Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part...

Pàg. 1 de 54

Inici

Contingut

JJ IIJ I←↩ ↪→Pant. sencera

Cerca

Tancar

Matrius elementals imatrius inverses.Determinants

Apunts de Matemàtica Discreta i ÀlgebraSegona part: Àlgebra Lineal

Tema 7: Matrius elementals i matrius inverses.Determinants

Robert Fuster

Darrera actualització: 7 de febrer de 2007

Pàg. 2 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Contingut

Unitat Temàtica 20. Matrius elementals i inverses 420.1. Matrius elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

20.1.1. Interpretació matricial de l’algorisme de Gauss-Jordan . . . 520.2. Matriu trasposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

20.2.1. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920.2.2. Matrius simètriques i antisimètriques . . . . . . . . . . . . . 9

20.3. Matrius triangulars i matrius diagonals . . . . . . . . . . . . . . . . 1120.4. Matrius inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

20.4.1. Inverses d’algunes matrius especials . . . . . . . . . . . . . . 2120.5. Descomposicions LU i LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

20.5.1. Descomposició LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2220.5.2. Descomposició LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2420.5.3. Aplicació a la resolució de sistemes lineals . . . . . . . . . . 25

20.6. Matrius ortogonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Unitat Temàtica 21. Determinants d’ordre n 2921.1. Determinants i operacions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . 3021.2. Propietats dels determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

21.2.1. Operacions elementals per columnes . . . . . . . . . . . . . 3421.3. Càlcul de determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

21.3.1. Mètode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3521.3.2. Desenvolupament per una columna o per una fila . . . . . . 37

Pàg. 3 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


21.3.3. Comparació entre el métode de Gauss i el de desenvolupa-ment per files o columnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Unitat Temàtica 22. Aplicacions dels determinants 4622.1. Rang d’una matriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.2. Resolució de sistemes lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

22.2.1. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4922.2.2. Aplicació de la regla de Cramer a sistemes indeterminats . . 50

22.3. Inversa d’una matriu regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5222.4. Determinant de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Pàg. 4 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Unitat Temàtica 20. Matrius elementals i inverses

20.1. Matrius elementalsDefinició 1

Anomenem matriu elemental a qualsevol matriu obtinguda fent unaoperació elemental sobre una matriu identitat.

Exemple 1Les matrius1 0 0

0 0 10 1 0

1 0 00 3

2 00 0 1

1 0 00 1 0−5 0 1

són elementals.

Les matrius elementals són de primer, segon o tercer tipus segons el tipusd’operació elemental que les genera:

Matrius elementals de primer tipus: Ei,j és la matriu que resulta de permutar lesfiles i i j de la identitat.

Matrius elementals de segon tipus: Ei(λ) és la matriu que resulta de multiplicarla fila i de la identitat per λ.

Pàg. 5 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Matrius elementals de tercer tipus: Ei,j(λ) és la matriu que resulta de sumar a lafila i de la identitat la fila j multiplicada per λ.

Exemple 2

E2,3 =

1 0 00 0 10 1 0

E2

(32

)=

1 0 00 3

2 00 0 1

E3,1(−5) =

1 0 00 1 0−5 0 1

20.1.1. Interpretació matricial de l’algorisme de Gauss-Jordan

Propietat 1Siga A una matriu m× n i E una matriu elemental d’ordre m. Si Bés la matriu que resulta d’efectuar sobre A l’operació elemental quedefineix E, aleshores B = EA.

En altres paraules: permutar les files i i j de la matriu A és el mateix que mul-tiplicar Ei,jA; multiplicar per α la fila i de la matriu A és fer el producte EiαA; isumar-li a la fila i de la matriu A la fila j multiplicada per α, Ei,j(α)A. D’aquestamanera, l’algorisme de Gauss o el de Gauss-Jordan no és altra cosa que un seguitde multiplicacions amb matrius elementals.

Pàg. 6 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Propietat 2L’algorisme de Gauss-Jordan aplicat a la matriu A és el resultat de(pre)multiplicar-la per un nombre finit de matrius elementals.De manera més general, si la matriu B s’obté d’efectuar k d’operaci-ons elementals sobre A, aleshores,

B = EkEk−1 . . . E1A

on Ek, Ek−1, . . . , E1 són matrius elementals.

Si anomenem T al producte EkEk−1 . . . E1, aleshores B = TA i T es pot calcularfent sobre I les mateixes operacions elementals que es fan sobre A.

Pàg. 7 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 3

Càlcul d’una forma escalonada S de la matriu A =

1 2 3 4−1 1 2 40 2 3 5

i de la matriu T tal que S = TA.

1 2 3 4 1 0 0−1 1 2 4 0 1 00 2 3 5 0 0 1

E2,1(1)−→

1 2 3 4 1 0 00 3 5 8 1 1 00 2 3 5 0 0 1

E3(3)−→

1 2 3 4 1 0 00 3 5 8 1 1 00 6 9 15 0 0 3

E3,2(−2)−→

1 2 3 4 1 0 00 3 5 8 1 1 00 0 −1 −1 −2 −2 3

Així que

S =

1 2 3 40 3 5 80 0 −1 −1

T =

1 0 01 1 0−2 −2 3

(comproveu que TA = S).

Pàg. 8 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


20.2. Matriu traspostaDefinició 2

La matriu trasposta de la matriu A = (aij) ∈ Mm,n és la matriuAt = (bji) ∈ Mn,m on bji = aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, és a dir,les files de At són les columnes de A.

Exemple 4

0 1 −11 4 12 3 7

t

=

0 1 21 4 3−1 1 7

0 11 42 3

t

=(

0 1 21 4 3

)

Pàg. 9 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


20.2.1. Propietats

Teorema 1• (At)t = A

• (A + B)t = At + Bt

• (λA)t = λAt

• (AB)t = BtAt

• (A1A2 . . . Ak)t = Atk . . . At

2At1

• Les traspostes de les matrius elementals són matrius elementalsdel mateix tipus:

Eti,j = Ei,j Ei(λ)t = Ei(λ) Ei,j(λ)t = Ej,i(λ)

20.2.2. Matrius simètriques i antisimètriques

Definició 3La matriu A és simètrica si At = A, és a dir, si aij = aji, ∀i, j.

