Ondas Electromagneticas

Isaıas Rojas Pena*

Departamento de Fısica,Universidad Tecnica Federico Santa Marıa.

29 de agosto de 2014

Resumen

En este apunte revisaremos las teorıa de las ondas electromagneticas y como a partir de las ecuacionesde Maxwell se predice su existencia. Se conectara esta prediccion teorica con la teorıa de la luz y seestudiara el fenomeno de polarizacion.

1. Introduccion

Desde la antiguedad el ser humano ha buscado respuestas acerca de la naturaleza. La luz no es laexcepcion; por ejemplo, Platon (427 - 347 A. de C.) propuso que la luz esta compuesta de partıculas dediferentes tamanos y que se mueven a diferentes velocidades, y que estas diferencias de tamanos y velocidadeslas apreciamos en forma de diferentes colores. Posteriormente la escuela alejandrina predicaba la idea que losojos emitıan rayos de alta velocidad que se reflejaban en los objetos (hipotesis de las emisiones); en particular,Heron de Alejandrıa observo que por ejemplo al parpadear, nuestros ojos pueden ver instantaneamente lasestrellas y debido a que estan muy lejos concluyo que estos rayos viajan instantaneamente, es decir, convelocidad infinita. Posteriormente al-Hassan Ibn al-Haytham (965 - 1039) (llamado en occidente Alhazen)1

probo experimentalmente la falsedad de la hipotesis de las emisiones, afirmando que la luz provenıa del Solo alguna otra fuente luminosa y al ser reflejados por los objetos es posible verlos. A partir del renacimiento,los cientıficos mas importantes dedicaron parte de sus investigaciones al campo de la optica (Kepler, Galileo,Snell, Fermat, Huygens, Hooke, Newton, etc.).

Respecto de la Naturaleza de la luz, cabe destacar la controversia existente entre Isaac Newton (1642 -1727) que defendıa la hipotesis de la naturaleza corpuscular y Christiaan Huygens (1629 - 1695) que defendıala hipotesis de la naturaleza ondulatoria. La controversia parecio quedar zanjada con los experimentos deinterferencia y difraccion de Thomas Young (1773 - 1829) y Augustin-Jean Fresnel (1788 - 1827) y laspredicciones teoricas de James Maxwell (1831 - 1879) acerca de las ondas electromagneticas y la respectivacomprobacion experimental realizada por Heinrich Hertz (1857 - 1894).

2. Elementos de Ondas

Cuando un medio es perturbado, por ejemplo el impacto de una piedra en el agua, la perturbacion escapaz de propagarse. Denominamos onda, a la propagacion de una perturbacion.

Podemos observar algunas caracterısticas de las ondas producidas en el agua, la primera es que se propagaen cırculos concentricos, esto se debe a que el medio, en este caso el agua, es homogeneo, por ello la onda sepropaga a la misma rapidez en cualquier direccion. Otra cosa que podemos observar es que un objeto queflote sobre el agua, como un trozo de corcho, se desplaza arriba y abajo al ser alcanzado por las olas, deaquı podemos deducir dos cosas, las olas transportan energıa, toda vez que pueden desplazar al cuerpo queflota, lo otro es que no desplazan a dicho objeto en la direccion en que avanzan las ondas.

*El autor agradece que haga llegar sus comentarios y correcciones a isaias.rojas@usm.cl1Alhazen es quizas el primer cientıfico (es creador del metodo cientıfico) y el mas importante e influyente de la edad media.

1

2 2 ELEMENTOS DE ONDAS

Figura 1: Una piedra impactando el agua es una perturbacion (izquierda). La perturbacion se propaga a traves delagua como ondas (derecha).

En general, en todo fenomeno de propagacion de ondas, podemos observar algunos elementos comunes:

1. La perturbacion inicial que se propaga de un punto a otros desde un foco emisor, y sin desplazamientoneto de la materia.

2. Transmision de energıa a traves de un medio.

3. La perturbacion se propaga a rapidez finita, esto es, tarda tiempo en alcanzar sucesivamente los puntosmas alejados.

Las ondas, que denominamos mecanicas, se propagan a traves de algun medio material elastico, como elaire, el agua o una cuerda. Son ejemplos de ellas las olas, las ondas en cuerdas y las ondas sonoras.

Movimiento de la onda

Movimiento de las partículas

Ondas Transversales

Ondas Longitudinales

Figura 2: Ondas longitudinal (arri-ba), transversal (medio) y de superficie(abajo).

Las ondas mecanicas se clasifican de acuerdo a la direccion deoscilacion de las partıculas del medio respecto de la direccion de pro-pagacion de la onda en: transversales, longitudinales y de superficie.

Ondas transversales: la direccion de propagacion es perpendiculara la direccion de oscilacion de las partıculas del medio perturbado. Lasondas en cuerdas son ejemplo de ondas transversales.

Ondas longitudinales: la direccion de propagacion es paralela a ladireccion de oscilacion de las partıculas del medio perturbado. Las on-das producidas en resortes por compresiones y expansiones son ejemplode ondas longitudinales.

Ondas superficiales: las partıculas oscilan tanto paralela como per-pendicularmente a la direccion de propagacion de la onda. Las ondasen lıquidos, como las olas, son ejemplo de ondas superficiales.

2.1. Ondas Armonicas

Se denominan ondas armonicas a aquellas producidas por pertur-baciones periodicas producidas en un medio elastico por un movimien-to armonico simple. Un movimiento armonico simple es un movimiento periodico que queda descrito poruna funcion armonica, esto es, una funcion sinusoidal. Existe una serie de magnitudes que caracterizan lasondas armonicas transversales y las ondas armonicas longitudinales.

Consideremos la produccion de una onda periodica transversal en una cuerda tensa. Cada elemento decuerda oscilara armonicamente en direccion vertical. Si las vibraciones que aplicamos al extremo de la cuerdase suceden de forma continuada se forma un tren de ondas que se propagara a lo largo de la cuerda.

Se denomina elongacion a la distancia comprendida entre la posicion de equilibrio de un elemento decuerda y la posicion en que se encuentra en un instante determinado. La maxima elongacion es denominada

3

amplitud de la onda (A). Las unidades de elongacion y amplitud en el sistema internacional de medidas (SI)es el metro.

Se denomina ciclo de una onda a una oscilacion completa de un elemento del medio por el que se propagauna onda.

Valle

Cresta

A

A

Figura 3: Elementos de una ondaarmonica.

Se denomina frecuencia (f) al numero de ciclos que pasan porun punto del medio por unidad de tiempo. Tambien puede definirsecomo el numero de oscilaciones que efectua un elemento del mediopor unidad de tiempo. Su unidad en el SI es el hertz [Hz], y equivalea [s−1].

Se denomina perıodo (T ) al tiempo que emplea un elemento delmedio afectado por la perturbacion, en efectuar una oscilacion com-pleta.

Se denomina longitud de onda (λ) a la mınima distancia entredos elementos consecutivos del medio que se encuentran en el mismoestado de vibracion. Su unidad en el SI es el metro.

Las ondas transversales tienen crestas y valles. La cresta es el punto que ocupa la posicion mas alta enuna onda y el valle es el punto mas bajo de la onda. El punto del medio material que no tiene desplazamientovertical, es decir, cuya elongacion es cero, se denomina nodo.

