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Fisica III -09 Autoinducción Cátedra de Física Experimental II Prof. Dr. Víctor H. Rios 2009
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Fisica III -09
Autoinducción
Cátedra de Física Experimental II
Prof. Dr. Víctor H. Rios
2009
Fisica III -09
Contenidos
Autoinducción. Corriente autoinducida Circuito RL . Energía del Campo Magnético Inducción mutua. Corriente inducida El transformador . Circuito LC. Oscilaciones libres.
Circuito RLC. Oscilaciones amortiguadas. Circuito RLC conectado a un fem alterna Oscilaciones forzadas. Elementos de un circuito de corriente alterna Resistencia conectada a un generador de CA. Condensador conectado a un generador de CA. Bobina conectada a un generador de CA. Circuito en serie RLC. Resonancia en un circuito RLC en serie.
Ejemplos de inductancias
Fisica III -09
Ejemplos de inductancias
Fisica III -09
Ejemplos de inductancias
Fisica III -09
Autoinducción. Circuito R-L
Si en un circuito existe una corriente que produce un campo magnético liga-do al mismo y varía su intensidad se generara una “fem”.
Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.
Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i.
Fisica III -09
1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère
2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a tra-vés de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo pro-pio Φ y la intensidad i.
Fisica III -09
El coeficiente de autoinducción solamente depende de
La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío
La unidad de medida de la autoinducción se llama Henry, abreviada-mente H, en honor a Joseph Henry.
• la geometría del circuito
• las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide.
Fisica III -09
Corriente autoinducida
Se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.
Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo,
* Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio
• La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.
Fisica III -09
dt
diL
dt
d −=Φ−=ε
Establecimiento de una corriente en un circuito
Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor
La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.
• la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0 / R dado por la ley de Ohm
• sino que tarda un cierto tiempo (teóricamente infinito, en la práctica) que depende de la resistencia.
Fisica III -09
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente.
Circuito RL
La diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres ele-mentos que forman el circuito. Se cumplirá que
Se conecta la batería y la inten-sidad i aumenta con el tiempo.
Vab+Vbc+Vca=0 �
Fisica III -09
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condi-ciones iniciales t = 0, i = 0.
Ê
Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente.
Solución
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Caída de la corriente en un circuito
Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería.
De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente.
* la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea
* sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito
Fisica III -09
. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di / dt < 0 es negativa
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente
Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito.
Vab + Vba = 0 Ê
Fisica III -09
Integrando
Hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales: t = 0, i = i0.
•
La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo.
En la mayor parte de los casos, R / L es grande, por lo que la co-rriente desaparece muy rápidamente.
r
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Energía del campo magnético
Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía.
• La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i.
• Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética.
De la ecuación del circuito
i R = V0 + VL multiplicando por i
Fisica III -09
R i2 : es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia.
V0 i : es la energía suministrada por la batería.
L i di / dt: es la energía por uni-dad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.
•
Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i.
Fisica III -09
Para un solenoide
La energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe:
Ê
Densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen)
Volumen S l
En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula:
La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.
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Inducción mutua
Con frecuencia el flujo a través de un circuito varía con el tiempo como consecuencia de las corrientes variables que existen en circuitos cercanos.
• Se produce una fem inducida mediante un proceso que se denomina inducción mutua.
Para ilustrar este hecho, supongamos que tenemos dos circuitos acoplados formados por una espira y un solenoide, tal como se muestra en la figura.
Fisica III -09
Supongamos que el solenoide está formado N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i1.
• Denominaremos circuito primario al solenoide y secun- dario a la espira.
1.- El campo magnético creado por el solenoide (primario) suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, y cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère
Fisica III -09
2.-Este campo atraviesa la sección de la espira (secundario), el flujo de dicho campo a través de la espira vale.
S es la sección del solenoide, no de la espira, ya que hemos supuesto que fuera del solenoide no hay campo magnético.
