Art+¡culo 1a parte
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TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998112
Selección del diámetro óptimo de tuberías para fluidosno newtonianos viscosos
(Primera parte)Flujo por gravedad
Armando A. Díaz García, Teresa L. Hechavarría GolaUniversidad de Oriente
En este artículo se realiza un estudio de las características reológicas de los fluidos, se derivan lasexpresiones matemáticas para el cálculo del diámetro óptimo en sistemas de flujo por gravedad paracualquier tipo de fluido y se particulariza para los casos que cumplen con el modelo de Ostwald de Waeley Bingham.
_____________________
Fluids rheological characteristics are studied in this paper. Mathematical expressions are determinedfor calculating the optimum diameter in systems of flow by gravity for any kind of fluid, and particularlyfor these ones which behave as Ostwald de Waele and Bingham fluids.
Introducción
Cuando en los sistemas de flujo el fluido esimpulsado por una carga estática, el diámetro óptimovendrá dado por el menor diámetro capaz de satis-facer el flujo requerido con la carga estática dispo-nible. Claro está que este diámetro puede no ser eldiámetro recomendado técnicamente, pero sirve dereferencia precisa para los cálculos dedimensionamiento y selección de tuberías.
La selección de tuberías en fluidos newtonianoses ampliamente tratada en la mayoría de los textosclásicos y obras especializadas, no así para el casode los fluidos no newtonianos, para los cuales existemuy poca información en nuestro país.
Por esta razón se pretende con esta serie deartículos, dotar a nuestros técnicos con una serie deherramientas cuya utilización no es tan complejacomo generalmente se piensa.
Fundamento teórico
Clasificación de los fluidos no newtonianos
La primera gran clasificación agrupa a los fluidosen dos grandes grupos: los fluidos cuyas caracterís-ticas reológicas dependen del tiempo y los que nodependen de éste.
Los fluidos no newtonianos cuyos parámetrosreológicos dependen del tiempo, son aquellos cuyas
características dependen de las condiciones de losestados de deformación a los cuales ha sido some-tido antes el material, los mismos no serán tratadosen esta serie de artículos.
Para todos los problemas que se presentarán, yse les dará solución, se ha supuesto que son fluidosno newtonianos independientes del tiempo.
Para los fluidos independientes del tiempo esposible realizar un sinnúmero de clasificacionesbasadas en los modelos matemáticos que caracteri-zan la relación de los esfuerzos cortantes τ con elgradiente de velocidad γ, teniendo en cuenta losmodelos más frecuentes se hará un resumen de losmás utilizados.
Fluidos no newtonianos sin esfuerzo cortanteinicial:
Modelo de Ostwald de Waele
τ = K γn (1)
Modelo de Powell-Eyring
τ = C · γ + 1/B · sen h (γ/A) (2)
Fluidos no newtonianos con esfuerzo cortanteinicial:
Modelo de Bingham
τ = τ0 + ηp · g (3)
113TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998
Modelo de Herschel-Bulkley
τ = τ0 + K · γn (4)
De los modelos antes citados los más utilizadosen los cálculos hidráulicos son el de Ostwald deWaele, comúnmente llamado Ley de Potencia y losplásticos Bingham (1, 3); ya que además de ser éstoslos más sencillos matemáticamente, la mayoría delos productos no newtonianos de nuestras industriaspresentan curvas de flujo que se ajustan muy satis-factoriamente a ellos.
Características de los modelos reológicos
Teniendo en cuenta que los fluidos no newtonia-nos son aquéllos en los cuales la viscosidad, atemperatura constante, presenta variaciones con lavelocidad de corte a la que es sometida, τ no esproporcional a γ, sino que es función de ella y estopuede expresarse matemáticamente mediante laexpresión:
τ = µa · γ (5)
donde µa es denominada viscosidad aparente
(6)
La ecuación (5) es una extensión de la Ley deNewton.
Los fluidos de este tipo suelen tener curvas deflujo (gráficos de τ vs γ) característicos y de acuerdocon ellos es que se establecen los modelos.
Para el modelo Ostwald de Waele la viscosidaddefinida por la ecuación (6) queda:
(7)
Si n<1 el fluido es seudoplástico y la viscosidadaparente disminuye con el aumento del gradiente develocidad.
Si n>1 es dilatante µa aumenta con el incrementode γ.
Para el modelo de Bingham
(8)
En estos fluidos la viscosidad aparente disminuyecon el incremento de γ tendiendo a un valor límitellamado viscosidad plástica.
Viscosidad efectiva
En los sistemas de flujo por conductos cilíndricosel esfuerzo cortante viene dado por
(9)
Para el flujo de los fluidos viscosos se cumple laecuación de Hagen-Poiseuille
(10)
la cual se puede escribir de la forma
(11)
µe se define como la viscosidad efectiva.
Para el caso de los fluidos newtonianos
No ocurre así en los fluidos no newtonianos en
los cuales γ es función de o τw y de los pará-
metros reológicos.
