Aventuras algebraicas

Profesor: Mercado Walter Iban

Proyecto colaborativo para alumnos y profesores 1° de Secundaria

Actividades para alumnos

1. Mensajes en dos lenguajes

2. Primero los paréntesis

3. Iguales con iguales

4. Adivino lo que piensas

Sugerencias para profesores

1. El álgebra y sus actores

2. Jerarquía de las operaciones

3. Sopa de soluciones

4. Magia con álgebra

Presentación

Las matemáticas siempre se han considerado una útil herramienta para realizar diversos cálculos. Sin embargo, el espíritu de creatividad, libertad, espontaneidad, crítica y orden propio de las matemáticas son algunos de sus atributos más importantes. En este espíritu estriba su valor formativo más profundo: la actividad matemática como una peculiar fusión de reconocimiento y construcción de argumentos; contribución que va mucho más allá de la mera utilidad práctica o la vana memorización de algoritmos. Para dejar de ver a las matemáticas como una forma de hacer y empezarlas a reconocer como una forma de pensar, es necesario comenzar a desarrollar algunas habilidades que son inherentes al pensamiento matemático. Algunas de estas habilidades son la sensibilización (reconocer el reto central de una tarea, así como las dificultades asociadas a ella), el flujo de ideas (proponer la reflexión y la elaboración de distintas ideas, hipótesis e inclusive teorías), la construcción de ideas (formular una idea, desarrollarla y contextualizarla para hacer uso de ella), la variedad y flexibilidad (vislumbrar el abanico de retos, posibilidades y opiniones que podemos tener), la verbalización (explicar en voz alta los procesos llevados a cabo para entender cómo ha construido una estrategia, y visualizar y enmendar los posibles errores), la reciprocidad (compartir los puntos de vista con los demás es tan importante como lo es estar abiertos a escuchar otras opiniones), la redefinición (permitir la posibilidad de ver un escenario desde un punto de vista completamente diferente al habitual) y la defensa (desarrollar, poco a poco, la capacidad de sustentar y defender las ideas).

Propósito general

El desarrollo de las habilidades inherentes al pensamiento matemático es el resultado de la constante realización de actividades que apelen más a la resolución de problemas a través del uso de la lógica que mediante la aplicación de algoritmos.

El proyecto que les proponemos en esta ocasión tiene dos propósitos generales: propiciar el desarrollo de estas habilidades y servir como un apoyo didáctico para abordar algunos temas relacionados con el álgebra que se estudia en el primer año de secundaria. Además, cuenta con valor escalafón para los docentes pues son ellos los principales mediadores en este proceso de apropiación del conocimiento.

¿De qué se trata?

Este proyecto colaborativo está dividido en cuatro etapas. Sugerimos que las actividades de cada etapa se lleven a cabo sin interrupción, de manera que la discusión final se convierta en un espacio de conclusión. Les proponemos que las lleven a cabo en equipos de unos cinco alumnos, pero les recomendamos que al final siempre procuren llevar a cabo discusiones con el grupo entero para intercambiar ideas y estrategias. Es importante señalar que los espacios de discusión son los lugares idóneos para propiciar el desarrollo de las actividades inherentes al pensamiento matemático. Cuando permitimos a los alumnos entablar discusiones, estamos promoviendo el intercambio de ideas y la retroalimentación en donde los alumnos tienen la oportunidad de exponer, argumentar y defender sus puntos de vista. Para que sea aún más enriquecedora, esta presentación de opiniones debe constar de dos facetas. La primera ocurre al interior del equipo de trabajo; en este proceso cada integrante del equipo se enfrenta al reto de proponer su propio punto de vista y de llegar a un consenso con el resto de sus compañeros. La segunda faceta ocurre cuando el representante de cada equipo se enfrenta al reto de defender el punto de vista del equipo, apoyando su argumentación en los puntos de vista de sus compañeros. Para los profesores que quieran optar por el reconocimiento con valor escalafón es importante que realicen todas las actividades del proyecto con sus alumnos, que revisen y verifiquen que las colaboraciones de cada equipo sean pertinentes y que reporten sus impresiones, experiencias y resultados en sus carpetas

