Ataurima-Arellano M. (2014) Réplica de paper financiero con MATLAB.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFacultad de Ingeniería Económica, Estadística y Ciencias Sociales

MATLAB para el Análisis Económico y FinancieroSESIÓN No. 6

REPLICA DE PAPER

“Volatility Forecast Comparison using Imperfect Volatility Proxies”Andrew Patton (2011)1

Miguel Ataurima [email protected]

1Journal of Econometrics 160 (2011) 246–256

Índice1. Introducción 3

1.1. Las funciones de pérdidas “robustas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Las funciones de pérdidas “económica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Funciones de pérdida “robustas” en la literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. La Prueba de Diebold-Mariano (1995) - West (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Funciones de pérdida usadas en pruebas DMW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Una condición necesaria para robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8. Predicción óptima bajo pérdidas MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.9. Predicción óptima bajo pérdidas MAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10. Predicciones óptimas bajo pérdidas MSE-SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11. Predicción óptima bajo diversas funciones de pérdida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.12. Usando mejores proxies de volatilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.13. Predicción óptima - Analítica, volatilidad constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.14. Predicción óptima - Simulación, GARCH SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.15. Predicción óptima - Simulación, log-normal SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.16. Predicción óptima - Simulación, dos factores SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.17. Modelos SV usados en las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.18. Generalización de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Una clase de funciones de pérdidas robustas 82.1. Supuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Una familia paramétrica de funciones de pérdida para la comparación de predicciones de volatilidad 92.3. Unidades de medida y clasificaciones de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Aplicación Empírica para la predicción de la volatilidad de los retornos de IBM 93.1. Resultados de la regresión Mincer-Zarnowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Conclusiones 12

5. Anexo 125.1. Código Fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2. Fuentes de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFacultad de Ingenieria Económica, Estadística y Ciencias Sociales

MATLAB para el Análisis Económico y FinancieroREPLICA DE PAPER

1. IntroducciónLos esfuerzos dedicados al modelamiento econométrico y el forecasting genera una fuerte demanda por los

métodos de comparación de predicción. El estudio de los métodos de evaluación y comparación tienen una largahistoria, desde Cowles (1933) hasta West (2005). Sin embargo, la mayoría de los métodos existentes se basanen variables objetivo que son observables.

Muchos problemas de forecasting económico involucra variables no observables:

Varianza condicional o varianza integrada

Probabilidades de default o probabilidades “crash”

Tasa “verdaderas” de crecimiento del PBI o de la inflación (opuesto a las tasas anunciadas).

La evaluación y comparación de predicción para variables latentes a menudo involucran el uso de un “proxy”,(esto es, algunas estimaciones imperfectas de la variable de interés). Por ejemplo:

Usando retornos cuadrados como proxy de la varianza condicional

Usando un indicador por defecto variable para aproximar las probabilidades de default condicional.

El uso de proxies en la evaluación de predicción y su comparación puede o no traer complicaciones.En este paper el autor trabajó sobre los resultados de Anderson y Bollerslev (1998), Meddahi (2001), y

Hansen y Lunde (2006) para mostrar dos principales resultados:

1. El autor analíticamente derivó los problemas causados por el ruido de las 9 mas comúnes funciones depérdida, revelando que algunas son peores que otras. (Usando retornos diarios al cuadrado, el rango y lavarianza realizada como proxies).

2. El autor propone una clase necesaria y suficiente de funciones de pérdida para usar con un proxy insesgadocondicionalmente, pero imperfecto. (Deriva el subconjunto homogéneo de esta clase de funciones, el cualalverga las funciones de pérdida MSE y QLIKE, y provee condiciones de momento para su uso en laspruebas de comparación de predicción).

