Aula5 Utm Irineu

8/19/2019 Aula5 Utm Irineu

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Prof. Irineu da SilvaEESC-USP

Curso de Geomática

Aula UTM


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27.05.2013 Irineu da Silva Page 3

Distância Inclinada e Distância Horizontal

Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.

s’ = distância inclinada entre P e Q;s = distância horizontal entre P e Q;β = ângulo de altura da direção PQ.θ = ângulo zenital da direção PQ

s = s’cos ou s =s’sen q


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Distância Esférica

Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como asuperfície de referência, tem-se a seguinte situação:

R0 = raio médio da esfera terrestre;HP = altitude do ponto P;HQ = altitude do ponto Q;sP = distância esférica ao nível de P;sQ = distância esférica ao nível de Q;s0 = distância esférica ao nível do

mar (H=0)


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Distância Esférica As superfícies são esferas concêntricas e permitem obter as seguintesrelações:

s R

s R H

s

R H o

o

P

o P

Q

o Q

Para um ponto P de altitude H, tem-se:

oo

po

o

poP sR

H s

R

H R s .1.

o

p

P o

R H

ss1


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Distância Esférica

Para os cálculos práticos pode-se operar com valores em ppm,adotando-se uma altitude média para a região de cálculo. Nesse caso,a redução ao nível do mar pode ser dada por:

ppmH R

H d

o

610.Re

As reduções podem também ser efetuadas aplicando-se um fatorde escala denominado Fator de Escala Altimétrico (Kalt), conformeindicado abaixo.

H R H

K o

alt 1


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Sistemas de Projeção Cartográfica




As coordenadas planas da superfície terrestre são obtidas a partir do

uso de um sistema de projeção, através do qual se estabelece umarelação pontual e unívoca entre a superfície de referencia, esférica, e asuperfície do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter ascoordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas ( , ) dasuperfície esférica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de

projeções cartográficas:- Projeção conforme, que são aquelas que conservam os

ângulos;- Projeção equivalente, que são aquelas que conservam as

superfícies;- Projeções que não conservam nem os ângulos e nem as

superfícies mas que possuem outras característicasimportantes.




É importante salientar que não existe nenhuma projeção cartográficaque mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipsóide duassuperfícies esféricas, torna-se impossível estabelecer umarepresentação plana delas sem causar algum tipo de deformaçãolinear.

Geralmente os países preferem adotar as Projeções Conforme para adeterminação das suas bases cartográficas. As ProjeçõesEquivalentes são mais interessantes para o estabelecimento de cartascom escala reduzida (Atlas Geográfico).



Principais Projeções Cartográficas

Cilíndricas , Cônicas e Azimutais



Principais Projeções Cartográficas



Projeções Cilíndricas


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As Projeções Cilíndricas podem ser

- Projeção Cilíndrica Normal : o eixo do cilindro coincidecom o eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente à superfícieesférica ao longo do equador.

- Projeção Cilíndrica Transversa : o eixo do cilindrocoincide com o plano do equador e o cilindro é tangente a superfícieesférica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeção TM.

- Projeção Cilíndrica Obliqua : o eixo do cilindro é obliquo

em relação ao eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente asuperfície esférica ao longo de um grande arco de círculo qualquer.


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Entre as Projeções Cilíndricas mais importantes vale a pena citar aProjeção de Mercator


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Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma ProjeçãoCilíndrica Equivalente. Neste caso a Cilíndrica Equivalente de Lambert.


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Projeções Cônicas

Em uma projeção cônica, a superfície esférica é projetada sobre um

cone tangente, o qual é posteriormente desenvolvido para se obter acarta plana.


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Projeções Azimutais

- Projeção Gnômica : o centro de projeção é o eixo da Terra. Essa

projeção não é conforme e nem equivalente.- Projeção Estereográfica : o centro de projeção é o pólo oposto ao

plano de tangência. Ela é uma projeção conforme.

- Projeção Ortográfica : o centro de projeção está no infinito. Essaprojeção não é conforme e nem equivalente .


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Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal

Azimutal Gnômica


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Azimutal Esterográfica


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Azimutal Ortográfica


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A Projeção UTM

A projeção UTM, originada a partir da Projeção Conforme de Gauss, foi

usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Serviço de Cartografia doExército Americano (US Army Map Service - AMS), durante a SegundaGuerra Mundial. A sua principal vantagem é que ela permite representargrandes áreas da superfície terrestre, sobre um plano, com poucasdeformações e com apenas um grupo de fórmulas.

