Mtodos Numricos

Ing. Victor Manuel Ortiz Romero 1

INTRODUCCIN A LOS METODOS NUMRICOS Los METODOS NUMRICOS nos sirven para resolver problemas que no puedan resolverse con lo mtodos analticos tradicionales, o no sea sencillo aplicarlos. Estos mtodos proporcionan una sucesin de valores que se aproximan a la solucin del problema. Razones para estudiarlos 1.- Son herramientas extraordinariamente poderosas para resolver problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones de sistemas grandes y geometras complicadas que son comunes en la prctica de la Ingeniera y que a menudo, son imposibles de resolver analticamente. Por lo tanto amplan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. 2.- En la actualidad es posible hacer uso de software disponible comercialmente que contenga mtodos numricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teora bsica en la que se basan estos mtodos. 3.- Hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas comerciales. Si se est versando en los mtodos numricos y se sabe algn lenguaje de programacin, se tendr la capacidad de disear programas propios para resolver los problemas sin tener que comprar el software. 4.- Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de aprender a programar las computadoras es al escribir en las computadoras. Como los mtodos numricos en su mayor parte estn elaborados para implementarse en computadoras, resultan ideales para este propsito. An ms estn especialmente adaptados para demostrar la potencia como las limitaciones de las computadoras. 5.- Los mtodos numricos son un medio para reforzar la comprensin de las matemticas, porque una de sus funciones es la de reducir las matemticas superiores a operaciones aritmticas. Los mtodos numricos y la Computacin Hoy en da las computadoras y los mtodos numricos proporcionan una alternativa para clculos muy complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los clculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificacin o tcnicas diferentes.

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Como las computadoras pueden efectuar solamente operaciones aritmticas, el ingeniero debe de familiarizarse con los diferentes mtodos numricos que puede utilizar para resolver en forma eficiente diferentes tipos de problemas. Ciertas clases de ecuaciones que se encuentran en la prctica son directamente adaptables a su solucin mediante procedimientos aritmticos, en tanto otros no se pueden resolver directamente por estos mtodos, por lo que se han desarrollado mtodos aproximados de solucin que utilizan procedimientos aritmticos. Precisin y exactitud Los errores asociados con los clculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisin y exactitud. La mayora pensamos que estos trminos son sinnimos, pero no es as. La precisin se refiere al nmero de cifras significativas que representan una cantidad. La exactitud se refiere al grado de aproximacin que se tiene de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa, es decir, que tan cerca estamos del valor buscado. Aproximacin numrica por truncamiento y redondeo Debemos conformarnos siempre, en la prctica de la ingeniera y de las ciencias, con una solucin aproximada a un problema por las siguientes razones: Los modelos matemticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problema real. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenmeno. Los modelos matemticos requieren de parmetros, los cuales la mayora de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisin limitada, que depende del instrumento de medicin. Tambin pueden provenir de clculos y estos tienen una precisin limitada que depende tanto del mtodo como del instrumento de clculo que se utilicen. Los modelos matemticos resultantes son imposibles de resolver por mtodos analticos y se debe de aproximar la solucin numricamente. Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrn presentes errores, estos pueden clasificarse en: a) Errores por truncamiento Son los debidos a la interrupcin de un proceso matemtico antes de su culminacin. Sucede cuando se toman slo algunos trminos de una serie infinita o cuando se toma solo un nmero finito de intervalos. Por ejemplo al evaluar la funcin exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:

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=

=++++++=0

432

!!.....

!4!3!21

n

nnx

nx

nxxxxxl

Ante la imposibilidad de tomar todos los trminos de la serie, se requiere truncar despus de cierto nmero de trminos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los clculos. Solo depende del mtodo numrico empleado. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora slo toma en cuenta los dgitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dgito perdido. El truncamiento consiste simplemente en cortar el resultado de una operacin al nmero de cifras significativas que se desee. Por ejemplo s truncamos 7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777 (no se incrementa a 8).

b) Errores por redondeo Los errores de redondeo, se originan al realizar los clculos que todo mtodo numrico o analtico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritmticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operacin el nmero de cifras que permita el instrumento de clculo que se este utilizando. Por ejemplo al calcular el valor de 7/6 (1.166666666666666666), tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras, que maneje nuestro instrumento de clculo (1.166666667 -en una calculadora normal-). O sea, que el ltimo dgito que se puede conservar en la localizacin de memoria se incrementa en una unidad si el primer dgito despreciado es mayor o igual a 5. En s el redondeo consiste en aumentar en uno la ltima cifra retenida s la primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual s la primera cifra descartada esta entre 0 y 4. Por ejemplo s redondeamos 7/9 a 4 cifras tenemos 0.7778. Por ejemplo: 1/3 + 2/3 =1, en la prctica puede no ser as. S realizamos la suma empleando nicamente 4 cifras significativas y usamos el truncamiento y el redondeo, tenemos:

0.3333+0.6666=0.9999 (truncado)

0.3333+0.6667=1.000 (Redondeado)

