Apuntes de Probabilidad e Inferencia

5/21/2018 Apuntes de Probabilidad e Inferencia

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EEJJEERRCCIICCIIOOSSDDEEPPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEEIINNFFEERREENNCCIIAA

MMAATTEEMMTTIICCAASSAAPPLLIICCAADDAASSCCCC..SSSS..IIII

ngeles Jurez MartnAntonio Lpez GarcaJuan Fernndez Maese


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ESTADSTICA Y PROBABILIDAD 3

NDICE TEMTICO

NDICE TEMTICO .................................................................................................... 3

TEMA 1: COMBINATORIA....................................................................................... 5

1.1.- TCNICAS DE RECUENTO................................................................................................5

1.2.- VARIACIONES.....................................................................................................................8

1.3.- PERMUTACIONES ........................................................... ................................................. 11

1.4.- COMBINACIONES ........................................................... ................................................. 15

1.5.- BINOMIO DE NEWTON................................................... ................................................. 18

1.6.- EJERCICIOS DEL TEMA ........................................................... ....................................... 19

TEMA 2: PROBABILIDAD....................................................................................... 21

2.1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS ........................................................ ............................. 21

2.2.- SUCESOS....................................................... ........................................................... .......... 22

2.3.- OPERACIONES CON SUCESOS ......................................................... ............................. 24

2.4.- IDEA INTUITIVA DE LA PROBABILIDAD................................................ .................... 26

2.5.- DEFINICIN AXIOMTICA DE PROBABILIDAD ....................................................... 29


TEMA 3: PROBABILIDAD CONDICIONADA ..................................................... 35

3.1.- PROBABILIDAD CONDICIONADA................................................... ............................. 35

3.2.- EXPERIMENTOS COMPUESTOS....................................................... ............................. 39

3.3.- PROBABILIDAD TOTAL........................................................... ....................................... 45

3.4.- TEOREMA DE BAYES..................................................... ................................................. 49


TEMA 4: DISTRIBUCIONES DISCRETAS ........................................................... 57

4.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS ......................................................... ............................. 57

4.2.- MEDIA Y VARIANZA...................................................... ................................................. 60

4.3.- DISTRIBUCIN BINOMIAL............................................ ................................................. 62



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CAPTULO 5: DISTRIBUCIONES CONTINUAS................................................. 69

5.1.- DISTRIBUCIN CONTINUA................................. ........................................................... 69

5.2.- MEDIA Y VARIANZA...................................................... ................................................. 71

5.3.- DISTRIBUCIN NORMAL ........................................................ ....................................... 73

5.4.- AJUSTE DE LA BINOMIAL A LA NORMAL ....................................................... .......... 79


TEMA 6: INFERENCIA ESTADSTICA ................................................................ 83

6.1.- MUESTRA. .................................................... ........................................................... .......... 83

6.2.- MUESTREO ALEATORIO SIMPLE. ................................................... ............................. 85

6.3.- MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO. ..................................................... .......... 87

6.4.- DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIAS........................................ ............................. 90

6.5.- DISTRIBUCIN MUESTRAL DE PROPORCIONES. ..................................................... 96


TEMA 7: DECISIN ESTADSTICA.................................................................... 101

7.1.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA............................................................101

7.2.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIN................................................106

7.3.- TEST DE HIPTESIS.......................................................................................................109

7.4.- EJERCICIOS DEL TEMA ........................................................... ..................................... 114


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TEMA 1:

COMBINATORIA

1.1.- TCNICAS DE RECUENTO

1.- Producto

Si un procedimiento se puede descomponer en varias pruebas A, B,..., C, cada una de ellas conm, n,..., p elementos, el nmero de resultados posibles en la prueba global se halla multiplicandotodos los elementos de cada una de las pruebas:

m.n....p

2.- Diagrama en rbol

Es una variacin del principio de multiplicacin, donde se construyen todas las posibilidades deaplicar dicha regla. Por ejemplo el siguiente diagrama muestra los resultados posibles al lanzardos monedas.

EJEMPLOS

1.- En un curso se va a elegir delegado y subdelegado entre 4 candidatos.Cuntas hojas diferentes se pueden rellenar ?

Resolucin:

El delegado puede elegirse entre 4 candidatos y quedan tres para elsubdelegado, luego se pueden rellenar:4x3 = 12 papeletas.

2.- Si las matrculas de los coches constan de dos letras (elegibles entre

26) y cuatro dgitos. Cuntas matrculas diferentes se pueden crear ?

Resolucin:

Hay dos lugares con letras elegibles entre 16, cuatro con dgitos elegibles entre10, pudiendo repetirse todos, luego:26x26x10x10x10x10 = 6.760.000 matrculas.

3.- Cuntas parejas de vocales distintas se pueden formar?

Resolucin:

Hay dos lugares con 5 letras elegibles para el primer lugar y quedan 4 letraspara el segundo, ya que no pueden repetirse letras, luego:

5x4 = 20 parejas.


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4.- Cuntas parejas de vocales se pueden formar?

Resolucin:

Hay dos lugares con 5 letras elegibles para ambos lugares, ya que puedenrepetirse las vocales, luego: 5x5 = 25 parejas.

5.- De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire dos monedasa la vez?

Resolucin:

Formamos el rbol de sucesos:.

Por lo tanto son posibles los 4 resultados { (C, C), (C, X), (X, C), (X, X) }

6.- De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedasa la vez?

Resolucin:

La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el rbol desucesos:

Por lo tanto son posibles los 8 resultados:{ (C,C,C), (C,C,X),(C,X,C), (C,X,X),(X,C,C), (X,C,X),(X,X,C), (X,X,X) }

7.- De cuantas maneras diferentes han podido nacer dos varones y dosmujeres en una familia con cuatro hijos?

Resolucin:

Formamos el rbol de sucesos:.

Por lo tanto son posibles los 6 resultados:{ (V,V,M,M), (V,M,V,M),(V,M,M,V), (M,V,V,M), (M,V,M,V), (M,M,V,V) }


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8.- De cuantas maneras diferentes se en cuanto al sexo puedendistribuir los cuatro hijos de una familia?

Resolucin:

La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el rbol desucesos:

Por lo tanto son posibles los 16 resultados:{(V,V,V,V), (V,V,V,M), (V,V,M,V), (V,V,M,M), (V,M,V,V), (V,M,V,M), (V,M,M,V),(V,M,M,M), (M,V,V,V), (M,V,V,M), (M,V,M,V), (M,V,M,M), (M,M,V,V),(M,M,V,M), (M,M,M,V), (M,M,M,M)}

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Si en un restaurante hay 5 primeros platos y 6 segundosa) Cuntos mens se pueden realizar?

b) Si hay 3 postres cuntos mens se pueden realizar?Solucin: a) 30 mens, b) 90 mens.

2.- Cuntos nmeros naturales hay entre 1.000 y 10.000 con todas las cifras diferentes?Solucin: 4536 nmeros.

3.- Se tiene una bolsa con 4 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza el experimento que consisteen la extraccin de una bola de la bolsa, observar el nmero obtenido y reintegrar la bola a labolsa. Se pide:a) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen las 4 bolas.b) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen las 4 bolas, si no se reintegran a la bolsa.Solucin: a)44, b)4.3.2.1.

4.- En el experimento de lanzar dos dados al aire y observar la puntuacin que aparece en lascaras superiores, hallar de cuantas maneras diferentes se obtiene un 7 sumando las dos caras.Solucin: 6 maneras diferentes, (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1).

5.- Un experimento consiste en la extraccin de tres cartas de una baraja espaola.a) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen las 3 cartas si se reintegran a la baraja.b) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen las 3 cartas, si no se reintegran a la baraja.Solucin: a) 64.000, b) 59.280.

6.- De cuntas maneras diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario ytesorero de una comunidad de vecinos si hay 25 viviendas en dicha comunidad?.Solucin: 13.800.

7.- Cuntas parejas de vocales distintas se pueden formar?Solucin: 5x4 = 20 parejas.


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1.2.- VARIACIONES

1.- Variaciones con repeticin

Variaciones con repeticin de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que sepueden formar con n elementos, tal que:

En cada muestra hay m elementos, repetidos o no.

Dos muestras son distintas si difieren en un elemento

Dos muestras son distintas si difieren en la colocacin de los mismos.

El nmero de ellos es:

mmn, nVR =

Observacin:

Si A es un conjunto de cardinal m y B un conjunto de cardinal n, el nmero de aplicaciones quese pueden definir entre A y B coinciden con VRn,m.

2.- Variaciones sin repeticin

Variaciones con repeticin de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que sepueden formar con n elementos, tal que:

En cada muestra hay m elementos distintos.

Dos muestras son distintas si difieren en un elemento

Dos muestras son distintas si difieren en la colocacin de los mismos.


1)m-1)...(n-n(nV mn, +=

Observacin:

Si A es un conjunto de cardinal m y B un conjunto de cardinal n, el nmero de aplicacionesinyectivas que se pueden definir entre A y B coinciden con Vn,m.

EJEMPLOS

1.- Cuntas columnas hay que rellenar para tener la seguridad de acertar14 resultados en las quinielas?

Resolucin:

Como hay tres posibilidades de acierto 1,X,2 en cada posicin y hay 14posiciones en cada columna tenemos:

4.728.9693VR 143,14 ==

Por lo tanto son posibles 4.728.969 columnas.


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2.- De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedasa la vez?

Resolucin:

Como hay dos posibilidades C, X en cada posicin y hay 3 posicionestenemos:

82VR 33,2 ==

Por lo tanto son posibles 8 resultados.

3.- Cuntas nmeros de tres cifras podemos realizar con las cifras 0, 1,2, 3 y 4?

Resolucin:

Como importa el orden y se pueden repetir son variaciones con repeticin de 5elementos tomados de 3 en 3. Adems no son nmeros de 3 cifras los queempiezan por 0:

1002512555VR-VR23

5,25,3 ===

Por lo tanto podemos realizar 100 nmeros.

4.- Cuntas nmeros de tres cifras podemos realizar con las placas delos nmeros 1 al 5?, cuntos empiezan por 3?

Resolucin:

Como importa el orden y no se pueden repetir ya que tengo nicamente cincoplacas son variaciones sin repeticin de 5 elementos tomados de 3 en 3.