Calendario Fecha: septiembre – noviembre 2014

Inscripciones: 15 al 26 de septiembre

Etapa 1 – 29 de septiembre al 10 de octubre

Actividades para alumnos: Mensajes en dos lenguajes. Sugerencias para profesores: El álgebra y sus actores

Etapa 2 – 13 al 24 de octubre

Actividades para alumnos: ¿Cuál va primero? Sugerencias para profesores: Jerarquía de las operaciones

Etapa 3 – 27 de octubre al 7 de noviembre

Actividades para alumnos: Iguales con iguales Sugerencias para profesores: Sopa de soluciones

Etapa 4 – 10 al 21 de noviembre

Actividades para alumnos: Adivino lo que piensas Sugerencias para profesores: Magia con álgebra

Actividades para alumnos

Nombre del juego: Mensajes en dos lenguajes

Propósito particular

Que los alumnos asocien frases escritas en lenguaje común con sus frases asociadas en lenguaje algebraico.

Desarrollo

1. Para comenzar, pídale a sus alumnos que se agrupen por parejas pues vamos a jugar con un memorama algebraico. Si en el grupo hay un número impar de personas, les sugerimos formar un equipo de tres personas.

2. Entregue a cada pareja una impresión de las siguientes hojas y pídales que corten las tarjetas.

Éstas serían las 24 leyendas que van en las tarjetas:

1. La tercera parte de cualquier número.

2. El doble de cualquier número.

3. La cuarta parte de cualquier número más uno.

4. Cualquier número.

5. Cualquier número más tres.

6. La mitad de la suma de cualquier y cinco.

7. Cualquier número menos ocho.

8. Siete veces la suma de cualquier numero y cuatro.

9. Raíz cuadrada del doble de cualquier número

10. Cualquier número multiplicado por sí mismo dos veces.

11. Tres veces la mitad de cualquier número

12. Nueve más cuatro veces cualquier número

13. 13x

14. 2x

15. 14x+1

16. x

17. x + 3

18. x+52

19. x − 8

20. 7(x + 4)

21. √2x

22. x2

23. 3x2

24. 9 + 4 x

3. Hay tres formas de manipular este memorama. Les recomendamos jugar por lo menos de dos maneras sugeridas.

Opción 1. Lo primero que hay que hacer es colocar las tarjetas sobre la mesa (de manera que pueda leerse su contenido) y los alumnos, al interior de cada equipo, tienen que formar los doce pares. Durante este proceso, los alumnos podrán familiarizarse con las distintas frases en lenguaje común y lenguaje algebraico.

Opción 2. En este caso, vamos a voltear las tarjetas y a jugar como normalmente jugamos un memorama. Para ello es importante que no pueda verse a través del dorso de las tarjetas; si esto ocurre, les sugerimos que las peguen con un poco de cinta en cartas de baraja. Las reglas del memorama son las siguientes:

a. Un jugador voltea una tarjeta y luego voltea alguna otra que crea que es su par.

b. Si en efecto forma un par, tendrá otro turno; en caso contrario, sería turno del otro jugador.

Opción 3. Para esta tercera opción, pida a los equipos que se unan para formar dos grandes equipos. Este juego también consiste en formar pares de tarjetas, pero vamos a ir contra el tiempo. Para ello sugerimos que el profesor funja como árbitro. Si el salón es muy pequeño, les sugerimos que lleven a cabo la actividad en el patio de la escuela.

a. Antes de comenzar, cada equipo va a acomodar boca arriba un juego de 24 tarjetas sobre una de las dos mesas que vamos a ubicar muy cerca del pizarrón.

b. A cada equipo le corresponderá jugar con las tarjetas de la mesa que acomodó el otro equipo.

