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EM

TE

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Pro

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ani AULA 2

1. Formulação Geral Equações de Transporte.

2. xxx.

3. xxx

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Parte I

Formulação Geral

das Equações de Transporte

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Preliminares

• Na aula 1 foram vistas alguns tipos de Equações de Transporte.

• O desafio desta aula é colocar as equações vistas, e outras que serão apresentadas, numa única forma geral capaz de representar qualquer uma delas.

• A vantagem da representação geral permite que um único Solver possa tratar cada Equação isoladamente ou resolvê-las simultaneamente.

• A abordagem realizada neste tópico será baseada nas práticas empregadas pelo PHOENICS

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Forma Geral das Equações de Transporte

• O método dos volumes finitos parte da forma conservativa das Eq. Transporte. Considere uma variável escalar genérica:

SVt

• onde é o coeficiente difusivo definido por:

T

T

L

L

PrPr

• O fonte S tem natureza diversa: i) representam as condições de contorno do fenômeno;

ii) modelam a ação de forças ou energia de novos mecanismos físicos ou ;

iii) representam todos os outros termos da eq. particular que se quer representar e que não são representados pelo lado esquerdo da equação!

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O Coeficiente Difusivo,

• O coeficiente difusivo no PHOENICS tem um papel central no modelo:

• Ele representa a contribuição dos termos ‘laminares’ e ‘turbulentos’ da modelagem, sub-índices L e T, respectivamente.

T

T

L

L

PrPr

• O coeficiente de difusão de qualquer fenômeno é representado pelo produto da densidade e da viscosidade cinemática divido pelo parâmetro Pr que está associado a uma variável.

• O significado de Pr será explorado ao longo de exemplos nesta aula.

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Equações Auxiliares Para modelar um fenômeno é frequente a utilização de equações auxiliares para definir:

• Prop Termodinâmica.: densidade, entalpia, etc

• Prop Transporte: viscosidade, difusividade, condutividade, etc

• Termos Fonte: leis de cinética química, dissipação viscosa, Coriolis, absorção de radiação, etc

• Termos ´artificiais´: falso transiente para relaxação e condições de contorno

Todos os termos dependem de uma ou mais das variáveis e/ou das equações auxiliares. A medida que um número maior destas equações auxiliares se faz necessário, ele causa um aumento no ´grau´ de não-linearidade do sistema.

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Natureza dos Termos

SVt

• A equação geral possui três termos no lado esquerdo: transiente, convectivo e difusivo.

• Nem todos fenômenos de transporte requerem a existência simultânea destes termos. O comando TERMS no grupo 8 permite a ativação ou não de cada um deles:Group 8. Terms & Devices

* Y in TERMS argument list denotes:

* 1-built-in source 2-convection 3-diffusion 4-transient

* 5-first phase variable 6-interphase transport

TERMS (P1 ,Y,Y,Y,N,Y,N)

TERMS (U1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N)

TERMS (V1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N)

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• A seqüência desta parte I da aula 2 será a representação de alguns tipos de Equação de Transporte na forma geral identificando seus termos fontes.

• Serão representadas as Equações de– Massa– Q. Movimento– Energia– Concentração– Miscelânia

• Para facilitar a representação será adotado o sistema cartesiano e a notação indicial.

• Um paralelo com a prática do PHOENICS será realizado onde for possível.

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Notação Indicial para Eq. Geral de Transporte

SVt

S

xV

xt jj

j

• onde j pode variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais.

• é uma variável escalar genérica e

• o operador ou /xj é o gradiente de uma grandeza escalar

• A Eq. de Transporte em Notação vetorial

• também pode ser representada em notação indicial pelos operadores

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Equação Diferencial da Massa

• Note que para fluidos incompressíveis, isto é, constante, a forma geral também satisfaz pq o termo transiente deixa de existir e ela se reduz para:

0Vxt j

j

• Fazendo = 1, = 0 e S = 0, chega-se a forma da Equação da Conservação da Massa:

0Vx j

j

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Equação de Navier Stokes

• A Equação de NS não é uma equação escalar mas vetorial. Esta é uma das dificuldades que a forma geral da equação de transporte encontra.

• Cada componente da Eq. NS é tratado como uma equação de escalar, para isto vamos escrever as componentes da Eq. NS.

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Equação de Navier Stokes

• onde i e j podem variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais.

