Areces, Carlos - Elija Su Propia Lógica

7/23/2019 Areces, Carlos - Elija Su Propia Lgica

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ELIJA SU PROPIA LGICA

Choose your own Logic

Carlos ARECESInria Lorraine, Nancy, [email protected], web: www.loria.fr/~areces

BIBLID [(0213-356)8,2006,71-83]

Fecha de aceptacin definitiva: 20 de abril de 2006

RESUMEN

En este artculo se sintetiza una visin moderna de las lgicas modales y tem-porales. En vez de dar una motivacin histrica, el paper presenta estas lgicas enrelacin con ciertos fragmentos de la lgica de primer orden que poseen propieda-des interesantes. Esta visin de la lgica es seductora porque nos permite disear len-guajes a medida, es decir, optimizados para una tarea especfica.

Palabras clave: Lgicas modales, lgicas temporales, fragmentos de la lgica de pri-mer orden, traducciones, el problema de clasificacin.

ABSTRACT

This paper presents a modern vision of the field of modal and temporal logics.

Instead of being historically motivated, the paper presents these logics in conexionwith some fragments of first order logic with interesting properties. This approach isseductive because it allows us to view modal logics as languages designed to size,i.e., to fit a given task.

Key words: Modal logics, temporal logics, fragments of first order logic, translations,classificatiom problem.

Ediciones Universidad de Salamanca Azafea. Rev. filos. 8, 2006, pp. 71-83

ISSN: 0213-3563


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1. LA BELLA Y LA BESTIA

La lgica de primer orden es un lenguaje hermoso. Como lgica, es una grancandidata a ser la Bella de esta historia. Es un lenguaje elegante, simple de carac-terizar y de buen comportamiento terico. Pero cuando la miramos desde un puntode vista computacional por ejemplo, si queremos usarla como lenguaje deespecificacin del conocimiento bsico de un robot entonces se transforma en laBestia. Ya que no existe un algoritmo que nos permita decidir si una frmula dela lgica de primer orden es satisfacible (es decir, si la frmula tiene al menos algnmodelo, cualquiera que sea ste).

An el problema de saber si una frmula de primer orden es satisfacible en unmodelo dado es difcil. Es decir, an si nos dicen aqu est la sentencia , y aquest el modelo (finito), por favor dgame si es cierta en ese problema (que

se llama chequeo de modelos) no tiene una solucin eficiente: puede requerir espa-cio polinomial y tiempo exponencial (es un problema en PSPACE). En una aplica-cin, un comportamiento de tiempo exponencial es usualmente inaceptable.

Para entender por qu miremos un ejemplo. Supongamos que la frmula tiene 5 operadores, y que el modelo no es demasiado grande, digamos 10 ele-mentos. Entonces, dependiendo de la estructura exacta de y de chequear quees cierta en nos puede llevar 105 pasos. Veamos, si cada paso nos toma unsegundo de computacin entonces:

105 = 100,000 pasos o segundos 28 horas

Bueno, es cierto que un segundo es mucho tiempo para una computadora, y

que en ese tiempo es posible que realice miles de operaciones y no una sola ope-racin como dijimos arriba. Consigamos entonces una supercomputadora quepueda realizar un milln de pasos por segundo. Quizs ahora no tendramos pro-blemas? No en el ejemplo que consideramos antes (que resolveramos en slo 0, 1segundos), pero consideremos una frmula de tamao 10, y un modelo de 25 ele-mentos. Entonces:

2510 = 95,367,431,640,625 pasos 95,367,431 segundos 26,490 horas

Contemos como contemos y no importa cuan rpida sea nuestra computadora,problemas que requieran tiempo exponencial siempre tendrn instancias dema-siado difciles de resolver.

Pero las noticias no son tan malas como parecen. No todas las frmulas de lalgica de primer orden son tan difciles como los ejemplos que discutimos msarriba. Recordemos que decir que un determinado problema est en una clase decomplejidad C (como PSPACE o EXPTIME) quiere decir que existe alguna instanciadel problema que requiere tanto espacio o tiempo. Podra haber muchas otras ins-tancias mucho ms simples.

Y aqu es donde el tema se pone interesante. Seguramente en una aplicacindada no usaremos todo el poder expresivo de la lgica de primer orden. Quizses posible elegir fragmentos ms simples y que de todas formas tengan la expresi-vidad necesaria para nuestra aplicacin?