c. Vale la pena señalar que no se vale hacer trampas (como esconder tarjetas, por ejemplo); la idea de idea de que un equipo acomode las tarjetas con las que va a jugar el otro equipo es para que ninguno de los equipos acomode las tarjetas por pares desde antes.

d. Los equipos tienen que estar formados en una fila en la parte del salón más alejada del pizarrón.

e. Cuando el profesor dé la señal de salida, el primer jugador de cada equipo tiene que ir hacia la mesa, escoger una tarjeta cualquiera, regresar a la fila de su equipo y dársela al siguiente compañero.

f. Este segundo integrante del equipo debe ir hacia la mesa, encontrar la tarjeta que haga par con la que le dio su compañero y llevar ambas al tercer compañero.

g. Este tercer compañero ha de unir las tarjetas con un clip, colocarlas sobre la mesa y llevar una tarjeta diferente al cuarto compañero.

h. Éste debe ir a la mesa a buscar la tarjeta que le haga par y llevar ambas al siguiente compañero... y así sucesivamente.

i. Al final, el profesor tiene que comprobar que las tarjetas estén correctamente asociadas. Gana el equipo que termine primero de completar los doce pares o el que haya completado más pares correctamente.

Nombre del juego: Primero los paréntesis

Propósito particular

Que los alumnos reconozcan la jerarquía de las operaciones y practiquen la aritmética utilizando operaciones básicas y paréntesis.

Desarrollo

1. Para comenzar la actividad, pida a sus alumnos que se integren por equipos.

2. Desarrollen entre todos el siguiente ejemplo en clase. El reto consiste en escribir las operaciones que lleven al resultado que se pide. Pueden escoger entre la suma (+), la resta (–), la multiplicación (x) y la división (÷), pero no se vale usar la misma operación dos veces en el mismo ejercicio. El reto, entonces, es que tenemos los números

6 ___ 5 ___ 3

Y debemos acomodar los signos de las operaciones de manera que el resultado sea un número par. Permítales que sugieran posibles soluciones. Algunas soluciones a este problema son:

6+5-3=8 o 6-5+3=4

¿Alguna de ellas es igual a la que obtuvieron entre todos? ¿Serán éstas las únicas? Nuevamente permítales que expongan sus puntos de vista al respecto. Después, plantéeles la siguiente pregunta ¿qué pasa con 6 x 5 + 3? ¿Da como resultado un número par? Explique que si primero hacemos la multiplicación 6x5 y luego sumamos 3, obtenemos como resultado 33 y éste no es un número par. En cambio, si hacemos primero la suma 5+3 y luego multiplicamos por 6, obtenemos 48 y éste sí es un número par.

3. Para continuar, exponga la necesidad de utilizar paréntesis para evitar confusiones. 4. Ahora, proporcióneles la siguiente hoja y pídales que hagan los ejercicios. Es muy importante que utilicen los paréntesis para señalar qué operación debe hacerse primero y cuál se hace después.

En los siguientes ejercicios escribe sobre las líneas los símbolos de las operaciones que necesites para lograr el resultado y además usa, en cada uno de ellos, los paréntesis para indicar que operación debe hacerse primero.

Además, te pedimos no repitas la operación en el mismo ejercicio. Esto quiere decir que si sobre una línea pones, por ejemplo, la suma, en la siguiente sólo podrás usar la resta, la multiplicación o la división.

