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Conceptos Bsicos de Topologa en Autmatas Celulares LinealesJuan Carlos Seck Tuoh Mora Depto. de Ingeniera Elctrica, Seccin Computacin CINVESTAV-IPN, Apartado Postal 14-740 Mxico D.F email:seck@computacion.cs.cinvestav.mx Fecha: Agosto,1999

Resumen:Se presenta un anlisis del espacio de configuraciones que existe en los autmatas celulares lineales, haciendo especial nfasis en el caso reversible. Para dicho estudio se hace uso de los conceptos bsicos de topologa de conjuntos y de dinmica simblica.

Tabla de Contenidos Introduccin Antecedentes Histricos de los Autmatas Celulares Lineales Antecedentes Histricos de la Topologa de Conjuntos Conceptos Bsicos de los Autmatas Celulares Lineales Funcionamiento de un Autmata Celular Lineal Ancestro y Jardn del Edn Autmatas Celulares Lineales Reversibles Espacios Topolgicos Espacios Vectoriales Definicin Bsica de Espacios Topolgicos Base de un Espacio Topolgico y Mapeos Contnuos Espacios Mtricos Conjuntos Abiertos en Producto Topolgico Propiedades del Espacio Mtrico de Configuraciones Convergencia Conjuntos de Cilindros Espacios Compactos Espacios Separables Introduccin al Espacio de Corrimientos de Tipo Finito Espacios de Corrimientos Homomorfismos Corrimientos de Tipo Finito Diagrama de de Bruijn Definicin de Espacios Sficos Topologa Bsica de los Autmatas Celulares Lineales Reversibles Conclusiones Bibliography Glosario About this document ...

IntroduccinEl inters en el anlisis de los autmatas celulares lineales se debe a que son sistemas cuyo funcionamiento es muy sencillo y fcil de modelar en una computadora, pero aun as son capaces de generar comportamientos complejos. Un tipo especial de autmata celular lineal son los llamados reversibles, los cuales tienen la propiedad de conservar la informacin del sistema [TM90].

Antecedentes Histricos de los Autmatas Celulares LinealesEl concepto de autmata celular surge con el trabajo hecho por John von Neumann sobre sistemas autorreproductivos [vN66]. La idea de von Neumann era la de crear mquinas que pudieran generar copias de s mismas y a la vez mantuvieran un buen funcionamiento utilizando partes no confiables, esto lo llevo a desarrollar un modelo matemtico (gracias a la sugerencia de Stanislaw Ulam) para demostrar la factibilidad de sus ideas; dicho modelo result ser un autmata celular. Por otra parte, destaca tambin el trabajo realizado por Gustav A. Hedlund [Hed69] el cual sienta bases slidas en el desarrollo de la dinmica simblica, en especial su anlisis sobre mapeos locales y globales en el espacio de corrimientos.

Antecedentes Histricos de la Topologa de ConjuntosUna necesidad fundamental en el anlisis matemtico ha sido el poder fundamentar las propiedades y caractersticas que tiene un conjunto, sin importar cuantos elementos contenga o an si tiene un nmero infinito de estos. Es por esta razn que surge el desarrollo de la topologa (o anlisis en sitio) de conjuntos como una nueva rama de estudio para tratar este tipo de cuestiones [CR41]. El surgimiento de la topologa se da a finales del siglo XIX y desde este etapa en adelante podemos encontrar dos tendencias claras en su enriquecimiento y utilizacin, la concerniente a la geometra y la aplicada a teora de conjuntos [Lie65]. Tomando la topologa de conjuntos, los trabajos fundamentales se deben a Flix Hausdorff, a Georg Cantor (creador de la teora de conjuntos) y a N. Bourbaki; sin dejar de mencionar a importantes trabajos relacionados con el estudio de sistemas dinmicos elaborados por Henri Poncair y G. D. Birkhoff. El objetivo de este trabajo es presentar las construcciones y propiedades bsicas que definen una topologa en el espacio de configuraciones asociado a la dinmica de un autmata celular lineal, analizando con mayor detalle el caso reversible . En algunas secciones, los conceptos tericos se ejemplificarn con un caso prctico para hacer ms claro su entendimiento.

Conceptos Bsicos de los Autmatas Celulares LinealesAntes de empezar con el anlisis topolgico sobre los autmatas celulares lineales, veamos cual es su funcionamiento, caractersticas bsicas y la terminologa comunmente usada en este ambiente.