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2. FRAG MEN TOS

Entonces, la idea es inspeccionar el conjunto de todas las frmulas del len-guaje de primer orden y ver si podemos detectar subconjuntos interesantes. Tene-mos dos problemas, primero cul es una forma razonable de elegir fragmentos deprimer orden? Y segundo qu significa interesantes?

Empecemos por la segunda pregunta. Como primer requerimiento, el con-junto de frmulas que elijamos tiene que ser suficientemente genrico. Podramospensar que un conjunto finito de frmulas {1,,n} es quizs adecuado para unadeterminada aplicacin. Quizs pensamos que {1,,n} son los axiomas de unateora que estamos desarrollando, o las frmulas que queremos que nuestro robotconozca. Pero debemos considerar tambin como miembros de nuestro conjuntode frmulas las preguntas que queremos que el robot pueda contestar, o los teo-remas que queremos poder derivar a partir de los axiomas de nuestra teora. Estopronto hara que nuestro conjunto se vuelva infinito. Queremos entonces elegirconjuntos infinitos de frmulas que de alguna forma tengan algo en comn, y quesean a la vez tiles en aplicaciones y ms simples de tratar.

Llegamos as a la primera pregunta. A priori, una forma natural de obtenerfragmentos del lenguaje de primer orden sera imponer lmites a los recursos queel lenguaje posee. Pero cules podran ser estos recursos? Por ejemplo, notemosque las variables de una frmula de primer orden funcionan como clulas dememoria donde podemos almacenar informacin. Adems, son justamente lasvariables sobre lo que actan los operadores de cuantificacin (cuando escribimos

x(x) estamos diciendo, pruebe con todo posible valor vdexy verifique que(x:=v) es cierta). Podemos entonces considerar los fragmentos LPOk para k INde frmulas de primer orden con a lo sumo un nmero dado de variables. Es decir,en cada LPOkpueden aparecer a lo sumo las primeras kvariablesx1,,xk dispo-nibles en nuestro vocabulario de primer orden.

Ya LPO2 (i.e., las frmulas de primer orden con slo dos variables) es un frag-mento interesante. Por ejemplo, pensemos cmo describiramos un camino de lon-gitud n en un grafo. Probablemente nuestro primer intento sera

x1xn(Eje(x1,x2) .. Eje(xn1,xn))

que dice, simplemente, que existen n nodos en el el grafo (no necesariamente dife-rentes) que estn conectados por la relacinEje. Notar que usamos nvariables dife-rentes para escribir esta frmula.

Pero podemos escribir la misma propiedad usando solamente dos variablesx1yx2, si las reusamos acomodando adecuadamente los cuantificadores (i.e., si usa-mos nuestras clulas de memoria cuidadosamente):

x1x2(Eje(x1,x2) x1(Eje(x2,x1) ))

Para entender esta nueva forma de representar un camino de longitud n, pode-mos pensar que estamos avanzando paso a paso. En el primer paso nos movemos


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del punto del grafo que almacenamos enx1 al punto que almacenamos enx2. Yaen el segundo paso, podemos reusar nuestra clula de memoria x1y asignarle el

valor de nuestro tercer punto en el camino. Esto es exactamente lo que estamoshaciendo cuando escribimos x1 por segunda vez en la frmula. (El ejemplo esttomado de [3], la referencia clsica en el tema de fragmentos decidibles de la lgicade primer orden).

LPO2 es un fragmento decidible de la lgica de primer orden. Este resultadofue probado por primera vez por Dana Scott en [13] y extendido para el fragmentoLPO2 con igualdad por Mortimer en [9]. En una serie de artculos, Grdel et al .investigaron en detalle el tema de decidibilidad o indecidibilidad de distintos frag-mentos cercanos a LPO2 (ver por ejemplo, [5, 6]).

El problema con esta forma de obtener fragmentos de la lgica de primer

orden es que LPO3

es ya un lenguaje indecidible. Notemos que frmulas muy ti-les en aplicaciones (e.g., transitividad xyz[R(x,y) R(y,x)R(x, z)] necesi-tan ya tres variables, y se puede demostrar que no son equivalentes a ningunafrmula con menos variables.