1.1. Las funciones de pérdidas “robustas”Una propiedad, primeramente considerada en Hansen y Lunde (2006), que guiará el análisis del problema

de comparación de predicción es el siguiente:

� Definición 1: Una función de pérdida, L, es “robusta” si la clasificación de cualesquiera dos (posiblementeimperfectas) predicciones de volatilidad, h1t y h2t, mediante perdidas esperadas es el mismo que si la clasificaciónes hecha usando la varianza condicional verdadera, σ2

t , o cualquier proxy insesgado condicionalmente, σ̂2t . Esto

es, si E[σ̂2t |Ft−1

]= σ2

t , entonces:

E[L(σ2t , h1t

)]R E

[L(σ2t , h2t

)]⇒ E

[L(σ̂2t , h1t

)]R E

[L(σ̂2t , h2t

)]

1.2. Las funciones de pérdidas “económica”El escenario ideal en forecasting es cuando el completo problema de decisión del usuario de la predicción es

conocido por el productor de la predicción. En tales casos preferimos usar ls funciónes de pérdidas “económicas”relevantes - ver West, et al. (1993), Fleming, et al. (2001) o Engle, et al. (1993) como ejemplos.

En tales casos la predicción se converite solo en un input para la decisión, y la predicción de volatilidadóptima no será generalmente la verdadera varianza condicional. Desafortunadamente, la función de pérdidaseconómica del usuario de una predicción de volatilidad es usualmente desconocida, lo que nos lleva a funcionesde pérdida “estadística”.

Este paper provee una guía acerca de la elección de funciones de pérdidas estadística para el forecasting devolatilidad.

EXPOSITOR: Miguel Ataurima Arellano 3 [email protected]



1.3. Notación

Retornos : rt|Ft−1 ∼ Ft(0, σ2

t

)Retornos Estandarizados : εt ≡ rt/σt ∼ Ft (0, 1)

Varianza : Vt−1 [rt] = Et−1[r2t

]= σ2

t

Proxy de la volatilidad : σ̂2t , tal que Et−1

[σ̂2t

]= σ2

t

Predicción de volatilidad ‘optima’ : h∗t = arg mı́n

ht

Et−1[L(σ̂2t , ht

)]1.4. Funciones de pérdida “robustas” en la literatura

Meddahi (2001) mostró que el R2 de la regresión Mincer-Zarnowitz

σ̂2t = β0 + β1hit + eit

arroja una clasificación robusta de predicciones de volatilidad.Hansen y Lunde (2006) mostraron que el R2 a partir de la regresión MZ en logaritmos no es robusta. Además,

Hansen y Lunde (2006) proporcionan una condición suficiente para que una función de pérdida sera robusta

∂3L(σ̂2t , h)

∂h∂ (σ̂2t )2 = 0

1.5. La Prueba de Diebold-Mariano (1995) - West (1996)Esta es la prueba mas ampliamente utilizada para la comparación de predicción. Sea

dt = L(σ̂2t , h1,t

)− L

(σ̂2t , h2,t

)por ejemplo dt =

(σ̂2t − h1,t

)2 −(σ̂2t − h2,t

)2.Si dos pronósticos arrojan la misma pérdida esperada, para alguna función de pérdida, entonces

H0 : E [dt] = 0vs. Ha : E [dt] 6= 0

Esta prueba puede ser conducida mediante una prueba t, con el error estándar apropiadamente ajustadopara la dependencia serial (Diebold-Mariano) y/o el error estimado en la predicción (West).

1.6. Funciones de pérdida usadas en pruebas DMW

MSE : L(σ̂2t , ht

)=(σ̂2t − ht

)2

QLIKE : L(σ̂2t , ht

)= log ht + σ̂2

t

ht

MSE − LOG : L(σ̂2t , ht

)=(log σ̂2

t − log ht)2

MSE − SD : L(σ̂2t , ht

)=(σ̂t −

√ht

)2

MSE − prop : L(σ̂2t , ht

)=(σ̂2t

ht− 1)2

MAE : L(σ̂2t , ht

)=∣∣σ̂2t − ht

∣∣MAE − LOG : L

(σ̂2t , ht

)=∣∣log σ̂2

t − log ht∣∣

MAE − SD : L(σ̂2t , ht

)=∣∣∣σ̂t −√ht∣∣∣

MAE − prop : L(σ̂2t , ht

)=∣∣∣∣ σ̂2t

ht− 1∣∣∣∣




1.7. Una condición necesaria para robustezSi una función de pérdida es “robusta”

E[L(σ2t , h1t

)]R E

[L(σ2t , h2t

)]⇒ E

[L(σ̂2t , h1t

)]R E

[L(σ̂2t , h2t

)]entonces se sigue inmediatamente que la predicción óptima bajo aquella función de pérdida debe ser la varianzacondicional.