El movimiento ondulatorio armonico sigue una ley doblemente periodica, es decir, la perturbacion depen-de tanto del tiempo como de la posicion en el medio de propagacion. Para estudiar esta doble periodicidadmantengamos fija una de las variables. Si fijamos la posicion, esto es equivalente a seguir la vida de un ele-mento del medio, la curva de la figura 4 izquierda muestra como varıa la elongacion para dicho elemento delmedio en funcion del tiempo. Por otra parte, si fijamos el tiempo, esto es equivalente a tomar una fotografıa.La curva de la figura 4 derecha muestra como varıa la elongacion en funcion de la posicion (x) para uninstante t fijo.

A

t

y

TPeríodo temporal Para un x fijo

A

y

lP í espacialer odo Para un t fijo

x

Figura 4: Doble periodicidad de la funcion de onda, a la izquierda se muestra la grafica de la elongacion para un xfijo y a la derecha la grafica de la elongacion para un t fijo. Los perıodos son dos, el espacial (λ) y el temporal (T )respectivamente.

3. Ondas Estacionarias

l = 2L

l = L

2l = /3 L

Figura 5: A determinadas frecuencias se pro-duciran ondas estacionarias en la cuerda.

La superposicion de dos ondas armonicas de la misma na-turaleza con igual amplitud y longitud de onda (o frecuencia),que viajan en direcciones opuestas a traves de un medio, formauna onda de la misma frecuencia de las ondas que interfieren, yla amplitud de la oscilacion no es la misma para todos los pun-tos, sino que depende de la posicion, existiendo puntos que novibran (nodos), y que permanecen inmoviles, es decir, son esta-cionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen conuna amplitud de vibracion maxima, igual al doble de la de lasondas que interfieren, y con una energıa maxima. Este tipo deonda es denominada onda estacionaria, debido a la inmovilidadde los nodos.

4 3 ONDAS ESTACIONARIAS

Antinodo

NodoAntinodo Nodo

L

Nodo

NodoNodo Antinodo

Antinodo

L

Nodo

Nodo

Antinodo

Nodo Nodo

Antinodo

L

t = 0

Nodo Nodo

L

Nodo

Antinodo

Antinodo

Antinodo

Nodo

Antinodo

Nodo

Nodo

L

NodoNodoNodo

Antinodo

Antinodo

L

L

Nodo

t = T4

t = T2

Figura 6: Imagenes de distintos instan-tes de oscilacion de una onda estaciona-ria en una cuerda.

Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando un medio limitado,como un tubo o una cuerda, se ve afectado por un movimiento ondu-latorio; las ondas estacionarias son provocadas por las reflexiones queeste movimiento experimenta en los extremos del medio.

La ecuacion de la funcion de onda estacionaria se obtiene aplicandoel principio de superposicion:

yr = y1 + y2 = A [sin(ωt− kx) + sin(ωt− kx)] = 2A cos (−kx) sin (ωt)

= 2A cos(kx) sin(ωt)

La amplitud resultante Ar corresponde al termino 2A cos(kx). Portanto, la ecuacion de la onda estacionaria toma la forma siguiente:

yr = 2A cos(kx) sin(ωt) = Ar sin(ωt)

Por lo que la onda estacionaria es armonica de igual frecuenciaque las componentes y su amplitud Ar, varıa sinusoidalmente con laabscisa x y es independiente del tiempo.

Debido a que los nodos se encuentran siempre en reposo, la ondaestacionaria parece permanecer fija sobre la direccion de propagacionpor lo que no viaja y por lo tanto, la onda estacionaria no transportaenergıa.

Los vientres o antinodos de la onda estacionaria ocurren a distan-cias de λ/2 de un foco. Los nodos de la onda estacionaria ocurren adistancias de un numero impar de cuartos de longitud de onda de unfoco.

3.1. Ondas estacionarias en una cuerda con extremosfijos

Entre las ondas estacionarias destacan las producidas en una cuer-da flexible tensa, con uno o dos de sus extremos fijos. Como en todaonda estacionaria, los puntos de la cuerda, exceptuando los nodos, os-cilan al mismo tiempo con movimiento armonico de igual frecuenciaaunque de amplitud variable que depende de su posicion.

A modo de ejemplo veamos la formacion de ondas estacionarias enuna cuerda con extremos fijos (figura 6).

Consideremos una cuerda de longitud L, fija por sus extremos enla cual se produce una onda que viaja hasta los extremos fijos, don-de producto de la reflexion de la onda, se producen ondas que viajanen direccion contraria. A determinadas frecuencias se produciran on-das estacionarias. Cada una de las ondas estacionarias que se formantienen una frecuencia caracterıstica y se denomina modo normal devibracion.

Los extremos de la cuerda, de abscisas 0 y L, deben ser nodos, ya que estos puntos estan fijos en losextremos.

Para determinar las longitudes de onda de cada uno de los modos normales de vibracion, debemos teneren cuenta que en toda onda estacionaria la distancia entre nodos consecutivos vale λ

2 . Por lo tanto, laformacion de esta requiere que la longitud de la cuerda sea igual a un numero entero de semilongitudes deonda:

L = nλ

2

5

De aquı tenemos:

λn =2L

nn = 1, 2, 3...

Evaluando los distintos valores de n obtenemos:

λ1 = 2L

λ2 = L

λ3 =2L

3...

Cada modo normal tiene asociada una “frecuencia” que depende de la velocidad de propagacion de lasondas en la cuerda:

fn =vpλn

= nvp2L

n = 1, 2, 3

Evaluando los distintos valores de n y sabiendo que vp =√

Fµ donde F es la magnitud de la tension de

la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda, obtenemos:

f1 =1

2L

√F

µ

f2 =1

L

√F

µ

f3 =3

2L

√F

µ

...

La frecuencia menor se denomina frecuencia fundamental o primer armonico; la siguiente, segundoarmonico; y ası, sucesivamente, constituyendo una serie armonica.

4. Pulsaciones

Una situacion de especial interes se produce cuando en un punto se superponen dos ondas de frecuenciaslevemente distintas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

F1(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

F2(x)

F1(x)+F (x)2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 7: Superposicion de dos ondas de frecuenciaslevemente distintas.

En la figura 7 se muestran dos ondas de la misma am-plitud y distinta frecuencia y la onda resultante obtenidasumando las oscilaciones componentes. La consecuencia esque la amplitud de la onda resultante en ese punto, varıaperiodicamente con el tiempo, pasando sucesivamente porvalores maximos y mınimos. Estas variaciones periodicasque experimenta la amplitud reciben el nombre de pulsa-ciones.

Se denomina pulsaciones a las variaciones periodicasde la amplitud de la onda producida por la superposicionde dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes.

La frecuencia con la que un punto dado se convierteen nodo se denomina frecuencia de pulsacion.

Este fenomeno sucede, por ejemplo, haciendo vibrar ala vez dos diapasones o dos cuerdas de guitarra que produzcan frecuencias muy poco diferentes: percibimos

6 5 DESCOMPOSICION DE FOURIER

un sonido semejante al producido por cada onda individual pero con altibajos periodicos en la intensidaddel sonido. Las pulsaciones se perciben como una intensificacion de la sensacion sonora cada vez que seproduce un maximo en la onda resultante, ya que la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado dela amplitud.

