Apuntes Probabilidad Ing

UNIVERSIDAD ANHUAC DE OAXACA Formulario Probabilidad.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1. 0 < P(E) < 1 2. P(S) = 1 3. Para cualquier nmero finito de k eventos mutuamente excluyentes:

P(E1) + P(E2) + P(E3)+......+P(EK) = 1 OTRAS PROPIEDADES: P(E) = 1- P(E) P(E)+P(E) = 1 P() = 0 PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES (A Y B): P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = 0 PARA EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES (A Y B):

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

TCNICAS DE CONTEO. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIN: (n1) (n2) (n3)......(nK)

COMBINACIN:

PERMUTACIN:

PERMUTACIN CIRCULAR : (n-1)!

PERMUTACIN DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES:

Pn

= n! n1, n2, n3,...,nK n1! n2! n3!....nK! DISTRIBUCIN BINOMIAL:

! ! "#$ % "#

HIPERGEOMTRICA:

! &!

' % & % !

'PROBABILIDAD CONDICIONAL: ()* +,-.+. *)(

+,-.+,

REGLAS MULTIPLICATIVAS (EVENTOS DEPENDIENTES) : P(AB) = P(A|B) P(B) P(AB) = P(B|A) P(A) REGLA MULTIPLICATIVA DE EVENTOS INDEPENDIENTES: P(AB) = P(A) P(B) PROBABILIDAD TOTAL: P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) +........+ P(BK) P(A|BK) P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) +........+ P(AK) P(B|AK) TEOREMA DE BAYES: P(A1) P(B|A1) P(A2) P(B|A2) (caso dos eventos) P(A1|B) = -----------------------------------------; P(A2|B) = -------------------------------------- P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)

P(Ai) P(B|Ai)

(caso general) P(Ai |B) = ------------------------------------------------------------- P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + .... + P(An) P(B|An)

# de eventos favorables PROBABILIDAD =------------------------------------------ # de eventos posibles

Probabilidad

Formas de asignar probabilidades:

-Mtodos subjetivos: Juicio -Mtodo de las frecuencias relativas (estadstico): FR=Frecuencia de casos/ Total -Mtodo Clsico: Axiomtico. Se basa en el supuesto de que si hay n resultados posibles para un evento , cada uno de esos resultados tiene una probabilidad 1/n de ocurrir.

Mtodo Clsico: 3 axiomas AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1. 0 < P(E) < 1: Probabilidad de un evento est en el intervalo [0,1] 2. P(S) = 1 3. Para cualquier nmero finito de k eventos mutuamente excluyentes:

P(E1) + P(E2) + P(E3)+......+P(EK) = 1 Probabilidad: es una medida numrica de la posibilidad de que ocurra un evento.

Probabilidad de un evento est en el intervalo [0,1] Es una medida de incertidumbre.

Mayor probabilidad 0 1 Imposible Inevitable #eventos favorables =0 #favorables=#posibles


Experimento: el proceso que genera resultados bien definidos. Ejemplo: lanzar un volado, jugar un partido, seleccionar una parte o un accesorio, tirar un dado, pagar una cuenta, etc. Una vez que definimos todos los posibles resultados , establecemos Espacio Muestral (S) : Es el conjunto de todos los resultados experimentales. S=equivale a todos los eventos posibles Evento (E) : Es un subconjunto del espacio muestral.

S={ E1, E2, E3,..,EK}

Ejemplo: Experimento: Lanzar un dado S={1,2,3,4,5,6} E1={pares(2,4,6)} E2={impares(1,3,5)} E3={primos(1,2,3,5)}

E3 Diagrama de Venn E1

E2

Estadstica Descriptiva

Estadstica Inferencial

S

5 1 3

2 4 6

La interseccin se define como el traslape de 2 ms conjuntos: AB, se lee como la interseccin de A con B, bien A y B En el ejemplo anterior: E1E2= Conjunto vaco, que no existe un valor en la interseccin. E1E3={2} par y primo E2E3={1,3,5} impar y primo

