Aula 06
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Aula-6
Teoria da Relatividade
Restrita - II
Fsica Geral F-428
1
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Se, no referencial S, dois eventos esto separados
por uma diferena de coordenada ; e
ocorrem em dois instantes de tempo separados por
, no referencial teremos:
Vemos que as noes de espao e tempo, como entes
independentes, no tm mais sentido; o que temos um ente
nico: o espao-tempo.
Podemos tambm inverter as transformaes acima:
)( tvxx )( 2 xc
vtt
)( tvxx )(2
xc
vtt
As transformaes de Lorentz
H. A. Lorentz (1853 1928)
2
-
A relatividade das velocidades
Vimos que:
Logo:
Na transformao clssica
de Galileu teramos :
)( tvxx )(2
xc
vtt
Portanto: )( v d td xxd )( 2 dxc
vdttd
21
c
uv
vu
td
xdu
x
xx
vutd
xdu xx(v
-
Podemos ainda deduzir expresses para as relaes entre
as demais componentes nos outros eixos:
Portanto, a transformao est coerente com o fato da
velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e
nenhuma velocidade poder exced-la.
As transformaes podem ser invertidas, trocando os
ndices com linha sem linha e v por v :
2
2
1
)1(
c
uv
u
td
ydu
x
y
y
2
2
1
)1(
c
uv
u
td
zdu
x
z
z
c
c
uv
vuu
x
xx
21
cu x teremos:
A relatividade das velocidades
Se:
4
-
No efeito Doppler do som necessrio distinguir as situaes
em que ele causado pelo movimento da fonte ou do detector.
Isto, porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. J para a luz, que se
propaga no vcuo, importa apenas a velocidade relativa entre a
fonte e o detector.
O efeito Doppler da luz
Som
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No efeito Doppler do som necessrio distinguir as situaes em
que ele causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. J para a luz, que se propaga
no vcuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
O efeito Doppler da luz
Fonte v Detector
v a
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No efeito Doppler do som necessrio distinguir as situaes em
que ele causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. J para a luz, que se propaga
no vcuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
O efeito Doppler da luz
Fonte v Detector
v a
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Se o observador O, em S, descreve o campo
de uma onda eletromagntica, o observador em dever
observar . Pelo princpio da relatividade,
devemos ter invarincia de fase:
tk x txk
)( tvxx )(2
xc
vttEnto, usando que: e
podemos mostrar que:
2c
vkk vke
O efeito Doppler da luz
)s in (),( 0 tk xEtxE
)s in (),( 0 txkEtxE
8
-
Mas: c
fkk
c ;
1kk 1e
O efeito Doppler da luz
Esta expresso vlida no caso do observador ( f = fobs)
e a fonte ( f = f0) estarem se afastando ( > 0).
1
1ff
Fonte v , f
c
v;
9
-
Esta expresso vlida no caso do observador (f = fobs)
e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando ( < 0).
Mas: c
fkk
c ;
1kk 1e
1
1ff
O efeito Doppler da luz
Fonte v , f
c
v;
10
-
;k
Caso o movimento relativo no seja na direo de propagao:
c o s1
Se . Note que aqui a fonte em
movimento emite radiao com frequncia conhecida . 2
2
09 0 1
0
O efeito Doppler da luz
;k
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Fonte
Observador
-
Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma
velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos:
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
Se a estrela estiver se afastando
( v > 0 ) temos 0
Deslocamento da luz
para o vermelho
Se a estrela estiver se aproximando
(v < 0) teremos < 0
O efeito Doppler na Astronomia
Deslocamento da
luz para o azul
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif
12
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif -
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Observaes experimentais
e suas implicaes para a Cosmologia:
Em 1929, Edwin Hubble props que o desvio para o vermelho
observado para as linhas espectrais originadas de tomos de clcio
de galxias distantes era devido ao efeito Doppler:
as galxias estariam se afastando de ns.
possvel medir a velocidade de recesso V de vrias galxias e
Hubble encontrou V = H0 r , com H0 a constante de Hubble =
= 71 4 km/s/Mpc.
Esta a primeira evidncia experimental
da expanso do Universo!