603.4.5V5,3 ==


Empiezan por 3 los que fijan la 1 cifra 3. Quedan variaciones sin repeticin de4 elementos tomados de 2 en 2.

203.4V4,2 ==

5.- De cuantas maneras diferentes se pueden combinar ocho colores enuna bandera de tres franjas sin repetir ninguno?

Resolucin:

Como importa el orden y no se pueden repetir son variaciones sin repeticin de8 elementos tomados de 3 en 3.

3366.7.8V8,3 ==

Por lo tanto podemos realizar 336 banderas.

6.- De cuantas maneras diferentes se pueden elegir presidente ysecretario de una comunidad de vecinos de 15 viviendas?

Resolucin:

Como importa el orden y no se pueden repetir son variaciones sin repeticin de15 elementos tomados de 2 en 2.V15,2= 15.14 = 210

Por lo tanto podemos realizar 210 elecciones.


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1.- Cuntos nmeros de 3 cifras se pueden formar con los nmeros 1, 3, 5, 7 y 9?Solucin:VR5,3= 5

3= 125

2.- De cuntas manera se pueden ganar las medallas de oro, plata y bronce los 6 participantes de

una carrera?Solucin:V6,3= 6.5.4 = 120

3.- Cuntos nmeros de 4 cifras se pueden formar con los nmeros 2, 4, 6 y 8?Solucin:VR4,4= 4

4= 256

4.- Cuntos nmeros de 4 cifras se pueden formar con los nmeros 2, 4, 6 y 8 que comiencenpor 2?Solucin:VR4,3= 4

3= 64

5.- Cuntos nmeros de 4 cifras se pueden formar con los nmeros 2, 4, 6 y 8 que acaben por 8?

6.- Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes se pueden formar con los nmeros 2, 4, 6 y 8?

Solucin:V4,3= 4.3.2 = 24

7.- Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes se pueden formar con los nmeros 2, 4, 6 y 8 quecomiencen por 2?Solucin:V3,2= 3.2 = 6

8.- Cuntas palabras, con o sin sentido, de tres letras se pueden formar con las letras de lapalabra ELSA?Solucin: V4,3= 4.3.2 = 24

9.- De cuantas maneras distintas se pueden extraer tres bolas de una bolsa numeradas del 1 al 8?Solucin: V8,3= 8.7.6 = 336

10.- En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. De cuntas maneras distintas podemosextraer tres de ellas si volvemos a dejar la bola una vez observado el resultado?Solucin: VR8,3= 8

3= 512

11.- Si en una provincia el mximo nmero de dgitos en el telfono es 7 y suponemos que nohay cdigos ni nmeros fijos, cuntos nmeros telefnicos tenemos?Solucin: VR10,7= 10

7= 10.000.000

12.- Si en una provincia el mximo nmero de dgitos en el telfono es 7, sin empezar por el 0,cuntos nmeros telefnicos tenemos?Solucin: VR10,7- VR10,6= 10

7-106= 9.000.000

13.- Cuntos nmeros menores de 1000 hay con alguna cifra repetida?Solucin: VR10,3- V10,3= 1000 - 720 = 280

14.- Cuntos nmeros capicas menores de 1000 hay?Solucin: VR10,2- V10,1= 100 - 10 = 90

15.- Cuntos resultados se obtiene al lanzar dos dados de parchs al aire?Solucin: VR10,6 = 6

2= 36

16.- De cuntas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez?Solucin: VR2,3 = 2

3= 8

17.- De cuntas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez, de modo quela primera sea cara?Solucin: VR2,2 = 22= 4


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1.3.- PERMUTACIONES

1.- Permutaciones sin repeticin

Permutaciones de n elementos son las distintas ordenaciones que se pueden formar con los nelementos, tal que en cada muestra todos los elementos son distintos. En cada muestra hay n elementos distintos. Dos muestras son distintas si difieren la colocacin de los mismos.


1)...2.1!-n(nPn=

La expresin n.(n-1).(n-2)...2.1 se denomina factorial de un nmero, n!.

Si utilizamos esta expresin en la frmula de las variaciones sin repeticin queda:

m)!-(n

n!

V mn, =

Observacin:

Si A es un conjunto de cardinal n y B un conjunto de cardinal n, el nmero de aplicacionesbiyectivas que se pueden definir entre A y B coinciden con Pn.

2.- Permutaciones circulares

Un caso particular es la de las permutaciones circulares, que son las diferentes maneras de

colocar n elementos en crculo.

Al no existir una posicin privilegiada a la hora de considerar las diversas permutacionesdebemos considerar iguales a aquellas en que los elementos estn colocados entre si en la mismaposicin.


1)!-n(PPC 1-nn ==

3.- Permutaciones con repeticin

Permutaciones con repeticin de n elementos de los cuales a, b,....c son iguales entre si son lasdistintas ordenaciones que se pueden formar con los n elementos, tal que en cada muestra.

En cada muestra hay n elementos.

La suma a + b + .... + c = n

Dos muestras son distintas si difieren la colocacin de los mismos.


c!a!.b!.....

n!P cb,...,a,n =


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EJEMPLOS

1.- Cuntas nmeros de cinco cifras podemos realizar con placashechas en plstico de los nmeros del 1 al 5?

Resolucin:

Como importa el orden y tengo nicamente las mismas cifras que placas sonpermutaciones sin repeticin de 5 elementos

1205.4.3.2.1!5P5 ===


2.- De cuntas maneras pueden colocarse 6 libros en una estantera?

Resolucin:

Como importa el orden y tenemos los mismos libros que los que se colocanson permutaciones sin repeticin de 6 elementos

P6= 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Por lo tanto podemos colocarlos de 720 maneras diferentes.

3.- Cuntas banderas de tres franjas diferentes puedes hacer con loscolores blanco, azul y rojo?

Resolucin:

Como importa el orden, no se pueden repetir y tenemos el mismo nmero de

elementos que los que coloco son permutaciones sin repeticin de 3elementos.

P3= 3! = 3.2.1 = 6

Por lo tanto pueden realizarse 6 banderas.

4.- De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco personas enuna mesa?

Resolucin:

Como importa el orden, no se pueden repetir y tenemos el mismo nmero de

elementos que los que coloco son permutaciones sin repeticin de 5elementos.

P5= 5! = 5.43.2.1 = 120

5.- De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco personas enuna mesa redonda?

Resolucin:

Son un caso de permutaciones circulares. Como importa el orden y tenemos elmismo nmero de lugares que comensales tendramos permutaciones sinrepeticin. Al ser una mesa redonda no hay cabecera, luego debo eliminar uno,

quedando.


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PC5= P4= 4! = 4.3.2.1 = 24

Por lo tanto se pueden sentar de 6 maneras diferentes.

6.- De cuantas maneras diferentes se pueden combinar cuatro

comensales en una mesa camilla?

Resolucin:

Son un caso de permutaciones circulares. Como importa el orden y tenemos elmismo nmero de lugares que comensales tendramos permutaciones sinrepeticin. Al ser una mesa redonda no hay cabecera, luego debo eliminar uno,quedando.

63.2.1!3PPC 34 ====

Por lo tanto se pueden sentar de 6 maneras diferentes.

7.- Cuntas nmeros de cinco cifras podemos escribir con 2 unos, 2doses y 3 treses?

Resolucin:

Contamos las ordenaciones de 7 elementos, de los cuales 2, 2 y 3 son igualesentre si.

2!2!.3!

7!P 2,2,37 = = 210

Por lo tanto podemos escribir 210 nmeros.

8.- Cuntas palabras diferentes se pueden formar con las letras de lapalabra ALAVA?

Resolucin:

Contamos las ordenaciones de 5 elementos, de los cuales 1, 1 y 3 son igualesentre si.

1!.1!.3!

5!P1,1,35 = = 20

Por lo tanto podemos escribir 20 palabras diferentes.

9.- De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de lapalabra ALAVA, cuntas empiezan por vocal?, cuntas empiezan porconsonante?

Resolucin:

Si comienzan por vocal, como solo tenemos una (la A) tendremos lasordenaciones de 4 elementos, de los cuales 1, 1 y 2 son iguales entre si.

1!.1!.2!

4!P1,1,24 = = 12



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Si comienzan por consonante, como tenemos dos (la A) tendremos elproducto de las dos posibles consonantes por las ordenaciones de 4elementos, de los cuales 1y 3 son iguales entre si.

.1!.3!

4!2.2.P1,34 = = 8



1.- Cuntas nmeros de cinco cifras podemos realizar con las cifras impares?Resolucin: P5= 120

2.- De cuantas maneras se pueden pintar camisetas de tres franjas diferentes con los coloresblanco, azul y rojo?

Resolucin: 6P3=

3.- De cuantas maneras diferentes se sentaban los 12 caballeros de la tabla redonda?Resolucin: 800.916.39PC12=

4.- De cuantas maneras diferentes se sientan los 5 miembros de una comisin?Resolucin: P5= 120

5.- De cuantas maneras diferentes se sientan los 5 miembros de una comisin si la mesa esredonda?

Resolucin: PC5= 24

6.- De cuantas maneras diferentes pueden llegar a meta 6 corredores?Resolucin: P

6

= 720

7.- De cuantas maneras diferentes pueden llegar a meta 6 corredores, si conocemos al ganador yal ltimo que han llegado aunque no en que orden?

Resolucin: P4.P2= 48

8.- Cuntas nmeros diferentes se pueden formar con las cifras del nmero 133322?

Solucin: 3,2,16P = 60

9.- De los nmeros diferentes que se pueden formar con las cifras del nmero 133322, cuntostienen el 1 en primer lugar?

Solucin: 3,25P = 10

10.- Cuntas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra COCACOLA?

Solucin: 3,2,2,18P = 1680

11.- Cuntas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA?

Solucin: 3,1,1,16P = 120

12.- De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA,cuntas acaban por vocal?

Solucin: 2,1,1,15P = 60

13.- De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA,

cuntas acaban por vocal?, cuntas acaban por consonante?Solucin:3. 2,1,1,15P = 180;

3,1,153.P = 60.


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1.4.- COMBINACIONES

1.- Combinaciones

Combinaciones sin repeticin de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras quese pueden formar con n elementos, tales que: En cada muestra hay m elementos distintos. Dos muestras son distintas si difieren en algn elemento. Dos muestras NO son distintas si nicamente cambia la colocacin de los elementos que la

forman.