a) 8 ___ 7 ___ 3 el resultado debe ser 3

b) 4 ___ 2 ___ 1 el resultado debe ser un número par

c) 4 ___ 3 ___ 2 el resultado debe ser un número mayor que 8 y menor que 11

d) 9 ___ 7 ___ 4 el resultado debe ser un múltiplo de 4

e) 12 ___ 3 ___ 5 el resultado debe ser un número impar

f) 3 ___ 2 ___ 5 el resultado debe ser 0

g) 11 ___ 6 ___ 3 el resultado debe ser un número par

h) 20 ___ 10 ___ 2 el resultado debe ser un múltiplo de 3

i) 13 ___ 9 ___ 21 el resultado debe ser 1

j) 1 ___ 5 ___ 6 el resultado debe ser un número impar

k) 7 ___ 1 ___ 7 el resultado debe ser un número par

l) 14 ___ 10 ___ 1 el resultado debe ser el número par que sigue al 2

m) 15 ___ 3 ___ 2 el resultado debe ser 9

n) 2 ___ 3 ___ 4 el resultado debe ser el primer número impar

ñ) 5 ___ 4 ___ 2 el resultado debe ser un número en el que las decenas y las unidades sean iguales

5. Continúe permitiendo que cada equipo exponga sus resultados y las estrategias que siguieron para llegar a ellos. Discutan entre todos: ¿Cómo fueron los resultados de los alumnos? ¿Se parecieron mucho? ¿Por qué será?

Nombre de juego: Iguales con iguales

Propósito particular

Que los alumnos reconozcan algunas de las características básicas de una ecuación y refuercen su conocimiento de las reglas básicas de la reducción de términos.

Desarrollo

1. Para realizar esta actividad, pida a sus alumnos que se integren en equipos de cinco o seis personas.

2. Una vez que se hayan conformado los equipos, pídales que observen la siguiente composición de figuras y que la describan. Les sugerimos algunas que podrían plantearse al interior de los equipos. ¿Cuántas figuras hay? ¿Qué tipo de figuras son? ¿De qué color son?

3. A continuación, pídales que decidan un criterio para clasificar las figuras y darle un poco de orden al conteo de imágenes en la composición.

4. Pida a cada equipo que escojan un representante que exponga al resto del grupo el criterio de clasificación que escogieron. ¿Creen que algún criterio sea mejor que otro? ¿Por qué?

5. Una vez terminada la discusión (recomendamos que no les lleve más de 15 minutos), dibujen la siguiente tabla en el pizarrón y rellénenla entre todos.

¿Cuántos hay de cada tipo?

6. Ahora, escriban esta información en forma de lista; pueden hacerla rellenando la siguiente:

7 bolas rojas

__ círculos anaranjados

__ cuadrados verdes

__ cuadrados rojos

__ triángulos morados

__ triángulos verdes

__ elipses amarillas

__ elipses moradas

__ rectángulos anaranjados

__ rectángulos amarillos

Para ahorrar tiempo y no cansarse escribiendo, también podrían simplemente dibujar las distintas figuras. De esta manera, la lista quedaría así:

7

__

__

__

__

__

__

__

__

__

Si ponemos esta lista en forma horizontal y sumamos el número de cada una de las figuras, obtenemos el número total de figuras en la composición.

7 + __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ +

__ + __ = __ figuras

7. Después, discutan sobre el álgebra que hemos hecho durante este proceso de observación y descripción de una composición de figuras. ¿Se les ocurre en dónde está el álgebra? Ahí les van un par de pistas:

• Hemos utilizado símbolos (las figuras) en lugar de palabras, así como en una ecuación se usan letras en lugar de enormes frases.

• Hemos diferenciado las figuras de acuerdo con su forma y su color, como en una ecuación se diferencian las variables según letras y exponentes; así como no es lo

mismo círculo que círculo rojo o círculo anaranjado, no es lo mismo x que x2 o x3.

• También procuramos no revolver las figuras. Por ejemplo, no revolvimos los círculos rojos ni con los círculos anaranjados ni con los cuadrados rojos; así como en las

ecuaciones no revolvemos una x2 ni con una x ni con una y2.

• Además, en una ecuación siempre decimos lo mismo de los dos lados del signo de igualdad. En este caso, en ambos lados estamos diciendo cuántas figuras hay en la composición, pero de dos maneras distintas: del lado derecho simplemente está el total de figuras, mientras que del lado izquierdo, además, precisamos cuántas figuras hay de cada tipo.

