Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Primera part:...

Pàg. 1 de 62

Inici

Contingut

JJ IIJ I←↩ ↪→Pant. sencera

Cerca

Tancar

Introducció a la lògicamatemàtica

Apunts de Matemàtica Discreta i ÀlgebraPrimera part: Matemàtica Discreta

Tema 1: Introducció a la lògica matemàtica

Robert Fuster

Darrera actualització: 23 de setembre de 2006

Pàg. 2 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Contingut

Introducció 3

Unitat Temàtica 1. Proposicions, taules de veritat i connectors 41.1. Proposicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Connectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Fórmules proposicionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Taules de veritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Tautologies i contradiccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Unitat Temàtica 2. Equivalències i implicacions. Inferència 202.1. Equivalència tautològica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Implicacions tautològiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Inferència en el Càlcul Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Unitat Temàtica 3. Càlcul de Predicats. Inferència 423.1. Predicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Quantificadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3. Inferència en el Càlcul de Predicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Unitat Temàtica 4. La demostració en Matemàtiques i el principi d’induc-ció 52

4.1. Els mètodes de demostració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2. Els nombres naturals i el mètode d’inducció . . . . . . . . . . . . . . 54

Pàg. 3 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Introducció

El raonament lògic és a la base de tot el discurs científic (no es pot fer ciència oparlar de ciència si no es fa servir una metodologia basada en la lògica). Històri-cament, la lògica s’ha considerat com una part de la filosofia, però modernamentels raonaments lògics es poden formalitzar amb un llenguatge simbòlic i en granpart es poden reduir a operacions algebraiques, la qual cosa ens permet parlar dela lògica matemàtica.

Molt esquemàticament, podem dir que la lògica s’encarrega de discutir si undeterminat raonament és o no correcte, però també que senta les bases per a disse-nyar màquines capaces de reproduir (o almenys simular) els nostres raonaments.Per això precissament, la lògica matemàtica és el fonament teòric més importantde la Informàtica.

En aquest tema estudiarem els les idees bàsiques del càlcul de proposicionsi del càlcul de predicats (o lògica de primer ordre). Finalment dedicarem unaunitat temàtica a les demostracions en Matemàtiques i especialment al mètoded’inducció.

Pàg. 4 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Unitat Temàtica 1. Proposicions, taules de veritat iconnectors

1.1. Proposicions

Els elements bàsics de la lògica són les proposicions.Definicions 1

Una proposició és una afirmació de la qual es pot dir sense ambigüi-tat (i de forma excloent) que és certa o falsa.El valor lògic d’una proposició és 1 o 0 segons siga certa o falsa.

Les proposicions se solen representar mitjançant lletres minúscules o majús-cules (p, q...).

Per exemple, les afirmacionsp: Jaume Roig fou un homeq: Isabel de Villena fou una dona

són proposicions certes. En canvi,r: El gos és un amfibi

és una proposició falsa.

+ Fixeu-vos bé en la definició de proposició: una afirmació que es pot sabersi és certa o falsa és una proposició, així que Hui plou o La Terra és unsatèlit de la Lluna són proposicions. Però no ho és, per exemple, Et semblaque anem al teatre?, perquè una pregunta no afirma res. Tampoc no és unaproposició la frase Aquesta és una proposició falsa (per què?).

Pàg. 5 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


1.2. Connectors

Les proposicions es poden combinar entre elles per fer-ne de noves, mitjançantels connectors lògics. De seguida veurem quins són els connectors què es fan servirhabitualment, però els més usuals són la negació (no), la disjunció (o) i la conjunció(i). Per exemple, les dues proposicions que segueixen són certes:

P: Jaume Roig fou un home i Isabel de Villena fou una donaQ: L’àrgon és un gas noble o l’any té 400 dies

En canvi, aquestes altres són falses:R: L’àrgon és un gas noble i l’any té 400 diesS: Jaume Roig no fou un home

Els connectors es representen amb símbols especials:

representa la negació lògica. Per exemple, si P és la proposició Jaume Roig fouun home, aleshores la proposició Jaume Roig no fou un home es representad’aquesta manera: P (que es llegeix “no P”).

∨ representa la disjunció lògica. Per exemple, si P és la proposició L’àrgon ésun gas noble i Q la proposició L’any té 400 dies, aleshores la proposicióL’àrgon és un gas noble o l’any té 400 dies es representa com P∨Q (que esllegeix “P o Q”).

∧ representa la conjunció lògica. Per exemple, si P és la proposició L’àrgon ésun gas noble i Q la proposició L’any té 400 dies, aleshores la proposició Q:L’àrgon és un gas noble i l’any té 400 dies es representa com P ∧Q (que esllegeix “P i Q”).

Pàg. 6 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Les proposicions més simples (que no inclouen connectors) s’anomenen àtomso proposicions atòmiques. Les compostes per altres proposicions i connectors s’ano-menen molècules o proposicions moleculars.

De vegades es representen les proposicions (atòmiques o moleculars) amb lle-tres majúscules (P, Q, R. . . ) i es reserva l’ús de les minúscules per al cas en quèes vol puntualitzar que una proposició és atòmica. Nosaltres, però, farem servirindistintament les majúscules o les minúscules per a representar qualsevol tipusde proposició.

1.2.1. Ús de parèntesis

Quan una proposició inclou diverses proposicions components o diversos con-nectors caldrà evitar certes ambigüitats. El llenguatge natural inclou moltes d’a-questes ambigüitats, que no es poden admetre en el context lògic. Per exemple,l’afirmació

En aquest instant plou i fa sol o està nevantno és clara mentre no introduïm algun signe de puntuació. Com ara,

En aquest instant plou, i fa sol o està nevantEn aquest instant plou i fa sol, o està nevant

Quan representem simbòlicament les proposicions evitarem les ambigüitats mit-jançant l’ús dels parèntesis. En l’exemple que ens ocupa, l’expressió

P ∧Q ∨ R

Pàg. 7 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


seria ambigüa (i per tant no pot representar cap proposició). Les possibles ex-pressions correctes són aquestes:

P ∧ (Q ∨ R)(P ∧Q) ∨ R

1.2.2. Tipus de Connectors

En lògica matemàtica s’admeten diversos connectors. En aquest apartat defini-rem els més habituals. Primer de tot, recordem els connectors bàsics que ja hemintroduït:

La negació no (simbòlicament, )

P (verbalment, no P) és certa només quan la proposició P és falsa.

Així que si P és falsa, P serà certa i si P és certa, P serà falsa.

La conjunció i (simbòlicament, ∧)

P ∧Q (verbalment, P i Q) és certa només quan les dues proposicionsP i Q ho són.

De manera que si una de les dues proposicions P, Q és falsa, també ho seràP ∧Q.

Pàg. 8 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


La disjunció o (simbòlicament, ∨)

P ∨ Q (verbalment, P o Q) és certa sempre que almenys una de lesproposicions P i Q ho és.