El nmero de ellas es:

m)!(nm!

n!C mn,

=

2.- Nmeros combinatorios

Definicin

El nmero de combinaciones de n elementos tomados de m en m, C n,m, se llama tambin nmero

combinatorio. Se representa por

m

ny se lee n sobre m.

Su frmula es:

m)!(nm!

n!

m

nC mn,

=

=

Propiedades de los nmeros combinatorios

1.-

0

n= 1 y

1

n=1

2.-

m

n=

mn

n

3.-

1m

n+

m

n=

+

m

1n

Tringulo de Tartaglia

Para hallar los nmeros combinatorios podemos utilizar el tringulo de Tartaglia que es:

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4

3

3

2

3

1

3

0

3

2

2

1

2

0

2

1

1

0

1


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Todas las filas comienzan y terminan por 1. Todas las filas son simtricas Los extremos de la fila son 1 y el resto se obtiene sumando los dos situados encima de ellos.

EJEMPLOS

1.- Cuntos partidos debemos realizar entre cuatro jugadores de ajedrezpara que se enfrenten todos?

Resolucin:

Como no importa el orden y nadie juega contra si mismo, se trata de calcularlas combinaciones sin repeticin de 4 elementos tomados de 2 en 2.

62.2

24

2!2!

4!C4,2 ===

Por lo tanto debemos realizar 6 partidos.

2.- De cuantas maneras diferentes se pueden elegir tres helados consabor nata, chocolate, limn, moka y vainilla?

Resolucin:

Como no importa el orden y no se pueden repetir ya que no hay helados consabores repetidos, son combinaciones sin repeticin de 5 elementos tomadosde 3 en 3.

106.2

120

3!2!

5!C5,3 ===

Por lo tanto podemos elegir 3 helados de 10 maneras diferentes.

3.- Cuntas diagonales se pueden hacer en un hexgono?

Resolucin:

Como una diagonal une dos vrtices noconsecutivos, sin importar el orden enque tomemos ambos, el nmero dediagonales, tal como se ve en la figura,es el nmero de combinaciones de losvrtices tomados de dos en dos menoslas diagonales externas, que son los

lados:

C6,2- 6 =4!2!

6!-6 = 15 -6 = 9

Por lo tanto podemos hacer 9 diagonales.

4.- Calcula el valor de n en la igualdad:

16

n=

7

n

Resolucin:Utilizando la 2 propiedad de los nmeros combinatorios se obtiene:


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16

n=

61-n

n

Es decir:

n-16 = 7 n = 16+7 = 23

5.- Calcula:

10

20+

11

20

Resolucin:

Utilizando la 3 propiedad de los nmeros combinatorios se obtiene:

10

20+

11

20=

11

21=

.5.4.3.2.110.9.8.7.6

.14.13.128.17.16.1521.20.19.1

11!10!

21!= = 352.716


1.- De cuntas maneras puedes elegir cuatro camisas de tu armario teniendo en cuenta que eltotal de las que tienes es 8?Solucin: C8,4= 70.

2.- Te han propuesto en un examen 10 preguntas de las cules debes resolver 5. cuntas formashay de seleccionarlas?Solucin: C10,2= 252.

3.- Cuntas rectas podemos formar con 8 puntos no alineados en el plano? y si duplicamos elnmero de puntos?Solucin: C8,2= 56; C16,2= 120.

4.- Cuntas diagonales tiene un pentgono? y tringulos que unan tres vrtices?Solucin: C5,25 = 5; C5,3= 10.

5.- Cuntos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja espaola?Solucin: 91390C40,4=

6.- Cuntos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja espaola que sean todas figuras?Solucin: 495C12,4=

7.- Cuntos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja espaola que sean espadas?Solucin: 210C10,4=

8.- De cuntas maneras podemos repartir 28 fichas de domin entre 4 jugadores?Solucin: 475.20C28,4=

9.- En una comisin de la Unin Europea ha de haber 2 representantes alemanes, dos espaoles y2 portugueses. Teniendo en cuenta que hay 10 representantes alemanes, 8 espaoles y 5portugueses.De cuntas maneras puede elegirse dicho comit?Solucin: 600.12C.C.C 5,28,210,2 =

8.- Cuntas apuestas distintas son posibles en la lotera primitiva?Solucin: C49,6= 13.983.816


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1.5.- BINOMIO DE NEWTON

1.- Definicin.

Las sucesivas potencias del binomio, (a + b)nson:

(a + b)n= n1-n1-nn bnnab1-nn...ba1na0n

+

++

+

El trmino general del desarrollo del binomio es:

Tk=1-k1)-(k-n ba

1-k

n

EJEMPLOS

1.- Calcula (x+2)3

Resolucin:

Aplicando la frmula del binomio de Newton:

(x+2)3= 3223 2

3

3x.2

2

3.2x

1

3x

0

3

+

+

+

= x

3+6x

2+12x+8

2.- Halla el trmino del desarrollo de (x2+2x)4en el que aparece x5

Resolucin:

Tenemos (a + b)4con a = x

2y b = x. Como buscamos un trmino tal que

( ) 1-k1)-(k-42 xx = (x2)5-k.xk-1= x510-2k+(k-1) = 5 9-k = 5 k = 4

Luego el trmino buscado es:

Tk=1-k1)-(k-n ba

1-k

n

= 1-41)-(4-42 (2x)).(x

1-4

4

= 32 (2x).x

3

4

= 32x5


1.- Calcula (2 + x)5

Solucin: (2+ x)5= x5+10x4+40x3+80x2+80x+32

2.- Calcula (4 + 3x)4

Solucin: (4 + 3x)4= 81x4+432x3+864x2+768x+256

3.- Desarrolla )y+(x 3 Solucin: (x + y)3= x3+3x2y + 3xy2+ y3

4.- Hallar el 5 trmino del desarrollo del binomio )x+(2 20

Solucin:T5=416 x.2

4

20

5.- Hallar el 10 trmino del desarrollo del binomio )2x-(1 30

Solucin:T10=921

(-2x).19

30

=

99

x.29

30


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1.6.- EJERCICIOS DEL TEMA

1.- Si en un restaurante hay 5 tipos de bocadillos y 6 tipos de bebidasa) Cuntos mens se pueden realizar de un bocadillo y una bebida cada uno?b) Si hay 3 tipos de pasteles cuntos mens se pueden realizar, si aadimos al anterior unpastel?Solucin: a) 5.6 = 30, b) 5.6.3 = 90

2.- Cuntos nmeros naturales hay entre 1.000 y 10.000 con todas las cifras diferentes?Solucin: Son nmeros de 4 cifras diferentes 9.9.8.7 = 4536

3.- Se tiene una bolsa con 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza el experimento que consisteen la extraccin de cuatro bolas de la bolsa, reintegrando cada vez que se extrae una bola a labolsa. Se pide:a) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen las 4 bolas.b) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen las 4 bolas, si no se reintegran a la bolsa.Solucin: a) 000.10VR10,4= , b) 040.5V10,4=

4.- En el experimento consistente en lanzar dos dados al aire y observar la puntuacin queaparece en las caras superiores, hallar de cuantas maneras diferentes se obtiene un 7 sumando lasdos caras.Solucin: 6

5.- Un experimento consiste en la extraccin de tres cartas de una baraja espaola.a) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen si se reintegran a la baraja.b) Hallar de cuntas formas diferentes se extraen si no se reintegran a la baraja.Solucin: a) 000.64VR 40,3= , b) 880.9C40,3=

6.- De cuntas maneras pueden repartirse las tres medallas en una carrera con 8 corredores.Resolucin: V8,3= 336.

7.- La final de torneo de baloncesto se juega en un play-off al mejor de 3 encuentros. Cuntosresultados pueden darse?, y si fuera al primero que gane 3 encuentros?Solucin: a) 6, b) 18.

8.- Cuntas nmeros de 3 cifras distintas pueden hacerse?Solucin: 648

9.- Resuelve 203VV n,1n,3 =

Solucin: n = 7.

10.- Cuntas palabras pueden formarse con las letras de la palabra CORUA que empiecen enconsonante?

Solucin: 3.P5= 360

11.- Cuntos nmeros de 6 cifras se pueden formar con placas de los nmeros 1, 2, 3, 4, 5 y 6?,Cuntos son menores que 650.000?Solucin: P6= 720; 696P-P 46 =

12.- Cuntas palabras pueden formarse con las letras de la palabra GIJON que acaban en vocal?Solucin: 2.P4= 48.

13.- Cuntas palabras pueden formarse con las letras de la palabra GIJON que comiencen yacaben en vocal?Solucin: 2P3= 12.

14.- Cuntas nmeros de 5 cifras diferentes pueden hacerse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5? Y conlas cifras 0, 1, 2, 3 y 4?


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Solucin: P5= 120, 4. P4= 96.

15.- Cuntas nmeros de cinco cifras podemos escribir con 2 unos y 3 doses?

Solucin: 2,35P = 10

22.- Tenemos dinero para comprar tres nmeros de una coleccin de 12 tebeos de cuntasmaneras distintas podemos comprarlos?Solucin: 220C12,3=

23.- Te han propuesto en un examen 10 preguntas de las cules debes resolver 5. Si de laspreguntas no conoces 2 cul es la nueva posibilidad de seleccin?Solucin: 56C8,5=

24.- De cuntas maneras distintas podemos mezclar seis franjas de colores en una bandera?Solucin: 720P6=

25.- Cuntos nmeros pares de 3 cifras pueden formarse con las cifras del 0 al 6?

Solucin: 168)VR4(VR 7,17,2 =

26.- Cuntos nmeros de 4 cifras pueden formarse usando las cifras del 1 al 4?Solucin: 256VR 4,4=

27.-Cuntos nmeros pares de 2 cifras pueden formarse?Solucin: 9.5 = 45

28.-Cuntos nmeros capicas de 5 cifras pueden formarse?Solucin: 900VRVR 10,210,3 =

29.-Cuntos nmeros de 6 cifras divisibles por 5 pueden formarse?