La amplitud de la onda resultante varıa sinusoidalmente con el tiempo. Se dice que tiene la amplitudmodulada y es el principio en que estan basadas las emisiones radiofonicas AM.

La frecuencia de la onda resultante es igual al promedio de ambas. La frecuencia de la pulsacion, esdecir, el numero de pulsaciones por segundo, es igual a la diferencia de las frecuencias de las dos ondas queinterfieren.

5. Descomposicion de Fourier

Hemos visto que la superposicion de ondas producen nuevas ondas, ¿sera posible que una onda cualquierapueda descomponerse en otras ondas?

Sea una f (x) funcion periodica cualquiera con perıodo λ (f (x) = f (x+ λ)), esta puede escribirse comouna suma de funciones sinusoidales:

f (x) =1

2A0 +

∞∑m=1

(Am cos (kmx) +Bm sin (kmx)) (1)

Donde:

km =2π

λm (2)

Am =2

λ

a+λ∫a

f (x) cos (kmx) dx (3)

Bm =2

λ

a+λ∫a

f (x) sin (kmx) dx (4)

La expresion 1 puede ser escrita en notacion exponencial:

f (x) =

∞∑m=1

Cm exp (ikmx) (5)

Los coeficientes Cm, en general complejos, estan dados por:

Cm =2

λ

a+λ∫a

f (x) exp (ikx) dx (6)

El teorema de Fourier afirma que toda onda compleja periodica se puede representar como la suma deondas armonicas. Esto es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja periodica mediantela suma sucesiva de ondas armonicas.

7

Ejemplo:

Figura 8: Funcion diente desierra

Considere la funcion periodica “diente de sierra” (Figura 8).Si realizamos la descomposicion de Fourier y sumamos los 5, 20 y 50 pri-

meros terminos y graficamos dichas sumas, se obtiene lo mostrado en la figura9.

Figura 9: Suma de n primeros terminos de Fourier con n = 5, n = 20 y n = 50.

¿Y si la funcion no es periodica?

Si la funcion f (x) es no periodica, la descomposicion de Fourier se puede generalizar considerando lafuncion como si tuviera periodo infinito: λ→∞:

f (x) =1

2π

∞∫−∞

F (k) exp (ikx) dk (7)

Esta generalizacion es denominada transformada de Fourier. Los coeficientes (amplitudes) ahora formanuna funcion continua:

F (k) =

∞∫−∞

f (x) exp (ikx) dx (8)

8 5 DESCOMPOSICION DE FOURIER

Ejemplo:

Supongamos un pulso rectangular (figura 10) de altura f0 y ancho L.

Figura 10: Pulso rectangular altura f0 y ancho L.

El espectro de Fourier es:

F (k) =

∞∫−∞

f (x) exp (ikx) dx = f0Lsin(kL2)

kL2(9)

Figura 11: Espectro de Fourier del pulso rectangular de altura f0 y ancho L.

Comparando el ancho del pulso original y de su transformada de Fourier:

∆x = L

∆k =4π

L

Se obtiene la siguiente relacion:

∆x∆k = 4π (10)

¡Los anchos no son independientes!

Si el pulso se mueve con velocidad vp:

∆x∆k = vp∆t∆k = vp∆t∆ω

vp= 4π

Por lo que:

∆ω∆t = 4π (11)

9

6. Ecuacion de Onda electromagnetica

Consideremos las dos ecuaciones de Maxwell que relacionan ambos campos:

∇× ~E = −∂~B

∂t(12)

∇× ~B = µ0

(~J + ε0

∂ ~E

∂t

)(13)

Aplicando el rotacional a la ecuacion 12, se obtiene:

∇×(∇× ~E

)= − ∂

∂t

(∇× ~B

)Sustituyendo ∇× ~B de la ecuacion 13 y aplicando identidad del rotacional de un rotacional, tenemos:

−∇2 ~E +∇(∇ • ~E) = −µ0∂

∂t

(~J + ε0

∂ ~E

∂t

)

Sabemos que en el vacıo ∇ • ~E = 0 y ~J = 0, quedando:

∇2 ~E = µ0ε0∂2 ~E

∂t2

onda eléctrica

onda magnética

dirección de

propagación

Figura 12: Una onda electromagnetica, es lapropagacion por el espacio de campos varia-bles. La variacion del campo electrico induceun campo magnetico y viceversa.

Reescribiendo, se obtiene la ecuacion de onda para ~E:

∇2 ~E − 1

v2p

∂2 ~E

∂t2= 0 (14)

donde se ha hecho la identificacion de la rapidez de propagacion:

vp =1

√µ0ε0

(15)

Un procedimiento similar para ~B nos lleva a:

∇2 ~B − 1

v2p

∂2 ~B

∂t2= 0 (16)

−→E (−→r , t) y

−→B (−→r , t) oscilan (son soluciones de la ecuacion de onda) en fase. Los campos (

−→E (−→r , t) y

−→B (−→r , t)), llamados funciones de onda, son funciones vectoriales de las coordenadas y del tiempo.

Dado que ε0 y µ0 son conocidos (determinados experimentalmente):

ε0 = 8,854187817 · 10−12[F m−1

]µ0 = 1,2566370614 · 10−6

[N A−2

]es posible calcular la rapidez con que se propagan las ondas electromagneticas:

vp = 2,99792458 · 108[m s−1

](17)

¡¡¡igual a la rapidez de la luz en el vacıo !!!

10 7 MEDICION DE LA RAPIDEZ DE LA LUZ

Dado que la ecuacion de onda es lineal, se cumple el principio de superposicion: si−→E 1 (−→r , t) y

−→E 2 (−→r , t)

son dos soluciones de la ecuacion de ondas electromagneticas, entonces su combinacion lineal:

−→E (−→r , t) = αE1 + βE2

tambien es solucion. Dos ondas forman una nueva onda. Por lo que una onda cualquiera se puede descomponeren una suma de ondas simples o conocidas (descomposicion de Fourier).

Las soluciones mas simples de la ecuacion de onda son las ondas electromagneticas monocromaticasplanas:

−→E (−→r , t) =

E0x cos

(−→k • −→r − ωt+ ϕx

)E0y cos

(−→k • −→r − ωt+ ϕy

)E0z cos

(−→k • −→r − ωt+ ϕz

) (18)

Varıan sinusoidalmente con −→r y con t. Los parentesis encierran las fases,−→k es el vector de onda (en rad

m−1), ω es la frecuencia angular (en rad s−1), ϕi son las constantes de fase inicial (en rad).Si usamos:

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ

una onda armonica monocromatica se puede escribir en la forma:

−→E (−→r , t) =

−→E 0c exp

[i(−→k • −→r − ωt

)](19)

Donde−→E 0c es un vector de componentes complejas que incluye las constantes de fase.

