Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de … · 2019-09-30 · Aspectos...

Fecha de recepción: Agosto de 2005/ Fecha de aceptación: Diciembre de 2005

Facultad de Matemáticas. Universidad Autónoma de Yucatán. Yucatán, México.

DME – Cinvestav - IPN. México. En estancia sabática en el Cimate – UAG. México (julio 2005-julio 2006).

Aspectos discursivos y gestuales asociados

a la noción de continuidad puntual

Eddie Aparicio1

Ricardo Cantoral2

RESUMEN

En este artículo se analizan las formas discursivas de descripción, exposición, narracióny argumentación, además de la gesticulación, que emplean estudiantes universitarios almomento de discurrir sobre la noción matemática de continuidad puntual de una funciónreal de variable real. De manera específica, consideramos la dimensión gestual de lasacciones de visualización a partir de un diseño experimental basado en la aproximaciónsocioepistemológica a la investigación en Matemática Educativa, que estima a losconocimientos matemáticos entre los estudiantes como el producto cultural de una seriede prácticas sociales ligadas a nociones matemáticas.

PALABRAS CLAVE : Discurso, continuidad puntual, socioepistemología,gesticulación.

ABSTRACT

In this paper the discursive forms of description, exposition, narration and argument areanalyzed, besides the gesticulation, that employ university students when they reflect onthe mathematical notion of punctual continuity of a real function of real variable. Weconsider the gestural dimension of the visualization actions from an experimental designbased on the socioepistemological approach to the research in Mathematics Education,that estimates to the mathematical knowledge among the students as the cultural productof a series of social practices connected with mathematical notions.

KEYWORDS: Speech, punctual continuity, socioepistemology, gesticulation.

RESUMO

Aqui são analisadas as formas discursivas de descrição, exposição, narração eargumentação, além da gesticulação, que os estudantes universitários empregam nomomento de discorrer sobre a noção matemática de continuidade pontual de uma função

Relime Vol. 9, Núm. 1, marzo, 2006, pp. 7-30.

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real de variável real. De maneira específica, consideramos a dimensão gestual dasações de visualização a partir de um traçado experimental baseado na aproximaçãosocioepistemológica da investigação em Educação Matemática, que estima aosconhecimentos matemáticos entre os estudantes como o produto cultural de uma sériede práticas sociais ligadas às noções matemáticas.

PALAVRAS CHAVE : Discurso, continuidade pontual, socioepistemologia,gesticulação.

RÉSUMÉ

Dans cet article sont analysées les formes discursives de description, exposition, narrationet argumentation, en plus de la gesticulation, qui sont employés par des étudiantsuniversitaires au moment de délibérer sur la notion mathématique de continuité ponctuelled’une fonction réelle de variable réelle. D’une façon spécifique, nous considérons ladimension gestuelle des actions de visualisation à partir d’une conception expérimentalebasée sur l’approximation socioéspistémologique à la recherche en Didactique desMathématiques, qui estime que les connaissances mathématiques entre les étudiantssont le produit culturel d’une série de pratiques sociales en rapport avec des notionsmathématiques.

MOTS CLÉS: Discours, continuité ponctuelle, socioépistémologie, gesticulation.

1. Introducción

Los recursos teóricos que ofrecen laEpistemología, la Psicología, la Didáctica yla Sociología cada vez han ido adquiriendomayor importancia en la construcción deexplicaciones, tanto en el proceso delaprendizaje matemático como en susmecanismos de enseñanza. Muestra de elloes que numerosos estudios han descrito losfenómenos de enseñanza y aprendizaje delas matemáticas a partir de la adopción dealgunas de estas posturas teóricas o de lasrelaciones que entre ellas se establecen.

Nuestra investigación se inscribe en laorientación de la Socioepistemología comoaproximación teórica, la cual busca explicar

fenómenos didácticos producidos en elcampo de las matemáticas a través delexamen del papel que juega la construcciónsocial del conocimiento bajo un enfoquesistémico. Este precisa de la incorporaciónde aspectos como la comunicación, labúsqueda de consensos, la construcción delenguajes o el diseño de herramientas parael estudio de dichos fenómenos.

En este sentido, a la luz de tal orientaciónteórica, ofrecemos una explicación de cómolas formas discursivas, y en especial elaspecto gesticulativo3 de las accionespuestas en funcionamiento por algunos

Entendemos al aspecto gesticulativo como una forma de comunicación cultural que sirve de enlace entre el significado

de un concepto «matemático» y la comunicación de las sensaciones, nociones e imágenes internas que de éste se

formen las personas. Es decir, lo gestual denota y precede al lenguaje escrito y a las representaciones.

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estudiantes universitarios al momento dediscutir sobre la noción de continuidadpuntual de una función real de variablereal, permite acceder a la construcción delconcepto matemático «continuidadpuntual».

En Aparicio y Cantoral (2003) se reconoceque el concepto de continuidad puntual yla estructura seguida en su enseñanzaparece que no forma una base adecuadaa partir de la cual sea posible construirsignificados asociados a la continuidadglobal, ya que la “extraña” noción defunción continua en un punto, contravieneel carácter apriorístico de la continuidadglobal. Esto es, contraviene la forma encómo los humanos perciben el cambiofísico en el estudio de fenómenos reales,el cual apuntamos, lo hacen en términosglobales, no los focalizan de manera local.De suerte que, al movimiento libre de lamano que se desplaza de un lado a otrosin cesar, se le concibe como trayectoriascontinuas descriptivas de su movimiento.La mano entonces, recorre todos lospuntos intermedios entre un extremo y elotro por su trayectoria… ¿cómo no habríade hacerlo? Asimismo, en la caída de loscuerpos, se piensa que pasan por todoslos puntos intermedios de su trayectoria.

El discurso matemático escolar y lapráctica educativa de aula han sidoconsideradas como una zona exenta decultura; de ahí que los conceptosmatemáticos se muestran desvinculadosde toda práctica social ligada a un procesode construcción de conocimiento. Laenseñanza de las matemáticas y lasinvestigaciones asociadas a esta, noconfieren -aun- la suficiente importancia alas relaciones emocionales y culturales enel tratamiento de los conceptos. Sinembargo, desde nuestro punto de vista, laconstrucción de un conocimiento

matemático necesariamente se encuentraunido a aspectos que rebasan la meraorganización teórica del contenido:aspectos epistemológicos, prácticassocioculturales, procesos avanzados delpensamiento, así como lo relacionado conel funcionamiento de una instituciónescolar.