Funcionamiento de un Autmata Celular LinealUn autmata celular lineal consiste en un arreglo unidimensional de celdas o clulas, cada clula

puede tomar como valor un elemento de un conjunto finito K de estados, la cardinalidad de se define con . Una clula actualizar su valor dependiendo del estado en que se encuentre y el de vecinas a cada lado, donde a se le denomina como radio de vecindad; de esta forma clulas generan una nueva clula, dicho bloque de clulas se le conoce como vecindad. El mapeo llama la regla de evolucin. Bajo la accin local de , una configuracin o estado global del autmata evolucionar en otra a cada una de las posibles vecindades contenidas en la anterior, es , los que especifica que clula forma cada vecindad posible se le

nueva configuracin al aplicar

decir, cada clula actuali-za su estado. Para este proceso, en cada aplicacin de elementos finales de cada vecindad se tomarn como los vecindad, existiendo un traslape entre las vecindades. As, empezando desde el instante

elementos iniciales de la siguiente

con una secuencia inicial de clulas o configuracin inicial, se y este

producir una nueva configuracin que define el estado global del autmata en el instante

proceso se repite de manera indefinida, esta secuencia de estados globales o configuraciones es la que nos da la dinmica del sistema. Al conjunto de configuraciones de un autmata celular lineal lo denominaremos como . Una caracterstica de estos sistemas es que tanto el tiempo como el espacio son discretos, esto es ya que el paso de una configuracin a otra se muestra en pasos discretos y la interaccin local especificada por se da entre clulas que toman valores discretos de un conjunto finito de estados.

Ancestro y Jardn del EdnDos definiciones bsicas dentro de la dinmica de un autmata celular lineal son las de ancestro y Jardn del Edn. Dadas dos configuraciones y , se dir que es ancestro de si al aplicar a cada una de las vecindades de se denominar como se genera , este mapeo global inducido por el

mapeo local

, que representa la dinmica discreta en el tiempo

de la evolucin del autmata. Por supuesto, puede existir un conjunto (posiblemente vaco) de configuraciones las cuales no puedan aparecer en la evolucin del sistema ms que al principio como configuracin inicial, pues la regla de evolucin es tal que al aplicarla a los elementos en no produce dichas configuraciones. Al conjunto de configuraciones que carezcan de ancestros se le denomina el Jardn del Edn de dicho autmata celular.

Autmatas Celulares Lineales ReversiblesUn tipo especial de autmata celular lineal es aquel en donde cada configuracin tiene uno y slo un ancestro, es decir, el Jardn del Edn es vaco y el mapeo global es biyectivo. Dicho tipo de autmata celular se denomina reversible, ya que existe una funcin global inversa que permite regresar en la evolucin del sistema, en otras palabras, obtener las configuraciones que se haban generado anteriormente.

Espacios TopolgicosEn esta seccin se expondrn los conceptos bsicos utilizados en topologa de conjuntos los cuales usaremos para analizar y observar que propiedades tiene el espacio de configuraciones de un autmata celular lineal.

Espacios VectorialesAntes de presentar los conceptos de topologa, ha-gamos una revisin de las construcciones bsicas que utilizaremos en este ambiente como son los espacios, subes-pacios, bases y mapeos al estilo del lgebra lineal.

Definicin de Espacio VectorialEn el estudio de las matemticas o de la fsica, el trmino vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y direccin [LWJ98], ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El trmino vector tambin se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. Supongamos que tenemos un conjunto siguientes propiedades: Propiedad de cerradura . . Propiedad de adicin . . contiene al elemento 0 con Propiedad de multiplicacin por un escalar . . . . donde para y escalares cumplen con las

Entonces se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adicin (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusin del 0 y del . Dicho de manera informal, en un espacio vectorial te-nemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las caractersticas estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del lgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la generacin de espacios ms complejos por medio de productos cartesianos [McI99].

Subespacios VectorialesPara un espacio vectorial El elemento y , si existe un subconjunto est tambin en . cualquier escalar. . tal que:

Entonces es un subespacio vectorial en , es decir, cualquier subconjunto de un espacio vectorial que mantiene las mismas propiedades por s mismo conforma un subespacio.

Relaciones de OrdenEn un espacio vectorial, podemos ordenar los subes-pacios por su contencin, por ejemplo, el subespacio ms pequeo consistente del elemento 0 est contenido en cualquier otro subespacio, o el espacio completo es el subespacio ms grande que contiene a cualquier otro. Par dos subespacios , definiremos el subes-pacio ms grande comn a ambos como

, por otra parte, el subespacio ms pequeo que contiene tanto a como a consiste en todas las combinaciones lineales de vectores posibles con los dos subconjuntos y no slo en . Con esto, los subconjuntos de un espacio vectorial pueden ser organizados en una jerarqua, en donde para cada subconjunto se obtiene el mnimo subespacio que lo contiene o el mximo subespacio que ste contenga, esto nos lleva a una nocin fundamental en el estudio de espacios vectoriales, la de base.

