectngulo El ngulo interior A es recto (90 grados) y los otros 2 ngulos son agudos

Los lados que forman el ngulo recto se llaman catetos (c y b), el otro lado hipotenusa

- Obtusngulo El ngulo interior A es obtuso (ms de 90 grados)

Los otros 2 ngulos son agudos

NOVENO AO:

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Slo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.Producto de un nmero por un monomio

El producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el nmero.

Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.Polinomios

Un polinomio es una expresin algebraica de la forma:

P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x 1 + a 0Siendo an, an - 1 ... a1 , ao nmeros, llamados coeficientes.

n un nmero natural.x la variable o indeterminada.

ao es el trmino independiente.Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.DECIMO AO:Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo grado.La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Multiplicacin de polinomios

Producto de un nmero por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el nmero.

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.2 Se suman los monomios del mismo grado.Divisin de polinomios

P(x) : Q(x)A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Para comprobar si la operacin es correcta, utilizaramos la prueba de la divisin:

D = d c + r Regla de Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x a, entonces utilizamos un mtodo ms breve para hacer la divisin, llamado regla de Ruffini .

(x4 3x2 +2 ) : (x 3 )

1Si el polinomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos que faltan con ceros. 2Colocamos los coeficientes del dividendo en una lnea. 3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del trmino independiente del divisor.4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente trmino.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.8El ltimo nmero obtenido es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a b)2 = a2 2 a b + b2Suma por diferencia

(a + b) (a b) = a2 b2Binomio al cubo

(a b)3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3PRIMERO BGU:

Hace ya algn tiempo vimos una sencilla regla para calcular las razones trigonomtricas de los ngulos ms importantes del primer cuadrante. Tanto debi gustar ese artculo que es el ms visitado de la historia del blog y uno de los ms comentados.

Pero en ciertas ocasiones esta tabla puede quedar algo corta, ya que muchas veces necesitamos saber el valor de alguna de las razones trigonomtricas en cierto ngulo de otro cuadrante. En Secundaria nos ensean a realizar este clculo, pero generalmente se incide ms en las frmulas que me dan los valores buscados y se profundiza menos en el clculo geomtrico. En este artculo vamos a ver que aprendiendo a reproducir la tabla mencionada antes (con la regla descrita en dicho artculo es muy fcil) y unos cuantos detalles geomtricos podremos calcular de manera muy sencilla las razones trigonomtricas de diversos ngulos del resto de cuadrantes.

Razones trigonomtricas en los cuadrantes segundo, tercero y cuarto

Vamos a partir de la circunferencia de centro y radio . Trazamos ahora un ngulo . El segmento que parte del y determina dicho ngulo corta a la circunferencia en el punto . Trazamos ahora las dos perpendiculares a los ejes desde este punto , que cortan en los puntos y en los ejes respectivamente. En esta situacin, el coseno de este ngulo es la longitud del segmento del eje que va del hasta (en la imagen, el segmento azul) y el seno de es la longitud del segmento del eje que va del hasta (en la imagen, el segmento rojo). Esto es, el coseno se mide en el eje y el seno se mide en el eje .

La idea para calcular las razones trigonomtricas de un ngulo de un cuadrante que no sea el primer es asociar ese ngulo con el ngulo simtrico a l del primer cuadrante, teniendo cuidado con los signos.

Comencemos con los signos. Hay una regla muy sencilla para aprenderse los signos de seno, coseno y tangente en cada uno de los cuadrantes. Se basa en la frase:

SEGUNDO BGU:

Las medidas de dispersin nos informan sobre cunto se alejan del centro los valores de la distribucin.

Las medidas de dispersin son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribucin estadstica.

Desviacin media

La desviacin respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadstica y la media aritmtica.

Di = x - x La desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviacin media se representa por

Ejemplo

Calcular la desviacin media de la distribucin:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviacin media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresin de la desviacin media es:

Ejemplo

Calcular la desviacin media de la distribucin:

xifixi fi|x - x||x - x| fi

[10, 15)12.5337.59.28627.858

[15, 20)17.5587.54.28621.43

[20, 25)22.57157.50.7144.998

[25, 30)27.541105.71422.856

[30, 35)32.526510.17421.428

21457.598.57

Varianza

La varianza es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribucin estadstica.

La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el clculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribucin:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza de la distribucin de la tabla:

xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 6055844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la varianza

1 La varianza ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la varianza no vara.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho nmero.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

TERCERO BGU:

ngulos coterminales

Los ngulos coterminales son ngulos en posicin estndar (ngulos con el lado inicial en el eje positivo de las x) que tienen un lado terminal comn. Por ejemplo 30, 330 y 390 son todos coterminales.

Para encontrar un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo dado, puede sumar y restar 360 si el ngulo es medido en grados o 2 si el ngulo es medido en radianes.

Ejemplo 1:Encuentre un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo de 55.

55 360 = 305

55 + 360 = 415

Un ngulo de 305 y un ngulo de 415 son coterminales con un ngulo de 55.

Ejemplo 2:Encuentre un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo de .

Un ngulo de y un ngulo de son coterminales con un ngulo de .