Observem que tota matriu simètrica és quadrada.

Pàg. 10 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 5

La matriu A =

0 1 21 4 32 3 −7

és simètrica.

Definició 4La matriu A és antisimètrica si At = −A, és a dir, si aij = −aji, ∀i, j.

Observem que tota matriu antisimètrica és quadrada.Exemple 6

La matriu A =

0 1 −2−1 0 −32 3 0

és antisimètrica, però la matriu B = 1 1 −2−1 10 −32 3 0

no ho és.

Pàg. 11 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


20.3. Matrius triangulars i matrius diagonalsDefinició 5

Siga A una matriu quadrada.

• A és triangular superior si aij = 0, ∀i > j.

• A és triangular inferior si aij = 0, ∀i < j.

• A és diagonal si aij = 0, ∀i 6= j.

En altres paraules, una matriu és triangular superior quan tots els seus elementssituats per baix de la diagonal principal són zeros; triangular inferior quan sonzeros els situats per damunt, i diagonal quan són zero tots els que no estan a ladiagonal.Exemple 7

Les matrius

A =

1 2 00 −1 30 0 2

B =

1 0 02 −1 03 1 2

C =

1 0 00 −1 00 0 2

són respectivament triangular superior, tirangular inferior i diagonal.

Pàg. 12 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 2Siguen A, B ∈ Mn matrius triangulars superiors (triangulars inferi-ors (diagonals)) i λ ∈ R. Aleshores

• A + B, λA i AB són triangulars superiors (triangulars inferiors(diagonals)).

• At és triangular inferior (triangular superior (diagonal)).

20.4. Matrius inversesDefinició 6

Es diu que una matriu A ∈ Mn és regular, invertible o no singular siexisteix B tal que

AB = BA = I

A B se li diu inversa de A i es representa com A−1.En cas contrari, A és singular.

Recordem que en un conjunt amb una llei de composició associativa, si un ele-ment té simètric, aleshores el simètric és únic. Com que el producte de matrius ésassociatiu, podem assegurar la unicitat de la inversa: una matriu A no pot tenirmés d’una inversa.

Pàg. 13 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 3La inversa d’una matriu, si existeix, és única.

També és immediat que el producte de matrius invertibles és invertible:Teorema 4

Si A ∈ Mn i Bn ∈ Mn són matrius regulars, aleshores AB també ésregular i (AB)−1 = B−1A−1.Més generalment, si A1, A2, . . . Ap són totes invertibles, llavors el seuproducte també ho és i

(A1A2 . . . Ap)−1 = A−1p . . . A−1

2 A−11

Podem plantejar el càlcul d’inverses com un problema de resolució de diver-sos sistemes lineals simultanis: donada la matriu A ∈ Mn, busquem una matriuX de manera que AX = I i XA = I. Anomenant X1, X2, . . . , Xn a les columnes de Xi I1, I2, . . . , In a les de I, el que volem és

A(X1 X2 . . . Xn

)=(I1 I2 . . . In

)o bé,

AX1 = I1 AX2 = I2 . . . AXn = In

la qual cosa ens dóna un conjunt de n sistemes lineals amb n equacions i n in-cògnites, que es pot discutir i resoldre aplicant l’algorisme de Gauss-Jordan a la

Pàg. 14 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


matriu ampliada a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0. . .an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1

Exemple 8

La matriu A =(

1 20 1

)és regular i la seua inversa és

(1 −20 1

).

Aplicarem l’algorisme de Gauss-Jordan a la matriu(1 2 1 00 1 0 1

)Com que aquesta matriu ja és escalonada, podem assegurar que rang A = 2 i,pel teorema de Rouché-Frobenius, els dos sistemes lineals tenen solució única.Aplicant l’algorisme obtenim(

1 2 1 00 1 0 1

)E1,2(−2)−−−−→

(1 0 1 −20 1 0 1

)De manera que la matriu B =

(1 −20 1

)compleix la condició AB = I. Compro-

vem que també BA = I:

BA =(

1 −20 1

)(1 20 1

)=(

1 00 1

)

Pàg. 15 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Per tant, B = A−1.Exemple 9

La matriu A =(

1 22 4

)és singular.

La matriu A té rang 1, perquè la segona fila és el doble de la primera, així que enel primer pas de l’escalonament apareix una fila de zeros. D’altra banda, el rangde la matriu

(A I

)és 2, de manera que almenys un dels dos sistemes lineals és

incompatible; de fet, l’escalonament(1 2 1 02 4 0 1

)E2,1(−2)−−−−→

(1 2 1 00 0 −2 1

)ens dóna dos sistemes incompatibles.

En realitat, aquests exemples ens donen la clau de la invertibilitat: com que elrang de la matriu identitat d’ordre n és n, per a qualsevol matriu A ∈ Mn el rangde(A I

)és necessàriament n, així que A no pot ser invertible si el seu rang no és

complet.Propietat 3

Si la matriu A ∈ Mn és regular, aleshores rang A = n.

El recíproc d’aquest teorema també és cert, com veurem de seguida. Abans estu-diarem la invertibilitat de les matrius elementals.

Pàg. 16 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 5(Invertibilitat de les matrius elementals) Totes les matrius elemen-tals són regulars, i les seues inverses també són elementals del mateixtipus:

• E−1i,j = Ei,j

• Ei(λ)−1 = Ei(1/λ), ∀λ 6= 0

• Ei,j(λ)−1 = Ei,j(−λ), ∀λ ∈ R

La demostració és immediata. És interessant observar que la inversa d’una ma-triu elemental es correspon amb l’operació elemental que desfà el seu efecte.

Una vegada calculades les inverses de les matrius elementals ja podem provarel teorema fonamental sobre matrius inverses.Teorema 6

Una matriu A ∈ Mn és regular si i només si rang A = n.