La unin se define como los valores asociados entre 2 ms conjuntos AB, se lee como la unin de A con B , bien A unin B A B En el ejemplo anterior: E1E2={1,2,3,4,5,6} par impar E1E3={1,2,3,4,5,6} pares primos E2E3={1,2,3,5} impares primos *Generalmente a la unin se le asocia con adicin suma (operacin)

Experimento lanzar un dado: E1= pares E2= impares

E1E2={1,2,3,4,5,6} E1E2= CUANDO NO EXISTE LA INTERSECCIN DE DOS CONJUNTOS, SE DICE QUE SON ENTRE S MUTUAMENTE EXCLUYENTES. En este caso un nmero del 1 al 6 es impar par pero no ambos al mismo tiempo.

E2= impares E3=primos

E2E3={1,2,3,5} E2E3={1,3,5} CUANDO S EXISTE LA INTERSECCIN DE DOS CONJUNTOS, SE DICE QUE SON ENTRE S NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

AXIOMAS 1. 0 < P(E) < 1: Probabilidad de un evento est en el intervalo [0,1]


P(E1)=

est en el intervalo [0,1]

P(E2)=


P(E3)=


2. P(S) = 1, S={1,2,3,4,5,6} La probabilidad de que me salga un elemento (cualquiera) del espacio muestral es 1.

S E1 E2

2 4 6

1 3 5

S E2 E3

4 6

1 3 5

2

3. Para cualquier nmero finito de k eventos mutuamente excluyentes: P(E1) + P(E2) + P(E3)+......+P(EK) = 1

P(E1E2)= P(E1)+P(E2) Por ser eventos MUTUAMENTE EXCLUYENTES. P(E1E2)=0.5 + 0.5=1

PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES (A Y B): P(AB) = P(A) + P(B) Como no existe la interseccin en eventos mutuamente excluyentes, es decir AB=, P()=0, por lo tanto la probabilidad de la interseccin P(AB) = 0

PARA EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES (A Y B): P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ahora s la interseccin de A con B s existe por lo tanto, son eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES , y tenemos que: E2E3={1,3,5}

P(E2E3)= P(E2E3)= P(E2)+P(E3)-P(E2E3) Entonces, la probabilidad de que al lanzar un dado, nos salga impar primo se calcula: P(E2E3)= 0.5 + 0.66 0.5 = 0.66

Se lanza un dado. Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar y primo?

P(imparprimo)= P(1)+P(3)+P(5)=

Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar primo?

P(imparprimo)= P(impar)+P(primo)-P(imparprimo)=

= .66

P(A) + P(B) - P(AB)Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar par? P(imparpar)= P(impar)+P(par)=1 P(AB) = P(A) + P(B) Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar y par? P(imparpar)=0 Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar y mayor que 3?

P(imparmayor que 3)=P(5)=

S E1 E2

2 4 6

1 3 5

S E2 E3

4 6

1 3 5

2

Operacin Smbolo Equivalente verbal Smbolo matemtico relacionado

Interseccin y Multiplicacin Unin Suma

Para eventos MUTUAMENTE EXCLUYENTES (A Y B): no existe interseccin. AB= , P()=0, por lo tanto la probabilidad de que la interseccin P(AB) = 0

Para eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES (A Y B): La interseccin de A con B si existe.

Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar mayor que 3? P(imparmayor que 3)= P(impar)+P(mayor que 3)- P(imparmayor que 3)

=

S={1,2,3,4,5,6} Cul es la probabilidad de que salga un nmero par menor que 2?

P(parmenor que 2)= P(par)+P(menor que 2)=

Cul es la probabilidad de que salga un nmero par y menor que 2? 0 Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar igual a 6?

