Grfico de funciones a partir de asntotas

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Definicin: Una funcin racional f tiene la forma

Donde g (x) y h (x) son funciones polinmicas.

El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales excepto los valores de x que hacen

que el denominador h (x) a cero.

En lo que sigue, suponemos que g (x) y h (x) no tienen factores comunes.

Asntotas verticales.

Dejar:

El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace

que el denominador y la divisin por cero no est permitido en las matemticas. Sin embargo,

podemos tratar de averiguar cmo la grfica de f se comporta cerca de 3.

Vamos a evaluar la funcin f en los valores de x cerca de 3 tal que x 3.

x 5 4 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 3,00001

f (x) 1 2. 4 10 20 200 2000 2 * 10 5

La grfica de f se muestra a continuacin.

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Notas

1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin

lmite.

2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin lmite.

Decimos que la recta x = 3, lnea quebrada, es la asntota vertical de la grfica de f.

En general, la lnea x = a es una asntota vertical de la grfica de f si f (x) aumenta o disminuye

sin lmite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito

como:

Horizontal asntotas

Dejar

1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).

x 1 10 10 3 10 6

f (x) 3 2.1 2,001 2,000001

2 - Sea x disminucin y encontrar los valores de f (x).

x -1 -10 -10 3 -10 6

f (x) 1 1,9 1,999 1,999999

Como | x | aumenta, el numerador est dominado por el trmino 2x y el numerador slo tiene

un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Vase el comportamiento

grfico de abajo.

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En general, la recta y = b es una asntota horizontal para la grfica de f si f (x) se aproxima a

una constante b como x aumenta o disminuye sin lmite.

Cmo encontrar la asntota horizontal?

Sea f una funcin racional se define de la siguiente manera

Teorema

m es el grado del polinomio en el numerador y n es el grado del polinomio en el numerador.

Caso 1: Para m

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muestran en la tabla siguiente:

x 1 2 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,99999

f (x) -1 -2 -4 -10 -20 -200 -2000 -2 * 10 5

Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.

x 5 4 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 3,00001

f (x) 1 2. 4 10 20 200 2000 2 * 10 5

La grfica de f se muestra a continuacin.

Notas

1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin

lmite.

2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin lmite.

Decimos que la recta x = 3, lnea quebrada, es la asntota vertical de la grfica de f.

En general, la lnea x = a es una asntota vertical de la grfica de f si f (x) aumenta o

disminuye sin lmite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por

escrito como:

Horizontal asntotas

Dejar

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1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).

x 1 10 10 3 10 6

f (x) 3 2.1 2,001 2,000001

2 - Sea x disminucin y encontrar los valores de f (x).

x -1 -10 -10 3 -10 6

f (x) 1 1,9 1,999 1,999999

Como | x | aumenta, el numerador est dominado por el trmino 2x y el numerador slo tiene

un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Vase el comportamiento

grfico de abajo.

En general, la recta y = b es una asntota horizontal para la grfica de f si f (x) se aproxima a

una constante b como x aumenta o disminuye sin lmite.

Cmo encontrar la asntota horizontal?

Sea f una funcin racional se define de la siguiente manera

Teorema

m es el grado del polinomio en el numerador y n es el grado del polinomio en el numerador.

Caso 1: Para m n, no hay asntota horizontal.

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Ejemplo 1: Sea f una funcin racional definida por

a - Encontrar el dominio de f.

Encuentra la x , y intercepta de la grfica de f.

c - Encuentre las asntotas vertical y horizontal para la grfica de f si los hay.

d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la grfica de la funcin

f.

Respuesta a la Ejemplo 1

a - El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales excepto x = 1, ya que este valor

de x cero hace que el denominador.

b - La x intercepte se encuentra por la solucin de f (x) = 0 x +1 = 0. x La interseccin est

en el punto (-1, 0).

La interseccin est en el punto (0, f (0)) = (0, -1).

c - La asntota vertical est dada por el cero en el denominador x = 1.

El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el

teorema anterior, la asntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1

e - Aunque las partes a, b y c dan informacin importante sobre la grfica de f, todava

tenemos que construir una tabla de seal para la funcin f con el fin de ser capaz de dibujar

con facilidad.

El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la

tabla de signo, se procede como en la solucin de las desigualdades racionales. Los ceros del

numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la lnea nmero real en 3 intervalos:

(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).

Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).

En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.

En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1

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En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.

Vamos a poner toda la informacin acerca de f en una tabla.

x - Inf -1

1 + Inf

f (x) +

0

x-

intercepta

-- AV +

En el cuadro anterior significa VA asntota vertical.

Para dibujar la grfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asntotas

verticales y horizontales en las lneas rotas. Vase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la grfica de f a partir de la izquierda.

En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el grfico est por encima del eje

x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es

una asntota horizontal: la grfica de f est cerca de la lnea de la izquierda. Vase el croquis.

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Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la grfica de f est por debajo del eje x. (0, -1

interseccin) es ay y x = 1 es una asntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x)

Difuntos sin lmite porque f (x) 1, f (x)> 0 por lo tanto, el grfico est por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1

por la derecha, la grfica de f aumenta sin lmite (f (x)> 0). Tambin a medida que aumenta x,

la grfica de f enfoques y = 1, la asntota horizontal. Vase el croquis.

Ahora ponemos todas las "piezas" de la grfica de f en conjunto para obtener la grfica de f.

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Igualados Problema: Sea f una funcin racional definida por

f (x) = (-x + 2) / (x + 4)

a - Encontrar el dominio de f.

Encuentra la x , y intercepta de la grfica de f.

c - Encuentre las asntotas vertical y horizontal para la grfica de f si los hay.

d - Utiliza tus respuestas a las partes A, B y C por encima de para trazar la grfica de la funcin

f.