Demostració: Ja hem justificat que si A és regular, aleshores el seu rang és n. Provemara el recíproc: si rang A = n aleshores la forma escalonada reduïda de A és I. Per tant,aplicant-hi l’algorisme de Gauss-Jordan tindrem

AE1−→ E2−→ . . .

Ek−→ I

on E1, . . . , Ek són matrius elementals, així que

EkEk−1 . . . E2E1A = I

Pàg. 17 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Ara bé, com que totes les matrius elementals són regulars, multiplicant aquesta expressióper les inverses corresponents tindrem

A = E−11 E−1

2 . . . E−1k I = E−1

1 E−12 . . . E−1

k

la qual cosa significa que A és un producte de matrius elementals, i per tant, invertible.De fet, la inversa de A és EkEk−1 . . . E2E1. �

En realitat, el fet que una matriu siga regular quan el seu rang és complet espot reformular de moltes maneres equivalents. El següent Teorema llista les mésinteressants.

Pàg. 18 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 7Caracterització de les matrius regulars

Siga A ∈ Mn. Les següents afirmacions són equivalents:

1. A és regular

2. Existeix una matriu B de manera que AB = I

3. rang A = n

4. Per a qualsevol B ∈ Mn,1, el sistema AX = B és compatibledeterminat

5. El sistema lineal AX = O és compatible determinat

6. Qualsevol forma escalonada de A és una matriu triangular su-perior sense zeros a la diagonal, és a dir, de la forma

a11 ∗ . . . ∗0 a22 . . . ∗

. . .0 0 . . . ann

amb aii 6= 0 ∀i.

7. Qualsevol forma escalonada principal de A és del tipus1 ∗ . . . ∗0 1 . . . ∗

. . .0 0 . . . 1

8. La forma escalonada reduïda de A és I.

9. A es pot transformar en I mitjançant operacions elementals

10. A és un producte de matrius elementals

A més a més, si A és una matriu regular, aleshores l’algorisme deGauss-Jordan transforma la matriu

(A I

)en(I A−1)

Pàg. 19 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Corol.lari 1Siguen A, B ∈ Mn. Si AB és regular, aleshores A i B són regulars.

Demostració: Si AB és regular, aleshores A (B(AB)−1) = I i per tant, A és regular. �

Exemple 10

Càlcul de la inversa, si existeix, de la matriu A =

1 2 −13 4 00 −2 1

[A|I] =

1 2 −1 1 0 03 4 0 0 1 00 −2 1 0 0 1

E2,1(−3)−−−−→

1 2 −1 1 0 00 −2 3 −3 1 00 −2 1 0 0 1

E3,2(−1)−−−−→

1 2 −1 1 0 00 −2 3 −3 1 00 0 −2 3 −1 1

Pàg. 20 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Així que rang A = 3 i A és regular

E3(−1/2)−−−−−→

1 2 −1 1 0 00 −2 3 −3 1 00 0 1 −3/2 1/2 −1/2

E2,3(−3)E1,3(1)−−−−−−−−→

1 2 0 −1/2 1/2 −1/20 −2 0 3/2 −1/2 3/20 0 1 −3/2 1/2 −1/2

E1,2(1)−−−→

1 0 0 10 10 −2 0 3/2 −1/2 3/20 0 1 −3/2 1/2 −1/2

E2(−1/2)−−−−−→

1 0 0 1 0 10 1 0 −3/4 1/4 −3/40 0 1 −3/2 1/2 −1/2

Per tant, A−1 =

1 0 1−3/4 1/4 −3/4−3/2 1/2 −1/2

.

A més a més,

A−1 =E2(−1/2)E1,2(1)E2,3(−3)E1,3(1)E3(−1/2)E3,2(−1)E2,1(−3)

i

A =E2,1(3)E3,2(1)E3(−2)E1,3(−1)E2,3(3)E1,2(−1)E2(−2)

Pàg. 21 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


20.4.1. Inverses d’algunes matrius especials

Fins ara hem introduït la matriu trasposta d’una altra, les matrius simètriques iantisimètriques, les matrius triangulars i les diagonals. Vegem el que podem diral respecte de les seues inverses.Propietat 4

Si la matriu A és regular, aleshores la seua trasposta també ho és i

(At)−1 =

(A−1

)t

Demostració: Basta comprovar que(At) (A−1

)t=(A−1A

)t= It = I

Les inverses més fàcils de calcular són les de les matrius diagonals:Propietat 5

Si la matriu diagonal A =( a11 0 ... 0

0 a22 ... 0...0 0 ... ann

)és regular (és a dir, si

no té cap zero a la diagonal) aleshores la seua inversa és A =(1/a11 0 ... 0

0 1/a22 ... 0...0 0 ... 1/ann

)

També es demostra fàcilment que la inversa d’una matriu triangular inferior és

Pàg. 22 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


també triangular inferior (i el mateix per a les triangulars inferiors). I que lesinverses de les matrius simètriques (o antisimètriques) també són simètriques(antisimètriques).

20.5. Descomposicions LU i LS

20.5.1. Descomposició LS

Quan escalonem la matriu A fent servir l’algorisme de Gauss

AE1−→ E2−→ . . .

Ek−→︸︷︷︸T

S

si posem L = T−1 = E−11 E−1

2 . . . E−1k , aleshores A = LS. Direm que A = LS on L

és una descomposició LS de A.Observem que les matrius elementals del tipus Ei(α) són diagonals, les del

tipus Ei,j(α) són triangulars superiors quan j > i i triangulars inferiors quan j < i.En canvi les matrius del tipus Ei,j no són triangulars.

Com que l’algorisme de Gauss no requereix matrius elementals del tipus Ei,j(α)amb j > i, resultarà que

si el procés d’escalonament es fa sense cap permutació de files alesho-res la matriu L és triangular inferior.