8. Ya para terminar, les pedimos que no se vayan del aula sin dejar sus impresiones de esta actividad en el foro.

Nombre del juego: Mate mágicas

Propósito particular

Que los alumnos participen de esta aplicación del álgebra y construyan un truco de magia basado en la solución de ecuaciones de primer grado.

Desarrollo

1. Para comenzar esta actividad, pídale a sus alumnos que tomen su lápiz y lleven a cabo las siguientes operaciones pues les va a adivinar un número.

a. piensen un número

b. súmenle 5

c. a lo que les quedó, multiplíquenlo por 2

d. a lo que les quedó, réstenle 4

e. dividan el resultado entre 2

f. a lo que les quedó, réstenle el número que pensaron al principio

g. levanten la mano todos aquellos a los que les haya salido 3 (todos tendrían que levantar la mano, a menos que se hayan equivocado en algún paso)

2. Pídales que volteen a ver quién más levantó la mano. ¿Sorprendidos?

3. Déjelos que expongan sus opiniones. ¿De verdad será magia? ¿Dónde estará el gato encerrado?

4. A continuación, póngales este otro truco.

a. piensen un número

b. ahora, súmenle 3

c. multipliquen el resultado por 2

d. a lo que les quedó, súmenle 4

e. dividan el resultado entre 2

f. a lo que les quedó, réstenle el número que pensaron

g. levanten la mano a los que les haya salido 5 (otra vez, todos tendrían que levantar la mano)

5. Continúe la actividad explicando cómo funciona el primer truco.

6. Ahora, pídales que se reúnan por equipos y que demuestren ellos por qué funciona el segundo truco.

7. Revisen entre todos las demostraciones de los demás y juntos construyan un tercer truco, vayan haciendo la demostración conforme lo desarrollan.

8. Para terminar, pídales que pongan el truco a personas que no sean del salón y que nos platiquen sus experiencias en el próximo encuentro..

Sugerencias para profesores

El álgebra y sus actores

Como apoyo a la primera etapa del proyecto para los alumnos, les proporcionamos una breve historia del álgebra para que la retomen en clase y entre todos reconstruyan el camino que los matemáticos siguieron para desarrollar esta rama de las matemáticas.

Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas.

En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro El arte del cálculo (Jiu zhang suan shu), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zi) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números. En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Arithmetica en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería la teoría de ecuaciones. A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.

En el siglo VII, los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos.

En el siglo IX trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los

procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de "procedimiento sistemático de cálculo". En cuanto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Aritmética de Diofanto.

En 1202, después de viajar al norte de África y a Oriente donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Tratado del ábaco (Liber abaci) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d’Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: √. Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557, el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

En 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.

En 1637, el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día.

Además, les proponemos resolver un problema muy antiguo. Se trata de conocer la edad de un matemático griego que vivió entre el 200 y el 290 dC. llamado Diofanto.

La vida de Diofanto se desconoce casi por completo. Sin embargo, un alumno suyo escribió sobre su tumba el siguiente epitafio:

"Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

¿Podrías resolver el problema y descubrir cuántos años vivió Diofanto?

Jerarquía de las operaciones

En esta ocasión les proporcionamos una breve explicación de la jerarquía de las operaciones. Aunque lo pareciera, se trata de un tema complicado y muchas veces podemos caer en el error o la confusión. Por eso les sugerimos ampliamente que nos expresen sus dudas, cometarios y sugerencias a nos los profesores.

A la hora de hacer aritmética con números naturales, pueden presentarse varios tipos de operaciones y algunas deben realizarse antes que otras porque el orden en el que se hacen las operaciones puede cambiar el resultado.

Por ejemplo, si tenemos los números 4 __ 3 __ 2 y los unimos con las siguientes operaciones

4 x 3 + 2,

esto se puede leer de distintas maneras.

Una manera sería primero hacer la operación 4 x 3 = 12, después al 12 le sumamos 2 y nos queda 12 + 2 = 14.

Así el resultado final sería 14.