Solucin: 000.180)VR2(VR 10,410,5 =

30.-Cuntos nmeros de 4 cifras tienen todas las cifras impares?Solucin: 625VR 5,4=

31.- Cuntas matriculas pueden hacerse en una provincia determinada teniendo en cuenta queconstan de 4 cifras y dos letras.?Solucin: 104.262

32.- Seis amigos, tres hombres y tres mujeres, se encuentran despus de una ao sin verse, si sesaludan dndose un beso en una mejilla si uno de ellos es mujer o dndose la mano si ambos sonhombres

a) Cuntos saludos se producen?,b) Cuntos son apretones de mano?,c) Cuntos son besos?Solucin: a) C6,2= 15 saludos, b) 15-3 = 12 besos, c) C3,2= 3 apretones de mano.

33.- Halla el coeficiente del trmino del desarrollo de (x-1)10de grado 3.Solucin: k = 8.

34.- Cuntos nmeros de 3 cifras distintas se pueden formar con los nmeros del 1 al 5?,cunto vale su suma?Solucin: V5,3= 60.

35.- Cuntas banderas se pueden fabricar con tres franjas rojas, dos verdes y una azul?

Solucin: 1,2,36P = 60.


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TEMA 2:

PROBABILIDAD

2.1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS1.- Experimento determinista y aleatorio

Un experimento aleatorio tiene un resultado impredecible al repetirlo en condicionessimilares.

Un experimento determinista tiene un resultado predecible al repetirlo en condicionessimilares.

2.- Espacio muestral

El espacio muestral de una experiencia aleatoria est formado por el conjunto de resultadosposibles al realizar el experimento. Pueden ser de tipo discreto (finito o infinito) o continuo. Lodesignamos con E.

EJEMPLOS

1.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire undado y observar el resultado.

Resolucin:Al lanzar un dado al aire los posibles resultados son las seis caras existentesen el dado. El espacio muestral asociado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2.- Halla el espacio muestral asociado alexperimento de lanzar al aire dos monedas ala vez.

Resolucin:La mejor manera de encontrar todas lasposibilidades es formar el diagrama en rbol desucesos. El espacio muestral es:E = { (C, C), (C, X), (X, C), (X,X) }


1.- Obtn el espacio muestral del experimento: lanzar al aire dos dados y observar sus carassuperiores.

Resolucin: E ={(1,1), (1,2),...,(1,6), (2,1), (2,2),....., (2,6),...,(6,6)}

2.- Sea el experimento: lanzar al aire un dado de quinielas y observar sus caras superiores.Obtn el espacio muestral.

Resolucin: E ={1, X, 2}

3.- De una bolsa con 3 bolas blancas y 1 negra se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Obtn

el espacio muestralResolucin: E = {B1B2,, B1N2,, N1B2}


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2.2.- SUCESOS

1.- Definiciones

Sucesoelementales cada uno de los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Lossucesos se designan mediante una letra mayscula: A, B, C, ... Los sucesos elementales nose pueden descomponer en otros sucesos, es decir estn formados por un nico elemento delespacio muestral.

Suceso o suceso compuestoes cualquier subconjunto del espacio muestral que tiene ms deun elemento. Un suceso compuesto se puede descomponer en otros sucesos, es decir estformado por ms de un elemento del espacio muestral.

Espacio de sucesoses el conjunto formado por todos los sucesos (subconjuntos del espaciomuestral). Se designa con P(E) o S. Si el espacio muestral tiene n elementos, el espacio desucesos S tiene 2nelementos.

Un suceso se verificacuando al realizar la experiencia aleatoria el resultado obtenido es uno

de los que componen dicho suceso.

Un suceso no se verifica cuando al realizar la experiencia aleatoria correspondiente, elresultado obtenido noes uno de los que componen dicho suceso.

Suceso imposiblees aquel suceso que no se realiza nunca. Se designa por .

Suceso seguro es aquel que siempre se cumple. Est formado por todos los resultadosposibles de un experimento aleatorio, coincide con el espacio muestral E.

Sucesos compatibles son aquellos quepueden darse simultneamente, ya quela realizacin de uno no impide la

realizacin de otro.Si dos sucesos A y B son compatiblestienen interseccin no nula.

A B

Sucesos incompatibles son aquellosque no pueden darse simultneamenteya que la realizacin de uno impide larealizacin de otro.

Si dos sucesos A y B son incompatiblestienen interseccin nula.

AB =

Suceso contrario de A es el suceso Aque ocurre cuando no se verifica A.

Siempre se verifican las siguientespropiedades:

1.- E =

2.- = E


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EJEMPLOS

1.- En el experimento lanzar dos monedas a la vez, obtn los sucesosA= salir dos caras, B = salir dos cruces y C = salir cara y cruz.

Resolucin:

A = {(C, C)}, B = {(X, X)}, C = {(C, X), (X, C)}

2.- Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos del experimentolanzar al aire una moneda y observar el resultado obtenido.

Resolucin:

Espacio muestral es E = { C, X}

Espacio de sucesos es S = {, {C}, {X}, {C, X} }

3.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dossucesos compatibles.

Resolucin:

Son compatibles:

A = que salga par = {2, 4, 6}

B = que salga mltiplo de tres = {3, 6}

Como AB = {6}, ambos pueden verificarse a la vez.

4.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dossucesos incompatibles.

Resolucin:Son incompatibles:

A = que salga par = {2, 4, 6}

B = que salga impar = {1, 3, 5}

Puesto que AB = , ambos no pueden verificarse simultneamente.


1.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y sumar sus caras superiores. Obtn:a) El suceso "obtener como mnimo la suma 1".b) El suceso "obtener un mltiplo de 3".Solucin: a)E, b){(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)}

2.- Sea el experimento aleatorio coger una ficha de domin y sumar los puntos de dicha ficha.Obtn:a) El espacio muestral. b) El suceso "obtener un nmero par".Solucin: a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ,12}b) "obtener un nmero par" = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}

3.- Se tiene una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza el experimento que consiste enla extraccin de una bola de la bolsa, observar el nmero obtenido y reintegrar la bola a la bolsa.Se pide:a) El suceso "Obtener nmero primo".b) El suceso "Obtener nmero par".c) El suceso "Obtener nmero primo o par".Solucin: a) {1,2,3,5,7}, b) {2,4,6,8}, c) {1,2,3,4,5,6,7,8}.

4.- En el experimento aleatorio lanzar tres monedas a la vez, obtn los sucesos salir tres caras,salir dos cruces y una cara salir tres cruces.Solucin: a) {(C, C, C)}, b) {(X, X, C), (C, X, X), (C, X, X)}, c) {(X, X, X)}.


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2.3.- OPERACIONES CON SUCESOS

1- Unin de sucesos

Dados dos sucesos A y B, llamamos unin desucesos al conjunto formado por los sucesoselementales comunes y no comunes de A y By lo expresamos como AB.

Es decir, ser el suceso que se verifica cuandose cumplen A o B o ambos a la vez.

2- Interseccin de sucesos

Dados dos sucesos A y B, llamamosinterseccin de sucesos al conjuntoformado por los sucesos elementales

comunes de A y B y lo expresamos comoAB.

Es decir, ser el suceso que se verificacuando se cumplen A y B simultneamente.

3.- Diferencia de sucesos

Dados dos sucesos A y B, llamamosdiferencia de sucesos al conjunto formadopor los sucesos elementales de A que noestn en B y lo expresamos como A-B.

Es decir ser el suceso que sucede cuando se

realizan A y B simultneamente.

4.- Propiedades de las operaciones

En el espacio de sucesos asociado a un espacio aleatorio se definen las operaciones unin,interseccin y contrario de modo que se cumplen las propiedades:

OperacionesPropiedades

Unin Interseccin

Asociativa (AB)C = A(BC) (AB)C = A(BC)Conmutativa AB = BA AB = BA

Idempotente AA = A AA = A

Simplificativa A(BA) = A A(BA) = A

Distributiva A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC)

Contrario AA = E AA =

Con estas propiedades el conjunto Espacio de Sucesos es un lgebra de Boole.

Otras propiedades interesantes las leyes de "De Morgan":

BA = BA

BA = BA


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EJEMPLOS

1.- En el experimento sacar una carta de una baraja espaola y observarel resultado consideramos los sucesos A = sacar una carta que seamltiplo de 4 y B = sacar una carta que sea mltiplo de 3, halla AB.

Resolucin:Como los sucesos son A = { 4, 8} y B = {3, 6, 9, 12} la unin de sucesos ser:

AB = {3, 4, 6, 8, 9, 12}

2.- En el experimento sacar una carta de una baraja espaola y observarel resultado consideramos los sucesos A = sacar una carta que seamltiplo de 2 y B = sacar una carta que sea mltiplo de 3, halla AB.

Resolucin:Como los sucesos son A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = {3, 6, 9, 12} la interseccinde sucesos ser:

AB = {6, 12}

3.- En el experimento sacar una carta de una baraja espaola y observarel resultado consideramos los sucesos A = sacar una carta que seamltiplo de 2 y B = sacar una carta que sea mltiplo de 3, halla A-B.

Resolucin:Como los sucesos son A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = {3, 6, 9, 12} el suceso

B ser:

B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} y la diferencia de sucesos ser:

A - B = AB = {2, 4, 8, 10}


1.- En el experimento lanzar un dado de parchs y observar el resultado consideramos lossucesos A = sacar mltiplo de 2" y B = sacar mltiplo de 3, halla el suceso AB.Solucin: A = {2, 4, 6} B = {3, 6},AB = {2, 3, 4, 6}

2.- En el experimento lanzar un dado de parchs y observar el resultado consideramos lossucesos A = sacar mltiplo de 2" y B = sacar mltiplo de 3, halla el suceso AB.Solucin: A = {2, 4, 6} B = {3, 6},AB = {6}

3.- En el experimento lanzar un dado de parchs y observar el resultado consideramos lossucesos A = sacar mltiplo de 2" y B = sacar mltiplo de 3, halla el suceso A-B.Solucin: A = {2, 4, 6} B = {3, 6},A-B = {2, 4}

4.- En el experimento lanzar un dado de parchs y observar el resultado consideramos lossucesos A = sacar mltiplo de 2" y B = sacar mltiplo de 3, comprueba las leyes de DeMorgan aplicadas a dichos sucesos.

5. Se tiene una bolsa con 10 bolas numeradas del 1 al 10. Realizado el experimento consistenteen la extraccin de una bola de la bolsa, observar el nmero obtenido y reintegrar la bola a labolsa, se han obtenido los sucesos A = {3, 5, 7, 9}, B = {3, 6, 9}, C = {1, 2, 3, 4, 5}. Forma lossiguientes sucesos:a) AB, b) BC, c) A( BC), d) A(BC)Solucin: a) {3, 9}, b) {3}, c) {3}, d) {3, 5, 7, 9}.