Això vol dir que P ∨ Q és certa en tres casos: quan P és falsa i Q és certa;quan P és certa i Q és falsa i també quan P i Q són certes.

Potser el llenguatge natural és ambigu en aquest punt i algunes personespoden interpretar que P ∨ Q ha de ser certa només quan una de les dues(però no totes dues) proposicions P i Q és certa. En lògica es distingeixaquesta possibilitat mitjançant un altre connector lògic:

La disjunció excloent o . . . o . . . (simbòlicament,4)

P4Q (verbalment, o P o Q) és certa quan una de les dues proposici-ons P i Q ho és i l’altra no.

És a dir, per a què P4Q siga certa el que ha de passar és que P siga certa iQ falsa o que P siga falsa i Q certa. Quan P i Q són les dues certes o les duesfalses, llavors P4Q és falsa. Així doncs, la proposició

L’àrgon és un gas noble o la setmana té 7 dies

és certa (perquè es tracta d’una disjunció i les dues proposicions atòmiquesque la componen són certes), però

O l’àrgon és un gas noble o la setmana té 7 dies

és falsa (perquè es tracta d’una disjunció excloent).

Pàg. 9 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


El condicional si . . . aleshores . . . (simbòlicament,→)

P→ Q (verbalment, si P aleshores Q) és falsa només quan P és certa iQ és falsa.

Cal entendre correctament el significat d’aquest connector: el que afirma ésque si P és una proposició certa aleshores Q també és certa; però no s’afirmares a prop de la certesa de P i Q! Per exemple, la proposició

Si Robert és Déu aleshores els gats volen

és certa, perquè les dues proposicions Robert és Déu i Els gats volen sónfalses.

El bicondicional . . . si i només si . . . (simbòlicament,↔)

P↔ Q (verbalment, P si i només si Q) és certa quan les dues proposi-cions P i Q són certes i també quan les dues proposicions són falses.

Per exemple, aquestes dues proposicions són certes:

Robert és Déu si i només si els gats volenL’àrgon és un gas noble si i només si la setmana té set dies

1.2.3. Jerarquia de Connectors

Com ja hem comentat abans, quan en una proposició intervenen dos o més con-nectors es poden produir interpretacions ambígües. Per exemple, si definim lessegüents proposicions

Pàg. 10 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


p: hui plouq: demà eixirem a pescarr: pescarem un refredat

i escrivim l’afirmació

Hui plou i si demà eixim a pescar aleshores pescarem un refredat (1)

d’aquesta manera:

p ∧ q→ r

alguna altra persona podria interpretar que el que volem dir és

Si hui plou i demà eixim a pescar aleshores pescarem un refredat (2)

Per tal d’evitar aquestes imprecissions fem ús dels parèntesis de manera que que-de clar a quines proposicions s’aplica cada connector. En el nostre exemple, l’ex-pressió (1) es representaria com p ∧ (q → r), mentre que (2) es representa com(p ∧ q)→ r.

Ara bé, per a reduir el nombre de parèntesis necessari per a representar les fór-mules proposicionals complexes s’estableix una jerarquia dels connectors. Aquestaés, de major a menor,

↔ → ∧∨

Que la jerarquia d’un connector és més gran que la d’un altre vol dir que enabsència de parèntesis el segon s’executa abans que no el primer (l’abast del con-nector de jerarquia més gran és major), de manera que, per exemple, l’expressió

Pàg. 11 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


P ↔ Q la negació s’ha d’aplicar únicament a la proposició P abans d’aplicar labicondicional; en altres paraules, P↔ Q és el mateix que (P)↔ Q.

Cal notar que els connectors disjunció i conjunció tenen la mateixa jerarquia,així que en cap cas no es pot escriure P ∧ Q ∨ R, perquè no hi ha cap manera dedecidir si aquesta expressió representa (P ∧Q) ∨ R o bé P ∧ (Q ∨ R).

Estudiarem la possibilitat de suprimir els parèntesis en un parell d’exemples.Exemple 1

Expressem lògicament la següent afirmació amb el mínim nombre deparèntesis possible:

Si hui plou, aleshores demà no eixirem a pescar o pescaremun refredat

Definint les següents proposicionsP: hui plouQ: demà eixirem a pescarR: pescarem un refredat

podem escriure la proposició d’aquesta manera:

P→((Q) ∨ R

)Però com el condicional té preferència sobre la disjunció i aquesta sobre la

negació, podem suprimir tots els parèntesis i escriure

P→ Q ∨ R

Pàg. 12 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 2Fem el mateix amb l’expressió

Hui plou i si demà eixim a pescar aleshores pescarem un re-fredat

Fent servir les mateixes proposicions P, Q i R, ja hem vist que aquesta afirmacióes pot expressar simbòlicament com

P ∧ (Q→ R)

però ara no hi podem suprimir els parèntesis, perquè l’expressió P ∧ Q → Rsignificaria Si hui plou i demà eixim a pescar, aleshores pescarem un refredat.

1.3. Fórmules proposicionals

El Càlcul Proposicional és la tècnica que es fa servir per determinar la certesa ofalsedat d’una determinada expressió lògica. Per tal d’estudiar aquesta tècnicahaurem de precisar què s’ha d’entendre per expressió lògica.

Una fórmula proposicional (també anomenada forma proposicional o fun-ció proposicional) és una expressió composta per

• símbols (normalment lletres) que representen altres fòrmulesproposicionals i que s’anomenen variables proposicionals, i

• connectors i parelles de parèntesis (que asseguren que no hi haambigüitats).

Pàg. 13 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Cal insistir en la manca d’ambigüitat; per exemple, P∧ (Q∨R) és una fórmulaproposicional, però P ∧Q ∨ R no ho és.

Cal tenir molt clara la diferència entre els conceptes de proposició i de formaproposicional. Una expressió com

P ∧ (Q ∨ R) (3)

és una fórmula proposicional; però només és una proposició quan P, Q i R sónproposicions concretes. Cal tenir clar que una proposició és necessàriament ver-tadera o falsa, mentre que una fórmula proposicional pot ser una cosa o l’altrasegons quin siga el valor de veritat de les expressions que la componen.

Per exemple, la forma proposicional (3) pot representar tant la proposició ver-tadera

Joan és home, i l’àrgon és un gas noble o la setmana té 8 diescom la proposició falsa

Robert és Déu, i l’àrgon és un gas noble o la setmana té 8 dies

1.4. Taules de veritat

Els valors lògics de les fórmules proposicionals es visualitzen mitjançant les taulesde veritat.

La taula de veritat d’una fórmula proposicional és un quadre en quèes mostren els valors de veritat d’aquesta fórmula en funció dels va-lors de veritat de les variables que hi intervenen.