Fisica III -09
El coeficiente de inducción mutua solamente depende de:
3.-Se denomina coeficiente de inducción mutua M al cociente entre el flujo a través del secundario Φ2 y la intensidad en el primario i1.
La unidad de medida del coeficiente de inducción mutua se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.
* la geometría de los circuitos
* de su posición relativa
Fisica III -09
Corriente inducida
Cuando la intensidad de la corriente i1 en el primario cambia con el tiem-po, se induce en el secundario una corriente i2 que se opone a los cam-bios de flujo.
Aplicamos la ley de Faraday. derivando el flujo que atra-viesa el secundario Φ2 = M·i1 respecto del tiempo
La fem en el secundario V2 siempre actúa en el sentido que se opone a la variación del flujo producido por el primario.
Fisica III -09
El transformador
Hace algo más de un siglo que se inventó este dispositivo que ha hecho po-sible la distribución de energía eléctrica a todos los hogares, industrias, etc.
Si no fuera por el transformador tendría que acortar-se la distancia que separa a los generadores de e-lectricidad de los consumidores.
Lo encontramos en muchos lugares,
Donde existen?
* en las lámparas de bajo consumo,
* en cargadores de pilas,
* en las centrales hidroeléctricas
* en otros generadores de electricidad
* en sótanos de edificios
Fisica III -09
Fisica III -09
TRANSFORMADOR
Su tamaño puede variar desde muy pequeños a enormes transformadores que pueden pesar más de 500 Tn.
El primario y el secundario de un transfor-mador tienen el mimo núcleo de hierro que asegura que el flujo a través de cada espi-ra sea el mismo.
Sea φ el flujo del campo magnético a través de cada espira.
Si la corriente en el primario i1 varía con el tiempo se produce en el secundario una fem inducida V2.
Fisica III -07
Si cambiamos los papeles de modo que el secundario pase a ser primario y viceversa
Dividiendo ambas expresiones, obtenemos la relación de transformación:
Por ejemplo si el secundario tiene N2 = 5N1 resulta que V2 = 5V1, y dicho transformador aumenta en el secundario la tensión del primario y se llama transformador elevador .
Para que un transformador sea reductor deberá tener menos espiras en el secundario que en el primario.
Fisica III -07
Oscilaciones eléctricas y Circuitos de C. Alterna
Fisica III -09
Circuito LC. Oscilaciones libres
El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un resorte perfec-tamente elástico.
El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.
En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el con-densador se está descargando, la carga q disminuye y la intensi-dad i aumenta.
Fisica III -09
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es :
Vab + Vba = 0
Como i = - dq / dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llega-mos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Esta es la ecuación diferencial de un Mov. Armónico Simple de frecuencia angular propia o natu-ral
⇒
⇒ ⇒
Fisica III -09
Carga:
La solución de la ecuación diferencial es : q = Q · sen ( w0 t + Φ ),
donde la amplitud Q y la fase inicial Φ se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t = 0.
Intensidad:
Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad i
i = dq / dt = Q · w0 · cos ( w0 t + Φ)
Energía:
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.
Se puede fácilmente comprobar que la suma de ambas energías es constante e independiente del tiempo.
Fisica III -09
Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.
• En un instante inicial el condensador está comple-tamente cargado con una carga Q. Toda la energía está acumulada en el condensador en forma de campo eléctrico.
2. El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incre- mento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima : i = Q w0.
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3. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.
1. Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la
bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).
5. La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial de partida.
Circuito RLC . Oscilaciones amortiguadas.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta.
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es :
Vab + Vbc + Vca = 0 ⇒
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Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito pre-senta una resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta.
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es :
Vab + Vbc + Vca = 0 ⇒
Fisica III -09
Como i = - dq / dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
La solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es
donde la amplitud Q y la fase inicial Φ se determinan a partir de las condiciones iniciales, * la carga del condensador q0 y * la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t = 0.
L
RycontseneQq t
2)( 22
02 =−=+= − γγωωφωγ
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En las oscilaciones amortiguadas,
* la carga máxima del condensador va disminuyendo.