• Cada componente é gerada fixando um i e somando as variações de j,

• O próximo slide traz como exemplo a componente na direção X;

g2V3

2PVV

t

V

S

• A componente i é:

ii

j

j

i

iiij

j

i gx

V

x

V

xV

3

2P

xVV

xt

V

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Equação de Navier Stokes, dir. X

• Assumindo que os índices 1,2 3 representam as direções ortogonais X, Y e Z e que por sua vez estão associadas às velocidades U, V e W, então a equação para direção x é:

ii

j

j

i

jiij

j

i gx

V

x

V

xV

3

2P

xVV

xt

V

xg

X

W

Z

U

ZX

V

Y

U

YX

U

X

U

X

V3

2P

X

WUZ

VUY

UUXt

U

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Equação de NS

• Pode-se perceber que a forma da equação de NS ainda está longe de se ajustar a forma geral:

ii

j

j

i

jiij

j

i gx

V

x

V

xV

3

2P

xVV

xt

V

S

xV

xt jj

j

• Rearranjando os termos viscosos podemos re-escrever as componentes de NS como:

i

i

j

jiij

iij

j

i gx

V

xV

3

2

xx

P

x

VVV

xt

V

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Equação de NS: compressível e variável

• A representação de NS atende a forma geral e é válida para um escoamento em regime laminar, compressível ou incompressível, e viscosidade variável (T ou S) ou constante.

• O lado direito da equação traz os termos fonte:– Pressão, Sp– Compressível, Sc– Viscoso, S– Força de Campo, Sg

i

i

j

jiij

iij

j

i gx

V

xV

3

2

xx

P

x

VVV

xt

V

Note que a viscosidade do fluido pode variar com a temperatura ou também com o módulo do tensor S no caso de fluidos não Newtonianos Generalizados (power law fluids)

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Equação de NS: incompressível e variável

• Para escoamentos incompressíveis, V=0 portanto a eq. NS pode ser simplificada e um termo fonte é eliminado.

• Desejamos manter ainda a possibilidade de viscosidade variável (T ou S)

• O lado direito da equação traz os termos fonte:– Pressão, Sp– Viscoso, S– Força de Campo, Sg

i

i

j

jij

iij

j

i gx

V

xx

P

x

VVV

xt

V

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Equação de NS: incompressível e cte.• Se a viscosidade é constante, o termo fonte

viscoso, S é nulo:

• Neste caso a Eq. NS assume sua forma mais simples, com dois termos fonte: pressão e força de campo.

• O termo de campo é relevante somente para escoamentos com superfície livre; escoamentos internos ele pode ser incorporado ao termo de pressão: P* = P+gz.

i

ij

iij

j

i gx

P

x

VVV

xt

V

0x

V

xx

V

x

0V

j

j

ii

j

j

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Equação de NS – Regime Turbulento• Considerando que a eq. NS representa o campo

médio de velocidades, surge um termo extra de tensão (tensões de Reynolds) devido a presença dos turbilhões.

• O tensor das tensões para um fluido Newtoniano, incompressível com constante é:

• e a equação de transporte passa a ser

• onde T é a viscosidade cinemática turbulenta obtida por meio de modelos de turbulência

iij

iTij

j

i gx

P

x

VVV

xt

V

j

iTijji

j

iijij x

VPvv

x

VPT

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Termos Extras• A análise até o momento foi realizada num tensor

cartesiano. Para outros sistemas de coordenadas surgem termos associados a inércia e à viscosidade.

• Exemplo:, sistema cilíndrico-polar com axi-simetria para um fluido com propriedades constantes

• (,R,Z) correspondendo a (X, Y,Z)

Z

P

Y

WVW

YZ

WWW

ZZZ

Y

U

Y

V

Y

P

Y

VVV

YZ

VWV

ZYR

0Y

UVU

YZ

UWU

ZX

2

2

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Eq. Geral NS e seus termos fontes

iCPij

ijj

i gSSSVx

VVxt

V

Vi S

Q. Mov. X U

Q. Mov. Y V

Q. Mov. Z W

XgX

W

ZX

V

YX

U

X

VX3

2

X

P

XgY

W

ZY

V

YY

U

X

VY3

2

Y

P

XgZ

W

ZZ

V

YZ

U

X

VZ3

2

Z

P

Representação válida somente para coordenadas cartesianas

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Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS

• O PHOENICS já possui implementado três termos fontes para eq. NS : pressão, centrífugo e Coriolis. Todos os outros o usuário terá que inserir.

Compressivel? Viscosidade Regime S

Comp Incomp cte var Lam Turb Phoe User

X X X SP SC+S

X X X SP SC

X X X SP S

X X X SP -

X X X SP -

Sistema de coord. cilíndrico-polar requerem termos fonte viscosos que deverão ser implementados pelo usuário.

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Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS

• Os efeitos de compressibilidades não são sentidos até Ma ~0.3. Em geral o termo 2/3V é pequeno e pode ser desprezado na maioria das aplicações, exceção pode ocorrer na presença de choques.