La Socioepistemología plantea el examendel conocimiento matemático, social,histórico y culturalmente situado,problematizándolo a luz de lascircunstancias de su construcción ydifusión (Cantoral, 2001).

Bajo este razonamiento de la construcciónsocial del conocimiento, la noción decontinuidad puntual o funciones continuasen puntos ha estado en estrecha relacióncon la manera de concebir los conceptosde función y de continuidad, ya que se hadetectado que se han interpretado de dosmaneras: la primera, asociada a la nociónintuitiva de correspondencia de valores; lasegunda, como una expresión algebraicao fórmula (Ferraro, 2000). Sin embargo,dicha noción se vuelve protagónica hastaque se le logra concebir como unaexpresión algebraica o fórmula que hacecorresponder lo algebraico con logeométrico. En tal contexto de articulaciónse abre una problemática: el estudio de lanoción de función continua en un punto.

Dado que el concepto de función se haasociado a una expresión algebraica que,además, es “única”, convencionalmenterepresentada en forma geométrica por unacurva formada por puntos de trazocontinuo, se ve favorecida la percepciónglobal y se centra la atención en la formagráfica de las funciones. Los trabajo deFarfán y Hitt (1990) y Hitt (1994) reportanque, cuando se les pide a los profesores yalumnos que tracen las gráficas de las

9Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de continuidad puntual

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funciones, tienden a representar a aquellasfunciones con la propiedad de sercontinuas; Sierra, et al (2000) encuentraal aplicar un cuestionario a 145 alumnos,que el 45.6 % de ellos manifiestaproblemas en su entendimiento delconcepto de función continua, y señala quealgunos de ellos son el resultado de lapropia didáctica.

Para el diseño experimental usado ennuestra investigación, supusimos a lanoción de continuidad puntual como unaconsecuencia conceptual de ladiscontinuidad puntual, no de la nociónglobal de continuidad. Esto es,consideramos que la noción decontinuidad puntual se estabiliza entre losestudiantes sólo hasta que aparece comoun medio para evitar las discontinuidadesde orden puntual.

En una revisión histórica, de índoleepistemológica, hallamos que la percepciónde la continuidad global y los usos de ladiscontinuidad puntual preceden a ladefinición formal de la continuidad puntual.Ya que el concepto de continuidad tal y comoes conocido en la actualidad, se desarrollasistemáticamente hacia finales del siglodieciocho y comienzos del siglo diecinueveen Europa central. Al considerar los trabajosde destacados pensadores como Arbogast(1759 – 1803), Euler (1707 – 1783), Bolzano(1781 – 1848), Cauchy (1789 – 1857) yWeirstrass (1815 – 1897), observamos unalínea de razonamiento que sustenta nuestrahipótesis, aunque a Weirstrass se le atribuyehaber dotado a dicho concepto de unadefinición formal, conocida hoy día entérminos de la definición - (epsilon - delta).

Arbogast (1759 – 1803) distinguía dosformas en las que se podría perder lacontinuidad de una función:

Argumentaba que tal función no obedecíaa una ley de continuidad, es decir, a unapermanencia de la forma. Por tanto, estacurva la concebía como discontinua.

2. La discontigüidad de una curva erapreconcebida como la segunda forma enque se podría perder la continuidad.

Las funciones que expresaran este tipo decurvas serían luego entendidas comodiscontinuas (Figura 2).

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1. Él consideraba una función de tal formaque en el intervalo [A, B] estuviera dadapor una porción de una parábola, en el [B,C] por la de una elipse y en el [C, D] por lade una circunferencia (Figura 1).

Del mismo modo, Euler manifestó ciertasconcepciones sui géneris respecto alconcepto de función y de continuidad:

a function of a variable quantity isan analytical expression composedin whatever way of that variable andnumbers or constant quantities[citado en Ferraro, 2000].

Observemos que Euler estaba apreciandoa la función de la variable x, como unaexpresión singular o fórmula que conteníaa x como variable. Luego entonces, noconsideraba como funciones aexpresiones de la forma:

Visiblemente, hacia finales del siglo XVIIIla concepción sobre continuidad se notómás relacionada con la percepciónespacial de la noción de la gráfica de lafunción, esto es, la continuidad eraconcebida como una permanencia deforma. Un objeto era continuo si nomanifestaba interrupción alguna; en talsentido, una curva sería caracterizada pormedio de las conexiones o continuidadesde su trayectoria.

Consideremos, por ejemplo, a la función con k constante, y notemos

dos aspectos importantes. Por un lado,desde la óptica de Arbogast sería unafunción discontinua porque determina unacurva que tiene partes disjuntas (en elsentido moderno no lo es, y la razón sehalla en el dominio de definición de lafunción). Por otro lado, bajo la visióneuleriana y de la noción de función – unasola expresión algebraica –, tal expresióndebería corresponder a una curva continuao mixta debido a que en ese tiempo,quedaba de manifiesto que una funciónpodría ser representada geométricamente

f (x) =x,x < 0

x2, x ≥ 0

f (x) = k / x

por una curva, más no toda curva podríaser expresada por alguna función en formaanalítica. Así, la continuidad puntual surgecomo el resultado de las patologías de lacontinuidad global; es en este sentido que,tomando como base algunas de estasreflexiones, se discute con profundidad enAparicio (2003) algunos aspectosvinculados a los procesos de pensamientoderivados de la aplicación de una actividadexploratoria con estudiantes de ingeniería.

En la enseñanza actual, el hecho deasociar a la continuidad puntual la idea decontigüidad de curvas prevalece entre losestudiantes como una técnicadiscriminatoria. El estudio de Tall y Vinner(1981) muestra como el 100% de losestudiantes interrogados señala que lafunción corresponde a unafunción continua, mientras que el 78%indica que con , es unafunción discontinua. Esto lo derivan alobservar la representación gráfica de lasfunciones, con lo cual excluyen tanto eldominio de definición como a la definiciónmisma. De la misma forma, trabajos comolos de Azcarate y Delgado (1996) yBezuidenhout (2001) describen unafragilidad en el entendimiento de lacontinuidad puntual.