Pàg. 23 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 11A l’exemple 3, tenim TA = S amb

A =

1 2 3 4−1 1 2 40 2 3 5

S =

1 2 3 40 3 5 80 0 −1 −1

T =

1 0 01 1 0−2 −2 3

Per tant, A = LS amb

L = T−1 =

1 0 0−1 1 00 2/3 1/3

Quan es fa alguna operació elemental del tipus permutació, A = LS però L ja

no és triangular inferior sinó una permutació d’una matriu triangular inferior.

Pàg. 24 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 12

Descomposició LS de la matriu A =

0 1 2 01 2 0 01 1 0 1

0 1 2 01 2 0 01 1 0 1

E1,2−−→

1 2 0 00 1 2 01 1 0 1

E3,1(−1)−−−−→

1 2 0 00 1 2 00 −1 0 1

E3,2(1)−−−→

1 2 0 00 1 2 00 0 2 1

= S

L = E−11,2E3,1(−1)−1E3,2(1)1 = E1,2E3,1(1)E3,2(−1) =

0 1 01 0 01 −1 1

20.5.2. Descomposició LU

Anàlogament, qualsevol matriu quadrada es pot transformar en una matriu Utriangular superior mitjançant operacions elementals. Aleshores A = LU on L éstriangular inferior o una permutació d’una triangular inferior.

Pàg. 25 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 13

Dues descomposicions LU de la matriu A =(

1 2−2 5

)(

1 2−2 5

)E2,1(2)−−−→

(1 20 9

)= U1, L1 =

(1 0−2 1

)Alternativament,(

1 2−2 5

)E1,2−−→

(−2 51 2

)E2,1(1/2)−−−−−→

(−2 50 9/2

)= U2, L2 =

(−1/2 1

1 0

)

20.5.3. Aplicació a la resolució de sistemes lineals

Si A = LS és una decomposició LS de A, aleshores el sistema lineal AX = B ésequivalent al parell de sistemes escalonats

LY = B

SX = Y

Pàg. 26 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 14

Resolució del sistema AX =

123

on A =

0 1 2 01 2 0 01 1 0 1

.

A l’exemple 12 n’hem vist la decomposició LS:

L =

0 1 01 0 01 −1 1

S =

1 2 0 00 1 2 00 0 2 1

Així que resoldrem en primer lloc el sistema LY =

123

:

y2 = 1y1 = 2y1 − y2 + y3 = 3

y2 = 1y1 = 2y3 = 3− y1 + y2 = 2

i, en segon lloc, SX =

212

:

x1 + 2x2 = 2x2 + 2x3 = 1

2x3 + x4 = 2

x1 = 2− 2x2x2 = 1− 2x3x3 = 1− 1

2 x4

x1 = 4− 2λx2 = −1 + λ

x3 = 1− 12 λ

x4 = λ

Pàg. 27 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


20.6. Matrius ortogonalsDefinicions 1

Direm que un vector ~u ∈ Rn és unitari quan la seua norma és 1.Un sistema de vectors S = {~u1,~u2, . . . ,~uk} és ortogonal quan tots elsseus vectors són no nuls i ortogonals dos a dos, és a dir, ~ui · ~uj =0, ∀i 6= j.Un sistema ortogonal és ortonormal quan tots els seus vectors sónunitaris.

Per exemple, el sistema S1 = {(1, 0, 0, 2), (2, 3, 5,−1), (0,−10, 6, 0)} és ortogonal.Dividint un vector no nul per la seua norma s’obté un vector unitari. Així que

a partir de S1 podem obtenir el sistema ortonormal

S2 ={

1√5(1, 0, 0, 2),

1√39

(2, 3, 5,−1),1√34

(0,−5, 3, 0)}

Definició 7Una matriu quadrada es diu ortogonal quan les seues files formenun sistema ortonormal de vectors.

Com que les columnes de la matriu Qt són les files de Q, multiplicar escalarmentdos files de Q és el mateix que multiplicar una fila de Q per una columna de Qt i,per tant,

Pàg. 28 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 8Una matriu Q és ortogonal si i només si QQt = I. En altres paraules,una matriu Q és ortogonal si i només si la seua inversa és Qt.

Per exemple, la matriu Q =

1 0 00 1/2 −

√3/2

0√

3/2 1/2

és ortogonal, ja que

QQt =

1 0 00 1/2 −

√3/2

0√

3/2 1/2

1 0 00 1/2

√3/2

0 −√

3/2 1/2

=

1 0 00 1 00 0 1

Pàg. 29 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Unitat Temàtica 21. Determinants d’ordre nPer a simplificar la notació, representarem per A1, A2, . . . , An les files de la matriuA i per A1, A2, . . . , An les seues columnes.Definició 8

El determinant d’ordre n és una aplicació

det :Mn −→ K

que verifica les següents propietats:

1. El determinant de la matriu identitat és 1: det(I) = 1

2. Si es permuten dues files de la matriu, aleshores el determinant canvia de signe.

3. Si es multiplica la primera fila de la matriu A per un nombre α aleshores el seu determinanttambé s’hi multiplica:

det

αA1A2...

An

= α det

A1A2...

An

, α ∈ K

4. Si la primera fila de la matriu A es descomposa en suma de dos matrius fila, aleshores el deter-minant de A és la suma dels dos determinants corresponents:

det

A1 + B1

A2...

An

= det

A1A2...

An

+ det

B1A2...

An

Es pot demostrar que hi ha una única aplicació amb aquestes característiques, ésa dir, que la funció determinant d’ordre n existeix i és única. El determinant de la

Pàg. 30 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


matriu A se sol representar com |A|.

21.1. Determinants i operacions elementals

A partir de la definició és immediat el càlcul del determinant de les matrius ele-mentals i l’estudi de la relació entre operacions elementals i determinants. Jasabem que si permutem dues files el determinant canviarà de signe. Respecte ala resta d’operacions elementals,Propietat 6

Si es multiplica una fila de la matriu A per una constant, el determi-nant s’hi multiplica també: |Ei(α)A| = α |A|. Per tant, si la matriu Aconté una fila de zeros, el seu determinant és nul.

Demostració: Si es tracta de la primera fila, ja ho sabem perquè és una de les coses queexigim a la definició del determinant.