Pàg. 14 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Les taules de veritat dels connectors definits anteriorment són aquestes:

NegacióP P0 11 0

ConjuncióP Q P ∧Q0 0 00 1 01 0 01 1 1

DisjuncióP Q P ∨Q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Disjunció excloentP Q P4Q0 0 00 1 11 0 11 1 0

CondicionalP Q P→ Q0 0 10 1 11 0 01 1 1

BicondicionalP Q P↔ Q0 0 10 1 01 0 01 1 1

Explicarem la manera en què s’ha de construir la taula de veritat d’una fór-mula proposicional complexa mitjançant un exemple.Exemple 3

Taula de veritat de la fórmula proposicional (

P ∧Q→ R)

• En primer lloc preparem un quadre amb una columna per a cada variableproposicional. En el nostre cas,

Pàg. 15 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


P, Q, R

i una columna addicional per a cada una de les operacions que es fan ambelles per tal de construir l’expressió completa, en el nostre cas,

P ∧Q, P ∧Q→ R, (

P ∧Q→ R)

De manera que el quadre ha de tenir sis columnes:

P Q R P ∧Q P ∧Q→ R (

P ∧Q→ R)

• Ara combinarem de totes les maneres possibles els valors de veritat de P, Qi R. Com que cada una d’elles pot tenir dos valors (0 i 1), això significa que

Pàg. 16 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


tindrem 23 = 8 combinacions possibles:


P ∧Q→ R)

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

Us recomanem que organitzeu sempre d’aquesta manera els valors de ve-ritat de les variables: començant per la darrera variable, on alternem zerosi uns; per a la variable anterior la seqüència és de dos zeros i dos uns; acontinuació, de quatre zeros i quatre uns i així successivament. Fent-ho ai-xí, els vuit valors de la seqüència PQR es corresponen amb la representacióbinària amb tres dígits dels nombres 0, 1, 2, . . . , 7 (000, 001, 010, . . . , 111).1

• La resta de columnes es va completant tenint en compte els valors de veritatdels connectors que hi intervenen. En el nostre cas,

1La taula de veritat d’una fórmula proposicional amb quatre variables tindria 24 = 16 en-trades, que es corresponen amb les representacions binàries (amb quatre dígits) dels nombres0, 1, 2, . . . , 15 (0000, 0001, 0010, . . . , 1111)

Pàg. 17 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


+ Calculem en primer lloc els valors de P ∧Q:


P ∧Q→ R)

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

Pàg. 17 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


+ En segon lloc els de P ∧Q→ R


P ∧Q→ R)

0 0 0 0 10 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 1

Pàg. 17 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


+ I, finalment, (

P ∧Q→ R)


P ∧Q→ R)

0 0 0 0 1 00 0 1 0 1 00 1 0 0 1 00 1 1 0 1 01 0 0 0 1 01 0 1 0 1 01 1 0 1 0 11 1 1 1 1 0

Pàg. 18 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


1.5. Tautologies i contradiccionsDefinicions 2

Una tautologia (τ) és una forma proposicional que és sempre certa(independentment del valor lògic de les variables que hi intervenen).Una contradicció (φ) és una forma proposicional que és sempre falsa(independentment del valor lògic de les variables que hi intervenen).Qualsevol altra forma proposicional és una contingència (és a dir,una contingència és una forma proposicional que pren els dos valorslògics).

Una forma senzilla d’esbrinar si una determinada forma proposicional és unatautologia, una contradicció o una contingència és construir la corresponent taulade veritat.

Els exemples més simples de tautologia i de contradicció són aquests:

• P ∨ P és una tautologia2

• P ∧ P és una contradicció

Per comprovar-ho bastarà que construïm les taules de veritat:

P P P ∨ P0 1 11 0 1

P P P ∧ P0 1 01 0 0

2Així que «to be or not to be» no és cap problema.

Pàg. 19 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


En algunes formes proposicionals apareixen explícitament els símbols τ i φque, com ja hem indicat, representen respectivament una tautologia o una con-tradicció. Òbviament, en les taules de veritat corresponents s’ha de considerasempre la variable τ com a vertadera i φ com a falsa. Per exemple, la taula deveritat de la forma proposicional (τ ∧ P)→ (Q ∧ φ) és la següent:

P Q τ φ P τ ∧ P Q ∧ φ (τ ∧ P)→ (Q ∧ φ)0 0 1 0 1 1 0 00 1 1 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 1

En la pròxima unitat temàtica estudiarem les tautologies que es fan servir ha-bitualment.

Pàg. 20 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Unitat Temàtica 2. Equivalències i implicacions. In-ferència en el càlcul proposicio-nal

Per a simplificar expressions lògiques i per a poder determinar els seus valors deveritat es poden fer servir diverses tautologies.

2.1. Equivalència tautològicaDefinició 1

Si l’expressió bicondicional P ↔ Q és una tautologia, aleshores lidiem equivalència (tautològica) i escrivim P ⇔ Q o P ≡ Q, que esllig

P és equivalent a Q

També direm que les funcions proposicionals P i Q són equivalents.

Pàg. 21 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 4Provem la propietat commutativa de la disjunció

P ∨Q ≡ Q ∨ P

Per comprovar aquesta afirmació construïm la taula de veritat de P∨Q↔ Q∨ P:

P Q P ∨Q Q ∨ P P ∨Q↔ Q ∨ P0 0 0 0 10 1 1 1 11 0 1 1 11 1 1 1 1

Com que la darrera columna d’aquesta taula només conté uns, la bicondicional ésuna equivalència. Ara bé, és evident que aquesta darrera columna no té cap zeroperquè les dues columnes corresponents a P∨Q i Q∨ P són idèntiques. En altresparaules dues formes proposicionals P i Q són equivalents quan tenen la mateixa taulade veritat, de manera que, per a estudiar si P i Q són equivalents, en comptes decomprovar si la taula de veritat de l’expressió P ↔ Q només conté uns, podemveure si les taules de veritat de P i de Q són iguals.

Pàg. 22 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 5Comprovem la següent propietat (una de les LLeis De Morgan):(P ∨Q) ≡ P ∧ Q

Construïm la taula de veritat de (P ∨Q) i la de P ∧ Q:

P Q P ∨Q (P ∨Q) P Q P ∧ Q0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0

Les dues columnes marcades en negreta són idèntiques, de manera que efectiva-ment (P ∨Q) ≡ P ∧ Q.

Els quadres 1–3 mostren les equivalències que farem servir habitualment.

Pàg. 23 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


En primer lloc, les propietats algebraiques bàsiques de la disjunció i la con-junció, que anomenarem propietats booleanes (quadre 1).

Quadre 1: Propietats booleanes de la disjunció i la conjuncióPropietats associatives P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨Q) ∨ R

P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧Q) ∧ R

Propietats commutatives P ∨Q ≡ Q ∨ PP ∧Q ≡ Q ∧ P

Propietats distributives P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨ R)P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧ R)

Elements neutres P ∨ φ ≡ PP ∧ τ ≡ P

Complementarietat P ∨ P ≡ τ

P ∧ P ≡ φ

Les propietats associatives i commutatives són semblants a les propietats delmateix nom típiques de l’àlgebra numèrica (com ara, a + b = b + a).