Ecuación de Rabinowitsch-Mooney
Esta ecuación se usa para determinar la rela-
ción entre y γ, cualquiera que sea el modelo
reoló-gico del fluido, y viene dado por
(12)
La ecuación (12) aplicada a un fluido Ostwald deWaele, da la relación
(13)
µτγ
γa = = f b g
µ γ= ⋅ −K n 1
µ ητγa = +p
τ =⋅ −
⋅
D P
Lf∆d i
4
− =⋅ ⋅ ⋅
∆PL vDf
e322
µ
µτ
a =
⋅ −
⋅⋅F
HGIKJ
=⋅F
HGIKJ
D P
Lv
Dv
D
f
w
∆d i48 8
8 ⋅FHG
IKJ
vD
γ =⋅F
HGIKJ
8 vD
8 ⋅FHG
IKJ
vD
8 43
2
0
⋅FHG
IKJ = ⋅ ⋅zv
Dd
w
w
ττ γ τ
τ
8 43 1
⋅FHG
IKJ =
⋅⋅ +
⋅v
Dn
nγ
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998114
y aplicada a un plástico Bingham
(14)
Generalmente se desprecia el último término porser el error de 1,8 % cuando τ0/τw= 0,4 y arreglandoqueda
(15)
Sustituyendo (3) en (15)
(16)
La ecuación (15) es la ecuación de Buckinghamque generalmente se escribe
(17)
Descripción del modelo físico
Supondremos un sistema de flujo como elmostrado en la figura 1, en el cual un fluido esdescargado por gravedad a través de una tuberíade longitud L.
3. El fluido es no newtoniano viscoso, de forma talque el régimen de flujo es laminar en la línea dedescarga.
4. Las pérdidas locales son despreciables en rela-ción con las pérdidas de fricción en la tubería.
5. El fluido no presenta deslizamiento efectivo.6. El régimen de flujo es estacionario.
Deducción de la expresión matemática parael diámetro óptimo
Aplicando un balance de energía mecánica entrelos puntos (1) y (2) mostrados en la figura.
(18)
P1 = P2 ; v1 = 0 ; h2 = 0 ; h1 = Hh
Despreciando las pérdidas por energía cinética,por ser régimen laminar
(19)
Se sabe que
(20)
y en régimen laminar
(21)
Sustituyendo (21) en (20)
(22)
Sustituyendo (22) en (19)
(23)
La expresión (23) es la expresión general y como
µe = la expresión del diámetro óptimo
depen-de del modelo reológico.
Para fluidos Ostwald de Waele
A partir de la ecuación (13), será
81
43
13
0
3
0
4
⋅FHG
IKJ = − +
FHG
IKJ
LNMM
OQPP
vD
w
p w w
τη
ττ
ττ
8 43 0⋅F
HGIKJ =
− ⋅vD
w
p
τ τ
η
8 13
0⋅FHG
IKJ = −
vD p
γτη
τ τ ηw p
vD
= +⋅F
HGIKJ0
8
Fig. 1 Esquema del sistema de flujo.
Para el desarrollo del modelo matemático serealizarán las siguientes suposiciones:1. El flujo es isotérmico.2. El tanque posee un área lo suficientemente gran-
de de manera tal que la variación de velocidadpuede considerarse despreciable.
∆ ∆∆
P vg h F
ρ α+
⋅+ ⋅ = −∑
2
2
g H Fh⋅ = ∑
F fL v
Dg∑ =⋅⋅
2
2
fD gg
e=⋅
⋅ ⋅64 µ
ρ
FL v
De∑ =
⋅ ⋅ ⋅⋅
322
µρ
g HL v
Dhe⋅ =
⋅ ⋅ ⋅⋅
322
µρ
fv
D8 ⋅F
HGIKJ
115TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998
µ e
n
Kv
D=
⋅FHG
IKJ
−
'8
1
K Kn
n
n
' =⋅ +
⋅FHG
IKJ
3 14
τ w
n n
Kn
nv
D=
⋅ +⋅
FHG
IKJ
⋅FHG
IKJ
3 14
8
(24)
y sustituyendo (24) en (1)
(25)
dividiendo por y haciendo
la ecuación (25) queda
(26)
Sustituyendo (26) en (23) y arreglando
(27)
La ecuación (27) es la correspondiente al diáme-tro óptimo (mínimo) para utilizar.
Para n = 1; K' = µ
(28)
que es la ecuación clásica para fluidos newtonianos.
Para fluidos plásticos Bingham
A partir de la ecuación (16)
(29)
Sustituyendo (29) en (2)
y sustituyendo en (11)
Si tenemos en cuenta que
(30)
Sustituyendo (30) en la ecuación general (23)
(31)
Si es despreciable, lo cual puede ocurrir
si es relativamente grande
(32)
Si no es despreciable el término entonces:
(33)
Para τ0' = 0 en el modelo de Buckingham dadopor la ecuación (17)
y la ecuación (32) se convierte en la (28).
