axiomes_R
4
1. INTRODUCCIÓ AXIOMÀ TICA DE R. 1 1 INTRODUCCIÓ AXIOMÀTICA DE R. Suposa rem que existeix un conju nt no buit R d’elements, anomenats nombres reals, que satisfan els 10 axiomes que enumerarem a con tin uació. Aqu ests axiomes es p oden classific ar en tres grups: (i ) Axio me s de c os ( 1,2, 3, 4, 5) (ii ) Axiomes d’ord re (6 , 7, 8, 9) (iii) Axioma de comp lete sa (10) 1.1 Axiomes de co s (R, +, ·). Axioma 1: Propietat commutativa, x + y = y + x, xy = yx . Axioma 2: Propietat associativa, x + (y + z ) = (x + y ) + z , x (yz ) = (xy)z. Axioma 3: Propietat distributiva, x (y + z ) = xy + xz . Axioma 4: ∀x, y ∈ R sempre ∃ z ∈ R | x + z = y , i es denota per: z = y − x. • Element neutre : en particular, si x = y → ∃ z = 0 ∈ R | x − x = 0 → x + 0 = x. • Element oposat: ∀x ∈ R e y = 0 ∃ z = −x ∈ R | − x = 0 − x → x + (−x) = 0. Axioma 5: Si x, y ∈ R i x = 0 , ∃ z ∈ R | x · z = y , i s’escriu z = y/x . • Element neutre del producte : en particular, si x = y → ∃ z = 1 | 1 = x/x → x · 1 = x ∀x. • Element invers : en particular, si y = 1, ∀x = 0 → ∃ z = 1/x = x −1 → x · (x −1 ) = 1. A partir d’aquests axiomes podem deduir totes les lleis habituals de l’aritmètica, per exemple: −(−x) = x , −(x − y ) = y − x, (x −1 ) −1 = x , x − y = x + (−y) . (.1) 1.2 Axiomes d’ or dre Suposem ara l’existència d’una relació (<) que estableix un ordre en R i satisfà els següents axiomes: Axioma 6: Es verifica només una de les relacions 1 : x < y , x = y , x > y . (.2) Aquest axioma ens garanteix l’ ordre complet de R: tot element està relacionat amb la resta. Axioma 7: Si x < y , ∀z ∈ R ⇒ x + z < y + z . Axioma 8: Si x, y > 0 ⇒ x · y > 0. Axioma 9: Si x > y i y > z ⇒ x > z . D’aquests axiomes es poden deduir les regles habituals que regeixen les operacions amb de- sigualtats. 1 Formalment només cal una relació, <, i la definició x > y ⇔ y < x.
description
axiomes
Transcript of axiomes_R
-
1. INTRODUCCI AXIOMTICA DE R. 1
1 INTRODUCCI AXIOMTICA DE R.
Suposarem que existeix un conjunt no buit R delements, anomenats nombres reals, que satisfanels 10 axiomes que enumerarem a continuaci. Aquests axiomes es poden classificar en tres grups:
(i) Axiomes de cos (1, 2, 3, 4, 5)
(ii) Axiomes dordre (6, 7, 8, 9)
(iii) Axioma de completesa (10)
1.1 Axiomes de cos (R,+, ).
Axioma 1: Propietat commutativa, x+ y = y + x, xy = yx.
Axioma 2: Propietat associativa, x+ (y + z) = (x+ y) + z, x(yz) = (xy)z.
Axioma 3: Propietat distributiva, x(y + z) = xy + xz.
Axioma 4: x, y R sempre z R | x+ z = y, i es denota per: z = y x.
Element neutre: en particular, six = y z = 0 R | x x = 0 x+ 0 = x.
Element oposat:x R e y = 0 z = x R | x = 0 x x+ (x) = 0.
Axioma 5: Si x, y R i x 6= 0 , z R | x z = y, i sescriu z = y/x.
Element neutre del producte: en particular, six = y z = 1 | 1 = x/x x 1 = x x.
Element invers: en particular, siy = 1,x 6= 0 z = 1/x = x1 x (x1) = 1.
A partir daquests axiomes podem deduir totes les lleis habituals de laritmtica, per exemple:
(x) = x , (x y) = y x , (x1)1 = x , x y = x+ (y) . (.1)
1.2 Axiomes dordre
Suposem ara lexistncia duna relaci ( y . (.2)
Aquest axioma ens garanteix lordre complet de R: tot element est relacionat amb la resta.
Axioma 7: Si x < y , z R x+ z < y + z.
Axioma 8: Si x, y > 0 x y > 0.
Axioma 9: Si x > y i y > z x > z.
Daquests axiomes es poden deduir les regles habituals que regeixen les operacions amb de-sigualtats.
1Formalment noms cal una relaci, y y < x.
-
21.3 Conseqncies dels axiomes dordre
1.) Segons laxioma 6, el zero, 0 R, es relaciona amb tot x R, i aix que permet classificar R:
x R+ si x > 0 real positiu
x R si x < 0 real negatiu
x {0} si x = 0 . (.3)
2.) Si x < y, i
{z > 0 xz < yz (a)z < 0 xz > yz (b)
Demostraci. (Explicitant cadascun dels axiomes utilitzats)
(a)
x < yAx.7== x x < y x = 0 < y x
A partir de:y x > 0
z > 0
}Ax.8== z(y x) > 0
Ax.3== zy zx > 0
Ax.7== zy zx+ zx > zx zy > zx . (.4)
(b)
x < yAx.7== 0 < y x
z < 0Ax.7== 0 < z
}Ax.8== (y x)(z) > 0
Ax.3== yz + xz > 0
Ax.7== xz > yz . (.5)
3.)x > yz > w
}si y,w > 0 xz > yw
Demostraci.
x > y > 0 x > 0
z > w > 0 z > 0
x > yz>0== xz > yz
z > wy>0== yz > yw
} xz > yz > yw xz > yw . (.6)
4.) x > y x < y
Demostraci.
x > ysumem (-x)======= x x > y x
0 > y x
0 y > y + y x
y > x
x < y . (.7)
-
1. INTRODUCCI AXIOMTICA DE R. 3
5.) x > y > 0 1
y>
1
x> 0
Demostraci.
x > y > 0
x > 0, y > 0 1
x,1
y> 0
usem 2.==== x 1x > y 1x > 0
1 >y
x> 0
1
y 1 >
1
yy
x> 0
1
y>
1
x> 0 . (.8)
Abans de presentar el des axioma, encara necessitem alguns teoremes i definicions.
Teorema .1. (Sobre ordre) Siguin a, b, R | a < b+ , > 0 aleshores
a b . (.9)
Demostraci. (Reducci a labsurd)
Suposem que a > b i considerem =a b
2> 0. Llavors,
b+ = b+a b
2=
a+ b
2
(a>b)
0 b < b
b no s fita superior
y S | b < y
b y < ; (.12)
i y s ms a prop de b que qualsevol .
INTRODUCCI AXIOMTICA DE R.Axiomes de cos (R,+,).Axiomes d'ordreConseqncies dels axiomes d'ordreAxioma de completesa
