1 UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA , CIENCIAS Y ADMINISTRACIN DEPTO. DE MATEMTICA Y ESTADSTICA. Mg.: Arnoldo Rafael Lopetegui B. Alumno:

Apuntes: Aplicaciones de las derivadas a la economa y administracin Estudiaremos a continuacin como pueden emplearse las derivadas en la solucin de problemas que se presentan en la economa y administracin. Si el costo total y , de producir y comercializar x unidades de un bien, se da en funcin de x solamente, entonces la funcin de costo total se representar mediante la expresin: y = C (x) Las curvas de costo tienen las siguientes propiedades: 1) Cuando no se produce ninguna unidad, el costo total es cero o positivo. Es decir, C ( x) Si C ( 0 ) 0, entonces c(0) representa los costos fijos de produccin. 2) El costo total se incrementa a medida que x se incrementa, as C (x) es siempre positivo. 3) El costo de producir una cantidad extremadamente grande de cualquier bien usualmente alcanza un punto en el cual se incrementa a una tasa creciente. Por consiguiente y en trminos generales la curva de costo total es finalmente cncava hacia arriba. Es decir, C (x) > 0. Sin embargo, en una escala limitada la curva de costo total puede ser cncava hacia abajo. La funcin COSTO TOTAL la representaremos por : y = C ( x). La funcin COSTO PROMEDIO O COSTO POR UNIDAD ser: =

El COSTO MARGINAL es la primera derivada del COSTO TOTAL. Es decir:

La primera derivada del COSTO PROMEDIO nos dar el COSTO PROMEDIO MARGINAL. Es decir:

Ejemplo.Supongamos que C ( x): es el costo total de producir x marcos por fotos con (x . Sea la funcin de costo: C ( x) = 15 + 10x +

2 a) Encontrar la funcin costo marginal. b) Encontrar el costo marginal cuando x = 20. c) Encontrar la funcin costo promedio y costo promedio marginal. Consideremos ahora una situacin econmica en la cual las variables son : EL PRECIO Y LA CANTIDAD DE MERCADERA SOLICITAD x . Sea p, el precio en pesos de una unidad de la mercadera y x el nmero de unidades de la mercadera. Al reflexionar, parece razonable que la cantidad de mercadera solicitada en el mercado por los consumidores depende del precio de ella. Cuando el precio baja, los consumidores generalmente demandan ms mercadera. Si el precio aumenta ocurre lo contrario.

La ecuacin que determina la relacin entre la cantidad dada por x, de una mercanca solicitad y el precio, dado por p , se llama: FUNCIN DE DEMANDA y la representaremos por: y = p (x) o por y = d( x).

Otra funcin importante en economa es la FUNCIN INGRESO TOTAL, la que representaremos por: I ( x) y que ser igual a : I ( x) = x p (x) o por I ( x) = x d(x)

En donde, p ( x) es el precio de cada unidad y x es el nmero de unidades vendidas. Si I ( x) = x p (x) p ( x) =

Lo que muestra es que el precio o demanda es igual al ingreso total dividido por el nmero de unidades. O tambin el ingreso promedio es igual al precio por unidad. Si y = I ( x) es la funcin INGRESO TOTAL, la primera derivada de esta funcin , o sea I (x) se llamar FUNCIN INGRESO MARGINAL. Ejemplo: Supongamos que el precio est dado por: p ( x) = Encuentra: a) La funcin ingreso total. b) La funcin ingreso marginal.

Otra funcin importante en la economa es la FUNCIN UTILIDAD que es igual a la diferencia entre el INGRESO TOTAL Y EL COSTO TOTA. Esto es, si U (x) es la ganancia total o utilidad obtenida al producir x unidades de cierta mercanca. Entonces: U ( x ) = I (x) - C ( x ) En donde; U (x) es la funcin utilidad, I (x): es la funcin ingreso total y C (x) es la funcin de costo. Para maximizar o minimizar se aplica la primera derivada para encontrar los puntos crticos y la segunda derivada para determinar si mximo o mnimo.

