Araceli Guzm an y Guillermo Garro · 2017. 9. 29. · Paul Halmos, Teor a intuitiva de los...

Introduccion a la Teorıa de Conjuntos

Algebra

Araceli Guzman y Guillermo Garro

Facultad de CienciasUNAM

Semestre 2018-1

doyouwantmektalwar.wordpress.com

Logica y conjuntos Algebra

Referencias basicas

1. Armando O. Rojo, Algebra, 1978. Bajar aquı.

2. Bravo, Rincon, Rincon, Algebra superior, 2006. Bajar aquı.

3. Carmen Gomez, Algebra superior, 2014. Bajar aquı.

4. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajar aquı

5. Cardenas, Lluis, Raggi, Tomas, Algebra Superior, 1990. Bajar aquı.

6. Paul Halmos, Teorıa intuitiva de los conjuntos, 1965. Bajar aquı.

Otras referencias

1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajar aquı.

2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981. Bajar aquı.

3. Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos, 2003. Bajar aquı.

Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM

¿Que es la Teorıa de Conjuntos?

La Teorıa de Conjuntos es un lenguaje. Sin ella, no solo es imposible hacer matematicas,sino que ni siquiera podemos decir de que se trata esta. Es los mismo que intentarestudiar literatura francesa sin saber algo de frances. Hewitt y Stromberg en su libroReal and Abstract Analysis dicen: “Desde el punto de vista de un logico, las matematicasson la Teorıa de Conjuntos y sus consecuencias”.

Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos.

Conjuntos

La palabra conjunto se usa como sinonimo de familia o coleccion de objetos. Usamoslas letras mayusculas A, B, C, X, Y , etc, para denotar conjuntos.

Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, y escribimos a ∈ Apara denotar que el objeto a es un elemento (un miembro) del conjunto A, lo que leemoscomo “a pertenece a A”.

Si a no es elemento del conjunto A, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a nopertenece a A”. Formalmente, definimos /∈ con la sentencia:

a /∈ A⇔ ¬(a ∈ A).

Generalmente usamos llaves “{, }” para describir conjuntos, pues dentro de ellas sueleenlistarse los elementos que componen un conjunto, o bien, alguna propiedad distintivade sus elementos.

Ejemplos

1) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A, pero 5 /∈ A.

2) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A pero {2} /∈ A.

3) Si A = {R}, entonces R ∈ A, pero 2 /∈ A.

Conjuntos

La palabra conjunto se usa como sinonimo de familia o coleccion de objetos. Usamoslas letras mayusculas A, B, C, X, Y , etc, para denotar conjuntos.

Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, y escribimos a ∈ Apara denotar que el objeto a es un elemento (un miembro) del conjunto A, lo que leemoscomo “a pertenece a A”.

Si a no es elemento del conjunto A, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a nopertenece a A”. Formalmente, definimos /∈ con la sentencia:

a /∈ A⇔ ¬(a ∈ A).

Generalmente usamos llaves “{, }” para describir conjuntos, pues dentro de ellas sueleenlistarse los elementos que componen un conjunto, o bien, alguna propiedad distintivade sus elementos.

Ejemplos

1) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A, pero 5 /∈ A.

2) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A pero {2} /∈ A.

3) Si A = {R}, entonces R ∈ A, pero 2 /∈ A.

Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos

A = {x : P (x)},lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.

¿Que es una propiedad?

Con animo de no entrar en demasiadas precisiones, seguiremos al Prof.Fernando Hernandez (en su libro Teorıa de conjuntos) que al respecto dice:

Para nosotros, una propiedad es una proposicion tal que para cualquierobjeto es posible decidir, sin ambiguedad si dicho objeto la verifica. Si unobjeto x verifica la propiedad P (x) decimos que la propiedad es verdadera;en caso contrario decimos que la propiedad es falsa. Cuando P (x) esverdadera tambien decimos que el objeto x tiene la propiedad P (x).

Ejemplos

1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.

Ejemplos

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Ejemplos

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Ejemplos

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Ejemplos

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Ejemplos

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Ejemplos

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Ejemplos

[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

Contencion

Si A y B son conjuntos, decimos que A esta contenido en B, o que B contiene a A,o que A es un subconjunto de B, lo que escribimos como A ⊂ B, o en algunos casosB ⊃ A, si todo elemento de A es un elemento de B.