Las ecuaciones de Maxwell en el espacio sin cargas ni corrientes para las ondas planas monocromaticasquedan:

−→k •−→E = 0 (20)

−→k •−→B = 0 (21)

−→k ×−→E = ω

−→B (22)

−→k ×−→B = −µ0ε0

−→B (23)

Por lo que:−→E ⊥

−→B ;

−→E ⊥

−→k ;

−→B ⊥

−→k ;

∥∥∥−→E∥∥∥ = c∥∥∥−→B∥∥∥ (24)

Queda al estudiante verificar estas relaciones de transversalidad y proporcionalidad de−→E y

−→B .

7. Medicion de la rapidez de la luz

Los primeros intentos de medicion de la rapidez con la que viaja la luz ocurren en el siglo XVII. En1638, Galileo que dudaba que la luz viaja a rapidez infinita, propuso un experimento en el que dos personastoman una lampara con rejillas y se colocan en la cima de dos montanas diferentes. Una abrıa la rejilla desu lampara y la otra debıa abrir la suya tan pronto como viera la luz de la lampara del primero. De estamanera se podıa calcular cuanto tiempo habrıa pasado antes de que se viera la luz de la otra montana.Galileo interpreto los resultados como que la luz viaja a una velocidad muy grande, pero no necesariamenteinfinita. En 1676 Ole Rømer (1644 - 1710) uso observaciones astronomicas del movimiento del satelite deJupiter Io para medir por primera vez la rapidez con la que viaja la luz. Evidencio que el tiempo entre loseclipses de Io se retrasaban o adelantaban segun la Tierra se alejaba de o se acercaba a Jupiter. El satelitequeda oculto por la sombra que proyecta el planeta Jupiter, y se puede detectar facilmente el momento en elque el satelite aparece de nuevo tras desaparecer brevemente de la vista del observador terrestre. Cuatro anos

11

antes, un grupo de astronomos franceses habıan medido la distancia hasta Marte con un error razonable,utilizando observaciones simultaneas de la posicion del planeta visto desde Cayenne (Guayana Francesa) yParıs, estableciendo ası una medida mas precisa de la Unidad Astronomica. Rømer dedujo la velocidad dela luz al medir la diferencia de tiempos maxima entre lo previsto y lo observado y la nueva medida de launidad astronomica. De esta forma, midiendo estas diferencias, obtuvo un valor de 214.000 [km/s]. En 1849,Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819 - 1896) diseno un dispositivo que consistıa en dos ruedas dentadascolocadas en los extremos de un eje giratorio. A traves de los dientes de las ruedas se hacıa pasar la luzde una fuente, y el camino de esta luz era alargado mediante la utilizacion de tres espejos. Cuando hacıacoincidir la velocidad de rotacion de las ruedas dentadas con el paso continuo de la luz, podıa obtener unaestimacion del tiempo que tardaba la luz en hacer el recorrido previsto, y por tanto su velocidad. Fizeauobtuvo un valor de 313.000 [km/s], en gran acuerdo con la estimacion de Rømer. Jean Bernard Leon Foucault(1819 - 1868) mejoro este dispositivo experimental cambiando las ruedas dentadas por un espejo giratorio,obteniendo en 1862, un valor de 298.000 [km/s]. Ademas, su dispositivo le permitio medir la rapidez de laluz en medios mas densos que el aire (como el agua), concluyendo que esta era menor que en el aire.

Entonces, el mejor valor de la rapidez de la luz en le momento que Maxwell obtuvo la rapidez depropagacion de las ondas electromagneticas era practicamente el mismo que obtuvo a partir de los valoresempıricos de ε0 y µ0. De esta forma Maxwell interpreto que no podıa ser casualidad que estos dos valorescoicidieran, ¡luz debıa ser una onda electromagnetica!

8. Generacion de ondas electromagneticas

La teorıa electromagnetica predice que las cargas que se mueven con movimiento acelerado son las fuentesde las ondas electromagneticas. Supongamos una partıcula con carga que se hace oscilar; el campo oscilacon ella, por lo que para un punto fijo respecto de la partıcula antes que oscile, el campo electrico varıa. Laoscilacion de la partıcula puede ser vista como una perturbacion, y debido a que un campo electrico variableinduce un campo magnetico y viceversa, dicha perturbacion se puede propagar. Esta propagacion de laperturbacion es la onda electromagnetica. Las ondas electromagneticas son transversales, es decir, oscilanperpendicularmente a su direccion de propagacion y consisten en campos variables que se propagan por elespacio sin necesidad de medio material y que al encontrar una partıcula con carga interactuan con ella.

Figura 13: Scattering Rayleigh producido por lasmoleculas atmosfericas causante del color azulado delcielo.

La potencia irradiada esta dada por la formula de Lar-mor :

P =

(e2

6πε0c3

)a2 (25)

Esto explica por que el cielo es azul: las moleculas de laatmosfera vibran producto de la radiacion electromagneti-ca del Sol, emitiendo radiacion. Dado que a ∝ ω2:

P ∝ ω4 (26)

¡¡La potencial irradiada en el azul es mayor que en elrojo!! (mayor frecuencia): la luz emitida tiene un color azulado.

Figura 14: Una antena dipolar conectada a una fuente decorriente alterna produce ondas electromagneticas.

Una forma de producir ondas electromagneticases usando dos varillas conductoras (antena dipolar)y conectadas a una fuente de corriente alterna (figu-ra 14). Al cerrar el circuito, las varillas se cargan consignos opuestos, las cargas viajan a los extremos P y

Q generandose alrededor un campo magnetico−→B y

electrico−→E . Luego la corriente invierte su direccion,

cambiando tambien la direccion de los campos. Loscampos anteriores se alejan replegandose en lazoscerrados propagandose como ondas electromagneti-cas.

12 10 INTENSIDAD

9. Espectro electromagnetico

Figura 15: Espectro visi-ble y la eficiencia cuanti-ca del ojo humano.

Las ondas electromagneticas pueden tener diferentes frecuencias y estas frecuen-cias estan asociadas a la frecuencia de vibracion de las cargas, dependiendo de estoles llamamos de diferentes maneras. Ası, las frecuencias de las ondas electromagneti-cas producidas por la corriente electrica de la red domiciliaria tiene una frecuenciade 50 o 60 [Hz], oscilaciones cien veces mayores que este valor se les denomina on-das de radio y son las frecuencias usadas para la radiodifusion, frecuencias mayorescorresponden a las de uso en TV y FM, frecuencias mayores aun corresponden a lasmicroondas, las que son usadas por los hornos de microondas, antenas de radar ycomunicaciones satelitales. Luego encontramos frecuencias que pueden excitar cier-tos organos de algunos animales y son usados para la vision. Solo un pequeno rangode frecuencias sobre el infrarrojo (entre los 5 · 1014 y los 5 · 1015 [Hz]) excitan el ojohumano y por ello es denominado el “espectro visible”(figura 15), las diversas excitaciones producidas porlas diferentes frecuencias se denominan colores, mas alla del espectro visible se encuentra el ultravioleta yluego los rayos X y los rayos gamma.

l [nm]

2410

2210

2010

1810

1610

1410

1210

1010

810

610

410

210

010

-1610

-1410

-1210

-1010

-810

-610

-410

-210

010

210

410

610

810 l [m]

n [Hz]

Rayos g Rayos X UV Infrarrojo Microondas FM AM

Ondas de radio

Ondas de radio largas

Frecuencia

400 nm 450 nm 550 nm500 nm 600 nm 650 nm 700 nm

Espectro visible

750 nm

InfrarrojoUltravioleta

Longitud de onda

Longitud de onda

Figura 16: El espectro electromagnetico.

