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1 INSTITUTO TECNOLOGICO DE CULIACAN TEMA: Señales, transformadas y sistemas Notas elaboradas por : M.C. Héctor Isaías Escobosa Iribe 1-) Conceptos básicos sobre: funciones, señales, sistemas

Dominio Función ! Rango conceptos necesarios para definir una función Regla De manera muy general, el Dominio y el Rango de una función, estarán representados por un conjunto de números reales (R) y/o complejos ( C ). Dominio: El dominio de una función f : R ! R2 ( y = f(x) ) está integrado por todos aquellos valores de la variables independiente (x), para los cuales dicha función existe (o sea, valores de x para los que "f" está definida). Podemos elegir arbitrariamente sus elementos, por lo que comunmente es denominado variable independiente. Ejemplos: tiempo, frecuencia, etc. Para especificar un dominio, se indican: .- valor máximo ! límite superior .- valor mínimo ! límite inferior Si todos los valores numéricos entre los límites (y posiblemente incluyendolos), son elementos del dominio, se dice que es un "Dominio Continuo". Si sólo se permiten un número finito de valores, el "Dominio es Discreto". Si alguno de los límites (o ambos) son infinitos (∝) el "Dominio es Infinito". Cuando se representan funciones en gráficas, el dominio es la "Abscisa". Rango: Al igual que el dominio, el Rango puede ser continuo, discreto, finito o infinito (independientemente del dominio). Los elementos del Rango son determinados por la elección de los elementos del dominio; así, que normalmente son la variable dependiente. Graficamente el Rango equivale a la ordenada. Por ejemplo: voltaje, corriente, potencia, etc. Diagrama representativo:

Continuo Continuo Dominio Rango

Discreto Discreto

2

2 Los siguientes gráficos, ilustran las posibles situaciones que se pueden presentar entre dominio y rango. Y y = f(t) y2 y1 t dominio continuo-rango continuo dominio continuo-rango discreto Y o y2 o o y1 o o t o x1 x2 x3 ... x1 x2 dominio discreto-rango continuo dominio discreto-rango discreto Regla (función): Establece la relación entre los elementos del Dominio y del Rango. y = f(x) x ! Argumento (conjunto de valores que forman el Dominio) y ! Imagen (conjunto de valores que forman el Rango) f(x) ! Regla existente entre argumento e imagen (función) Observaciones: Lo que matemáticamente se conoce como función, en las áreas de Ingeniería se conoce como "Señales". En el mundo físico real (experiencia práctica) las señales son finitas; matemáticamente son "absolutamente integrables" (la integral de la magnitud de la señal debe ser finita todo el tiempo). Esto es: ∞ ∫ | f(t) | dt ≤ M < ∞ , M = una constante finita ∞ Señales: Contienen información acerca del comportamiento o naturaleza de algún fenómeno. Las señales son funciones de una o más variables independientes. Sistemas:

3

3 Conjunto de elementos que responden a las señales que se le aplican (señales de entrada), produciendo otras señales (señales de salida). Aplicaciones: " Caracterización de sistemas para entender su comportamiento ante señales de entrada. " Diseño de sistemas para procesar señales en formas determinadas. " Recuperación de señales. " Recuperación y mejoramiento de imágenes. " Modificación de características de sistemas. " Aplicaciónes en áreas tecnológicas:

# Comunicaciones # Aeronáutica # Diseño de circuitos # Acústica # Sismología # Ingeniería biomédica # Generación de energía # Distribución de energía # Control de procesos # Procesamiento de voz, sonido,...

Tipos de Señales: Las señales son funciones de una o mas variables independientes, pueden ser: Continuas ! f ( t ) ; t = # real (valor continuo de la varianle independiente) Discretas ! f [ n ] ; n = # entero (valor entero de la variable independiente) Una señal puede ser inherentemente discreta o bién ser el muestreo de señales continuas (secuencia de valores). Señal PAR ! f ( - t ) = f ( t ) la función es simétrica con respecto al eje vertical f [ - n ] = f [ n ] en señales discretas Señal IMPAR ! f ( - t ) = - f ( t ) la función es simétrica con respecto al origen f [ - n ] = - f [ n ] en señales discretas En señales impares continuas, necesariamente se cumple que, para t = 0 ! f ( t ) = 0 Cualquier señal se puede descomponer en una parte PAR y una parte IMPAR. Esto es, f ( t ) = fpar( t ) + fimp( t ) en donde fpar( t ) = (1/2) [ f( t ) + f(- t ) es la componente PAR de f. fimp( t ) = (1/2) [ f( t ) - f(- t ) es la componente IMPAR de f. Señales periódicas: Una señal es periódica si cumple que: f ( t ) = f ( t + T) o bién f ( t ) = f ( t + m T) en donde m es un entero con periodicidad T, 2T, 3T, . . . Por definición T = período fundamental ! valor positivo más pequeño, para el cual se cumple que f ( t ) = f ( t + T).

4

4 Para el caso de señales discretas, tenemos f [ n ] = f [ n + N ] ó bién f [ n ] = f [ n + m N ] 2-) Teoría Fundamental sobre Ecuaciones Diferenciales. 2.1-) Conceptos sobre Solución de Ecuaciones Diferenciales. La Solución General (YG) de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), Lineal, con coeficientes constantes, consta de dos partes: La Respuesta Libre (solución de la parte homogénea YH ), y la Respueta Forzada (solución particular YP). La suma de las dos constituye la Respuesta Total. Respuesta Libre: Es la Solución cuando la entrada U(t) es igual a cero. La Ecuación Diferencial tiene la forma siguiente: n ∑ ak (dkY / dtk ) = 0 . . .ec(1) k=0 La Solución YH(t) depende unicamente de las "n" condiciones iniciales de la EDO. Por ejemplo: La respuesta libre YH(t) de la EDO D2Y + 3 DY + 2 Y = U(t) . . .ec(2) Para las condiciones U(t) = 0 ! Y(0) = 0 ! Y'(0) = 0 , es: YH(t) = ∈ -t - ∈ -2t Respuesta Forzada: Es la Solución cuando todas las condiciones iniciales son igual a cero. La Respuesta Forzada depende solamente de la función de entrada U(t). En estos casos, la Ecuación Diferencial tiene la forma siguiente: n ∑ ak (dkY / dtk ) = U(t) . . .ec(3) k=0 La Solución YP(t) depende de la función U(t). Por ejemplo, si consideramos que U(t) = 1 en la EDO (2), entonces la Respuesta Forzada será YP(t) = ( 1 - 2∈ -t + ∈ -2t ) /2 . Así, la Respuesta Total YG(t) de la ec(2) es: YG(t) = ∈ -t - ∈ -2t + ( 1 - 2∈ -t + ∈ -2t ) /2 , simplificando se obtiene: YG(t) = ( 1 - ∈ -2t ) /2 . . .ec(4) Respuesta Transitoria y en Estado Estacionario: son otro par de de cantidades cuya suma es igual a la Respuesta Total, y se definen como: Respuesta en Estado Estacionario (Yee ): es la parte de la Respuesta Total que no se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Para la ec(4), tenemos:

5

5 Yee = Lim ( 1 - ∈ -2t ) /2 = 1 / 2 ! Yee = 0.5 t !∞ Respuesta Transitoria: es la parte de la Respuesta Total que se aproxima a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Para la ec(4), tenemos: YT = Lim ( - ∈ -2t ) /2 = 0 ! YT = ( - ∈ -2t ) /2 t !∞ Salida o Respuesta de un Sistema (Convolución). Procedimiento para obtener la salida de un Sistema, ante cualquier señal de entrada, usando la respuesta al "Impulso del Sistema". En la práctica, es más útil poder determinar la respuesta impulsiva del sistema conociendo la señal de entrada y la señal de salida deseada. Respuesta Impulsiva ! Respuesta del sistema a una señal de entrada igual al "Impulso δ(t)" . SLIT = Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo. f( t ) = δ( t ) g( t ) = h( t ) también, gracias a la propiedad de invarianza en el tiempo, tenemos: f( t ) = δ( t - τ) g( t ) = h( t - τ ) también: si f( t ) = c δ( t - τ) entonces g( t ) = c h( t - τ) resumiendo: δ( t - τ) h( t - τ) donde τ (letra griega Tao) es un valor específico de la variable t. Evaluando en t = τ, obtenemos f (t = τ) = f ( τ ) = Constante. Haciendo f( τ ) * δ( t - τ) tenemos que el sistema es lineal, para el cual se obtiene la respuesta f( τ ) * h ( t - τ) Ahora, considerando varias señales con τ diferentes, tenemos que: N N

f( t ) = ∑ f( τj ) δ( t - τj) g( t ) = ∑ f( τj ) h( t - τj) j=1 j=1 Aquí, estamos considerando que τ es el parámetro, es decir, representa valores específicos del tiempo t . Así, f(τj ) δ( t - τj) f(τj ) h( t - τj) Para obtener la respuesta total, y debido a que τ puede tomar cualquier valor de t, podemos intercambiarlos y hacer que t sea el parámetro y τ sea la variable. Esto nos permite considerar una suma infinita de entradas; una por cada valor de τ, además, τ debe de ser continuo y sus dominios son iguales:

SLIT

SLIT

6

6 N ∝

∑ f( τj ) δ( t - τj) ∫ f(τ) δ( t - τ) dτ j=1 -∝ y también N ∝

∑ f(τj ) δ( t - τj) ∫ f(τ) h( t - τ) dτ = g( t ) j=1 -∝ a esta última, se le conoce como "Ecuación de Convolución". En forma abreviada, tenemos que: ∝

g( t ) = f ( t )* h( t ) = ∫ f(τ) h( t - τ) dτ - ∝ el valor de la respuesta g( t ) para un valor de τ. SISTEMAS: Cualquier Proceso que resulte en la Transformación de Señales. f( t ) g( t ) x [ n ] y [ n ] Interconexión de Sistemas: # Serie # Paralelo # Combinación de Serie y Paralelo. # Retroalimentación Ejemplo de una Combinación Serie-Paralelo: + Entrada x[n] y[n] Salida -

Sistema Continuo

Sistema Discreto

2 X[n]

X[n]2

(2x[n] - x[n]2)2 +

7

7 Ejemplo de una Retroalimentación: Salida Entrada f( t ) = u(t) Aplicación en Circuitos elementales: (+) ( + ) i1(t) i2(t) I(t) C R V( t ) ( - ) del circuito, tenemos: I(t) = i1(t) + i2(t) de donde ! i1(t) = I(t) - i2(t) t V(t) = (1/C) ∫ i1(τ) dτ y luego i2(t) = V( t ) / R - ∝ Diagrama ilustrativo para el circuito anterior: Capacitor Entrada i1(t) V(t) I( t ) - Resistor i2(t)

S1

S2

G(t) = S1* S2 +

i2(t) = V( t ) / R

V(t) = (1/C) ∫ i1(τ) dτ +

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8 1.1.-) Propiedades de los Sistemas: # Sistema sin Memoria: Sistema cuya salida, para cada valor de la variable independiente, depende solamente de la Señal de Entrada en ese preciso tiempo. Ejemplo: y[n] = (2x[n] - x[n]2)2 ; la salida y[n] en cualquier tiempo no depende sólo del valor de n en ese tiempo no . g( t ) = f( t ) Sistemas identidad y[n] = x[n] # Sistemas con Memoria: Sistemas cuya salida si depende de valores anteriores de la Señal de Entrada (variable independiente). Ejemplo: n y[n] = ∑ x[k] Sis_discreto g( t ) = f( t - 1) Sistema_continuo. k= - ∝ t g(t) = V(t) = (1/C) ∫ f(τ) dτ para el caso de circuitos - ∝ # Sistema Invertible: Distintas entradas dan lugar a distintas salidas; es decir, si se observa la salida se puede determinar la señal de entrada. # Sistema Inverso: Si el Sistema es Invertible, se puede conectar en cascada un Sistema Inverso al Sistema original, y se obtiene una salida Z[n] igual a la entrada original x[n]. Entrada salida_1 salida_2 = entrada 1.2.-) El plano complejo (plano "S" ): Diagrama de Polos y Ceros. Sea F(S) una función racional, que puede ser resultado de aplicar Transformada de Laplace a una EDO, lineal, con condiciones iniciales específicas. F(S) = P(S) / Q(S) . Los CEROS de dicha función son las Raices del polinomio P(S), ó Raices del Numerador de F(S). Es decir, son los puntos en donde la función F(S) iguala a cero. Los POLOS de dicha función son las Raices del polinomio Q(S), ó Raices del Denominador de F(S). Es decir, son los puntos en donde la función F(S) tiende a infinito.

Sistema Invertible

Sistema Inverso

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9 ( S + r1 ) Por ejemplo: F(S) = (S + P1 ) (S + P2 ) La función F(S) es cero cuando S = - r1 (un Cero), y tiende a infinito (Polos) cuando S = - P1 y/o, S = - P2 . La Variable "S" al ser una variable compleja se puede representar en un plano "S", tal como se ilustra a continuación: Jw S = λ + j w x o x -P2 - r1 -P1 λ En el Plano Complejo, un Cero se indica con un círculo (o), y un Polo se indica con una (x) . __________________________________________________________________________________________ 1.3.-) Diagrama de Bloques. Un Sistema de Control puede consistir en cierta cantidad de componentes. Con el objeto de mostrar las funciones cumplidas por cada componente, en "Ingeniería de Control" se acostumbra usar un diagrama denominado "Diagrama de Bloques". Un Diagrama de Bloques de un Sistema es una representación gráfica de las funciones, realizadas por cada componente y del flujo de las señales. La siguiente figura muestra un elemento del diagrama de bloques. La flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada y la flecha que se aleja del bloque representa la salida. A estas flechas normalmente se les denomina señales. La magnitud de la señal de salida del bloque es la magnitud de la señal de entrada, multiplicada por la función en el bloque. La siguiente figura (fig.#1) muestra un elemento del diagrama de bloques. R(S) X(S) figura #1- Un elemento de diagrama de bloques. Detectector de Error: El detector de error produce una señal que es la diferencia entre la referencia de entrada y la señal de retroalimentación del sistema de control. También se le denomina "Punto de Suma" y efectúa la suma algebraica de las señales que entran en él.

T(S)

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10 En la figura siguiente (fig.#2) se puede ver la representación del detector de error mediante un diagrama de bloques. R(S) + E(S) _ X(S) E(S) = R(S) - X(S) Figura #2- Diagrama de bloques de un detector de error. Punto de Reparto: Un punto de reparto permite aplicat la misma señal a diferentes elementos. X(S) X(S) X(S) X(S) 1.4.-) Funciones de transferencia. En la "Teoria de Control", frecuentemente se utilizan funciones denominadas "Funciones de Transferencia", para caracterizar las relaciones de entrada-salida de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (SLIT). El concepto de función de transferencia se aplica solamente a SLIT, aunque se puede extender a ciertos sistemas de control no lineales. La Función de Transferencia de un Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT) está definida como la relación de la Transformada de Laplace de la salida (función respuesta) a la Transformada de Laplace de la entrada (función exitadora), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. La función de Transferencia es una expresión que relaciona la salida y la entrada de un SLIT, en términos de los parámetros del sistema, y es una propiedad del sistema en sí mismo, independiente de la función de entrada ó de la exitadora . La función de Transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no provee ninguna información respecto a la estructura física del sistema (las funciones de transferencia de muchos sistemas fisicamente distintos, pueden ser idénticas. Interaccion de sistemas: .- En serie: X(t)

Z(t) y(t)

S1 S2

Detector de Error

11

11 .- En paralelo

S1

Y1(t)

X (t) S2 Y(t) Y2(t)

.- Retroalimentación X

S1 Y S2

Ejemplo No 1.-) Circuito en paralelo RC (resistencia capacitor)

(+) V(t) i(t) i1(t) i2(t) C (fig. 1) ( i1 + i2) (-)

∑

t

+ -

12

12 Para la resistencia: Para el capacitor: I 2 (t) = V(t) / R I1 (t) = C Dv(t) / dt R (resistencia en ohms) C ( capacitancia en faradios) V (t) = (1/C) ∫i1(t) dt De acuerdo con la primera ley de kirchoff, tenemos que

Representación del circuito elemental de la fig No 1 , en diagrama de bloques que ilustra a un sistema con retroalimentación. Ejemplo 2.-) Circuito continuo; Red - RC en Serie.

i(t) i1(t) C V(t)

V (t) = 1/C ∫i1(t) dt

i2(t) R i2(t)= V(t)/ R

(+) ( - ) VR VC= y (t) i(t) Salida V (t) entrada (fig No 2) i(t)

+ _ --

13

13

De la segunda ley de kirchoff, tenemos que V(t) = VR (t) + VC (t) VR(t) = R . i (t) ; con i(t) = C dV(t)/ dt o´ VC(t) = ( 1/C) ∫i(t) dt , de donde V(t) = RC dVC (t) / dt + VC(t) ; haremos y (t) = VC (t) [V (t) = RC dy(t)/ dt + y(t) ] (1/RC) Asi, se obtiene que y’ (t) = ( -1/RC) [y-V(t)]

1 I y(t) RC (integrador)

+ 1 . RC

Diagrama representativo para el circuito RC en serie de la fig No 2.