• O termo fonte viscoso se faz sentir para dois casos: quando m varia com a temperatura e também para simulações com fluidos não-Newtonianos.

1. A variação de com T ‘pode ser lenta’ e fazer com que o termo S seja desprezível. Ele de fato é para Camada Limites.

2. Fluidos não-Newtonianos tem a viscosidade dependente da deformação e o termo Sm não pode ser desprezado. O manual do PHOENICS não é claro sobre a prática adotada, vale a pena investigar mais..

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Equação de Navier Stokes

• Substituindo a Eq. constitutiva da Tensão para fluido Newtoniano vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS):

gVVt

V

T

g2V3

2PVV

t

V

S

• A Eq. acima é válida para escoamentos compressíveis, e viscosidade variável. S é definido por:

TVV2

1 S

• A Eq. Transporte de Q. Movimento é:

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Equação de Navier Stokes Compressível

• vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS) para um fluido compressível com constante:

gVV3

1PVV

t

V 2

• Para constante e considerando a identidade:

VVVV2 2T S

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Equação Navier Stokes Incompressível

• Para e constantes temos que, .V =0, logo:

• Esta é a forma mais popular das Equações de Navier Stokes: fluido incompressível e com viscosidade constante.

gVPVVt

V 2

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Equação Diferencial da Energia ‘e’

• A equação de transporte da Energia ‘e’, na sua forma não-conservativa é:

• Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e expandir os termos:

qVqDt

Dek

T

qqVVVPPV

Dt

De

qqVVPDt

De

k

VVP

k

T

:TT

T

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Equação Diferencial da Energia ‘e’

• Para se chegar a forma final da Equação da Energia é necessário definir:

1. As formas de energia que ‘e’ representa;

2. A difusão do calor, qk

3. O tensor das tensões no fluido e seus produtos

• Estas tarefas serão feitas na seqüência.

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Modos de Energia ‘e’

• Vamos considerar três modos de energia: interna, cinética e potencial:

• A derivada total em termos das parcelas de ‘e’ fica sendo:

rgVV2

1ue

ˆ

VgrDt

Dg rg

VDt

DVVV

2

1

Dt

DVV

2

1

Dt

uD u

ˆ

ˆ

VgDt

VDV

Dt

uD

Dt

De

ˆ

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Equação Transporte da Entalpia Total

• A entalpia específica e a entalpia total de um fluido compressível são definidas por:

• Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e expandir os termos:

qqVVVPDt

Dek

:TT

VV21hh e Puh 0

ˆ

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Equação de Transporte da Energia Interna, û

• Substituindo as equações constitutivas para o tensor desvio da tensão e da condução vamos ter:

• o termo -P.V está associado ao trabalho de compressão para fluidos compressíveis;

• é a função dissipação, sempre positiva:

• Os dois últimos termos referem-se a calor por condução e a geração de energia interna.

qVPTkDt

uD ˆ

02V3

2 2 S:S

222222

2

y

W

z

V

z

U

x

W

x

V

y

U

z

W

y

V

x

U2V

3

2

a função dissipação para coordenadas cartesianas, veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.

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Equação de Transporte da Entalpia, h

• O termo do trabalho de pressão pode ser re-escrito em função da equação da massa:

• Substituindo a definição: h = û+P/ na equação de û, chega-se a forma não-conservativa da Equação de Transporte da Entalpia:

• ou a sua forma conservativa:

Dt

DPP

Dt

D

Dt

D1PVP

qDt

DPTk

Dt

Dh

qDt

DPTkhV

t

h

veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.

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Equação de Transporte da Temperatura

• A partir da Equação de transporte da Entalpia e da relação termodinâmica para uma substância pura:

• onde é o coef expansão volumétrica, • Pode-se mostrar que a forma não-conservativa da

Equação de Transporte para Temperatura é:

• e a sua forma conservativa:

qDt

DPTTk

Dt

DTCP

dP

T1dTC

P

h

T

hdh p

TP

PT

1

qDt

DPTTkhVC

t

hC PP

veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.

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Equação de Transporte da Entropia• A equação de transporte de S é:

• o termo de produção, Os, é determinado a partir da relação termodinâmica para uma substância pura:

• substituindo as eqs. para h e s na relação acima vamos encontrar:

• As irreversibilidades estão associadas a uma troca térmica com diferença de temperatura ou ao trabalho viscoso realizado pelo fluido

veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.