P(impar6)=P(impar)+P(6)=

Cul es la probabilidad de que salga un nmero primo mayor que 2? P(primomayor que 2)=P(primo)+P(mayor que 2)-P(primomayor que 2)=

Ejercicios: Al extraer una carta al azar, calcule la probabilidad de obtener:

a) Un as: P(As) =

b) Un as color rojo: P(AsR) =

c) Un as de diamantes P(As) =

d) Un mono P(mono) =

e) Un trbol P() =

As As As As 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9

10 10 10 10 J J J J Q Q Q Q K K K K

f) Una carta de palo (flor negra) negro P(N)=

g) Un as un joto: P(AsJ)=P(As)+P(J)=

(Mutuamente excluyentes)

h) Un nueve una carta de corazn: (No Mutuamente excluyentes)

P(9)=P(9)+P()-P(9)=

i) Un rey una reina? P(KQ)=P(K)+P(Q)=

j) Un trbol un corazn? P()=P()+P()=

TCNICAS DE CONTEO.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIN: (n1) (n2) (n3)......(nK)

COMBINACIN: n = nCr = n! r r!(n-r)!

PERMUTACIN: Pn

= nPr = n! Pn

= nPn = n! r (n-r)! n

PERMUTACIN CIRCULAR : (n-1)!

PERMUTACIN DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES:

Pn

= n! n1, n2, n3,...,nK n1! n2! n3!....nK!

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIN: (n1) (n2) (n3)......(nK)

Cuando existe un experimento compuesto por una sucesin de etapas consecutivas , el nmero de caminos de resultados posibles est dado por la multiplicacin de los n1 resultados de la primera etapa x los n2 resultados de la segunda etapa x los n3 resultados de la tercera etapa. x los nk resultados de la k-sima etapa.

3 camisas 2 pantalones 2 gorras

(En forma grfica equivale al diagrama de rbol) Resultados posibles: (3)(2)(2)=12

Gorras: Camisas: G1 Pantalones: C1 G2.. P1 C2 C3 P2

Otros ejemplos:

Si lanzo 3 monedas (1,2 y 3), cuntos resultados posibles:

(2)(2)(2)=23=8 S={AAA, ASS, AAS, SSS, SSA, SAA, SAS, ASA} Cul es la probabilidad de obtener puras guilas?

1/8

Prob. Primera y segunda y tercer monedas con resultado guila

Regla multiplicar sirve tanto para calcular el nmero de resultados posibles de un experimento, es decir el tamao del espacio muestral, como para para hallar probabilidades.

De aqu resulta que si cada etapa mantiene exactamente el mismo nmero a de resultados a lo largo de las k etapas consecutivas que se repite:

Resultados posibles= ak

Ejemplo: un examen de cierto falso tiene 10 preguntas

Si se tienen que contestar forzosamente las 10, de cuntas formas es posible resolverlo aleatoriamente? 210=1024 Si se pueden dejar de contestar preguntas, de cuntas formas es posible resolverlo aleatoriamente? 310=59049

Si se tenan que contestar forzosamente las 10 preguntas Cul es la probabilidad de sacar un 10? 1/1024

COMBINACIONES:

n! se lee factorial n!=n(n-1)(n-2)(n-3)(1) Ejemplo: 5!=5x4x3x2x1=1x2x3x4x5=120 Por definicin: 0!=1

Una combinacin es un arreglo de n elementos tomados de r en r, donde el orden de seleccin es irrelevante.

ABC, de cuntas formas pueden seleccionar 2 de ellas?

S={AB, AC, BC}

20 21 22 23 24

263

Sorteo: Escoger 6 de 56

!" !

Probabilidad de ganar: 1/ !" !

Sorteo: Escoger 6 de 48 !" !" # Probabilidad de ganar: 1/ #

Combinaciones: no importa el orden. 5 8 13 21 34 55 8 5 13 34 21 55 Es decir, que los arreglos que pudieran darse por el orden distinto de los elementos no se toman en cuenta.

PERMUTACIONES: $ Una permutacin es un arreglo de n elementos tomados de r en r, donde el orden de seleccin s es relevante. Es decir, que los arreglos que pudieran darse por el orden distinto de los elementos s se toman en cuenta.