+ +

14

14 Serie de Fourier Compleja y Truncada. La Suma finita XN(t) que resulta de truncar la Serie Trigonométrica de Fourier del Tren de Pulsos Rectangulares de la siguiente figura: X(t) -2,5 - 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t Figura: Señal Periódica , con Período fundamental T = 2. También, esto puede calcularse si truncamos la forma exponencial de la Serie de Fourier, de la siguiente forma: XN(t) = ∑ Ck ℮jkwt ; los Comandos de MATLAB para calcular la Serie de Fourier, son: % Comentarios t = -3 : 0.006 : 3 ; N = input(‘Número de elementos de la Serie Armónica’); C0 = 0.5 ; W0 = pi ; XN = C0*ones(1 , length(t) ) ; % componente de Cd % for k = 1 : N ; % Ck = 1/k/pi*sin(k*pi/2); C_k = Ck ; % XN = XN + Ck *exp(j*k*w0*t ) + C_k*exp( - j*k*w0*t ) ; % end % % al ejecutar este pequeño Programa de MATLAB, para cuando N = 3 y 9 , se obtienen las siguientes Gráficas:

15

15

% A CONTINUACION, CONSTRUIREMOS ALGUNAS de las GRAFICAS TIPICAS que se OBTIENEN con las SERIES Trigonométricas de FOURIER clc,clear all t=0:0.05:10; y=sin(t)+sin(3*t)/3; plot(t,y),title('Grafica para N=3'),xlabel('eje x'),ylabel('eje y') pause z=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/9; plot(t,z),title('Grafica para N=5'),xlabel('eje x'),ylabel('eje y')

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Grafica para N=3

eje x

eje y

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Grafica para N=5

eje x

eje y

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16

Documento elaborado por: M.C. Héctor Isaias Escobosa Iribe

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Grafica para N=3

eje x

eje y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

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-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Grafica para N=5

eje x

eje y

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17 2-) Problemas de aplicación resueltos mediante la Transforma de Laplace. Problema #1.-) Analizar el Problema consistente en el vaciado de dos tanques en cascada, como se ilustra en la siguiente figura, para obtener su Modelo Matemático. Figura #1 Válvula de carga Valores para los Parámetros qi R1 = 1.9 Tanque 1 C = 370 cm2. h1 = 25 cm. h1 R1 válvula de descarga q1 = h1/R1 . Sección transversal c1 R2 = 1.85 Tanque 2 C = 370 cm2. h2 = 15 cm h2 R2 q2 = h2 /R2 . Sección transvarsal C2 Suposición qi = 0 Las Ecuaciones Diferenciales que modelan a este sistema son: R1 C1 (dh1/dt) + h1 = 0 ---ec(1) R2 C2 (dh2/dt) + h2 = R2 q1 = (R2 / R1 ) h1 ---- ec(2) Resolviendo analiticamente (usando Transformadas de Laplace), tenemos: Para la ec(1) ! R1 C1 S H(S) - R1 C1 h(o) + H(S) = 0 (R1 C1 S + 1 ) H(S) = 25 R1 C1 25 R1 C1 25 H(S) = = ( R1 C1 S + 1 ) ( S + (1 / R1 C1) ) Para el vaciado del Tanque 1 (independientemente de 2) 2º-) Para el Sistema de Ecuaciones Diferenciales que representa el vaciado de ambos tanques en cascada, tenemos:

Tanque 2

Tanque 1

18

18 (dh1/dt) + ( 1/R1 C1) h1 = 0 ! ( S + (1/R1 C1) ) H1(S) = 25 Para la ec(2), tenemos: (dh2/dt) + ( 1/R2 C2) h2 = (1/R1 C2) ) h1 S H2(S) - h2(o) + (1/R2 C2 ) H2(S) = (1/R1 C2) ) H1(S) ( S + (1/R2 C2 )) H2(S) - (1/R1 C2) ) H1(S) = 15 25 H1(S) = ( S + (1/ R1 C1)) (1/R1C2 )25 15 H2(S) = + (S + (1/R1C1))(S + (1/R2 C2)) (S + (1/R2 C2) Aquí, lo siguiente será aplicar descomposición en fracciones simples en el primer término del segundo miembro, ó bién el Teorema de Convolución; luego aplicar la Transformada Inversa de Laplace (para regresar al dominio del tiempo), para obtener la Solución del problema. Todo esto se le deja al lector.

19

19 Problema #2.-) Obtener la representación de Espacio de Estado (Modelo Matemático) del siguiente Sistema consistente en un "Circuito Eléctrico ". Figura #2 R1 i2 voltaje C X2 i L i1 e(t) R2 (1) (2) Se definen las Variables de Estado: X1 = i1 - i2 X2 = (1/C ) ∫ i2 dt En este Sistema, Consideramos como Variables de Estado, a la Corriente Eléctrica (X1) que fluye a través del Inductor y al Voltaje (X2) del Capacitor . Las ecuaciones diferenciales que modelan a este Circuito Eléctrico, son: L [(di1/dt) - (di2/dt)] + R1 i1 = e(t) . . .ec(1) y L (d(i2-i1)/dt) + R2 i2 + (1/C) ∫ i2 dt = 0 . . .ec(2) Ahora, obtendremos las ecuaciones en términos de las variables de estado: Como i1 = X1 + i2 ! dX1/dt = (di1/dt ) - (di2/dt ) para la ecuación (1) tenemos: L (dX1/dt) + R1 (X1 + i2 ) = e(t) ...ec(3) Sustituyendo en la ec(2) ! X2 = (1/C) ∫ i2 dt , y que (d(i2-i1)/dt) = - (dX1/dt) entonces tenemos que: X2 + R2 i2 - L (dX1/dt) = 0 ---ec(4) y como X2 = (1/C) ∫ i2 dt entonces ! dX2/dt = (1/C) i2 ---ec(5) de la ec(4) tenemos que: X2 + R2 i2 = L (dX1/dt) ...ec(6) y de la ec(3) tenemos: L (dX1/dt) = - R1 (X1 + i2 ) + e(t) ...ec(7)

20

20 de las expresiones (6) y (7) tenemos: X2 + R2 i2 + R1 (X1 + i2 ) - e(t) = 0 ; o sea X2 + R2 i2 + R1 (X1 + i2 ) = e(t) . . .ec(8) Para obtener las Ecuaciones de Estado que modelan al Sistema se debe eliminar i2; para hacer esto, aplicaremos la transformada de Laplace en las ecuaciones (3), (5) y (8), obteniendose lo siguiente: Aplicando transformada de laplace en la ec(3), tenemos: L [ S X1(S) - X1(o) ] + R1 [(X1(S) + I2(S) ] = E(S) ---ec(9) Aplicando transformada de laplace en la ec(8) tenemos: X2(S) + R2 I2(S) + R1 [(X1(S) + I2(S) ] = E(S) ---ec(10) Aplicando transformada de laplace en la ec(5) tenemos: S X2(S) - X2(o) = (1/C) I2(S) Despejando I2(S) de está última ecuación, obtenemos I2(S) = C [S X2(S) - X2(o) ] ---ec(11) Por otro lado, factorizando I2(S) de la ec(10), tenemos que: X2(S) + R1 X1(S) + I2(S) [ R1 + R2 ] = E(S) Despejando I2(S), de ésta expresión, tenemos: I2(S) = (-R1/(R1 + R2)) X1(S) + (-1/(R1 +R2)) X2(S) + (1/(R1 + R2)) E(S) . . .ec(12) Igualando las ecuaciones (11) y (12), obtenemos que: C [S X2(S) - X2(o) ] = (-R1/(R1 + R2)) X1(S) + (-1/(R1 +R2)) X2(S) + (1/(R1 + R2)) E(S) de donde de tiene que: S X2(S) - X2(o) = (-R1 / (R1 + R2)C ) X1(S) + (-1 / (R1 + R2)C ) X2(S) + (1 / (R1 + R2)C ) E(S) ...ec(13) de la ec(9) tenemos: L [ S X1(S) - X1(o) ] = E(S) - R1 X1(S) - R1 I2(S) Sustituyendo I2(S) de la ec(12), en ésta última expresión, tenemos: L [ S X1(S) - X1(o) ] = E(S) - R1 X1(S) - R1 (-R1 /(R1 + R2)) X1(S) + + (-1/(R1 + R2)) X2(S) + (1/(R1 + R2)) E(S)

21

21 Arreglando términos, obtenemos: L S X1(S) - X1(o) = E(S) 1 - (R1 / (R1 + R2) + + R1/ (R1 + R2) X2(S) + - R1 + (R1

2 / (R1 + R2)) X1(S) o también: L SX1(S) - X1(o) = E(S) R2 / (R1 + R2) + + R1 / (R1 + R2) X2(S) + - R1 R2 / (R1 + R2) X1(S) ...ec(14) o también: S X1(S) - X1(o) = E(S) R2 /L(R1 + R2) + + R1 /(R1 + R2)L X2(S) + -R1 R2 / (R1 + R2) L X1(S) ...ec(15) Ahora, aplicando transformada inversa de laplace en las ecuaciones (13) y (15), obtenemos: . X2(t) = (-R1 / (R1 + R2)C ) X1(t) + (-1 / (R1 + R2)C ) X2(t) + (1 / (R1 + R2)C ) E(t) ...ec(16) . X1(t) = (-R1R2 / (R1 + R2)L ) X1(t) + (R1 / (R1 + R2)L ) X2(t) + (R2 / (R1 + R2)L ) E(t) ...ec(17)

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22 Problema #3.-) Modelado de un SISTEMA TÉRMICO. En la siguiente figura se muestra la sección de una pieza fabricada de Pirocerámica, la cuál se encuentra perfectamente aislada por el exterior. La pieza tiene una sección transversal circular maciza con un diámetro D = aX, en donde a es una constante. Figura #3 qx T2 Aislamiento Adiabático ( T2 > T1 ) X2 T1 X1 X Se requiere obtener un Modelo Matemático para predecir la “Distribución de Temperatura” en la Pieza, suponiendo condiciones de flujo de calor unidimensional y el flujo de calor a través del cono. Suposiciones: # Condiciones de Flujo de Calor en Estado Estable. # Conducción de Calor Unidimensional (dirección eje X ). # No existe generación de Calor Interno. # Las propiedades Termofísicas son constantes e independientes de la Temperatura. Formulación del Modelo Matemático. Aplicación de Principios Físicos: Dado que el fenómeno de Conducción de Calor ocurre en condiciones de estado estable unidimensional, sin generación interna de energía, el “Flujo de Calor es constante, independientemente de X” . Luego, de acuerdo con la Ley de Fourier, se tiene que: qx = - k A ( dT / dX ) . . . ec(1), con A = π D2 / 4 = π a2 X2 / 4 . . .ec(2) Sustituyendo la ec(2) en la ec(1) y separando variables tenemos: - k dT = ( 4qx / π a2 ) ( dX / X2 ) . . .ec(3) Integrando, la expresión (3), tenemos: X T ( 4qx / π a2 ) ∫ dX / X2 ) = - k ∫ dT X1 T1 De donde se obtiene: ( 4qx / π a2 ) (- 1/ X + 1/ X1 ) = - k ( T – T1) T(x) = T1 - ( 4qx / π k a2 ) ( (1/X1) – (1 / X) ) . . .ec(4)

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23 Nótese en esta expresión que aún cuando qx es constante, es una incognita y se puede evaluar con la condición de frontera: En X = X2 ! T(X) = T2 , así que: T2 = T1 - ( 4qx / π k a2 ) ( (1/X1) – (1 / X2) ) . . .ec(5) Resolviendo para qx se obtiene: π k a2 ( T1 – T2 ) qx = . . .ec(6) 4 ( (1/X1) – (1/X2) ) Ahora, sustituyendo el valor de qx en la ec(4) se obtiene la “Distribución de Temperaturas”, dada por: (1/X) - (1/X1) T(x) = T1 + ( T1 – T2) ( (1/X1) - (1/X2) ) La representación Gráfica de la “Distribución de Temperaturas”, es la siguiente: T T2 T1(x) T(x) T1 X X1 X2 - 4 qX Notese qué, puesto que: (dT/dX) = T1(x) = de la Ley de Fourier, π k a2 X2 se observa que el Gradiente de Temperatura y el Flujo de Calor disminuyen al aumentar X. Comprobación: Consideremos los siguientes valores numéricos típicos, para la Pirocerámica a 500ºk: k = 3.46 (w / ºK mts) ; a = 0.25 X1 = 50 mm = 0.05 mts. ; X2 = 250 mm = 0.25 mts. T1 = 400 ºK ; T2 = 600 ºK, de donde tenemos que: π (0.25)2 (3.46) (400 - 600) qX = 4 ( (1/0.05) - (1/0.25) ) = - 2.12 w

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24 Puede observarse que a medida que el parámetro "a" se incrementa, la suposición de Flujo de Calor Unidimensional se torna menos apropiada; en otras palabras, a medida que el cambio de área en la sección transversal es más pronunciado con la distancia, la suposición es menos válida. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Problema #4.-) Un Fluido de densidad constante es bombeado hacia el interior de un tanque cónico cuyo volumen total es V = (1/3) π R2 H. La cantidad de fluido que sale por la parte baja del tanque es proporcional a la raiz cuadrada de la altura h de liquido en el tanque (fig. #1). Obtenga las ecuaciones que describen o modelan este sistema. 1º-) Comprender el Problema. Aquí, se trata de encontrar un modelo matemático R que nos permita determinar la Altura h de líquido en el Tanque para cualquier valor de tiempo ( t ≥ 0). A partir de una condición estable, se alimenta H Fo ft3/min por la parte superior del tanque, y se h Permite una salida F = k √h ft3/min. Se trata de un problema relacionado con la alimentación a flujo constante de un liquido de densidad fija, y la descarga del mismo, con un F = k √h ft3/min. gasto volumétrico F = A √2gh ft3/min, debido exclusivamente a la acción de la gravedad. originandose una variación del volumen de liquido Figura ilustrativa en el tanque, dependiente de la variación de altura h de liquido en el tiempo t ≥ 0. 2º-) Implementar un Plan. En este problema, se aplicarán (Marco Teórico): .- Regla de la Cadena para funciones dependientes de dos variables reales, df(x,y) = ( ∂f/∂x) dx + ( ∂f/∂y) dy .- Balance de Materia. .- Relaciones algebráicas. Se harán las siguientes suposiciones: .- Se considera que la densidad ρ del liquido es fija. .- Se considera que la Temperatura T del liquido permanece constante. .- Solo actua la fuerza de gravedad (fuerza conservativa). .- No se consideran efectos o fuerzas de fricción. 3º-) Ejecución del Plan. Aplicación de principios Físicos y Matemáticos. .- Balance de Materia: Fo - F = (dV/dt) . . . ec(1) Entrada - Salida = Variación de Volumen en el tiempo

R

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25 Como el Volumen variable de liquido es V = (1/3) π r2 h, entonces, su derivada con respecto al tiempo t es: (dV/dt) = (2/3) π r h (dr/dh) + (1/3) π r2 (dh/dt) . . .ec(2) Por otro lado, de la Geometría del Tanque Cónico, podemos establecer las siguientes relaciones: r R tgθ = = r h H H de donde: h r = (R/H) h . . .ec(3) θ θ (dr / dt) = (R/H) (dh /dt) . . .ec(4) Ahora, sustituyendo las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (2), tenemos: (dV/dt) = (2π /3) (R/H)2 h2 (dh/dt) + (π /3) (R/H)2 h2 (dh/dt) de donde se obtiene qué ! (dV/dt) = π (R/H)2 h2 (dh/dt) . . .ec(5) Esta escuación(5), representa la variación de volumen, en función de la variación del nivel (altura) de liquido en el tanque. Sustituyendo la ec(5) en la ec(1) del balance de materia, tenemos: Fo - F = π (R/H)2 h2 (dh/dt) Como F = A √2g √h ft3/min = k √h ft3/min, entonces Fo - k √h = π (R/H)2 h2 (dh/dt) De donde, finalmente obtenemos: dh Fo H2 k H2 = h-2 - h-3/2 . . .ec(*) dt π R2 πR2 o simplemente: (dh/dt) = A1 h-2 - A2 h-3/2 . . ec(*) en donde A1 = (Fo H2 / π R2 ) y A2 = ( k H2 / π R2 ) La ecuación (*) nos proporciona la variación en el tiempo, del nivel de liquido en el tanque cónico, en función de la altura de dicho liquido. Este modelo, es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de primer orden, no lineal.