A projeção UTM é representada sobre um sistema de coordenadasretangulares, o que a torna bastante útil para ser aplicada naMensuração.


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Características da Projeção UTM

A projeção UTM é uma projeção cilíndrica conforme que pode ser

visualizada como um cilindro secante à superfície de referência,orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.

O cilindro secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro dasuperfície de referência, criando, assim, duas linhas de interseção entreo cilindro e a superfície de referencia. A área de projeção compreendeapenas uma parcela da superfície de referência. Essa área édenominada fuso ou zona. Cada fuso é representado pelo número dofuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas nadireção horizontal são denominadas Este e representadas pela letra E.

As coordenadas na direção vertical são denominadas Norte erepresentadas pela letra N.


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As principais características da projeção UTM são as seguintes:

a) Amplitude dos fusos: 6 ;b) Latitude da origem: 0 (equador);c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso;d) Falso Norte (translação Norte): 10.000.000 m para o hemisfério Sul;e) Falso Este (translação este): 500.000 m;f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996;g) Numeração das zonas: as zonas são numeradas de 1 a 60, a partir

do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim,zona 1 - de 180 W a 174 Wzona 60 - de 174 E a 180 E;

h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S ;i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-seem ângulos retos na projeção;


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j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso sãorepresentadas por linhas retas na projeção. Os demais meridianossão representados por linhas côncavas em relação ao meridianocentral e os paralelos são representados por linhas côncavas emrelação ao polo mais próximor.


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k) O espaçamento entre os meridianos aumenta a medida que elesse afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidadeda projeção conforme, a escala na direção Norte-Sul também édistorcida acarretando, assim, a existência de uma escaladiferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado domeridiano.


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Determinação do Meridiano Central da Projeção UTM

O meridiano central é determinado considerando-se que a sua

variação ocorre de 6 em 6 . O primeiro meridiano central possuilongitude igual a 177 e o último possui longitude igual a 3 . Osmeridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3 , 9 ,15 , 21 , ..........., 45 , 51 , 57 , e assim por diante. Para conhecero valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitudeconhecida, basta situá-lo no fuso. A relação fuso/meridiano centralé dada pelas fórmulas:

6

183 C M Fuso

MC = 183 - 6 . Fuso


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Os Fusos da Projeção UTM


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Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTMPara a transformação de coordenadas, tanto para o problema diretocomo para o problema inverso, existem fórmulas cujas deduçõespodem ser encontradas em obras especializadas. Para os propósitosdeste curso, serão apresentadas a seguir as fórmulas relativas atransformação de coordenadas geodésicas para coordenadas UTM.

As coordenadas retangulares E, N da Projeção UTM podem ser

calculadas pelas seguintes fórmulas:

53

642

)()('

)()()('

B pV p IV E

A p III p II I N

Onde,


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Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTMN = N’ - Para o Hemisfério NorteN = 10.000.000 – N’ - para o Hemisfério Sul

E = 500.000 + E’ - para pontos situados a leste do meridiano central MCE = 500.000 – E’ - para pontos situados a oeste do meridiano central MC

(I) = koS

]63072

354)1024

4525615(

2)1024

45323

83

()256

5643

41

1[(

664

642642

sene senee

seneeeeeeaS

210"1cos

)(8

02 k sensenN

II

160

44222

34

10)cos'4cos'9tan5(24

cos"1)( k ee sen N sen III

40 10"1cos)( k sen N IV

120

22233

10)cos'tan1(6

cos"1)( k e N senV


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Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM

"0001,0 p

MC

240

32224256

66 10)'330cos'270tantan5861(

720

cos"1k senee

sen N sen p A

200

22224255

55 10)'58cos'14tantan185(120

cos"1k senee

N sen p B


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Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM

Exemplo:

Calcular as coordenadas UTM do ponto indicado abaixo:

Elipsóide WGS84

Lat = 22° 35‘’45,148‘‘ Long = 47° 22‘’15,125‘‘ h = 850,000m

E = 256.263,185 N = 7.499.277,318h = 850,000


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A Convergência Meridiana

Os ângulos medidos no elipsóide estão referidos ao Norte Geográfico(NG), cuja representação, na projeção UTM, é dada por uma linha curva,côncava em relação ao meridiano central. As quadrículas UTM, por outrolado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direção Y(NQ) na direção Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ângulovariável para cada ponto, denominado convergência meridiana.


