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ESTADISTICA Y PROBABILIDAD I

ASESORIA N° 1

1. Para cierta región se conoce que el 15% de los créditos otorgados por la financiera A tienen al

menos una cuota de pago vencida y que los montos (en decenas de miles de dólares) de los

créditos otorgados por dicha financiera tienen una distribución normal con una media de 5.56 y

una variancia de 9. Del mismo modo, para otra región se conoce que el 24% de los créditos

aprobados por la financiera B tienen al menos una cuota de pago vencida y que los montos (en

decenas de miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha financiera tienen una

distribución exponencial con parámetro 5.

Los directivos de ambas financieras sostienen que los créditos por montos menores a 50000

dólares tienen una menor probabilidad de atrasos en los compromisos de pago.

Por otro lado, también se conoce que la financiera A ha otorgado un total de 800 créditos,

mientras que la financiera B ha otorgado un total de 1200 créditos.

a) Si se eligen al azar y sin reemplazo 10 créditos otorgados por la financiera A, halle la

probabilidad que el monto promedio de la muestra supere a la media de su distribución en

no más de 1500 dólares.

b) Si se eligen al azar y sin reemplazo 32 créditos otorgados por la financiera A y 26

créditos otorgados por la financiera B, halle la probabilidad que en al menos una de las

muestras se tenga que el porcentaje de créditos con cuotas de pago vencidas supere a su

media poblacional en al menos 0.04.

c) Si para cada financiera se seleccionan al azar y sin reemplazo 40 créditos, halle la

probabilidad que la proporción de créditos por montos superiores 60000 dólares de la

muestra de la financiera A supere a la correspondiente proporción de la muestra de la

financiera B en no más de 0.05.

d) Si se eligen al azar y con reemplazo 40 créditos otorgados por la financiera B, halle la

probabilidad que la proporción de créditos con cuotas de pago vencidas difiera de la

media de su distribución en al menos 0.03.

e) Si se seleccionan al azar y sin reemplazo 5 muestras de 16 créditos otorgados por la

financiera A, halle la probabilidad que en no más de tres de las muestras se tenga que el

monto promedio de los créditos de la muestra sea inferior de 80000 dólares.

2. La longitud de cierta pieza fabricados por la máquina A de una fábrica tiene una distribución

normal con una media de 2 pulgadas y desviación estándar de 0.05, y la longitud de los

fabricados por la máquina B tienen también una distribución normal con una media de 2.05 y

desviación estándar de 0.06.

a) Los pernos producidos pasan por un control de calidad en donde se rechazan los pernos

menores de 1.9 pulgadas y los mayores de 2.1 pulgadas. Si se selecciona aleatoriamente un

perno producido por la máquina A de los que pasaron el control, ¿cuál es la probabilidad de

que tenga una longitud inferior a las 1.98 pulgadas?

b) Si se selecciona una muestra aleatoria de 10 pernos producidos por la máquina A y 12 por la

máquina B, ¿cuál es la probabilidad de que la longitud promedio de los producidos por B

supere a la de los producidos por A en más de 0.02 pulgadas?

2

3. Un lote de 500 cajas de galletas tienen un peso medio de 5.02 kg y una desviación estándar de

0.3 kg; se extraen una muestra al azar sin reemplazo de 100 cajas del lote. ¿Cuál es la

probabilidad que tenga un peso medio:

a) Entre 4.96 y 5.00 kg?

b) Superior a 5.10 kg?

4. El número de clientes por semana en cada tienda de una cadena de autoservicio tiene una

distribución normal con una media poblacional de 5000 clientes y una desviación estándar de

500. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 tiendas:

a) ¿Cuál es la probabilidad que la media muestral sea inferior a 5075 clientes por semana?

b) ¿Dentro de qué límites se puede tener la certeza que caerá el 95% de la media muestral

alrededor de la media poblacional?

5. La vida útil de cierto dispositivo, está distribuida según la siguiente función de densidad:

01000

1)( 1000/ xexf x 1

Si se extrae una muestra con reemplazo de tamaño 100, ¿cuál es la probabilidad de que la

duración promedio de la muestra sea a lo más de 1100 horas?

6. Suponga que una variable aleatoria: x se distribuye exponencialmente con parámetro 1.0 .

¿Cuántas observaciones se debe hacer para afirmar con un 95% de probabilidad que la media

muestral sea mayor que 8?