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2.4.- IDEA INTUITIVA DE LA PROBABILIDAD

1.- Frecuencia relativa y probabilidad

La frecuencia relativa de un suceso A es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero deresultados de la prueba:

N

f=fr

La frecuencia relativa es siempre un nmero racional comprendido entre 0 y 1. Al aumentar elnmero de experiencias, la frecuencia relativa tiende a estabilizarse alrededor de un nmero, esdecir fluctuar alrededor de dicho valor siendo las oscilaciones cada vez ms pequeas.

2.- Ley de los grandes nmeros

Bernouilli demostr la Ley de los grandes nmeros:"la frecuencia relativa de un suceso tiende

a estabilizarse en torno a un nmero, a medida que el nmero de pruebas del experimento creceindefinidamente".

A este nmero que se acerca la frecuencia relativa del suceso lo llamaremos probabilidaddedicho suceso. Dicha probabilidad recibe el nombre de probabilidad a posteriori, ya que se conocedespus de realizar el experimento. En la mayora de los casos es la nica forma que hay quedeterminar probabilidades.

Como no seremos capaces de realizar infinitas pruebas de un experimento usaremos el valoraproximado de la probabilidad. Por la propia definicin (es una frecuencia relativa) laprobabilidad de un suceso es siempre un nmero comprendido entre 0 y 10 P(A) 1

La probabilidad es la mediada de la incertidumbre de un suceso aleatorio, mide las posibilidadesque tiene de verificarse el suceso al realizar el experimento.

3.- Ley de Laplace

Segn Laplace "la probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el nmero de casosfavorables al suceso y el nmero de casos posibles".

posiblesCasos

favorablesCasos=P(A)

Para poder aplicar esta definicin hay que tener en cuenta que los experimentos han de dar lugara sucesos elementales equiprobables. Los casos favorables son los elementos que forman elsuceso A y los casos posibles son todos los que forman el espacio muestral.

EJEMPLOS

1.- Halla la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar tres monedas al aire

Resolucin:Consideramos que las lanzamos a la vez y usamos la Regla de Laplace siendo

los casos favorables un nico caso y los posibles 2,3VR = 23= 8

P(3 caras) =2,3VR

1= 8

1


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2.- Se considera el experimento aleatorio lanzar al aire un dado de parchsy observar el resultado obtenido en la cara superior. Halla la probabilidadde obtener:a) Nmero impar.b) Nmero primo.c) Mltiplo de tres.

d) Mltiplo de cinco.

Resolucin:El espacio muestral del experimento es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El nmero desucesos posibles es 6

a) Si A = "Obtener impar" = {1, 3, 5} P(A) =6

3=

2

1

b) Si B = "Obtener primo" = {1,2, 3} P(B) =6

3=

2

1

c) Si C = "Obtener mltiplo de 3" = { 3, 6} P(C) =6

2=

3

1

d) Si D = "Obtener mltiplo de 5"= { 5} P(D) =6

1

3.- Se realiza el experimento aleatorio lanzar al aire dos monedas. Hallarla probabilidad de obtener:a) Dos caras.b) Dos cruces.c) Cara y cruz.d) Al menos una cruz

Resolucin:El espacio muestral del experimento es E = {CC, CX, XC, XX}. Los sucesosposibles son 4.

a) Si A = "Obtener dos caras" = {CC} P(A) =41

b) Si B = "Obtener dos cruces" = {XX} P(B) =4

1

c) Si C = "Obtener cara y cruz" = { CX, XC} P(C) =4

2

d) Si D = "Obtener al menos una cruz" = { CX, XC, XX} P(D) =4

3

4.- Calcula la probabilidad de obtener tres ases al extraer tres cartas deuna baraja espaola.

Resolucin:

P(3 ases) =C

C340

34 =

2470

1

5.- Calcula la probabilidad de acertar un nmero de telfono si nos hemosolvidado del ltimo nmero

Resolucin:

P(acertar) =

P

F

C

C=

01

1


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1.- Halla la probabilidad de que al lanzar un dado al aire al suma de las caras visibles seamltiplo de 5.

Solucin:3

1

2.- Se lanzan dos dados. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Obtener almenos un cinco. b) La suma de las puntuaciones obtenidas es menor o igual a tres.

Solucin: a) P(A) =36

11, b) P(B) =

12

1

3.- Se lanzan un par de dados. Si los nmeros resultantes son diferentes obtn la probabilidad deque la suma de los nmeros obtenidos sea impar.

Solucin: P(A) =5

2

4.-Tres amigos compran, cada uno, un regalo. Los mezclan y los reparten aleatoriamente entre

ellos. Calcula la probabilidad de que: a) A cada uno le toque el regalo que compr. b) A ningunole toque el regalo que compr.

Solucin: a) P =6

1, b) P =

3

1

5.- Se lanza una moneda dos veces. Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga cruz

Solucin: P(A) =4

1

6.- Se lanza dos veces un dado con forma de tetraedro cuyas caras estn numeradas del 1 al 4.Obtn la probabilidad de que la suma de los nmeros de la cara oculta seas impar.

Solucin: P(A) = 16

8

= 2

1

7.- Cual es la probabilidad de obtener una figura (sota, caballo o rey) al extraer 3 cartas de unabaraja espaola de 40 cartas.

Solucin: P(A) =3,40

3,12

C

C=

494

11

8.- Se lanzan dos dados. Calcula las probabilidades de que: a) La suma de las puntuacionesobtenidas sea siete. b) La suma de las puntuaciones obtenidas sea doce.

Solucin: a) P(7) =6

1,P(12) =

36

1

9.- En una urna tenemos 2 bolas blancas, 3 negras y 4 azules. Calcula la probabilidad de que alextraer una bola al azar: a) Sea blanca. b) Sea negra. c) Sea azul.

Solucin: a) P(B) =9

2, b) P(N) =

9

3,c) P(A) =

9

4

10.- Se extraen 3 cartas de una baraja espaola de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que :a) Salgan al menos dos ases,b) Salga el rey de copas,c) No salga ninguna figura.

Solucin: a)3,40

3,42,41,36 .

C

CCC +=

494

11, b)

3,40

2,36 1.

C

C=

988

63c)

3,40

3,28

C

C=

190

63


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2.5.- DEFINICIN AXIOMTICA DE PROBABILIDAD

1.- Axiomas

Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A, del espacio de sucesos, un nmeroreal que llamamos probabilidad de Ay representamos por P(A), que cumple los siguientesaxiomas:

1. La probabilidad de un suceso es positiva o nula.P(A) 0

2. La probabilidad del suceso cierto es la unidad.P(E) = 1

3. La probabilidad de la unin de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de lasprobabilidades de cada uno de ellos.P(AB) = P(A) + P(B)

2.- Propiedades

A partir de los axiomas se pueden demostrar los siguientes teoremas

1. Probabilidad del suceso complementario:

P( A ) = 1 - P( A)

2. Probabilidad del suceso imposible:P() = 0

3. Si A BP(A) P(B)

4. Si A1, A2,... Anson incompatibles dos a dos se cumple:P(A1A2 ... An) =A1+ A2+ ...+ An

5. Unin de dos sucesos compatiblesP(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6. Diferencia de sucesosP(A-B) = P(A) - P(AB)

EJEMPLOS

1.- En el experimento lanzar al aire dos caras halla la probabilidad delsucesos "obtener al menos una cruz".

Resolucin:El espacio muestral ser {C, C}, {C, X}, {X, C}, {X, X}. Ser ms fcil hallar la

probabilidad a partir del suceso contrario de A, es decir A = "No obtenerninguna cruz" = "Obtener dos caras".

Como aplicando la Regla de Laplace P( A ) =4

1, tendremos:

P(A) = 1 - P( A ) = 1 -4

1=

4

3


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2.- En el experimento lanzar un dado de parchs al aire y observar elnmero de la cara superior se consideran los sucesos A = "obtenernmero par", B = "obtener nmero primo" y C = "obtener nmeromltiplo de 5". Calcular las probabilidades de:a) ABb) AC

Resolucin:Como A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 5} y C = {5}, las probabilidades de dichos

sucesos son: P(A) =6

3, P(B) =

6

3, P(C) =

6

1.

A y B son compatibles y existe interseccin que es {2}, y P(AB) =6

1.

A y B son incompatibles por lo tanto no existe interseccin, y P(AC)=0.

a) Al ser A y B sucesos compatibles:

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) =6

3+

6

3-

6

1=

6

5

b) Al ser A y C sucesos incompatibles:

P(AC) = P(A) + P(C) =6

3+

6

1=

6

4=

3

2

3.- De 200 estudiantes, 110 estudian Fsica, 70 estudian Qumica y 30estudian ambas. Escogido un estudiante al azar:a) Halla la probabilidad de que estudie Fsica o Qumica .b) Halla la probabilidad de que no estudie Fsica ni Qumica.

Resolucin:En el experimento de elegir un estudiante al azar entre los 200 consideradosllamamos F al suceso "El estudiante elegido estudia Fsica" y Q = "Elestudiante elegido estudia Qumica". Los datos del problema nos dicen:

P(F) =200

110=

20

11; P(Q) =

200

70=

20

7; P(FQ) =

200

30=

20

3

a) La probabilidad de que estudie Fsica o Qumica es:

P(FQ) = P(F) + P(Q) - P(FQ) =20

11+

20

7-

20

3=

20

15=

4

3

b) La probabilidad de que no estudie Fsica ni Qumica es:

P( QF ) = P( QF ) = 1- 4

3= 4

1

4.- Se ha concluido que si se elige al azar un espectador la probabilidadde que est a favor de la retransmisin de partidos de ftbol es de 0,8, lade que est a favor de la existencia de canales de TV de pago es de 0,4 yla de que est a favor de la retransmisin de partidos de ftbol y tambinde la existencia de canales de TV de pago es de 0,3.a) Calcula la probabilidad de que el espectador est a favor de laretransmisin de partidos de ftbol o de que est a favor de la existenciade canales de televisin de pago.b) Calcula la probabilidad de que el espectador no est a favor de la

retransmisin de partidos de ftbol ni de la existencia de canales detelevisin de pago.