Al indagar en la forma cómo es introducidoy enseñado el concepto de continuidadpuntual en el sistema escolar, detectamosque en la enseñanza del cálculo, cuandose presenta la continuidad puntual, no sehace con base en la explicación de lanoción de discontinuidad puntual ni en lapercepción global de la continuidad –lacual, sostenemos, se encuentra de maneranatural en los razonamientosespontáneos–. Este tipo de tratamientoescolar genera dificultades al aprendizaje.Nuestra tesis entonces, consiste enaceptar que la noción de discontinuidadpuntual y la percepción global de la

f (x) = x2

f (x) =1 / x x ≠ 0


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continuidad global, deban anteceder altratamiento de la continuidad puntual. Paraello, es preciso que se desarrolle elpensamiento y lenguaje variacional entrelos estudiantes con respecto a la nociónde función continua en un punto, tantodesde el punto de vista de su pensamientocomo en las diversas formas derepresentación (Cantoral et al., 2000).

2. Fundamento teórico

En nuestro afán por reconocer y analizarlas diversas formas discursivas y el papelde lo gestual cuando los estudiantesdiscurren sobre la noción de continuidadpuntual, partiendo de la noción dediscontinuidad puntual y la percepción dela continuidad global, hicimos un recuentode las diversas corrientes teóricas sobreel discurso escolar. Así, notamos que lapsicología discursiva considera al hablacomo una acción situada en un contextodiscursivo que construye significados, larealidad e incluso, a la misma cognición(Candela, 2001). Cazden (1986) ve allenguaje como el medio que relaciona locognitivo con lo social, de tal forma quese comprende al desarrollo cognitivo ylingüístico como social y culturalmentecondicionados (Green, 1998; Hicks, 1995),mientras que en el campo de la semióticaresaltan los trabajos de Krees y Ogborn(1998) donde se estudia al lenguaje comouno de los modos que, en interacción conotras formas modales, permite conocer larepresentación de conocimientos yestados mentales y la comunicación encontextos educativos. Krees y Ogbornplantean que el papel que juega el discursoverbal – sea escrito o gráfico, o actitudinal–es cultural.

Desde nuestra postura teóricareconocemos que lo gestual es parte de

lo discursivo y por ende, lo consideramosen el estudio de la construcción delconocimiento matemático (Cantoral,Farfán, 2002). También entendemos a laescritura y al discurso como prácticaseminentemente sociales que permitenacceder y desarrollar conocimiento. Sinembargo, en las clases de matemáticastodavía no son suficientementeconsideradas las prácticas socialesligadas a la generación de aprendizajes ya la construcción de los conceptosmismos: se tiene así que la práctica deldiscurso “académico” desconoce lasbondades del discurso cotidiano. En elárea de las matemáticas se suelemantener la creencia de que en loseducandos se debe cultivar el desarrollode habilidades algorítmicas para laresolución de cierto tipo de problemasmatemáticos, dejando al margen eldesarrollo de la creatividad.

Algunos resultados que obtuvo nuestrogrupo de investigación señalan laposibilidad de cambiar la posición actualde la noción de continuidad puntual en losprogramas de estudio. Para ellorequeriríamos, por un lado, de renunciaral paradigma tradicionalmente seguido;por otro, de abandonar la postura queasume a la estructura conceptual en laenseñanza como inamovible, pues losconceptos elementales del cálculo y delanálisis matemático –la continuidadpuntual, por ejemplo– son vistos en sumayoría como consecuencia de unaaplicación impecable de las operacionescon límites.

En ámbito cognitivo, los trabajos sobre lasnociones y concepciones de los estudianteindican la dificultad de lograr, en el tiempoenmarcado por el sistema escolar, que losalumnos resignifiquen y conciban a lacontinuidad puntual como un objetomatemático debido a que, como menciona

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Cantoral (2000) los procesos delpensamiento y lenguaje variacional son losque demandan un periodo más prolongadoal que normalmente se da en un cursoestándar.

Respecto a la componente didáctica,hemos referido que la noción decontinuidad puntual descansa en ladefinición formal, que no parece constituiruna base adecuada de resignificación. Deahí que, para acceder al concepto decontinuidad puntual, es preciso el estudiode patologías que ponen en duda losfenómenos de continuidad global y delenfrentamiento con las discontinuidadesde orden puntual. La continuidad, encuanto proceso social, tiene la cualidad deser entendida como la permanencia deestado o un seguimiento no interrumpidode un determinado proceso, no solo comoel estudio local de ellos.

3. El escenario didáctico

La revisión histórica de carácterepistemológico que hicimos al concepto decontinuidad puntual, ofreció aspectosesenciales para nuestro diseñoexperimental, ya que partimos de lasuposición de que una explicación sobre laforma de pensar de los estudiantes, así comode sus errores más comunes, se puedehallar entendiendo cómo se argumentaba enotras épocas de la matemática. De tal modo,la idea básica manejada de nuestro diseñofue la elaboración y aplicación de unasecuencia de actividades didácticas quesupusiera a la percepción de la continuidadglobal y a los usos de la discontinuidadpuntual como precedentes a la definiciónformal de la continuidad puntual.

Para la realización e implementación denuestro diseño experimental, se pensó en

interactuar con estudiantes universitariosque hubieran tenido algún contacto previocon el concepto de continuidad, elegimosa ocho alumnos –cuatro mujeres y cuatrohombres– de Ingeniería en Mecatrónica,Telemática y Biónica, con base en losresultados de una actividad exploratoriaaplicada a 30 estudiantes de dichasespecialidades. El requisito básico para laselección consistió en tener un ciertoconocimiento de las funciones elementalesdel cálculo y un adecuado manejo sobresu representación gráfica; la edad de losalumnos oscilaba entre los 19 y 21 años.

En el desarrollo de la experimentaciónutilizamos papel, pizarrón y computadoracon una serie de actividades querecurriendo al software Sketchpad 4.0 degeometría dinámica, proyectamos en lapantalla de la computadora de acuerdo contres fases previamente diseñadas:preparación para la lectura de lasactividades, desarrollo de la secuencia einstitucionalización de los saberes.