10. Intensidad

Del electromagnetismo sabemos (recordar la energıa entre las placas de un capacitor y dentro de unainductancia):

µE =1

2εE2 (27)

µB =1

2µB2 (28)

µE y µB son las densidades volumetricas de energıa electrica y magnetica. y ε = κε0 y µ = κmµ0 son lapermitividad y permeabilidad del medio.

La densidad total de energıa es:

µEM = µE + µB =1

2εE2 +

1

2µB2 (29)

Para el vacıo:

µEM = µE + µB = ε0E2 =

B2

µ0(30)

Donde se ha usado que B = Ec .

13

Se denomina intensidad (I) de una onda, a la energıa que atraviesa por unidad de tiempo una superficieunitaria perpendicular a la direccion de propagacion de la onda:

I =∆ε∆t

A=P

A(31)

Donde P es la potencia de la onda y A es el area de la superficie. Su unidad en el SI es [J s−1 m−2], o[Wm−2].

La energıa esta dada por:

∆ε = µEM∆V = µEMAc∆t

Donde A es el valor del area de la superficie atravesada por la radiacion. Luego:

I =µEMAc∆t

∆t

A= cµEM (32)

De esta forma I ∝ E2, pero demostraremos que E2 ∝∥∥∥−→E ×−→B∥∥∥ :

∥∥∥−→E ×−→B∥∥∥ =∥∥∥−→E∥∥∥∥∥∥−→B∥∥∥ sin]

(−→E ,−→B)

= EB =E2

c

Por lo que:

I = cµEM = cε0E2 = c2ε0

∥∥∥−→E ×−→B∥∥∥Definiendo el vector: −→

S = c2ε0−→E ×

−→B (33)

cuya direccion es la de propagacion de la onda electromagnetica. En 1884 John Henry Poynting (1852 -1914) demostr que:

Φ−→S

=

∫A

−→S • d

−→A =

dε

dt= P (34)

Lo que significa que las ondas transmiten energıa y esta se conserva: la variacion de la energıa electro-magnetica (P) se debe al flujo del vector de Poynting a traves de una superficie, por lo que el modulo delvector de Poynting representa la intensidad instantanea de energıa electromagnetica que fluye a traves deuna unidad de area perpendicular a la direccion de propagacion de la onda.

11. Ondas planas y esfericas

Figura 17: En una onda monocromaticaque se propaga en una unica direccion,los estados de fase constante estan enplanos perpendiculares a la direccion depropagacion.

La fase de la onda es una funcion de las coordenadas y del tiempo:

ϕ = ϕ (−→r , t)

Para un instante dado t = t0 habran muchos puntos en los cualesla fase tendra el mismo valor, por lo que:

ϕ (−→r , t0) = ϕ0

Lo que matematicamente define una superficie. Una superficie deigual fase se denomina frente de onda.

Las ondas electromagneticas son ondas esfericas, es decir, los fren-tes de ondas son superficies de esferas concentricas. Los vectores nume-ro de onda apuntan radialmente hacia fuera de estas superficies.

14 12 REFLEXION Y REFRACCION DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

La energıa de una onda que se propaga hacia afuera, promediada en todo el periodo, se distribuira enuna esfera mayor en un instante posterior, por lo que:

P = I(4πr2

)= cte

I =cte

r2∝ E2

Por lo que la amplitud:

E (r) ∝ cte

rSi estamos muy lejos de la fuente, los frentes de onda se vuelven planos y paralelos.

12. Reflexion y refraccion de las ondas electromagneticas

Figura 18: Reflexion y refraccion deun rayo de luz.

Figura 19: Angulos involucrados enlas leyes de reflexion y refraccion:θ1 es el angulo de incidencia medidorespecto de la normal (lınea segmen-tada), θ1′ es el angulo de reflexiony θ2 es el angulo de refraccion. Losmedios estan caracterizados por losındices de refraccion n1 y n2.

Cuando una onda que se propaga por un medio alcanza la superficieque le separa de otro medio de distinta naturaleza (interfaz), produce unaonda que se devuelve al medio de procedencia: decimos entonces que laonda se ha reflejado. Al mismo tiempo, cuando una onda se transmite alsegundo medio decimos entonces que la onda se ha refractado.

Hay varias formas de comprender los fenomenos de reflexion y refrac-cion, uno de ellos es a traves de la aplicacion del principio de Huygens:el fenomeno de la reflexion corresponde a la generacion de un frente deonda secundario que se devuelve al medio cuando una onda llega a unasuperficie de separacion de dos medios.

Se denomina rayo luminoso a la lınea imaginaria que describe la tra-yectoria de la luz desde un punto del espacio.

12.1. Leyes de la reflexion

El cambio de direccion en el mismo medio, que experimenta un rayoluminoso al incidir oblicuamente sobre una superficie cumple:

1. El angulo de incidencia es igual al angulo de reflexion.

2. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal, se encuentran enun mismo plano.

12.2. Ley de la refraccion

En 1621 el holandes Willebrord Snel van Royen (1580-1626) descu-brio que la razon entre el seno del angulo de incidencia y el seno delangulo de refraccion es igual a la razon entre la rapidez de la onda en elprimer medio y la rapidez de la onda en el segundo medio.

Tıpicamente la ley de Snell (con dos eles debido a la doble ele de sunombre) se enuncia considerando los ındices de refraccion. Se define elındice de refraccion de un medio (n), como el cociente de la rapidez dela luz en el vacıo y la rapidez (vp) en dicho medio:

n =c

vp(35)

Luego, la ley de Snell: el producto del ındice de refraccion del primer medio por el seno del angulo deincidencia es igual al producto del ındice de refraccion del segundo medio por el seno del angulo de refraccion:

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (36)

12.3 El principio de Fermat 15

La ley de Snell implica que las trayectorias de los rayos de luz son reversibles. Esto es, si un rayo incidentesobre la superficie de separacion con un angulo de incidencia θ1 se refracta sobre el medio con un angulo derefraccion θ2, entonces un rayo incidente en la direccion opuesta desde el medio 2 con un angulo de incidenciaθ2 se refracta sobre el medio 1 con un angulo θ1.

El rayo se acerca a la direccion de la normal a la superficie (θ2 disminuye) cuando el segundo medio tieneun ındice de refraccion mayor.

Para el caso θ1 = 0 (rayos incidentes perpendiculares a la superficie), los rayos refractados se transmitencon un angulo θ2 = 0 para cualquier valor de n1 y n2.

La ley de Snell se puede obtener de varias formas:

De las condiciones de contorno de los campos electricos y magneticos.

Aplicando el principio de Huygens cuando el frente de onda va chocando con la superficie de separacion.

Usando el principio de Fermat

12.3. El principio de Fermat

Si suponemos que un rayo de luz sale del punto A en direccion a una superficie que separa a dos medios,y viaja hasta el punto B en el segundo medio ¿Cual serıa la trayectoria seguida por la luz?

Figura 20: Un salvavidas ubicado en la playa(A) ve a un banista ahogandose (B) ¿Cual es lamejor trayectoria que debe elegir? ¿Por que?.