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Resolucin:Supongamos los sucesos F = "estar a favor de la retransmisin de partidos deftbol" y C = "estar a favor de la existencia de canales de TV de pago" por losdatos del problema:

P(F) = 0,8; P(C) = 0,4; P(FC) = 0,3

a) Nos piden la probabilidad de que un espectador est a favor de laretransmisin de partidos de ftbol o de que est a favor de la existencia decanales de televisin de pago, es decir del suceso:

P(FC) = P(F) + P(C) - P(FC) = 0,8+0,4-0,3 = 0,9

b) Nos piden la probabilidad de que un espectador no est a favor de laretransmisin de partidos de ftbol ni de la existencia de canales de televisinde pago, es decir del suceso:

P( FC ) = P( CF ) = 1 - P(FC) = 1-0,9 = 0,1

donde hemos utilizado las leyes de De Morgan y que la probabilidad de unsuceso es 1 menos la probabilidad del suceso contrario.

5.- En una ciudad se publican dos peridicos A y B. La probabilidad deque una persona lea un peridico A es 0,1, la probabilidad de que lea el Bes 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02. Calcula la probabilidadde que una persona no lea ningn peridico.

Resolucin:

Sean los sucesos A = "leer el peridico A", B = "leer el peridico B", AB ="leerambos peridicos". El enunciado nos da las siguientes probabilidades:

P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(AB) = 0,02

Nos piden la probabilidad del suceso BA . Por las leyes de Morgan sabemos

que BA = BA , pues no leer ningn peridico es el suceso contrario deleer alguno de ellos, su probabilidad es:

P( BA ) =P( BA ) = 1 -P(AB)

Como:

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,1+0,1-0,02 = 0,18

nos queda:

P( BA ) = 1 -0,18 = 0,82.

6.- De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que

P(A) = 0.4, P(B) = 0.3 y P(AB) = 0,5 .

Calcula P(AB) y P(BA ).donde A y B representan los sucesos complementarios de A y B.

Del enunciado del problema tenemos:

P(A) = 0,4; P(B) = 0,3; P(AB) = 0,5

Aplicando la probabilidad de la unin:

P(AB) = P(A) +P(B) -P(AB) = 0,4+0,3-0,5 = 0,2

La probabilidad pedida es:

P( AB) = P(B) - P(AB) = 0,3 -0,2 = 0,1


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1.- Se extraen 3 cartas de una baraja espaola de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que salgaal menos un oro.

Solucin: P = 1-

3,40

3,10

C

C=

247

244

2.- De 200 estudiantes, 110 estudian Fsica, 70 estudian Qumica y 30 estudian ambas. Escogidoun estudiante al azar. Halla la probabilidad de que: a) estudie Fsica o Qumica. b) no estudieFsica ni Qumica.

Solucin: a)20

11+

20

7-

20

3=

4

3, b) 1-

4

3=

4

1

3.- La probabilidad de que un estudiante apruebe Fsica, Qumica y alguna de ellas es de 0,45;0,4 y 0,7 respectivamente. Halla la probabilidad de que un estudiante apruebe ambas materias.Solucin: 0,15.

4.- Sabiendo las siguientes probabilidades P(A) = 4

1, P(B) = 4

1, P(C) = 12

1, P(AB) = 16

1,

halla las probabilidades de C, CC y AB.

Solucin: P( C) =12

11, P( CC ) = 0 y P(AB) =

16

7

5.- En un dado trucado se cumple que la probabilidad de que salga un 6 es el doble que las de lasdems. Halla la probabilidad de que salga un nmero par.

Solucin: P(par) =7

4

6.- Luis y Pablo efectan un examen. La probabilidad de que apruebe Luis es del 60% y de que

aprueben ambos un 10%. Calcula la probabilidad de que apruebe Luis pero no Pablo.Solucin: P( PL ) = P(L)- P(LP) =

2

1

7.- Se considera el experimento aleatorio coger al azar tres fichas de domin y observarlas. Hallala probabilidad de: a) no coger ninguna ficha doble. b) coger alguna ficha doble.

Solucin: a) P =3,28

3,21

C

C=

234

95b) P = 1-

3,28

3,21

C

C=

234

139

8.- Sea E = {S1, S2, S3} . Averigua si es una funcin de probabilidad: a) P(S1 ) =2

1, P(S2) =

3

1,

P(S3 ) = 61b) P(S1 ) = 43 , P(S

2) =- 41 , P(S3 ) = 41

Solucin: a) S, b) No.

9.- Se extraen 3 cartas de una baraja espaola de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que salgaal menos un oro.

Solucin: P =1-3,40

3,30

C

C=

494

291

10.- Se lanza un dado de parchs 5 veces al aire. Calcula la probabilidad de que salga al menosun seis.

Solucin: P = 1- 5,6

5,5

VR

VR

= 0,6


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2.6.- EJERCICIOS DEL TEMA

1.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenisganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de tres.Solucin: E = {AA, ABA, ABB, BAA, BAB, BB}

2.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenisganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de cuatro.Solucin: E = {AA, ABAA, ABAB, ABB, BAA, BABA, BABB, BB}

3.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y observar el producto de sus caras superiores.Obtn el espacio muestral.Solucin: E = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36}

4.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire tres monedas a la vez.Solucin: E = {(C, C, C), (C, C, X),(C, X, C), (C, X, X),(X, C, C), (X, C, X),(X, X, C), (X, X, X)}

5.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada.a) Representa el espacio muestral y los sucesos "sacar al menos un seis" y "sacar suma par".b) Halla la probabilidad del suceso "los nmeros de los dos dados son diferentes".Solucin: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)},a) A = {(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}B = {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),

(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}

b) P(C) = 1- P( C ) = 1-6

1=

6

5,

6.- Halla la probabilidad de:a) Obtener tres caras en tres lanzamientos de una moneda.b) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos de una monedaSolucin:

7.- De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras se extraen sucesivamente dos bolas. Hallala probabilidad de que:a) Las dos sean negras:b) Las dos sean rojas:c) Una bola sea roja y otra negra:d) La primera bola es roja y la segunda negra:Solucin:

8.- En las negociaciones entre Sildavia y Borduria se encuentran 20 diplomticos de cada nacin:El 60% de los diplomticos hablan Alemn y el 70% hablan Francs. Cul es la probabilidad deque dos diplomticos no sean capaces de entenderse.Solucin:

9.- En un concurso se dispone de cinco sobres, dos de ellos contienen premio y los otros tres no.Se pide a un primer concursante que escoja un sobre de entre los cinco y a un segundoconcursante que elija un sobre de entre los restantes. Construye un espacio probabilsticoapropiado para calcular las probabilidades de los siguientes sucesos:a) El primer concursante obtenga premio.b) El segundo concursante obtenga premio.c) Ambos concursantes obtengan premio.Solucin:

10.- Se lanzan dos dados. Construye un espacio muestral, adecuado a dicha experiencia, paracalcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calclalas.a) Obtener un cinco solamente en un dado.

b) La suma de puntuaciones obtenidas en ambos dados sea a lo sumo de cuatro puntos.Solucin:


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11.- Se dispone una bolsa con siete bolas con los siete nmeros siguientes: 1,1,2,4,5,6,6. Seconsidera el experimento Sacar dos bolas simultneamente de la bolsa y observar los nmerosextrados. Construye el espacio muestral de este experimento y calcular las probabilidades:a) Los dos nmeros observados son pares.b) Un nmero es par y otro impar.c) Los dos nmeros son mayores que tres.

Solucin:

12.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes y otra urna contiene 2 bolas rojas y tres verdes.Se toma, al azar, una bola de cada urna y se observa su color. Escribe el espacio muestral,adecuado a esta experiencia, para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calclelas:a) Las dos bolas son del mismo color.b) Las dos bolas son de colores distintas.Solucin:

13.- Una caja contiene dos monedas. Una tiene grabada cara y cruz y la otra dos caras.a) Calcula la probabilidad de obtener cara.b) Cul es la probabilidad de obtener cara y ser moneda con dos caras?.Solucin:

14.- Se dispone una baraja espaola de 40 cartas; se saca una carta y, sin devolverla a la baraja,se saca otra. Calcula la probabilidad de que las dos cartas extradas sean oros.Solucin:

15.- Un cartero reparte al azar tres cartas entre tres destinatarios. Calcule la probabilidad de queal menos una de las tres cartas llegue a su destino correcto.Solucin:

16.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes y otra urna contiene 2 bolas rojas y 3 verdes. Setoma, al azar, una bola de cada urna. Escriba el espacio muestral. Cul es la probabilidad deambas bolas sean del mismo color? Y la de que sean de distinto color?.Solucin:

17.- Se considera el experimento de lanzar tres monedas al aire. Escriba un espacio muestralapropiado. Cul es la probabilidad de obtener por lo menos una cara?. Y la de obtenerexactamente tres caras?.Solucin:

18.- Calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda tres veces consecutivas aparezcan:a) Las tres veces caras.b) La primera vez sea cara y las dos siguientes cruces.c) Obtener nicamente una carad) Obtener al menos una caraSolucin:

19.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada.a) Halla la probabilidad del suceso "los nmeros de los dos dados son diferentes".b) Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos"?

Solucin: a) P(C) = 1- P( C ) = 1-1/6= 5/6, b) no son independientes.

20.- En una encuesta realizada en Andaluca, se ha concluido que si se elige al azar un andaluz laprobabilidad de que est a favor de la retransmisin de partidos de ftbol es de 0,8, la de que esta favor de la existencia de canales de TV de pago es de 0,4 y la de que ambas es de 0,3.a) Calcula la probabilidad de que un andaluz est a favor de la retransmisin de partidos deftbol o de que est a favor de la existencia de canales de televisin de pago.b) Calcula la probabilidad de que un andaluz ni est a favor de la retransmisin de partidos deftbol ni de la existencia de canales de televisin de pago.

Solucin: a) P(FC) 3 = 0,9, b) P( F C ) = 0,1


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TEMA 3:

PROBABILIDAD CONDICIONADA

3.1.- PROBABILIDAD CONDICIONADA

1- Definicin

Si la informacin aumenta la incertidumbre de que ocurra o no A vara, y como la probabilidadmide las posibilidades de realizacin de A, la probabilidad tambin vara.

Si se sabe que B ha sucedido el nmero de casos posibles disminuye, de tal forma que se tiene lasiguiente definicin.