La primera fase buscaba desarrollar lascompetencias necesarias entre losestudiantes para la adecuada lectura delas actividades planteadas. Por ello, sepresentó a los alumnos una secuencia deproyecciones que mostraban una gráficaconocida (la de la función cúbica) y laconsideración de tres puntos arbitrariossobre ella, al igual que las respectivassombras o proyecciones sobre los ejescoordenados. Finalmente, se revelaron lospuntos considerados sobre los ejespuestos de manera paralela –un ejeencima del otro–, en lo que ahondaremosmás adelante.

La segunda fase tuvo como propósito crearun escenario específico donde los alumnosdiscutieran la noción de continuidadpuntual a partir de la percepción global dela continuidad y la idea de discontinuidad


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puntual, mediante la explicitación deexpresiones funcionales asociadas a lasrepresentaciones dinámicas vistas en lapantalla de la computadora; aquí, seformaron equipos de cuatro integrantes.En la última fase se planteaba unadiscusión entre los miembros de los dosequipos y la coordinación del instructorsobre las conclusiones finales.

La consideración de dichas etapas nospermitió elegir un conjunto de variablescualitativas y cuantitativas pertinentespara la investigación. Enmarcamosdentro de las cual i tat ivas, loscomportamientos de los estudiantes, lostipos de discurso empleados –incluyendolo gestual– y los razonamientos. Mientrasque dentro de las cuantitativas, a losaspectos cruciales que dejaran ver aaparecer las formas discursivasapropiadas. Por ejemplo, el universo defunciones elementales que trabajamos,concretamente, las lineales, cuadráticasy cúbicas, además de algunas dadas en“trozos”, que devino tanto de nuestraaproximación teór ica como de lasrestricciones que provocó el softwareempleado. Este último tipo de variablesse constituyeron como independientesde tipo experimental o manipulado, yobedecieron a la intencionalidad de lasituación planteada.

El cuerpo de la secuencia didácticaestuvo formado por cuatro actividades enla pantalla de la computadora. Las dosprimeras iban destinadas al estudio dela noción de continuidad global, mediadopor las representaciones que involucranmovimientos y la exploración deexpresiones funcionales asociadas atales movimientos; las dos restantes, alestudio de la noción de discontinuidad ycontinuidad puntual, mediado por lapercepción visual de los “rompimientos”de las curvas.

De las primeras dos actividades, seesperaba que:

Los estudiantes transitaran por losmarcos algebraico, numérico ygeométrico respecto al concepto defunción y función continua en un punto.

Los estudiantes emplearan formasdiscursivas al momento de tratar lavelocidad asociada a los puntosrepresentados en la pantalla de lacomputadora.

La velocidad junto con la trazaconstituiría un hecho importante parael reconocimiento y predicción dealgunas propiedades específicas de lasfunciones tratadas.

Las otras dos actividades, como yamencionamos, se ocuparon del estudio dela noción de discontinuidad puntual, mediadopor la percepción visual de los “saltos” enciertas representaciones asociadas afunciones particulares. Aquí se esperabaque:

Las expresiones funcionalesasociadas a dichas representacionesdinámicas permitirían consolidar lasformas discursivas de losestudiantes, ligadas a las nociones decontinuidad global, discontinuidad ycontinuidad puntual.

Algunas nociones o concepciones nohabrían de manifestarse en esta fase,pero se esperaba que en la siguientevislumbraran a través de las formasdiscursivas que usaran losestudiantes.

De manera general, este fue el escenariopropuesto a los alumnos, en donde lasact ividades planteadas, exigían lanecesidad de cambiar y transi tar

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3. Se quitó la gráfica y se dejaron sólo lospuntos, a fin de mostrar más a fondo larelación entre los puntos de la gráfica y susrespectivas “sombras” (valores en los ejescoordenados).

4. Finalmente, se mostró la ubicación de lospuntos mediante sus sombras, de tal maneraque la posición de los puntos quedaradeterminada por la ubicación de sussombras (proyecciones) en los respectivosejes, mismos que se colocaronparalelamente (eje y sobre el eje x) en formasimilar a como fue presentado en la pantallade la computadora.

coherentemente entre los marcos derepresentación algebraico, geométrico,numérico y verbal. En lo sucesivo,mostraremos el desarrollo de la secuenciadidáctica, tratando de reproducir ciertosaspectos del planteamiento de lasactividades y el aspecto dinámico inmersoen ellas.

4. Resultados

Antes de exponer el desarrollo y resultadosde la experiencia, mencionaremos cómose hicieron y desarrollaron lasconsideraciones de la primera fase, dondese advertía sobre la lectura de lasactividades en la pantalla de lacomputadora. Esto lo haremosdescribiendo los cuatro pasos seguidos:

1. Iniciamos con la presentación entransparencias de la gráfica de la funcióncúbica en la manera habitual,es decir, sobre los ejes coordenados.

2. Se consideraron tres puntos sobre lagráfica (de manera secuencial, para unamejor apreciación visual).

Inmediatamente, se dió paso a larepresentación de dichos puntos en susrespectivas componentes, es decir,expresados mediante sus abscisas yordenadas en los ejes coordenados.

f (x) = x3


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AS

AR

Cuando hacemos un comentar iorespecto a un diálogo, lo expresamoscomo comentario del observador: yabajo consignamos nuestra observación.

Actividad 1. ¿Existe alguna función realde variable real asociada a lo que seobserva en la pantal la de lacomputadora?

Recordemos que los alumnos veían enla pantalla una animación, movimiento depuntos y su traza (línea gris, eje y y líneanegra, eje x) sobre el monitor.

1er. instante

2º. instante

Tras dicha actividad, los estudiantesestaban en posibilidades de interpretar lasimilitud de las representaciones que lesserían mostradas en la pantalla de lacomputadora.

A continuación, daremos a conocer loscódigos que util izamos en lastranscripciones y algunos segmentos deepisodios de aprendizaje, con el fin derecrear e identificar las formas discursivasutilizadas por los alumnos en torno a lasnociones de discontinuidad y decontinuidad puntual. En algunas partesconsideraremos a los dos equipos, enotras no. Al principio de cada episodio sepondrá el número de equipo referido.