En cas contrari,

|Ei(α)A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

αAi...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

αAi...

A1...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ai...

A1...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

Ai...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= α |A|

Exactament igual podem demostrar que

Pàg. 31 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Propietat 7 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

Ai + Bi...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

Ai...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

Bi...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Propietat 8

Si una matriu té dues files iguals, aleshores el seu determinant észero.

Demostració: Si permutàvem les dues files iguals obtindríem |A| = − |A|

Propietat 9Si a una fila se li suma un múltiple d’una altra, el determinant novaria:

∣∣Eij(α)A∣∣ = |A|

Pàg. 32 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Demostració:

∣∣Eij(α)A∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

Ai + αAj...

Aj...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

Ai...

Aj...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1...

Aj...

Aj...

An

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= |A|+ α0 = |A|

Propietat 10Determinants de les matrius elementals:

|Ei(α)| = α∣∣Eij∣∣ = −1

∣∣Eij(α)∣∣ = 1

Demostració:

|Ei(α)| = |Ei(α)I| = α∣∣Eij∣∣ =

∣∣EijI∣∣ = −1∣∣Eij(α)

∣∣ =∣∣Eij(α)I

∣∣ = 1

Aquesta darrera propietat, en combinació amb les anteriors, ens permet de-duir el següent teorema, que ens va a permetre calcular el determinant d’unamatriu qualsevol i demostrar els teoremes fonamentals sobre determinants.

Pàg. 33 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 9Si E és una matriu elemental, aleshores |EA| = |E| |A|.

21.2. Propietats dels determinants

Ara ja és immediat el teorema més important des del punt de vista teòric.Teorema 10

Caracterització de matrius regularsLa matriu A és regular si i només si |A| 6= 0

Demostració: Si A és regular, aleshores sabem que A és un producte de matrius elemen-tals. Per tant, el determinant de A serà el producte dels determinants d’aquestes matriuselementals. Però com el determinant d’una matriu elemental no és zero, tampoc no hoserà el de A.

En cas contrari, és a dir, si A és singular, del tema anterior es dedueix que la formaescalonada reduïda de A, R, té almenys una fila de zeros. Per tant, A = E1E2 . . . EpR onles matrius E1, E2, . . . Ep són elementals, així que

|A| = |E1| |E2| . . .∣∣Ep∣∣ |R| = 0 �

Corol.lari 2Teorema de Binet-CauchyPer a qualsevol parell de matrius d’ordre n, A i B, |AB| = |A| |B|

Pàg. 34 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Demostració: Si A és singular, aleshores AB també ho és, de manera que |AB| = |A| = 0i es verifica la propietat. Si A no és singular, aleshores A és un producte de matriuselementals, A = E1E2 . . . Em, de manera que

|AB| = |E1E2 . . . EmB| = |E1| |E2| . . . |Em| |B| = |A| |B| �

21.2.1. Operacions elementals per columnes

Tot el que fins ara hem fet treballant amb les files de la matriu A es pot fer treba-llant amb les columnes, perquè el determinant no varia si es trasposa la matriu.Teorema 11

|A| =∣∣At∣∣

Demostració: Si A és singular, aleshores At també ho és i els dos determinants són 0. Encas contrari, A és un producte de matrius elementals:

A = E1E2 . . . Em

de manera queAt = Et

m . . . Et2E

t1

i com que és immediat que el determinant d’una matriu elemental és el mateix que el dela seua trasposta, s’obté el resultat desitjat.

Com a conseqüència del corol.lari 2 i el teorema 11 podem obtenir la següentpropietat, a prop dels determinants de les matrius ortogonals.

Pàg. 35 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 12Si Q és una matriu ortogonal, aleshores |Q| = 1 o |Q| = −1.

Demostració: Com que∣∣QQt

∣∣ = |Q| |Qt| i |Qt| = |Q|, resulta que |Q|2 = |QQt|. Però amés a més QQt = I, així que |Q|2 = 1 �

21.3. Càlcul de determinants

En realitat, ja sabem tot el necessari per a calcular el determinant de qualsevolmatriu quadrada mitjançant el mètode de Gauss. En aquesta secció concretemaquest mètode i en deduïm un altre.

21.3.1. Mètode de Gauss

La demostració dels darrers teoremes ens descriu la manera de calcular el deter-minant d’una matriu: basta anar aplicant operacions elementals fins a reduir-la aun producte de matrius elementals o fins a demostrar que és singular. Però, enel cas regular, no ens caldrà arribar tan lluny: bastarà reduir la matriu a la formatriangular, ja que

Teorema 13 El determinant d’una matriu triangular és el producte de la seua di-agonal.

Demostració: Observem que si T és triangular i conté algun zero a la diagonal, aleshoresT és singular i per tant el seu determinant és zero i es verifica la propietat. En cas contrari,

Pàg. 36 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


podem reduir-la a diagonal premultiplicant-la per matrius elementals del tipus Eij(α).Com que aquestes premultiplicacions no canvien el valor del determinant, resulta que

|T| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣t11 0 . . . 00 t22 . . . 0

. . .

. . .0 0 . . . tnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= t11t22 . . . tnn |I| = t11t22 . . . tnn

Exemple 15

Càlcul del determinant de la matriu A =

2 3 5−3 4 13 2 −1

∣∣∣∣∣∣

2 3 5−3 4 13 2 −1

∣∣∣∣∣∣ =122

∣∣∣∣∣∣2 3 5−6 8 26 4 −2

∣∣∣∣∣∣ =122

∣∣∣∣∣∣2 3 50 17 170 −5 −17

∣∣∣∣∣∣ =1

2217

∣∣∣∣∣∣2 3 50 17 170 −85 −289

∣∣∣∣∣∣ =1

2217

∣∣∣∣∣∣2 3 50 17 170 0 −204

∣∣∣∣∣∣=

2 · 17(−204)2217

= −102

Pàg. 37 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 16


1 −1 2 −11 1 1 14 0 6 12 0 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 −11 1 1 14 0 6 12 0 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 −10 2 −1 20 4 −2 50 2 −1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 −10 2 −1 20 0 0 10 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

21.3.2. Desenvolupament per una columna o per una fila

continuació deduirem una fórmula recursiva per al càlcul del determinant. En di-em recursiva perquè el que fa aquesta fórmula és reduir el càlcul d’un determinantd’ordre n al càlcul d’uns quants (n) determinants d’ordre n− 1.