PsT

q

T

Tk

Dt

Ds

Dt

DP1

Dt

DsT

Dt

Dh

dPTdsdh

0

TT

TkPs 2

2

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Pro

fs. E

ug

ênio

& A

ltem

ani

Parte IV

Retorno às Equações Diferencias de Transporte

FE

NÔ

ME

NO

S D

E T

RA

NS

PO

RT

E –

CH

EM

TE

CH

MÓ

DU

LO

I –

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27

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EQUAÇÃO DE BALANÇO: FORMA GENERALIZADA

• Considerando uma fase presente, a equação de

conservação de uma propriedade é escrita por:

SVt

• é densidade

• é a variável em questão

• é o coeficiente de difusão de

• S representa os termos fontes de

FE

NÔ

ME

NO

S D

E T

RA

NS

PO

RT

E –

CH

EM

TE

CH

MÓ

DU

LO

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FORMAS PARTICULARES: QUANTIDADE DE MOVIMENTO

• = U, V, W

• = .(L + T) onde L e T representam as

contribuições das viscosidades cinemática de

origem Laminar e Turbulenta

• S = - Grad(P) + Termos gravitacionais + atrito com

paredes + Força centrífuga + Força Coriolis +

Termos de empuxo + ...

gPVVVVt

FE

NÔ

ME

NO

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E T

RA

NS

PO

RT

E –

CH

EM

TE

CH

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DU

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FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO CONSERVAÇÃO DA

ENERGIA (ENTALPIA)

• = h

• = .[(L /PrL) + T /PrT)] onde PrL e PrT são os

números de Prandtl de origem Laminar (L/L) e

Turbulenta (T/T)

• S = (trabalho compressão) DP/dt + (dissipação viscosa) 2S:S + fontes/sorvedouros de calor + ....

outrosS:S2Dt

DPhhVh

tSource InBuilt

FE

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ME

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E T

RA

NS

PO

RT

E –

CH

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TE

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FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO UMA ESPÉCIE QUÍMICA

• = c que representa a concentração (molar, em

massa ou volume) de uma espécie química

• = .[(L /PrL) + T /PrT)] onde PrL e PrT são os

números de Prandtl devido a transferência de massa

de origem Laminar (L/DL) e Turbulenta (T/DT),

também conhecidos por número de Schmidt onde D é

o coeficiente de difusão de massa.

• S = 0 + fontes/sorvedouros da espécie química por meio de reações químicas (combustão)

SccVct

FE

NÔ

ME

NO

S D

E T

RA

NS

PO

RT

E –

CH

EM

TE

CH

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DU

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EQUAÇÃO DA ENERGIA• A equação da energia pode ser expressa em termos da entalpia ou da temperatura:

• A equação para h tem um complicante que seu termo difusivo depende da temperatura (variável não resolvida).• A equação para T tem um complicante no termo inercial que vem multiplicado pelo calor específico.• Ambas equações não podem ser colocadas diretamente na forma geral: Div(V-Ggrad) = S

y

Tk

yx

Tk

xVh

yUh

x

y

Tk

yx

Tk

xVTC

yUTC

x PP

FE

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S D

E T

RA

NS

PO

RT

E –

CH

EM

TE

CH

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DU

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EQUAÇÃO DA ENTALPIA (H1) (sem fontes)• Para um processo a pressão constante, a entalpia e a temperatura estão relacionadas por:

•assim, a derivada da temperatura pode ser expressa por uma derivada da entalpia como:

• Substituindo-se esta relação na eq. da entalpia, pode-se expressar o termo difusivo em função de h!

dTCdh P

dx

dTC

dx

dhP

y

h

C

k

yx

h

C

k

xVh

yUh

x PP

FE

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S D

E T

RA

NS

PO

RT

E –

CH

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ani • O coeficiente difusivo da equação pode ainda ser

manipulado e expresso em função do n. Prandtl do fluido:

• onde

• A forma disposta acima está pronta para ser implementada no PHOENICS. Deve-se definir PRNDTL(H1) = n. Prandtl do fluido ()

EQUAÇÃO DA ENTALPIA (H1) (cont)

0y

h

PrVh

yx

h

PrUh

x

PC

k

Pr ;Pr

FE

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E T

RA

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PO

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E –

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EM

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DU

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OBTENÇÃO DA TEMPERATURA A PARTIR H1

• A temperatura pode ser deduzida a partir do campo de entalpias

• Para propriedades constantes :

•Para propriedades variáveis a dedução de T a partir de H1 é mais trabalhosa. Nestes casos é melhor resolver para T diretamente que o PHOENICS possui um procedimento específico para cuidar disto. Veja entrada em SPECIFIC HEAT na Encyclopedia.

dTChhdTCdhT

REFTPREFP

P

REFPREF C

hTTTChh