Las letras del tipo AS al inicio de cadaintervención refieren al alumno queparticipa en el diálogo. Por ejemplo, conAS aludiremos a la alumna Susana.

El uso del diagonal / en un enunciado odiálogo denota interrupciones muy cortasde los alumnos, aproximadamente decinco segundos.

El uso del doble diagonal // denotainterrupciones superiores a cincosegundos

La aparición de ..., (dijo)..., en algunosdiálogos indica partes que fueron denuestro interés, pues hubo comentariosque no se relacionaron con el tema.

Los tres puntos entre paréntesis (...) queaparecen por lo regular en medio de unenunciado, denotan que en un diálogono fue posible escuchar con claridad loscomentarios.

El uso del corchete al inicio de cadadiálogo denota el habla simultánea de losparticipantes.

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3er. instante

4º. instante

Qué se dice y cómo se gesticulaEquipo 1

AR: El punto x es igual al punto y, entonces

Señala el movimiento de los puntos(negro y gris) repasando la línea quelos une, indicando la relación entrex & y.

AS: si, si

AP: si, aja

AS: o el punto x es igual al puntoy, entonces la gráfica será y=x,

Comentario del observador:

¿En qué se basaron para concluir eso?

f (x) = x

f (x) = f (y)

AR: Se mueven a la misma velocidad. Elmismo punto negro se proyecta en elmismo punto gris. La función es

AR ve detenidamente larepresentación en la pantalla ysimula el movimiento con susmanos y los puños cerrados.

AB:Forman las misma líneas paralelas.

Indica con la mano como se vanformando ambas líneas demanera simultánea, al mismotiempo.

AS: Podría ser también la función valorabsoluto.

Expresa lo dicho al tiempo queobserva la representación en lapantalla y hace ligerosmovimientos con las manos y conojos muy expresivos.

AR: Pues también, pero ahí solo va delorigen para allá por eso / Tendría quehaber un marco de referencia parapoder ubicarnos, pero así como está,podría ser las dos.

AP: Como dice él, si tuviéramos una líneaen medio que nos estuvierarepresentando un poco más demovimiento de lo que es el punto negro,que vendría siendo x y vemos entoncesque este, el gris, se va para el otro lado,entonces diríamos con exactitud que setrata de la función valor absoluto de x.

AP indica sobre la pantalla unalínea sobrepuesta a la línea negra,señala un punto sobre esta línea yde inmediato un puntocorrespondiente gris; mueve sumano de manera suave hacia ellado izquierdo de la línea gris.

f (x) = x


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AR: Como general es

Equipo 2

AO: Toca al mismo tiempo x & y… digamosque en el mismo valor y = x, porque, si no,se haría para allá o para acá, pero lo estátocando igual.

Esta alumna levanta la manoderecha en forma de cuchillo (manoabierta; dedos juntos) y la muevede izquierda a derecha e inclinaligeramente la mano, indicando másrapidez.

AL: En el uno quedan a la misma alturaexactamente, si tomamos un punto ylevantamos la perpendicular, entonceshallamos al punto y. La función queencontramos es y =x, es .

El alumno AL expresa con la manoderecha la toma de un punto y luegola levanta sobre ese puntoespeculativo de maneraperpendicular; finalmente, estandoarriba la mano, la desplaza demanera suave a lado izquierdo, sintocar la pantalla.

AF: Digamos que, en la misma proporción,lo que avanza x avanza y, por esomantienen ese carácter de perpendicular.

El alumno AF expresa proporcióncon los dedos pulgar e índicefijándolo un momento en el espacio.Luego los desplaza hacia laderecha de manera suave yempieza a expresar la condición deperpendicularidad con elmovimiento de la mano (dedosjuntos) de arriba hacia abajo. Elalumno AL expresa una especie depuntos con los dedos índice y pulgarde las manos, imitando un poco lo

f (x) = x

f (x) = x

de la pantalla y comienza a hacerun desplazamiento suave de un ladoa otro.

AO: Si, porque sí un valor fuera diferentese vería la variación, si, si...

Expresa con la palma de su manoderecha inclinaciones de diferentesgrados, de manera suave.

Pudimos observar durante el desarrollo yanálisis de esta actividad que losestudiantes hicieron uso de algunosrecursos gestuales (particularmente,ademanes), lo cual les permitió establecerrelaciones de su conocimiento matemáticocon lo observado en la pantalla de lacomputadora. Dicho aspecto gesticulativo,como se pretende dejar ver en los extractosanteriores, hizo posible que los alumnosno sólo pudieran referirse a una función através de su representación gestual, sinotambién, jugó un rol importante en lainteracción entre ellos, ya que enlazó lostipos de representación – icónico, verbal ygestual – de una función real de variablereal. En adelante iremos ahondando encómo los gestos ayudan a acceder a lamemoria y al lenguaje.

Asimismo, observamos que el uso de lasdistintas formas del discurso instaura, parael caso que nos ocupa, diversas manerasde emplear el lenguaje en la comunicaciónde mensajes <<matemáticos>>. Por tanto,las formas específicas del discurso –ladescripción, la exposición, la narración yla argumentación– necesariamente,implican que las personas conozcan ycompartan una misma cultura<<matemática>>.

Actividad 2 . En los tres hechos que venen su pantalla, uno está asociado a lafunción en un cierto intervalo.¿Cuál es? y ¿por qué?

f (x) = x2

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1er. instante 2º. instante

3 er. instante 4º. instante

Equipo 1

AS: Debería ser la de en medio. Porquevemos en un lapso (señala el tercerhecho) cuando viene aquí, cómo sedetiene y, x sigue aumentando y y sedetiene; luego sigue un intervalo.Entonces la x2 nunca se detiene y, en dosvalores iguales nunca deben ser iguales.

AS Señala el extremo izquierdo dela línea negra (eje x)

Intervención del observador:

Sí consideran que la función está definidade -2 a 2, ¿qué pueden decir?

AP: // Si llega aquí, por decir, es 2; siaplicamos la de x2, entonces es 4

Señala el extremo derecho de lalínea negra y luego indica con la

mano que el extremo derecho grisse saldría de la pantalla.