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A convergência meridiana, no hemisfério sul, é positiva para ospontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para osponto situados a Leste do meridiano central.

Um cálculo aproximado do valor da convergência meridiana pode serdado pela seguinte fórmula indicada a seguir.

C senOnde,

C = Convergência Meridiana = Diferença de longitude entre a longitude do ponto

considerado e a longitude do meridiano central(Long Pt – Long MC)

= Latitude do ponto considerado


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Exemplo:

Considerando os valores anteriores, calcular o valor da convergênciameridiana

C sen

Elipsóide WGS84

Lat = 22° 35‘’45,148‘‘ Long = 47° 22‘’15,125‘‘

C = 0° 54‘ 39.44‘‘


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Redução à Corda ou Redução Angular

Uma linha unindo dois pontos na superfície de referência esférica é

representada no plano (na projeção) como uma linha curva (arco). Paraas dimensões dos trabalhos topográficos, entretanto, a curvatura dessalinha é muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada,aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referência paracalcular a distância e o azimute entre eles. O ângulo formado pelacorda e pela tangente à curva é denominado ângulo de redução àcorda ou ângulo de redução angular , e é representado pela letragrega , conforme indicado a seguir.


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Redução à Corda ou Redução Angular

O valor máximo de , para uma

linha de 10 Km é da ordem de 7”.


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O Fator de Escala

Para se obter a distância plana entre dois pontos A e B, é necessário,inicialmente, corrigir a distância medida na superfície topográfica, emrelação aos fatores meteorológicos e erros instrumentais, em seguidareduzi-la ao elipsóide de referência e, finalmente, reduzi-la à superfícieplana. Para a redução da superfície de referência à superfície plana,utiliza-se um fator de escala, representado pela letra k UTM.

A distância plana é obtida multiplicando-se a distância esférica (sobre oelipsóide de referência) pelo fator de escala k UTM.

0sk s

UTM


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O Fator de EscalaPara evitar que as deformações tornem-se exageradas nas bordas dosfusos, adotou-se, para a projeção UTM, um fator de escala

k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central. A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste epara Leste até atingir o valor k=1,000, nas vizinhanças deE=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer até o valorkUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.


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O Fator de Escala

REkk

202

1.2

0UTM

onde,

kUTM = fator de escalak0 = 0,9996 (fator de escala no MC)E’ = ordenada entre o meridiano central e o ponto

considerado (500.000 – Ept)

Ro = Raio médio de curvatura


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O Fator de Escala

R

Ekk

202

1.2

0UTM

Exemplo:

Calcular o fator de escala UTM (KUTM) para o ponto dos exemplosanteriores.

E = 256.263,185 N = 7.499.277,318h = 850,000Raio da Terra para o local = 6.362.780m (adotado)

KUTM = 1.000333406Kalt = 0.999866428

KT = 1.00019979

H R H

K o

alt 1


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O Fator de Escala

Para aplicar o fator de escala para a correção da distância entredois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala médio, se adistância for pequena, ou uma média ponderada entre os pontosextremos e o ponto médio, se a distância for grande. Porexemplo,

Para distâncias inferiores a 15 km propõe-se adotar

Par distâncias maiores do que 15 km propõe-se adotar

2

k Bk Ak

UTM

6

k B4k Ak

meioUTM

K


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O Fator de Escala

Exemplo:

Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, calcular adistância topográfica entre esses dois pontos.

N A = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 mE A = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m

= 27°

32’ 14.483485” S = 27°

32’ 01.599853” S = 43° 58’ 15.310008” W = 43° 58’ 01.258185” W

H = 870,000


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Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

1. Cálculo do fator de escala altimétrico

2. Cálculo do fator de escala UTM

Para o Pt A

Para o Pt B = 0,99972843

KUTM (médio)= 0,99972794

3. Cálculo do KTKT = KUTM x Kalt = 0,99959133

99986335.01 H R H

K o

alt

99972745,02

1.2

0

R

Ekk

20

UTM


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4. Cálculo da distância plana AB

m E E N N s AB AB AB 961,552)()( 22

5. Cálculo da distância elipsoidal AB (s0)

m K

s s

UTM

111,5530

6. Cálculo da distância topográfica AB

oum K s

s T

187,553 m K s

s Al t

187,5530


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7. Cálculo da Convergência Meridiana

"92.32'280 0 senc A

8. Cálculo do azimute plano AB

9. Cálculo do azimute geodésico AB

"14'4044 0 AB

AB AB

N N

E E Arctg

"41'1144 0)( A AB ABgeo c

Â l id d P j ã UTM


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Ângulos a serem considerados na Projeção UTM

Quando se trabalha com coordenadas UTM é necessário considerarvários tipos de elementos angulares. Os principais elementos são:

- azimute plano ou azimute da quadrícula ( UTM);- azimute geodésico projetado ( proj );

- azimute geodésico ( geod );- convergência meridiana (c);- redução à corda ( ).