3 Ejemplo.Supongamos que en cierta firma manufacturera el costo de produccin est dado por: C ( x) = 10 + 2 , y el precio est dado por: p ( x) =

a) Encontrar el valor de x en donde la utilidad se optimiza. Es mxima o mnima ? Cunto es la utilidad? RENTA NACIONAL.- ( consumo ahorro) La relacin entre la renta nacional ( total) disponible y el consumo nacional ( total) se denomina con frecuencia: FUNCIN DE CONSUMO. Si se da la funcin de consumo mediante la expresin: C = f ( x), en donde c representa el consumo nacional total Y x , la renta nacional total, con c y x en las mismas unidades. La PROPENSIN MARGINAL AL CONSUMO es la primera derivada de la funcin consumo. Es decir: PROPENSIN MARGINAL AL CONSUMO En el anlisis terico elemental de la renta nacional, se hace frecuentemente la suposicin de que la renta disponible es igual al consumo ms el ahorro. Es decir: X=c +a a= x - c

La PROPENCIN MARGINAL AL AHORRO es la primera derivada de la funcin ahorro. Es decir: Si a = x -c AHORRO = 1 PROPENSIN MARGINAL AL

Ejemplo.Dada la funcin de consumo: c() x) = 10 + 07 x + 0,5

a) Encuentra la propensin marginal al consumo. b) Encuentra la propensin marginal al ahorro.

INGRESO POR CONCEPTO DE IMPUESTOS.a) El ingreso total por concepto de impuesto recibido por el gobierno proveniente de un impuesto " t " por unidad est dado por: tx Ejemplo.1) Las funciones de demanda y de oferta para un bien particular son:

4 d(x) : 2y + x = 14 ; O ( x) : y=

Determinar el mximo ingreso posible al aplicarle un impuesto " t " por unidad: d(x)=7; oferta despus del impuesto es: y =

Encontremos el punto de equilibrio despus del impuesto: 7t=

Luego, el ingreso total del gobierno por concepto de impuesto ser :

= tx=

Encontrando su derivada se obtiene que: =

Igualando a cero

para encontrar el punto crtico se tiene que:

Encontrando la segunda derivada se tiene que: I'' = Entonces: x = < 0 . Se tiene un mximo. =

El ingreso mximo es de por unidad.

obtenido al establecer un impuesto de t =

b) Si se grava un impuesto " t " por cada unidad producida .En este caso el impuesto afecta al costo. As la funcin de costo y = C ( x); despus de aplicar el impuesto " t " por cada unidad producida se transforma en: y=C(x)+ tx Ejemplo.La funcin de demanda para un bien particular es: y = 20 - 4x

5 y el costo promedio: (x ) = 2. Se grava con un impuesto de " t " por unidad. Determinar la ganancia mxima posible y el valor de " t " para el cual el ingreso por concepto de impuesto para el gobierno es mximo. Solucin.- Como la demanda es : d ( x ) = 20 - 4x Costo promedio es. I ( x ) = 20x - 4x

(x ) = 2 costo total: C ( x ) = 2x C ( x) = 2x + tx 2x - tx = 18x 4

Costo total despus del impuesto es : G=I-C

G ( x ) = 20x - 4

Encontrando la derivada de la ganancia o utilidad se tiene que : G' ( x ) = 18 - 8 x t

Encontrando el punto crtico. Es decir, haciendo G' ( x )= 0, se tiene: 18 - 8 x - t = 0 18 - 8 x = t

G'' ( x ) = -8 < 0 . Es mximo.

Ingreso del gobierno por concepto de impuesto: = t x = ( 18 -8x) x = 18x - 8 Derivando se tiene que: I' = 18 - 16x

Igualando a cero se tiene: 18 -16x = 0 = -16 < 0 . Es mximo. Si x = . Entonces:

x=

a)

Ingreso del gobierno:

b) Utilidad mxima :

G = 18

-9

c) Cuando se grava con un impuesto a las ventas en un " t % " En este caso el impuesto afecta al ingreso. As la funcin demanda se transforma en: d+ d= y

Despejando " d " se tiene la nueva demanda que se considerar para obtener el ingreso.

6 Ejemplo.La funcin de demanda para un bien est dada por: y = 20 - 4x ; y el costo promedio es : 2

Determinar la ganancia mxima posible si se impone un impuesto sobre las ventas del 33, %

Solucin: La nueva demanda ser :

d + d = 20 - 4x

Despejando " d " se tiene que:

d = ( 20 - 4x )

Entonces :

I ( x ) = x ( 20 - 4x ).

Como:

Luego: U (x) = I ( x) - C ( x ) = -3

x ( 20 - 4x ) - 2x = 13x

Derivando U ( x ) se tiene:

U ' ( x) = 13 - 6x

Nmero crtico :

U ' ( x) = 13 - 6x = 0

U'' ( x) = -6 < 0 . Es mximo.

Luego : U = 13

= .