AR: // Entonces si es el segundo hechoporque en los dos extremos debe ser elmismo punto.

AB: // Bueno, si aquí fuera un cero (aludeal segundo hecho), se supone que arribatendría que ser cero… tendría que haberuna línea recta, ¿no? Y si te fijas por ahíhay un momento… bueno, se ve muyrápido, donde casi se hace recta.

AR: // El extremo derecho y el izquierdodeben ser el mismo punto para éste; a lamitad que debe ser cero, da cero, tomandoen cuenta que éste es cero y éste, cuatro.

Aquí, los alumnos”AP” y AS indicanel extremo derecho negro,correspondiente con el derecho gris(del segundo hecho), y el extremoizquierdo negro con el derecho gris.


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Con estas dos actividades, como yadijimos, se tenía la intención de generaren los estudiantes por un lado, unadiscusión sobre la noción de función bajoun esquema diferente al escolar, por otro,privilegiar la percepción global de lacontinuidad, dado que este tipo depercepción suponemos, resulta ser la másnatural para el ser humano.

En la segunda actividad, los alumnos sevieron en la necesidad de buscar y establecermarcos de referencia sobre lasrepresentaciones de la pantalla, a fin de quelo presentado pudiera ser traducido a unlenguaje matemático conocido y manejadopor ellos. Por ejemplo, empezaron a analizarla velocidad con la que se desplazan ambos

puntos, representando tal hecho con elmovimiento de sus manos. Operativamente,al trabajar de manera directa con sus manossobre la pantalla de la computadora,determinaron zonas claves en dichasrepresentaciones, con lo cual ampliaron ytransformaron la información extraída. Así,la representación de una función dejó de sersólo una gráfica, una expresión algebraicao alguna tabla de valores, ya que pasó a unestado icónico y gesticulativo. Estosúltimos fueron los facil itadores eintermediarios en el entendimiento delsaber matemático.

Actividad 3. ¿Existirá una función real devariable real que nos describa lo que semira en la pantalla?



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f (x) =x −1, x < 0

x, x > 0

un momento y vuelve a repetir elseñalamiento anterior, sólo queahora se nota que empieza aprofundizar sobre sus nociones opensamientos, mientras sus demáscompañeros siguen debatiendo.

AR: Hay que encontrar la primera línea grisy luego la segunda. La primera es f (x)=xhasta el punto x =0. Ahora, de cero a laizquierda pasa algo que convierte a lafunción.

Señala la mitad de la línea negra ydirige su dedo de formaperpendicular a la parte donde nohay línea gris. Al mismo tiempo,traza sobre la pantalla un ejecoordenado que tiene el punto decorte (origen) en la línea negradebajo del hueco de la gris.

AS: Es discontinua en cero

AR: Ajá, por eso, ¿cuál es? Va avanzandoa la misma velocidad, entonces no hayvariación de alguno que se vaya másrápido.

AB: Pero ahí se está saltando el origen, ¿no?

AR: // Entonces se va a sumar o a restaruna constante. ... (dijo) ..., Para ,x<0 , f(x)=x-1 y hay cumple, ¿no?

En este momento dicho alumnopara cerciorarse de lo que dice,empieza a trabajar en las hojas detrabajo, estableciendo la siguientefunción explicita.

No está determinado el menor igualpara que sea función. Si pertenecea las dos ya no sería función // noestá definida en cero [aquí se refierea que el valor cero, solo lo toma unade las partes de la función, perocomo no sabe a cuál, dice que no

Equipo1

AS: ¡Una función que describa elmovimiento de la línea gris y la línea negra!

La alumna AS se muestra pensativa,llevándose la mano derecha a lacara.

AR: Entonces f (x) = x hasta x = 0, suponiendoque el centro es el cero (se refiere al centrocomo a la mitad de la línea negra)

AS: Es como continuidad

AP: umm, discontinuidad

Sus rostros muestran un cierto

grado de seguridad en lo que dicen,

pero algo parece preocuparles.

AS: Pero es que allí hay una discontinuidad,¿no? Se supone que aquí y no tiene unvalor para x.

Señala el espacio donde dejapintarse la línea gris; su rostro indicaa los demás que ya tiene unarepuesta a su pregunta. Noobstante, también denota quepercibe algo que no es capaz deexplicar todavía.

AR: ¡No! Tiene dos valores para x, como lafunción de valor absoluto, es decir, se cortaeste mismo.

El alumno AR mira detenidamente larepresentación en la pantalla,tratando de mostrar unacorrespondencia en el huecoaunque no se vea.

AS: En el origen se corta.

Su rostro muestra que no solo estáviendo la pantalla, sino además estáhaciendo comparaciones: eso senota en la forma como observa. AP

señala la mitad de la línea negra yla hace corresponder con el huecode manera perpendicular. Se retira


Relime

f (x) =x − a, x < 0

x, x > 0

está definido o se queda indefinido,pero la función sí toma el valor cero,es decir, si está definida para talvalor].

Equipo 2

AO: Mira cómo aquí se va derecho y aquíse va... (indica la inclinación de la línea queune los puntos de la línea negra con la gris).

Teniendo el dedo índice en lapantalla de la computadora, señalael recorrido del punto de la línea gris,hasta antes del “rompimiento” einmediatamente, cuando pasa por ellugar donde deja de pintarse lalínea(el rompimiento), inclina lamano de manera suave continuandocon la imitación del recorrido.

AL: Tendría que ser una función definidaen dos partes.

Este alumno observa elcomportamiento de la línea gris einduce su conjetura, su rostrodenota una gran seguridad de lo quedice.

AO: Sí, ¿no?, no puede ser una sola, ¡yo digo!

AO: // Aquí y = x (señala la primera parte

de derecha a izquierda de la línea gris).

AF: ¡Pero fíjate!

AL: Varía en la misma proporción(para x>0 ).

AL: // Si se mantiene constante, le sumas(por partes)

Sería y no sabemos si

está abierto o cerrado.