Podemos así verificar una condición necesaria para la robustez determinando si la función de pérdida implicah∗t = σ2

t .

1.8. Predicción óptima bajo pérdidas MSELa pérdida MSE es la función de pérdida empleada mas común. La predicción óptima bajo pérdidas MSE

es la varianza condicional verdadera:

h∗t ≡ arg mı́n

hEt−1

[(r2t − h

)2]

cuya condición de primer orden esh∗t = Et−1

[r2t

]= σ2

t

Asi, la función de pérdida satisface la condición necesaria. (Esto también satisface la condición de suficienciade Hansen y Lunde).

1.9. Predicción óptima bajo pérdidas MAEUna de las función de pérdida alternativa empleada comúnmente es la del criterio de error absoluto L

(r2t , ht

)=∣∣r2

t − ht∣∣, la cual arroja:

h∗t = Medianat−1

[r2t

]= σ2

t ·ν − 2ν·Mediana [F1,ν ] , si rt|Ft−1 ∼ t

(0, σ2

t,ν

), ν > 2

= σ2t ·Mediana

[χ2

1], si rt|Ft−1 ∼ N

(0, σ2

t

),

≈ 0,45σ2t

por lo tanto, esta función de pérdida no satisface la condición necesaria para robustex. MAE es una función depérdida no robusta.

1.10. Predicciones óptimas bajo pérdidas MSE-SDOtra función de pérdida común es la MSE sobre desviaciones estándar:

L(r2t , ht

)=(|rt| −

√ht

)2

h∗t = (Et−1 [|rt|])2

=ν − 2Γ

(ν−1

2)2

πΓ(ν2)2 σ2

t si los retornos tienen distribución t

= 2πσ2t ≈ 0,64σ2

t si los retornos están distribuidos normalmente

Para ambas funciones de pérdida, MAE y MSE-SE, la distorción está exacerbada cuando los retornos tienenexceso de kurtosis.




1.11. Predicción óptima bajo diversas funciones de pérdidaDistribución de retornos diarios

Función de Pérdida rt|Ft−1 ∼(0, σ2

t

)t(0, σ2

t,ν

)N(0, σ2

t

)MSE, QLIKE σ2

t σ2t σ2

t

MSE-LOG exp{Et−1

[log ε2

t

]}σ2t 0,22σ2

t 0,28σ2t

MSE-SD (Et−1 [|rt|])2 0,56σ2t 0,64σ2

t

MSE-prop Kurtosist−1 [rt]σ2t 6,00σ2

t 3,00σ2t

MAE Medianat−1[r2t

]0,34σ2

t 0,45σ2t

MAE-SD Medianat−1[r2t

]0,34σ2

t 0,45σ2t

MAE-prop n/a 2,73σ2t 2,36σ2

t

1.12. Usando mejores proxies de volatilidadConsideremos el siguiente simple DGP: hay m observaciones igualmente espaciadas por día de trading, y

denotemos como ri,m,tal retorno intra diario i-ésimo del día t.

rt = d lnPt = σtdWt

στ = σt ∀τ ∈ 〈t− 1, t]

ri,m,t ≡ˆ i/m

(i−1)/mrτdτ = σt

ˆ i/m

(i−1)/mdWτ

{ri,m,t}mi=1 ∼ iid N(

0, σ2t

m

)Un proxy de volatilidad alternativo es la “volatilidad realizada”, ver Anderson, et al. (2001a, 2003), y Barndorff-Neilsen y Shepard (2002,2004):

RV(m)t ≡

m∑i=1

r2i,m,t

Otra alternativa comúnmente usada a los retornos al cuadrado es el rango intra diario, ver Parkinson (1980)y Feller (1951):

RGt ≡ supτ

logPτ − ı́nfτ

logPτ , t− 1 < τ ≤ t

La comparación de eficiencia bajo este DGP es:

MSEt−1[r2t

]= 2σ4

t

MSEt−1

[RV

(m)t

]= 2σ4

t /m

MSEt−1[RG∗2

t

]≈ 0,4073σ4

t

1.13. Predicción óptima - Analítica, volatilidad constanteVolatilidad Realizada

Función de Diario: 30-min: 5-min: Verdadera:Pérdida Rango m = 1 m = 13 m = 78 m→∞MSE, QLIKE σ2

t σ2t σ2

t σ2t σ2

t

MSE-LOG 0,85σ2t 0,28σ2

t 0,91σ2t 0,98σ2

t σ2t

MSE-SD 0,92σ2t 0,56σ2

t 0,96σ2t 0,99σ2

t σ2t

MSE-prop 1,41σ2t 3,00σ2

t 1,15σ2t 1,03σ2

t σ2t

MAE 0,83σ2t 0,46σ2

t 0,95σ2t 0,99σ2

t σ2t

MAE-SD 0,83σ2t 0,46σ2

t 0,95σ2t 0,99σ2

t σ2t

MAE-prop 1,19σ2t 2,36σ2

t 1,10σ2t 1,02σ2

t σ2t




1.14. Predicción óptima - Simulación, GARCH SVVolatilidad Realizada

Función de Diario: 30-min: 5-min: Verdadera:Pérdida Rango m = 1 m = 13 m = 78 m→∞MSE, QLIKE 0,99σ2

t σ2t σ2

t σ2t σ2

t


t 0,92σ2t 0,98σ2

t σ2t

MSE-SD 0,91σ2t 0,63σ2

t 0,96σ2t 0,99σ2

t σ2t


t 1,16σ2t 1,03σ2

t σ2t

MAE 0,82σ2t 0,46σ2

t 0,94σ2t 0,99σ2

t σ2t

MAE-SD 0,82σ2t 0,46σ2

t 0,94σ2t 0,99σ2

t σ2t


t 1,10σ2t 1,01σ2

t σ2t

1.15. Predicción óptima - Simulación, log-normal SVVolatilidad Realizada

Función de Diario: 30-min: 5-min: Verdadera:Pérdida Rango m = 1 m = 13 m = 78 m→∞MSE, QLIKE 0,99σ2

t σ2t σ2

t σ2t σ2

t


t 0,92σ2t 0,98σ2

t σ2t

MSE-SD 0,91σ2t 0,63σ2

t 0,96σ2t 0,99σ2

t σ2t


t 1,16σ2t 1,03σ2

t σ2t

MAE 0,82σ2t 0,46σ2

t 0,94σ2t 0,99σ2

t σ2t

MAE-SD 0,82σ2t 0,46σ2

t 0,94σ2t 0,99σ2

t σ2t


t 1,10σ2t 1,02σ2

t σ2t

1.16. Predicción óptima - Simulación, dos factores SVVolatilidad Realizada

Función de Diario: 30-min: 5-min: Verdadera:Pérdida Rango m = 1 m = 13 m = 78 m→∞MSE, QLIKE σ2

t 1,01σ2t σ2

t σ2t σ2

t


t 0,37σ2t 0,41σ2

t σ2t

MSE-SD 0,57σ2t 0,40σ2

t 0,58σ2t 0,62σ2

t σ2t


t 9,03σ2t 6,70σ2

t σ2t

MAE 0,31σ2t 0,17σ2

t 0,32σ2t 0,35σ2

t σ2t

MAE-SD 0,31σ2t 0,17σ2

t 0,32σ2t 0,35σ2

t σ2t


t 3,33σ2t 2,98σ2

t σ2t

1.17. Modelos SV usados en las simulacionesPara las simulaciones usaron los mismos modelos y valores de parámetros usados en Goncalves y Meddahi

(2005):