Miremos entonces a otras alternativas. En realidad, la bsqueda por fragmen-tos simples pero interesantes de la lgica de primer orden (y principalmente frag-mentos decidibles) es casi tan antigua como la lgica de primer orden misma. Ymucha de la literatura clsica del tema merece ser leda con atencin, como porejemplo los resultados de Ackerman [1]. En este artculo y en otros que siguieron,se definen fragmentos de la lgica de primer orden mediante lo que se llama

prefijos de cuantificacin: toda frmula de primer orden puede escribirse, enforma equivalente, como una formula Qdonde Q es un bloque ininterrumpidode operadores de cuantificacin y una frmula sin cuantificadores. Por ejemplola frmula:

xyz(R(x,y) R(y,x) x[R(y,x) R(z,x)]

puede reescribirse como:

xyzn[(R(x,y) R(x, z)] [R(y, n) R(z, n)]

(pero notemos que pagamos un precio por la reescritura, ya que debemos intro-ducir una nueva variable n).

De esta forma, podemos separar las frmulas de la lgica de predicados(mdulo equivalencia) seleccionando diferentes prefijos de cuantificacin. Vol-viendo a Ackermans [1], all se demuestra por ejemplo que decidir la satisfacibili-dad de frmulas en los fragmentos definidos por los prefijos ** (esta notacinindica cero o ms cuantificadores universales seguidos de cero o ms cuantificado-res existenciales) y ** (cero o ms cuantificadores universales, un cuantificadorexistencia, y cero o ms universales) son decidibles (aunque de alta complejidad).

Algunos fragmentos que parecen a priori simples son en realidad muy expre-sivos. Por ejemplo Skolem demostr ya en 1920 que el fragmento ** es lo quese llama una clase de reduccin para la lgica de primer orden, lo que significa




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que toda frmula del lenguaje de primer orden tiene una frmula equivalente en**. En otras palabras, ** es tan expresiva como todo el lenguaje (y, por lo

tanto, indecidible). Gdel mostr en 1933 que bastaban tres cuantificadores uni-versales, es decir 3* ya captura la expresividad de todo el lenguaje.

El estudio de los distintos fragmentos definidos por prefijos de cuantificacinha sido exhaustivo. El libro The Classical Decision Problem de Brger, Grdel yGurevich [3] que citamos ms arriba contiene un mapeo completo de todos los frag-mentos decidibles o indecidibles del lenguaje de primer orden que puedendefinirse mediante prefijos de cuantificacin. Adems, tambin se conoce la com-plejidad de muchos de los fragmentos decidibles. Esta tarea (el mapeo completode decidibilidad/indecidibilidad de todos los fragmentos del lenguaje de primerorden definidos por prefijos de cuantificacin) es lo que se conoce en lgica cl-

sica como el Problema de Clasificacin y como acabamos de mencionar, fue com-pletada gracias a resultados de algunas de la figuras ms importantes de la lgica.En particular, uno de los resultados cruciales que permiti la solucin total del pro-blema es el llamado Teorema de Clasificacin de Gurevich [7] que mostr que bas-taba investigar la decidibilidad/indecidibilidad de slo un nmero finito defragmentos para, a partir de ellos, poder clasificar todos los dems.

El trabajo en el Problema de Clasificacin es, quizs, uno de los resultados msrelevantes de las ltimas dcadas en lgica clsica. Sin embargo, los fragmentosdefinidos va prefijos de cuantificacin tienen al menos dos desventajas. La primeradesventaja (seria) es que todos ellos permiten slo un nmero finito de alternacinde cuantificacin. Por definicin, cada uno de estos fragmentos permite alternar loscuantificadores y (es decir, cambiar de a o viceversa) un nmero finito deveces. La frmula:

x1x2x3[HijoDe(x1,x2) HijoDe(x2,x3)]

tiene nivel de alternacin 2 (cambiamos dos veces el tipo de cuantificacin primerde a y luego otra vez a ) y dice que hay alguien cuyos hijos todos tienen almenos un hijo. Podemos continuar ese patrn y escribir:

HijoDe(x1,x2)

HijoDe(x2,x3)

x1x2x3x4x5 HijoDe(x3,x4)

HijoDe(x4,x5)

Que dice algo as como: hay alguien cuyos hijos todos tienen un hijo al que asu vez le pasa que todos sus hijos tienen al menos un hijo. Este tipo de frases sondifciles de leer (y usualmente nunca las usaramos en el lenguaje de todos losdas). Pero frmulas de este tipo pueden surgir fcilmente en aplicaciones.