Aunque las ecuaciones (27) y (28) resultanválidas, requieren de un proceso de error y tanteo,pues tanto la velocidad como el diámetro en estecaso son variables desconocidas, esto se evita ex-presando estas ecuaciones en función del flujovolumétrico deseado de manera que sustituyendo:
Se obtiene para fluidos Ostwald de Waele
(34)
γ w
vD
nn
=⋅ ⋅ +
⋅FHG
IKJ
8 3 14
8 ⋅FHG
IKJ
vD
g HL v KD
vD
DL K vg H
h
n
op
n n
h
n
⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅F
HGIKJ
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
LNM
OQP
−
+ +
32 8
2
2
1
2 31
1
'
'
ρ
DL vg Hop
h
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
LNM
OQP
251
2µρ
µτ
ηe pvD
=⋅F
HGIKJ
+
438
0
γτηw
p
vD
=⋅F
HGIKJ +
8 13
0
τ τ ηw p
vD
= +⋅F
HGIKJ
43
80
43
8
0 0
0
τ τ
µτ
η
=
=⋅F
HGIKJ
+
'
'
e pvD
g HL v
D vD
h p⋅ =⋅ ⋅
⋅ ⋅FHG
IKJ
+
L
N
MMMM
O
Q
PPPP32
82
0
ρτ
η'
τ 0
8
'
⋅FHG
IKJ
vD
8 ⋅FHG
IKJ
vD
DL K Q
g Hop
n
n
n
h
n
=⋅ ⋅⋅ ⋅
LNM
OQP
+ +22 51
3 1
π ρ
'
DL v
g Hop
p
h
=⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅FHG
IKJ
321
2η
ρ
ρ τη
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅−
⋅
⋅− =
g H D
L v
D
vh op op
p
20
32 80
'
µ η µe p= = = constante
vQ
D=
⋅⋅4
2
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998116
Ejemplo ilustrativo
Seleccionar el diámetro para conducir 0,55 L/s, alo largo de 100 m de tubería por gravedad con unacarga estática total disponible de 6 m. El fluido esseudoplástico con densidad de 1 350 kg/m3 y modeloreológico descrito por:
donde
τw está dado en Pa y en s-1.
Datos
Q = 0,55 · 10-3 m3/sL = 100 mHh = 6 mr = 1 350 kg/m3
K'= 0,8 Pa/sn
n = 0,60
Utilizando la ecuación
Sustituyendo
Dop = 0,045 m
Se requiere una tubería no menor de 45 mm dediámetro interior.
La viscosidad del producto será:
Dop =⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
LNMM
OQPP
−21 99
100 0 8 0 55 101 350 9 81 6
2 3 0 6 0 36
,, ,
,
, ,b g
τ w
vD
=⋅F
HGIKJ0 8
80 6
,,
8 ⋅FHG
IKJ
vD
DL K Q
g Hop
n
n
n
h
n
=⋅ ⋅⋅ ⋅
LNM
OQP
+ +22 51
3 1
π ρ
'
Re
Re,
, ,Re ,
g
e
g
g
QD
=⋅ ⋅⋅ ⋅
=⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅=
−
4
4 0 55 10 1 3500 045 0 53
39 8
3
ρπ µ
π
Como el régimen es laminar el cálculo es correc-to y se recomienda una tubería de 2 pulgadas comomínimo.
Nomenclatura
A : constante del modelo de EyringAf : área de flujo, m2
B : constante del modelo de EyringC : constante del modelo de EyringD : diámetro interno del conducto, mDN : diámetro nominal, mF : pérdidas por fricción, J/kgg : aceleración de la gravedad, m/s2
Hh : carga estática, mK : constante del modelo Ostwald de Waele, Pa/sn
L : longitud de tubería, mn : índice de flujo, adimensionalP : presión, PaQ : flujo volumétrico, m3/sReg: número de Reynolds generalizadov : velocidad del fluido, m/sα : factor de corrección de la energía cinéticaγ : gradiente de velocidad, s-1
τ w : esfuerzo cortante en la pared, Paηp : viscosidad plástica, Pa·sµ : viscosidad Pa·sµe : Pa·s
Bibliografía
PETERS: Plant Design and Economics for Chem.Eng., Chemical Eng. Series, McGraw-Hill, 1965.COAUTORES: Técnicas de conservación energéti-ca en la industria, Edición Revolucionaria, La Ha-bana, 1982.SKELLAND A. H. P: Non Newtonian Flow and HeatTransfer, Edición Revolucionaria, La Habana, 1970.
µ
π π
µ
µ
e
e
e
vD
vD
QD
s
Pa s
=⋅F
HGIKJ
⋅FHG
IKJ =
⋅⋅
=⋅ ⋅⋅
=
=
= ⋅
−
−−
−
0 88
8 32 32 0 55 100 045
2 77
0 8 2 77
0 53
0 4
2
3
2
1
0 4
,
,,
,
, ,
,
,
.b g