Otra manera sería primero hacer la operación 3 + 2 = 5 y después hacer la multiplicación: 4 x 5 = 20.

Así el resultado final sería 20.

Para no confundirnos, en matemáticas usamos los paréntesis. De esta manera, la primera manera se escribiría como

(4 x 3) + 2

y así quedaría claro que la primera operación que hay que hacer, en este caso, es la multiplicación.

La segunda manera se escribiría como

4 x (3+2)

y sabríamos que la primera operación que hay que hacer es la suma.

Cuando los alumnos comienzan a trabajar con ecuaciones algebraicas, el signo x, que para ellos denota multiplicación, desaparece para no crear confusiones con la variable x. De manera que los paréntesis se vuelven, además, indicador de que hay que llevar a cabo una multiplicación. Es común que los alumnos resuelvan este producto de la siguiente manera:

5(1+6) = 5 + 6 = 11

Esto pasa, generalmente, porque no les queda claro que hay que multiplicar el 5 por todo lo que está al interior del paréntesis. Así que debemos explicarles que primero debemos resolver lo que está dentro del paréntesis, es decir, hacer la suma 1+6; y a lo que nos quede, lo multiplicamos por 5.

Veamos otro ejemplo.

7 [4+5 (3+2 )+(3−1 )2 ]

En este caso, hay que multiplicar 7 por todo lo que se encuentra al interior del corchete. Pero primero debemos conocer cuánto vale lo que está dentro del corchete.

4 + 5(3 + 2) + (3−1 )2

y esto no es más que la suma de tres elementos

4; 5(3 + 2) y (3−1 )2

En otras palabras, necesitamos hacer una multiplicación y sabemos que uno de los factores es 7. Pero para conocer el otro factor, debemos obtener el resultado de la

suma que está dentro del corchete.

Con el primer elemento no tenemos ningún problema, se trata de un 4. Pero con el segundo y el tercero sí porque aún no están reducidos a su mínima expresión, es decir, aún no determinamos cuánto vale cada uno.

En el caso del segundo término, tenemos una operación compuesta, es decir, se trata de multiplicar 5 por lo que se encuentra dentro del paréntesis. Así que primero resolvemos el paréntesis.

Sabemos que 3+2 = 5

y al hacer la multiplicación 5(3+2), o bien, 5 por 5

obtenemos el resultado que necesitamos para continuar: 25.

El tercer término es un número elevado al cuadrado, pero antes debemos saber cuánto vale ese número así que primero resolvemos lo que está en el paréntesis.

(3−1 )2=22=4

Entonces, el gran paréntesis que tenemos al principio

4+5 (3+2 )+(3−1 )2

se reduce a la suma de tres números: 4; 25 y 4

Hacemos la suma y obtenemos 33.

Pero la operación inicial era multiplicar 7 por este número, así que el resultado final es 231.

Recordemos que si hacemos las operaciones en cualquier otro orden nos podría salir un resultado diferente porque estaríamos operando con números diferentes.

Entonces, primero hacemos las operaciones indicadas entre paréntesis. Si no hubiera paréntesis que nos señalen qué operaciones hay que hacer primero, comenzamos con las multiplicaciones y divisiones, después las raíces o exponentes, y al final, las sumas y las restas.

Sopa de soluciones

En esta etapa les proponemos una actividad para practicar sus habilidades para resolver ecuaciones de primer grado. Les sugerimos que la planteen a sus alumnos hasta que ellos ya estén resolviendo ecuaciones de primer grado, no antes.