7. Dos marcas de focos A y B tienen una vida distribuidas normalmente con media de 1400 y

desviación estándar de 200 horas para A, y una media de 2000 y desviación estándar de 250

horas para B. Si se selecciona 4 focos de cada marca y se prueba su durabilidad, ¿cuál es la

probabilidad que la vida media de los focos de marca A sea mayor que la vida media de los de la

marca B?

8. Se sabe que las ventas diarias de las tiendas A y B se distribuyen normalmente con medias: 55 y

50 soles y desviaciones estándares: 12 y 15 soles respectivamente.

a) Si se observan las ventas de la tienda A en una semana, ¿cuál es la probabilidad que la venta

media sea de por lo menos 60 soles?

b) Si se observan las ventas de 36 días de la tienda B, ¿cuál es la probabilidad de que la venta

poblacional sea menor que la venta media de la muestra en a lo más 10 soles?

c) Si se registran las ventas en 20 días en A y en B. ¿Cuál es la probabilidad que las ventas

promedios de A difieran de las de B en más de 5 soles?.

9. Una empaquetadora produce un 4% de empaquetados defectuosos. Para mantener bajo control

este proceso, se revisa provisionalmente una muestra de artículos empaquetados por esta

máquina, si el porcentaje de defectuosos es por lo menos del 5% la producción se detiene. Al

revisar una muestra de 400 artículos, halle la probabilidad de que la máquina se detenga.

10. En un proceso de fabricación la producción diaria de artículos son almacenados en cajas de 15

unidades. Suponga que una caja contiene 3 artículos defectuosos. Si se toma al azar 4 artículos

por caja para su revisión. ¿Cuál es la probabilidad que al menos se seleccione un artículo

defectuoso?.

3

11. Si el 75% de la población de cierta ciudad está a favor de cierto candidato y el 5% está indeciso.

Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes en esa ciudad ¿cuál es la probabilidad que

el porcentaje muestral de votantes a favor sea mayor al 80%.?

12. Un estante tienen un archivador que contiene 5 archivos, la proporción de los que tienen una

parte llenada incorrecta es 1/5. Si se toma una muestra aleatoria sin y con reemplazo de 3

archivos. Hallar la probabilidad que la proporción de la muestra sea 1/3.

13. De un colegio de Lima se conoce que de 560 estudiantes, 320 son mujeres. Si se toma una

muestra aleatoria de 100 estudiantes, halle la probabilidad que la proporción muestral de

estudiantes varones sea superior a 0.6

14. Con base en datos pasado, el 30% de las compras con tarjeta de crédito en una tienda muy

conocida son por cantidades superiores a 100 dólares. Si se seleccionan muestras aleatorias de

100 compras:

a) ¿Qué proporción de las muestras es posible que tengan entre 20% y 30% de compras

mayores que 100 dólares?

b) Dentro de qué límites centrados en el porcentaje de la población caerá el 95% de los

porcentajes de la muestra?

15. En cierto distrito existen 8000 personas adultas, donde diariamente el 20% compran un

determinado periódico. Si se elige una muestra aleatoria de 100 personas, hallar la probabilidad

de que la proporción muestral de personas que compran diariamente el periódico sea mayor del

17%.

16. Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que la proporción de artículos

defectuosos producidos por A es de 0.06 y por B es de 0.04. Además diariamente la máquina A

produce un total de 800 artículos y la máquina B de 1200 artículos.

a) Si se obtiene una muestra aleatoria de 50 artículos para cada una de las máquinas, halle la

probabilidad que la proporción de defectuosos de la muestra A sea superior a la

proporción de defectuosos de la muestra de la máquina B en más de 0.01.

b) Halle la misma probabilidad solicitada en (a), considerando un muestro con reposición.

17. Suponga que X, la resistencia a la ruptura de una cuerda (en libras), tiene una distribución

N(100, 16).Si se extrae una muestra de 6 cuerdas, calcule:

4.19

1

)( 2

n

xxP

i

18. Considerando una muestra aleatoria de tamaño 21 extraída de una población normal, hallar el

valor de K tal que:

3.086.0 P P

n

s

xKn

s

x

19. Sean las variables aleatorias z y w con las siguientes distribuciones de probabilidad: z 2

2 , w

2

12 . Hallar a y b si: 04.011

bw

z

aP y 99.0

1

bw

zP

4

20. Suponga que la distribución de pesos de las bolsas de café molido de la marca A es normal con

media 228 gr y desviación estándar de 10 gr. Para bolsas de café de la marca B, la distribución

de pesos también es normal con media 232 gramos y desviación estándar de 12 gr. Las dos

marcas se venden a los establecimientos en cajas de 60 bolsas. Si se seleccionan al azar una caja

de la marca A y 80 cajas de la marca B, y se establece:

144

60)232(

100

60)228(

80

1

2

22

1

j

jxx

R Determine la distribución de R.

