Axiomas y Teoremas

Axiomas y Teoremas

Axiomas y TeoremasProbabilidad y estadstica13/04/2015Roberto Garca ArmentaITESZ2B Ing. Electrnica

Introduccin En este documento hablar acerca de los axiomas de probabilidad, as como tambin de los teoremas que hablen acerca de este tema. Tambin mostrare algunos ejemplos que demuestren y expliquen de forma un poco ms grfica los teoremas y axiomas que sean mencionados.En la probabilidad se pueden encontrar diversos axiomas que son las condiciones mnimas que deben verificarse para que una funcin definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Estos axiomas fueron formulador por Andri Kolmogrov en 1933, los cuales son 3 y sern mostrados y explicados ms adelante.Los teoremas son leyes que rigen el comportamiento de los datos estudiados y se har mencin de 5 teoremas bsicos adems de el teorema de Bayes.Hay una gran variedad de teoremas relacionados a la probabilidad pero solo mostrar estos que son ms bsicos, los otros son ms complejos o son solo complementarios como el teorema del mono infinito, por dar un ejemplo.

DesarrolloAxiomas de KolmogrovPrimer axioma:La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

Ejemplo:La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5

Segundo Axioma:La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.

Ejemplo:La probabilidad de sacar un nmero del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".

Tercer Axioma:Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

Ejemplo:La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "nmero par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.Segn este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.Generalizando:Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos entonces;

Ejemplo:Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este espacio el conjunto de sucesos es P(W) = {, {1}, {2}, ...{1,2}, {1,3}, ...{1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un nmero a todos esos sucesos.Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales p ({1})= p ({2})=...= p ({6})= 1/6, por la propiedad ii), p. e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p ({1,3})= p ({1})+ p ({3})=2/6.Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar".TeoremasTeorema 1Si f es un evento nulo o vaco, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.P (f)=0Ejemplo:La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad de que no sea varn".DEMOSTRACIN:Si sumamos a f un evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces .Teorema 2La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser:

DEMOSTRACIN:Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego , por tanto p ()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A).

Teorema 3Si un evento A B, entonces la

DEMOSTRACIN:Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)p(B).

Teorema 4

DEMOSTRACIN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) p(AB).

Teorema 5Para dos eventos A y B:

DEMOSTRACIN:Si AB = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) p(AB).Teorema de BayesSi A1, A2,... , Anson:Sucesos incompatibles2 a 2.Y cuyaunines elespacio muestral(A1A2...An= E).Y B es otro suceso.Resulta que:

Las probabilidadesp(A1)se denominanprobabilidades a priori.Las probabilidadesp(Ai/B)se denominanprobabilidades a posteriori.Las probabilidadesp(B/Ai)se denominan verosimilitudes.Ejemplo:El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambin, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cul es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

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