En canvi, les dues operacions ∨ i ∧ són mútuament distributives (en les opera-cions aritmètiques, el producte és distributiu respecte a la suma, però la suma noho és respecte al producte!).

Les propietats associatives ens permeten suprimir els parèntesis quan s’a-pliquen conjuncions o disjuncions a més de dues variables proposicionals; per

Pàg. 24 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


exemple, com que P ∧ (Q ∧ R) és equivalent a (P ∧ Q) ∧ R, escriurem simple-ment P ∧ Q ∧ R. Anàlogament, expressions com P ∨ Q ∨ S ∨ T tampoc no sónambigües.

Les quatre últimes pròpietats fan referència a les tautologies i les contradic-cions: en primer lloc, φ és el neutre de la disjunció i τ l’és de la conjunció; i,finalment, les propietats de complementarietat són probablement les tautologiesmés òbvies:

Plou i no ploués una contradicció, mentre que

Plou o no ploués una obvietat.

Pàg. 25 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


A continuació llistem altres equivalències importants.

Quadre 2: Altres propietats de la disjunció, la conjunció i la negacióElements absorbents P ∨ τ ≡ τ

P ∧ φ ≡ φ

Idempotència P ∧ P ≡ PP ∨ P ≡ P

Lleis De Morgan (P ∨Q) ≡ P ∧ Q(P ∧Q) ≡ P ∨ Q

Propietats simplificatives P ∨ (P ∧Q) ≡ PP ∧ (P ∨Q) ≡ P

La doble negació equivala l’afirmació

P ≡ P

Notem que els elements neutres de cada un dels connectors ∨ i ∧ es comportacom absorbent per a l’altre connector.

El següent exemple ens pot ajudar a entendre el significat de les lleis De Mor-gan:

No és cert que hui és diumenge i anem al cineés equivalent a

Hui no és diumenge o no anem al cine.

Pàg. 26 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Quadre 3: Propietats del connector condicionalCondicional-disjunció P→ Q ≡ P ∨Q

Condicional-bicondicional (P→ Q) ∧ (Q→ P) ≡ (P↔ Q)

Transposició P→ Q ≡ Q→ P

Llei d’exportació (P ∧Q)→ R ≡ P→ (Q→ R)

Finalment, les equivalències del quadre 3 fan referència als connectors condi-cional i bicondicional.

Les dues primeres mostren que en realitat aquests connectors són innecessaris,perquè qualsevol expressió lògica que els continga és equivalent a una altra en laqual només apareguen disjuncions, conjuncions i negacions.

Com a exemple de la propietat de transposició podem enunciar el següent: lesafirmacions

Si hui és diumenge aleshores anem al cineSi no anem al cine aleshores hui no és diumenge.

són equivalents.

Pàg. 27 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


2.1.1. Simplificació d’expressions lògiques

Totes aquestes equivalències es poden fer servir per tal de simplificar una deter-minada forma proposicional, és a dir, trobar-ne una altra d’equivalent i més sen-zilla. La base del mètode consisteix en què qualsevol formula proposicional potsubstituir-se per una altra d’equivalent.Exemple 6

Simplifiquem la forma proposicional

(P→ R)→ (R ∧ P)

Aplicant successivament diverses equivalències obtenim:

(P→ R)→ (R ∧ P) ≡ (P→ R) ∨ (R ∧ P) Condicional-disjunció

( P→ R ) ∨ (R ∧ P) ≡ ( P ∨ R ) ∨ (R ∧ P) Condicional-disjunció

( P ∨ R ) ∨ (R ∧ P) ≡ (P ∧ R) ∨ (R ∧ P) Llei De Morgan

(P ∧ R) ∨ (R ∧ P) ≡ (P ∧ R) ∨ (R ∧ P) Doble negació

(P ∧ R) ∨ ( R ∧ P ) ≡ (P ∧ R) ∨ ( P ∧ R ) Prop. commutativa

(P ∧ R) ∨ (P ∧ R) ≡ P ∧ R Idempotència

Pàg. 28 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


2.2. Implicacions tautològiques

Definició 2Si l’expressió condicional P→ Q és una tautologia, aleshores li diemimplicació (tautològica) i escrivim P⇒ Q, que es llig

P implica Q

També es diu que P és l’antecedent i Q és el conseqüent de la impli-cació.

Exemple 7Provem la implicació

Q⇒ (P→ Q)

Aquesta propietat es coneix com implicació condicional

Construïm la taula de veritat de Q → (P → Q) i comprovem que es tracta d’unatautologia:

P Q P→ Q Q→ (P→ Q)0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 1 1

Pàg. 29 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


També podem provar aquesta propietat fent servir les equivalències que jaconeixem:

Q→ (P→ Q) ≡ Q ∨ (P→ Q) Condicional-disjunció

≡ Q ∨ (P ∨Q) Condicional-disjunció

≡ Q ∨Q ∨ P Commutativa i associativa

≡ τ ∨ P Complementarietat≡ τ Absorbent

Les implicacions tautològiques més usuals s’enumeren al quadre 4.

Pàg. 30 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Quadre 4: Implicacions tautològiques més usualsSimplificació P ∧Q⇒ P

P ∧Q⇒ Q

Addició P⇒ P ∨Q

Condicional Q⇒ (P→ Q)

Sil.logisme hipotètic (P→ Q) ∧ (Q→ R)⇒ (P→ R)

Sil.logisme disjuntiu (P→ Q) ∧ (R→ S) ∧ (P ∨ R)⇒ (Q ∨ S)(P→ Q) ∧ (R→ S)⇒ ((P ∨ R)→ (Q ∨ S))

Modus ponens (P→ Q) ∧ P⇒ Q

Modus tollens (P→ Q) ∧ Q⇒ P

Modus tollendo ponens (P ∨Q) ∧ P⇒ Q

Pàg. 31 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


2.3. Inferència en el Càlcul ProposicionalDefinició 3

La inferència és el procès que permet arribar a una conclusió partintd’unes premisses.Consisteix en una successió finita de passos en els quals es fan servirles lleis de la inferència. (El quadre 5 mostra les lleis de la inferènciatal com les farem servir en aquest curs).

En altres paraules, l’objectiu del procès d’inferència és provar que la conclusióés una proposició certa suposant que les premisses són proposicions certes. Cadapas de la inferència consisteix en la introducció d’una conclusió parcial que esdedueix de les premisses fent servir les lleis de la inferència i les tautologies queja coneixem. Aquesta conclusió parcial es pot fer servir com una nova premissa.

En els següents apartats explicarem quines són les tècniques més habitualsque es fan servir en els procesos d’inferència.

Pàg. 32 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Quadre 5: Lleis de la inferència

Llei de les premissesUna premissa pot ser utilitzada en qualsevol pas de la inferència.