Base de un Espacio VectorialHasta el momento, hemos visto que las relaciones de orden nos ofrecen una forma de organizar los subespacios de un espacio vectorial segn su contencin, en especial, todos los mltiplos escalares de un subespacio forman el menor conjunto que incluye a . Supongamos que para , con , es decir: , todo elemento es una

combinacin lineal de los elementos de

(1)

entonces se dice que Para escalares

es una expansin de

. es linealmente dependiente si existen

, decimos que no todos iguales a 0 tal que:

(2) Esto indica que alguno de los elementos de 2 no se cumple ms que para linealmente independientes. De aqu, si es una expansin de , entonces el conjunto de vectores linealmente independientes forma una base de . Con las relaciones de orden sobre , podemos encontrar como el conjunto de elementos linealmente independientes que generan a por medio de todas las posibles combinaciones lineales, as, el nmero de vectores linealmente independiente en dado por define la dimensin del espacio. es mltiplo de otro; en caso contrario, si la ecuacin , entonces los elementos de son

Relaciones de EquivalenciaUna vez definida la estructura de un espacio vectorial, es interesante analizar los mapeos que pueden existir entre los elementos de varios espacios, en este caso, el uso de relaciones de equivalencia ayuda a hacer ms clara la interaccin entre dos espacios conectados por una funcin. Una funcin debe cumplir que para cada elemento , sea nica; de este modo, para espacios

vectoriales se requiere que las funciones cumplan con ser lineales, esto es: (3) Funciones lineales entre espacios vectoriales forma otro espacio vectorial; los valores que tome la funcin dependen de los valores que asigne a la base del espacio, pues de ah todos los dems elementos se generan como combinaciones lineales. Para un subconjunto de un espacio vectorial donde una funcin toma el mismo valor en cada elemento del subconjunto, se define una clase de equivalencia; las contraimgenes de esta funcin dependen de la contraimagen de 0 pues dos elementos de la misma clase de equivalencia tienen las mismas imgenes; por esto, la contaimagen de 0 constituye el kernel del mapeo. Las imgenes y contraimgenes de un espacio vectorial son tambin espacios vectoriales.

Producto CartesianoSea una familia de espacios vectoriales para , entonces: donde es un conjunto que indexa

a la familia

(4)

denota el conjunto de todos los mapeos

tal que

para cada

.

Bajo esta construccin, se denota como el producto directo o producto cartesiano de los espacios . El producto cartesiano es una de las maneras ms sencillas de fomar un espacio vectorial complicado utilizando espacios ms simples [McI99]. Las funciones que vayan desde las bases a los elementos del producto se denominan proyecciones y sirven para recobrar los factores originales del producto cartesiano.

Definicin Bsica de Espacios TopolgicosTomando como referencia los conceptos de lgebra lineal para el anlisis de espacios vectoriales, veamos ahora como se formula con la topologa de conjuntos una teora similar en el estudio de espacios que contienen cualquier tipo de elementos; de este modo, mientras en espacios vectoriales las entidades bsicas son vectores, en topologa de conjuntos las estructuras fundamentales sern los conjunto abiertos y mientras en espacios vectoriales las operaciones bsicas son la adicin y la multiplicacin por un escalar, en espacios topolgicos lo son la unin y la interseccin de conjuntos. Un espacio topolgico consiste en un conjunto y una topologa definida sobre ste, la cual se define con una familia o un conjunto de subconjuntos de denominados abiertos; dicha familia debe cumplir con los siguientes axiomas: Axioma 1 El conjunto vaco y el conjunto total pertenecen a pertenece a pertenece a . . .

Axioma 2 La unin de una subfamilia arbitraria de Axioma 3 La interseccin de una subfamilia finita de con es llamado cerrado cuando es llamado una vecindad de .

Las definiciones bsicas [Jan84] utilizadas en los espacios topolgicos son: es abierto. si existe un conjunto abierto que cumple

Para

, un elemento ,

Figura: Vecindad de . es llamado un punto interior, exterior o frontera de o ninguno de los anteriores es una vecindad de .

,

respectivamente, si

Figura: Punto interior, exterior y frontera de El conjunto El conjunto cerradura de de los puntos interiores de de los puntos de .

. . es llamado la

es llamado el interior de

que no son puntos exteriores de

El papel que juegan los conjuntos abiertos en un espacio topolgico es crucial ya que con ellos podemos conocer las caractersticas de este espacio; propiedades que cumplen los conjuntos abiertos son: es abierto es abierto es cerrado. es una vecindad de cada uno de sus puntos.

