ASL08

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Anlisis de Sistemas Lineales

Respuesta de un Sistema por

Transformada de Laplace

Ing. Rafael A. Daz Chacn

ASL/RAD/2001

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Representacin General

ASL/RAD/2001

Sistema Lineal e

n!ariante en Tiempo"LT#

xt! L"xt!#$%s!

$n %eneral

&"t# ' "("t##

Al aplicar Transformada de LaplaceL,a esta ecuacin

)ueda *"s#'L+"("t##, entonces el o-.eti!o es estudiar esa

ecuacin en el plano s

&t! L"&t!#$'s!

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Definicin de Transformada de Laplace

ASL/RAD/2001



#"#"

2

1#"

LaplacedelnilateradaTransformaantila&

#"#"#"

LaplacedelnilateradaTransformaladefinesemanerai%ualDe

#"#"2

1#"

aserLaplacedeilateraldaTransformaantila)uemientras

#"#"#"

aserLaplacedeilateraldaTransformasu#"nofunciunaDada

0

sXdsesX

j

tx

dtetxsXtx

sXdsesXj

tx

dtetxsXtx

tx

U

j

j

st

U

st

U

B

j

j

st

B

st

B

=

=

=

=

+

+

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ropiedades de nter3s

ASL/RAD/2001



Se usara el operador para denotar la transformacion

mientras )ue el operador se usara para denotar la anti transformacion

Al%unas propiedades de interes seran

1# Linealidad

2# Despla4amiento en Tiempo

5# Despla4amiento en 6recuencia

" # + " #,

" # + " #,

+ 7 " # 7 " #, 7 " # 7 " #

+ " # " #, " #

+

L

X s L x t

L

x t L X s

L a x t b x t a X s b X s

L x t u t e X s

L e

U

U

s

at

=

=

+ = +

= >

1

1

1 2 1 2

0

x t X s a

L x at

a

Xs

a

" #, " #

+ " #,

=

=

8# $scalamiento en Tiempo & 6recuencia

1

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ASL/RAD/2001



9# Diferenciacion en Tiempo

particularmente

" #7 " # " #

" #" # " # " # :::

" #

" #" # " # " #

" #

Ldx t

dt s X s x

Ld x t

dt

s X s s x s xd x t

dt

Ld x t

dt s X s sx x

L

d x t

dt s

n

n

n n n

n

n

t

=

=

=

=

=

0

0 0

0 0

1 2

1

1

0

2

2

2

5

5

5

{ }

{ }

X s s x sx x

L x dX s

s

L x dX s

s x d

t

t

" # " # " # " #

" #" #

" #" #

" #

=

= +

2

0

0

0 0 0

;# nte%racion en Tiempo

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ASL/RAD/2001



{ }

{ }

{ } { }

{ }

# ?on!olucion en Tiempo

10# ?on!olucion en 6recuencia

" #" #

" # " #

" #

" #" #

" # " # " # " # " # " #

" # " # " " #

L tx tdX s

ds

L t x t

d X s

ds

Lx t

t X u du

L x t x t L x x t d X s X s

L x t x tj

X s X

n n

n

n

s

=

=

=

= =

=

1

1

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 21

2" ## " # " #s

j X u X s u du

c j

c j

=

+

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Al%unos pares Transformados de nter3s

ASL/RAD/2001



1

2

5

8

9

0

2 2

2 2

0# " #

# " #

# " #

# cos" # " #

# sen" # " #

A t t Ae

Au tA

s

Ae u tA

s

A t u tAs

s

A t u tA

s

st

t

+

+

+

;

2

2 2

2 2

2

25

# cos" # " #" #

" #

# sen" # " #" #

# " #

# " #" #

Ae t u tA s

s

Ae t u tA

s

Atu tA

s

At e u t As

t

t

t

++ +

+ +

+

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@3todos de AntiTransformacin de Laplace

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1# nte%racin en el campo comple.o:2# dentificacin en una ta-la de Transformadas:

2A# $(pansin en 6racciones arciales:

2# $!aluacin de Residuos:

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Teoremas de alor nicial & alor 6inal

ASL/RAD/2001



1# Teorema del alor nicial:

SiL+("t#,'B"s# entonces ("0C# '

2# Teorema del alor 6inal:

SiL+("t#,'B"s# entonces

lim sX ss " #

lim x t lim sX st s =" # " #0

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Solucin de $cuaciones Diferenciales