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Valor Redondeado Truncado 85.6495 85.650 85.649 3.96544 6.9654 6.9654 5.21569 5.22 5.21 9.254 9.25 9.25

45.2658 45.27 45.26 854.6985 854.7 854.6

Ejemplos de truncamiento y redondeo Cuando se hace una aproximacin numrica por trocamiento o por redondeo, siempre existir un error porque los clculos no son exactos. Por esto la aproximacin por redondeo minimiza el error en acumulaciones de operaciones. NOTA: En una calculadora slo muestra el valor redondeado pero al realizar la suma total considera todos los dgitos. Por ejemplo si le ponemos que redondee a 2 dgitos tenemos que: 1/8 muestra 0.13 y si ponemos 1/8 +1/8 muestra 0.25 en lugar de (0.26). Error absoluto Es la diferencia entre el valor verdadero (Vr -suponiendo que se conoce-) y una aproximacin al valor verdadero Va. El error absoluto nos indica el grado de aproximacin y da un indicio de la calidad de la medida.

ar VVE = Error relativo Es el cociente del error absoluto ( E ) y el valor verdadero rV (generalmente no se conoce el valor verdadero).

r

ar

ra V

VVVEE

== ( 0rV ) Lo que generalmente se tiene es un valor aproximado y una estimacin de de error o un lmite al tamao mximo de error (tolerancia)

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Ambos errores son aproximadamente iguales para nmeros cercanos a 1 pero para nmeros no cercanos a 1 puede haber una gran diferencia como se muestra a continuacin.

Si Vr=0.00006 y Va=0.00005 E=0.00006-0.00005=0.00001=10-5

%67.161667.000006.000001.0 ===rE

Si Vr=100500 y Va=100000 E=100500-10000=500

%4975.0004975.0100500500 ===rE

Es ms exacto el segundo, ya que el valor relativo es ms pequeo (aproximadamente 0.5%) que el primero (aproximadamente 17%) Ejemplo: Al medir la longitud de una varilla para construccin se obtiene el resultado aproximado de 1999 cm. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9.0 cm., suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 2000 cm. y 10 cm. respectivamente, calcular el error absoluto y relativo en ambos casos.

Solucin:

Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:

cmE 119992000 == Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:

cmE 1910 == En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero.

En el caso de la varilla el error relativo es:

%05.00005.020001 ===rE

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Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:

%101.0101 ===rE

Podemos observar, que el error relativo refleja mejor la gravedad o no gravedad del error que se est cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla no es trascendente ya que representa solamente un 0.05% con respecto al valor verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que es del 10% del valor verdadero.

Utilizaremos el error absoluto cuando queramos ver cuanto nos hemos desviado del valor real y utilizaremos el relativo cuando queramos comparar dos o varias medidas que pueden o no tener algo en comn para ver cual de ellas tiene menor error en comparacin con su valor real.

Entonces el valor relativo permite normalizar el error respecto al valor verdadero. Estabilidad y Convergencia: La estabilidad puede definirse comnmente de 2 maneras: a) Todo problema requiere datos de entrada y nos origina por lo menos una salida. S cambios pequeos en los datos de entrada producen cambios pequeos en la salida, se dice que el algoritmo es estable (tambin se le denomina problema bien condicionado) y en caso contrario inestable (o problema mal condicionado). b) Por otro lado s En es un error en alguna etapa de un proceso y k es una constante independiente de el nmero de etapa (n), entonces s el error despus de n operaciones se puede representar por f(n)=knE, se dice que el crecimiento del error es lineal. S en cambio el error se representa por f(n)=knE para k>1, el crecimiento del error se dice que es exponencial. El crecimiento del error lineal es por lo general inevitable, y cuando k y n son pequeos, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencial debe ser evitado, ya que el trmino kn ser grande, aun para valores relativamente pequeos de n. Por lo tanto s el crecimiento del error es lineal el mtodo es estable y s es exponencial es inestable. La convergencia se refiere al hecho de que los mtodos numricos obtienen n trminos de una sucesin de valores. Comenzamos con un valor inicial que sea una aproximacin de la solucin de un problema x0. Aplicando un mtodo numrico se obtiene otra aproximacin x1. Se repite el procedimiento para obtener

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x2 y as sucesivamente, es decir, se genera la sucesin x0, x1,...,xn (todos los trminos son aproximaciones a la solucin del problema). S la sucesin obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un lmite se dice que el mtodo es convergente o divergente en caso contrario. Criterio de convergencia. Por la definicin anterior de la convergencia tenemos que s un mtodo numrico es convergente, entonces debe de ocurrir que:

xxnx

=

lim

Existe otro criterio de convergencia que debe de emplearse. Como es posible que un problema dado no tenga convergencia, podra ocurrir que el criterio anterior nunca se cumpliera. Por esta razn debemos de poner un tope al numero de iteraciones a realizar, es decir, existe un numero mximo de iteraciones. Este puede ser fijado considerando, la importancia que tenga para nosotros obtener el resultado. S es muy importante y no tenemos limitaciones por el tiempo de maquina que tenemos asignado, puede fijarse muy alto. En caso contrario se puede usar un valor moderado.