Llei de la unióSi en un pas de la inferència es té la premissa P i en un altre la pre-missa Q, aleshores es pot introduir la nova premissa P ∧Q.

Llei d’inserció de tautologiesEn qualsevol pas es pot introduir una tautologia.

Llei d’ús de les implicacions tautologiquesSi en un pas es té l’antecedent d’una implicació tautològica aleshoresse’n pot concloure el conseqüent.

Llei d’ús de les equivalències tautològiques Qualsevol forma proposici-onal pot ser substituïda per una altra de tautològicament equivalent.

Pàg. 33 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


2.3.1. Inferència directa

La inferència directa consisteix a arribar a la conclusió directament a partir de lespremisses.Exemple 8

Provem que de les premisses

P1: P→ QP2: Q→ (S→ R)P3: P ∧ R

es dedueix la conclusió S.

Tenint en compte les implicacions anomenades simplificació (P ∧ Q ⇒ P i P ∧Q⇒ Q) i la llei d’ús de les implicacions tautològiques, com que tenim la premissaP ∧ R podem concloure P i també R. Afegim aquestes conclusions parcials a lanostra llista de premisses:

P1: P→ QP2: Q→ (S→ R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)

(observeu com anotem la justificació d’aquest pas indicant la tautologia que s’hiaplica).

Pàg. 34 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Segon pas: de les premisses P1 (P → Q) i P4 (P), per la llei de la unió podemintroduir la premissa (P→ Q) ∧ P. Aleshores, fent servir el modus ponens podemconcloure Q:

P1: P→ QP2: Q→ (S→ R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)

Novament podem aplicar el modus ponens a les premisses P2(

Q→ (S→ R))

i P6 (Q) per a obtenir S→ R.

P1: P→ QP2: Q→ (S→ R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S→ R Modus ponens(2,6)

Ara, per transposició de la premissa P7

Pàg. 35 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


P1: P→ QP2: Q→ (S→ R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S→ R Modus ponens(2,6)P8: R→ S Transposició (7)

I com que la doble negació equival a l’afirmació,

P1: P→ QP2: Q→ (S→ R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S→ R Modus ponens(2,6)P8: R→ S Transposició (7)P9: R→ S Doble negació (8)

Finalment, de les premisses P9 i P5 obtenim (m. ponens) la conclusió que cer-cavem.

Pàg. 36 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


P1: P→ QP2: Q→ (S→ R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S→ R Modus ponens(2,6)P8: R→ S Transposició (7)P9: R→ S Doble negació (8)C: S Modus ponens(9,5)

Exemple 9Formulem simbòlicament i justifiquem el següent enunciat:

Si F. Alonso no guanya el mundial de Fórmula 1, els seguidors de Schu-macker ho cel.lebraran i Renault no li renovarà el contracte a F. Alonso.Si F. Alonso guanya el mundial de Fórmula 1, a Astúries faran una granfesta.Els seguidors de Schumacker no ho cel.lebraran. Per tant, a Astúries faranuna gran festa.

Primer de tot elegim les següents proposicions:P: F. Alonso guanya el mundial de Fórmula 1Q: Els seguidors de Schumacker ho cel.lebraranR: Renault li renovarà el contracte a F. AlonsoS: A Astúries faran una gran festa

Pàg. 37 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Ara podem formular l’enunciat en els següents termes:

P1: P→ Q ∧ RP2: P→ SP3: QC: S

Els passos de la inferència poden ser els següents:

P1: P→ Q ∧ RP2: P→ SP3: QP4: (Q ∧ R)→ P Transposició (1)P5: Q ∨ R→ P De Morgan (4)P6: Q ∨ R Addició (3)P7: P Modus ponens (5,6)C: S Modus ponens (2,7)

2.3.2. Inferència condicional

La inferència condicional es basa en l’equivalència

P→ (Q→ R) ≡ P ∧Q→ R

Tenint en compte aquesta equivalència, quan la conclusió és una condicional Q→R el que farem serà afegir Q a les premisses i deduir-ne R per inferència directa.

Pàg. 38 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 10De les premisses

P1: U ∧Q→ RP2: U ∨Q→ PP3: R→ P

es dedueix la conclusió U → Q.

Com que la conclusió és una condicional el que farem serà afegir U com a pre-missa i deduir Q:

P1: U ∧Q→ RP2: U ∨Q→ PP3: R→ PP4: U Premissa auxiliarP5: U ∨Q Addició (4)P6: P Modus ponens (2,5)P7: R Modus tollens (3,6)P8: U ∧Q Modus tollens (1,7)P9: U ∨ Q Llei De Morgan (8)C: Q Modus ponens (4,8)

En realitat, hem provat que P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ U ⇒ Q, però això és equivalent aP1∧ P2∧ P3⇒ U → Q, que era el que volíem provar.

Pàg. 39 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


2.3.3. Inferència bicondicional

Quan la conclusió és un bicondicional (P↔ Q) es fa servir l’equivalència condicional-bicondicional, (P ↔ Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P), per a descompondre el proble-ma en dos: en primer lloc es prova que de les premisses s’infereix P→ Q i despréses fa el mateix amb Q→ P.Exemple 11

Comprovem que de les premisses

P1: (P ∧ Q)P2: S→ QP3: P ∨ S

es pot concloure P↔ Q.

El mètode bicondicional consisteix en descomposar el problema en:

Condicional directe:

De les premisses

P1: (P ∧ Q)P2: S→ QP3: P ∨ S

es pot concloure P→ Q.

Condicional recíproc:

De les premisses

P1: (P ∧ Q)P2: S→ QP3: P ∨ S

es pot concloure Q→ P.

Pàg. 40 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Per a cadascun d’aquests problemes aplicarem el mètode condicional:

Condicional directe:

P1: (P ∧ Q)P2: S→ QP3: P ∨ SP4: P Premissa auxiliarP5: P ∨Q De Morgan (1)C: Q Modus ponens (5,4)

Condicional recíproc:

P1: (P ∧ Q)P2: S→ QP3: P ∨ SP4: Q Premissa auxiliarP5: S Modus tollens (2,4)C: P Modus ponens (3,5)

2.3.4. Inferència per reducció a l’absurd

Aquest mètode consisteix en fer el següent raonament: per a provar que de P esdedueix Q, suposem que Q és falsa; si a partir d’aquí arribem a un absurd (a unacontradicció), aleshores Q haurà de ser certa. Formalment, el mètode es basa enla tautologia

P ∧ Q→ φ ≡ P→ Q

Pàg. 41 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


En la pràctica, introduirem Q com a premissa auxiliar i mirarem d’arribar a unacontradicció.Exemple 12

De les premisses

P1: P→ Q ∧ SP2: P→ RP3: Q

es dedueix la conclusió R.