Rigurosamente definimos la relacion de contencion con la sentencia:

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).

El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal.

Y tambien definimos A 6⊂ B ⇔ ¬(A ⊂ B), o en otras palabras,

A 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)

El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador existencial

Convenios notacionales

Tambien podemos escribir

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

Negacion de los cuatificadores

En general, si P (x) es una propiedad,

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x) y ¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x).

Tambien escribimos @xP (x) en lugar de ¬∃xP (x).

Contencion

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).

A 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x) y ¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x).

Contencion

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).

A 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)

A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).

¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x) y ¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x).

Principio de permutacion para cuantificadores iterados

Supongamos que P (x, y) es una propiedad en dos variables x y y. Entonces son ver-daderas en todo caso:

∀x∀yP (x, y)⇔ ∀y∀xP (x, y)

∃x∃yP (x, y)⇔ ∃y∃xP (x, y).

Aplicadamente a los conjuntos, se toman propiedades P (x, y) que se refiere a los ele-mentos x de un conjunto A y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no sonnecesariamente distintos. Entonces admitiremos como axiomas que las proposicionessiguientes son verdaderas en todo caso

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)P (x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)P (x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

es valida para cualesquiera numeros reales x y y.

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y).

Ejemplo

Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables

P (x, y) : xy = 1.

Entonces es claro que la afirmacion

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera

Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces

(Esto es, y = 1x

Teorema

La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,

y2 = yy = 1.

De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,

x = x1 = xy = 1.

En particular,2 = 1.

Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,

−x = x(−1) = xy = 1.

Ambos casos son absurdos.

∀x∀yP (x, y)⇔ ∀y∀xP (x, y)

∃x∃yP (x, y)⇔ ∃y∃xP (x, y).

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)P (x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)P (x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y).

Ejemplo

P (x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x∀yP (x, y)⇔ ∀y∀xP (x, y)

∃x∃yP (x, y)⇔ ∃y∃xP (x, y).

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)P (x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)P (x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y).

Ejemplo

P (x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x∀yP (x, y)⇔ ∀y∀xP (x, y)

∃x∃yP (x, y)⇔ ∃y∃xP (x, y).

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)P (x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)P (x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y).

Ejemplo

P (x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x∀yP (x, y)⇔ ∀y∀xP (x, y)

∃x∃yP (x, y)⇔ ∃y∃xP (x, y).

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)P (x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)P (x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y).

Ejemplo

P (x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

∀x∀yP (x, y)⇔ ∀y∀xP (x, y)

∃x∃yP (x, y)⇔ ∃y∃xP (x, y).

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)P (x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y)

(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)P (x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)

(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

No obstante,

(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)P (x, y).

Ejemplo

P (x, y) : xy = 1.

(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)

es verdadera. Pero

(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)

es falsa.

Teorema

es verdadera

(Esto es, y = 1x

Teorema

es falsa.

y2 = yy = 1.

x = x1 = xy = 1.

−x = x(−1) = xy = 1.

Otras equivalencias con cuantificadores que admitimos como axiomas

Si P (x) y Q(x) son propiedades, entonces son verdaderas en todo caso

∀x(P (x) ∧Q(x))⇔ (∀xP (x)) ∧ (∀xQ(x))

∃x(P (x) ∧Q(x))⇔ (∃xP (x)) ∧ (∃xQ(x)) .

En particular,

∀x(P (x) ∧ q)⇔ (∀xP (x)) ∧ q

∃x(P (x) ∧ q)⇔ (∃xP (x)) ∧ q.

Otras equivalencias con cuantificadores que no admitimos como axiomas

No obstante, no es posible admitir las siguientes equivalencias como verdaderas en todocaso (¿por que?)

∀x(P (x) ∨Q(x))⇔ (∀xP (x)) ∨ (∀xQ(x))

∃x(P (x) ∨Q(x))⇔ (∃xP (x)) ∨ (∃xQ(x)) .

El axioma de extension

Un conjunto esta determinado por su extension. En otras palabras, dos conjuntos soniguales si y solo si tienen los mismos elementos.

En sımbolos, dados A y B conjuntos, definimos la relacion de igualdad:

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A.

Teorema

Dados A y B conjuntos,

A = B ⇔ ∀x(x ∈ A⇔ x ∈ B).

Demostracion.