Para responder esta pregunta, consideremos la siguiente si-tuacion: eres un salvavidas en una playa y observas un banistaahogandose en el agua. Debes optimizar el tiempo, para ello de-bes encontrar la mejor trayectoria para rescatar al banista antesque se ahogue ¿Es la lınea recta la mejor trayectoria?, si su res-puesta es no: ¿Cual serıa la mejor trayectoria? Explique.

Respuesta:

La ley de la Reflexion se puede derivar a partir del principio de Fermat2: el trayecto seguido por la luz alpropagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mınimo. Aunque en realidadeste enunciado no es completo3, es suficiente para este caso.

Utilicemos entonces el principio de Fermat para obtener la ley de la reflexion: sea un medio de propagacioncon ındice de refraccion n1 y un segundo medio de propagacion con ındice de refraccion n2. Elegimos lasuperfıcie que separa los dos medios de modo que coincida con el eje de las abcisas.

Sean A = (xA, yA) y B = (xB, yB) dos puntos fijos situados en un plano, de modo que A esta situadoen el primer medio, y B en el segundo medio. Un rayo de luz se propaga de A a B atravesando en el puntoP = (x, 0), la superficie que separa los dos medios.

2Pierre de Fermat (1601 - 1665) fue un jurista que ocupaba parte de sus tiempos de ocio a las matematicas, convirtiendosejunto con Rene Descartes en uno de los matematicos mas importantes de la primera mitad del siglo XVII. El ultimo teoremade Fermat (conjeturado por Fermat en 1637), es uno de los teoremas mas famosos en la historia de la matematica. Puede serenunciado de la siguiente manera: Si n es un numero entero mayor que 2, entonces no existen numeros enteros positivos x, y yz, tales que se cumpla la igualdad:

xn + yn = zn

Fermat escribio el teorema en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, ademas afirmo: “he encontrado unademostracion realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeno para ponerla”. El teorema fue demostrado en 1995por el matematico Andrew Wiles.

3El principio de Fermat debe enunciarse como un principio variacional.

16 12 REFLEXION Y REFRACCION DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Sean v1 y v2 las rapideces de propagacion de la luz en el primer y segundo medio respectivamente. Eltiempo que tarda el rayo en recorrer AP y PB esta dado por:

t1 =AP

v1=

√(xA − x)2 + yA2

v1; t2 =

PB

v2=

√(x− xB)2 + yB2

v2

Luego el tiempo que tarda en ir de A hasta B esta dado por:

t =

√(xA − x)2 + yA2

v1+

√(x− xB)2 + yB2

v2

Ahora calculamos el valor de x cuando t es mınimo:

dt

dx= − xA − x

v1

√(xA − x)2 + yA2

+x− xB

v2

√(x− xB)2 + yB2

= 0

Un poco de algebra nos lleva a:

xA − xv1AP

=xB − xv2PB

1

v1sin θ1 =

1

v2sin θ2

Multiplicando por c se obtiene la ley de Snell.

12.4. Refraccion en medios inhomogeneos

En un medio inhomogeneo los rayos luminosos son curvos. Esto explicarıa espejismos y la refraccionatmosferica (Figuras 21 y 22).

Figura 21: Espejismos inferior (izquierda) y superior (centro y derecha). ¿Se encuentra el Sol en el horizonte?

Figura 22: Desviacion de la posicion de las estrellas (izquierda) debida a la refraccion atmosferica. Estos fenomenosocurren debido a que en medios no homogeneos los rayos viajan de forma curva (derecha).

12.5 Reflexion total 17

Figura 23: Refraccion en unmedio inhomogeneo con n1 <n2 < n3 < ... < nN .

La propagacion curva en medios inhomogeneos puede explicarse a travesrefraccion: consideremos que el medio inhomogeneo puede separarse en capashomogeneas, de forma que al interior de cada capa homogenea la luz viajaen lınea recta, pero al pasar de una capa a la siguiente cambia el ındice derefraccion, por lo que ocurren multiples refracciones (Figura 23).

12.5. Reflexion total

Cuando un rayo de luz atraviesa un medio de ındice de refraccion n2 menorque el ındice de refraccion n1, los rayos refractados se alejan de la normal.Si aumentamos el angulo de incidencia, llega un momento en que el angulo derefraccion se hace igual a 90◦, lo que significa que desaparece el rayo refractado.

Figura 24: Refraccion desde un medio con ındice de refraccionmayor con diferentes angulos. Una vez alcanzado el angulo crıticoocurre reflexion total.

Figura 25: Reflexion total interna en un material plastico.

Figura 26: Reflexion total interna en un chorro de agua (izquier-da).Figura 27: Transmision de imagenes usando reflexion total interna(derecha).

De esta forma, para angulos de incidenciamayores a un cierto valor crıtico (θc), la luzdeja de atravesar la superficie y es reflejadacompletamente.

No es difıcil demostrar que:

θc = arcsin

(n2

n1

)(37)

La reflexion total es utilizada en fibrasopticas. Las fibras opticas son hilos muy finosde material transparente, vidrio o materialesplasticos, en las que se hace incidir luz con unangulo dentro de los lımites de la apertura dela fibra. El haz de luz queda completamenteconfinado y se propaga por el interior de la fi-bra reflejandose totalmente por las paredes dela fibra casi sin perdida, y por lo tanto pue-den viajar grandes distancias a traves la fibra,lo que es muy utilizado en telecomunicacionesdebido a que se puede enviar gran cantidadde datos a grandes velocidades y distancias.Ademas usando fibras opticas, se pueden ob-tener imagenes de lugares de otra forma inac-cesibles, esto debido a su pequeno grosor suflexibilidad, lo que es muy utilizado en medi-cina.

12.6. Refraccion diferencial cromati-ca

Cuando luz no monocromatica, como laluz blanca, atraviesa un medio transparente(por ejemplo un prisma), se refracta, pero larefraccion ocurre en diferentes angulos paracada longitud de onda, por lo que la luz sesepara en sus componentes monocromaticas.Este fenomeno conocido como dispersion cromatica, se debe a que el ındice de refraccion (o equivalentemen-te la rapidez de la luz en el medio) depende de la longitud de onda (ver figura 28).

18 12 REFLEXION Y REFRACCION DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Figura 28: Indice de refraccion en fun-cion de la longitud de onda para algunosmateriales transparentes.

La refraccion diferencial cromatica es la responsable de la forma-cion de arcoiris (figura 29), de que la Luna se vea roja durante loseclipses y de que los cuerpos celestes se vean triplicados en distintoscolores en las cercanıas del horizonte (figura 30).

12.7. Angulo de Brewster

El angulo de Brewster es aquel angulo de incidencia para el cualel haz reflejado es perpendicular al haz transmitido.

No es difıcil demostrar que:

θB = arctan

(n2

n1

)(38)

Figura 29: Los arcoiris (izquierda) son fenomenos que ocurren debido a la refraccion diferencial cromatica y la reflexiontotal interna al interior de las gotas de agua que se encuentran en el aire. El arcoiris primario es producido por unconjunto de gotas en las que ha ocurrido una relexion total interna (derecha arriba) y el arcoiris secundario es producidopor un conjunto de gotas en las que han ocurrido dos reflexiones totales internas (derecha abajo). Dado que el anguloque forma cada rayo cromatico con el rayo incidente de luz blanca no es el mismo para cada color, las gotas de las queproviene cada color del arcoiris se encuentran a distinta altura (figura central).