21. En el siglo XVI se realizó en Alemania el siguiente experimento para llegar a una medida del

“pie”. Un domingo cualquiera se midió a cada uno de los n primeros hombres que llegaron a la

iglesia la longitud de su pie izquierdo. Después de este experimento a la longitud media que se

obtuvo se le denomino “pie legal”. Suponga que la longitud media del pie izquierdo de un

hombre adulto en Alemania era µ y la desviación típica 12 mm. ¿A cuántos hombres se debería

medir el pie izquierdo para que, con probabilidad 0,95, la dimensión media de sus pies difiera de

µ en menos de 0,5 mm.?

22. Se sabe que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una empresa son defectuosos. ¿De qué

tamaño conviene tomar una muestra para que la proporción estimado de defectuosos no difiera

de la verdadera proporción en más de 0.05, con una probabilidad del 90%?

23. Se conoce que X1~N(40,25), X2~N(50,36), X3~N(45,25) y X4~N(30,16) mutuamente

independientes.

a) Determine los valores de a y b, si se toma una muestra de n1=14 de x1 y n3=16 de x3, si:

01.0;98.01

2

1

2

3

2

3

2

1

b

s

sPb

s

s

aP

b) Si n2=20 y n4=18, halle:

18

1

2

4

20

1

2

2 )84.345)()450)50(j

j

j

j xxxp

24. Dos compañías A y B fabrican cierto componente. La duración para los fabricados por A tiene

una desviación típica de 40 horas en tanto que la duración de los fabricados por B tienen una

desviación típica de 50 horas. Se toma una muestra de 8 componentes de A y 16 de B. Hallar la

probabilidad que la varianza de la primera muestra sea a lo más el doble de la segunda.

25. Considere el ejercicio (45) en donde además la duración media de los componentes fabricados

por A es de 1500 horas y de B es de 2000 horas. Si se toma muestras de 9 unidades en cada

máquina. Halle la probabilidad que por lo menos una media muestral difiera de su media

poblacional en más de 45 horas

5

26. Dos muestras aleatorias de tamaños n1=21 y n2=10 se extraen de dos poblaciones normales

homocedásticas, encuentre la probabilidad que s1<0.537s2

27. Si de una población normal con media desconocida y varianza igual a 9 se extrae una muestra

aleatoria de tamaño 13. Hallar K tal que: 98.0)( 213

1

kxxPi

i

28. En una fábrica se sabe por experiencia que el tiempo de trabajo promedio en un artículo con el torno

existente (A) se distribuye normalmente con una media de 38.6 min y una desviación estándar de

13.8 min. Asimismo se sabe que el tiempo de trabajo promedio por artículo con el nuevo torno (B)

se distribuye normalmente con una media de 33.5 min y una desviación estándar de 14.1 min.

a) Si se selecciona un artículo trabajado por el torno A, ¿cuál es la probabilidad que el tiempo empleado

difiera de la media de su distribución en por lo menos 10 min?

b) Si se selecciona una muestra de 4 artículos trabajados por el torno A, ¿cuál es la probabilidad que al

menos uno haya requerido un tiempo empleado de más de 38 min.?

c) En general se sabe que la producción promedio de la fábrica es de un artículo cada 15 minutos, ¿cuál

es la probabilidad que en una hora se produzcan más de un artículo?.

d) Se selecciona una muestra aleatoria de 40 artículos trabajados por el torno A, ¿cuál es la probabilidad

que el tiempo medio empleado de la muestra sea mayor de 35 min?

e) Se seleccionan dos muestras aleatorias e independientes de 40 artículos trabajados por cada torno,

¿cuál es la probabilidad que el tiempo medio por artículo empleado por el torno A difiera del tiempo

medio empleado por artículo del torno B en no más de 5 min?

f) Se seleccionan una muestra de 100 artículos del torno B. Halle la probabilidad que la proporción de

artículos de la muestra con un tiempo trabajado de más de 40 min sea mayor a 0.5.

g) Se toman muestras aleatorias de 200 artículos trabajados por cada torno. Halle la probabilidad que la

proporción de artículos con tiempo de trabajo mayor de 38 min del torno A sea mayor que del torno

B en por lo menos 0.02?.