Figura: Si es abierto

es abierto, entonces es vecindad de cada uno de sus puntos. .

Figura: Si Para un mismo conjunto

es abierto, entonces

es cerrado. que

, podemos definir varias topologas, es decir, distintas familias

cumplan con los axiomas de un espacio topolgico. Por supuesto, los conjuntos que ser iguales ni tener el mismo nmero de subconjuntos; si entonces se dice mas fina que y

no tienen por y .

son topologas sobre

se denomina mas dbil o gruesa que

La ms dbil topologa de todas es

y es llamada discreta [Haj68].

Base de un Espacio Topolgico y Mapeos ContnuosSea un espacio topolgico, un conjunto se dice una base de si cada conjunto abierto de es generado por la unin de conjuntos de . De la misma mane-ra que la base de un espacio vectorial, la base de una topologa es capaz de generar todos los elementos del espacio topolgico por medio de la unin. Sean y dos espacios topolgicos, Un mapeo es contnuo si la imagen inversa se ,

de un conjunto abierto es siempre otro conjunto abierto. Un mapeo biyectivo denominar un homeomorfismo cuando tanto es abierto s y solo si como sean contnuas; es decir, para

es abierto tambin.

Figura: Homeomorfismo entre y ; el mapeo preserva los conjuntos abiertos. Para los espacios topolgicos, los homeomorfismos juegan el mismo papel que los isomorfismos en espacios vectoriales [Jan84]; un homeomorfismo conserva las propiedades topolgicas al mapear de un espacio a otro, pues el mapeo de una base ser a su vez la base del espacio imagen. Trabajar con

homeomorfismos es muy til ya que si conocemos las propiedades de un espacio topolgico dado, podemos encontrar estas mismas caractersticas en todos los espacios homeomrficos a ste.

Espacios MtricosSea un conjunto, suponga que existe una funcin real tal que satisface: 1. 2. 3. 4. triangular). Entonces es un espacio mtrico y una distancia o mtrica sobre [Hal50]. . (desigualdad . . para los pares ordenados

Para el conjunto de estados de un autmata celular lineal, podemos formar el conjunto de todas las posibles configuraciones de estados, cada configuracin infinita en ambas direcciones. Entonces consiste en el producto cartesiano de indexado por el conjunto de todos los enteros o tambin: (5)

lo que indica la formacin del producto cartesiano con un solo conjunto, en este caso sima configuracin , se utilizarn las siguientes convenciones. ser la clula ubicada en la posicin en la configuracin , para

. Para la -

.

ser la secuencia de estados contenida en la configuracin empieza en la posicin y termina en la posicin est dada por para .

que cuyo intervalo con .

La longitud de la secuencia

En base al trabajo de Hedlund en [Hed69] y de Mike Boyle en [Boy93], sobre cada par ordenado con , definamos la funcin de la siguiente manera:

(6)

Entonces infinitas a)

define una mtrica sobre el conjnto de configuraciones de un autmata celular lineal, esto es ya que: es una funcin real que toma valores en el intervalo si si cuando . . . pues:

b) significa que . c) Sea , entonces: y ; tomemos a lo que implica tambin que

cumpliendo con la desigualdad triangular.

Figura 6: Distancia Por lo que celular lineal con

entre

y

. ; por ejemplo, para un autmata

define un distancia sobre , tres configuraciones posibles son:

Configuracin

Posiciones -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0

En este caso se tiene que:

cumpliendo con la desigualdad triangular pues

.

Por supuesto, otro tipo de mtricas son posibles, como la expuesta por Douglas Lind y Brian Marcus en [LM95] que tiene la siguiente forma:

(7)

En ambos casos, las mtricas toman en cuenta que las configuraciones

y

concuerden en

una parte central, en donde la especificacin del centro es arbitraria por lo que dos configuraciones pueden estar muy cercanas o no dependiendo donde se defina el centro. Una generali-zacin de ambas distancias puede realizarse tomando a a donde . Puede entonces existir una distancia que slo indique cuanto difiere una configuracin de otra sin importar el lugar donde se presenten las diferencias?; para esto definamos la siguiente mtrica: (8)

entonces (9)

La mtrica se definir como:

(10)

Para este caso, si , entonces conforme

entonces

y . As, la distancia

; si

para

de ah que

se encuentre en el intervalo

, con la diferencia

que esta distancia se concentra en medir diferencias entre configuraciones en vez de similitudes entre partes centrales. En la continuacin de este trabajo utilizaremos la distancia definida por Hedlund en [Hed69]; es decir, .