Los bicondicionales siguientes son tautologicos:

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A – definicion de =

⇔ (∀x (x ∈ A⇒ x ∈ B)) ∧ (∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A)) – definicion de ⊂

⇔ ∀x ((x ∈ A⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)) – axiomas de los cuantificadores

⇔ ∀x (x ∈ A⇔ x ∈ B) – definicion de⇔

Por transitividad A = B ⇔ ∀x (x ∈ A⇔ x ∈ B) es tautologıa.

El axioma de extension

Un conjunto esta determinado por su extension. En otras palabras, dos conjuntos soniguales si y solo si tienen los mismos elementos.

En sımbolos, dados A y B conjuntos, definimos la relacion de igualdad:

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A.

Teorema

Dados A y B conjuntos,

A = B ⇔ ∀x(x ∈ A⇔ x ∈ B).

Demostracion.

Los bicondicionales siguientes son tautologicos:

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A – definicion de =

⇔ (∀x (x ∈ A⇒ x ∈ B)) ∧ (∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A)) – definicion de ⊂

⇔ ∀x ((x ∈ A⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)) – axiomas de los cuantificadores

⇔ ∀x (x ∈ A⇔ x ∈ B) – definicion de⇔

Por transitividad A = B ⇔ ∀x (x ∈ A⇔ x ∈ B) es tautologıa.

Propiedades de ⊂

Teorema : Propiedades de ⊂

La relacion de contencion tiene las siguientes propiedades:

Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.

Anti-simetrica: A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B.

Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Demostracion.

Reflexiva: Si A es un conjunto, entonces para todo a, a ∈ A⇔ a ∈ A es siempre V.

Transitiva: Si A, B y C son conjuntos, y A ⊂ B y B ⊂ C, entonces para todo a, loscondicionales

a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C,

son siempre V, ası que por transitividad de ⇒, el condiconal

a ∈ A⇒ a ∈ C,

es siempre V. O sea, A ⊂ C.

Propiedades de =

Teorema

La igualdad de conjuntos tiene las siguientes propiedades: Sean A , B y Cconjuntos.

Reflexiva A = A.

Simetrica A = B ⇔ B = A.

Transitiva A = B ∧B = C ⇒ A = C.

Demostracion.

Reflexiva: A ⊂ A es siempre V para todo conjunto A. (Consecuencia de que a ∈ A⇒a ∈ A es siempre V).

Simetrica: Para cualesquieera conjuntos A yB,

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A

Transitiva: Si A = B y B = C, entonces A ⊂ B ⊂ C y C ⊂ B ⊂ A, y consecuente-mente A ⊂ C y C ⊂ A, esto es, A = C.

El Axioma del Conjunto Vacıo

Generalmente aceptamos como axioma (o como consecuencia directa de otros axiomas)que existe un conjunto “que no tiene elementos”, que llamamos (apropiadamente)conjunto vacıo, y denotamos como ∅.

El conjunto vacıo cumple entonces que, para todo x (cualquier cosa que sea x), x /∈ ∅.

Aunque este conjunto puede parecer extrano, podemos caracterizarlo simplemente como

∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.

Teorema

El conjunto vacıo esta contenido en cualquier otro conjunto. Esto es, si A es unconjunto, entonces ∅ ⊂ A.

Demostracion.

Si A es un conjunto tal que ∅ 6⊂ A, entonces debera existir un x tal que x ∈ ∅ y x /∈ A,pero esto es en sı contradictorio con la propiedad que define al conjunto vacıo (que notiene elementos).

∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.

Teorema

Demostracion.

∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.

Teorema

Demostracion.

Corolario

El conjunto vacıo es unico.

Demostracion.

Si ∅′ es otro conjunto con la propiedad de que para todo x, x /∈ ∅′, entonces cumpletambien con la propiedad expuesta en el teorema anterior, es decir, estara contenido encualquier otro conjunto, en particular

∅′ ⊂ ∅,

y dado que tambien se cumple∅ ⊂ ∅′,

se sigue∅ = ∅′.

Ejemplo

∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ∈ · · · .

Corolario

El conjunto vacıo es unico.

Demostracion.

Si ∅′ es otro conjunto con la propiedad de que para todo x, x /∈ ∅′, entonces cumpletambien con la propiedad expuesta en el teorema anterior, es decir, estara contenido encualquier otro conjunto, en particular

∅′ ⊂ ∅,

y dado que tambien se cumple∅ ⊂ ∅′,

se sigue∅ = ∅′.