Pàg. 38 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Definició 9Donada la matriu A ∈ M s’anomena menor al determinant de qual-sevol submatriu quadrada obtinguda eliminant unes quantes files icolumnes de A.En particular, el menor

∣∣Aij∣∣, obtingut eliminant la fila i i la columna

j, és el menor complementari corresponent a l’element aij.El nombre (−1)i+j

∣∣Aij∣∣ s’anomena adjunt o cofactor corresponent a

l’element aij.

La reducció del càlcul d’un determinant a determinants de menor ordre esbasa en el següent lema.Lema 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n00...0

A11

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11 |A11|

Demostració: Si A11 és singular, també ho és la matriu completa i els dos determinantssón nuls. En cas contrari, basta observar que les operacions elementals que cal realit-zar per transformar A en triangular superior són les mateixes que les que caldrien pertransformar-hi A11 i que aquestes operacions no afecten la primera fila. �

Pàg. 39 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Teorema 14 (Desenvolupament del determinant per una columna) El determinant|A| es pot calcular sumant els productes de cada element d’una columna (arbitrà-ria) de A pels seus respectius adjunts, és a dir per a qualsevol j,

|A| =n

∑i=1

(−1)i+jaij∣∣Aij∣∣

Demostració: Suposem en primer lloc que j = 1. En aquest cas, tenim

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n

. . .

. . .0 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n

. . .

. . .0 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n

. . .

. . .ann an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n0 a32 . . . a3n

. . .

. . .0 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a21 a22 . . . a2n0 a12 . . . a1n0 a32 . . . a3n

. . .

. . .0 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ · · ·+ (−1)n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ann an2 . . . ann0 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n

. . .

. . .0 an−12 . . . an−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Pàg. 40 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


On els signes alternats es justifiquen perquè, per a enviar a21 a la primera fila hem fet unintercanvi de files, per enviar a31 en fem dos...

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n00...0

A11

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a21 a22 . . . a2n00...0

A21

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ · · ·+ (−1)n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an1 an2 . . . ann00...0

An1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(ara hem utilitzat el fet que (−1)n−1 = (−1)n+1). Tenint en compte el lema:

|A| = a11 |A11| − a21 |A21|+ · · ·+ (−1)n+1an1 |An1|

Si la columna no és la primera, caldrà fer j − 1 intercanvis de columnes per a situar-lacom a tal, de manera que

|A| = (−1)j−1[

a1j∣∣A1j

∣∣− a2j∣∣A2j

∣∣+ · · ·+ (−1)n+1anj∣∣Anj

∣∣]= (−1)1+ja1j

∣∣A1j∣∣+ (−1)2+ja2j

∣∣A2j∣∣+ · · ·+ (−1)n+janj

∣∣Anj∣∣

Corol.lari 3El determinant |A| es pot calcular sumant els productes de cada ele-ment d’una fila (arbitrària) de A pels seus respectius adjunts, és a dirper a qualsevol i,

|A| =n

∑j=1

(−1)i+jaij∣∣Aij∣∣ (1)

Pàg. 41 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 17

Càlcul del determinant de la matriu

2 1 41 0 1−2 1 2

Desenvolupant per la segona fila obtenim:∣∣∣∣∣∣

2 1 41 0 1−2 1 2

∣∣∣∣∣∣ = −1∣∣∣∣1 41 2

∣∣∣∣+ 0∣∣∣∣ 2 4−2 2

∣∣∣∣− 1∣∣∣∣ 2 1−2 1

∣∣∣∣= −1(1 · 2− 4 · 1) + 0− 1(2 · 1− 1 · (−2))= −2

21.3.3. Comparació entre el métode de Gauss i el de desenvolupament perfiles o columnes

Com que tenim dos métodes per a calcular el determinant, és raonable que elscomparem per veure quin resultarà més eficient. La millor manera de fer aquestacomparació consistirà en comptar el nombre d’operacions que cal realitzar encada cas.

En primer lloc, calcularem el nombre d’operacions necessàries per a calcularun determinant pel métode de Gauss: Observem que per a canviar per zeros totsels elements per baix de a11 cal fer el següent càlcul: Canviar la fila Ai, 2 ≤ i ≤ nper Ai − ai1

a11A1. Així, haurem de

Pàg. 42 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


1. Calcular ai1a11

: una operació (per cada fila des de la segona).

2. Canviar ai1 per zero: cap operació.

3. Canviar aij, 2 ≤ j ≤ n per aij − ai1a11

a1j: una suma i un producte per cada j:2(n− 1) operacions (per cada fila des de la segona).

Això ens dóna un total de (n− 1)(1 + 2(n− 1)) = (n− 1) + 2(n− 1)2 operacionsper a reduir la primera columna. És clar que per reduir la segona columna caldràfer (n− 2) + 2(n− 2)2 operacions i així successivament. En definitiva, per reduirA a la forma triangular hem de fer

n−1

∑k=1

k + 2n−1

∑k=1

k2 =(n− 1)n

2+ 2

n(2n− 1)(n− 1)6

=n(n− 1)(4n + 1)

3

operacions. Finalment, cal multiplicar els n elements diagonals: n− 1 productes.Així doncs, el nombre total d’operacions és

n− 1 +n(n− 1)(4n + 1)

3

Vejam ara quantes operacions caldria fer per tal de calcular un determinantd’ordre n aplicant successivament el métode de desenvolupament per una filafins a reduir-lo completament.

