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Rosala Cruz Flores Sntesis de apuntes de los primeros 3 temas

1.1.1 LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a smbolos y nmeros lo que normalmente

conocemos como lenguaje natural. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas

con smbolos fciles de escribir, lo que permite simplificar expresiones, formular ecuaciones e

inecuaciones y permite el estudio de cmo resolverlas. Es utilizado para la representacin de

valores desconocidos, la principal funcin es estructurar un idioma que ayude a generalizar las

diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmtica.

Ejemplo: si queremos sumar dos nmeros cualesquiera basta con decir x + y.

El lenguaje algebraico es ms preciso que el lenguaje numrico: podemos expresar

enunciados de una forma ms breve.

El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numricas de carcter

general.

Con el lenguaje algebraico expresamos nmeros desconocidos y realizamos operaciones

aritmticas con ellos.

1. Un nmero cualquiera: x

2. La suma de dos nmeros diferentes: x + y

3. La diferencia de dos nmeros: x - y

4. El producto de dos nmeros: x y

5. El cociente de dos nmeros: x/y

6. El cubo de un numero: x3

7. El triple del cuadrado de un numero: 3x2

8. La suma de los cuadrados de dos nmeros: x2 + y

2

9. La quinta parte del cubo de un numero: x3/5

10. El cubo de la quinta parte de un numero: (x/5)3

11. La suma de dos nmeros dividida entre su

diferencia: (x + y)/(x - y)

12. Cul es el nmero que agregado a 3 suma 8?: x + 3

= 8

13. Cul es el nmero que disminuido de 20 da por

diferencia 7?: x - 20 = 7

14. Las tres quintas partes de un numero aumentado

en un cuarto: 3/5 x + 1/4

15. La diferencia entre un nmero y su anterior: x - (x-

1)

16. La suma entre un numero par y el triple del

siguiente par: 2x + 3(2x+2)

17. El producto entre el doble de un nmero y la

tercera parte de su consecutivo: 2x(x+1)/3

18. El cociente entre un nmero y su mitad: x/(x/2)

19. La mitad de la suma de dos nmeros multiplicado

por el cuadrado de ambos nmeros: 1/2(x+y)(xy)2

20. La raz cubica del cuadrado de la suma de dos

nmeros: 3(x+y)

2

21. La tercera parte de un numero aumentado en

10: x/3 + 10

22. Las dos terceras partes de la suma de dos

nmeros: 2/3(x+y)


1.1.2 EXPRESIONES FRACCIONARIAS


1.1.3 LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES

La potencia de un nmero es el producto de varios factores iguales a l.

El nmero que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia.

Para sealar potenciacin se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un nmero

pequeo que indica cuntas veces se toma como factor dicha base; este nmero pequeo recibe

el nombre de exponente.

RADICACIN La radicacin es la operacin inversa de la potenciacin y permite hallar la base

correspondiente conociendo las potencias y el exponente.

El radicando tambin recibe el nombre de subradical.

SIMPLIFICACIN DE RADICALES: El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para

hacer algunos cambios en los radicales, como son:

Sacar factores del radical.

Introducir un factor al radical.

Racionalizacin de denominadores.

Expresar un radical como otro de orden (ndice) menor.


Exponente al que hay que elevar un nmero, llamado base, para obtener otro nmero

determinado.


1.1.4 PRODUCTOS NOTABLES

Propiedades conmutativas

(formas diferentes de

expresar lo mismo)

Binomio conjugado

Diferencia de cubos

Binomio al cuadrado (suma y

resta)

Binomio al cubo (suma y

resta)

1.1.5 FACTORIZACIN

Se llaman factores de una expresin algebraica aquellos que multiplicados entre s dan como

resultado la primera expresin.

Ejemplo: s; (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6

Tenemos que, (x + 2) y (x + 3) son factores de x2 + 5x + 6, as pues, factorizar una expresin

algebraica es convertirla en el producto indicado. Existen diversos procedimientos para

descomponer en factores un producto, los cuales vienen descritos a continuacin. Hay que

considerar que en algunos casos se pueden combinar dos o ms de estos procedimientos.

FACTORIZACIN POR FACTOR COMN.

Cuando en los diversos trminos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca

como factor comn, para lo cual, se escribe e inmediatamente, despus, dentro de un parntesis

se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los trminos del polinomio entre el

factor comn.

Ejemplos:

a) a + 2a =a(a + 2)

b) 10b + 30ab2 = 10b(1 + 3ab)

c) 10a2 + 5a + 15a3 = 5a(2a 1 3a2 )

d) 5a3b2x + 15a4bx2 - 35a2b2x4y5 =

5a2bx(ab + 3a2x + 7bx3y5)


FACTORIZACIN POR PRODUCTOS NOTABLES.

Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.

1) Factorizacin de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: a2 b2 = (a + b)(a - b); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al

producto de dos binomios conjugados.