Farem una inferència per reducció a l’absurd:

P1: P→ Q ∧ SP2: P→ RP3: QP4: R Premissa auxiliar (reducció a l’absurd)P5: P Modus tollens (2,4)P6: Q ∧ S Modus ponens (1,5)P7: Q Simplificació (6)P8: Q ∧ Q Addició (7,3)P9: φ Complementarietat

Així doncs, les premisses P1, P2 i P3 són incompatibles amb R, de manera que Rha de ser cert.

Pàg. 42 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Unitat Temàtica 3. Càlcul de Predicats. Inferència

Si limitem la lògica matemàtica al càlcul proposicional no és possible justificarraonaments de l’estil del sil.logisme clàssic

Tots els homes són mortals.Aristòtil és home.Per tant, Aristòtil és mortal.

Par això ens cal enriquir la nostra teoria amb la introducció de proposicions que espuguen aplicar a individus i col.lectivitats d’individus, de manera que hi tinguencabuda expressions del estil de tots els homes o algunes dones. Amb aquesta finalitatintroduïm el Càlcul de Predicats.

3.1. Predicats

En el càlcul proposicional partíem d’unes proposicions atòmiques, que conside-ravem indivisibles. El càlcul de predicats (o lògica de primer ordre) parteix d’ununivers d’objectes o individus que anomenarem termes o variables i de determi-nades expressions que s’anomenen predicats. Aleshores, una proposició és l’apli-cació d’un predicat a un determinat terme o, com veurem de seguida a tots o aalguns termes.

Per exemple, en les proposicions−3 és un nombre enter3 és divisible per 2Antoni és més gran que Lluís

Pàg. 43 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


−3, 3 i 2 són termes (en l’univers dels nombres enters); i també Antoni i Lluíssón termes (per exemple, en l’univers dels estudiants d’una assignatura); «ser unnombre enter», «ser divisible per» i «ser més gran que» són predicats.

Normalment representarem els individus amb lletres minúscules i els predi-cats amb majúscules. Quan afirmem el predicat P de l’individu a escriurem P(a).

Tornant als exemples anteriors, podem simbolitzar-los d’aquesta manera:

Predicats

P(n): «n és un nombre enter»Q(m, n): «m és divisible per n»R(a, b): «a és més gran que b»

Proposicions

P(−3): −3 és un nombre enter

Q(3, 2): 3 és divisible per 2

R(a, l) : Antoni és més gran que Lluís

De la mateixa manera que es fa amb les funcions matemàtiques quan ens re-ferim a un individu indeterminat o genèric se solen fer servir les lletres x, y... Perexemple, P(x) s’interpretaria com x és un nombre enter.

Pàg. 44 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


3.2. Quantificadors

Les proposicionsTots els homes són mortalsAlguns valencians són arquitectesCap nombre negatiu no té arrel quadrada real

afirmen propietats de tots o d’alguns dels membres de l’univers. Per simbolitzar-les es fan servir els quantificadors:

• El quantificador universal ∀, (que es llegeix per a tot) es fa servir per a afirmarun predicat de tots els membres de l’univers.

• El quantificador existencial ∃ (que es llegeix existeix) serveix per a afirmar unpredicat d’algun o alguns dels membres de l’univers.

Per exemple, elegint com a predicatsP(x): «x és mortal» (en l’univers dels homes)Q(x): «x és arquitecte» (en l’univers dels valencians)R(x): «x és negatiu» i S(x): «x té arrel quadrada real» (en l’univers delsnombres reals)

les afirmacions anteriors s’expressen simbòlicament d’aquesta manera:Tots els homes són mortals: ∀x P(x)Alguns valencians són arquitectes: ∃x Q(x)Cap nombre negatiu no té arrel quadrada real: ∀x (R(x)→ S(x))

Pàg. 45 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Definició 4Una funció proposicional en el càlcul de predicats és una expressiódel tipus P(x1, x2, . . . , xn) on P és un predicat i x1, x2, . . . , xn són ter-mes.

Una funció proposicional pot ser composta d’altres funcions proposicionalsrelacionades mitjançant algun connector lògic (com ara, R(x)→ S(x)). Si la fun-ció proposicional requereix 1, 2, 3, . . . , n individus direm que és unària, binària,ternària..., n-ària.

x és mortal: P(x)x és arquitecte: Q(x)

són funcions proposicionals unàries ix és més gran que y: R(x, y)

és una funció proposicional binària.Cal notar que una funció proposicional no és una proposició mentre no es

concreten els individus (com ara, Q(a): Antoni és arquitecte) o mentre no esquantifica (com ara, ∀x Q(x): Tots els valencians són arquitectes).3

3.3. Inferència en el Càlcul de Predicats

A les tautologies que estudiavem a l’apartat anterior n’afegirem d’altres que fanreferència a l’ús dels quantificadors (vegeu el quadre 6).

3Afortunadament aquesta és una proposició falsa.

Pàg. 46 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Quadre 6: Tautologies i quantificadorsNegació dels quantificadors ∀x P(x) ≡ ∃x P(x)

∃x P(x) ≡ ∀x P(x)Disjunció i conjunció ∀x

(P(x) ∧Q(x)

)≡

(∀x P(x)

)∧

(∀x Q(x)

)∃x

(P(x) ∨Q(x)

)≡

(∃x P(x)

)∨

(∃x Q(x)

)(∀x P(x)

)∨

(∀x Q(x)

)⇒ ∀x

(P(x) ∨Q(x)

)∃x

(P(x) ∧Q(x)

)⇒

(∃x P(x)

)∧

(∃x Q(x)

)

Com a exemple de la primera equivalència, observem que l’afirmacióNo tots els valencians són arquitectes

és equivalent aAlgun valencià no és arquitecte.

Les dues primeres equivalències del quadre 6 poden entendre’s com a genera-litzacions de les lleis De Morgan: en un univers amb només dos individus (a i b),l’afirmació ∀x P(x) ≡ ∃x P(x) és equivalent a (P(a) ∧ P(b)) ≡ P(a) ∨ P(b).

Convé remarcar que les dues últimes tautologies són únicament implicacionsi no equivalències. En altres paraules, les afirmacions

∀x(

P(x) ∨Q(x))⇒

(∀x P(x)

)∨

(∀x Q(x)

)(∃x P(x)

)∧

(∃x Q(x)

)⇒ ∃x

(P(x) ∧Q(x)

)són falses. Per exemple les afirmacions

Tot nombre natural és parell o senarAlgun nombre natural és parell i algun nombre natural és senar

Pàg. 47 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


són certes. PeròTot nombre natural és parell o tot nombre natural és senarAlgun nombre natural és parell i senar

són evidentment falses.Finalment, el quadre 7 mostra les lleis de la inferència relatives a l’ús dels

quantificadors (observem que aquestes lleis regulen el pas del genèric al concret,és a dir, el pas d’expressions quantificades a expressions que no contenen quan-tificadors, i viceversa).