ABC, de cuntas formas se pueden seleccionar 2 de ellas, si el orden de aparicin s importa?

S={AB, BA, AC, CA, BC, CB} $

Otro ejemplo: De cuntas formas puedo ordenar los elementos ABC? A B C A C B B A C B C A C A B C B A

$

$

Ejemplos:

20 canciones. Si seleccionan diez canciones, de cuntas maneras puedo llevar a cabo dicha seleccin? (Escoger 10 de 20 canciones)

"! #

Si importara el orden de seleccin, De cuntas formas pueden seleccionar 10 canciones de 20, considerando los distintos rdenes de seleccin?

$ # !! # "

PERMUTACIN CIRCULAR : (n-1)! Ejemplo: (3-1)!=2

A B

C

A

B

C

Si fueran 4 personas: (4-1)!=3!= 6 PERMUTACIN DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES:

Pn

= n! n1, n2, n3,...,nK n1! n2! n3!....nK!

Ejemplo, cuntas palabras pueden formarse con el nombre ANA? ANA AAN NAA

P3

= 3! = 6/2 = 3 1, 2 1! 2!

COCOS

P5

= 5! = 120/4 = 30 2, 2, 1 2! 2! 1!

Cuntas palabras se pueden formar con el nombre EDNA? !$! ! !

C O C O S C O C S O C O S C O C O S O C C O O S C C O O C S C C O S O C C O O S C C S O O C S O O C C S C O O C S O C O

Un partido de tenis femenil, se juega hasta que una contrincante haya ganado 2 sets de 3. De cuntas formas puede acabar un partido?

A y B 1er set

2 set

3er set

A A --- A B A A B B B A A B A B B B ---

cmo ganar 2 de 3 sets? $

Para dos jugadoras, cmo selecciono 2 de 3 sets (para ganar)?

$

Un partido de tenis varonil, se juega hasta que un contrincante haya ganado 3 sets de 5. De cuntas formas puede acabar un partido? A y B 1er set

2 set

3er set

4 set

5 set

A A A --- --- A A B A --- A A B B A A A B B B A B A A --- A B A B A A B B A A A B A B B A B B B --- A B B A B B B B --- --- B B A B --- B B A A B B B A A A B A B B --- B A B A B B A A B B B A B A A B A A A --- B A A B A

$ $ ?

En una serie final de bisbol basquetbol , el equipo vencedor debe ganar 4 de 7 partidos De cuntas formas puede terminar la serie final?

$ #! #

A un cine llegan cuatro parejas: Halle las formas en que pueden sentarse en una fila de 8 asientos si:

a) Los ocho individuos pueden sentarse donde quieran. "$" " !b) Cada pareja debe sentarse junta.!$! c) Todos los hombres y las mujeres juntos(as).$ ! !

Suponer que en una bolsa de M&Ms hay 20 de ellos y la distribucin de colores fue la siguiente:

2 Rojos- 3 cafs- 3 naranja- 4 amarillo- 4 verde- 4 azul

Si se sacan 2 M&Ms al azar, cul es la probabilidad de que? a) Sacar 2 rojos b) Sacar un caf y un amarillo c) Ambos sean del mismo color d) Sean de distinto color e) No sean azules


# de eventos posibles es De cuntas formas puedo extraer 2 M&Ms de un total de 20?

190

a) Sacar 2 rojos: $%&%' ((=

) =0.5263%

b) Sacar un caf y un amarillo: $*+,-.+/+011%

c) Sacar 2 rojos 2 cafs 2 amarillos 2 naranjas 2 verdes 2 azules $2 $ $3 $4 $5 $6

! ! !

d) Sean de distinto color: P(E) = 1- P(E) P(E)+P(E) = 1 E= complemento del evento E, por lo tanto P(ambos distinto color)=1-P(ambos sean del mismo color)=1-0.13=0.87

e)No sean azules (ambos) P(Z)=0.03157 P(Z)= 1-P(Z)= 1-0.03157=0.9684

f)Ninguno sea azul: 0.6315$474894:; !??? ; la otra forma sera a travs de multiplicaciones: $5> !