Ejemplo

∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ∈ · · · .

Algebra de Conjuntos

Las operaciones basicas entre conjuntos son las siguientes:

La union de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

En particular, si A ∩B = ∅ decimos que A y B son disjuntos o ajenos.

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto

A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}.

Observacion:

Asumiremos como verdaderas en todocaso las siguientes sentencias

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B

x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B

x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B

Algebra de Conjuntos

Las operaciones basicas entre conjuntos son las siguientes:

La union de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

En particular, si A ∩B = ∅ decimos que A y B son disjuntos o ajenos.

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto

A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}.

Observacion:

Asumiremos como verdaderas en todocaso las siguientes sentencias

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B

x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B

x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B

Diferencia simetrica

La diferencia simetrica de los conjuntos A y B es el conjunto

A4B = {x : x ∈ A Y x ∈ B}.

Pero recordemos (ver tarea) que

(x ∈ A) Y (x ∈ B)⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A).

De donde es inmediato que

A4B = (A\B) ∪ (B\A).

Observacion:

Admitiremos como verdadera en todo caso la siguientesentencia:

x ∈ A4B ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)

Diferencia simetrica

La diferencia simetrica de los conjuntos A y B es el conjunto

A4B = {x : x ∈ A Y x ∈ B}.

Pero recordemos (ver tarea) que

(x ∈ A) Y (x ∈ B)⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A).

De donde es inmediato que

A4B = (A\B) ∪ (B\A).

Observacion:

Admitiremos como verdadera en todo caso la siguientesentencia:

x ∈ A4B ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)

El complemento

Algunas veces se considera un conjunto “universal”, digamos U , como un conjuntotal que todos los demas conjuntos que nos interesan estan contenidos en este, aunquegeneralmente no se menciona de forma explıcita. En tal caso, si A es un subconjuntode U , definimos el complemento de A como el conjunto

Ac = U\A.

Se cumple entonces que para cualesquiera conjuntos A y B contenidos en U ,

A ∩Bc = A\B.

Observacion:

Si conocemos el “universo” U , sin ser explıtico, entoncespodemos escribir simplemente

x ∈ Ac ⇔ x /∈ A

El complemento

Algunas veces se considera un conjunto “universal”, digamos U , como un conjuntotal que todos los demas conjuntos que nos interesan estan contenidos en este, aunquegeneralmente no se menciona de forma explıcita. En tal caso, si A es un subconjuntode U , definimos el complemento de A como el conjunto

Ac = U\A.

Se cumple entonces que para cualesquiera conjuntos A y B contenidos en U ,

A ∩Bc = A\B.

Observacion:

Si conocemos el “universo” U , sin ser explıtico, entoncespodemos escribir simplemente

x ∈ Ac ⇔ x /∈ A

Ejemplo

Sea U el conjunto de los numeros dıgitos, i.e.

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

y seanA = {1, 2, 3, 5, 6, 9} y B = {0, 2, 4, 6, 8}

subconjuntos de U . Entonces

A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = U

A ∩B = {2, 6}A\B = {1, 3, 5, 9}B\A = {0, 4, 8}A4B = {0, 1, 3, 4, 5, 8, 9}

Ac = {0, 4, 7, 8}Bc = {1, 3, 5, 7, 9}

¿Por que es paradojico el “conjunto de todos los conjuntos”?

Generalmente, un “conjunto de todos los conjuntos” no es admitido en una teorıa deconjuntos que hable unicamente de conjuntos.

Es decir, si los objetos de una teorıa de conjuntos son solo conjuntos, entonces aquellacoleccion que reune a todos los conjuntos, no es un conjunto.

Aunque en realidad, ello depende de los axiomas que estemos suponiendo para unateorıa de conjuntos.

Hay modelos aximomaticos que admiten un conjunto universal.

Y hay otras teorıas de conjuntos que admiten otros objetos mas que conjuntos, y en talcaso hablamos de la clase de todos los conjuntos.

Pero, ¿en donde radica la controversia?

En realidad el conjunto de todos los conjuntos no es el principal problema, como seusualmente se piensa. Mas bien resulta excluido como una consecuencia necesaria deexpulsar otro tipo de “conjuntos” que sı resultan paradojicos.