Conjuntos Abiertos enLa definicin de conjuntos abiertos en el espacio de configuraciones de un autmata celular lineal es sencilla al utilizar el concepto de distancia. Para y , definimos el subconjunto configuraciones que estn a una distancia menor que denomina un disco abierto de radio ; es decir, de es el subconjunto de

. A dicho subconjunto se le el subconjunto se

, para el caso donde . , si

denomina un disco cerrado y se denota con Sea la familia de subconjuntos de tal que los conjuntos abiertos mtrico. y

tal que para cada

entonces existe

; de este modo, la familia

define una topologa formada por

se dice un espacio topolgico mtrico o simplemente un espacio , tomemos solamente las configuraciones de tamao .

Para un autmata celular lineal con

Tabla 1: Configuraciones formadas con 2 estados de longitud 2Conjunto 00 01 10 11

Tomando a

se obtiene que los discos cerrados son:

Tabla: Esferas cerradas de

0 00 1/2 1 0 01 1/2 1 0 10 1/2 1 0 11 1/2 1

00 01 10,11 01 00 10,11 10 11 00,01 11 10 00,01

Propongamos a

(11)

Para

, se observa que los discos abiertos son:

el mismo caso se presenta para

y

, adems, se cumple que:

lo que muestra que de longitud .

define una topologa sobre

, en el ejemplo, el conjunto de configuraciones

Es posible observar en el ejemplo anterior que si slo formamos a con el conjunto vaco y el conjunto total cumplirn con ser conjuntos abiertos y tambin sus uniones e intersecciones caen dentro de , siendo la topologa discreta de como se defini en la seccin 3.2. Teniendo estos resultados, podemos ver que el espacio de configuraciones de un autmata celular lineal. induce una topologa sobre

Producto TopolgicoEn la ecuacin 5 se present que siguiente forma : tal que , denotando al conjunto de todos los mapeos con la para (12) donde construye una

Con lo anterior, , cada configuracin

es el producto directo o cartesiano de los conjuntos es la proyeccin de sobre y cada mapeo

que pertenece al conjunto de configuraciones para

. El mapeo: (13)

se dir el -simo mapeo de proyeccin; o sea, sobre el conjunto de estados .

es el mapeo que va de cada configuracin

Al conjunto de estados lo podemos ver como un espacio topolgico cuya topologa discreta es l mismo, en otras palabras, podemos ver a como un conjunto abierto. Entonces, el conjunto de mapeos forma un producto topolgico que da origen a un elemento en .

Figura 7: Los mapeos

forman las configuraciones en

.

De esta forma, se puede ver que el espacio mtrico de configuraciones coincide con el producto topolgico generado por la topologa discreta de como se seala en [Hed69].

Propiedades del Espacio Mtrico de ConfiguracionesHasta el momento hemos visto que para el espacio de configuraciones , la distancia induce una topologa , utilizando esta mtrica obtengamos las propiedades que se presentan en dicho espacio.

ConvergenciaPara el espacio de configuraciones conforme , se dir que una configuracin ; es decir: (14) Supongamos que desigualdad del tringulo. (15) y , entonces ; esto se puede probar utilizando la converge a si

As

por lo que

, mostrando que el lmite es nico.

Conjuntos de CilindrosSobre el conjunto de configuraciones definamos el cilindro , para un bloque finito de estados fijo y , como sigue. (16)

En otras palabras,

es el conjunto de configuraciones en las cuales el bloque de estados .

aparezca empezando en la posicin

Figura: Cilindro

. y

Una primera observacin a realizar, es que todo cilindro es abierto ya que para cualquier tenemos:

(17) probando que el cilindro es abierto pues cumple con esto. Por

las propiedades de un espacio topolgico, sabemos que el complemento de un conjunto abierto es cerrado, y la unin de conjuntos abiertos es abierta por el axioma 2; tomemos el caso ms sencillo, para un autmata celular lineal de estados, tenemos que , cada uno de estos cilindros cumpliendo con ser abierto. Para cualquier cilindro complemento en lo repre-sentan con , su

cilindros cuya unin tambin es abierta, de aqu que

sea cerrado, concluyendo que un cilindro es tanto abierto como cerrado. Dado que con el conjunto de cilindros podemos representar a todo el espacio mtrico conjuntos abiertos, estos constituyen una base para [Boy93]. y son

Haciendo uso de los conceptos de convergencia y del conjunto de cilindros describamos dos caractersticas importantes que se presentan en el espacio de configuraciones de un autmata celular lineal.