Dados dos sucesos A y B se llama probabilidad de B condicionada a A, y se designa comoP(A/B) al valor:

P(B)

B)P(AP(A/B)

= con P(B) 0

que mide las veces que ocurre A entre las que ha ocurrido B.

De igual forma se define probabilidad de A condicionada a B, la designaremos por P(B/A)al valor:

P(B/A) =P(A)

B)P(A con P(A) 0

2.- Propiedades

De las relaciones anteriores se obtiene que: P(AB) = P(A). P(B/A)

P(AB) = P(B). P(A/B)

EJEMPLOS

1.- De una bolsa con 6 bolas rojas y 4 verdes se extraen sucesivamentedos bolas. Halla la probabilidad de que la segunda sea roja con lacondicin de que la primera sea roja.

Resolucin:Tenemos los sucesos R1 = sacar primera bola roja y R2 = sacar segundabola roja y hallamos:

P(R1) =10

6=

5

3

P(R1R2) =2,10

2,6

C

C=

9.10

5.6=

3

1

P(R2/R1) =)P(R

)RP(R

1

21 =5/3

3/1=

9

5

2.- Un estudiante hace dos pruebas el mismo da. La probabilidad de quepase la primera prueba es 0,6, la de que pase la segunda es de 0,8 y la deque pase ambas es 0,5,


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a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna prueba.b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prueba si no hasuperado la primera.

Resolucin:

Consideremos los sucesos:

A = "Pasar la primera prueba"B = "Pasar la segunda prueba"

a) Nos piden calcular la probabilidad de no pase ninguna de los pruebas, es

decir P( BA ). Aplicando las leyes de "De Morgan" obtenemos:

P( BA ) = P( BA )

Como BA es el suceso contrario de AB debemos hallar la probabilidad deste.

P(AB) = P(A)+P(B) - P(AB) = 0,8 + 0,6 - 0,5 = 0,9

Obteniendo que la probabilidad de que no pase ninguna prueba es:P( BA ) = P( BA ) = 1 - P(AB) = 1 - 0,9 = 0,1

b) Nos piden la probabilidad del suceso P(B/A ) que aplicando la frmula de la

probabilidad condicionada queda: P(B/A ) =)AP(

)AP(B.

Como la interseccin de un suceso con el suceso seguro es l mismo B = EB

y como E = AA , aplicando la propiedad distributiva de la interseccinrespecto de la unin tenemos que:

B = EB = )A(AB = )ABA)(B

Hallamos la probabilidad del suceso anterior considerando que ambos sonindependientes, ya que la interseccin de un suceso con su complementario esel vaco, y obtenemos:

P(A) = P(BA) + P(BA ) P(BA ) = P(B) - P(BA)

Queda pues, aplicando la propiedad de la probabilidad de un suceso y sucontrario queda:

P(B/A ) =)AP(

)AP(B=

P(A)1

A)P(B-P(B)

=

6,01

5,0-8,0

= 0,75

3.- En cierta ciudad el 30% de la poblacin tiene ojos azules, el 40% tienecabellos rubios y el 20% tiene ojos azules y cabellos rubios.a) Si tiene cabellos rubios, cul es la probabilidad de que tengan ojosazules?b) Si tiene ojos azules, cul es la probabilidad de que no tengan cabellosrubios?c)Cul es la probabilidad de que no tenga cabellos rubios ni ojosazules?

Resolucin:

Construimos la siguiente tabla auxiliar, donde los sucesos viene dados enporcentajes, siendo stos:

C = "tener cabellos rubios"C = "no tener cabellos rubios"


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A = "tener ojos azules "

A = "no tener ojos azules "

A A C 0,20 0,20 0,40

C 0,10 0,50 0,600,30 0,70 1,00

a) La probabilidad de que tengan ojos azules si tiene cabellos rubios es:

P(A/C) =P(C)

C)P(A=

40,0

20,0=

2

1

b) La probabilidad de que no tengan cabellos rubios si tiene ojos azules es:

P(C/A ) =

)AP(

)AP(C=

70,0

20,0=

7

2

c) La probabilidad de que no tenga cabellos rubios ni ojos azules es, tal comose ve en la tabla:

P( AC ) = 0,50

4.- En una empresa hay 90 mujeres y 110 hombres que se reparten entrefumadores y no fumadores segn la tabla adjunta. Si se desea elegir unamujer para un cargo, cundo es ms sencillo, si no se ponencondiciones, si se exige que sea no fumadora o si se exige que seafumadora?.

Hombres MujeresFumadores 80 20

No fumadores 40 60

Resolucin:Para resolver este tipo de problemas lo mejor es realizar una tabla auxiliar conlas sumas parciales

H M

F 80 20 100

No F 40 60 100

120 80 200

La probabilidad de que sea mujer si no se ponen condiciones ser:

P(M) =200

80=

5

2

Para hallar las otras probabilidades, debemos calcular:

P(M/F) =P(F)

F)P(M=

100

20=

5

1

)FP(M/ =)FP(

)FP(M=

100

60=

5

3

Es decir que exigir que sea no fumador aumenta las posibilidades de elegir unamujer, y exigir que sea fumador disminuye las probabilidades


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1.- En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados, se pide determinar laprobabilidad condicionada de obtener un nmero par en ambos dados cuando su suma es 6.

Solucin: P(A/B) =36/5

36/2=

5

2

2.- De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 yP(AB) = 0,2 . Calcula:a) P(A/B).b) P(A/AB).c) P(AB/AB).d) P(A/AB).Solucin:

3.- En una ciudad hay 4 mujeres por cada hombre y se reparten entre fumadores y no fumadoressegn la tabla adjunta. Cul es la probabilidad de encontrarse con una persona no fumadora?, yla de encontrarse con una mujer sabiendo que es fumadora?.

Hombres Mujeres

Fumadores 25 60

No fumadores 75 40

Solucin: P(F) =200

85,P(M/F) =

200/85

200/60

4.- En un pueblo hay 100 personas de ambos sexos cuya situacin laboral viene dada por la tabla.Hombres Mujeres

Activo 40 45

En paro 5 10

a) Cul es la probabilidad de encontrarse con una persona activa?b) Cul es la de encontrarse con una mujer que est en situacin activa?

Solucin: a) P(A) =100

85, b) P(A/M) =

55

45

5.- En un colegio hay 1000 alumnos de los cuales 300 saben ingls, 100 saben ruso y 50 ambosidiomas. Cul es la probabilidad de que una alumno sepa Ingls si sabe ruso?.Solucin:

6.- Si en un colegio hay 1000 alumnos de los cuales a 400 les gusta el baloncesto y el ftbol yque el 30% de los que le gusta el ftbol les gusta el baloncesto Cul es la probabilidad de queuna alumno no sea aficionado al ftbol?Solucin:

7.- En un hotel hay 200 clientes, de los cuales 40 son espaoles, y el resto extranjeros. Sonrubios 5 espaoles y el 40% de los extranjeros. Si un cliente es extranjero cul es laprobabilidad de que sea rubio?Solucin:

8.- Una determinada poblacin est formada, a partes iguales, por hombres y mujeres. Laprobabilidad de que un individuo de esa poblacin no lea ningn periodo es 0,25. Adems elporcentaje de individuos que o bien leen algn peridico o bien son hombres es el 95%. Se elige,al azar, una persona.a) Halla la probabilidad de ser hombre y leer algn peridico.b) Halla la probabilidad de que lea algn peridico, sabiendo que es hombre.Solucin:


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3.2.- EXPERIMENTOS COMPUESTOS

1.- Definicin

Un experimento compuesto es aquel que es posible descomponer en varios experimentossimples. Por ejemplo el lanzamiento de varias monedas o dados al aire, extraer varias cartas deuna baraja. En tales experimentos el espacio muestral se obtiene a partir de los espaciosmuestrales de los experimentos simples que lo forman

La probabilidad de que realicen dos sucesos A y B simultneamente, probabilidad compuesta, es:P(AB) = P(A). P(B/A)

2.- Sucesos independientes

Se dice que dos o mas pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas noinfluye en el resultado de las otras.

Si dos pruebas son independientes se cumple que:P(AB) = P(A). P(B)

Si tres pruebas son independientes se cumple que:P(ABC) = P(A). P(B). P(C)

3.- Sucesos dependientes

Se dice que dos o mas pruebas son dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influyeen el resultado de las otras.

Si dos pruebas son dependientes se cumple que:

P(AB) = P(A). P(B/A)

Si tres pruebas son dependientes se cumple que:P(ABC) = P(A). P(B/A). P(C/AB)

EJEMPLOS

1.- Halla el espacio muestral del experimento aleatorio compuesto lanzardos monedas al aire por separado.

Resolucin:

Como los espacios muestrales de cada experimento simple son E={C,X}

se obtiene:E = {CC, CX, XC, CC}

2.- Calcula la probabilidad de sacar, sin devolucin, 2 cartas de oros deuna baraja espaola .

Resolucin:Aplicamos la Regla de Laplace teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40cartas, en la primera extraccin y 9 oros y 39 cartas en la segunda extraccinsi la primera ha sido un oro.

P(O1).P(O2/O1) =399.

4001 =

253


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3.- Calcula la probabilidad de sacar, con devolucin, 2 cartas de oros deuna baraja espaola .

Resolucin:Aplicamos la Regla de Laplace teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40cartas, en la primera extraccin y lo mismo en la segunda extraccin si la

primera ha sido un oro.

P(O1).P(O2/O1) =40

01.

40

01=

16

1

4.- Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos cartas de unabaraja espaola. Cul es la probabilidad de obtener dos caballos?

Resolucin:Si tomamosC1= "obtener caballo en la 1 tirada"C2="obtener caballo en la 2 tirada"

lo que deseamos es hallar la probabilidad de C1C2teniendo en cuenta que

C2depende de C1. La probabilidad de obtener caballo en la 1 tirada ser404

ya que hay cuatro caballos y son en total 40 cartas. La probabilidad de obtener

caballo en la 2 tirada ser39

3ya que quedan tres caballos y 39 cartas. Luego:

P(C1C2) = P(C1).P(C2/C1) =40

4.

39

3=

130

1

5.- De una bolsa con 6 bolas rojas y 4 verdes se extraen sucesivamentedos bolas. Halla la probabilidad de que la segunda sea roja con lacondicin de que la primera sea roja.