1. Difusión GARCH, como en Anderson y Bollerslev (1998):

d logPt = 0,0314dt+ νt

(−0,576dW1t +

√1− 0,5762dW2t

)dν2t = 0,035

(0,636− ν2

t

)dt+ 0,144ν2

t dW1t

2. Difusión log-normal, como en Anderson, Benzoni y Lund (2002):


(−0,576dW1t +

√1− 0,5762dW2t

)d log ν2

t = −0,0136(0,8382 + log ν2

t

)dt+ 0,1148dW1t




3. Difusión 2 factores, como en Chernov, Gallant, Ghysels y Tauchen (2003):


(−0,30dW1t − 0,30dW2t +

√1− 0,32 − 0,32dW3t

)ν2t = s− exp

{−1,2 + 0,04ν2

1t + 1,5ν22t}

dν21t = −0,00137ν2

1tdt+ dW1t

dν22t = −1,386ν2

2tdt+(1 + 0,25ν2

2t)dW2t

1.18. Generalización de los resultadosUsando una expansión de valor en media de segundo orden para L, la condición de primer orden es:

0 = Et−1

[∂L(σ̂2t , h

∗t

)∂h

]=∂L(σ2t , h

∗t

)∂h

+∂3L

(σ̈2t , h

∗t

)∂ (σ2

t )2∂h· 1

2Vt−1[σ̂2t

]1. Si ∂

3L(σ̈2t ,h

∗t )

∂(σ2t )2

∂h= 0 para todo

(σ2, h

), entonces h∗

t = σ2t . Esta es un resultado de Hansen y Lunde (2006).

2. Si ∂3L(σ̈2

t ,h∗t )

∂(σ2t )2

∂h> 0 para todo

(σ2, h

), entonces tenemos que ∂L

∂h < 0 implicando que h∗t < σ2

t . Por ejemplo:Las funciones de pérdida MSE-SD y MSE-log.

3. Si ∂3L(σ̈2

t ,h∗t )

∂(σ2t )2

∂h< 0 para todo

(σ2, h

), entonces tenemos que ∂L

∂h > 0 implicando que h∗t > σ2

t . Por ejemplo:La función de pérdida MSE-prop.

2. Una clase de funciones de pérdidas robustasLas funciones de pérdidas MSE y QLIKE arrojan la varianza condicional como la predicción óptima. Esto

conduce a la pregunta: ¿Existe alguna clase general de tales funciones de pérdida?La siguiente proposición sugiere una clase de funciones de pérdida, relacionadas a la familia lineal - expo-

nencial de densidades de Gourieroux, et al. (1984), y a Gourieroux, et al. (1987).

2.1. Supuestos:1. E

[σ̂2t |Ft−1

]= σ2

t .

2. σ̂2t |Ft−1 ∼ Ft ∈ F̃ , el conjunto de toas las funciones de distribución continuas absolutamente sobre R+.

3. L es doblemente diferenciable continuamente con respecto a h y σ̂2, y tiene un único mínimo en σ̂2 = h.

4. Existe algún h∗t ∈ int (H) tal que h∗

t = Et−1[σ̂2t

], donde H es un subconjunto compacto de R++.

5. L y Ft son tales que

a) Et−1[L(σ̂2t , h)]<∞ para algún h ∈ H;

b) Et−1

[∂L(σ̂2

t ,σ2t )

∂h

]<∞; y

c)∣∣∣∣Et−1

[∂2L(σ̂2

t ,σ2t )

∂h2

]∣∣∣∣ <∞ para todo t.

� Proposición 2: Manteniendo los supuestos del 1 al 5, la función de pérdida L es “robusta” si y solo si tomala siguiente forma:

L(σ̂2t , h)

= C̃ (h) +B(σ̂2)+ C (h)

(σ̂2 − h

)donde B y C son diferenciables continuamente dos veces, C es una función estrictamente decreciente sobre H,y C̃ es la anti-derivada de C.




� Proposición 3:

1. La función de pérdida “MSE” es la única función de pérdida robusta que depende únicamente del errorde predicción, σ̂2 − h.

2. La función de pérdida “QLIKE” es la unica función de pérdida robusta que depende únicamente del errorde predicción estandarizado, σ̂2/h.

2.2. Una familia paramétrica de funciones de pérdida para la comparación depredicciones de volatilidad

Ahora buscamos una familia paramétrica de funciones de pérdida dentro la amplia clase de funciones depérdida robustas, que contiene a las funciones de pérdida MSE y QLIKE.