Espacios CompactosLa cubierta abierta de un espacio topolgico es una familia de conjuntos abiertos cuya unin es el mismo espacio . Un espacio toplgico se dir compacto si cada cubierta abierta de ste tiene una subcubierta finita. Esto significa que es compacto si cumple con lo siguiente. (18)

Figura: Cubierta finita de En el caso del espacio de configuraciones cilindro:

con

.

de un autmata celular lineal, tomemos el siguiente

para

(19)

(20) Es decir, donde lo que: (21) indexar al conjunto de cilindros donde cada cilindro cumple con que . Entonces, pues es un conjunto finito de estados, por

Como cada cilindro

es abierto, entonces

establece una cubierta finita para

.

Es aqu donde se puede apreciar la importancia que tiene la eleccin de un centro para definir una distancia en el espacio de configuraciones , pues dado este centro se puede definir el conjunto de cilindros y con esto generar una cubierta finita de concluyendo que dicho espacio es compacto. El que un espacio topolgico sea compacto es muy til ya que podemos tratar el espacio con un nmero finito de subconjuntos del mismo lo que facilita su estudio, veamos ahora como podemos elegir un representante de cada subconjunto. En base al trabajo de Lind y Marcus en [LM95], para el espacio de configuraciones , tomemos un cilindro como se establece en la ecuacin 19, cons-truyamos una subsecuencia convergente de enteros positivos tal que: (22) Definamos la configuracin definamos converge a donde para toda el cual excede a e inductivamente . Entonces . Para , encontremos una secuencia de subconjuntos de

como el elemento ms pequeo de conforme .

Figura: Convergencia de

a

conforme

.

Utilizando la idea de convergencia, podemos decir que el espacio de configuraciones es compacto si cada secuencia de configuraciones en converge a un configuracin dada [LM95], pues esta convergencia asegura la existencia de los conjuntos de cilindros.

Espacios SeparablesOtra propiedad importante para clasificar a un espacio topolgico es el grado de separacin que tiene [Haj68] [Hus66]; as, un espacio topolgico se clasifica como:

(Espacio de Riesz) si para cualesquiera dos elementos distintos en uno que no contiene al otro.

existe una vecindad de

(Espacio de Kolmogorov) si para cualesquiera dos elementos distintos en vecindades de ambos que no contienen al otro. (Espacio de Hausdorff) si cualesquiera dos elementos distintos en disjuntos. (Espacio Regular) si cada vecindad de cualquier elemento en cerrada del mismo.

existen

tiene vecindarios

contiene una vecindad

(Espacio de Tychonov o Completamente Regular) si el espacio es y cualquier vecindario

y para cada elemento

del mismo, existe un mapeo contnuo

con

y

.

(Espacio Normal) si el espacio es tienen vecindarios disjuntos. En particular, el espacio de configuraciones

y cualesquiera dos subconjuntos cerrados disjuntos de

de un autmata celular lineal es de tipo

o de

Hausdorff, para mostrar esto, tomemos dos configuraciones distintas

. Seleccionemos

la posicin de una clula en la cual ambas configuraciones difieran (por lo menos existe una pues de otra forma ) y definamos sta como la posicin central de las configuraciones, de aqu establezcamos lo siguiente:

(23)

Utilizemos nuevamente el conjunto de cilindros cumple que:

como se defini en la ecuacin 20, entonces se

(24)

Para

tomemos la secuencia de estados definida por

, entonces tenemos que (25)

lo cual es anlogo para (26) Dado que el cilindro especificado en las ecuacin 25 cumple que sus elementos comparten la misma parte central y el mismo caso se presenta para el cilindro en la ecuacin 26, podemos concluir que: (27)

Por lo que

es una vecindad de

y

es una vecindad de

. Por ltimo,

sabemos que toda con

cumplen con que ; como entonces

siendo esto si-milar para todo , de aqu que: (28)

Figura 11: Los conjuntos de cilindros son disjuntos. Por lo que las vecindades de y son disjuntas, para cualquier espacio de configu-raciones es separable o de Hausdorff.

con lo que el

Introduccin al Espacio de Corrimientos de Tipo FinitoHemos visto hasta ahora algunas propiedades globales que caracterizan el espacio de configuraciones de un autmata celular lineal, veamos entonces cual es el comportamiento local que en dichos sistemas existen, para esto utilizaremos conceptos de dinmica simblica desarrollados en [Hed69], [Boy93] y [LM95].