Estas paradojas son resultado de la vision “intuitiva” de un conjunto, como “coleccionarbitraria” de objetos. Vision que resulta demasıado amplia para caracterizarse rigurosa-mente.

Pensemos por ejemplo en el “conjunto”

B = {C : C /∈ C}.

Es decir, B reune todos aquellos conjuntos que no se pertenecen a sı mismos.

En la vision intuitiva, el conjunto B se forma arbitrariamente de aquellos otros conjuntosque cumplen la propiedad

P (C) : C /∈ C.

Pero cabe preguntarse que tipo de conjunto es B, de los que se pertenecen a sı mismos,o de los que no. En otras palabras

¿B ∈ B o B /∈ B?

Veamos que esta pregunta ¡no tiene respuesta!

Si sucede que B ∈ B, entonces por definicion B /∈ B. Contradiccion.

Si sucede que B /∈ B, entonces por negacion de la definicion de B mismo, B ∈ B.Contradiccion.

Ası que B ∈ B y B /∈ B son ambas verdaderas en contra del principio de no con-tradiccion.

Resulta ası que no cualquier propiedad P (x) arbitraria puede usarse para formar unconjunto.

Esta observacion nos lleva a preguntar ¿que propiedades sı definen conjuntos? Desafor-tunadamente no hay manera de conocer esto, y algunos resultados de logica, especial-mente el llamdo teorema de incompletitud de Godel, indican que una respuesta plenaes imposible.

Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos.

Axioma de Separacion (Esquema de Comprension)

Una solucion es limitar la amplitud de la idea intuitiva de conjunto: Para formar unconjunto a partir de una propiedad P (x), no vamos a considerar todos aquellos x quecumplen P (x), sino solo aquellos x que, de hecho, ya pertenecen a otro conjunto y quecumplen P (x). Mas especıficamente: Si A es un conjunto y P (x) es una propiedad,entonces admitimos que

B = {x : x ∈ A ∧ P (x)} – preferimos escribir B = {x ∈ A : P (x)} –

es un conjunto, en lugar de admitir

{x : P (x)}.

De esta forma, el conjunto

B = {C : C ∈ A ∧ C /∈ C}

no es paradojico.

En efecto, ello se sigue de que la proposicion

[(B /∈ B)⇒ (B /∈ A ∨B ∈ B)]⇔ [(B /∈ B)⇒ (B /∈ A)]

es Verdadera.

Teorıa formal de conjuntos

Antes de seguir, se hace necesario aclarar que, formalmente, un conjunto es conceptoprimitivo, es decir es un concepto “no definido”. Ello es ası porque intentar definirlonos llevarıa a razonamientos circulares del tipo que uno encuentra cuando recurre a undiccionario para definir aalguno concepto, por ejemplo, segun el diccionario de la RAE,conjnto es...

Conjunto: Agregado de varias cosas o personas / Totalidad de los elementos o cosasposeedores de una propiedad comn, que los distingue de otros.

Y si ahora buscamos que es agregado y totalidad encontramos

Agregado: Conjunto de cosas homogneas que se consideran formando un cuerpo //Totalidad: Conjunto de todas las cosas o personas que forman una clase o especie

Primitivo tambien es la unica relacion no definida entre conjuntos, denotada con la letragriega ∈, e interpretada coloquialmente como “pertenencia”.

El algebra de conjuntos es un ejemplo eminente de logica aplicada a la teorıa de ciertosobjetos, los conjuntos. Veremos en lo que sigue como en practicamente cada unode los resultados del algebra de conjuntos, subyace un resultado analogo de la logiaproposicional.

Algunas propiedades son casi inmediatas

Teorema : Idempotencia

Para todo conjunto A,A ∪A = A = A ∩A.

Demostracion.

Para todo x,

x ∈ A ∪A⇔ x ∈ A ∨ x ∈ A – definicion de ∪

⇔ x ∈ A – idempotencia: p ∨ p⇔ p

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A – idempotencia: p ∧ p⇔ p

⇔ x ∈ A ∩A – definicion de ∩.

Luego, por transitividad, para todo x.

x ∈ A ∪A⇔ x ∈ A y x ∈ A ∩A⇔ x ∈ A.

Lo que prueba efectivamente que

A ∪A = A y A ∩A = A

Teorema

Para todo conjunto A,

A\A = ∅, A\∅ = A y ∅\A = ∅.

Demostracion.