Observe que las funciones de pérdida MSE y QLIKE tienen condiciones de primer orden que pueden serescritas como:

Et−1

[∂L(σ̂2t , σ

∗t

)∂h

]= 0 = h∗k−2

t

(Et−1

[σ̂2t

]− h∗

t

), k ∈ R

� Proposición 4:

1. La siguiente familia de funciones

L(σ̂2t , h; k

)=

1

(b+1)(b+2)(σ̂2b+4 − hb+2)− 1

b+1hb+1 (σ̂2 − h

), para b /∈ {−1,−2}

h− σ̂2 + σ̂2 log(σ̂2

h

), para b = −1

σ̂2

h − log(σ̂2

h

)− 1, para b = −2

satisface L (h, h; k) = 0 para todo h ∈ H, y son de la forma de la Proposición 2.

2. La familia de funciones de pérdida en la parte 1 corresponde a los subconjuntos completos de funcionesde pérdida robustas homogéneas. El grado de homogeneidad es igual a b+ 2.

L(ασ̂2, αh

)= αb+2L

(σ̂2, h

), ∀α > 0

2.3. Unidades de medida y clasificaciones de predicciónLa elección de unidades en diversos problemas económicos y financieros es arbitrario (precios en dólares

versus centavos, retornos en porcentaje versus decimales).

� Proposición 5:

1. La clasificación de cuaqluiera dos (posiblemente imperfectas) predicciones de volatilidad mediante pérdidasesperadas es invariante a un reescalamiento de los datos si la función de pérdidas es robusta y homogénea.

2. La clasificación de cuaqluiera dos (posiblemente imperfectas) predicciones de volatilidad mediante pérdidasesperadas no es invariante a un reescalamiento de los datos si la función de pérdidas es robusta pero nohomogénea.

3. Aplicación Empírica para la predicción de la volatilidad de losretornos de IBM

Datos diarios e intradiarios de IBM desde Enero de 1993 hasta Diciembre del 2003, 2772 observaciones.El autor considera dos modelos de volatilidad simples que son ampliamente utilizados

Rolling window : h1t = 160

60∑j=1

r2t−j

Riskmetrics : h2t = λh2t−1 + (1− λ) r2t−1, λ = 0,94

Las primeras 272 observaciones (aproximadamente 1 año) son usadas para la inicialización de la estimaciónRiskmetrics, las 2500 últimas observaciones son usadas para comparar las predicciones.




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

hhat (r2=2)

pérd

ida

Diversas funciones de pérdida robustas

b=1b=0.5b=0 (MSE)b=−0.5b=−1b=−2 (QLIKE)b=−5

Figura 1. Funciones de pérdida para diversas elecciones de b. En este ejemplo el verdadero valor es σ2 = 2, con la predicción devolatilidad en el rango entre 0 y 4, b = 0 y b = −2 corresponden a las funciones de pérdida MSE y QLIKE respectivamente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

Error de predicción (r2=2)

pérd

ida

Razón de pérdida desde errores de predicción negativos hasta errores de predicción positivos

b=1b=0.5b=0 (MSE)b=−0.5b=−1b=−2 (QLIKE)b=−5

Figura 2. La razón de pérdidas a partir de los errores de predicción negativos hasta los errores de predicción positivos, paradiversos valores de b. En este ejemplo, el verdadero valor es σ2 = 2, con la predicción de volatilidad en el rango entre 0 y 4, b = 0

y b = −2 corresponden a las funciones de pérdida MSE y QLIKE respectivamente.




3.1. Resultados de la regresión Mincer-ZarnowitzLas regresiones MZ son

σ̂2t = β0 + β1hit + eit

Proxy de VolatilidadRetornos cuadrados diarios Vol realizado 5-min

β̂0(s.e.)

2,13∗

(0,48)2,13∗

(0,40)

Rolling Window β̂1(s.e.)

0,55∗

(0,09)0,53∗

(0,07)χ2

2−stat 25,63∗ 43,86∗

β̂0(s.e.)

2,39∗

(0,46)2,43∗

(0,42)

RiskMetrics β̂1(s.e.)