@

@

b) El primero sea azul y el segundo tambin: $66 AA , a travs del mtodo dela multiplicacin de probabilidades tenemos: $66

)

c) El primero sea rojo y el otro de cualquier color $2B$2C A)AA , bien simplemente: $2

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

EJEMPLO 1

Antivirus A Antivirus B

Virus afect 1 8 9 Virus No afect 7 8 15

8 16 24 Tabla de contingencia, tabla cruzada Cul es la probabilidad de que una mquina se haya infectado si se le aplic el Antivirus B? Tabla de probabilidad Conjunta

Antivirus A Antivirus B

Virus afect 1/24=0.041666 8/24=.33333 0.375 Virus No afect 7/24=0.2916666 8/24=.33333 0.625

0.333333 0.666666 1

EJEMPLO 2 MKT LFCP LDAE 3 1 0 0 1 4 9 6 6 21 6 0 0 4 4 8 1 0 0 1

11 6 10 27

Si alguien estudia LFCP, cul es la probabilidad de que vaya en 4 sem.?

Si alguien va en 4 semestre Cul es la probabilidad de que estudie LFCP?

Si alguien estudia LDAE , Cul es la probabilidad de que vaya en 4 sem? Si alguien estudia LDAE , Cul es la probabilidad de que vaya en 6 sem? Si alguien est en 4 semestre Cul es la probabilidad de que estudie LDAE? Si alguien est en 4 semestre Cul es la probabilidad de que estudie MKT? Si alguien est en 6 semestre Cul es la probabilidad de que estudie LDAE? Si alguien est en 6 semestre Cul es la probabilidad de que estudie MKT?

REGLAS MULTIPLICATIVAS (EVENTOS DEPENDIENTES) : P(AB) = P(A|B) P(B) P(AB) = P(B|A) P(A) REGLA MULTIPLICATIVA DE EVENTOS INDEPENDIENTES: P(AB) = P(A) P(B) ; P(A)=P(A|B)

P(ABC.N) = P(A) P(B) P(C) . P(N)

EJEMPLO 3 A B AB O Rh + 34% 9% 4% 38% Rh - 6% 2% 1% 6%

Tabla de probabilidad conjunta A B AB O Rh + 0.34 0.09 0.04 0.38 0.85 Rh - 0.06 0.02 0.01 0.06 0.15

0.40 0.11 0.05 0.44 1

Cul es la probabilidad de que. !"

# $%&'"

$ () ) )#%&'"

* () ) )#+"

(%&' !"

, +-**.( %&/"

TEOREMA DE BAYES Se basa en la probabilidad condicional:

De la 1: De la 2: Igualando:

Despeje de P(A|B) P(B|A) da como resultado el Teorema de Bayes:

Los denominadores quedan establecidos por el clculo de las probabilidades totales: PROBABILIDAD TOTAL: P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) +........+ P(BK) P(A|BK) P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) +........+ P(AK) P(B|AK) EJEMPLO 4

$() **,$*$0- (## 0 ****$)(

$$$0-1*$)( $02#*)3.(0## 0 ***

.(0$() **$)((()$**40.(

0## 0 **0$)() $03*452( *6 $

$ *78.(0## 0 ***.(.( $)0

*.( () $03*2(.(() $030(

$)(,$*$0-9(300## 0 ***.(&1$)*(

2:"

P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) +........+ P(AK) P(B|AK)

P(M|C)=0.5 Coca Cola P(C)=0.6 P(S|C)=0.5 ! !

P(P)=0.4 P(M|P)=0.7 Pepsi

P(S|P)=0.3 ! !

!

!

EJEMPLO 5 En una universidad el 20% de los hombres y el 1% de las mujeres sobrepasan la altura de 1.70. 40% de los estudiantes son mujeres. Si selecciona un estudiante al azar, y ste sobrepasa el 1.70m de estatura. Cul es la probabilidad de que sea mujer?