Figura 30: La refraccion diferencial cromatica producida por la atmosfera serıa la responsable del color rojizo dela Luna durante un eclipse total de Luna (izquierda) abajo a la derecha se muestra el modelo. Tambien los cuerposcelestes a baja altura sufren refraccion diferencial cromatica apreciable: en el centro y arriba una estrella y a la derechaarriba Venus. Esta es una de las razones por la cual los astronomos nunca observan a menos de 30 grados sobre elhorizonte.

19

13. Polarizacion

Figura 31: La direccion de os-cilacion del campo electricoindica la direccion de polari-zacion. La luz no polarizadaesta formada por la superpo-sicion de ondas con fase y di-recciones polarizacion al azar.

Un fenomeno ondulatorio de gran importancia y que solo ocurre en ondastransversales es la polarizacion.

Se dice que una onda no esta polarizada cuando son igualmente posiblestodas las direcciones de oscilacion de las partıculas del medio, o cuando la ondaes la resultante de la superposicion de muchas ondas cuyas vibraciones tienenlugar en distintas direcciones, como en el caso de la luz natural.

13.1. Polarizacion Lineal

Una onda tiene polarizacion lineal cuando la direccion de oscilacion delas partıculas es unica y se mantiene fija. Para una onda electromagnetica la

direccion de polarizacion esta determinada por la direccion del campo−→E .

Un ejemplo de onda polarizada linealmente es la que producimos cuandose sacude arriba y abajo el extremo libre de una cuerda fija en el otro extremo,ya que todos sus puntos oscilan siempre en la direccion vertical.

Se denomina plano de polarizacion al formado por la direccion de oscilaciony de propagacion. Si elegimos el eje x en la direccion de propagacion y el eje yen la direccion de oscilacion, entonces el plano de polarizacion es el plano XY.

Figura 32: La intensidad a la salida deun polarizador iluminado por luz po-larizada esta dada por la ley de Malus.

Un dispositivo optico capaz de generar luz linealmente polarizadaa partir de luz con polarizacion cualquiera, por ejemplo a partir de luznatural, se denomina polarizador lineal. El polarizador lineal tiene uneje de polarizacion, y de cada onda que recibe deja pasar la componentedel campo electrico de la onda en la direccion de su eje.

Cuando el polarizador recibe luz linealmente polarizada, el polari-zador transmite la proyeccion del campo electrico de la onda incidentesobre su eje. El resultado en intensidad viene dado por la ley de Malus:

I = I0 cos2 θ (39)

Y la direccion de polarizacion a la salida es la del eje del polarizador.Dado que cada componente lineal es atenuada en un factor cos2 θ, si

un polarizador se ilumina con luz no polarizada, la atenuacion promedioes⟨cos2 θ

⟩= 1

2 (¡demostrar esto!).

Figura 33: Cuando luz no polarizada que se hace pasar por por un polarizador, la intensidad se atenua en un factor1/2 (izquierda). Cuando luz no polarizada que se hace pasar por dos polarizadores consecutivos se producen dosatenuaciones dada por cada polarizador (centro). Dos polarizadores cruzados no dejan pasar nada de luz (derecha).

Los polarizadores o filtros polarizadores se construyen de materiales que absorben selectivamente una delas componentes transversales del campo electrico de una onda. Esta propiedad se denomina dicroısmo.

Otra forma de que la luz se polarice linealmente es la polarizacion por reflexion. La componente reflejadacuando el angulo de incidencia es el angulo de Brewster, esta polarizada paralela a la superficie reflectante

20 13 POLARIZACION

debido a que la componente del campo electrico paralelo al plano de incidencia no es reflejado, por lo quela onda transmitida queda parcialmente polarizada en la direccion perpendicular.

El uso de luz polarizada y filtros polarizadores tiene multiples aplicaciones tanto en la vida cotidianacomo en aplicaciones cientıficas y tecnologicas. Algunas ejemplos de aplicacion de los polarizadores son:

Para gafas 3D.

Gafas polarizadas: para eliminan reflejos.

En pantallas de cristal lıquido (lea el artıculo: “Como funciona un visor de cristal lıquido” que esta dis-ponible en la pagina del curso).

Para filtros atenuadores de luz de atenuacion variable.

Figura 34: La visualizacion 3D usa gafas polarizadas, donde cada cristal deja pasar la luz de un proyector que a suvez tienen una ligera diferencia de perspectiva de forma que el cerebro las integre como una unica imagen en 3D.

Figura 35: Las gafas de sol polarizadas bloquean la luz polarizada por reflexion eliminando de esta forma los reflejos.

13.2. Polarizacion Circular y Elıptica

Figura 36: Onda con polarizacion circular (izquierda)y onda con polarizacion elıptica (derecha).

Una onda tiene polarizacion circular cuando la direc-cion de oscilacion de las partıculas cambia regularmentede direccion.

Una onda polarizada circularmente se forma de dosondas polarizadas linealmente que tienen igual amplitudy frecuencia pero que estan desfasadas π/2.

Sentido de giro (viendo venir la onda):

A la derecha o dextrogiro

A la izquierda o levogiro

Una onda tiene polarizacion elıptica cuando la direccion de oscilacion de las partıculas cambia regular-mente de direccion y ademas cambia cıclicamente de amplitud.

Figura 37: El valor del desfase entre las componentes determinala polarizacion de la onda.

En general, el valor del desfase entre lascomponentes determina la polarizacion de laonda (figura 37).

Un polarizador circular puede obtenerse apartir de un material birrefringente que tienela propiedad de desdoblar un rayo de luz in-cidente en dos rayos linealmente polarizadosde manera perpendicular entre sı como si elmaterial tuviera dos ındices de refraccion dis-tintos. El papel de celofan es un material birrefringente comun.

13.2 Polarizacion Circular y Elıptica 21

¿Cual es el mınimo espesor d que debe tener la placa o el material para que las componentes x e y delcampo electrico en la onda que sale de la placa esten desfasadas en π/2?

Para resolver esta pregunta, realice lo indicado en el artıculo “Placa de cuarto de onda para hacer ondade polarizacion circular” que se encuentra en la pagina del curso.

Bibliografıa

Fısica Volumen II Electromagnetismo y materia. Feynman R., Leighton R. & Sans M. Addison-WesleyIberoamericana 1987.

22 A ACTIVIDAD COLABORATIVA: ONDAS ESTACIONARIAS

A. Actividad colaborativa: Ondas estacionarias

Importante: Esta actividad debe ser realizada en clases por grupos de tres estudiantes con el resorte(slinky) proveıdo por el profesor.

Haz oscilar el resorte tratando de mantener los extremos fijos. Intenta conseguir que el resorte oscile conuna frecuencia de 1 [Hz]. Describe el proceso que seguiste para lograrlo.

Ahora, manteniendo el mismo largo, intenta conseguir que oscile con una frecuencia del doble de laanterior. Describe los cambios que observaste en comparacion con el caso anterior. ¿La forma del resorte essimilar a la anterior?