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26 Por lo tanto, las Ecuaciones de Estado que modelan este Problema son: (dV/dt) = π (R/H)2 h2 (dh/dt) Sistema de EDO que modelan al Problema. (dh/dt) = A1 h-2 - A2 h-3/2 en donde A1 = (Fo H2 / π R2 ) y A2 = ( k H2 / π R2 ) Así, para este problema, se tiene qué: Las Variables de Estado son: h Las Variables de Salida son: V, r h Constantes: π, T, ρ Nota: las Variables de Estado de un Sistema, está formado por el mínimo número de variables requeridas para representar o modelar al Sistema Dinámico en estudio. Aunque en este Problema sólo se pedía determinar el modelo matemático, es claro que una vez obtenido éste, lo siguiente es resolverlo. Así, sólo falta determinar la(s) solución (es) para el modelo matemático del problema; esto es, resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, lo que no es tarea sencilla como veremos a continuación. Resolución del Modelo Matemático: Integraremos la ecuación(*) h t dh (A1 h-2 - A2 h-3/2) = dt 0 0 Realizando el siguiente cambio de variable X = √h ! X2 = h ! 2X dX = dh Obtenemos: 2 X5 dX = t (A1 + A2 X) Realizando la integración del miembro de la izquierda, tenemos: t = C1 X5 + C2 X4 + C3 X3 + C4 X2 + C5 X + C6 Ln(A1 + A2 X) en donde C1 = 2/5 A2 ; C2 = - A1/2A2

2 ; C3 = 2A12/3A2

3 ; C4 = -A13/A2

4 C5 = 2 A1

4/ A25 ; C6 = - 2A1

5/A26 ;

Regresando a la variable original (h ! nivel o altura de liquido), tenemos: _ _ t = C1 h5/2 + C2 h2 + C3 h3/2 + C4 h + C5 √h + C6 Ln(A1 + A2√h)

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27 Como podemos observar, la primitiva (solución de la integral) de la ecuación de estado(*), que relaciona la altura o nivel de liquido en el tanque en función del tiempo, es una expresión dificil de trabajar algebráicamente; por lo cuál, es más recomendable utilizar métodos numéricos para determinar diferentes valores de h para diferentes instantes de tiempo t ≥ 0. __________________________________________________________________________________________ Problema #5.-) Estudio de un Problema de Transferencia de Calor en un recipiente doméstico. Un fabricante de recipientes para enfriar refrescos y bebidas requiere probar la eficiencia de los mismos, colocando dentro del recipiente una cierta cantidad de hielo a una temperatura conocida. El recipiente en el interior tiene una forma aproximada de un cubo con un ancho conocido. Las paredes del recipiente tienen un espesor conocido y constante, y se conoce la constante de conductividad térmica del material de las paredes. En el lugar de prueba, la temperatura del medio ambiente que rodea al recipiente, es conocida y se mantiene constante. Se requiere determinar el tiempo t que tarda en fundirse en su totalidad el hielo contenido dentro del recipiente. Establecimiento del Problema: Se requiere el tiempo t que tarda en fundirse en su totalidad una cantidad M de hielo a una temperatura To = 0 ºC, colocado en el interior de un recipiente que tiene una forma interior aproximada de un cubo con un ancho W en sus caras, un espesor de pared L y el material del recipiente tiene un coeficiente de conductividad rérmica K. En el instante inicial de prueba, la superficie exterior del recipiente tiene una temperatura T1>To (como de ilustra en la siguiente figura a y b). K T1 A A Een ΔEalm Figura a Figura b Sección A-A L Definición del Problema: Desarrollar un modelo matemático para determinar el tiempo que tarda en fundirse totalmente una cantidad conocida de hielo dentro del recipiente de forma geométrica conocida (figura b). Problema - Encontrar una relación entre: M ! Cantidad de hielo. To ! Temperatura inicial del hielo. T1 ! Temperatura de la pared exterior del recipiente. W ! Ancho de la pared del recipiente. L ! Espesor de la pared del recipiente. hsf ! Calor latente de fusión del agua. K ! Coeficiente de conductividad térmica. En este Problema, la variable de interés es el tiempo t que tarda en fundirse el hielo. Formulación del modelo matemático. Este es un Problema relacionado con el Flujo de Calor por Conducción a través de una pared.

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28 * Balance de Energía Se aplican * Flujo de Calor por Conducción (ley de Fourier) Suposiciones: 1.- Se considera que la temperatura de la pared interior del recipiente se mantiene uniforma durante todo el proceso (To). 2.- Se considera que las propiedades termofísicas del material del recipiente son constantes e independientes de la temperatura. 3.- Se considera que el fenómeno de Conducción de Calor es unidimensional a través de cada pared del recipiente. 4.- Se considera que el área de conducción en cada pared se puede aproximar al valor W2 (dado que L <<< W ). Aplicación de Principios Físicos: Aplicando la ecuación de Balance de Energía sobre un intervalo de tiempo Δt = tM sobre el volumen de control, se tiene que: Eentrada = ΔEalmacenada . . .ec(1) Energía que entra = Energía almacenada (en este caso no hay Energía de salida) Puesto que el Gradiente más alla de las fronteras del volumen de control se mantiene constante en un valor (T1 - To), durante todo el proceso de fusión del hielo, entonces la tasa de conducción de del calor en las paredes es constante: Qconducción = K (6 W2) (T1 - To) / L . . .ec(2) En cuyo caso la cantidad de Energía de entrada al sistema es Eentrada = K (6 W2) (T1 - To) tM / L . . .ec(3) El incremento en la Energía almacenada dentro del volumen de control se debe unicamente al cambio de Energía latente asociada con el cambio de fase del hielo, la cual queda determinada por el calor latente de fusión del agua hsf. Por lo tanto, la Energía almacenada es: Ealm = M hsf . . .ec(4) Sustituyendo las expresiones (3) y (4) en la (1) se obtiene finalmente: tM = (M hsf L) / (6 K W2) (T1 - To) . . .ec(5) Comprobación (Análisis del Modelo): Se puede observar que el modelo propuesto es muy simplificado y es bastante probable que si se le confronta con la realidad se tengan margenes de error apreciables, dado que no se tomaron en cuenta algunos efectos; por ejemplo, si el hielo estubiese inicialmente sub_enfriado en cuyo caso al termino que corresponde a la Energía almacenada habría que añadirle la variación de Energía sensible (Energía térmica interna) requerida para llevar al pedazo de hielo desde su condición de sub_enfriamiento hasta la dada por el punto de fusión. Durante este proceso existen gradientes de temperatura en la masa de hielo.

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29 Problema #6.-) Sistema de Transmisión de Potencia de un Barco se basa en una máquina diesel, conectada a un sistema aclopador hidráulico de velocidad, a un arbol de transmisión de potencia y finalmente a la propela del barco. En la figura siguiente se ilustra de manera esquemática, un sistema propulsor típico de un barco. Sistema de aclopamiento hidráulico Propela Figura ilustratíva de un Sistema propulsor de un barco. Se requiere desarrollar un modelo matemático para el sistema propulsor de un barco, con el objeto de relacionar el Par de Torsión en el arbol motriz TR con el Par de Torsión en la entrada TE y en la salida TW. Problema - Encontrar una relación entre: TR ! Par de Torsión en el arbol motriz. TE ! Par de Torsión de entrada (motor diesel). TR ! Par de Torsión de salida (propela). Suposiciones: 1- La fricción es despreciable en los rodamientos. 2- La inercia de los volantes y masas giratorias es despreciable. 3- El volante del motor es de inercia con amortiguamiento. Desarrollo: Aclopamiento Motor Diesel - Reductor de velocidad MG JE Ma Ω1. TE TC. Mc Ts (MR) Qs Aplicación de Principios Físicos: 1- Equilibrio en el Par de Torsión ! Ts = TE . . .ec(1) 2- 2ª Ley de Newton para el Movimiento de Rotación (MR): (dΩ1g /dt) = (TE - TC) / JE . . .ec(2) Para el Sistema de Aclopamiento Hidráulico, tenemos: Ω1 Ω2. TC TC.

Motor Diesel

30

30 TC = MC (Ω1g

2 - Ω2g

2 ) . . .ec(3)

Aclopamiento entre el Cople Hidráulico y el Arbol Motriz: TC = TK . . .ec(4) Para el Arbol Motriz (considerandolo como un resorte ideal, con fricción e inercia despreciable), tenemos: Ω2 Ω3. TK TK. K (dTK /dt) = K (Ω2g - Ω3g ) . . .ec(5) Para la Propela (inercia ideal, fricción despreciable) tenemos: Ω3 JP TK TW (dΩ3g /dt) = (TK - TW) / JP . . .ec(6) Las ecuaciones 2, 3, 4, 5 y 6 forman un sistema de 5-ecuaciones con 5-incógnitas (Ω1g , Ω2g , TC , TK , Ω3g ). Notese que si la fricción no fuese despreciable, entonces se requiere añadir amortiguadores adicionales en los puntos fijos a tierra. De la ecuación (3) obtenemos ! Ω2g

2 = Ω1g

2 - (TC / MC ) o bien,

Ω2g = ± { Ω1g2

- (TC /MC)}1/2 ...ec(7) Combinando las ecuaciones 2 y 4 se tiene: (dΩ1g /dt) = (TE - TK) / JE ...ec(8) Combinando las ecuaciones 4, 5 y 7, tenemos: (dTK /dt) = K { ± [ Ω1g

2 - (TC /MC)]1/2 - Ω3g } . . .ec(9)

Finalmente, las ecuaciones 6, 8 y 9 forman un conjunto de 3-ecuaciones diferenciales que definen el modelo matemático requerido; es decir,

(dΩ3g /dt) = (TK - TW) / JP

(dΩ1g /dt) = (TE - TK) / JE .

(dTK /dt) = K { ± [ Ω1g2

- (TC /MC)]1/2 - Ω3g } .

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31 Nota- Debido al comportamiento no-líneal, presente en el Acoplamiento Hidráulico, no es posible combinar las ecuaciones anteriores algebraicamente para obtener una sola ecuación gobernante del sistema físico; sin embargo, el sistema de ecuaciones diferenciales, se puede integrar numéricamente con la ayuda de un programa de computadora. __________________________________________________________________________________________ Problema # 7.-) Estudio de un Problema de Transferencia de Calor en un Cable Conductor. Una compañía de generación y transmisión de energía eléctrica, requiere hacer un estudio para determinar la variación de temperatura que sufren los cables conductores cuando fluye la corriente eléctrica, con el objeto de poder determinar su vida útil, dadas las condiciones de termofluencia localizada en los mismos. Establecimiento del Problema: Se quiere hacer la evaluación de la variación de temperatura (T) que sufre un cable conductor de diámetro conocido (D), el cuál tiene una resistencia específica por unidad de longitud (RE) y se encuentra inicialmente en equilibrio térmico con el aire que lo rodea y con sus alrededores; dicho equilibrio, se perturba cuando una corriente eléctrica de magnitud (I) fluye por el cable (la siguiente figura ilustra este problema). ... H T∞ ... Aire ... ε , σ ... . T ... Es Tar ... ... Eg ... I D ... Ea ... ρ Cp __ ... L Figura ilustrativa, correspondiente al problema #7. Definición del Problema: Desarrollar un modelo matemático para determinar la variación de temperatura en el tiempo, que sufre un cable conductor cuando a partir de una condición estable, se hace circular a través de él, una corriente eléctrica. Problema: Encontrar una Relación entre: Tar Temperatura de los alrededores. T∞ Temperatura del aire ambiente. T Temperatura del Cable. I Intensidad de la Corriente eléctrica. D Diámetro del Cable. RE Resistencia por unidad de longitud del Cable. ρ Densidad del material del Cable. CP Capacidad Calorífica del material del Cable. ε Coeficiente de Emisividad Térmica. σ Constante de Stefan-Boltzmann. H Entalpia (Energía útil) del Aire ambiente.

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32 Formulación del Modelo Matemático: Este es un Problema relacionado con el calentamiento que sufre una varilla metálica conductora, cuando existe un flujo de Energía Eléctrica en estado transitorio a través de una varilla de diámetro conocido. (Marco Teórico) Se aplican:

• Balance de Energía. • Flujo de Calor por Convección (Ley de Enfriamiento de Newton). • Flujo de Calor por Radiación (Ley de Stefan-Botzmann).

Suposiciones: 1- Se considera que la Temperatura de la varilla es uniforme en cualquier instante de tiempo. 2- Se consideran constantes las propiedades Termo-Mecánicas-Eléctricas del material de la varilla. 3- Se considera que la Radiación entre la superficie exterior de la varilla y sus alrededores, es similar a la que ocurre entre una pequeña superficie y una superficie grande que la cubre. Aplicación de Principios Físicos: * Aplicando la ecuación de Balance de Energía instantánea al Volumen de Control de longitud L, definido alrededor de la varilla, se tiene: . . . Eg - ES = Ea . . .ec(1) * La Energía generada (Eg) se debe al calentamiento provocado por una Resistencia Eléctrica, entonces: . Eg = (dEg/dt) = I2 RE L . . .ec(2) * La Energía de Salida (ES) se debe al fenómeno combinado de transferencia de Calor por Convección y Radiación, es decir: . Es = (dEs/dt) = H (π D L) (T - T∞) + ε σ (π D L) ( T4 - Tar

4) . . .ec(3) La variación de la Energía almacenada (Ea) en la varilla se debe a su variación de temperatura, entonces: . Ea = (dEa/dt) = ρ V Cp (dT/dt) . . .ec(4) . El término Ea = (dEa/dt) se asocia con la tasa de variación de la Energía Térmica interna de la varilla, donde V = (π D2 L)/4, y la ec(4) queda entonces como: . Ea = (dEa/dt) = ρ Cp ( πD2 L/4) (dT/dt) . . .ec(5) Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (5) en la ec(1), se obtiene: I2 RE L - {H (π D L) (T - T∞) + ε σ (π D L) ( T4 - Tar

4)} = ρ Cp ( πD2 L/4) (dT/dt) Por lo tanto, tenemos:

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33 dT I2 RE - (πDH) (T-T∞) - (ε σ πD) ( T4 - Tar

4) = . . .ec(6) dt ρ Cp ( πD2 / 4) Análisis y/o Verificación de Resultados: La ecuación (6) se puede Resolver mediante algún Método (Algorítmo) de Integración Numérica, para determinar la dependencia de la Temperatura (T) de la varilla con el tiempo. La condición de "Estado Estable", eventualmente, se alcanza cuando: (dT/dt) = 0; entonces la Temperatura de la varilla queda dada por la ecuación algebráica siguiente: I2 RE = (πDH)(T - T∞) + (ε σ πD) ( T4 - Tar

4 ) ___________________________________________________________________ Problema # 8.-) Estudio de un Sistema Electromecánico ó Servomotor de Corriente Directa (SMCD). Un Servomotor, es un mecanismo auxiliar que accionado por una fuerza de baja magnitud, la amplifica hasta el valor requerido para hacer funcionar un aparato o maquinaria (a veces a distancia). Para controlar el movimiento o velocidad de un SMCD, se puede tener control en la corriente eléctrica de campo o armadura. Las constantes de tiempo de un controlador de campo del Servomotor, generalmente son grandes, si se les compara con las constantes de tiempo de un Servomotor de corriente directa con control de armadura. Asimismo, es frecuente que el SMCD se accione por medio de un controlador electrónico de movimiento, también llamado Servocontrol, tal como una combinación de motor-propulsor. Existen diferentes tipos de Servocontroladores, la mayoria están diseñados para el control de velocidad de los SMCD. Los Servocontroladores operan de varios modos, algunas de sus principales características son:

• Posicionamiento de punto a punto, • Escalonamiento de velocidad y • Valores de aceleración programados.

Los Sistemas de Control que se usan con frecuencia en Robots, para el control de los SMCD son controladores electrónicos de movimiento que usan un propulsor del tipo pulso- amplitud-modulada. También se usan en sistemas de control numérico y otros sistemas de control, ya sea de posición y/o velocidad. Establecimiento del Problema: Se quiere determinar el modelo matemático que representa o regula el funcionamiento de un SMCD; esto es, de acuerdo con la siguiente figura #5 que representa a un SMCD, se desea determinar las ecuaciones que relacionan a las siguientes variables y parámetros: Ra Resistencia de la armadura (en Ω ! ohms). La Inductancia de la armadura (en H ! Henrryos). Ia Corriente de la armadura (en A ! Amperios). If Corriente de Campo (en A ! Amperios). Va Voltaje aplicado a la armadura (en Volts). Vb Voltaje contraelectromotríz (en Volts). θ Desplazamiento angular del arbol motríz (en Radianes). Figura ilustrativa:

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34 Ra La θ b Ia Va Vb If = cte. Figura #5- figura representativa de un SMCD. T Par desarrollado por el Motor (en Newton-mt). J Momento de Inercia equivalente del Motor y la carga en el arbol motríz (Kg-mt2). b Coeficiente equivalente de fricción viscosa del motor y la carga en el arbol motriz (en Newton-Mt / Rad/seg ). Formulación del Modelo Matemático: La densidad de flujo en el entrehierro es proporcional a la corriente de campo: ϕ = Kf If ...ec(1), en donde Kf es una constante. El Par desarrollado por el Motor, es proporcional al producto de la corriente en la armadura y a la densidad de flujo en el entrehierro; es decir, T = K1 ϕ Ia = K1 Kf If Ia ...ec(2), en donde K1 es una constante. Nótese que para una corriente de campo constante, la densidad de flujo también es constante y entonces el Par es directamente proporcional a la corriente en la armadura; así, se tiene qué: T = K Ia ...ec(3), en donde K= K1 Kf If = una constante. Cuando la armadura está girando, se induce un voltaje que es proporcional al producto de la densidad de flujo y la velocidad angular en la misma. Cuando la densidad de flujo es constante, el voltaje inducido es directamente proporcional a la velocidad angular; esto se expresa como: Vb = Kb (dθ /dt) ...ec(4), en donde Kb es la constante de voltaje contraelectromotríz. La velocidad de un SMCD con control por armadura, queda controlada por el voltaje en la armadura. De la ecuación de Kirchoff del voltaje, se tiene: La (dIa/dt) + Ra Ia + (Vb - Va ) = 0 ...ec(5) una EDO de primer orden. Finalmente, la corriente eléctrica en la armadura produce el Par requerido para vencer la inercia y las fuerzas de fricción, por lo tanto: J (dθ2/dt2) + b (dθ /dt) = T = K Ia ec(6) una EDO de segundo orden.

T J

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35 Así, el sistema de ecuaciones siguiente(*), sistema de EDO, modela al SMCD. La (dIa/dt) + Ra Ia + (Vb - Va ) = 0 (*) J (dθ2/dt2) + b (dθ /dt) = K Ia Nota- Debido al comportamiento líneal, es posible combinar las ecuaciones anteriores algebraicamente para obtener una sola ecuación gobernante del sistema físico; sin embargo, su Resolución no es nada simple. También, el sistema de ecuaciones diferenciales(*), se puede integrar numéricamente con la ayuda de un programa de computadora.