""

EJEMPLO 6 La probabilidad de que alguien use su tarjeta de crdito para pagar en un establecimiento es de 0.37. Si alguien usa su tarjeta de crdito la probabilidad de que su cuenta sea de $240 menos es de 0.19. La probabilidad de que gaste ms de $240 es por tanto, de 0.81. El 14% de todas las cuentas en el establecimiento son de menos de $240. Realizar el rbol de probabilidades.

EJEMPLO 7 En una universidad, los estudiantes que terminan sus estudios en 5 aos menos representa el 47% del total de estudiantes. 50% de quienes terminan sus estudios en 5 aos menos son mujeres , y 45% de quienes no terminan sus estudios en 5 aos menos son mujeres. Un estudiante entra a la universidad. Calcule las probabilidades de que

8 0(* ) ((* 4;

Ejercicios Probabilidad y Estadstica TCNICAS DE CONTEO, PROBABILIDAD, PROBABILIDAD CONDICIONAL, TOTAL Y

TEOREMA DE BAYES:

TCNICAS DE CONTEO:

1. De cuntas maneras se pueden dividir a un grupo de 10 personas en dos equipos: uno de seis y otro de cuatro personas?

2. El jefe de personal de una corporacin ha contratado a 10 ingenieros. De cuntas formas puede ocupar tres puestos diferentes que estn disponibles en una fbrica en Monterrey?

3. Construya un diagrama de rbol para las diferentes rutas que se pueden seguir de Nueva York a Los Angeles pasando por Chicago , si de NY a Chicago se puede ir por tren o por avin, y de Chicago a LA por tren, por avin, o por autobs.

4. Se cuenta con un tarro que contiene cierto lquido de color amarillo y 5 tarros conteniendo diferentes lquidos incoloros cada uno de ellos. Existe slo una forma de obtener una mezcla de color verde combinando uno o ms de los lquidos contenidos en los 5 tarros, con el lquido de color amarillo. Una combinacin equivocada no permitir que se obtenga el color verde. cuntas combinaciones posibles tendras que realizar para asegurarte de obtener el color verde deseado, y qu procedimiento llevaras a cabo en la prctica para lograrlo?

5. Un comit consta de 12 miembros. Cuntos conjuntos diferentes se pueden formar al elegir la directiva que est compuesta de un presidente, un secretario y un tesorero?

6. Hay 4 personas que llenan los requisitos de elegibilidad para formar un grupo poltico. Este grupo puede componerse de 4 miembros, de 3, de 2 de solo 1; tambin se contempla la posibilidad de que ese grupo se considere desierto, es decir, que no exista grupo poltico. Cuntas maneras hay de seleccionar dicho grupo poltico?

7. Un proceso de manufactura est compuesto por 10 operaciones. Sin embargo 5 de ellas deben terminarse antes de que pueda darse inicio a las otras 5. Dentro de cada conjunto de 5, las operaciones pueden efectuarse en cualquier orden. Cul es el nmero de secuencias de operaciones distintas posible?

8. El diseo de un sistema de comunicacin considera las siguientes preguntas: a) Cuntos prefijos de tres dgitos de telfono pueden crearse para representar un rea geogrfica en

particular (cdigo lada) con los dgitos del 0 al 9? b) Cuntos prefijos de 3 dgitos pueden crearse de modo que el primer dgito no sea 0 ni 1, y el

segundo sea 0 1? c) Cul es el nmero de prefijos de 3 dgitos en los que ningn dgito aparece ms de una vez en cada

prefijo?

9. Un pintor cuenta con 6 colores bsicos diferentes: azul, rojo, amarillo, verde, blanco y negro Cuntos colores, cada uno con una combinacin diferente de colores bsicos en cantidades iguales , podra preparar usando por lo menos 2 colores bsicos en cada mezcla? 10. Un byte es una secuencia de 8 bits, y cada bit es 0 1

a) Cul es el nmero de bytes distintos? b) Si el primer bit del byte sirve para verificar la paridad, esto es, el primer bit depende de los 7

restantes, Cul es el nmero de bytes distintos que pueden obtenerse?