Pàg. 48 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Quadre 7: Lleis de la inferència específiques del càlcul de predicats

Especificació universal (EU) Si ∀x P(x) és cert, aleshores P(x) és certa pera cada membre en particular (o, si es vol, per a un membre genèric).És a dir, si tenim ∀x P(x) podem deduir P(y) per a un membre genèricy o P(a) per a qualsevol membre concret a.

Especificació existencial (EE) Si ∃x P(x), aleshores P(a) és certa per a unmembre (concret). És a dir, si tenim ∃x P(x) podem deduir P(a) per aalgun a.

Generalització universal (GU) Si P(y) és certa per a qualsevol membre del’univers, aleshores és certa per a tots els membres. És a dir, si te-nim P(y) on y representa qualsevol membre aleshores podem deduir∀x P(x).

Generalització existencial (GE) Si P(a) és certa per a un membre concretde l’univers, aleshores existeix algun membre de l’univers per al qualés certa. És a dir, si tenim P(a) per a algun membre a podem deduir∃x P(x).

Pàg. 49 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


3.3.1. Exemples

Com a primer exemple d’inferència en el càlcul de predicats, podem justificar elsil.logisme clàssic:

Tots els homes són mortalsAristòtil és homePer tant, Aristòtil és mortal

Ací farem servir l’univers dels éssers vius i els predicatsP(x): «x és home»Q(x): «x és mortal»

i representarem Aristòtil amb la lletra a. Aleshores, les nostres premisses són:

P1: ∀x(

P(x)→ Q(x))

P2: P(a)

i la conclusió és

C: Q(a)

Per arribar-hi, apliquem la llei d’especificació universal a la primera premissa:com que P(x)→ Q(x) és certa per a tots els membres de l’univers, llavors P(a)→Q(a) és certa.

P1: ∀x(

P(x)→ Q(x))

P2: P(a)P3: P(a)→ Q(a) Especificació universal (1)C: Q(a) Modus ponens (3,2)

Pàg. 50 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Vegem un altre exemple més complex: provem que aquesta deducció és cor-recta:

Alguns aficionats al futbol són també aficionats al bàsquetEls aficionats al futbol no van al cine els diumenges per la vespradaPer tant, algun aficionat al bàsquet no va al cine els diumenges per lavesprada

Com a univers podem elegir les persones i com a predicats,P(x): «x és aficionat al futbol»Q(x): «x és aficionat al bàsquet»R(x): «x va al cine els diumenges per la vesprada»

Aleshores del que es tracta és de justificar que de les premisses

P1: ∃x (P(x) ∧Q(x))P2: ∀x (P(x)→ R(x))

es dedueix la conclusió

C: ∃x (Q(x) ∧ R(x))

Podem seguir els següents passos:

Pàg. 51 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


P1: ∃x (P(x) ∧Q(x))P2: ∀x (P(x)→ R(x))P3: P(a) ∧Q(a) Especificació Existencial (1)

(a és un membre concret de l’univers)P4: P(a)→ R(a) Especificació Universal (2)

(Com que P(x)→ R(x) és certper a qualsevol membre de l’univers,

ho és per al membre a)P5: P(a) Simplificació (3)P6: Q(a) Simplificació (3)P7: R(a) Modus ponens (4,5)P8: Q(a) ∧ R(a) Llei de la unió (6,7)C: ∃x (Q(x) ∧ R(x)) Generalització existencial (8)

Pàg. 52 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Unitat Temàtica 4. La demostració en Matemàtiquesi el principi d’inducció

Per a justificar la validesa de les afirmacions que s’hi fan, les Matemàtiques fanservir el mètode lògico-deductiu: a partir de les definicions pròpies de la teoria ide certes proposicions que s’accepten com a certes (els axiomes) es va desenvo-lupant la teoria mirant d’introduir noves definicions i provar la certesa de novesproposicions, que s’anomenen teoremes. Si fem servir el llenguatge de la lògica,els teoremes són les tautologies que es poden inferir a partir dels axiomes.

Molt sovint els teoremes s’expressen en la forma P ⇒ Q. Aleshores, les pro-posicions P s’anomenen hipòtesis i Q s’anomena tesi.

4.1. Els mètodes de demostració

El procès d’inferència per deduir Q a partir de P és la demostració. Els mètodesdeductius que hem exposat en estudiar el problema de la inferència són la based’alguns dels mètodes habituals de demostració (els mètodes directe, condicio-nal, bicondicional i de reducció a l’absurd).

Un exemple típic del mètode de reducció a l’absurd és la prova de què√

2 noés un nombre racional.Exemple 13

Demostrem que no existeix cap nombre racional q de manera queq2 = 2.

Pàg. 53 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Farem servir el mètode de reducció a l’absurd, de manera que suposarem queexisteix un nombre racional q que elevat al quadrat dóna 2: q2 = 2.

Recordem que els nombres racionals es poden escriure com a fraccions irre-duïbles, és a dir, que el nombre q es pot expressar en la forma q = m/n on m i nsón enters, n no és zero i m i n no tenen més divisors comuns que 1 i −1.

Aleshores, elevant al quadrat q = m/n tindrem

q2 =m2

n2 = 2

O, equivalentment

m2 = 2n2 (4)

De manera que m2 és un nombre parell i, en conseqüència, m també és parell.Però si m és parell el podrem escriure com m = 2p on p també és un nombreenter i l’equació (4) es pot escriure d’aquesta manera:

(2p)2 = 2n2

4p2 = 2n2

2p2 = n2

la qual cosa significa que n2 és parell i per tant, n també és parell.En definitiva, tant m com n són parells i, en conseqüència, m/n no és una

fracció irreduïble en contra del que havíem dit en començar la demostració.Això és absurd i, per tant, l’afirmació «existeix un nombre racional que elevat

al quadrat dóna 2» és falsa. �(El quadradet (�) es fa servir habitualment per indicar la fi d’una demostració.)

Pàg. 54 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


4.2. Els nombres naturals i el mètode d’inducció

Els nombres naturals són els nombres de comptar:

1, 2, 3, . . .

En molts texts s’inclou el zero en entre els nombres naturals, però per raons his-tòriques és més raonable no considerar-lo com a tal.

Per a provar que tots el nombres naturals satisfan la propietat P, no es potfer una prova exhaustiva (demostrar la propietat un a un per a tots els nombres),perquè n’hi ha infinits.

Per això es fa servir el mètode d’inducció:1. Es prova que el nombre 1 satisfà la propietat P

2. Es prova que si el nombre n satisfà P aleshores n + 1 tambésatisfà la propietat P.

De manera informal és bastant fàcil convèncer-se de que aquest mètode de-mostra efectivament la propietat P per a tots els nombres naturals: suposem quehem provat els dos punts anteriors; llavors ja sabem que el nombre 1 satisfà lapropietat P, així que, com que 1 satisfà P, aleshores 2 també satisfà aquesta propi-etat; però llavors 3 també compleix la propietat, i, en conseqüència, el 4 la satisfà,i així successivament.