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36 Problema # 9.-) Estudio de un Sistema Detector de Metales en Movimiento. Como parte de un Sistema detector de metal en movimiento dentro de una industria de acero, se cuenta con un circuito electrónico basado en un inductor variable conectado en serie con una fuente de voltaje y una resistencia fija. En la siguiente figura#6, se muestra el diagrama aproximado del circuito. Planteamiento del Problema: Se requiere desarrollar un modelo matemático que relacione la diferencia de potencial en la resistencia fija con la inductancia variable. Obtener un modelo matemático para el Sistema Detector de Metales (SDM) en movimiento. Problema: encontrar una relación entre: Eo Diferencia de Potencial en la resistencia. L(t) Inductancia (como función de tiempo). Vs Voltaje de la fuente (fija). R Resistencia Fija. IL 2 + 1 + L(t) Vs R Eo - (g) Figura representativa de un SDM. Suposiciones: Vs Voltaje de la fuente (fija) R Resistencia Fija. Aplicando la Ley de Kirchoff para el Voltaje, tenemos: V12 = Vs - R IL ec(1) Para el Inductor variable se tiene: λ12 = L(t) IL; en donde λ12 es flujo de enlace, y como V12 = (dλ12 /dt) entonces, tenemos qué: V12 = L(t) (dIL/dt) + IL (dL/dt) ...ec(2) Sustituyendo la ec(2) en la ec(1), tenemos: VS - R IL - L(t) (dIL/dt) + IL (dL/dt) = 0 ...ec(3) Emplendo pequeñas perturbaciones (Δ), para todas las variables, se tiene:

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37 ΔVS - R IL - L(t) (dIL/dt) + IL (dL/dt) = 0 ...ec(3) Puesto que Vs es constante, ΔVs = 0; y haciendo IL = I, obteniemos la siguiente expresión: L (dI /dt) + R I = - I (dL/dt) ...ec(4) Por otro lado, como V2g = R I ! I = V2g / R ...ec(5) Sustituyendo la ec(5) en la ec(4), tenemos: (L/R) (dV2g /dt) + V2g = - I (dL/dt) ...ec(6), y puesto que V2g = Eo entonces, finalmente, se obtiene el modelo matemático para el Sistema Detector de Metales (SDM) en movimiento: (L/R) (dEo /dt) + Eo = - I (dL/dt) ____________________________________________________________________________________

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38 Problema #10.-) Problema del BRAQUISTOCRONO (Bernoulli). Suponga que se une por medio de un alambre recto, un punto A con otro punto B inferior, como se ilustra en la siguiente figura (fig.#1), y se deja que se deslice una cuenta por el alambre, sin fricción, de A a B. Asimismo, se puede tomar en consideración el caso en el que el alambre se dobla en un arco de círculo, de tal modo, que el movimiento de la cuenta sea igual al del peso descendente de un péndulo. ¿Para qué descenso se necesita más tiempo, para el que sigue la trayectoria recta ó para el que sigue la trayectoria circular?. A Figura #1 Trayectotia recta Trayectoria circular B Galileo creia que la cuenta descenderia con mayor rapidéz a lo largo de la trayectoria circular y es probable que la mayoria de las personas estarian de acuerdo con él. Muchos años después, Johann Bernoulli (en 1696) planteó un problema más general. Se imaginó que el alambre estaba doblado en la forma de una curva arbitraria y pregunto ¿qué curva, de entre las infinitas que son posibles, proporcionaría el tiempo más breve posible de descenso?. Esta curva se conoce como Braquistocrono (de la palabra griega Brachistos que significa el más corto, y cronos = tiempo). La solución que le dio Bernoulli a este problema, fue la siguiente: Tomó en consideración un problema de óptica aparentemente sin relación. En la siguiente figura (fig. #2) se ilustra una situación en la que un rayo de luz se desplaza de un punto A a otro punto B inferior, con una velocidad V1; y a continuación, al entrar a un medio más denso, de un punto P al B, se desplaza con una velocidad menor V2. A V1 figura #2 a φ1 C - X p X

V2 b φ2 C B En términos de la notación de la figura #2, el tiempo total T que se requiere para el desplazamiento está dado por: T = [( a2 + X2 )1/2 ] / V1 + [ b2 + (C - X)2 ]1/2 / V2 ...ec(1)

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39 Si suponemos que ese rayo de luz puede seleccionar su trayectoria de A a B, de tal modo que se reduzca al mínimo dicho tiempo T, encontrar entonces dT/dX = 0 para tal efecto, derivando la ecuación (1) e igualando a cero obtenemos: X (C - X) = ...ec(2) V1 √ a2 + X2 V2 √ b2 + (C - X)2 Pero, de la figura #2, tenemos: X Senφ1 = , y análogamente se tiene: √ a2 + X2 (C - X) Senφ2 = √ b2 + (C - X)2 Sustituyendo en la ecuación (2), obtenemos: Senφ1 Senφ2 = ec(3) V1 V2 La ec(3) se conoce como la "Ley de Refracción de Snell", que se describió originalmente de manera experimental, en la forma menos clara de que: Senφ1 _ CONSTANTE. Senφ2 La suposición de que la Luz va de un punto a otro, siguiendo la trayectoria que requiere el menor tiempo, se conoce como "Principio de menor tiempo de Fermat". Este principio no sólo proporciona una base racional para la Ley de Snell, sino que se puede aplicar también, para encontrar la trayectoria de un rayo de luz moviendose a través de un medio de densidad variable, donde en general, la Luz se desplazará en curvas, en lugar de lineas rectas. En la siguiente figura (fig. #3) se tiene un medio óptico estratificado. En las capas individuales, la velocidad de la Luz es constante; pero la velocidad disminuye de capa a capa. Figura #3 V1 φ1 V2 φ2 V3 φ3 Conforme el rayo descendente de Luz pasa de unas capas a otras, se refracta cada vez más hacia la vertical, y cuando se aplica la Ley de Snell a las fronteras entre las capas, se obtiene que: Senφ1 Senφ2 Senφ3 Senφ4 = = = = . . . V1 V2 V3 V4

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40 Si a continuación, se deja que esas capas se hagan más delgadas y numerosas, entonces, en el límite, la velocidad de la Luz disminuye continuamente, conforme desciende el rayo y se llega a la conclusión de que (Senφ / V) = Cte. Esta situación se ilustra en la figura siguiente (fig. #4), y representa, aproximadamente, lo que le ocurre a un rayo de Luz solar que incide sobre la tierra, conforme se desacelera al descender a través de una atmósfera de densidad creciente. Atmósfera φ Figura #4 (Senφ / V) = Cte. Tierra Volviendo al Problema del Braquistocrono de Bernoulli, se introduce un sistema de coordenadas como el que aparece en la siguiente figura (fig. #5), y se supone que la cuenta (como el Rayo de Luz) puede escoger la trayectoria por la que pueda descender de A a B en el menor tiempo posible. El argumento indicado antes (Senφ / V) = Cte, por el principio A de conservación de la Energía, la velocidad alcanzada por la cuenta en un nivel dado, se determina exclusivamente por su pérdida de Energía Potencial al llegar a ese nivel, y Y no en absoluto, por la trayectoria que siguió ó que la condujo allí. p β Figura #5 φ B Así, tendremos que como Ecinética = Epotencial ! (1/2) mV2 = m g Y, de donde V = √ 2 g Y de la geometría de la figura #5, tenemos qué: Sen φ = Cosβ = (1/Secβ) 1 Senφ = , sustituyendo V y Senφ en (Senφ / V) = C (constante), √ 1 + (Tgβ)2 y dado que Tgβ = (dY/dX), entonces se obtiene la siguiente EDO: Y [ 1 + (dY/dX)2 ] = K ...ec(4), en donde K = (1 / 2 g C ). Esta Ecuación (4), es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), la cuál se conoce como la Ecuación o Modelo del Braquistocrono. Resolviendo dicha ec(4) obtendremos la Curva que realmente corresponde al Braquistocrono. Ahora, resolveremos este modelo:

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41 Y [ 1 + (dY/dX)2 ] = K ! (dY/dX) = [( K - Y) / Y]1/2 integrando se tiene: Y1/2 dY = dX + C1 (K - Y)1/2 Haciendo [Y / (K -Y)]1/2 = Tgθ , lo que implica ! [Y / (K -Y)] = Tg2θ , y también ! Y = K Sen2θ ! dY = 2 K Senθ Cosθ dθ sustituyendo en el integral, tenemos: 2 K Tgθ Senθ Cosθ dθ = X + C1 ! 2K Sen2θ dθ = X + C1 de donde se obtiene: X = (K/2) (2θ - Sen2θ ) + C1 . La curva tiene que pasar por el origen, de este modo se tiene que X = Y = 0 cuando θ = 0, y por ende, C1 = 0, de donde: X = (K/2) (2θ - Sen2θ ) y como Y = K Sen2θ ! Y = (K/2) ( 1 - Cos2θ ) Haciendo a = (K/2), y ϕ = 2θ , tendremos: X = a ( ϕ - Senϕ ) Estas son las ecuaciones paramétricas estándares de la Y = a ( 1 - Cosϕ ) CICLOIDE (figura #6). Nota.- En Coordenadas Rectangulares, tenemos que el vector velocidad instantanea V(t) estará dado por: V(t) = X'(t) i + Y'(t) j ó bién, en notación más compacta ! V(t) = ( a (1 - cos t) , a sen t), el cual determina la línea tangente a la cicloide en P. Note que este resultado es el mismo que el obtenido a través de la derivación del vector posición: r(t) = (a (t - sen t), a(1 - cos t)). Desde un punto de vista moderno, esta última observación es la que verifica (en este ejemplo al menos) la validez del proceso de combinar vectores de velocidad instantánea por la suma del paralelogramo. w V(t) = ( a (1 - cos t) , a sen t) P u i r(t) j

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42 T(X0 , 0) Figura #6. La Cicloide es la trayectoria del punto P sobre un círculo.

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43 Problema #11.-) Dentro de una compañía empacadora y procesadora de alimentos perecederos, se presentó el siguiente problema: ¿Cómo separar en grandes cantidades los Tomates verdes de los ya maduros, de manera rápida, económica, confiable y automática? Los cultivadores de la región han encontrado que les resulta más económico cosechar sus "Huertas", por medio de máquinas que arrancan la planta completa (hojas, tallo, raíz, tomates, etc), para luego separar por medio de Tolvas los Tomates verdes y semi-maduros del resto de la planta. Existen, por supuesto, muchas ideas acerca de la manera en que puede llevarse a cabo la separación de los Tomates, como por ejemplo:

• Por el Color del Tomate. • Aprovechando la propiedad de Emisividad-Reflectividad de la superficie del Tomate. • Por la Dureza relativa del Tomate. • Por el Tamaño del Tomate. • Por el Peso del Tomate. • Midiendo la Conductividad eléctrica del Tomate. • Por el Volumen específico del Tomate. • Por su Flotabilidad en el agua ú otro medio. • Usando "Rayos X" para determinar el tamaño de las semillas. • Midiendo la Conductividad Térmica del Tomate. • Por su Capacidad Calorífica específica. • Usando Números aleatorios (Randoms Numbers).

Establecimiento del Problema: Se quiere hacer la Evaluación de una idea que al parecer puede tener éxito; la idea consiste en separar los tomates verdes de los ya maduros o semi-maduros, aprovechando su propiedad de "Flotabilidad en el agua". Una prueba experimental sencilla, demuestra que los tomates verdes flotan en el agua, en cambio los maduros y semi-maduros tienden a depositarse en el fondo de un tanque con agua; por ello, se requiere determinar el tiempo que tarda un tomate verde en emerger a la superficie del tanque cuando se le suelta desde una profundidad conocida. Figura que ilustra el problema de separación de los Tomates verdes de los maduros. Tanque con Agua Tomates verdes Tomates semi-maduros Tomates maduros Definición del Problema: Se requiere determinar el tiempo que tarda en llegar a la superficie de un tanque con agua, un tomate de aproximadamente 134 gramos de peso, con un volumen de 142 cm3, si se suelta desde una profundidad de 60 cm en un gran tanque conteniendo agua común.

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44 Problema - Encontrar una Relación entre: PT ! Peso específico del Tomate. PW ! Peso específico del Agua. Ho Do ! Diametro del Tomate. Ho ! Profundidad. PT Formulación del Modelo Matemático: Este es un Problema relacionado con el flujo lento de un fluido incompresible, moviendose alrededor de un objeto sumergido en agua, que tiene un eje o un plano de simetría paralelo a la velocidad de aproximación del medio líquido. Marco Teórico - se aplican:

• Ecuaciones para la cantidad de movimiento • Coeficiente de Resistencia

Suposiciones: .- Se considera que la forma geométrica del Tomate es una esfera de radio uniforme. .- Se considera que la densidad del Tomate es constante, se desprecian los efectos de la Presión y de la Temperatura. Aplicación de Principios Fisicos: Haciendo un diagrama de cuerpo libre de la esfera y aplicando la segunda ley de Newton, se tiene: FB ∑ F = m a ...ec(1) FD FB - FW - FD = mT a ...ec(2) Do FW. En donde: FB Fuerza de Empuje del Agua. ! FB = PW VT g PW Densidad del Agua. VT Volumen del Tomate. g Aceleración local de la gravedad. FW Peso del Tomate. ! FW = PT VT g PT Densidad del Tomate. FD Fuerza de arrastre del fluido. ! FD = CD PW V2 A /2 CD Coeficiente de arrastre del fluido. V Velocidad del Tomate. A Sección transversal de una esfera. A = π Do / 4 Do Diametro de la esfera.

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45 Sustituyendo estas expresiones en la ec(2), tenemos: PW VT g - PT VT g - CD PW V2 A /2 = PT VT a ...ec(3) De esta ecuación (3), se obtiene: (PW - PT ) g A CD PW V2 a = - ...ec(4) PT 2PT VT Pero como a = (d2Y/dt2), y haciendo K1 = [(PW /PT) - 1] g y K2 = (πPW CD)/4Do Entonces, la ecuación (4) queda: (dY2/dt2) = K1 - K2 V2 ...ec(5) La ecuación (5), es una EDO que representa o modela el Problema analizado. Verificación de Resultados: Para llevar a cabo una verificación del modelo resultante, se requiere hacer alguna suposición adicional, por ejemplo: 1º Caso: Suponer que la fuerza de arrastre es poco significativa, en cuyo caso a partir de la ec(5) se determina el valor de la aceleración: (dY2/dt2) = a = [ (PW /PT) - 1 ] g = [(1000/961.2) - 1 ] x 9.81 = 0.396 Mts/seg2. Si la aceleración es constante y Ho = 0.6 Mts, entonces, el tiempo que tarda el Tomate en subir a la superficie del tanque es: t = [2 Ho / a ]1/2 = [2(0.60)/0.396]1/2 = 1.74 seg. Hace falta, sin embargo, determinar si la fuerza de arrastre es verdaderamente poco significativa; para ello, es necesario evaluar su magnitud. Con el valor de tiempo ya detrminado, calculamos la velocidad promedio del Tomate: Vprom = ( Ho / t ) = (0.6 / 1.74 ) = 0.3448 mts/seg. Ahora, se evalua el Número de Reynolds: RE = D V ρ / µ = (0.3448)(0.065)(756.58) / (6.222x10-5) = 35800 Con este valor se determina el coeficiente de arrastre en la esfera: CD = 0.50

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46 De la curva tomada de C.E. Lapple "Dust and Mist Collections, Chemical's Enginnering Handbook". J.H. Perry. Mc-Graw-Hill, New York. Su forma aproximada es la siguiente: 104 103 Factor de Fricción ó 102 Coeficiente de arrastre 10 ley de Stokes ley intermedia ley de Newton 5 2 1 0.5 0.1 10 102 103 3.6x104 105. Número de Reynolds RE = D V ρ / µ Por lo tanto, el valor promedio para la fuerza de arrastre es: FD = CD (PW V2 A)/2 = (0.5){756.58*0.3448* π* (0.0646)2 }/(2*4) = 0.0098 Kg. Ahora, la Fuerza Neta debida al empuje del agua y el Peso del Tomate es: FNeta = g (PW - PT) VT = (9.81){(1000 - 961.2)/9.80665}(142x10-6) = 0.00551 Kg. Al comparar la fuerza promedio de arrastre y la fuerza neta debida al empuje del agua y el peso del Tomate, se puede observar que la Fuerza de arrastre de ninguna manera puede ser despreciada, por lo tanto se tendrá que hacer una suposición distinta. 2º Caso: La experiencia demuestra que una partícula que se desplaza con movimiento, ya sea hacia arriba o hacia abajo dentro de un fluido, alcanza su velocidad final muy rapidamente y luego se sigue moviendo con velocidad constante; ello significa, que la mayor parte del trayecto lo efectua con velocidad constante (es decir, con aceleración nula a = 0), luego entonces, la ecuación de movimiento para este caso queda como: La ecuación (4), queda como: (PW - PT ) g A CD PW V2 0 = ...ec(4) PT 2PT VT ó también: [(PW /PT) - 1 ] g = ( πPW V2 CD)/4Do PT. Suponiendo un valor para el coeficiente de arrastre CD = 0.45, se obtiene una velocidad de V=0.27 mts/seg. El Número de Reynolds para este valor de velocidad es de 2.8x104, de la gráfica del coeficiente de arrastre Vs Número de Reynolds se observa que corresponde a 0.45, luego entonces éste es el valor correcto. Con este valor de velocidad se puede determinar el tiempo necesario para que el Tomate llegue a la superficie del tanque; esto es, t = [ Ho / V ] = (0.60/0.27) = 2.22 seg.