* la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.
• la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
• cuando γ = w0, entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se denomina oscilación crítica
• cuando γ > w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas - Críticas - Sobreamortiguadas
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Circuito RLC conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia w .
La ecuación del circuito es
Vab + Vbc + Vcd + Vda = 0 ⇒
Como i = - dq / dt , si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas de una masa unida a un resorte elástico.
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Elementos de un circuito de corriente alterna
Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resisten-cias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna.
Una fem alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angu-lar constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán. v = V0 sen ( w t )
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En las oscilaciones amortiguadas,
* la carga máxima del condensador va disminuyendo.
* la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.
• la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
• cuando γ = w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se denomina oscilación crítica
• cuando γ > w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas - Críticas - Sobreamortiguadas
Fisica III -09
Fisica III -09
En las oscilaciones amortiguadas,
* la carga máxima del condensador va disminuyendo.
* la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.
• la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
• cuando γ = w0, entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se denomina oscilación crítica
• cuando γ > w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas - Críticas - Sobreamortiguadas
Fisica III -09
Para analizar los circuitos de corriente alterna, se emplean dos procedimientos, * uno geométrico denominado de vectores rotatorios y * otro, que emplea los números complejos.
Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple como proyección sobre el eje X de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud y que gira con una velocidad angular igual a la frecuencia angular.
Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la am-plitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores se hacen girar en sentido contrario al las agujas del reloj.
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Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna
La ecuación de este circuito simple es (intensidad por resistencia igual a la fem)
iR R = V0 sen (w t) ⇒
La diferencia de potencial en la resistencia es vR = V0 sen (w t)
En una resistencia, la intensidad iR y la diferencia de potencial vR están en fase.
⇒
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La relación entre sus amplitudes es :
con VR = V0, la amplitud de la fem alterna
Como vemos en la representación vectorial de la figura, al cabo de un cierto tiempo t,
los vectores rotatorios que representan a
* la intensidad en la resistencia ( IR )
* la diferencia de potencial entre sus extremos ( VR )
han girado un ángulo w t.
Sus proyecciones sobre el eje vertical marcados por los segmentos de color azul y rojo son respectivamente, los valores en el instante t de la intensidad que circula por la resistencia y de la diferencia de potencial entre sus extremos.
Un condensador conectado a un generador de corriente alterna
En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas están relacionadas entre sí:
q = C · V
Si se conecta las placas del condensador a un generador de corriente alterna
q = C · V0 · sen ( w t )
La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo, i = dq / dt
Para un condensador, la intensidad iC está adelantada 90º respecto a la dife- rencia de potencial vC.
La relación ente sus amplitudes es:
CC VCI ω= con VC = V0 , la amplitud de la fem alterna
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Una bobina conectada a un generador de corriente alterna
Ya hemos estudiado la autoinducción y las corrientes autoinducidas que se producen en una bobina cuando circula por ella una corriente i variable con el tiempo.
La ecuación del circuito es (suma de fem igual a intensidad por resistencia), como que la resistencia es nula
Fisica III -09
Integrando esta ecuación obtenemos i en función del tiempo
La intensidad iL de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus extremos vL.
La relación entre sus amplitudes es
con VL = V0, la amplitud de la fem alterna
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Circuito en serie RLC - Resonancia
Se ha estudiado el comportamiento de una bobina, un condensador y una resistencia cuando se conectan por separado a un generador de corriente alterna.
Estudiaremos el comportamiento de un sistema formado por los tres elementos dis-puestos en serie y conectados a un generador de corriente alterna de amplitud V0 y frecuencia angular w .
V = V0 sen ( w t )
Circuito RLC en serie
Dibujamos el diagrama de vectores teniendo en cuenta que:
* la intensidad que pasa por todos los elementos es la misma, * la suma (vectorial) de las diferencias de potencial entre los extremos de los tres elementos nos da la diferencia de potencial en el generador de corriente alterna.