Espacios de CorrimientosSobre el espacio topolgico de la si-guiente manera: podemos definir un mapeo de corrimiento sobre cada configuracin tal que (29)

El mapeo hace correr a la izquierda cada elemento de una configuracin en una posicin con respecto a un centro especificado; en el caso de el corrimiento es a la derecha. Globalmente, el mapeo de corrimiento mapea configuraciones a configuraciones; es decir, , al

tener una funcin inversa con , el mapeo de corri-miento es biyectivo en denomina el espacio de corrimiento.

y el espacio

se

HomomorfismosUn homorfismo es simplemente una mapeo contnuo que conmuta con el co-rrimiento. Para el espacio de configuraciones y la regla de evolucion asociada a un autmata celular lineal, si dos configuraciones entonces evoluciones y son cercanas segn ,

tienen secuencias centrales idnticas de considerable longitud. De aqu, sus y tambin coincidirn en una secuencia central con longitud y , de esta manera, define un mapeo global

ligeramente menor que en el caso de contnuo sobre Otra propiedad de

pues los conjuntos abiertos siguen permaneciendo as. es que conmuta con como lo demuestra Hedlund

en [Hed69] de la siguiente manera:

(30)

Con lo anterior tenemos que el mapeo global

inducido por

es contnuo y conmuta es un mapeo

con el corrimiento o lo que es lo mismo, es un homomorfismo, en particu-lar, como de a si mismo, define un endomorfismo.

Un resultado importante debido a Hedlund en [Hed69], es que todos los homomorfismo en un espacio topolgico deben tener el funcionamiento de un autmata celular lineal. Sea un homomorfismo, entonces es contnua. Como hemos hecho anteriormente pueden ser especificados como elementos de dos cilindros disjuntos, dado que el mapeo es contnuo, entonces

y

(31)

Entonces, para

se tiene que ; de esta forma:

pues

comparten la misma parte central por lo que

(32)

As, la coordenada central de

depende solamente de los bloques centrales a elementos de

y o lo

, lo que re-presenta un mapeo de bloques de tamao que es lo mismo lineal.

, que es justamente el funcionamiento de un autmata celular

Corrimientos de Tipo FinitoSe ha visto que en un espacio de corrimiento , mapea el espacio a si mismo, esto se conoce como el sistema dinmico de corrimiento. En un autmata celular lineal, tenemos que el espacio de configuraciones est compuesto por todas las secuencias infinitas de estados posibles, donde representan el conjunto finito de estados. Llamaremos el -corrimiento completo a todo el conjunto de posibles secuencias infinitas que se puedan generar con , esto es: (33)

entonces, cada configuracin de estados

pertenece a

.

Un corrimiento de tipo finito [Boy93] es una restriccin del -corrimiento completo, en donde existe un conjunto finito de secuencias de estados prohibidas, es decir, ningn elemento de puede aparecer en las configuraciones pertenecientes al corrimiento de tipo finito. Definamos a como el corrimiento de tipo finito formado por configuraciones de estados que no contienen ninguna secuencia en , con esto se tiene que: (34) En el mbito de un autmata celular lineal, un corri-miento de tipo finito todas las posibles configuraciones donde de dicho autmata, con lo que generar con la regla de evolucin es el conjunto de

son las secuencias de estados base del Jardn del Edn

contiene solamente aquellas configuraciones que son posibles de .

Diagrama de de BruijnUn paso acostumbrado en dinmica simblica es repre-sentar un corrimiento de tipo finito por medio de una grfica , donde todas las posibles rutas del diagrama muestren la coleccin de las secuencias que se tienen en , para autmatas celulares lineales, la grfica que resulta natural para conocer las evoluciones del conjunto es el diagrama de de Bruijn [McI91].

Para un autmata celular con Bruijn es la siguiente:

estados y un radio de vecindad

, la definicin del diagrama de de

El conjunto de nodos del diagrama de de Bruijn secuencias de estados de longitud Para son iguales a los , es decir, a

consistir de todas las posibles . si los elementos finales de ,

, existir una arista de

elementos iniciales de

, para el caso en que

tenemos 0 elementos finales para

y 0 elementos iniciales para

, por lo que en esta

situacin en particular el diagrama ser completo. Cada arista en el diagrama de de Bruijn representa una vecindad del autmata, es decir, un bloque de estados de longitud , tomando en cuenta el elemento inicial del nodo , el traslape de longitud y el elemento final del nodo . Al conjunto de aristas del

diagrama de de Bruijn se le denominar con

y representa al conjunto de vecindades

de un autmata celular lineal. Cada arista se etiquetar con un smbolo o se colorear con un color distinguiendo el estado en el cual evoluciona la vecindad representada por etiquetado de todas las aristas representa al mapeo que es la regla de evolucin del autmata. , o sea, el

Figura 12: Diagramas de de Bruijn genricos. Por medio del diagrama de de Bruijn, tenemos una re-presentacin grfica de la regla de evolucin, las rutas en este diagrama representan todas las posibles configuraciones que aparecen en la evolucin del autmata celular como producto de . Cabe sealar que en la literatura sobre dinmica simblica, el uso del diagrama de de Bruijn es casi inexis-tente, prefiriendo usar otro tipo de diagramas ms a la manera de la representacin grfica de autmatas finitos, o la grfica dual del diagrama de de Bruijn (en caso de existir).