Observa que esta oscilacion tiene una frecuencia de 2 [Hz].

Sin cambiar el largo del resorte, haz una prediccion de los movimientos que tendrıas que realizar paragenerar una oscilacion de 3 [Hz] y la forma que tendrıa el resorte al oscilar.

Ahora produce experimentalmente la oscilacion de 3 [Hz] en el resorte y compara con tus predicciones.¿Seguiste el procedimiento que habıas predicho? ¿obtuviste la forma que esperabas?

¿Dirıas que esta es una onda viajera? ¿por que?

23

¿Cuantas regiones sin perturbar hay en el resorte cuando oscila con 1 [Hz], 2 [Hz] y 3 [Hz]?

Llamaremos “nodos” a las regiones del resorte que no son perturbados y “antinodos” a la region demaxima perturbacion del resorte.

¿Cuantos antinodos hay en el resorte cuando oscila con 1 [Hz], 2 [Hz] y 3 [Hz]?

¿Existe alguna relacion entre el numero de nodos y de antinodos? Escribe esta relacion.

¿Es posible encontrar frecuencias intermedias? Es decir, frecuencias entre 1 y 2 [Hz] y entre 2 y 3 [Hz]?

Predice otras posibles frecuencias de oscilacion de una cuerda de extremos fijos. ¿como se relacionan conla primera frecuencia obtenida?

Llamaremos frecuencia fundamental a la primera frecuencia natural con la que oscila el resorte conextremos fijos, y modo normal a cada uno de los posibles estados de oscilacion del resorte definidos porun numero discreto. Cada modo normal tiene asociada una frecuencia llamada armonica. Ası al primermodo normal le corresponde la frecuencia fundamental denominada primer armonico, al segundo modonormal le corresponde la segunda frecuencia con que oscila el resorte denominada segundo armonico yası sucesivamente.

24 B ACTIVIDAD TUTORIZADA: ECUACION DE ONDA

B. Actividad Tutorizada: Ecuacion de Onda

Consideremos una funcion cualquiera. Por ejemplo y = x2

Haz el siguiente reemplazo:x −→ x− 2 [m]

y grafica:

¿Que pasa si se hace el reemplazo x −→ x− vpt? (vp = cte) Explica.

25

Consideremos un pulso que propaga por una cuerda.La funcion que lo describe es de la forma:

y (x, t) = f (x− vpt) si la propagacion del pulso esen la direccion de x.

y (x, t) = f (x+ vpt) si la propagacion del pulso esen la direccion opuesta de x.

La funcion y (x, t) describe al pulso en cualquier ins-tante y cualquier posicion, y es denominada funcion deonda.

Ejemplo: Consideremos la siguiente funcion en t = 0:

y (x, 0) = Ae−Bx2

donde A y B son constantes.

Dibuja la grafica de esta funcion:

Escribe la funcion de onda para t > 0. Explica y haz un bosquejo.

26 B ACTIVIDAD TUTORIZADA: ECUACION DE ONDA

Dado que la funcion de onda es una funcion de dos variables, x y t (la velocidad de propagacion es unaconstante), buscamos una ecuacion que relacione las derivadas parciales respecto a la posicion y respecto altiempo.

Consideremos el siguiente cambio de variable:

u = x− vpty = f (u)

Donde la funcion f (u) es una funcion generica de la variable u.Deriva, usando la regla de la cadena, la funcion de onda respecto de cada una de las variables y escribe

a continuacion lo obtenido:

∂y

∂t=

∂y

∂x=

Despeja los terminos repetidos en ambas derivadas e iguala los otros dos lados de las ecuaciones. Escribea continuacion la relacion encontrada entre las variables:

¿Que representan las derivadas parciales respecto de x y respecto de t?

¿Se obtiene el mismo resultado si el pulso se mueve hacia la derecha que si se mueve hacia la izquierda?¿Puede esta ecuacon describir el movimiento de cualquier pulso? Explica.

27

Haz un bosquejo de un pulso en t > 0; dibuja los vectores velocidad de algunos elementos de cuerda.Al hacerlo considera las siguientes cuestiones: ¿Que elementos de cuerda tienen velocidad cero? ¿Cual es elelemento del medio que se mueve mas rapido hacia arriba? Haz una grafica de la velocidad de un elementode cuerda vy en funcion de x. Preocupate que tanto la grafica del pulso con los vectores velocidad y la graficade la velocidad en funcion de x sean coincidentes tanto en el origen de x como en su escala.

Usando el mismo procedimiento anterior, se puede verficar que se cumple la ecuacion diferencial parcialde segundo orden:

∂2y

∂x2=

1

v2p

∂2y

∂t2(40)

¡Hazlo despues de la clase!

¿Se obtiene el mismo resultado si el pulso se mueve hacia la derecha que si se mueve hacia la izquierda?¿Es aceptable esta ecuacion para describir el movimiento del pulso? Explica.

Entonces, la ecuacion 40 es valida para todas las ondas, por lo que nos permite redefinir una ondamatematicamente como una solucion de esta ecuacion, denominada ecuacion de onda.

28 C ACTIVIDAD TUTORIZADA: ECUACION DE ONDA ELECTROMAGNETICA

C. Actividad Tutorizada: Ecuacion de Onda Electromagnetica

Supon una region en el vacıo, esto es, donde no hay ni cargas ni corrientes:

ρ = 0 ; ~J = 0 (41)

y en donde existen los siguientes campos electricos y magneticos:

−→E = (0, Ey, 0) ;

−→B = (0, 0, Bz) (42)

En principio, Ey y Bz son funciones de las tres coordenadas espaciales y del tiempo.

1. Reemplaza estas componentes en la forma diferencial de:

a) la ley de Faraday.

b) la ley de Ampere-Maxwell.

2. Demuestra que el resultado de estos reemplazos contiene las siguientes ecuaciones diferenciales:

∂Ey∂x

= −∂Bz∂t

(43)

−∂Bz∂x

= ε0µ0∂Ey∂t

(44)

3. Deriva la ecuacion 43 con respecto a x, y la ecuacion 44 con respecto al tiempo. De las ecuacionesobtenidas elimina las derivadas mixtas. Interpreta la ecuacion obtenida, e identifica el termino quemultiplica a la derivada temporal.

29

4. Repite el procedimiento pero ahora derivando la ecuacion 43 respecto al tiempo y la ecuacion 44 conrespecto a x. Elimina las derivadas mixtas, interpreta la ecuacion obtenida, e identifica el termino quemultiplica a la derivada temporal.

5. ε0 y µ0 son conocidos (determinados experimentalmente):

ε0 = 8,854187817 · 10−12[F m−1

]µ0 = 1,2566370614 · 10−6

[N A−2

]Calcula el valor numerico del termino que acabas de indentificar.

6. Supon que las funciones que satisfacen las ecuaciones diferenciales obtenidas, tienen formas sinusoida-les:

Ey (x, t) = E0 sin (kx− ωt) ; Bz (x, t) = B0 sin (kx− ωt) (45)

Demuestra que las amplitudes E0 y B0 no son independientes entre sı.

Ayuda: Reemplaza estas funciones de onda en la ecuacion 43: ¿a que corresponde ω/k?