PROBABILIDAD

Qu probabilidad tiene el siguiente circuito de funcionar si la probabilidad de que un dispositivo funcione no depende del funcionamiento de los dems y si la probabilidad de funcionar de cada dispositivo se indica en la figura?:

a b

El siguiente circuito trabaja si y slo si, existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento , de izquierda a derecha. Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente y que la probabilidad de falla de cada uno de ellos es la que se muestra en la figura. Cul es la probabilidad de que el circuito trabaje?

Tres caballos: Azcar, Babieca y Crucero , intervienen en una carrera. Azcar tiene el doble de probabilidad de ganar que Babieca y Babieca tiene el doble de probabilidad de ganar que Crucero. a) Cul es la probabilidad de que gane Babieca? b) Cul es la probabilidad de que gane Azcar?

Una bolsa contiene dos pelotas rojas y tres blancas. Si se sacan una a una dos pelotas, es decir primero se extrae una y luego la otra (sin remplazo), calcula las probabilidades de que : (a) Ambas pelotas sean rojas , (b) la primera pelota sea roja y la segunda sea blanca, (c) una pelota sea roja y la otra blanca, y (d) la primera pelota sea roja.

Se tira un dado. Cul es la probabilidad de que salga un nmero impar o un nmero mayor que 2?

En un saln hay 64 estudiantes, de los cuales 40 son hombres y 24, mujeres. De los hombres, 16 tienen ojos cafs y 24, verdes. De las mujeres, 12 tienen ojos cafs, 4 los tienen negros y 8, verdes. La maestra rifar una pluma para los hombres, una mochila para las mujeres y unos colores entre todos los estudiantes:

a) Qu probabilidad tiene cada estudiante de ganar el estuche de colores? b) Qu probabilidad tiene cada mujer de ganar una mochila? c) Cul es la probabilidad de que los colores los gane un hombre? d) Cul es la probabilidad de que la persona que gane los colores tenga los ojos verdes? e) Si el estuche de colores los gana un estudiante con ojos de color verde cul es la probabilidad de

que ese estudiante sea hombre? f) Cul es la probabilidad de que la mochila la gane una mujer con ojos de color caf?

Un lote contiene 15 pzas. de hierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen 2 pzas. al azar, sin remplazo del lote completo. Sean A: el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local, y B: el evento donde la segunda pieza seleccionada es del proveedor local. a)Cul es el valor de P(A)? b) Cul es el valor de P(B|A)? c)Cul es el valor de P(AB)? d) Cul es el valor de P(AB)?

0.8

0.95

0.8 0.8

0.95 0.95

.01 .01

.01 .01

.02

.02

Cuando los artculos llegan al final de una lnea de produccin , un supervisor escoge los que deben pasar por una inspeccin completa ; 10% del total de artculos producidos son defectuosos; 60% de todos los artculos defectuosos y 20% de todos los artculos buenos pasan por una inspeccin completa. Cul es la probabilidad de que un artculo sea defectuoso dado que pas por una inspeccin completa?

Suponga que el 2% de rollos de tela de algodn son defectuosos, al igual que el 3% de los rollos de nylon. De los rollos utilizados por un fabricante, 70% son de algodn y 30% son de nylon Cul es la probabilidad de que al seleccionar uno de los rollos ste sea defectuoso?

El software para detectar fraudes en tarjetas telefnicas utilizadas por los consumidores registra todos los das el nmero de reas metropolitanas donde se originan todas las llamadas. Se tiene que 1% de los usuarios legtimos hacen al da llamadas que se originan en 2 o ms reas metropolitanas . Sin embargo 30% de los usuarios fraudulentos, hacen al da llamadas desde 2 o ms reas metropolitanas, La proporcin de usuarios fraudulentos es de 0.01%. Si el mismo usuario hace en un da 2 o ms llamadas desde 2 o ms reas metropolitanas , Cul es la probabilidad de que sea un usuario fraudulento?