Por la ley de no contradiccion, la proposicion x ∈ A\A es falsa. En efecto, por ladefinicion de \,

x ∈ A\A⇔ (x ∈ A) ∧ (x /∈ A),

y (x /∈ A) ⇔ ¬(x ∈ A). Por lo tanto @x(x ∈ A\A) es verdadera. Pero el unicoconjunto que no tiene elementos es el vacıo, en consecuencia, A\A = ∅.

terminar prueba o poner las ultimas dos en un teorema aparte

Teorema : Conmutatividad de ∩ y ∪

Sean A y B conjuntos. Entonces

A ∪B = B ∪A y A ∩B = B ∩A.

Demostracion.

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B – definicion de ∪

⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A – conmutatividad: p ∨ q ⇔ q ∨ p

⇔ x ∈ B ∪A – definicion de ∪.

Teorema

A ∩B ⊂ A ⊂ A ∪B.

Demostracion.

x ∈ A ∩B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B – definicion de ∩

⇒ x ∈ A – simplificacion: p ∧ q ⇒ p

⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B – adicion: p⇒ p ∨ q

⇒ x ∈ A ∪B – definicion de ∪.

Teorema

Sean A y B conjuntos. Entonces A ⊂ B si y solo si A ∩B = A.

Demostracion.

[⇒] Seamos claros: Hipotesis: A ⊂ B. Por demostrar: A ∩B = A.

¿Que significa la hipotesis? Recordemos que

A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A(x ∈ B).

De modo que asumiremos que el condiconal siguiente es verdadero en todo caso:

x ∈ A⇒ x ∈ B – estrictamente se trata de la proposicion ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).

Tenemos ası,

x ∈ A⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ A ∩B.

Lo que prueba que A ⊂ A∩B. Pero ya sabemos que A∩B ⊂ A. Luego A = A∩B.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM

Teorema

Sean A y B conjuntos. Entonces A ⊂ B si y solo si A ∪B = B.

Teorema : Asociatividad de ∩ y ∪

Sean A, B y C conjuntos. Entonces

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) – definicion de ∪

⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪

⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C – asoc.: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

⇔ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C – definicion de ∪

⇔ x ∈ (A ∪B) ∪ C – definicion de ∪.

Convenio: Eliminacion de parentesis

Para tres conjuntos A, B y C, definimos

A ∪B ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

En general, para una coleccion finita de conjuntos A1, A2, ..., An,definimos recursivamente

A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A1 ∪ (A2 ∪ (· · · (An−1 ∪An) · · · ))A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · (An−1 ∩An) · · · ))

Convenio

Otra notacion para uniones e intersecciones finitas

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

Uniones e intersecciones numerables

Si para cada i ≥ 1, Ai es un conjunto, definimos

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

Con mas precision: Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

A ∪B ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Convenio

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

A ∪B ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Convenio

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

A ∪B ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Convenio

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Demostracion.

A ∪B ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Convenio

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

n⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An

∞⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·

∞⋂i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·

∞⋃i=1

Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}

∞⋂i=1

Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}

Teorema

Para todo conjunto A,

A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅

Demostracion.

Ya sabemos que ∅ ⊂ A ∪ ∅. Ahora,

x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ ∅⇒ x ∈ A,

puesto que x ∈ ∅ es imposible (absurdo), ası A ∪ ∅ ⊂ A. Esto prueba que A ∪ ∅ = A.

Por otra parte,∅ ⊂ A ∩ ∅ ⊂ ∅.

De donde A ∩ ∅ = ∅.

Las propiedades que mas se usan

Teorema : Leyes distributivas

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Demostracion.

x ∈ A ∪ (B ∩ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C – definicion de ∪

⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) – definicion de ∩

⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) – dist.: p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

⇔ x ∈ A ∪B ∧ x ∈ A ∪ C – definicion de ∪

⇔ x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) – definicion de ∩.

Leyes distributivas por la derecha

Lo que probamos son leyes distributivas por la izquierda. No obstante,se sigue de inmediato, por conmutatividad, las leyes distributivas por laderecha:

(A ∩B) ∪ C = C ∪ (A ∩B) – conm. de ∪

= (C ∪A) ∩ (C ∪B) – dist. izq.

= (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) – conm. de ∪.

Pero no dejemos de observar que...