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47 En la práctica, se há comprobado de manera experimental, que dicho valor de tiempo es correcto. Problema # 12.-) Una Varilla de sección transversal constante, compuesta, homogénea, de longitud L, y que tiene una fuente de generación interna de calor que puede ser una función de la posición (Y), tiene temperatura conocidas en sus extremos. Se pretende determinar la expresión o modelo matemático que permita calcular la temperatura en función de la posición, considerando que la superficie lateral está aislada y que la transferncia de calor es unidireccional en estado estacionario. Variables de estado: Y Posición. T Temperatura. Q Calor transferido por unidad de área. Variables de entrada: Y Variables de Salida: T, Q. Parámetros: K Conductividad Térmica de la Varilla. A Área de la sección transversal. L Longitud de la Varilla. S Calor generado por unidad de longitud. Consideraciones (Suposiciones): .- Cilindro Homogéneo. .- Pared lateral aislada. .- Flujo unidimensional (dirección Y). .- Sección transversal constante. .- Generación de calor como función continua de la posición. Principios usados en la modelación (Marco Teórico): .- Principio de Invarianza: Balance Térmico en un elemento diferencial de longitud ΔY en la varilla. Esquema Gráfico del Problema: L S fuente de calor --- interna T = 0 --- --- T = Te Y | | ΔY Para el elemento diferencial, tenemos, de acuerdo con la siguiete figura: (Q A)Y (Q A)Y + ΔY.

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48 S ΔY Para un Balance de Calor: Qentrada - Qsalida + Qgenerado = Qacumulado, esto es: (Q A)Y - (Q A)Y + ΔY + S ΔY = 0 Ahora, dividiendo entre A ΔY la ec(1), tenemos: A (QY - QY + ΔY ) + S ΔY = 0 A ΔY A ΔY Tomando el Límite de esta expresión, cuando ΔY ! 0, tenemos: Lim (QY - QY + ΔY ) + S = 0 ΔY !0 ΔY A esto es - (dQ/dY) + (S/A) = 0 Pero de la Ley de Fourier, sabemos qué Q = - K (dT/dY) de donde (dQ/dY) = - K (d2T/dY2) Así, obtenemos el modelo matemático (EDO) para la varilla: (d2T/dY2) + ( S/KA) = 0 Condiciones de frontera: c.f.1 ! en Y = 0, T = 0 c.f.2 ! en Y = L, T = Te Solución: 1º Caso - Caso Líneal: (S/KA) = T(Y) de donde, el modelo queda: T"(Y) + T(Y) = 0 cuya solución es: T = T(Y) = C1 Cos(Y) + C2 Sen(Y) Análisis de la solución: Sí Y = 0, T = 0, entonces C1 = 0 Luego entonces, se tiene que T = C2 Sen(Y) Sí Y = L, T = Te, entonces C2 = Te/Sen(L) Para que tenga sentido, L = n π; y si n es entero, entonces Sen(n π) = 0, y entonces No hay solución (hay sólo una, pero es Trivial T = 0 ).

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49 2º Caso - Caso No-Líneal: (S/KA) = | T(Y) | Para calentamiento T(Y) > 0, se cae en el caso anterior (solución trivial). Para T(Y) < 0, la solución es de la forma: T = T(Y) = C1 ∈Y + C2 ∈ -Y , ahora analizaremos esta solución: Si Y = 0, T = 0, entonces C1 = - C2, de donde se obtiene T = 2 C1 Senh(Y) Si Y = L, T = Te, y entonces C1 = Te/2Senh(L) De donde, T = 2 { Te/2Senh(L) } Senh(Y), para obtener finalmente, T = T(Y) = Te Csch(L) Senh(Y) Conclusión: Sólo se tiene una solución razonable si (S/KA) < T(Y) y T < 0. Este sería el caso de una Aleta de Enfriamiento de Sección constante.

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50 Problema #13.-) Analizar el Problema consistente en el vaciado de dos tanques en cascada, como se ilustra en la siguiente figura, para obtener su Modelo Matemático. Válvula de carga Valores para los Parámetros qi R1 = 1.9 Tanque I C = 370 cm2. h1 = 25 cm. h1 R1 válvula de descarga q1 = h1/R1 . Sección transversal c1 R2 = 1.85 Tanque II C = 370 cm2. H2 = 15 cm h2 R2 q2 = h2 /R2 . Sección transvarsal C2 Suposición qi = 0 Las Ecuaciones Diferenciales que modelan a este sistema son: R1 C1 (dh1/dt) + h1 = 0 ---ec(1) R2 C2 (dh2/dt) + h2 = R2 q1 = (R2 / R1 ) h1 ---- ec(2) Resolviendo analiticamente (usando Transformadas de Laplace), tenemos: Para la ec(1) ! R1 C1 S H(S) - R1 C1 h(o) + H(S) = 0 (R1 C1 S + 1 ) H(S) = 25 R1 C1 25 R1 C1 25 H(S) = = ( R1 C1 S + 1 ) ( S + (1 / R1 C1) ) Para el vaciado del Tanque I (independientemente de II) 2º-) Para el Sistema de Ecuaciones Diferenciales que representa el vaciado de ambos tanques en cascada, tenemos:

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51 (dh1/dt) + ( 1/R1 C1) h1 = 0 ! ( S + (1/R1 C1) ) H1(S) = 25 Para la ec(2), tenemos: (dh2/dt) + ( 1/R2 C2) h2 = (1/R1 C2) ) h1 S H2(S) - h2(o) + (1/R2 C2 ) H2(S) = (1/R1 C2) ) H1(S) ( S + (1/R2 C2 )) H2(S) - (1/R1 C2) ) H1(S) = 15 25 H1(S) = ( S + (1/ R1 C1)) (1/R1C2 )25 15 H2(S) = + (S + (1/R1C1))(S + (1/R2 C2)) (S + (1/R2 C2) Aquí, lo siguiente será aplicar descomposición en fracciones simples en el primer término del segundo miembro, ó bién el Teorema de Convolución; luego aplicar la Transformada Inversa de Laplace (para regresar al dominio del tiempo), para obtener la Solución del problema. Todo esto se le deja al lector.

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52 Problema #14.-) Obtener la representación de Espacio de Estado del siguiente Sistema (circuito eléctrico). R1 i2 voltaje C X2 i L i1 e(t) R2 (1) (2) Se definen las Variables de Estado: X1 = i1 - i2 X2 = (1/C) ∫ i2 dt Considere como Variables de Estado la Corriente a través de la Inductancia (X1) y al Voltaje del Capacitor (X2). Las ecuaciones diferenciales que modelan a este circuito, son: L (di1/dt - di2/dt) + R1 i1 = e1(t) --- ec(1) Esto es: L (d/dt (i2 - i1 ) + R2 i2 + (1/C) ∫ i2 dt = 0 Obtener la ecuación en términos de las variables de estado: . i1 = X1 + i2 ! (di1/dt ) = X1 + i para la ecuación (1) tenemos: L (d/dt(X1)) + R1 (X1 + i2 ) = e1(t) ...ec(3) Para la ec(2) X2 = (1/C) ∫ i2 dt , entonces X2 + R2 i2 - L (dX1/dt) = 0 ---ec(4) X2 = (1/C) ∫ i2 dt ---ec(5) ! dX2/dt = (1/C) i2 ---ec(6) Despejando de (4) y sustituyendo en (5), tenemos X2 + R2 i2 = - L [ (di2/dt) - (di1/dt) ] = L (dX1/dt) X2 + R2 i2 + R1 (X1 + i2 ) - e(t) = 0

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53 X2 + R2 i2 + R1 (X1 + i2 ) = e(t) ---ec(7) Para obtener las ecuaciones de estado se debe eliminar i2; para hacerlo se toma la transformada de Laplace de las ecuaciones (3), (6) y (7) L [ S X1(S) - X1(o) ] + R1 [(X1(S) + I2(S) ] = E(S) ---ec(8) X2(S) + R2 I2(S) + R1 [(X1(S) + I2(S) ] = E(S) ---ec(9) S X2(S) - X2(o) = (1/C) I2(S) ---ec(10) Despejando I2(S) de ec(10) I2(S) = C [S X2(S) - X2(o) ] ---ec(11) Factorizando I2(S) de ec(9) X2(S) + R1 X1(S) + I2(S) [ R1 + R2 ] = E(S) Despejando I2(S), tenemos: I2(S) = (-R1/(R1 + R2)X1(S) + (-1/(R1 +R2)X2(S) + (1/(R1 + R2)E(S) ---ec(12) __________________________________________________________________

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54 Ejemplo No 4.-) Depósitos bancarios. Suponer que: 1.-) y[n] representa el balance de los depósitos al inicio del día n. 2.-) µ[n] representa la cantidad depositada durante el día n. 3.-) El interes se determina y acumula diariamente a razón de α. 100% Nos interesa el balance al inicio del día siguiente. [n+1] . esto es, y[n+1](1+α) y[n] + µ[n] ; n= 0,1,2,…..3 (Modelo para este caso). Ejemplo 5.-) Economía de un país Supondremos que: 1- ) y[n] = Reservas de capital acumuladas al inicio de año n. 2- ) Existe una depreciación de capital durante el año , por una fracción λ del capital. 3- ) la producción es proporcional a las reservas en un factor “p”. 4- ) El consumo durante el año es µ[n] y se considera como la entrada del sistema. y[n+1] = y[n]- λy[n] + py[n] - µ[n] y[n+1] = (1+p-λ) y[n] -µ[n]

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55 Referencias (Bibliografía) 1- ) Análisis de circuitos electrónicos (*) Hayt y Kemmerly McGraw-Hill 2- ) Análisis de redes Van Valkenburg Prentice Hall 3- ) Circuitos eléctricos Huelsman Prentice Hall 4- ) Ingeniería de control moderna (*) K. Ogata Prentice Hall. 5- ) Sistemas Discretos K, Ogata Prentice 6- ) Dinámica de sistemas Ogata Prentice 7-) Sistemas controlados por computadora Astrow 8- ) Signal análisis Papoulis McGraw-Hill 9- ) Signal & Sistems Ophenheim & Willsky

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56 % Programa de MATLAB para Estudiar tres Temas Basicos de Calculo de % Variable Real. Estos Temas son: Limites y Continuidad de Funciones, % Derivacion e Integracion de Funciones de Variable Real % Programa Archivado con el nombre: prog_Calculo_1.M clear, clc,close all echo on pause % Iniciaremos viendo como generar Expresiones Simbolicas, para luego % determinar su Limite cuando la variable real X --> tienda a algun % valor de interes de estudio. syms x % declaramas a x como una expresion simbolica y=limit(sqrt(x^2+1),x,0) % determina el limite de la Raiz(x^2+1) cuando x-->0 pause % Ahora veremos como determinar Limites Unilaterales (por la izquierda y por la derecha) % que se utilizan para establecer la Continuidad de Funciones. syms x Lizq=limit(tan(x),x,pi/2,'left') % limite por la izquierda de la Tang(x) Lder=limit(tan(x),x,pi/2,'right') % limite por la derecha de la Tang(x) pause % Ahora veremos como determinar el Limite para una Funcion de 2 Variables % reales de la forma Lim [ f(x,y) ] = L % x->xo y->yo syms x y L=limit(limit((3*x^2+7*x*y),y,2),x,3) % Limite de la funcion 3*x^2+7*x*y pause % Ahora veremos como determinar el Limite para una Sucesion % por ejemplo: Lim [Raizen-enesima((1+n)/n^2) ] = Ls % n--> inf syms n Ls=limit(((1+n)/n^2)^(1/n),inf) pause % Ahora Recordaremos el concepto de Continuidad de funciones % Una funcion F(x) es Continua en un punto x=a, si se cumple que: % 1°-) Lim F(x) = Lim F(x) % x->a(-) x->a(+) % 2°-) Lim F(x) = F(a) % x->a % Veamos un ejemplo clasico syms x a La=limit(sin(x)/x,x,a) % Limite de Sen(x)/x cuando x-->a

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57 Lo=limit(sin(x)/x,x,0) % Limite de Sen(x)/x cuando x-->0 cero pause % Veamos otro ejemplo clasico pause syms x a L1=limit(sin(1/x),x,a) % Limite de Sen(1/x) cuando x-->a L2=limit(sin(1/x),x,0) % Limite de Sen(1/x) cuando x-->0 cero % Esto indica que el Limite de Sen(1/x) esta en el intervalo [-1, 1] % Lo comprobaremos determinando los Limites unilaterales de la funcion L3=limit(sin(1/x),x,0,'left') L4=limit(sin(1/x),x,0,'right') % Esto comprueba que la funcion Sen(1/x) No es Continua en x = 0 cero pause clear all,clc % Ahora veremos como determinar Derivadas de funciones % Primer ejemplo, determinar la Derivada de f=2*x^3+x^2+4*x+6 syms x f=2*x^3+x^2+4*x+6; % se establece la funcion simbolica Df=diff(f) % determina la primera derivada de la funcion pause % trataremos de mejorar la presentacion simple(Df) pretty(Df) pause % Ahora determinaremos la segunda derivada de la funcion anterior D2f=diff(f,2) pause % Ahora determinaremos la tercera derivada de la funcion anterior D3f=diff(f,3) pause % como segundo ejemplo, determinar la Derivada de G=(x^2+1)^(1/2) syms x G=(x^2+1)^(1/2); % se establece la funcion simbolica DG=diff(G) % determina la primera derivada de la funcion G pause % trataremos de mejorar la presentacion simple(DG) pretty(DG) pause % Ahora determinaremos la segunda derivada de la funcion G anterior D2G=diff(G,2) pause

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58 % trataremos de mejorar la presentacion simple(D2G) pretty(D2G) pause % En lo tocante al Tema de Integracion, veremos dos ejemplos a continuacion % syms x fun=(1+x^2)/x; Ifun=int(fun) % determina expresion para Integral indefinida de la funcion pause % trataremos de mejorar la presentacion simple(Ifun) pretty(Ifun) pause % Para obtener el Valor de la Integral, se le asignan limites a la variable % para la funcion inmediata anterior, se tiene que: IDfun=int(fun,1,2) % se obtiene el valor de la Integral Definida de la funcion pause % Matlab tambien nos permite evaluar Integrales Impropias, siempre y cuando % estas convergen; por ejemplo, la Integral Impropia siguiente: % Integral(exp(-x)*sin(x)/x) en el intervalo [0 , inf] % syms x f2=(exp(-x)*sin(x))/x; If2=int(f2,0,inf) % Lo que nos indica que la Integral Converge; en tanto que para % la siguiente --> integral(Tan(x)) en el intervalo [0,inf] % tenemos que considerar que pi/2 es un punto singular, por lo % que es necesario tomar el Limite del Integral, lo que se puede hacer con: syms x b f3=tan(x); If3=limit(int(f3,x,0,pi/2-b),b,0) % con lo que vemos que la Integral de f3 No Converge pause % A continuacion, se determina la solucion General de una EDO % de Primer Orden de Variables Separables, como una Aplicacion del % Calculo Diferencial e Integral clc,clear all, close all % % determinar la Solucion general de la EDO-> ySen(x)-(1+y^2)=0 % Primero resolveremos aplicando Integracion luego de separar Variables % este es, integraremos --> Sen(x) = (1+y^2)/y

59

59 syms x y int(sin(x)) % integramos miembro de la izquierda pause int((1+y^2)/y) % integramos miembro de la derecha % Ahora, igualando las dos soluciones, se encuentra la Solucion de la % Ecuacion Diferencial dada, usando el comando SOLVE Sol=solve('-cos(x)=(1/2)*y^2+log(y)') pause % trataremos de mejorar la presentacion simple(Sol) pretty(Sol) pause echo off hold on % Ahora se construiran las graficas para ambas partes % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica x=-4*pi:pi/40:4*pi; Fx=-1*cos(x); y=0.01:0.05:4; Fy=.5*y.^2+log(y) plot(x,Fx,y,Fy),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y') title('Grafica de Fx=-cos(x) y de Fy=(1/2)*y^2+log(y)') hold off % fin del programa Nota.-) Al ejecutar este programa, se obtendrán los Resultados correspondientes para cada uno de los Temas abordados en este programa. A continuación, se presenta la Gráfica que se obtiene la final de la ejecución del mencionado programa. Grafica de ! Fx=-cos(x) , y ! Fy=(1/2)*y^2+log(y)

60

60

-15 -10 -5 0 5 10 15-5

0

5

10

eje x

eje

yGrafica de Fx=-cos(x) y de Fy=(1/2)*y2+log(y)

61

61 % Programa de MATLAB para Realizar Diversas Acciones con Funciones % Matematicas Polinomiales, Logaritmicas, Trigonometricas, Exponenciales, etc. % clear all, clc echo on % Primero Vamos a Generar un Polinomio y='x^3+x-1' % Ahora determinaremos su Derivada dy=diff(y) % Ahora vamos a Construir las Graficas de ambas funciones pause hold on x=-3:0.1:3; y=x.^3+x-1; dy=3*x.^2+1; plot(x,y,x,dy),xlabel('eje X'),ylabel('eje Y'),title('Grafica de y=x.^3+x-1 , y de su Derivada dy=3*x.^2+1') % Hasta aquí, se obtiene la siguiente Gráfica

% Continuación del Programa pause

-3 -2 -1 0 1 2 3-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

eje X

eje

Y

Grafica de y=x.3+x-1 , y de su Derivada dy=3*x.2+1

62

62 % Oprima cualquier Tecla para continuar este programa % Ahora vamos a determinar La Integral Indefinida de dicha Funcion pause clear all,clf,hold off,clc y='x^3+x-1' Integ_y=int(y) % % Ahora se construira el area bajo la curva de la funcion y=x^3+x-1 % en el intervalo [-1,3] pause x=-1:0.1:3; y=x.^3+x-1; area(x,y),xlabel('eje X'),ylabel('eje Y'),title('Area bajo la curva y=x.^3+x-1, en [-1,3]') % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica % Hasta aquí, se obtiene la siguiente Gráfica:

% Continuación del Programa % Ahora determinaremos el Valor de dicha Area bajo la curva Integ_y=(1/4)*x.^4+(1/2)*x.^2-x; Area_Funcion=Integ_y %

