ÁreasOctubre 2012

V.B.V.

MAT022 – II semestre 2013

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Ya estudiamos la integral de Riemann

f(x)

a b

Área Sea f una función no negativa y acotada en

[a,b]Buscamos calcular el área en la región:R= {(x,y) 2: x[a,b] y [0,f(x)]}Se denota: Aa

b(f)

Proposición.f riemann integrable el área Aa

b(f) corresponde a la integral de riemann.

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Área entre dos funciones

f(x)

a bg(x)

Área entre dos funcionesSean f y g funciones.Se tiene:

x[a,b]: 0f(x) g(x) : Aab(f) Aa

b(g)c[a,b]: Aa

b(f) = Aac(f) + Ac

b(f)

Proposición.El área encerrada por dos funciones f y g

entre a y b, está dada por:

න |𝑓ሺ𝑥ሻ−𝑔(𝑥)|𝑑𝑥𝑏𝑎

ESTRATEGIA1. Hacer la grafica2. Calcular intersección(es) de las curvas3. Estudiar los “rectángulos”4. Determinar |f(x)-g(x)|

Luego de obtener esto, calcular el área.

Ejemplo 1: Área entre dos curvasCalcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2+2 ; y = -x ; x = 0 ; x = 1

OBS: f y g no se cortana y b se dan explicitamente

Ejemplo 2: Área entre dos curvas que se cortan, con a y b desconocidosCalcular el área de la región acotada por las graficas de y = 2 –x2 ; y = x

Ejemplo 3: Área entre dos curvas que se cruzanCalcular el área de la región acotada por las graficas de f(x) = x2 ; g(x) = 2- x2 ; 0 x2

Ejemplo 4: Área de una región determinada por 3 curvas.Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2 ; y= 2- x ; y=0

Observación:

•Imaginar que rotamos los ejes…•O bien pensar en intercambiar “x” por “y”.•Podemos calcular el área en términos de “dy”.

Ejemplo 5: Calcular el área como una integral en y.Resolver el ejercicio anterior en dy.

IMPORTANTE:•Escribir x=f-1(y) ; x=g-1(y) •Determinar intersección en y.•Signo de f-1(y) - g-1(y) en el intervalo [c,d]

Ejercicio Propuesto:1. Encontrar el área de las regiones encerradas

por:

x=3-y2 ; x=y+1. Utilizar dx y dy ¿en que caso resulta mas simple?2. Calcular el área acotada por las graficas de

x= y2 ; x=2-y2

Ejemplo 6: Los puntos de intersección no se conocen “exactamente”.Calcular el área acotada por y= cos x e y = x2

Ejemplo 7: Área de una curva cerrada (loops).Calcular el área acotada por y2= x2- x4

Ejercicios Propuestos:Encontrar el área de las regiones encerradas

por:y=3-x ; y=x2-9y=10x-x2 ; y = 3x-8y = sen x ; y = cos x entre las rectas x=0 y

x= 8y = x3 ; 8y = 2x3 +x2 -2xxy = 9 ; x + y = 4y = 3x - x2 , y = 3 x2 - x3 entre las rectas x = 0

, x = 3x = 1-y4; x = y(1 - y2).

Calcula el área de las dos partes en que la parábola: y2 = 4x divide al círculo x2 + y2 = 8.

Calcula el área de una elipse de semiejes a y b.

Expresar en términos de una integral el área de la región más grande limitada por x2 + y2 = 25 y la recta x = −3.