En esta actividad, los estudiantescombinan expresiones verbales del ámbitocotidiano con locuciones propias dellenguaje matemático, a fin de referirse a la

noción de la no-continuidad de una funciónen algún valor específico de su dominio.Frases como “se corta”, “salta” y “brinca”,ligadas a las gesticulaciones de inclinacionesde la mano, los desplazamientos suaves yno suaves de la mano de un lado a otro, asícomo las indicaciones de perpendicularidadcon ademanes, tendieron a ser un medio deenlace entre un saber matemático y unaforma de comunicación particular. Lasexpresiones hechas por los estudiantesdieron muestra de las relaciones que seestablecen entre el contenido matemático(continuidad puntual) y el aspecto discursivo.También notamos que las formasdiscursivas, la exposición y el tipo denarración evocada permitió a los estudiantesexplicar y caracterizar un tipo decomportamiento asociado al conceptomatemático de función y función continua.

Nótese que, hasta esta fase del desarrollode la actividad, no se ha hecho necesariorecurrir al escenario escolar acostumbradopara discutir sobre las formas de cómo seconstruye un conocimiento matemático, nicuáles son las nociones y concepciones quelos estudiantes tienen sobre un determinadoconcepto (la continuidad de una función).Dicho de otro modo, suponemos que elplanteamiento de escenarios donde sepongan en juego aspectos gestuales,visuales y discursivos en torno a una noción,propicia el surgimiento de elementos deanálisis decisivos que permiten ampliar yreconocer ciertos procesos ligados alentendimiento de una noción. Por ejemplo,inferimos en que el proceso de visualizaciónpuede ser caracterizado mediante la formagestual ante una situación problema enparticular.

Actividad 4 . El siguiente hecho tieneasociado una función real de variable real.Determinen una posible representacióngráfica para ella y su expresión algebraica.

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Equipo 1

AR: No se puede definir exactamente, amenos que se tome como el origen.

La alumna AP indica los lugaresdonde se miran espacios en larepresentación. Señala el primerode derecha a izquierda y luego elsegundo para relacionar lo queobserva a algo con lo que deseacompararlo.

AS: Aquí es igual que la otra.

Se refiere a la primera parte de lalínea gris de derecha a izquierda.

AR: Viajan a la misma velocidad.

Está observando la pantalla. Sigueel movimiento y lo expresa a travésde su mano derecha, haciendo

inclinaciones donde la línea gris sedeja de pintar.

AS: Sí

AR: Entonces, nada más es incremento de

x y f (x)=x/, ¿verdad?

AS: Umm / de que hay incremento en f (x)sólo hay que aumentarle… ¿pero porquésería discontinua? Hay que ver porqué esdiscontinua en un punto.

AR: Por eso, para valores hasta un terciode la recta de x, hasta un tercio es x

[Entran en un debate para precisar y hacerexplicita la función. Para convencerse de querealmente hay una función real de variablereal, usan la variación de parámetros enfunciones f(x+c) ; f(x-c) ; f(x)+c ; f(x)-c paraajustar las gráficas]


Relime

Señala una parte de la línea negraque corresponde hasta antes delprimer rompimiento o la trayectoriade la línea gris, de derecha aizquierda.

[En estos momentos comienzan a trabajaren las hojas de trabajo, olvidándose pormomentos de la pantalla. La alumna AS

nota como el segmento de en medio de lalínea gris es más grande en longitud quelas otras de los extremos, lo cual le hacededucir que la parte de esa gráfica no pasapor el origen].

AR: ¡Conclusión! Sí existe una función yestá dada por partes.

Equipo 2

AO: Ups, se dio un brincote (alude a laprimera parte de la línea gris de derecha aizquierda). ¡Ahí son tres partes!

AF: Sí, está definida en tres (se refiere aque la función está dada en tres partes y,por tanto, se encuentra definida en tresintervalos distintos para x)

Mira detenidamente la pantalla yasocia algo semejante con loocurrido en la actividad anterior.

AL: Hay que ver dónde quedan iguales. Porejemplo, allí no es cero.

Indica a la mitad de la línea gris conrelación a la mitad de la línea negra,al tiempo que se está imaginandola parte de una gráfica lineal quetenga ese comportamiento en unintervalo semejante al que seobserva en la pantalla.

AO: ¿Pero dónde se cortan?

Parece que también asocia unarepresentación gráfica como en laactividad anterior, salvo que ahora nove por donde pasa el segmento de lagráfica, pues ya no es a la mitad

AL: Bueno, eso se puede quedar indefinido.

No siente la necesidad de encontrarun lugar o coordenadas explicitaspara el lugar o punto donde se cortala función.

/ No es abierto en ninguna parte, estádefinida para todo x; en el rango no estádefinido. En x está definido sólo por rangos,no tenemos porque eliminar ningún igual.La x, si te fijas, nunca se borra, lo cualindica que sí está definida, solo que tomaun valor, ya sea arriba o abajo.

Indica las partes negras donde hayhuecos correspondientes a laspartes gris donde se pierde latrayectoria.

AL: Es que fíjate en el dominio: no seborra la imagen (Habla sobre latrayectoria de la línea negra, tratando deexplicar que el punto del dominio o estáen una parte de la gráfica o en la otra;por eso, no hay partes abiertas). Sí seborrara la imagen (trayectoria), sítuviera un hueco como en el gris ,entonces quiere decir que para esepunto la función no está definida, notoma ese valor .

Esto lo hace señalando el primerextremo izquierdo gris con sucorrespondiente parte negra, demanera perpendicular.

AL: Debería borrarse x.

Indica que, en el puntocorrespondiente en la línea negraa las partes de los huecos en lal ínea gr is, debería borrarsetambién perpendicularmente unpunto de la línea negra para queindicara que ahí no está definidala función, es decir, “que el límitede la función en esos puntos noes igual a la función evaluada enesos puntos”.

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Las dos últimas actividades de lasecuencia didáctica permitieron a losalumnos, por un lado, romper con lapercepción global de la continuidad defunciones, como se puede notar en losparágrafos anteriores, lo cual se consiguemostrando simples rompimientos en lasrepresentaciones tratadas –ligadas aexpresiones funcionales–; por otro, se hizonecesario construir no sólo un lenguaje quepermitiera dar explicación a lasinterrogantes planteadas por el medio, sinotambién crear objetos intermediarios quefacilitaran y favorecieran el entendimientode las nociones.