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

15

20

25

30

eje X

eje

Y

Area bajo la curva y=x.3+x-1, en [-1,3]

63

63 pause % En esta parte vamos a determinar Solucion de la EDO ! D2Y+9Y=0 % Un Oscilador Armonico Simple, para las condiciones iniciales % Dy(0)= 0 y y(0)=1 clear all,clf,clc pause Y=dsolve('D2y+9*y=0','Dy(0)=0','y(0)=1') % Ahora se construira´ la grafica para la Solucion % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica t=-2*pi:pi/50:2*pi; Y1=cos(3*t)+sin(3*t); plot(t,Y1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),title('Grafica de un Oscilador') %

% Continuación del Programa pause % Ahora se determina la Solucion de D2y+4*Dy+5*y=exp(-0.1*t) % Oprima cualquier tecla para continuar F=dsolve('D2y+4*Dy+5*y=exp(-0.2*t)','Dy(0)=0','y(0)=1') % Ahora se construira´ la gra´fica de dicha solucion

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

eje x

eje

y

Grafica de un Oscilador

64

64 % un Sistema Amortiguado y Forzado m=1, b=4, k=5 F(t)=exp(-0.1*t) pause g1=exp(-0.2*t).*(sin(2*t)+cos(2*t)); plot(t,g1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),title('Sistema Masa-Resorte Amortiguado') % ezplot(F,[-4,4],'b') % % Aquí se obtiene la siguiente Gráfica

% Programa Construye la Grafica de z = x .* exp(-x.^2 - y.^2) , y ademas % determina el Gradiente de dicha Funcion, y su Grafica % clear all, clc echo on % z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); pause % Oprima cualquier Tecla para iniciar [x,y] = meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

eje x

eje

y

Sistema Masa-Resorte Amortiguado

65

65 z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); plot3(x,y,z),grid,xlabel('eje X'),ylabel('eje Y'), title('grafica de z = x .* exp(-x.^2 - y.^2)'); %

% Continuación del Programa % Ahora se construye la Grafica del Gradiente de dicha funcion pause % z = G(x) = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py]=gradient(z,.2,.2);title(‘Grafica del Gradiente de la Funcion G(x)’) contour(z),hold on, quiver(px,py), hold off pause %

-4-2

02

4

-4-2

02

4-0.5

0

0.5

eje X

grafica de z = x .* exp(-x.2 - y.2)

eje Y

66

66

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

eje X

eje

YGrafica del Gradiente de la Funcion G(x)

67

67 % Programa para resolver una EDO de 2° Orden clear all , clc, % Oprima cualquier Tecla para iniciar a correr el programa % Para determinar la Solucion general de la EDO--> D2Y+4DY=0 pause Sol_Y=dsolve('D2y+4*y=0') % Se obtiene la Solucion General: Sol_Y=c1*sin(2*t) + c2*cos(2*t) % % Ahora se determinara´ la Solucion particular para las condiciones % iniciales ! DY(0)=1 , y Y(0)=2 % Oprima cualquier tecla para continuar pause F=dsolve('D2y+4*y=0','Dy(0)=1','y(0)=2') % Ahora se construira´ la gráfica para el intervalo [-3*pi , 3*pi] % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica % Un Oscilador Armonico Simple pause ezplot(F,[-3*pi , 3*pi]) % fin del programa

Ahora se construiran otro tipo de Gráficas, mediante el Software Matlab. %

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

1/2 sin(2 t)+2 cos(2 t)

68

68

% Ejemplo que muestra como generar diferentes graficas de Barras % utilizando laa instrucciones subplot y bar % subplot(3,1,1), bar(rand(10,5),'stacked'), colormap(cool)

1020

3040

1020

3040

-10

-5

0

5

10

eje Xeje Y

eje

ZGrafica que genera --> Contour3(peaks)

69

69 subplot(3,1,2), bar(0:.25:1,rand(5),1) subplot(3,1,3), bar(rand(2,3),.75,'grouped')

% Programa 01 de MATLAB clc;clf,clear all echo on % Programa de MATLAB para determinar una Raiz Real de % una Ecuacion No-Lineal, mediante visualizacion grafica % y luego mediante un proceso iterativo % La ecuacion es Y=x*Sin(1/x)-0.2*exp(-x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1 20

0.5

1

70

70 % para visualizar graficamente, descompondremos en dos funciones % f=x*sin(1/x) , g=0.2*exp(-x) % la interseccion de ambas curvas sera la solucion % introduciremos valores para la variable x x=0.01:0.01:2.0; % Evaluaremos cada una de las funciones f=x.*sin(x.^(-1)); g=0.2*exp(-x); pause % Ahora se construyen las graficas de ambas funciones hold on plot(x,f,x,g,'--'),xlabel('eje x'),ylabel('f(x) g(x)') title('Graficas de las funciones f=x.*sin(x.^(-1)) ; g=0.2*exp(-x)') text(1,0.8,'f(x)=x.*sin(x.^(-1))') text(1.4,0,'g(x)=0.2*exp(-x)') %

% Ahora se construye una Tabla con los valores de la variable real ( X ) % y de cada una de las funciones f(x) y g(x) pause clear all, clc n_int=1; x = 0.1:.05:2; f=[x; x.*sin(x.^(-1))]; g=[x; 0.2*exp(-x)]; fid = fopen('exp.txt','w');

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

eje x

f(x)

g(x)

Graficas de las funciones f=x.*sin(x.(-1)) ; g=0.2*exp(-x)

f(x)=x.*sin(x.(-1))

g(x)=0.2*exp(-x)

71

71 fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',f,'%6.2f %12.8f\n',g); fclose(fid); % genera un Archivo de Texto que contiene una Tabla con los valores de % la funcion --> f=x.*sin(x.^(-1) % y de la funcion g=0.2*exp(-x) % % otra forma de lograr es usando las siguientes instrucciones % disp('Iteraccion Valor de X Valor de f(x) Valor de g(x) ') % while n_int<51 % f=x.*sin(x.^(-1)); % g=0.2*exp(-x); % disp(' ',[n_int, x, f , g ] ) % n_int=n_int+1 % x=x+0.02; % end % fin del Programa A continuación se presenta la Tabla de Valores que se obtienen Graficas de Ecuaciones No-Lineales Las Funciones a Graficar son: f(x)=x.*sin(1/x) ; g(x)=0.2*exp(-x)

N Valor x f=.5*x.*sin(1/x) g=0.8*exp(-x) 1 0.0100 -0.00253 0.79204 2 0.0900 -0.04470 0.73114 3 0.1700 -0.03317 0.67493 4 0.2500 -0.09460 0.62304

72

72 5 0.3300 0.01832 0.57514 6 0.4100 0.13247 0.53092 7 0.4900 0.21843 0.49010 8 0.5700 0.28021 0.45242 9 0.6500 0.32483 0.41764

10 0.7300 0.35766 0.38553 11 0.8100 0.38232 0.35589 12 0.8900 0.40124 0.32852 13 0.9700 0.41602 0.30327 14 1.0500 0.42777 0.27995 15 1.1300 0.43725 0.25843 16 1.2100 0.44499 0.23856 17 1.2900 0.45141 0.22022 18 1.3700 0.45677 0.20329 19 1.4500 0.46130 0.18766 20 1.5300 0.46515 0.17323 21 1.6100 0.46847 0.15991 22 1.6900 0.47133 0.14762 23 1.7700 0.47382 0.13627 24 1.8500 0.47600 0.12579 25 1.9300 0.47793 0.11612

Nota.-) La presente Tabla de Valores de logro usando el Software EXCEL, asi como las dos gráficas siguientes: Gráfica elaborada en EXCEL

73

73

Graficas de f=x*Sen(1/x) , g=0.2*exp(-x)

-0.40000

-0.20000

0.00000

0.20000

0.40000

0.60000

0.80000

1.00000

1.20000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Valor de X

f(x)

, g

(x)

74

74 Otra Gráfica obtenidas mediante el Software EXCEL

% Ahora veremos como resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden % La EDO que se resolvera´ es: DY - Y = 2 clc,clear, clf, echo on % Oprima cualquier Tecla para iniciar a correr el programa % Para determinar la Solucion general de la EDO--> DY-Y=2 pause Y=dsolve('Dy-y=2') % % Ahora se construira la grafica para la Solucion General % Y = -2 + c1*exp(t) , el intervalo [-1,3] % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica

Graficas de f=x*Sin(x) , g=0.4*exp(x)

-0.40000

-0.20000

0.00000

0.20000

0.40000

0.60000

0.80000

1.00000

1.20000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Valor de X

f(x)

, g

(x)

75

75 pause ezplot(Y,[-1,3]) %

% Ahora se determinara´ la Solucion particular de la EDO ! DY – Y = 2 % para la condicion inicial ! Y(0)=1 Pause % Oprima cualquier tecla para continuar Z=dsolve('Dy-y=2','y(0)=1') % Ahora se construira´ la Grafica para la Solucion Particular ! Y = -2 + 3*exp(t) % el intervalo [ -1.5 , 4 ] % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica pause ezplot(Z,[-1.5,4]) % % fin del programa % Grafica para la Solucion Particular ! Y = -2 + 3*exp(t)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

C1

t

-2+exp(t) C1 = 0

76

76

______________________________________________________________________________ % Ahora iniciamos otro Programa, para resolver una EDO de 2° Orden Pause % Oprima cualquier Tecla para iniciar a correr el programa % se trata de determinar la Solucion General de la EDO ! D2Y + 9Y = 0 % Un Oscilador Armonico Simple, para las condiciones iniciales % Dy(0)= 0 y y(0)=1 pause Y=dsolve('D2y+9*y=0','Dy(0)=0','y(0)=1') % Ahora se construira´ la grafica para la Solucion % % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica t=-2*pi:pi/50:2*pi; Y1=cos(3*t)+sin(3*t); plot(t,Y1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),title('Grafica de un Oscilador') % % plot(t,Y1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),title('Grafica de un Oscilador') plot(t,Y1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),title('Grafica de un Oscilador')

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

50

100

150

t

-2+3 exp(t)

77

77

______________________________________________________________________________ % % Ahora se determina la Solucion de la EDO ! D2y + 4*Dy + 5*y = exp(-0.1*t) % Oprima cualquier tecla para continuar F=dsolve('D2y+4*Dy+5*y=exp(-0.2*t)','Dy(0)=0','y(0)=1') % Ahora se construira´ la gra´fica de dicha solucion % un Sistema Amortiguado y Forzado m=1, b=4, k=5 F(t)=exp(-0.1*t) pause g1=exp(-0.2*t).*(sin(2*t)+cos(2*t)); plot(t,g1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),title('Sistema Masa-Resorte Amortiguado') % ezplot(F,[-4,4],'b') % % fin del programa

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

eje x

eje

yGrafica de un Oscilador

78

78 plot(t,g1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),title('Sistema Masa-Resorte Amortiguado')

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

eje x

eje

y

Sistema Masa-Resorte Amortiguado

79

79 % Programa de MATLAB para determinar la Solucion del Modelo % Matematico ( EDO de 2° Orden ) que representa el comportamiento % de un Circuito Electrico LRC} % L(dI/dt)+ RI + (1/C) q(t) = E , o tambien: % % I'(t) = (-R/L)*I(t)+ (-1/L*C)q(t)+ E/L clc,clear, clf, echo on, hold on % Oprima cualquier Tecla para iniciar a correr el programa pause % Primero introduciremos valores para los Parametros R=100; % Resistencia en Ohms C=0.001; % Capacitancia en faradios L=0.20; % Inductancia en Henrryos E=1.0; % Voltaje en Voltios h=0.00025; % Tolerancia en error de calculo n=1; % valor de inicio de numero de iteracciones t(1)=0; Y(:,1)=[0;0] % Y representa la corriente electrica I(t)=Y M=[0,1;-1/(L*C),-R/L]; S=[0;E/L]; while n<101 % inicia ciclo iterativo Y(:,n+1)=Y(:,n)+h*(M*Y(:,n)+S); t(n+1)=n*h; n=n+1; end % fin del ciclo iterativo % Ahora se construye la Grafica que ilustra el % Comportamiento de la Carga y de la Corriente Electrica % que fluye a traves del circuito % pause % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica plot(t,100*Y(1,:),t,Y(2,:),'--') text(t(30),119*(Y(1,30)),'q*100') text(t(28),Y(2,30),'I = Corriente Electrica') xlabel('tiempo ( t )'),ylabel('I(t) en Ampers , q(t) en Coulombs') % % fin del programa % % A continuación se presenta la Grafica que se obtiene con Matlab %

80

80 xlabel('tiempo ( t )'),ylabel('I(t) en Ampers , q(t) en Coulombs')

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

q*100

I = Corriente Electrica

tiempo ( t )

I(t) e

n Am

pers

, q

(t) e

n Co

ulom

bs

81

81 % Programa para realizar diversas acciones con MATLAB % clc, clf, clear all, echo on % A continuacion se generan Arreglos Matriciales y se realizan algunas operaciones % Basicas con ellas. La finalidad es presentar los usos de las diferentes instrucciones % de Programación , como ciclos for – end , ciclos con while - <cond> - end, etc % X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; n = 3; For i = 1 : n For j = 1 : n Y(i , j) = X(i , j) ^2 ; End End X , Y % % Se obtiene lo Siguiente: X = 1 2 3 Y = 1 4 9 4 5 6 16 25 36 7 8 9 49 64 81 % % Para realizar el Producto Matricial, se puede utilizar la siguiente parte del programa For i = 1 : n Sumaprod=0; For j = 1 : n For k = 1 : n Sumaprod = Sumaprod + X(i , k)*Y(k , j); End PXY(i , j)=Sumaprod; End End % % % Ahora, mediante el uso de la Instruccion While se construye una Tabla que contendra % los primeros 5 numeros naturales, su cuadrado, su cubo y su valor elevado a la cuarta % potencia, como se muestra a continuación % Clear all, clc n = 1; disp(‘ n n^2 n^3 n^4 ‘ ) disp(‘______________________________’ ) % While n < = 5 X2 = n^2; X3 = n^3; X4 = n^4; Disp( [n, X2, X3, X4] ); n = n + 1;

82

82 end % fin del ciclo while % % con esta parte de programa se obtiene lo siguiente

n n^2 n^3 n^4 ---------------------------------------------------------- 1 1 1 1 2 4 8 16 3 9 27 81 4 16 64 256 5 25 125 625 _____________________________________________________________ % Programa de MATLAB para Realizar Diversas Acciones con Funciones % Matematicas Algebráicas ( Polinomiales ) . % clear all, clc echo on % Primero Vamos a Generar un Polinomio y='x^3+x-1' % Ahora determinaremos su Derivada dy=diff(y) % determina la Derivada de la función % dy = 3*x^2+1 es el resultado que se obtiene % Ahora vamos a Construir las Graficas de ambas funciones pause hold on % para que aparezcan las dos gráficas en la misma figura x=-3:0.1:3; % intervalo en donde se construirán las gráficas y=x.^3+x-1; dy=3*x.^2+1; plot(x,y,x,dy),xlabel('eje X'),ylabel('eje Y'),title('Grafica de y=x.^3+x-1 , y de su Derivada dy=3*x.^2+1') pause % Oprima cualquier Tecla para continuar este programa % A continuación se presenta la Gráfica que se obtiene con esta parte % del Programa . . . % A continuación se presentan las Gráficas de la función y de su derivada

83

83

% Ahora vamos a determinar La Integral Indefinida de dicha Funcion pause clear all,clf,hold off,clc y='x^3+x-1' Integ_y=int(y) % % Ahora se construira el area bajo la curva de la funcion y=x^3+x-1 % en el intervalo [-1,3] % Oprima cualquier Tecla para que se construya dicha grafica pause x=-1:0.1:3; y=x.^3+x-1; area(x,y),xlabel('eje X'),ylabel('eje Y'), title('Area bajo la curva y=x.^3+x-1, en [-1,3]') % % se presenta la gráfica del área bajo la curva de la función

-3 -2 -1 0 1 2 3-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

eje X

eje

YGrafica de y=x.3+x-1 , y de su Derivada dy=3*x.2+1

84

84

% Ahora determinaremos el Valor de dicha Area bajo la curva Integ_y=(1/4)*x.^4+(1/2)*x.^2-x; Area_Funcion=Integ_y % pause % % iniciamos otro Programa % Determinaremos la Solucion de la EDO ! D2y+4*Dy+5*y=exp(-0.1*t) % para las condiciones iniciales ! Dy(0)=0 , y(0)=1 clear all,clf,clc

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

15

20

25

30

eje X

eje

YArea bajo la curva y=x.3+x-1, en [-1,3]

85

85 t=-2*pi:pi/50:2*pi; pause % Oprima cualquier tecla para continuar F=dsolve('D2y+4*Dy+5*y=exp(-0.2*t)','Dy(0)=0','y(0)=1') % Ahora se construye la gráfica de dicha solución % un Sistema Amortiguado y Forzado m=1, b=4, k=5 F(t)=exp(-0.1*t) pause g1=exp(-0.2*t).*(sin(2*t)+cos(2*t)); plot(t,g1),grid,xlabel('eje x'),ylabel('eje y'), title('Sistema Masa-Resorte Amortiguado') % ezplot(F,[-4,4],'b') %

% fin del programa Documento elaborado por: M.C. Héctor Isaias Escobosa Iribe.