a d q i j m w e g n y r b

c d l c z g a c u a t r o

f o t v y t h h f c x u u

i s k b n j j o z e d x b

r a ñ i s h u n o l i h k

ñ n e m e n o s n u e v e

d r y j p d f q c ñ z l f

t g s u e t n i e v h p m

h t c i n c o r v i n t d

d z i a r d g p k w j r v

o q e c r o t a c e f e t

c ñ n b e x s o p u m s o

e i e g m o h c o i z p a

3 x+1=4

5x2

=10

12x+3=8

x+3=2 x−11

5 x+2=17

x+32=72

3 ( x+2 )=66

x+9=3x+27

2 x+5=65

4 x+7=51

x4=25

3−2x=3 x−22

Magia con álgebra

Los trucos para adivinar números como los que les proponemos a continuación son muy útiles a la hora de explicar cómo se plantean y resuelven ecuaciones de primer grado; además de que se divierten y se llevan la clase de matemáticas a casa porque seguro querrán repetirlos con sus familiares y amigos. Una posible manera de jugar es hacer primero los trucos y pedir a los estudiantes que traten de averiguar lo que está sucediendo. Después, les recomendamos que entre todos planteen el problema algebraicamente y discutan cómo es que se llega a la solución.

Analicemos el ejemplo planteado en clase.

1) piensa un número

2) súmale 5

3) multiplica el resultado por 2

4) a lo que quedó réstale 4

5) el resultado divídelo entre 2

6) a lo que quedó réstale el número que pensaste

7) el resultado es 3

El resultado siempre es 3, no importa con qué número hayan empezado.

Para explicar cómo funciona el truco, podrían empezar llenando una tabla con varios ejemplos.

Piensa un número 4 ; 7 ; 12 ; 35

Súmale 5 ; 9 ; 12 ; 17 ; 40

Multiplica por 2 ; 18; 24 ; 34 ; 80

Resta 4 ; 14 ; 20 ; 30 ; 76

Divide entre 2 ; 7 ; 10 ; 15 ; 38

Resta el número que pensaste 7 – 4 ; 10 – 7 ; 15 – 12 ; 38 - 35

El resultado es 3 3; 3; 3; 3

En efecto, en los cuatro casos el resultado es 3, pero esto no es una prueba de que el truco siempre funcione y de que para cualquier número que se elija el resultado final será 3. Tenemos que imaginar una forma para lograr demostrar que no importa con que número empecemos, el resultado siempre será 3, y para eso tenemos que pensar en una forma de realmente empezar con cualquier número.

Proponemos que en lugar de empezar con un número concreto, usemos un asterisco para representar eso que llamamos "cualquier número". Para representar los números que sí conocemos usemos pequeños círculos.

Pasos Representación gráfica Simplificación1) piensa un número (ponemos un asterisco)

∗ ∗2) súmale 5 (agregamos cinco círculos)

∗ ••••• ∗ •••••

3) multiplica el resultado por 2(que es lo mismo que duplicar el número de asteriscos y de círculos)

∗ •••••como hay 1 asterisco, queda 2 como hay 4 círculos, queda 8

∗∗ ••••••••••

4) a lo que quedó réstale 4(quitamos cuatro círculos)

∗∗ •••••••••• - •••• ∗∗ ••••••

5) el resultado divídelo ∗∗ ••••••

entre 2 (que es equivalente a quitar la mitad de círculos y la mitad de asteriscos)

hay dos asteriscos, quitamos uno hay seis círculos, quitamos tres

∗ •••

6) a lo que quedó réstale el número que pensaste (quitamos un asterisco)

∗ ••• - ∗ •••

Aunque parezca mentira, lo que acabamos de escribir, sí es una demostración, pues no importa que número corresponda al asterisco, el resultado siempre es 3. Sin embargo, los asteriscos y círculos no son lo más cómodo para escribir matemáticas, es mucho más útil usar el lenguaje matemático, en este caso, el lenguaje algebraico.

Pasos Representación algebraica Simplificación1) piensa un número x2) súmale 5 x+5

3) multiplica el resultado por 2

2 ( x+5 )

4) a lo que quedó réstale 4 2 x+10−4

5) el resultado divídelo entre 2

2x+62

=2 x2

+ 62

6) a lo que quedó réstale el número que pensaste

x+3−x

:

El resultado siempre es 3.

Profesor de Matemática

Mercado Walter Iban