A la fórmula 1 del corol.lari 3 s’hi suma n termes, és a dir, cal fer-hi n − 1sumes. Cadascun dels termes que hi sumem és un producte. Per tant cal fer n

Pàg. 43 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


productes on un dels factors és un determinant d’ordre n− 1. Així que, anome-nant an al nombre d’operacions corresponent a un determinant d’ordre n,

an = (n− 1) + n + nan−1 = n(2 + an−1)− 1 > nan−1 > n(n− 1)an−2 > · · · > n!

Com que ara és més complicat el càlcul exacte ens hem conformat amb una apro-ximació: per calcular el determinant desenvolupant per files cal fer més de n!operacions.

La taula 1 compara els dos métodes per a matrius d’ordres 2, 3, . . . 20 (s’hacalculat el nombre exacte d’operacions, amb l’ajut del programa Derive) i mostraclarament que el métode de desenvolupament per files o columnes no és gensrecomanable (excepte potser per a matrius d’ordres molt petits). En qualsevol cas,en la pràctica pot ser convenient una combinació dels dos métodes i en generalde les propietats conegudes dels determinants per tal de simplificar al màxim elscàlculs.Exemple 18


0 1 3 21 2 0 0−1 0 1 00 −1 2 2

Convé aprofitar el fet que A conté molts zeros: desenvolupem el determinant per la dar-rera columna:

|A| = −2

∣∣∣∣∣∣1 2 0−1 0 10 −1 2

∣∣∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣∣∣0 1 31 2 0−1 0 1

∣∣∣∣∣∣

Pàg. 44 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


En el primer determinant sumarem a la segona fila la primera i en el segon sumarem a latercera fila la segona:

|A| = −2

∣∣∣∣∣∣1 2 00 2 10 −1 2

∣∣∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣∣∣0 1 31 2 00 2 1

∣∣∣∣∣∣A continuació desenvolupem els dos determinants per la primera columna i finalmentcalculem directament els determinants d’ordre 2:

|A| = −2∣∣∣∣ 2 1−1 2

∣∣∣∣+ 2(−1)∣∣∣∣1 32 1

∣∣∣∣ = (−2)(5)− 2(−5) = 0

Pàg. 45 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


n Gauss Desenvolupant per files2 4 33 15 144 37 635 74 3246 130 1 9557 209 13 6988 315 109 5999 452 986 408

10 624 9 864 09911 835 108 505 11012 1 089 1 302 061 34313 1 390 16 926 797 48414 1 742 236 975 164 80315 2 149 3 554 627 472 07416 2 615 56 874 039 553 21517 3 144 966 858 672 404 68818 3 740 17 403 456 103 284 41919 4 407 330 665 665 962 403 99820 5 149 6 613 313 319 248 079 99921 5 970 138 879 579 704 209 680 02022 6 874 3 055 350 753 492 612 960 48323 7 865 70 273 067 330 330 098 091 15424 8 947 1 686 553 615 927 922 354 187 74325 10 124 42 163 840 398 198 058 854 693 624

Quadre 1: Nombre d’operacions en el càlcul d’un determinant

Pàg. 46 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Unitat Temàtica 22. Aplicacions dels determinants

22.1. Rang d’una matriuPropietat 11

El rang d’una matriu A ∈ Mm×n és el màxim ordre dels seus menorsno nuls.

Demostració: Siga r el rang de A. En primer lloc demostrarem que existeix un menor nonul de A d’ordre r. Si R és la forma escalonada reduïda de A, aleshores R = En . . . E2E1PAon les matrius Ei són elementals (no permutacions) i P és una matriu permutació.

Si R1 és la submatriu de R que resulta de suprimir les columnes que no contenen unsprincipals, aleshores

R1 =[

IrO

]i la submatriu de A que resulta de suprimir les mateixes columnes és

B = P−1E−11 . . . E−1

n−1E−1n R1 =

[A1A2

]Ara distingirem dos casos:

• P = I (és a dir, es pot escalonar A sense permutar files).En aquest cas, és fàcil veure que la forma escalonada reduïda de A1 és Ir

1. Això voldir que A1 és regular i

|A1| 6= 0

1Perquè totes les files de A2 s’anulen quan es pivota sobre les de A1

Pàg. 47 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


• P 6= I.Si és així, l’apartat anterior demostra que PA té un menor no nul. Però és evidentque, reordenant-hi les files, d’un menor no nul de PA se n’obté un altre de A.

Per concloure la prova, hem de demostrar que no hi ha menors no nuls d’ordre majorque r. Ho farem per reducció a l’absurd:

Suposem que existeix una submatriu A1, d’ordre p > r, el determinant de la qual ésno nul. Permutant convenientment les files i les columnes de A considerem la matriu

B =[A1 A2A3 A4

]D’una banda, sabem que el sistema lineal

AX = 0 (2)

té exactament r incògnites principals. Observem d’altra banda que les solucions del sis-tema

BX = 0 (3)

són reordenacions de les solucions de (2). Per tant, (3) té també exactament r incògnitesprincipals. Ara bé, com que A1 és regular, la forma escalonada reduïda de B és[

Ip R2O R4

]que té almenys p uns principals.

Pàg. 48 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 19

Rang de la matriu A =

0 1 3 21 2 0 0−1 0 1 00 −1 2 2

Hem vist a l’exemple 18 que el determinant de A és nul. Per tant, el seu rang és menorque 4. D’altra banda, ∣∣∣∣∣∣

2 0 00 1 0−1 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 4

així que el rang és 3.

22.2. Resolució de sistemes lineals

Quan un sistema lineal de n equacions i n incògnites és determinat es pot resoldrefent servir la regla de Cramer, que consisteix en una fórmula per a cada una de lesincògnites. Aquestes fórmules comporten el càlcul de n + 1 determinants d’ordren, de manera que tenen poca utilitat pràctica (excepte en el cas de sistemes dedues o tres equacions, el nombre d’operacions que cal realitzar és grandíssim).Ara bé, les fórmules de Cramer són útils en algunes demostracions teòriques i,a més a més, permeten calcular alguna incògnita aïlladament (en algunes apli-cacions, d’un determinat sistema només ens interessarà el valor d’alguna de lesincògnites).