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O azimute plano ou azimute da quadrícula é o ângulo, na projeção,entre o Norte da quadrícula UTM e a linha reta que une os dois pontos aserem considerados.

UTM = Arctg Δ E/Δ N

O azimute geodésico projetado é o ângulo, na projeção, entre o Norte

da quadrícula e a tangente ao arco representativo da distância projetadaentre os dois pontos a serem considerados.

proj = UTM +

O azimute geodésico é o ângulo, na projeção, entre o meridiano quepassa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distânciaprojetada entre os dois pontos considerados

geod = UTM ±c ±



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f ã d d d ( ) d d l l ( )


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A transformação das coordenadas UTM para coordenadas locaisconsiste em realizar uma rotação e a aplicação de um fator de escala.

A rotação é feita em função da convergência meridiana e o fator deescala adotado deve ser o fator de escala da projeção UTM, corrigidopara considerar a altitude média do local (kTotal).

Para aplicar a transformação, inicialmente, deve-se escolher umponto de coordenadas conhecidas como origem da rotação. Emseguida, calcula-se a convergência meridiana e o fator de escala totaldesse ponto, que serão adotados como ângulo de rotação e fator deescala da transformação.

T f ã d C d d UTM (E N) C d d Pl L l (X Y)


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O procedimento completo de cálculo é o seguinte:

1) escolher o ponto para origem do sistema (P0);

2) calcular a convergência meridiana e o fator de escala desseponto:

3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude médiada região;

4) calcular o UTM dos alinhamentos P o - Pi e corrigir com o valorda convergência meridiana;

5) calcular as projeções

X Y P P P P o i o ie

de cada alinhamento, considerando o fator de escala total(KT=KUTMxKalt);

6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto P i



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ΔN

ΔE

arctg UTM

senc .

c UTM Geod

geod T

P P P P senk

s X o

i o .

geod T

P P P P k

sY o

i o cos.

X X X P P P P i o o i

Y Y Y P P P P i o o i



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Exemplo:

Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar assuas coordenadas retangulares no sistema topográfico local.

N A = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 mE A = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m

= 27° 32’ 14.483485” S = 27° 32’ 01.599853” S = 43° 58’ 15.310008” W = 43° 58’ 01.258185” W

H = 870,000

Raio Médio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m



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1. Cálculo da Convergência Meridiana

2. Cálculo do fator de escala altimétrico

3. Cálculo do fator de escala UTM

Para o Pt A

Para o Pt B = 0,99972843

KUTM (médio)= 0,99972794

99986335.01 H R

H K

oalt

99972745,02

1.2

0

R

Ekk

20

UTM

"92.32'280 0 senc A



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4. Cálculo do KT

KT = KUTM x Kalt = 0,99959133

5. Origem adotada para o Pt A

X A = 5.000,000

Y A = 10.000,0006. Cálculo da distância plana AB

961,552)()( 22 AB AB AB E E N N s

Transformação de Coordenadas UTM (E N) em Coordenadas Planas Local (X Y)


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7. Cálculo da distância elipsoidal AB (s0)

111,5530 UTM K s

s

8. Cálculo da distância topográfica AB

ou

9. Cálculo do azimute plano AB

10. Cálculo do azimute geodésico AB

187,553T K s

s

"14'4044 0 AB

AB AB N N

E E Arctg

"41'1144 0)( A AB ABgeo c

187,5530

Alt K s

s

Transformação de Coordenadas UTM (E N) em Coordenadas Planas Local (X Y)


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11. Cálculo das projeções

12. Cálculo das coordenadas (X,Y) do Pt B

621,396cos.626,385.

geo AB

geo AB

s Y sen s X

626,385.5

626,385

000,000.5

B

AB

A

AB AB

X

X

m X X X X

621,396.10

621,396

000,000.10

B

AB

A

AB AB

Y

Y

mY Y Y Y

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