... las leyes distributivas respecto a ∪ y ∩ son consecuencia directa de lasleyes distributivas de los conectivos ∧ y ∨:

Demostracion.

(A ∩B) ∪ C = C ∪ (A ∩B) – conm. de ∪

= (C ∪A) ∩ (C ∪B) – dist. izq.

= (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) – conm. de ∪.

Demostracion.

(A ∩B) ∪ C = C ∪ (A ∩B) – conm. de ∪

= (C ∪A) ∩ (C ∪B) – dist. izq.

= (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) – conm. de ∪.

Un par de propiedades muy importantes

Teorema : Leyes de De Morgan

A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).

Demostracion.

x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p

⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)

⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.

Mas de cerca:

x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de /∈

⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪

⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.

Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:

Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Demostracion.

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Mas de cerca:

Algunas propiedades casi inmediatas

Corolario

A\B = A\(A ∩B).

Demostracion.

A\(A ∩B) = (A\A) ∪ (A\B) – De Morgan

= ∅ ∪ (A\B) – A\A = ∅

= A\B – ∅ es neutro para ∪.

Teorema : \ se distribuye sobre ∪ por la derecha

(A ∪B)\C = (A\C) ∪ (B\C).

Demostracion.

x ∈ (A ∪B)\C ⇔ x ∈ A ∪B ∧ x /∈ C – definicion de \

⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C – definicion de ∪

⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ C) – dist.: (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

⇔ x ∈ A\C ∨ x ∈ B\C – definicion de \

⇔ x ∈ (A\C) ∪ (B\C) – definicion de ∪.

Teorema : \ se distribuye sobre ∪ por la derecha

(A ∪B)\C = (A\C) ∪ (B\C).

Otra demostracion.

(A ∪B)\C = (A ∪B) ∩ Cc– ∀A(A\B = A ∩ B

= (A ∩ Cc) ∪ (B ∩ Cc) – dist.

= (A\C) ∪ (B\C) – ∀A(A\B = A ∩ Bc).

Corolario

A\B = (A ∪B)\B.

Demostracion.

(A ∪B)\B = (A\B) ∪ (B\B) – \ se distribuye sobre ∪ por la derecha

= (A\B) ∪ ∅ – B\B = ∅

= A\B – ∅ es neutro para ∪.

Corolario

A4B = (A ∪B)\(A ∩B).

Demostracion.

A4B = (A\B) ∪ (B\A) – definicion de 4

=[A\(A ∩B)

]∪[B\(A ∩B)

]– A\B = A\(A ∩ B) y B\A = B\(A ∩ B)

= (A ∪B)\(A ∩B) – \ se distribuye sobre ∪ por la derecha.

Otra prueba:

Desde luego, esta igualdad es consecuencia directa de la tautologıa(ver tarea)

(x ∈ A Y x ∈ B)⇔ [(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)]

Corolario

A4B = (A ∪B)\(A ∩B).

Demostracion.

A4B = (A\B) ∪ (B\A) – definicion de 4

=[A\(A ∩B)

]∪[B\(A ∩B)

]– A\B = A\(A ∩ B) y B\A = B\(A ∩ B)

= (A ∪B)\(A ∩B) – \ se distribuye sobre ∪ por la derecha.

Otra prueba:

Desde luego, esta igualdad es consecuencia directa de la tautologıa(ver tarea)

(x ∈ A Y x ∈ B)⇔ [(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)]

Teorema

(A ∩B)\C = A ∩ (B\C) = (A\C) ∩ (B\C).

Demostracion.

Para la primera igualdad:

x ∈ (A ∩B)\C ⇔ x ∈ A ∩B ∧ x /∈ C – definicion de \

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ∩

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B\C – definicion de \ (y asoc.)

⇔ x ∈ A ∩ (B\C) – definicion de ∩.

Teorema

(A ∩B)\C = A ∩ (B\C) = (A\C) ∩ (B\C).

Demostracion.

Para la segunda igualdad:

x ∈ (A ∩B)\C ⇔ x ∈ A ∩B ∧ x /∈ C – definicion de \

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ∩

⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ C ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p

⇔ x ∈ A\C ∧ x ∈ B\C – definicion de \ (y asoc.)

⇔ x ∈ (A\C) ∩ (B\C) – definicion de ∩.

Una particion frecuente

Teorema

A = (A ∩B) ∪ (A\B)

prueba con dibujitos.