La segunda desventaja de los fragmentos definidos por prefijos decuantificacin parece, a primera vista, menos seria o quizs una contradiccin en



( )


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s misma: el problema es que son fragmentos. Como nios malcriados, queremostoda la torta, y no slo una porcin de ella. Es mucho mejor una torta completa

(aunque sea pequea), que slo una porcin de una torta ms grande.En las siguientes pginas vamos a mostrar como podemos solucionar estos dosproblemas, y obtener lenguajes que sean, al mismo tiempo, suficientemente expre-sivos, computacionalmente tratables, sin restricciones de alternacin decuantificadores y fragmentos pero no fragmentos. Estos lenguajes, son los llama-dos lenguajes modalesy tienen tambin larga historia (el mismo Aristteles seocup de ellos, junto con su famoso Todos los hombres son mortales). Aqu,sin embargo, los presentaremos desde una perspectiva diferente. Para una presen-tacin clsica, aconsejamos consultar el libro Modal Logic [2] de Blackburn, deRijke y Venema, hoy por hoy la referencia ms completa sobre el tema.

3. LGICAS PARA TODOS LOS GUSTOS

Pero primero, y para mantener el suspenso, una digresin.

3.1. Pensando Modalmente

Los lgicos modales tenemos una manera peculiar de mirar el mundo.

Todo en el universo es un grafo.

Todo o casi todo. Consideremos, por ejemplo, los das de la semana. Un lgicomodal los vera como:

Figura 1:Das de la Semana.

Y en ese grafo nos pensamos en uno de sus puntos, por ejemplo, Jueves, y

miramos hacia adelante (maana va a ser Viernes) o hacia atrs (ayer fue Mir-coles), y a medida que el tiempo pasa avanzamos de punto en punto. En realidad,podemos argumentar que no somos slo los lgicos modales los que vemos eltiempo de esa forma. Nuestro propio lenguaje tiene una perspectiva interna deltiempo, y al escuchar una frase como Maana har exactamente un ao desde quenos mudamos construimos en nuestra mente una representacin que tiene unpunto para el hoy, de all nos movemos hacia maana, y desde all retrocedemosun ao hasta el momento de nuestra mudanza. (Esta perspectiva interna deltiempo, y el lenguaje adecuado para describirla, fue la contribucin principal deArthur Prior, unos de los padres de la lgica modal moderna [11, 12, 10]).




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Una frmula modal se evala exactamente como acabamos de describir. Diga-mos que usamos el operador Maana para movernos un da hacia adelante y el

operador Ayer para movernos un da hacia atrs en nuestro modelo de la semanade la Figura 1. En este lenguaje modal escribiramos hoy es Jueves, maana esViernes y ayer fue Mircoles como:

Jueves MaanaViernes Ayer Mircoles

Notemos que ya en este lenguaje tan simple podemos expresar algunas ideasinteresantes. Como el hecho siempre cierto de que si algo (llammoslop) pasa hoy,entonces ser el caso que maana pasar que ayer pas p (siempre y cuando sepa-mos que va a haber un maana).

(p Maana T) Maana Ayerp

Pero para que las ideas queden claras, definamos nuestro primer lenguajemodal con un poco ms de precisin. Vamos a obtener el lenguaje modal LM exten-diendo el lenguaje Booleano, y seguiremos usando intuiciones temporales y nues-tro operadores Maanay Ayer (pero abreviaremos los nombres a My A parasimplificar un poco la notacin). Definimos entonces, dado un conjunto de sm-bolos de proposicin PROP que representarn hechos atmicos, el lenguaje LM defrmulas modales como:

LM: =p| | | M| A

donde p es un elemento de PROP, y , son frmulas de LM (otros operadoresBooleanos como , y se introducen por definicin en la forma usual).