Resolucin:Tenemos los sucesos:R1= sacar primera bola rojaR2= sacar segunda bola roja

Hallamos:

P(R1) =10

6=

5

3

P(R1R2) =10

6.

9

5=

3

1

P(R2/R1) = )P(R

)RP(R

121

= 5/3

3/1= 9

5

6.- De una bola con 3 bolas rojas y 5 verdes se extraen sucesivamentedos bolas. Hallar la probabilidad de que:a) Las dos sean rojas.b) Las dos sean verdes.c) La primera sea roja y la segunda verde.d) Una sea roja y otra verde.

Resolucin:a) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola roja condicionado

a que la primera sea tambin roja.


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P(R1R2) = P(R1).P(R2/R1) =8

3.

7

2=

28

3

b) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verdecondicionado a que la primera sea tambin verde.

P(V1V2) = P(V1).P(V2/V1) =85 .

74 =

143

c) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verdecondicionado a que la primera sea roja.

P(R1V2) = P(R1).P(V2/R1) =8

3.

7

5=

56

15

d) Es el suceso obtener la primera bola roja y la segunda verde o viceversa.

P(R1V2) +P(V1R2)=P(R1).P(V2/R1) +P(V1).P(R2/V1) =

8

3.

7

5+

8

5.

7

3=

28

15

7.- El temario de una oposicin consta de 100 temas. En el momento delexamen se sortean dos y el opositor debe responder obligatoriamente alos dos temas que le han tocado en suerte. Calcula cuntos temas, comomnimo, debe estudiar un opositor para que la probabilidad de saberselos dos temas que le toquen sea superior a 0,5.

Resolucin:Consideremos los sucesos:A1= "saber el primer tema"A2= "saber el segundo tema"

Si el nmero de temas que se sabe el opositor conoce es n, utilizando la reglade Laplace la probabilidad de que acierte el primer tema es:

P(A1) =C

C

P

F =100

n

la probabilidad de que se sepa tambin el segundo tema, habiendo acertado elprimero, ser:

P(A2/A1) =C

C

P

F =99

1n-

donde hemos usado la regla de Laplace y el hecho de que ahora slo quedann-1 temas que sepa y 99 temas posibles.

Luego la probabilidad de que acierte los dos:

P(A1).P(A2/A1) =100

n.

99

1n-=

9900

1)n(n-

Para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea 0,5:

9900

1)n(n-= 0,5 n2-n = 4950 n2-n-4950 = 0

con soluciones n=-69,86 y n=70,86

Es decir que el opositor debe estudiar, como mnimo 71 temas para que laprobabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea superior a 0,5.


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8.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar elresultado de la tirada. Son independientes los sucesos "sacar suma par"y "sacar al menos un dos"?

Resolucin:El espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados y anotar el

resultado es:E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)}con 36 resultados equiprobables.

Si llamamos A = "sacar suma par" ser:A = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5),

(4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

con 18 resultados. Su probabilidad es:

P(A) =36

18=

2

1

Si llamamos B = "sacar al menos un dos" ser:B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}

cuya probabilidad es:

P(B) =36

11

Si ambos suceso son independientes se debe verificar que:

P(AB) = P(A).P(B)

como el suceso AB = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(6,2)} su probabilidad es:

P(AB) =36

5

y como P(A).P(B)=2

1.

36

11=

72

11

vemos que36

5

72

11

luego no son independientes ambos sucesos.

9.- Halla la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar tres monedas al aire

Resolucin:Podemos suponer que las monedas se lanzan una a una con lo cualtendramos tres sucesos independientes:

P(3 caras) = P(Cara).P(Cara).P(Cara) = P(Cara)3=

2

13

=8

1

10.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar elresultado de la tirada. Son independientes los sucesos "sacar suma par"y "sacar al menos un dos"?

Resolucin:El espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados y anotar elresultado es E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)} con 36resultados equiprobables.


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Si llamamos A = "sacar suma par" ser:A = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5),

(4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

con 18 resultados. Su probabilidad es: P(A) =36

18=

2

1

Si llamamos B = "sacar al menos un dos" ser:B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}

cuya probabilidad es P(B) =36

11

Si ambos suceso son independientes se debe verificar que:

P(AB) = P(A).P(B)

como el suceso AB = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(6,2)}

su probabilidad es P(AB) =36

5

Como P(A).P(B) =2

1.

36

11=

72

11vemos que

36

5

72

11

luego no son independientes ambos sucesos.

11.- La caja A contiene 8 pilas de las cuales 3 estn descargadas y la cajaB contiene 5 pilas de las cuales 2 estn descargadas. Se saca al azar unapila de cada caja.Cual es la probabilidad de que una pila est descargada y la otra no?

Resolucin:

El esquema anterior representa la distribucin delas pilas cargadas y descargadas en las cajas A yB. Consideremos los siguientes sucesos:CA= "la pila extrada de la caja A est cargada"DA= "la pila extrada de la caja A est descargada"CB= "la pila extrada de la caja B est cargada"DB= "la pila extrada de la caja B est descargada"

Nos piden la probabilidad del suceso: "una pila est descargada y la otra no",es decir:

P[(CADB)(DACB)] = P(CADB) + (DACB) - P(CADBDACB) =

Como CA y CB son independientes CACB = , Como DA y DB son

independientes DADB= , por lo tanto CADBDACB= y queda:

P[(CADB)(DACB)] =5

2.

8

5+

5

3.

8

3=

40

19


1.- Se extrae, sin devolucin, una bola blanca de una urna compuesta por 2 bolas blancas y 6negras. Cul es la probabilidad de que si se extraen a continuacin tres bolas, una sea blanca?

Resolucin: P =1 -5

4.

6

5.

7

6=

7

3


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2.- Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos cartas de una baraja espaola. Cul esla probabilidad de obtener dos oros?

Resolucin: P(O1O2) =40

10.39

9=

52

3

2.- En una ciudad se publican dos peridicos A y B. La probabilidad de que una persona lea A es

0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02.a) Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningn peridico.b) Calcula la probabilidad de que una persona que ha ledo alguno de los peridicos lea el otro.

Resolucin : a) P= 1-0,18 = 0,82, b)0,18

0,02=

9

1

3.- La caja A contiene 6 pilas de las cuales 3 estn descargadas y la caja B contiene 4 pilas de lascuales 2 estn descargadas. Se saca al azar una pila de cada caja.a) Cul es la probabilidad de que ambas pilas estn descargadas?b) Cual es la probabilidad de que una pila est descargada y la otra no?

Resolucin : a) P =6

3.

4

2=

4

1, b) P =

6

3.

4

2+

6

3.

4

2=

2

1

4.- Para tratar cierta enfermedad se dispone de dos medicamentos, con efectos independientesentre s, cuyas probabilidades de sanar a un paciente son respectivamente 1/2 y 1/3. Seadministran los 2 dos medicamentos a tres enfermos.a) Halla la probabilidad de que al menos uno de ellos se cure.b) Halla la probabilidad de que al menos uno de ellos no se cure.

Resolucin: a) P = 1-3

1.

3

1.

3

1=

27

26, b) P = 1-

3

2.

3

2.

3

2=

27

19

5.-Se lanza una moneda dos veces.a) Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga cruzb) Sabiendo que en al menos una de las tiradas sale cara, cul es la probabilidad de que en

ambas salga cara?Resolucin: a) P =

4

1, b) P =

4/3

4/1=

3

1

6.- Para aprobar un examen hay que contestar 2 preguntas elegidas al azar sobre un total de 30propuestas. Si un estudiante ha estudiado nicamente 20 temas cul es la probabilidad de que elalumno supere el examen?.

Resolucin: P =30

20.

29

19=

87

38

7.- Calcula la probabilidad de obtener tres ases al extraer tres cartas de una baraja espaola.

Resolucin: P =

40

4.

39

3.

38

2=

2470

1

8.- Laura y Pedro se reparten al 45% y 55% respectivamente los ejercicios de Matemticas.Sabemos que Laura falla un 10% y Pedro un 8% de los ejercicios respectivamente.a) Halla la probabilidad de que algn ejercicio de los que realizan est mal resuelto.b) Halla la probabilidad de que un ejercicio est bien resuelto.

Resolucin: P = 0,45.0,1+0,55.0,08 = 0,089

9.- La caja A contiene 6 bolas blancas y 4 negras y la caja B contiene 4 blancas y 8 negras. Laprobabilidad de escoger la caja A es 1/3 y la caja B es de 2/3.a) Cual es la probabilidad de obtener una bola blanca de la caja B?b) Cual es la probabilidad de obtener una bola blanca?

Resolucin: a) P = 12

4

.3

2

,b) P = 12

8

.3

2

10

4

.3

1+


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3.3.- PROBABILIDAD TOTAL

1.- Sistema completo de sucesos

Se llama sistema completo de sucesosa n sucesos Aitales que:

Su unin es el espacio muestral E:A1..An

Los sucesos A1...Anson incompatibles dos a dos:AiAj= , i j

2.- Teorema de probabilidad total

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, A1,.., Anun sistema completo desucesos y S un suceso cualquiera, se cumple que:

P(S) = P(A1).P(S/A1) + ... + P(An).P(S/An)

EJEMPLOS

1.- En una casa hay tres llaveros el primero con 3 llaves, el segundo con 4llaves y el tercero con 5, los que slo una de cada llavero abre la puertade la calle. Se escoge al azar un llavero y de l una llave. Cul es laprobabilidad de que podamos abrir la puerta?

Resolucin:Consideremos los sucesosA = "escoger el primer llavero"B = "escoger el segundo llavero"

C = "escoger el tercer llavero"Abra = abrir la puerta

Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que

P(Abra/A) =3

2.

3

1=

9

2

P(Abra/B) =4

3.

3

1=

4

1

P(Abra/C) =5

4.

3

1=

15

4

Como el conjunto formado por los sucesos A, B y C forman un sistemacompleto de sucesos, para hallar la probabilidad de que sea defectuosoutilizamos el Teorema de la probabilidad total. La probabilidad pedida es:

P(Abra) = P(Abra/A)+ P(Abra/B) + P(Abra/C) =9

2+

4

1+

15

4180

133

2.- De los turistas que visitan Mlaga, el 60% hace el viaje en avin, el30% lo hac

Apuntes de Probabilidad e Inferencia

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