Teorema

A = (A ∩B) ∪ (A\B)

prueba con notacion de complementos.

Teorema

A = (A ∩B) ∪ (A\B)

prueba usando ley de no contradiccion

Otra particion tıpica

Teorema

A = (A ∪B)\(B\A)

prueba usando dibujitos

Teorema

A = (A ∪B)\(B\A)

prueba usando notacion complementaria

Teorema

A = (A ∪B)\(B\A)

prueba ley del tercero excluido

Un ultimo hecho importante

Teorema : ∩ se distribuye sobre 4

A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).

Demostracion con dibujitos.

A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).

Demostracion.

A ∩ (B4C) = A ∩[(B\C) ∪ (C\B)

]– definicion de 4

=[A ∩ (B\C)

]∪[A ∩ (C\B)

]– ∩ se distribuye sobre ∪

=[(A ∩B)\C

]∪[(A ∩ C)\B

]– Teorema anterior

=[(A ∩B)\(A ∩B ∩ C)

]∪[(A ∩ C)\(A ∩B ∩ C)

]– ∀A,B(A\B = A\(A ∩ B))

=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)

]\(A ∩B ∩ C) – \ se distribuye sobre ∪ por la der.

=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)

]\[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)

]– (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

= (A ∩B)4(A ∩ C) – definicion de 4.

∩ se distribuye sobre 4 por la derecha

Lo que probamos es que ∩ se distribuye sobre 4 por la izquierda. No obstante,se sigue de inmediato, por conmutatividad, que tambien lo hace por la derecha:

(A4B) ∩ C = C ∩ (A4B) – conm. de ∩

= (C ∩A)4(C ∩B) – ∩ se distribuye sobre 4 por la izquierda

= (A ∩ C)4(B ∩ C) – conm. de ∩.

Otra prueba:

Nuevamente, esta ley conjuntista tambien proviene de una ley de la logicaproposicional (ver tarea):

p ∧ (q Y r)⇔ (p ∧ q) Y (p ∧ r)

(p Y q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) Y (q ∧ r)

A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).

Demostracion.

A ∩ (B4C) = A ∩[(B\C) ∪ (C\B)

=[A ∩ (B\C)

]∪[A ∩ (C\B)

=[(A ∩B)\C

]∪[(A ∩ C)\B

=[(A ∩B)\(A ∩B ∩ C)

]∪[(A ∩ C)\(A ∩B ∩ C)

]– ∀A,B(A\B = A\(A ∩ B))

=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)

]\[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)

]– (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

(A4B) ∩ C = C ∩ (A4B) – conm. de ∩

= (A ∩ C)4(B ∩ C) – conm. de ∩.

Otra prueba:

p ∧ (q Y r)⇔ (p ∧ q) Y (p ∧ r)

(p Y q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) Y (q ∧ r)

A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).

Demostracion.

A ∩ (B4C) = A ∩[(B\C) ∪ (C\B)

=[A ∩ (B\C)

]∪[A ∩ (C\B)

=[(A ∩B)\C

]∪[(A ∩ C)\B

=[(A ∩B)\(A ∩B ∩ C)

]∪[(A ∩ C)\(A ∩B ∩ C)

]– ∀A,B(A\B = A\(A ∩ B))

=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)

]\[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)

]– (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

(A4B) ∩ C = C ∩ (A4B) – conm. de ∩

= (A ∩ C)4(B ∩ C) – conm. de ∩.

Otra prueba:

p ∧ (q Y r)⇔ (p ∧ q) Y (p ∧ r)

(p Y q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) Y (q ∧ r)

Algunas frases bonitas de Paul Halmos

Los matematicos estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algode teorıa de conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar que tanto es algo.

Es un hecho en matematicas que un teorema es menos profundo cuando masgeneralmente se aplica.

La tarea del estudiante al aprender teorıa de conjuntos es la de empaparse engeneralidades poco familiares, pero esencialmente superficiales, hasta que seacostumbre tanto a ellas que pueda usarlas casi sin esfuerzo consciente.

En otras palabras, la teorıa general de los conjuntos en realidad es un materialbastante trivial, pero, si usted quiere ser un matematico, necesita algo de estateorıa, y aquı esta; leala, absorbala y olvıdela.

Araceli Guzm an y Guillermo Garro · 2017. 9. 29. · Paul Halmos, Teor a intuitiva de los...

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