Vegem-ne alguns exemples típics:

Pàg. 55 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Exemple 14Provem que la suma dels p primers nombres naturals és

p

∑m=1

m =p(p + 1)

2

Demostració: Procedirem pel mètode d’inducció:

1. La propietat és certa quan p = 1:

1

∑m=1

m = 1 =1(1 + 1)

2

2. Ara suposem que la propietat és certa quan p = n, és a dir, que

n

∑m=1

m =n(n + 1)

2

i mirem de demostrar-la per al nombre n + 1, és a dir, pretenem provar que

n+1

∑m=1

m =(n + 1)(n + 2)

2

Com que sabem quant val la suma fins a n, separem l’últim terme en la suma fins an + 1...

n+1

∑m=1

m =n

∑m=1

m + (n + 1)

Pàg. 56 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


i substituïm la suma fins a n pel seu valor

=n(n + 1)

2+ (n + 1)

Finalment manipulem algebraicament aquesta expressió per a obtenir el resultatque desitgem

=n(n + 1) + 2(n + 1)

2

=(n + 1)(n + 2)

2�

Exemple 15De quantes maneres distintes es pot ordenar una col.lecció de p ob-jectes distints?

Començarem estudiant els casos p = 1, p = 2, p = 3, p = 4 per tal de veure sisom capaços d’intuir la resposta:

1. Si p = 1, tenim un únic objecte, de manera que només el podem ordenard’una manera.

2. Si p = 2, diguem que els objectes són a i b. Aleshores hi tenim dues ordena-cions possibles: [a, b] i [b, a].

Pàg. 57 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


3. Si p = 3, anomenant a, b i c als tres objectes tindrem les següents possibili-tats:

[a, b, c], [a, c, b], [c, a, b], [b, a, c], [b, c, a], [c, b, a]és a dir, 6.

Observem que aquestes sis possibilitats es poden formar a partir de les duesordenacions [a, b] i [b, a] del cas anterior afegint a cada una d’elles l’elementc en les tres posicions possibles: al davant, en segona posició o en terceraposició; per això el resultat és el producte: 2 · 3 = 6

4. Per p = 4 podríem construir explícitament totes les ordenacions possibles.Però tenint en compte l’observació que acabem de fer, podem trobar el re-sultat notant que si a cadascuna de les sis ordenacions de tres elements afe-gim un quart element d en les quatre posicions possibles (en primer, segon,tercer o quart lloc) n’obtindrem 6 · 4 = 4!.

Així doncs, és raonable pensar que el nombre d’ordenacions possibles d’una col-lecció de p objectes distints és p! i ara es tracta de provar-ho pel mètode d’inducció:

1. La propietat és certa si p = 1, perquè hi ha 1 = 1! manera única d’ordenaruna col.lecció amb un sol objecte.

2. Suposant que la propietat és certa per a p = n, és a dir, que una col.leccióamb n objectes distints es pot ordenar de n! maneres, mirem de provar-laper a una col.lecció de n + 1 objectes.

Si anomenem a1, a2, . . . , an, an+1 a tots aquests objectes, aleshores la col-lecció a1, a2, . . . , an es podrà ordenar de n! maneres distintes. Afegint l’ob-jecte an+1 a cada una d’aquestes ordenacions en les n + 1 posicions possibles

Pàg. 58 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


obtindrem un total de n!(n + 1) = (n + 1)! possibles ordenacions. I això erael que preteníem provar. �

El mètode d’inducció es pot generalitzar per a provar que tots els nombresenters a partir d’un determinat compleixen una propietat: Per a provar que totsel nombres enters a partir de p (p, p + 1 . . .) satisfan la propietat P es fa el següent:

1. Es prova que el nombre p satisfà la propietat P

2. Es prova que si el nombre n satisfa P aleshores n + 1 també satisfà la propi-etat P.

En el següent exemple provarem una propietat que es compleix per a n = 0, 1, 2, 3, . . .Exemple 16

Provem que si r 6= 1, la suma dels primers termes de la progressiógeomètrica

a0, a1 = a · r, a2 = a1 · r, a3 = a2 · r, . . . , am+1 = am · r, . . .

ésp

∑m=0

am = a0 + a1 + · · ·+ ap = a01− rp+1

1− r

1. Primer de tot, comprovem la propietat per a p = 0:0

∑m=0

am = a0 = a01− r0+1

1− r

Pàg. 59 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


2. Ara suposem que la propietat és certa quan p = n, és a dir, quen

∑m=0

am = a01− rn+1

1− r

i tractem de provar-la quan p = n + 1; el que volem demostrar és que

n+1

∑m=0

am = a01− rn+2

1− r

Ara bé,n+1

∑m=0

am =n

∑m=0

am + an+1

Substituïm la fórmula que suposem certa

= a01− rn+1

1− r+ an+1

= a01− rn+1

1− r+ a0rn+1

= a0(1− rn+1) + (1− r)rn+1

1− r

= a01− rn+1 + rn+1 − rn+2

1− r

= a01− rn+2

1− r�

Pàg. 60 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


4.2.1. El principi d’inducció

El mètode d’inducció es basa en una propietat fonamental dels nombres naturals,que es pot formular en termes de lògica de predicats de la següent manera:Propietat 1

Principi d’induccióSi P(n) és un predicat en l’univers dels nombres naturals, aleshores

P(1) ∧ (P(n)→ P(n + 1))⇒ ∀n P(n)

Aquest principi és tan potent que de fet caracteritza el conjunt dels nombresnaturals: la definició clàssica del conjunt dels naturals es basa en aquest principi:

Pàg. 61 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Definició 5El conjunt N dels nombres naturals es caracteritza mitjançant els se-güents axiomes:Axiomes de Peano:

1. Existeix un nombre natural que s’anomena 1

2. Tot nombre natural n té un successor, que representem com n +1

3. Si dos nombres naturals són distints, llavors els seus successorssón també distints

4. Tots els nombres naturals, tret de 1, són el successor d’un altrenombre natural

5. Principi d’Inducció: Si A és una col.lecció de nombres naturalsde manera que 1 és un membre de A i de manera que si n és unmembre de A llavors el successor n + 1 també és membre de A,llavors A és el conjunt de tots els nombres naturals.

De fet, el principi d’inducció es fa servir, no només per a provar propietatsdels nombres naturals, sinó fins i tot per a definir operacions, successions de nom-bres...

Pàg. 62 de 62

Inici

Contingut


Cerca

Tancar


Per exemple, les progressions geomètriques que hem vist en un exemple an-terior, es defineixen de la següent manera:

1. a1 = a · r

2. an+1 = an · r, n = 1, 2, 3, . . .

De manera semblant es defineix la famosa successió de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ):

1. f1 = 1

2. f2 = 1

3. fn+2 = fn + fn+1, n = 1, 2, 3, . . .

Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Primera part:...

Documents

Transcript of Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Primera part:...