Así, los alumnos tendieron a buscarinformación local, atribuyendo propiedadesa ciertas zonas donde, a su entender, sepodía efectuar algo semejante en lo queellos están experimentados. Elestablecimiento de marcos de referencia,como el valor cero en las funciones, yaspectos como la traza permanente en lalínea negra (eje x) y la interrumpida trazaen la línea gris (eje y) en una zonaespecífica, les dieron elementos de análisispara el estudio del comportamiento de lasfunciones tratadas.

5. Conclusiones

Este trabajo de investigación centró laatención en las formas discursivas y en elcarácter gesticulativo de las intervencionesde estudiantes universitarios ante procesosde interacción y construcción de unconocimiento matemático particular, el dela continuidad puntual de una función,dentro de un escenario de resignificación.Si bien es cierto que algunas disciplinashan intentando explicar el comportamientoy generación de conocimiento del serhumano a través del análisis de aspectoscomo el estado afectivo, las expresiones

discursivas y las corporales, también escierto que este tipo de aspectos, enparticular la incorporación de lo gestual, hasido escasa en el estudio de lasproblemáticas ligadas al proceso deenseñanza-aprendizaje de lasmatemáticas.

Nuestra experiencia didáctica, guiada bajoel marco socioepistemológico, nos permiteafirmar que sus resultados proporcionaninformación significativa sobre el aporte delaspecto gesticulativo en la resignificacióndel concepto de función continua en unpunto. Identificamos algunos elementos –como se ha mencionado en el apartadoanterior– que fueron esenciales en lasformulaciones de las repuestas de losestudiantes, tanto a nivel individual comogrupal; por ejemplo, notamos que laposibilidad de visualizar un conceptomatemático en una computadora y el actode visualización no se ven reducidos al usode una herramienta tecnológica. Ennuestra opinión, a juzgar por los resultadosobtenidos, la incidencia de la dimensióngestual es un medio que ofrece laposibilidad de articular las acciones devisualización de conceptos matemáticos,de manera que una representación en lapantalla de la computadora sólo permitefincar un escenario donde el estudiantehabrá de ampliar y generar nuevassignificaciones, más aun si dichasrepresentaciones son articuladas con logestual.

Nuestro diseño de secuencia ofrece unaalternativa de análisis en el estudio de lanoción de continuidad puntual. Sugiere quela comprensión de tal noción no sedesprende de su comprensión grupal, sino,de la idea de discontinuidad que pone enconflicto la continuidad puntual y laconsideración de las interacciones quereconoce además de elementosdiscursivos verbales los gestuales.


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Considérese como ejemplo, lasexpresiones lingüísticas de los estudiantesen las actividades 3 y 4; Es comocontinuidad; umm… discontinuidad; Esque fíjate en el dominio no se borra laimagen; Sí se borrara la imagen(trayectoria), sí tuviera un hueco como enel gris, entonces quiere decir que para esepunto la función no está definida, no tomaese valor.

Logramos mostrar que el enfrentamientode los estudiantes con la noción decontinuidad global y continuidad puntualles permitió, por un lado, generarargumentos de corte discursivomatemáticos; por otro, sentar la idea decontinuidad puntual. Entre los primeros, seencuentra el uso de la analogía, el recursode la metáfora y lo gestual comoantecedentes a los recursos matemáticos.Citemos los casos, aquellos donde losestudiantes util izaron expresioneslingüísticas como “salta”, “brinca”, “secorta” “no se borra” haciéndolasacompañar del aspecto gestual, parafinalmente asociarlas con un conocimientoescolar. Por tanto, ubicar a un estudianteen un escenario donde tenga la libertadde emplear expresiones discursivas ygestuales, de tal suerte que no se vearestringido a su dominio de saber escolar“condicionado”, va a permitir queresignifique y construya nocionesmatemáticas, al tiempo que surgenelementos de análisis para entender lasformas cómo se produce aprendizaje.

Desde nuestra perspectiva, los resultadosque obtuvimos en nuestra experienciadidáctica nos permiten señalar tres puntosimportantes:

1)Los obstáculos epistemológicos ycognitivos que pudieran estar ligadosal concepto de continuidad puntual–como la noción de función– pueden

ser superados si se proponenescenarios que ofrezcan libertad deexpresión al estudiante, en un sentidoamplio como el que aquí se propone.Consideremos las evidenciasreportadas en la literatura y que hemoscitado, donde se establece que uno delos problemas que enfrentan losestudiantes en su entendimiento de lanoción de continuidad puntual estárelacionado con la noción de función.Por nuestra parte, logramos identificarque los estudiantes no sólo puedensuperar dichos problemas –en caso depadecerlos– sino son capaces dereconocer a una función en diversasrepresentaciones y, a partir de ello,desarrollar competencias necesariaspara analizar la propiedad decontinuidad global y continuidadpuntual.

2)La información que ofrece un análisisde corte epistemológico y social sobrela construcción y desarrollo de unanoción matemática provee deelementos teóricos para el diseño desecuencias didácticas, las cuales vayanorientadas a la investigación de losproblemas que se asocian con lageneración y construcción deconocimiento matemático.

3)El análisis de la dimensión gestual enarticulación con lo discursivo asienta,por un lado, las acciones ligadas alproceso de visualización de losconceptos matemáticos; por otro,favorece el aprendizaje a partir de lasinteracciones establecidas entre losmiembros de un grupo y un saber a sercompartido.

4)Finalmente, aun cuando lainformación recolectada de maneraescrita o verbal ofrece elementos deanál is is para los aspectos que

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intervienen en la construcción de unconocimiento matemático, ademáspretendimos evidenciar que elaspecto gestual, como parte de lodiscursivo, también brinda elementospara el estudio de los procesosrelacionados con la generación delaprendizaje.

Asimismo, sostenemos que losconceptos matemáticos no deben serpresentados y estudiados como meras

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Relime

Eddie AparicioFacultad de MatemáticasUniversidad Autónoma de YucatánMéxico

E-mail: [email protected]

Ricardo CantoralDME- Cinvestav-IPNMéxico, D.F.

E-mail: [email protected]

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Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de … · 2019-09-30 · Aspectos...

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