Como dijimos, vamos a evaluar este lenguaje en grafos (ms exactamente, gra-fos etiquetados) M = N, E, V dondeNes el conjunto de nodos (no vaco), E es elconjunto de ejes, y V: N 2PROP es el conjunto de hechos atmicos que son cier-tos en cada nodo, es decir para p PROP,p V(n) significa que p es cierta en elnodo n. Por ejemplo, representaramos el grafo de la figura 1 como:

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

M= N, E, V donde E= {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 1)}

V(1) = {Lunes} V(7) = {Domingo}Podemos ahora ver que, dado el grafo M y un nodo n en el que nos parare-

mos, podemos evaluar si una frmula de LM es cierta en dicho nodo usando elsiguiente procedimiento:

1. Si =p PROP entonces, ver si p V(n)2. Si = entonces ver si no es cierta en n3. Si = entonces, ver si y son ciertas en n4. Si = M entonces, ver si hay un nodo n sucesor de n

(i.e.,E[n, n]) que haga cierta ).



{


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5. Si = A entonces, ver si hay un nodo n predecesor de n(i.e.,E(n,n) que haga cierta )

Es un buen ejercicio para entender cmo funciona nuestro flamante lenguajeLM, intentar aplicar el procedimiento que acabamos de describir para evaluar unafrmula como:

Lunes M A Lunes

en el nodo 1 del grfico de la Figura 1. En realidad, podemos comprobar que lafrmula es cierta en todos los nodos de la figura, ya que en todos los dems nodosel antecedente Lunes falla.

Estamos listos ahora para dar un paso importante. Supongamos que queremosdecir me ir de vacaciones. Es decir, s que en algn momento del futuro saldrde vacaciones, pero eso puede ser maana o algn otro da, cmo podemosexpresar esto en nuestro lenguaje? Una posibilidad sera:

Maana de vacaciones Maana Maana de vacaciones

Maana Maana Maana de vacaciones

* * *

pero las frmulas infinitas son siempre difciles de entender (y largas de escribir).Claramente, esta no parece la mejor solucin. En cambio, extendamos nuestro len-

guaje modal con un nuevo operador Fy extendamos nuestro procedimiento deevaluacin de frmulas con la siguiente condicin:

6. Si = F entonces, ver si existen knodos n1,,nk tales queE(n, n1),E(n1,n2), ,E(nk-1,nk)y nkhace cierta .

Notar que la condicin 6 no es ms que una manera formal (y un poco engo-rrosa) de decir que para que Fy sea cierta en n debe haber algn nodo en elfuturo de n que haga cierta . (Este es en realidad el operador clsico de futurode la lgica temporal de Prior, aunque usualmente se introduce de una forma dife-rente, restringiendo la clase de modelos a grafos donde la relacin es transitiva. Las

dos presentaciones no son exactamente equivalentes, pero son suficientementesimilares para nuestros propsitos.)

La ventaja es que, una vez que introdujimos este nuevo operador, podemosfcilmente escribir me ir de vacaciones como:

F de vacaciones




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La idea principal detrs de esta forma de pensar lenguajes lgicos es lasiguiente:

Compilemos, una nica vez, las nociones que nos interesan definiendo nuestrosoperadores. Y luego, podemos usarlos libremente, sin preocuparnos ms de losdetalles.

Veamos otro ejemplo para afirmar nuestras intuiciones. S entonces que meir de vacaciones, pero para poder irme, tengo primero que terminar con todo mitrabajo acumulado. Es decir, me ir de vacaciones, pero hasta que eso ocurra ten-dr muchsimo trabajo. Intentemos aplicar nuestra idea de compilacin de nocio-nes interesantes a este ejemplo. Para variar, usemos ahora la concepcin masclsica, pensemos que la relacin E en nuestros grafos representa el orden entre

instantes de tiempo:E(i1,i2) significa que el instante i1 es temporalmente anterior ai2. Asumiremos entonces, por lo menos, que E es transitiva correspondiendo anuestra nocin natural del flujo del tiempo (i.e., si i2 es un instante de tiempo pos-terior a i1,y i3 es posterior a i2 entonces, claramente i3 es posterior a i1).