Pàg. 49 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


22.2.1. La regla de Cramer

Teorema 15 (Regla de Cramer) Si A és una matriu regular i A(i) és la matriu queresulta de sustituir la columna i de A pel vector columna b, aleshores la soluciódel sistema AX = b és

xi =|A(i)||A| , i = 1, 2, . . . , n (4)

Demostració: Si b = AX aleshores, b = x1A1 + x2A

2 + · · ·+ xnAn, així que

det(A1 A2 . . . Ai−1 b Ai+1 . . . An) =

det(A1 A2 . . . Ai−1 ∑n

j=1 xjAj Ai+1 . . . An

)= x1 det

(A1 A2 . . . Ai−1 A1 Ai+1 . . . An)

+ x2 det(A1 A2 . . . Ai−1 A2 Ai+1 . . . An)

+ . . .

+ xi det(A1 A2 . . . Ai−1 Ai Ai+1 . . . An)

+ . . .

+ xn det(A1 A2 . . . Ai−1 An Ai+1 . . . An)

= xi det(A1 A2 . . . Ai−1 Ai Ai+1 . . . An) = xi det A

De manera que

xi =det

(A1 A2 . . . Ai−1 b Ai+1 . . . An)

det A�

Pàg. 50 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 20

Solució del sistema(

1 12 −1

)(xy

)=(

21

)

x =

∣∣∣∣2 11 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 12 −1

∣∣∣∣ = 1 y =

∣∣∣∣1 22 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 12 −1

∣∣∣∣ = 1

22.2.2. Aplicació de la regla de Cramer a sistemes indeterminats

Si el sistema AX = b és compatible indeterminat i el rang A és k, siga A1 unasubmatriu de A regular i d’ordre k (que existeix, per la propietat 11). El sistemalineal que resulta de suprimir les files de A que no intervenen en A1 té les mateixessolucions que AX = b (perquè té el mateix nombre d’uns principals). En aquestsubsistema es poden elegir com a principals les incògnites corresponents a lescolumnes de A1 i, escrivint-lo en la forma

A1X1 = b1 − A2X2

es pot resoldre mitjançant la regla de Cramer.

Pàg. 51 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 21

Solució del sistema

1 1 11 1 −13 3 1

xyz

=

35

11

Com que els rangs de A i A∗ són els dos iguals a 2, el sistema és indeterminat. Ele-gim una submatriu de A que siga regular i d’ordre 2. Per exemple, A1 =

( 1 11 −1

),

que correspon a les dues primeres files i a les columnes primera i tercera de A.Per tant, suprimim la tercera equació i elegim la segona variable com a lliure. Elsistema que en resulta és: (

1 11 −1

)(xz

)=(

3− y5− y

)Resolent-lo per la regla de Cramer obtindrem:

x =

∣∣∣∣3− y 15− y −1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 11 −1

∣∣∣∣ =−8− 2y−2

= −4− y

z =

∣∣∣∣1 3− y1 5− y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 11 −1

∣∣∣∣ =2−2

= −1

Pàg. 52 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


22.3. Inversa d’una matriu regular

Definició 10 (Matriu adjunta) Si A ∈ Mn, la matriu adjunta de A, que represen-tarem com adj A, es defineix com la matriu formada substituint cada entrada deA pel seu determinant adjunt i transposant la matriu obtinguda, és a dir,

adj A =

|A11| − |A21| . . . (−1)n+1 |An1|− |A12| |A22| . . . (−1)n+2 |An2|

. . .

. . .(−1)1+n |A1n| (−1)2+n |A2n| . . . |Ann|

Cal dir que alguns textos anomenen adjunta de la matriu A a la que resulta de

substituir cada element pel seu adjunt (sense transposarla).Teorema 16

Si A és una matriu regular, llavors A−1 = 1|A| adj A.

Demostració: Si A−1 =(B1 B2 . . . Bn) aleshores AA−1 = I, de manera que

A(B1 B2 . . . Bn) =

(I1 I2 . . . In)

o, equivalentment,AB1 = I1, AB2 = I2, . . . , ABn = In

Pàg. 53 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


de manera que B1 és la solució del sistema AX = I1. Aplicant-hi la regla de Cramer,

B11 =1

det A

∣∣∣∣∣∣∣∣1 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n

. . .0 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

det A|A11|

B21 =1

det A

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 1 . . . a1na21 0 . . . a2n. . .an1 0 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ = − 1det A

|A12|

i així successivament. �

22.4. Determinant de Vandermonde

El determinant de Vandermonde té interès teòric perquè apareix en diversos pro-blemes matemàtics, com ara la interpolació polinomial, les equacions diferencialslineals...

Es tracta del determinant

V(a1, a2, . . . , an) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1a1 a2 . . . ana2

1 a22 . . . a2

n. . .. . .

an−11 an−1

2 . . . an−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Pàg. 54 de 54

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Amb dos o tres variables el podem calcular sense cap dificultat:

V(a1, a2) =∣∣∣∣ 1 1a1 a2

∣∣∣∣ = a2 − a1

V(a1, a2, a3) =

∣∣∣∣∣∣1 1 1a1 a2 a3a2

1 a22 a2

3

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 0 0a1 a2 − a1 a3 − a1a2

1 a22 − a2

1 a23 − a2

1

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣a2 − a1 a3 − a1a2

2 − a21 a2

3 − a21

∣∣∣∣ =

(a3 − a1)(a2 − a1)∣∣∣∣ 1 1a2 + a1 a3 + a1

∣∣∣∣= (a3 − a2)(a3 − a1)(a2 − a1)

En general,V(a1, a2, . . . , an) = ∏

j>i(aj − ai),

de manera que podem assegurar que el determinant de Vandermonde és nul si inomés si algun dels nombres ai està repetit.

Per exemple,

V(1,−1, 3, 5) = (5− 1)(5 + 1)(5− 3)(3− 1)(3 + 1)(−1− 1) = 768

Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part...

Documents

Transcript of Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part...