ASL/RAD/2001



dy

dt ay x t

sY s y aY s X s

Y

Y sX s y

s a

y t L X s ys a

L X ss a

y Ls a

y t x

+ =

+ =

= +

+

= ++

=

+

++

=

" #

" # " #E " # " #

" #" # " #

" # " # " # " # " #

" #

aplicando Transformada de Laplace a am-os lados

la ecuacion diferencial se Fa con!ertido en una ecuacion al%e-raica

despe.ando "s#

entonces al aplicar anti Transformada

0

0

0 0 11 1 1

" # " #

7t e y eat at + 0i%ual solucion a la encontrada al resol!er la ecuacion diferencial

por metodos analiticos

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Solucin de $cuaciones Diferenciales

ASL/RAD/2001



A partir de la solucion en el plano s

si se conoce " # por e.emplo '

de donde

" #" # " #

" # + " #,

" #" # " #

" #" #

" # " # " #

Y sX s y

s a

X s X ss

L u t

y t LX s y

s a L

s s a y L

s a

y t LC

s

D

s a y e u t

C=a

at

= +

+

=

= +

+

=

+

++

= ++

+

0

1

0 10

1

0

1

1 1 1

1

( )

( )

" # " # " # " # " # " # " #

" # " " ## " #

sustitu&endo

D=a

y ta

Ls s a

y e u t a

u t e u t y e u t

y ta

ay e u t

at at at

at

= +

+ = +

=

1

1 1 10

10

11 1 0

1

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Solucin de $cuaciones Diferenciales "e.emplo#

ASL/RAD/2001



La ecuacion diferencial del sistema sera

se puede escri-ir como

aplicando Transformada de Laplace

&a )ue "0 # ' 9 se o-tiene

aplicando anti transformada de Laplace

: 7" #

" # " #

" # 7 " # " #

" # " # " #

" #

" 7 # " #

0 2 100

9 900

0 9900

9009

9

100 >9 9

dv t

dt v t u t

dv tdt

v t u t

sV s v V ss

v

V s = s

s

v(t)= e u t t

+ =

+ =

+ =

+

+

C

100 !

R' 1 @

C

?' 0:2 6

9 !

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Solucin de $cuaciones Diferenciales "otro e.emplo#

ASL/RAD/2001



La ecuacion diferencial del sistema

en terminos de la corriente " # sera

aplicando Transformada de Laplace se o-tiene

sustitu&endo los datos del pro-lema

aplicando anti transformada de Laplace

" #" # " # " #

" #" # " #

" #

" #" #" #

"

i t

Ldi t

dt Ri t

C i d v t

I sV s Li

v

s

R LsCs

I s =s

s s x

s x

s s x

i(t)= e

t

c

t

+ + =

=+

+ +

++ +

= ++ +

1

00

1

;000

9000 8 10

; 10

10 8 10

9

5

2

2 ;

5

5 5

1000

58000e u tt # " #

C

100 !

R' 90

C

?' 29 6!c"0

#

t'0C

L' 10 mH

i"t#

?ondiciones iniciales

!c"0# ' 80 !

i"0

# ' 1 A

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ASL/RAD/2001



n sistema )ue esta inicialmente en reposo

se e(plica por la ecuacion diferencial

se aplica una seIal

Hallar la respuesta a esta e(citacion:

Aplicando Transformada de Laplace

" # " # " #" # " #

" # " #

" # " #

" #" #" # " #" #"

d y t

dt

d y t

dt

dy t

dt

y t x t

en t x t e u t

s s s Y s s

Y ss s s s s s

t

5

5

2

2

5

5 2

5 2

= 5< 90

0 8

= 5< 90

8

5

8

5 = 5< 90

8

5 2

+ + + =

= =

+ + + = +

=+ + + +

=+ +

s s

Y sA

s

B

s

Cs D

s s

2

2

; 29

5 2 ; 29

+ +

=

+

+

+

+ +

+ +

#

" #

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ASL/RAD/2001



Resol!iendo para conocer estas constantes resulta

aplicando anti Transformada

A B C D

y t L Y s LA

s

B

s

Cs D

s s

y t Ae u t Be u t LCs

s s L

D

s

y t Ae u

t t

t

= = = =

= =+

++

+ ++ +

= + ++ + +

++ +

=

1

8

8

1

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