Se van a elegir al azar a cuatro estudiantes de un grupo formado por 3 estudiantes no graduados y 5 estudiantes graduados, para ocupar ciertos puestos en el consejo estudiantil. Encuentre la probabilidad de que se encuentren exactamente dos no graduados entre los 4 escogidos.

En una planta qumica se utilizan 24 tanques para almacenar el producto final. Se escogen 4 tanques sin remplazo al azar . Suponga que seis tanques contienen material en que la viscosidad excede los requerimientos del cliente. a.Cul es la probabilidad de que exactamente un tanque de la muestra tenga material con viscosidad alta? b.Cul es la probabilidad de que al menos un tanque de la muestra tenga material con viscosidad alta? c. Adems de los seis tanques con viscosidad alta , existen otros cuatro que que contienen material con muchas impurezas cul es la probabilidad de que exactamente un tanque de la muestra tenga material con viscosidad alta y otro tenga material con muchas impurezas?

DISTRIBUCIN BINOMIAL.

El 5% de los camioneros en Estados Unidos son mujeres. Suponga que se seleccionan al azar a 10 camioneros.

a. Es un experimento binomial la seleccin de 10 camioneros? Explique su respuesta. b. Cul es la probabilidad de que 2 de los camioneros sean mujeres? c. Cul es la probabilidad de que ninguno sea mujer? d. Cul es la probabilidad de que al menos uno sea mujer?

Si en promedio 10 empresas pequeas quiebran por mes, a) cul es la probabilidad de que cuatro exactamente quiebren en un mes dado? b) Cul es la probabilidad de que quiebren ms de una?

Un embarque de 10 artculos contiene dos unidades defectuosas y ocho no defecuosas. Al revisarlo se tomar una muestra y las unidades se inspeccionarn. Si se encuentra una unidad defectuosa se rechazar todo el embarque. Si se selecciona una muestra de 3 artculos, Cul es la probabilidad de rechazar el embarque?

Un sistema electrnico est construido con cierto # de componentes de apoyo en sus subsistemas. Un subsistema contiene 4 componentes idnticos, cada uno de dichos componentes tiene una probabilidad de 0.2 de fallar en menos de 1000 hras. de uso . El subsistema funciona si 2 componentes cualesquiera de los cuatro trabajan en forma adecuada. Se supone que los componentes operan independientemente.

a)Calcule la probabilidad de que exactamente dos de los cuatro componentes resistan ms de 1000 hras. de uso. b) Calcule la probabilidad de que el subsistema funcione por ms de 1000 hras.

Este ejercicio ilustra el impacto que la baja calidad puede tener sobre planes y costos. Un proceso de ensamble de computadoras espera 100 procesadores para as poder surtir a 100 clientes que esperan con ansias sus respectivas computadoras. Cada computadora a ensamblar requiere un procesador que se compra a otro proveedor. Sin embargo, lo comn es identificar 2% de los procesadores como defectuosos; por otra parte, se supone que el estado de un procesador es independiente del de los dems. a) Si el ensamblador de las computadoras ordenara 100 procesadores para exactamente las 100 computadoras que tiene que entregar, Cul es la probabilidad de que pueda entregar las 100 computadoras? b) Si el ensamblador de las computadoras ordenara 102 procesadores para armar las 100 computadoras que tiene que entregar, Cul es la probabilidad de que pueda entregar las 100 computadoras? c) Si el ensamblador de las computadoras ordenara 105 procesadores para armar las 100 computadoras que tiene que entregar, Cul es la probabilidad de que pueda entregar las 100 computadoras?

Se llevan a cabo 4 volados sucesivos. Constryase la tabla de distribucin de probabilidades en funcin del resultado sol.

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Apuntes Probabilidad Ing

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