El vector resultante de la suma de los tres vectores es
Fisica III -09
Se denomina impedancia del circuito al término
De modo que se cumpla una relación análoga a la de los circuitos de corriente continua V0 = I 0 Z
El ángulo que forma el vector resul-tante de longitud V0 con el vector que representa la intensidad I0 es
Las expresiones de la fem y de la intensidad del circuito son
⇒
⇒
⇒
⇒
La intensidad de la corriente en el circuito está atrasada un ángulo Φ respecto de la fem que suministra el generador.
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Resonancia en un circuito RLC en serie
La condición de resonancia la estudiamos en las oscilaciones forzadas de una masa unida a un resorte elástico.
La potencia suministrada por el generador de corriente alterna es
P = i V = V0 I0 sen (w t) · sen (w t - Φ )
P = V0 I0 sen(w t) · ( sen (w t) · cos Φ – cos (w t) · sen Φ)
= V0 I0 (sen2(w t) · cos Φ - sen (w t) · cos (w t) · senΦ )
Esta magnitud es una función complicada del tiempo que no es útil desde el punto de vista práctico.
Lo que tiene interés es el promedio de la potencia en un periodo 2π / ω .
< P > = V0 ·I0 ( < sen2(w t) > · cos Φ - < sen(w t) · cos(w t) > · sen Φ )
Promedio de la potencia en un periodo 2π / ω .
Se define como valor medio < f(t) > de una función periódica f(t) de periodo T a la integral
El periodo de la función f(t) = sen2(w t) es T = π / ω, su valor medio es
< sen2(w t) > = 1/2
El área de color rojo es igual al área de color azul.
El periodo de la función f(t) = sen(w t)· cos(w t) = sen(2w t) / 2 es T = π /ω,
< sen(w t) · cos(w t) > = 0su valor medio es :
El valor medio de la energía por unidad de tiempo, o potencia suministrada por el generador es
El último término, cos Φ se denomina factor de potencia.
φcos2
1P 00 VI=
El valor de <P> es máximo cuando el ángulo de desfase Φ es cero, para ello se tiene que cumplir que
es decir, la frecuencia w del generador de corriente alterna debe coincidir con la frecuencia natural o propia w0 del circuito oscilante.
Cuando w = w0 se cumple que
* La intensidad de la corriente I0 alcanza su valor máximo
* La energía por unidad de tiempo <P> suministrada por el generador es máxima
* La intensidad de la corriente en el circuito i y la fem v están en fase
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Representación de la potencia < P >
Se representa también el intervalo de frecuencias Δw para los cuales la potencia es mayor que la mitad de la máxima.
La agudeza de la curva de resonancia se describe mediante un parámetro adimensio-nal denominado factor de calidad Q0 que se define como el cociente entre la frecuen-cia angular de resonancia w0 y el ancho de la curva de resonancia Δw.
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinduc-ción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva de resonancia?.
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Representación de la amplitud de la intensidad
La amplitud de la intensidad I0 adquiere un valor máximo cuando la frecuencia del generador w coincide con la frecuencia de resonancia w0
El valor de la impedancia Z es mínimo y vale Z = R.
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinduc-ción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R.
¿Cómo cambia la curva que representa la amplitud en función del cociente w / w0?
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APENDICE
Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito
Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de:
* establecimiento y caída de la corriente en el circuito
Durante el primer semiperiodo de la se-ñal, la fem tiene un valor constante e igual a V0
La intensidad i en el intervalo 0 < t < P/2 es
Fisica III -09
Se calcula la intensidad final i1 en el instante t = P/2.
En este instante, la fem se hace cero, la corriente cae en el circui-to.
La corriente i en el intervalo P/2 < t <P es:
Se calcula la intensidad final i2 en el instante t = P
Fisica III -09
La corriente i en el intervalo P < t < 3P/2 se obtiene integrando entre los límites entre la intensidad remanente i2 e i.
Ê
Calculamos la intensidad final i3 en el instante t = P + P/2.
Y así, sucesivamente ….
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FIN
Fisica III -09