Definamos ahora un operador que capture las ideas detrs de nuestro ltimoejemplo. Claramente, necesitamos definir un operador binario hastaque-pase--pasar-. Llamemos H a este operador, entonces:

7. Si = H (, ) entonces, ver si existe un nodo n sucesor de n [i.e.,E(n, n)] que haga cierta y para todo nodo inter-medio] i.e., para todo nodo n tal que E(n, n)y

E(n,n)] tiene que ser cierta Nuestros nuevos operadores son cada vez mas complejos, pero como dijimos

antes, nos basta prestarles atencin y verificar que capturan las ideas que nos inte-resan una nica vez. Una vez definidos podemos usarlos tranquilamente para for-mar frmulas simples que capturan nociones complejas. Podramos escribir cosascomo:

M H (H (p, q),r)

Traducir este tipo de expresiones al castellano resulta en frases bastante com-plejas. Es mas fcil visualizar su significado en un grafo ejemplo que haga la frmula

cierta:

Pensemos que la relacin entre los nodos es la clausura transitiva de los ejesmostrados en el grafo. Entonces H(p, q) es cierta en 6, porque en 8 es cierto p yen todos los puntos intermedios [solo 7 en este caso, es cierto q. H(H(p, q),r) escierta en 2, porque H(p, q) es cierta en 6 y en todos los puntos intermedios (3, 4 y5] es cierta r. Y como H(H(p, q),r) es cierta en 2, MH(H(p, q)r) es cierta en 1.




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Pero esta digresin ya se extendi quizs demasiado, e imagino que el sus-penso creci suficientemente. Es buen momento para ver qu tienen que ver los

lenguajes modales con los fragmentos del lenguaje de primer orden.

3.2. Fragmentos Escondidos

Donde estn las variables? Dnde estn los cuantificadores? Qu tiene quever el lenguaje LM, por ejemplo, con nuestra querida lgica de primer orden?Veamos

Primero, en la seccin anterior dijimos que trabajaramos con grafos etiqueta-dos. Pero un grafo etiquetado no es otra cosa que un modelo particular de primerorden: el conjunto N de nodos es el dominio del modelo, la relacin E es la inter-

pretacin de un smbolo de relacin binario, y cada V (pi) para un smbolo de pro-posicinpipuede tomarse como la interpretacin de un smbolo de relacin unario

Pi . La relacin a nivel semntica entre nuestra lgica LM y la lgica de primer ordenes estrecha: comparten el mismo tipo de modelos.

La relacin a nivel sintctico es igualmente fuerte: toda frmula deLM tieneuna frmula de primer orden equivalente. Definamos en detalle esta traduccinque mapea frmulas de LM en frmulas de primer orden:

1. STx(pj) = Pj(x),pj PROP2. STx() = STx()3. STx( ) = STx() STx()

4. STx(M) = y(E(x,y) STy())5. STx(A) = y(E(y,x) STy())

En las dondeyen las clusulas 4) y 5) es una variable nueva, no usada ante-riormente. Quizs la traduccin que acabamos de dar resulta conocida. Compar-mosla con las condiciones 1) a 5) del procedimiento para evaluar frmulas de LMque dimos anteriormente. En realidad, no hemos hecho otra cosa que escribir lascondiciones de evaluacin de las frmulas de LM en lgica de primer orden. Mire-mos, como ejemplo, la traduccin de la frmula Lunes M A Lunes. La traduc-cin sera:

Lunes(x) y[E(x,y) z.(E(z,y) Lunes(z)]Como habamos mencionado antes, en un grafo donde sabemos que existe un

futuro parax(i.e., un nodoy, tal queE(x,y)), la frmula siempre ser cierta.Intentemos describir las caractersticas de esta traduccin. Lo primero que

veremos, es que las frmulas de primer orden que corresponden a traducciones defrmulas de LM no tienen restriccin en alternacin de cuantificadores. Usemos[M]como abreviatura de M(de la misma forma que xpuede verse comouna abreviatura de x). Entonces, la traduccin de la frmula:

M[M]Mp




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tendr dos alternaciones: de existencial a universal, y otra vez a existencial (com-pruebe esto computando STx(M[M]Mp), no es difcil). Y nada nos impide conti-

nuar de la misma manera y escribir, por ejemplo, M[M] M[M]p con tresalternaciones, etc. Intuitivamente (y esto puede demostrarse formalmente) el con-junto de frmulas obtenidas a partir de LM va STx no es un subconjunto de nin-

gn fragmento definido mediante prefijos de cuantificacin.Por otro lado, si administramos nuestras variables un poco ms cuidadosa-

mente, podemos obtener una traduccin usando solamente dos variables (i.e., den-tro de LPO2). El truco es el siguiente: usemos dos funciones mutuamente recursivasSTxy STy.