Definicin de Espacios SficosSupongamos que tenemos una grfica la cual pueda representar por medio de sus rutas un subconjunto de secuencias infinitas perteneciente al -corrimiento completo , a dicho subconjunto se le llamar un espacio sfico, una definicin formal la podemos obtener en el trabajo de Lind en [LM95] y se prsenta en seguida. Un subconjunto del corrimiento completo generado por medio de una grfica etiquetada una grfica etiquetada es un espacio sfico si puede ser . Una presentacin del espacio sfico . es

para la cual el conjunto de todas sus rutas sea igual a

Tambin se seala en [LM95] que la palabra ``sfico'' fue utilizada en este mbito por primera vez gracias a B. Weiss y viene de la palabra hebrea para ``finito.'' Para un autmata celular lineal, el conjunto de configuraciones puede tomarse como un espacio sfico teniendo como representacin al diagrama de de Bruijn. De acuerdo si el conjunto de secuencias pertenecientes al Jardn del Edn es finito o no, .

podemos tener la siguiente clasificacin de

Figura: Clasificacin de

segn la cardinalidad de

.

La teora de espacios sficos desde el punto de vista de la dinmica simblica se ha concentrado en estudiar cuales son los posibles conjuntos que se pueden generar, en analoga al lenguaje que un autmata finito puede reconocer como se estudia en teora de autmatas. Sin embargo, en el caso de un autmata celular sera tambin interesante conocer cuales son las propiedades que se cumplen al generar las secuencias de estados y configu-raciones que las contengan.

Topologa Bsica de los Autmatas Celulares Lineales ReversiblesSe ha observado que en el espacio de configuraciones de un autmata celular lineal se puede inducir una mtrica con la eleccin arbitraria de un centro, la cual nos permite definir conjuntos abiertos y topologizar a . Un tipo especial de conjuntos abiertos son los cilindros, con los cuales podemos caracterizar a como compacto y separable del tipo de un espacio de Hausdorff. En un autmata celular lineal reversible, encontraremos adems que toda secuencia de configuraciones que se van generando en la evolucin del mismo tendrn una mtrica peridica si las

configuraciones son de longitud finita, pues dado que el nmero de posibilidades est res-tringido, una configuracin tendr que repetirse tarde o temprano, dicha configuracin debe ser la inicial pues de otro modo el autmata no cumple con ser reversible. Dado que en un autmata reversible no existe el Jardn del Edn, toda configuracin es posible de formarse, por lo que este tipo de autmatas caen en la categora de corrimientos completos, es decir, en un autmata celular lineal reversible se tiene que: (35)

ConclusionesPodemos apuntar que la topologa del conjunto de configuraciones se da por un elemento principal, la eleccin de un centro, pues la definicin de la mtrica en este espacio, ya sea al estilo de Hedlund ( ) o al de Lind ( ) es en base a este centro y la construccin de los conjuntos de cilindros,tambin es apoyndose en las posiciones que implican el establecimiento de un centro. La caracterizacin de el espacio como compacto y Hausdorff separable se puede lograr al utilizar al conjunto de cilindros como base de la topologa. Los mapeos contnuos entre espacios topolgicos son de gran importancia ya que preservan los conjuntos abiertos, as, un resultado importante es el que todo mapeo contnuo que conmuta con el corrimiento puede ser representado por la accin de una regla de evolucin y con esto coincidir con el funcionamiento de un autmata celular lineal. Para el caso reversible, los endomorfismos del espacio en s mismos cumplen con ser biyectivos, definiendo el conjunto de mapeos que son automorfismos en . Dado que en todo cilindro se puede encontrar una subsecuencia convergente de configuraciones, podemos re-presentar al espacio con un conjunto finito de elementos, si limitamos la longitud de la configuracin lmite de cada subsecuencia convergente, entonces podemos representar al espacio con un conjunto de configuraciones finitas siendo su nmero finito tambin, y de este modo facilitar el estudio de la dinmica de un autmata celular lineal pues solo se toma el caso finito. La teora de dinmica simblica y corrimientos de tipo finito pueden ofrecer ms resultados si tomamos al diagrama de de Bruijn como base. Dado que para el caso reversible el espacio resulta ser un corrimiento completo sin palabras prohibidas, se puede conjeturar que dicho espacio contiene otros subespacios completos, explicando as la existencia de subautmatas reversibles en todo autmata celular lineal reversible con , como se ha podido apreciar en observaciones experimentales.

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