0,550∗

(0,09)0,51∗

(0,09)χ2

2−stat 32,99∗ 35,93∗

Quedando claro que estamos comparando dos predicciones imperfectas

Jan94 Jan95 Jan96 Jan97 Jan98 Jan99 Jan00 Jan01 Jan02 Jan03 Dec030

5

10

15

20

25

30

35Predicciones de varianza condicional

Var

ianz

a co

ndic

iona

l

Rolling window a 60 díasRiskMetrics

Figura 3. Predicciones de varianza condicional para los retornos de IBM a partir de los modelos simples Rolling window - 60 díasy un RiskMetrics, Enero 1994 a Diciembre 2003.

En la siguiente tabla se presentan los estadísticos t de la prueba de Diebold y Mariano de precisión predictivapara una predicción Rolling Window a 60 días y una predicción RiskMetrics, para IBM sobre el periodo Enero1994 a Diciembre 2003. Un estadístico t mayor a 1.96 en valor absoluto indica un rechazo de la hipótesis nula deprecisión predictiva al 5% de nivel de significancia. Estos estadísticos son marcados con asterisco. El signo delestadístico t indica cual predicción performa mejor de entre las funciones de pérdida: un estadístico t positivoindica que la predicción Rolling window produce mas grandes perdidas promedio que la predicción RiskMetrics,mientras que un signo negativo indica lo contrario.

Estadístico t Proxy de volatilidadDiario 65 min. 15 min. 5 min.

Función de Pérdida Retornos al cuadrado Vol realizado Vol realizado Vol realizadob = 1 −1,58 −1,66 −1,30 −1,35b = 0 (MSE) −0,59 −0,88 −0,03 −0,13b = −1 1,30 1,04 1,65 −1,55b = −2 (QLIKE) 1,94 2,21∗ 2,73∗ 2,41∗

b = −5 −0,17 0,25 1,63 0,65




Bajo pérdidas QLIKE, Riskmetrics supera significativamente a las predicciones Rolling window.

Bajo pérdidas MSE, Rolling window supera débilmente a las predicciones Riskmetrics.

4. ConclusionesSe ha mostrado algunos de los problemas a los que se arriban cuando un proxy imperfecto es empleado paracomparar predicciones de volatilidad, extendiendo el trabajo de Andersen y Bollerslev (1998), Meddahi(2001) y Hansen y Lunde (2006).

• Proxies de volatilidad de mayor precisión han sido mostrados para aliviar estos problemas, pero nolo eliminan por completo.

Se ha presentado una condición necesaria y suficiente en la forma usada de las funciones de pérdida para lacomparación de predicción de volatilidad, descartando algunas funciones de pérdida previamente usadas.

• Una nueva familia paramétrica de funciones de pérdida ha sido propuesta, la cual contiene a MSE yQLIKE, y trabaja con proxies de volatilidad ruidosos.

5. Anexo5.1. Código Fuente

El código fuente desarrollado por Andrew Patton (Duke University), es un conjunto de archivos M quehacen uso del Toolbox Econometrics desarrollado por James P.LeSage (University of Toledo). Los archivos Mque replican las figuras del paper están organizados de la siguiente manera:

Script (1):

• robust_example_code.m: código que centraliza las invocaciones a las funciones que permiten replicarlos resultados empíricos y realizar las gráficas usando una familia robusta de funciones de pérdidapara la comparación de predicciones de volatilidad

Funciones (5):

• dates2.m: convierte fecha en formato vectorial• garchsimulate.m: simula una serie de tiempo GARCH(p,q)• nines.m: retorna una matriz con todos los elementos en -999.99.• nwest.m: calcula una Regresión de Minimos Cuadrados consistente Newey-West ajustado por hete-

roscedasticidad serial.• robust_loss_1.m: modela la familia paramétrica de funciones de pérdidas propuestas en el paper

Datos (1):

• robust_ibm_data_apr06.txt: contiene la base de datos de la serie para IBM

5.2. Fuentes de DescargaTodos los códigos desarrollados por Andrew Patton para la réplica del paper se encuentran en el archivocomprimido Patton_robust_loss_apr06.zip que puede ser descargado desde

http://public.econ.duke.edu/~ap172/Patton_robust_loss_apr06.zip

El Toolbox Econometrics desarrollado por James P.LeSage se encuentra en el archivo comprimido jplv7.zipque puede ser descargado desde

http://www.spatial-econometrics.com/html/jplv7.zip


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