STx(pj) = Pj(x),pj PROP STy(pj) = Pj(y),pj PROP

STx() = STx() STy() = STy()

STx( ) = STx() STx() STy( ) = STy() STy()STx(M) = y(E(x,y) STy()) STy(M) = x(E(y,x) STy())

STx(A) = y(E(y,x) STy()) STy(A) = x(E(x,y) STx())

Es decir cuando estamos usando STxy necesitamos una variable para el ope-rador modal usamos y y, viceversa, cuando estamos usando STy usamos x comonuestra nueva variable. (Notemos que acabamos de mostrar que LM es decidiblepuesto que podemos verla como un fragmento de LPO2).

Pero intentemos ahora traducir nuestro operador H usando la clusula 7) delprocedimiento de evaluacin que definimos en la seccin anterior:

STx(H(, )) = y[E(x,y) STy() z(E(x, z) E(z,y) STz()]Como vemos, ahora necesitamos tres variables en nuestra traduccin (es decir,

la traduccin ahora produce frmulas de LPO3). Como dijimos, LPO3 es un frag-mento indecidible de la lgica de primer orden, y sin embargo el fragmento queobtenemos como imagen de LM + H es decidible (El operador que llamamos Hno es otro que el operador Until introducido por Kamp en [8], y es sabido que estelenguaje es decidible y de buen comportamiento computacional).

Finalmente, intentemos traducir F, a partir de la condicin 6) de la seccinanterior. Notemos que en este caso llegamos a un fragmento de la lgica clsicaan mas complejo: necesitamos hacer referencia a la clausura transitiva de la rela-

cin E para poder expresar la condicin un sucesor n a un nmero finito, perono previamente especificado, de pasos de n. UsandoE+ para la clausura transitivadeE, escribiramos:

STx(F) = y[E+(x,y) STy()]

En este caso entonces, las formulas que obtenemos traduciendo LM +F no sonsiquiera un fragmento de la lgica de primer orden (ya que la lgica de primerorden no es suficientemente expresiva como para expresar clausura transitiva).Estaramos capturando un fragmento de la lgica de segundo orden, o al menosuno de la lgica de primer orden extendida con un operador de clausura transitiva.




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Y sin embargo, LM + F es un lenguaje decidible y otra vez, de buen comporta-miento computacional.

4. INGENIERA LGICA

Desde un punto de vista moderno, las lgicas modales pueden verse comoformas de capturar fragmentos de lenguajes clsicos (de primer o alto orden), peroutilizando un criterio ingenieril. En vez de definir fragmentos en forma categricaimponiendo, por ejemplo, restricciones en los recursos existentes (sean estosnmero de variables, patrones de cuantificacin, o algn otro), encapsulamos ennuevos operadores modales las nociones que nos interesa capturar (como hicimoscon los operadores M, Fy H). De esta forma, definimos una especie de len-

guaje mnimo para una aplicacin dada, y en muchos casos, los lenguajes obteni-dos de esa forma poseen propiedades interesantes [14, 4].

De la misma forma que un ingeniero decide en que lugares colocar los pila-res para que un puente se sostenga y pueda soportar determinada carga, el inge-niero lgico define operadores que permitan expresar los conceptos interesantesen una determinada tarea. Operadores que den al lenguaje el poder expresivorequerido, ni ms ni menos.

Aquellos que conozcan de antemano los lenguajes modales, quizs se veansorprendidos por esta presentacin del rea. Clsicamente, los lenguajes modalesson pensados como lenguajes intencionales cuyo objetivo es capturar nociones

como necesidad, obligacin, etc. Pero las dos presentaciones son totalmente com-patibles. Podemos tomar las palabras (ligeramente editadas) de Ramn de Cam-poamor1y decir:

En este mundo seductornada es verdad ni es mentira;todo es segn el colordel cristal con que se mira.

Porque en realidad es una visin seductora de la lgica. Donde cada unopuede disear el lenguaje que mejor le quede y que ms contento le ponga.Anmese, elija su propia lgica.



1. Los versos originales son:En este mundo traidor, nada es verdad ni es mentira; todo es segnel color del cristal con el que se mira.


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Areces, Carlos - Elija Su Propia Lógica

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