Aula Prática 4:Lei de Gauss e condutores eléctricos

• Lei de Gauss no plano infinito

• Lei de Gauss em condutores esféricos (simetria esférica)

• Lei de Gauss em fios infinitos (simetria cilíndrica)

Exs. 2.13, 2.16 e 2.19

Lei de Gauss no plano infinito

Plano infinito: campo eléctrico perpendicular ao plano

Ex. 2.13 a)

∫sup. Gauss

E ⋅ dS = ∫sup. Lateral

E ⋅ dS + ∫Tampas

E ⋅ dS =Qint

ϵ0

E ⊥ dS

2AE =Aσϵ0

⟶ E =σ

2ϵ0

z|z |

e z

z

Lei de GaussE ∥ dS

Princípio da sobreposição:

Ex. 2.13 b)

E = Edisco + Eexterior ⟶ Eexterior = E − Edisco

E =σ

2ϵ0

z

R2 + z2e z

z

Ex. 2.8

Lei de Gauss no plano infinito

Condutores cargas distribuem-se na superfície

Ex. 2.16 a)

Lei de Gauss em condutores esféricos

∫sup. esfera

σdS = σ2π

∫0

dϕπ

∫0

r2 sin θdθ = Q

σ =Q

4πr2

σA =Q

4πR2A

σB =Q

4πR2B

+ + +

++

++++

+ + ++

+++

- - -

--

----

- - --

---

Q > 0

Q < 0

Afastadas Em redor de cada esfera considera-se apenas o campo por ela criado

Ex. 2.16 b)

Lei de Gauss em condutores esféricos

Simetria esférica E = E e r

Superfície de Gaus esférica dS = dS e r

∫sup. Gauss

E ⋅ dS = 4πr2E =qϵ0

Lei de Gauss

Afastadas Em redor de cada esfera considera-se apenas o campo por ela criado

Ex. 2.16

Lei de Gauss em condutores esféricos

r = RA → EA (RA) =q

4πϵ0R2A

e r

Junto à superfície das esferas

r = RB → EB (RB) =q

4πϵ0R2B

e r

b)

Ex. 2.16

Lei de Gauss em condutores esféricos

c)A B

Esferas ligadas por fio condutor

• Circulação de cargas (conservação da carga total!)

• Esferas ao mesmo potencial

VA,B =∞

∫RA,B

E ⋅ d l =QA,B

4πϵ0RA,BPotencial nas esferas:

Ex. 2.16

Lei de Gauss em condutores esféricos

Resolver o sistema: {QA + QB = 2qVA = VB

⟶QA =

2RA

RA + RBq

QB =2RB

RA + RBq

c)

Esferas ligadas por fio condutor

• Circulação de cargas (conservação da carga total!)

• Esferas ao mesmo potencial

A B

Ex. 2.19

Lei de Gauss em fios infinitos

Superfícies de Gaus

a)R1

R2R3

r

r

ℓ

ℓ

R2R2

r < R1 :

E (r) = 0

z

Campo eléctrico anula-se no interior de condutores

λ

R2 < r < R3 :

Ex. 2.19

Lei de Gauss em fios infinitos

a)

R1 < r < R2 :

Comprimento >> espessura(infinito)

Simetria cilíndricaE = E (r) e r

∫sup. Gauss

E ⋅ dS = ∫sup. Lateral

E ⋅ dS + ∫Tampas

E ⋅ dS =Qint

ϵ0

dS = dS e z ⊥ EE ∥ dS

2πrℓE =ℓλϵ0

⟶ E =λ

2πrϵ0e r

R1

Lei de Gauss

Ex. 2.19

Lei de Gauss em fios infinitos

Superfícies de Gaus

a)R1

R2R3

r

r

ℓ

ℓ

R2R2

r > R4 :

z

Malha ligada à terra recebe carga tal que:

λ

λext = − λ

2πrℓE =ℓ(λ + λext)

ϵ0= 0 ⟶ E = 0

Ex. 2.19

Lei de Gauss em fios infinitos

b)

V12 =λ

2πϵ0ln

R2

R1

V12 =R2

∫R1

E ⋅ d l =λ

2πϵ0

R2

∫R1

drr

Equipotenciais

R1

R2

R3

Ex. 2.19

Lei de Gauss em fios infinitos

c)

V34 = 0

V34 =R4

∫R3

E ⋅ d l

R1

R2

R3

R4

Campo eléctrico no exterior é nulo

d) Ver soluções