Difusión ( Ley de Fick ): Cuando se agrega una gota de Tinta en un vaso con agua, se efectúa un Proceso de Difusión. Este y otros fenómenos están gobernados ó modelados por las Leyes de Fick. Si la Difusión se realiza en estado estable, la primera Ley de Fick establece que el perfil de la concentación Q(x) y el flujo de la difusión ( J ), que es la masa transportada por unidad de área por unidad de tiempo, están relacionadas mediante la ecuación:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

eje x

eje

y

Sistema Masa-Resorte Amortiguado

86

86 J = - u ( d Q / d x ) …ec(1) $ 1° Ley de Fick En donde u = coeficiente de difusión ( en la ec(1) se supone que la difusión es en dirección del eje x ). Integrando la ec(1), tenemos: Q x

∫ d Q(x) = ( - J / u ) ∫ dx Q0 x0 , de donde se obtiene: Q – Q0 = ( - J / u ) ( x – x0 ) ; la solución tiene un comportamiento lineal

En donde Q0 es la concentración inicial, para cuando x = x0 . Q es la concentración para algún valor de x. Si la Difusión no se verifica en estado estable, entonces el proceso estará gobernado ó modelado por la 2° Ley de Fick, la cuál establece que: ( ∂Q / ∂t ) = - u ( ∂2Q / ∂x2 ) . . .ec(2) 2° Ley de Fick Una Ecuación Diferencial Parcial (EDP) de 2° orden, en donde Q = Q( x , t ).

Q(x)

x

- J / u

87

87 Una Solución para la EDP ec(2) , es: Qx – Q0 ∞ ------------ = ( 6 / π2 ) ∑ (1 / n2 ) ∈xp( - n2 u π2 / r2 ) . . .ec(*) QS – Q0 n=1 En donde: Q0 = Concentración inicial QS = Concentración Superficial del material que se va a difundir Qx = Concentración a una distancia x de la superficie u = Coeficiente de difusión n = número de términos que se toman en la Serie r = distancia de la difusión Nota.-) para obtener está solución, se requiere de un buen esfuerzo analítico, aplicando el método de separación de variables en la resolución de dicha EDP ec(2). Otra Solución para la EDP ec(2) , es: Qx – Q0 _ ___ ------------ = 1 - ∈rf( x / 2 √ u t ) . . .ec(**) QS – Q0 En donde: ∈rf = la función Error La Ley de Fick es usada para calcular el contenido de humedad durante el proceso de Secado en el período de deshidratación decreciente. En particular, suponga que se desea saber el contenido de humedad en el Betabel, después de ser sometido a un proceso de secado durante un cierto tiempo t > 0. De manera adicional, consideremos que el Betabel se encuentra en forma de esferas de 2.5 cm de diámetro, y que las condiciones de operación del Secado son: Temperatura = 60 ° C Humedad de equilibrio = 0.066 Kgagua/Kg. Humedad inicial = 0.25 Kgagua/Kg. Difusividad para el Betabel u = 7x10-10 mt2/seg. El siguiente Programa de Matlab ( Betabel.m ) determina las gráficas que representan el comportamiento (solución) del contenido de humedad en el Betabel durante los primeros 60 segundos. % Programa Archivado con el nombre Betabel.M

88

88 % Comportamiento del Proceso de Secado de Betabel % Según la 2° Ley de Fick de Difusión clear, clc close all y= zeros(11 , 3601) ; xi = 0.25 ; xe = 0.066 ; x1 = ( 6 / pi^2) ; t = [ 0 : 1 : 3$600 ] ; u = 7e-10 ; r = 1.25e-2 ; x = 0 ; for n = 1 : 13 ; x = x + x1*(1/n^2)*exp(-n^2 * u * pi ^2 * t / r^2 ) ; X = x*( xi – xe ) + xe ; y(n , : ) = X ; end plot( t/60 , y(1: 2: 13 , : ) ) xlabel(‘ Tiempo en minutos ‘) ylabel(‘ Contenido de Humedad ‘ ) legend(‘ Curvas de Secado para Betabel ‘ ) % Fin del programa La gráfica que se obtiene al ejecutar este programa es la siguiente:

89

89

_________________________________________________________________ El siguiente Programa de Matlab ( Cinética_Química.m ) determina las gráficas que representan el comportamiento (solución) de una Reacción Química del tipo siguiente: K1 K2 A ----------> B ---------> C <----K3--- En donde K1 ; K2 ; K3 , son las constantes de equilibrio para la Cinética de la de la Reacción Química. Consideremos, como un ejemplo, que los valores para dichas constantes son: K1 = 1 min-1 ; K2 = 2 min-1 ; K3 = 3 min-1 , y que las condiciones (Concentraciones) iniciales para esta Reacción, son: XA(0) = 1 Molgr ; XB(0) = 0 Molgr ; XC(0) = 0 Molgr . La rapidez de formación de cada Componente está dado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: XA’ = ( dXA / dt ) = - K1 XA ; XB’ = ( dxB / dt ) = K1 XA - K2 XB + K3 XC ; XC’ = ( dxC / dt ) = K2 XB - K3 XC ;

0 10 20 30 40 50 600.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

Tiempo en minutos

Cont

enid

o de

Hum

edad

Curvas de Secado para Betabel

90

90 Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales, primero construiremos un Programa de Matlab (Archivo.m) en el que definimos las ecuaciones diferenciales, con la función Xpunto.m , de la siguiente manera: Function Xpunto=dx(t , X) % Este es el Archivo – Función Xpunto.m global K Xpunto(1) = - K(1)* X(1) + K(2)*X(2) ; Xpunto(2) = K(1)* X(1) - K(2)*X(2) - K(3)* X(2) + K(4)*X(3) ; Xpunto(3) = K(3)* X(2) - K(4)*X(3) ; Xpunto = Xpunto’ ; --------------------------------------------------------------------------------------------------- Para resolver el sistema de EDO y graficar los Perfiles de Concentración, creamos el siguiente Programa de Matlab. clc, clear all, close all global K % Datos de Entrada fprintf(‘\ Introduce las Constantes de la Cinética de Reacción \’) K(1)=input(‘ A ! B , K1= ‘ ); K(2)=input(‘ B ! A , K2= ‘ ); K(3)=input(‘ B ! C , K3= ‘ ); K(4)=input(‘ C ! B , K4= ‘ ); fprintf(‘\ Introduce las Condiciones ó Concentaciones iniciales \’) X0(1)=input(‘ Concentración inicial de A = ‘ ); X0(2)=input(‘ Concentración inicial de B = ‘ ); X0(3)=input(‘ Concentración inicial de C = ‘ ); tmax=input(‘\ Dame el tiempo máximo \ tmax= ’); % tmax=5; % este es un valor de tmax, por ejemplo K = [ 1 , 0 , 2 , 3 ]; X0=[ 1 0 0 ]; t = [0 : 0.01 : tmax ]; [ t , X ] = ode45(‘dx’, [0 , tmax], X0 ); Plot(t , X), xlabel(‘Tiempo (seg)’),ylabel(‘Concentraciones’) Legend(‘XA ‘, ‘XB ‘, ‘XC ‘) % Fin del Programa A continuación se presenta la Gráfica que se obtiene al Ejecutar este Programa

91

91

Nota: podemos hacer algunos cambios en este programa, como cambiar el valor inicial de la Concentración del Reactante (XA); por ejemplo, le daremos el valor XA= 2 molgr . Además, le daremos el mismo valor a todas las constantes de equilibrio de la Reacción K1 = K2 = K3 = K4= 1 , le agregaremos un titulo a la gráfica “Gráfica-Cinética de Reacción A!B!C” , y por último, agregaremos un texto “Programa elaborado por Héctor Isaias Escobosa” en la posición (1 , 1.4) A continuación se presenta la nueva Gráfica que se obtiene al Ejecutar el Programa anterior, con los cambios señalados. A continuación se presenta la nueva Gráfica que se obtiene al Ejecutar el Programa anterior, con los cambios señalados.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (seg)

Conc

entra

cion

es

XA XBXC

92

92

APLICACIÓN en OPTIMIZACIÓN de COSTOS En una Planta Tratadora de Agua, uno de los Procesos más importantes es la remoción de la Turbiedad (materia suspendida), la cual se lleva a cabo agregando sustancias químicas que provocan el aglutinamiento de los sólidos suspendidos, para formar partículas más grandes que

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo (seg)

Conc

entra

cion

esGrafica-Cinetica de Reaccion A->B->C

Programa elaborado por Hector Isaias Escobosa

XA XBXC

93

93 se retiran por sedimentación. Las partículas que restan después de la sedimentación, se extraen mediante filtración. Por lo general, si se aumenta la dosis de agentes químicos ocurre más aglutinamiento y hay mayor remoción de partículas por sedimentación. Esto significa que el filtro no tendrá que limpiarse por retrolavado con tanta frecuencia. Esto es, mientras más sustancias químicas se usen, menos retrolavado y menos agua se necesitarán. Se desea determinar la Cantidad Óptima de agentes químicos a utilizar, con la finalidad de reducir los Costos de operación de dicho Proceso. La Turbiedad y la cantidad de agentes químicos obtenidos experimentalmente, en dicho Proceso, se presentan en la siguiente tabla: Agentes Químicos

1

2 3 4.5 7.5 13 20 27

Turbiedad 31 28 19 14 9 8 5 8 Aquí, podemos aplicar Interpolación Polinomial con la instrucción Polyfit para n=2, como sigue: >> Q = [ 1 2 3 4.5 7.5 13 20 27 ]; >> T = [ 31 28 19 14 9 8 5 8 ]; >> P = polyfit( Q , T , 2 ) Con lo que Matlab genera: P = 0.0856 -3.0894 30.5223 Que corresponde al Polinomio siguiente: T = 0.0856 Q2 - 3.0894 Q + 30.5223 La Tasa de Agua de Retrolavado ( B ) en mt3 / 1000 mt3, se describe por la siguiente ecuación: B = 0.5 + 1.7 T Sustituyendo la ecuación obtenida para la turbiedad (T) en esta última ecuación, y multiplicando por el costo del agua, que es de 0.05 $ / 1000 mt3, obtenemos el costo del agua de retrolavado (CB ) en $ / 1000 mt3, dada por: CB = 0.0073 Q2 - 0.2626 Q + 2.5694 Si el costo del agente químico de coagulación es CC = 0.75 Q , el costo total del Proceso será: CT = CB + CC ; a continuación, se construye un programa de Matlab, que nos permita obtener la cantidad requerida de agente químico Q, para el cual el Costo sea el mínimo.

94

94 % % Archivo – Programa Optimiza_1.M % clear all, clc echo off Q = [ 1 2 3 4.5 7.5 13 20 27 ] ; T = [ 35 28 19 14 9 5 2 1 ] ; a = polyfit(Q , T , 3 ) q = [ 1 : 0.1 : 27 ] ; aa = polyval(a , q ); Cb = - 0.5 + 1.7*aa ; Cc = 0.75 * q ; CT = Cb + Cc ; % plot(q , CT , q , Cb , q , Cc), gris,xlabel(‘Coagulante’),ylabel(‘Costos’) Legend(‘CT’, ‘Cb’, ‘Cc’) % % Fin del Programa Optimiza_1.M % % % A continuación se presenta la Gráfica que se obtiene al ejecutar este Programa. Al ejecutar este Programa en Matlab, se obtiene la siguiente gráfica:

95

95

Podemos hacerle algunos cambios al Programa, con la finalidad de mejorar la presentación de la misma, agregando un titulo y colocando un texto en el interior de la gráfica, como veremos en la siguiente figura.

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

Coagulante

Costos

CTCbCc

96

96

Podemos hacerle más cambios al Programa, con la finalidad de mejorar la presentación de la Gráfica.

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

Agente Quimico

Cost

os

Comportamiento-> Agente-Quimico-> Planta Trata-Aguas

Grafica de Costos en una Planta Trata-Aguas

CTCbCc

97

97 Un Problema de Programación Lineal ( Programación de Metas )

Suponga que una Empresa desea producir dos tipos de Patines, uno tipo (A) de 2 ruedas y otro tipo (B) con 4 ruedas. Se sabe que la utilidad en el tipo (B) es de 25 $ (dolares) por cada patin, en tanto que la utilidad por cada patin tipo (A) es de 15 $. Los tiempos unitarios de Ensamble y Acabado se muestran en la siguiente tabla: Tabla: Horas requeridas por Equipo Patines Ensamble Acabado Utilidad unitaria Tipo A 1 1 15 Tipo B 3 1 25 # de Hrs.Hombre por dia / Depto.

60

40

Si se desea optimizar este Procedimiento se observa que se debe Maximizar : Z = 15 X1 + 25 X2 , sujeto a las restricciones : X1 + 3 X2 ≤ 60 ( Ensamble ) X1 + X2 ≤ 40 ( Acabado ) Esto se puede realizar en Matlab minimizando la expresión para (Z). Lo primero que debe hacerse es definir Z como una función de Matlab, como sigue: Function f = objfun(x) % se genera la function objfun.m f = - 15*x(1) – 25*x(2) ; -------------------------------------------------------------------------------------------------- El archivo para optimizer es el siguiente: % Programa Prog_Metas.m % Optimiza una Función Clear all, clc, close all x0=[1 ; 1] % valor inicial options = optimset(‘largeScala’, ‘off ‘ ) ; lb =[ 0 ; 0 ] ; ub = [ 50 ; 50 ] ; A = [ 1 3 ; 1 1 ] ; b = [ 60 ; 40 ] ;

98

98 [x , fval ] = fmincon(@objfun, X0, A, b , [ ] , [ ] , lb , ub ) % % después de ejecutar este programa se obtiene: X = 30.0000 10.0000 Fval = 700 Lo que nos indica que la utilidad total es de $ 700, y se deben producir 30 patines de 2 ruedas y 10 patines de 4 ruedas. Si se desea, en cambio, tener una utilidad mínima de $ 600 para poder realizar cambio en la Producción, se tiene entonces un Problema programación de Metas. Entonces, se agregan dos variables de desviación: d1 = logro por debajo de la Utilidad Meta d2 = logro por encima de la Utilidad Meta la Utilidad Meta es : 15 X1 + 25 X2 + d1 - d2 = 600 Entonces, se debe minimizar ! Z = d1 + d2 Sujeto a ( restricciones ) : X1 + 3 X2 ≤ 60 ( hrs. Ensamble ) X1 + X2 ≤ 40 ( hrs. Acabado ) 15 X1 + 25 X2 + d1 - d2 = 600 ( Utilidad Meta ) X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0 ; d1 ≥ 0 ; d2 ≥ 0 La siguiente función evalúa Z function f = objfunB(x) % se genera el Archivo Función objfun.m f = x(3) + x(4) ; % El siguiente Archivo Prog_Metas_2.m

99

99 % Determina los valores óptimos de x1 y x2 , para lograr la Meta % clear all, clc, close all pause echo on x0=[ 1 ; 1 ; 1 ; 1 ] ; % valor inicial options=optimset(‘LargeScale’, ‘off’); lb = [1; 0 ; 1 ; 1 ]; ub=[50 ; 50 ; 50 ; 50]; A=[1 3 0 0 ; 1 1 0 0 ; -1 0 0 0 ; 0 -1 0 0 ; 0 0 -1 0 ; 0 0 0 -1 ]; b=[60 ; 40 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; Ae = [15 25 -1 1 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ] ; be = [600 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; x=fmincon(@objfunB, X0, A, b , Ae, be, lb, ub ) % al ejecutar el programa, Matlab nos da la siguiente solución óptima: X = 15.0000 15.0000 1.0000 1.0000 Mediante el Método Gráfico podemos obtener la Solución que nos proporciona las gráficas correspondientes a los departamentos de Ensamble, Acabado y la Utilidad Meta. % El siguiente Archivo Prog_Metas_Graficas.m % Determina los valores óptimos de X1 y X2 , para lograr la Meta clear all, clc, close all pause echo on x0=[ 1 ; 1 ; 1 ; 1 ] ; % valor inicial options=optimset(‘LargeScale’, ‘off’); lb = [1; 0 ; 1 ; 1 ]; ub=[50 ; 50 ; 50 ; 50]; A=[1 3 0 0 ; 1 1 0 0 ; -1 0 0 0 ; 0 -1 0 0 ; 0 0 -1 0 ; 0 0 0 -1 ]; b=[60 ; 40 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; Ae = [15 25 -1 1 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ] ; be = [600 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; x=fmincon(@objfunB, X0, A, b , Ae, be, lb, ub ) xx1 = [ 0 : 5 : 60 ] ; xx2 = (60/3) – xx1/3 ; xx3 = 40 – xx1 ; XX4 = (600/25) – xx1*15/25 ;

100

100 Plot(xx1, xx2, xx1, xx3, xx1, xx4, ‘-‘ ) xlabel(‘Patines de 2-ruedas_X1’),ylabel(‘Patines de 4-ruedas_X2’) % legend(‘Restricciones Ensamble’,’Restricciones Acabado’,’Meta Utilidad’) % Se observa que la Solución encontrada por este método gráfico coincide con la Solución óptima obtenida analíticamente; nótese que: 15*X(1) + 25*X(2) = 600 satisface la Meta de Utilidad

Metodo Gráfico para resolver el Sistema de Programación de Metas. La solución óptima se tiene para cuando: x1 = 15 ; x2 = 15 ; d1 = 1 y d2 = 1 _______________ Restricciones Ensamble _______________ Restricciones Acabado _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Meta Utilidad Problema #2 de Programación Lineal ( Minimizar Costos ) En muchos problemas propios de negocios, el objetivo es Minimizar Costos, en lugar de incrementar la Producción. Considérese la Producción de tres distintos Productos, llamados Lucero, Luna y Sol. Estos Productos se pueden fabricar en dos plantas A y B. Para el siguiente año se tiene proyectado vender 5000 Luceros, 300 Lunas y 240 Soles. El departamento de Administración estima que los Costos de Producción diarios son 5000 $/dia para la Planta A, y 7000 $/dia para la Planta B.