Ejemplos:

a) 9x2 - 4y2= (3x + 2y )(3x - 2y )

b) x4 - 16 = (x2)2 - (4)2 = (x2 + 42)(x2 42) = (x2 + 42)[(x)2 - (2)2 ] = (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)

2). Factorizacin de un cuadrado perfecto

Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y tambin (a - b)2 = a2 - 2ab

+ b2 Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, as tenemos que

42 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con

apoyo de los productos notables, se extrae raz cuadrada al primero y tercer trmino del trinomio

separndose estas races por medio del signo del segundo trmino y elevando este binomio al

cuadrado.

Ejemplos:

a) m2 + 2m 1 = (m + 1)2 = (m + 1)(m + 1)

b) 4x2 + 25y2 + 20xy Ordenando y factorizando, se tiene: 4x2 + 20xy + 25y2 = (2x + 5y)2 =(2x + 5y)(2x + 5y)

3). Factorizacin de una suma o diferencia de cubos.

Se sabe que: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) y a3 b3 =(a - b)(a2 + ab + b2 )

Ejemplos:

a). 8x3 + 216y3 = (2x)3+(6y)3 = (2x + 6y)(4x2 + 12xy + 36y2 ) Suma de cubos

b). 81x4y192xy4 = 3xy(27x364y3)= 3xy[(3x)3-(4y)3]= 3xy(3x - 4y)(9y2 + 12xy+16y3 ) Diferencia de cubos


4). Factorizacin de cubos perfectos de binomios.

Se ha visto que: (a + b)3 = a + 3a2b + 3ab2 + b3 y que: (a - b)3 = a - 3a2b + 3ab2 - b3.

Ejemplo:

a) 1 + 12a + 48a2 + 64a3 =(1 + 4a)3 = (1 + 4a)(1 + 4a)(1 + 4a)

FACTORIZACIN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio los trminos no contienen ningn factor comn, pero pueden ser

separados en grupos de trminos con factor comn. Este mtodo consiste en formar grupos, los

ms adecuados, para factorizar cada uno como ms convenga en cada caso y lograr finalmente la

factorizacin total de la expresin.

Ejemplo: Factorizar

a) 5a + 5b + ax + bx .

Agrupando los trminos que tengan algn factor comn se tiene:

5(a + b) + x(a + b) = (a + b)(5 + x) o tambin a(5 + x) + b(5+ x) = (a + b)(5 + x)

1.2.1 CONCEPTO Y PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

*Igualdad 2x + 3 = 5x 2

Una igualdad puede ser:

Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) ; 2x + 1 = 2x + 2 12.

Cierta 2x + 2 = 2 (x + 1); 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

*Identidad: Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

2x + 2 = 2 (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

*Ecuacin: Una ecuacin es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2; Por lo tanto x = 1


Los miembros de una ecuacin son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del

signo igual. Los trminos son los sumandos que forman los miembros. Las incgnitas son las letras

que aparecen en la ecuacin. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la

igualdad sea cierta.

2x 3 = 3x + 2; solucin x = 5

El grado de una ecuacin es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

1.2.3 ECUACIN CUADRTICA

Una ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a 0.

Se dice que una ecuacin de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o

c, o ambos, son iguales a cero.

a) TIPO ax2 = 0

La solucin es x = 0.

b) TIPO ax2 + bx = 0

Extraemos factor comn x:

c) TIPO ax2 + c = 0

Despejamos:


1.3.1 FUNCIONES

En muchas situaciones encontramos que dos o ms objetos o cantidades estn relacionados por

una correspondencia de dependencia, como por ejemplo: el rea de un crculo depende del radio

del mismo, la temperatura de ebullicin del agua depende de la altura del lugar, la distancia

recorrida por un objeto al caer libremente depende del tiempo que transcurre en cada instante.

Esto nos conduce al concepto matemtico de funcin. Definicin de funcin Una funcin f de un

conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente

al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota

y=f (x).

Observaciones. Sea f una funcin real definida mediante la frmula o ecuacin y = f (x). La

variable x es la variable independiente, y la variable y es la variable dependiente. As, una funcin

real, es una funcin de variable y valor real.

El dominio de una funcin es el conjunto de valores que puede tomar la variable

independiente. El recorrido una funcin es el conjunto de valores que puede tomar la

variable dependiente.


Regla del mximo dominio: cuando no se presenta el dominio de f explcitamente, se

considera como su dominio, el mximo subconjunto de IR, donde la frmula puede

evaluarse. Este conjunto es llamado el dominio de definicin de f, o simplemente, el

dominio de f. Por ejemplo, el dominio de la funcin f (x) = x(5 x) es el intervalo [0, 5].

En aplicaciones especficas, el dominio de una funcin est restringido por las

condiciones de un problema. Es usual llamar dominio prctico al conjunto de valores que

puede tomar la variable independiente para que el problema especfico tenga sentido.

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