Patines de 4 ruedas

40

Patines de 2 ruedas 60

101

101 Se sabe, además, que la Producción diaria máxima en cada Planta es: Producto Planta A Planta B Observaciones Lucero 100 unidades 140 unidades Luna 10 “ 6 “ Sol 4 “ 8 “ Sean X1 = número de Productos fabricados en la Planta A , y X2 = número de Productos fabricados en la Planta B Se desea optimizar Minimizar el Costo C dado por la expresión: C = 5000* X1 + 7000* X2 , sujeto a las restricciones : 100*X1 + 140*X2 ≥ 5000 ( Lucero ) 10*X1 + 6*X2 ≥ 300 ( Luna ) 4*X1 + 8*X2 ≥ 240 ( Sol ) X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0 Este Problema se puede resolver usando Matlab, para minimizar la expresión para (C). Lo primero que debe hacerse es definir C como una función de Matlab, como sigue: (crear el Archivo función ! costo.m ) Function C = costo(X) C = 5000*X(1) + 7000*X(2) ; Luego, se construye el siguiente Programa para Minimizar dicha función % Programa Archivo ! Minimiza_Costo.m % Se obtendran los valores Optimimos de X1 y X2, de tal manera, que se % logre minimizar la Función para los Costos de Producción clear all, clc, close all echo on pause X0=[1 ; 1] % valores iniciales de las variables X1 y X2

102

102 Options = optimset(‘largeScala’, ‘off ‘, ‘Maxiter’,200 ) ; Warning off optim:fmincon:SwitchingToMediumScale lb =[ 1 ; 1 ] ; ub = [ 114 ; 154] ; A = [-100 -140 ; -10 -6 ; -4 -8] ; b = [ -5000 ; -300 ; -240] ; % [ X , fval ] = fmincon(@objfun, X0, A, b , [ ] , [ ] , lb , ub ) % % después de ejecutar este programa se obtiene: X = 17.0811 23.5135 Que corresponden a X1 = 17 unidades y X2 = 24 unidades Así, el Costo óptimo de Producción será: C = 253,000 $ para producir las 268 unidades diarias en total en ambas planta

103

103 % Programa de MATLAB para Resolver una EDO de primer Orden % dy/dt = -2 y t , haciendo uso de la funcion dy.m % previamente elaborada ! function yderivada= dy(t,y) % el Archivo - Funcion se guardo con el nombre dy.m % yderivada=-2*y*t % Iniciamos el Programa para determinar la Solucion de la EDO % primeramente usando la Instruccion ode23 de MATLAB % para obtener la Grafica de la Solucion de la EDO % Luego obtendremos la Solucion analitica mediante la instruccion % dsolve y tambien construiremos su grafica para ver que coincide % con la obtenida con ode23 o con ode45 clear all, clc echo on pause y0=2; [t,y]=ode23('dy',[0,2],y0); plot(t,y),grid,xlabel('valor de t'),ylabel('valor de y') % fin del programa La gráfica que se obtiene al ejecutar este Programa se presentan a continuación:

Ahora determinaremos la Solución Analítica de dicha EDO dy/ dt = -2*y*t , para la condición inicial ! y0 = 2 ;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

valor de t

valo

r de

y

104

104 % Programa para resolver EDO de 1° Orden % Primero obtendremos la Solución analítica de la EDO siguiente: % dy/dt = - 2*y*t % Mediante la Instruccion dsolve para obtener % la Solucion Analitica o Simbolica clear all, clc, close all echo on % Oprima cualquier Tecla para iniciar a correr el programa % Para determinar la Solucion general de la EDO--> DY=-2*Y¨t pause Y=dsolve('Dy=-2*y*t') % pause % Ahora se dara la condicion inicial y(0)=2 % para obtener el valor de la constante de integracion % Y=dsolve('Dy=-2*y*t','y(0)=2') pretty(Y) % para mejorar presentacion de Y % pause % Ahora se construye la grafica para la Solucion Y % Oprima cualquier tecla para continuar t=0:0.02:3; y=2*exp(-t.^2); f=2.4*exp(-t.^2); hold on plot(t,y,t,f),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('Y(t)'),title('graficas de k*exp(-t^2)') % % fin del programa La gráfica que se obtiene al ejecutar este Programa se presentan a continuación:

105

105

Observación: como podemos apreciar, la gráfica que se obtiene para la Solución de la EDO ! (dy / dt ) = -2*y*t , resulta ser la misma, tanto usando la Instrucción dsolve (para solución analítica), como utilizando la Instrucción ode23 ú ode45 (para la solución numérica con Runge-Kutta).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo t

Y(t)

graficas de k*exp(-t2)

106

106 % Programa para resolver un Sistema de EDO de 1° Orden % dx/dt = 3X + 4y % dy/dt = -7x + 6y % primero mediante la Instruccion dsolve para obtener % la Solucion Analitica o Simbolica clear all, clc % echo on % Oprima cualquier Tecla para iniciar a correr el programa % Para determinar la Solucion general de la EDO--> D2Y-3DY-2Y=0 pause [x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-7*x+6*y') % pause % Ahora se daran condiciones iniciales x(0)=2 , y(0)=1 % para obtener los valores de las constantes de integracion % [x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-7*x+6*y','x(0)=2','y(0)=1') pretty(x) % para mejorar presentacion de x pretty(y) % para mejorar presentacion de y % pause % Ahora se construyen las graficas para la Solucion x y % Oprima cualquier tecla para continuar hold on ezplot(x,[0,5]) ezplot(y,[0,5]),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('x(t) y(t)') % hold off % fin del programa ________________________________________________________________ La Solución Analítica para x = x(t) , y = y(t) , que se obtienen al ejecutar este Programa son: X = (1/103)*exp(9*t / 2)*(206*cos((103)1/2 * t / 2) + 2*(103)1/2*sin((103)1/2*t / 2 ) ) y = (1/103)*exp(9*t / 2)*(-25*(103)1/2*sin((103)1/2 * t / 2) + 103*cos((103)1/2*t / 2 ) ) las gráficas correspondientes para estas Soluciones x(t) , y(t) presentan a continuación:

107

107

Documento Elaborado por: M.C. Héctor Isaias Escobosa Iribe Año de 2008 % Programa de MATLAB para Generar la Espiral Tridimensional % dada por las Ecuaciones Paramétricas: x=sin(t) , y=cos(t) , z=t % El Archivo se llama Espiral_Corre_2008

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-2

-1

0

1

2

3

4

x 107

Tiempo t

-1/103 exp(9/2 t) (25 1031/2 sin(1/2 t 1031/2)-103 cos(1/2 t 1031/2))x(

t) y

(t)

108

108 clear all, clc, close all echo on pause t=linspace(0,10*pi,500); plot3(sin(t),cos(t),t),grid,title('Espiral Tridimensional'),text(0,0,0,'Origen') xlabel('Eje x'),ylabel('Eje y'),zlabel('Eje z') % % Esta parte del Programa genera la siguiente Gráfica:

% Continuamos el Programa generando un Gráfico tridimensional % diferente de dichas tres funciones anteriormente señaladas. pause % Ahora graficaremos tres funciones distintas: Sen(x), Cos(x) , Sen(2x) % en tres Planos diferentes, pero dentro de la misma grafica.

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

10

10

20

30

40

Eje x

Origen

Espiral Tridimensional

Eje y

Eje

z

109

109 % Esto puede hacerse si cada una de ellas es una Variable distinta que % empieza en un valor distinto de la Variable, es decir, en un Plano distinto clear all, close all, clc x=linspace(0,6*pi,300); z1=sin(x); z2=cos(x); z3=sin(2*x); y1=zeros(size(x)); y2=ones(size(x)); y3=y2/2; plot3(x,y1,z1,x,y2,z2,x,y3,z3),grid,title('Graficas de Sen(x), Cos(x) y Sen(2x)') xlabel('eje x'),ylabel('eje y'),zlabel('eje z') % fin del Programa Espiral_Corre_2008.m

% Programa Sistemas Dinamicos Respuesta a Señales clear all,clc,echo on pause % Programa para Analizar Respuesta de un Sistema Dinamico expresado como % una Funcion de Transferencia, a la accion excitadora de dos Señales tipicas % como lo son la Señal Escalon y la Señal Impulso unitario. % Primero Analizaremos la Respuesta del Sistema cuya Funcion de Transferencia

05

1015

20

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

eje x

Graficas de Sen(x), Cos(x) y Sen(2x)

eje y

eje

z

110

110 % es --> G(S) = 1 / (S2 + S + 1 ) , a la Señal Escalon Unitario, % Para luego obtener las Graficas de su comportamiento, usando el % Comando step de Matlab wn=1; zeta=0.5; num=[1]; % Expresion para el Numerador de la Funcion de Transferencia den=[1 2*zeta 1]; % Expresion para el denominador de la Funcion de Transferencia step(num,den) xlabel('tiempo'(seg)),ylabel('Amplitud') % La Gráfica que se obtiene con esta parte del programa es la siguiente

% pause % Ahora veremos la Respuesta del Sistema a la Señal Escalon, para diferentes % Valores de zeta clear all clc num2=[1]; zeta2=0.4; for zeta2=0.4:-0.1:0.1; den2=[1 2*zeta2 1];

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo(seg)

111

111 t=0:0.1:19.9; step(num2,den2,t); hold on; end title('Graficas Respuesta de G(S)=1/(S2+S+1) a Señal Escalon') xlabel('tiempo (seg)'),ylabel('Respuesta al Escalon') hold off % se obtiene la siguiente gráfica

Graficas Respuesta de G(S)=1/(S2+S+1) a Señal Escalon

% Ahora se construye la Grafica en Tres Dimensiones clc,clear all num=[1]; i=1; delta=0.4; y=zeros(200,3); for delta=0.4:-0.1:0.1; den=[1 2*delta 1]; t=0:0.1:19.9; y(:,i)=step(num,den,t); i=i+1;

Señal escalon

1

0

Tiempo(seg)

2

112

112 end mesh(fliplr(y)),xlabel('zeta'),ylabel('tiempo') zlabel('Respuesta al Escalon') title('Grafica Tridimensional de Respuesta a Escalon') % La Gráfica que se obtiene es la siguiente

% Por ultimo, veremos la Respuesta del mismo Sistema % G(S)= 1 / (S2 + S + 1) , a la señal excitadora % Impulso Unitario pause clear all clc wn=1; zeta=1; num=[1]; den=[1 zeta 1]; impulse(num,den),grid on title('Grafica Respuesta de G(S)=1/(S2+S+1) al Impulso') % Fin del Programa

12

34

050

100150

2000

0.5

1

1.5

2

zeta

Grafica Tridimensional de Respuesta a Escalon

tiempo

Resp

uest

a al

Esc

alon

113

113 % se obtiene la siguiente Gráfica

Gráfica Respuesta de G(S)=1/(S2+S+1) al Impulso

Gráfica de una Espiral en el Plano

Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 12-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

114

114

Vibraciones en una Banda Transportadora. Se desea analizar el comportamiento de una carga de masa (m) colocada sobre una banda transportadora que tiene una velocidad vo . Esta carga está asociada a un Sistema Resorte-Amortiguador, como se ilustra en la siguiente figura.

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eje x

Espiral en el PlanoEj

e y

115

115

| Nota: Este Problema fue propuesto por el Dr. Tadeus Majewski, profesor del Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de las Ameritas – Puebla. Las fuerzas que intervienen en este Sistema Dinámico son: 1-) Fuerzas en dirección del eje horizontal ( eje x ): Ff = Fuerza de Fricción entre la carga (m) y la banda transportadora: Dada por: Ff = µ N [ 1 – b v + c v3 ] ; función cúbica de la velocidad, en donde v = vo - (dx / dt) = vo - v $ es la velocidad de deslizamiento de la masa (m) en donde v = dx / dt . En dirección opuesta actúan las siguientes fuerzas: . F1 = k x (de la ley de Hooke ) , y F2 = B v = B (dx / dt) = B x ( de la acción amortiguadora ) 2-) Fuerzas en dirección del eje vertical ( eje y ): N = mg ( N = fuerza opuesta a la acción de la gravedad ) La ecuación Ff = µ N [ 1 – b v + c v3 ] ; se puede expresar como:

m

ß vo

B

k

B = Coeficiente de Amortiguación del Resorte ó Muelle ( Kg,/ seg ) k = Constante de Elasticidad del Resorte ( Newton / mt ) m = Masa de la carga colocada sobre la banda transportadora ( Kg.) vo = Velocidad inicial de deslizamiento

116

116 Ff = µ N [ 1 – b ( vo – v ) + c ( vo –v)3 ] ; función dependiente de la velocidad De esta manera, aplicando la segunda Ley de Newton, la Ecuación que Representa ó Modela el comportamiento de la Carga (m) en el Sistema, es: m ( d2x / dt2 ) + B ( dx / dt ) + k x = µ N [ 1 – b ( vo – v ) + c ( vo –v)3 ] ó también, ( d2x / dt2 ) + (B/m) ( dx / dt ) + (k/m) x = (µ N/m) [ 1 – b( vo – v ) + c ( vo –v)3 ] ó también como: ( d v / dt ) + (B/m) v + (k/m) x = (µ N/m) [ 1 – b( vo – v ) + c ( vo –v)3 ] ó también como: .. . . . x + (B/m) x + (k/m) x = (µ N/m) [ 1 – b( vo – x ) + c ( vo – x )3 ] a partir de esta última ecuación (una EDO de 2° orden no-lineal), se puede obtener un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, haciendo los siguientes cambios de variables: . .. x = X1 ; y x = X2 , de donde se tiene que X2 = - (B/m) X1 - (k/m) x + (µ N/m) [ 1 – b( vo – X1 ) + c ( vo – X1)3 ] A continuación, veremos como resolver este Sistema de ecuaciones diferenciales, usando Matlab. Primero construiremos una Función (function) que programe a dicho sistema de ecuaciones diferenciales function xpunto = ec_dif( t , x ) % el archivo – function de Matlab, se graba con el nombre ec_dif.m global B k mu N b vo c m xpunto(1) = x(2); xpunto(2) = -(B/m)*x(2) – (k/m)*x(1) + + (mu*N/m)*( 1 – b*(vo – x(2)) + c*(vo – x(2)) ^3); xpunto = xpunto’ ; % transposición del vector xpunto (de horizontal a vertical) % fin de la función de Matlab

117

117 Ahora, elaboraremos el Programa que utiliza la función generada para Resolver el Problema en cuestión. % Programa que determina el Desplazamiento, la Velocidad y construye la % Gráfica Trayectoria Velocidad vs Desplazamiento de la carga de masa (m) % colocada sobre una Banda Transportadora, unida a un sistema Resorte % Amortiguador clear all close all clc global B k mu N b vo c m tiempo = linspace(0 , 8 , 10000) ; t = tiempo ; % se introducen las condiciones iniciales xo = [ 0 0 ]’ ; % Datos para el Problema B = 0.1 ; c = 0.1 ; b = 0.3 ; m = 1 ; k = 1.6e3 ; N = 9.8 ; mu = 0.6 ; vo = 1.5 ; % llamado a subrutina ó función, para resolver el sistema de ecuaciones % diferenciales ( función grabada como ec_dif.m ) [t , x ] = ode23(‘ec_dif’, tiempo, xo ) ; pause % construcción de la Gráfica Posición vs tiempo plot( t , x( : , 1 ) ) grid on xlabel(‘ tiempo ‘) ylabel(‘ posición ‘) legend(‘ vo = 1.5 ‘) % se obtiene la siguiente gráfica: Gráfica Posición vs tiempo PENDIENTE ¿????????????????????

118

118 pause % Construcción de la Gráfica de la Trayectoria ( velocidad vs desplazamiento ) Figure plot( x( : , 1 ) , x( : , 2 ) ) axis(‘ square ‘) grid on xlabel(‘ desplazamiento x ‘) ylabel(‘ velocidad v ‘) % Fin del Programa

119

119

120

120 Algunos Comandos Especiales de MATLAB dbstop ! Cancela Breakpoints dbclear ! Remueve (elimina) Breakpoints dbcont ! Resume la Ejecución de un Programa de Matlab dbstatus ! Lista todos los Breakpoints dbtype ! Lista el Programa (M-file) con números en cada linea de código dbup ! Cambia el Contexto del Espacio de Trabajo _______________________________________________________________ % Podemos Graficar la Superficie de Riemann para la función % siguiente f(z) = z^(1/3) . clear all, clc, close all cplxroot[3,15]; colormap[hsv]; title(‘f(z)=z^(1/3)’] % ______________________________________________________________ % CONVOLUCIÓN con MATLAB % En los tres primeros renglones definimos un Vector x con los valores de la % secuencia de entrada, la longitud de dicho vector y los indices temporales en % los que está definido. clc, clear all, close all nx=-1:2; 1x=length(nx); x=[1 2 -0.5 0.5]; pause % Luego, en las siguientes tres filas definimos el vector h , su longitud y los % indices temporales en los que está definido nh=0 : 7 ; 1h=length(nh) ; h=ones(1h,1); % ahora se determina la longitud del vector de salida, asi como sus indices % temporales 1y=length(x) + length(h) – 1; % se determina la Convolución como la suma de los productos de cada muestra

121

121 % del vector x por el vector h, adecuadamente desplazado ny=nx(1) + nh(1) : nx(1x) + nh(1h); y=x(1)*[h;zeros(1y-1h, 1)] + x2*[0 ; h ; zeros(1y-1h-1,1)] + + x3*[0 ; 0 ; h ; zeros(1y-1h-2,1)] + x4*[zeros(1y-1h ,h)] ; stem(ny , y) % finalmente se grafica el Resultado fin del programa Documento elaborado por: M.C. Héctor Isaias Escobosa Iribe Culiacán, Sinaloa, México. Año de 2009