Apuntes Engranajes

7/22/2019 Apuntes Engranajes

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DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOODDEEIINNGGEENNIIEERRAAMMEECCNNIICCAA,,EENNEERRGGTTIICCAAYYDDEEMMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 8MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO:ENGRANAJES

TEORA DE MQUINAS - 8.2 -

INDICE

8.1 INTRODUCCIN.8.2 FUNCIN DE LOS ENGRANAJES Y RELACIN DE TRANSMISIN.8.3 CLASIFICACIN DE LOS ENGRANAJES SEGN EL AXOIDE DEL MOVIMIENTO.

8.4 LEY GENERAL DE ENGRANE.PERFILES CONJUGADOS.

8.5 PERFILES DE LOS DIENTES.8.5.1 Perfil de Evolvente.

8.5.2 Otros tipos de perfiles.

8.6 ENGRANAJES CILNDRICO-RECTOS.

8.6.1 Nomenclatura.

8.6.2 Engranajes normalizados.

8.6.3 Relaciones fundamentales.

8.6.4 Generacin de engranajes.

8.6.4.1 Reproduccin.8.6.4.2 Generacin por cremallera.8.6.4.3 Generacin por pin.

8.6.5 Interferencia de tallado y de funcionamiento.

8.6.5.1 Interferencia de tallado o penetracin.8.6.5.2 Interferencia de funcionamiento.

8.6.6 Arco de conduccin y relacin de contacto.

8.6.7 Estudio analtico del perfil de evolvente.

8.6.8 Engranajes corregidos.

8.7 ENGRANAJES CILNDRICO-HELICOIDALES.

8.7.1 Caractersticas.

8.7.2 Plano normal y plano frontal. Relaciones angulares.8.7.2.1 Cremallera de dientes inclinados. Perfil frontal y perfil normal.

8.7.3 Relacin de contacto.

8.7.4 Generacin por cremallera.

8.8 DINMICA DE LOS ENGRANAJES CILNDRICO-RECTOS.

8.8.1 Esfuerzos de contacto.

8.8.2 Potencia transmitida y rendimiento.


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8.1 Introduccin

Los engranajes y las transmisiones de engranajes estn presentes en muchas de lasmquinas que podemos encontrar a nuestro alrededor, adems de ayudar a mover las ruedas yhlices de nuestros medios de transporte, ya sea por tierra, mar o aire.

Sin embargo, la tecnologa asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestinnovedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a laGrecia de la antigedad. As, hasta hace no mucho, se deca que la primera referencia a losengranajes corresponda a Aristteles, o a los discpulos de su escuela, y apareca en el libro"Problemas Mecnicos de Aristteles" (280 a.C.). Tal apreciacin, sin embargo, es incorrecta ya quelo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de friccin.Para una referencia ms acertada deberamos trasladarnos hacia el ao 250 a.C., cuandoArqumedesdesarroll un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseos de mquinasde guerra.

Por otro lado, el mecanismo de engranajes

ms antiguo que se conserva es el mecanismode Antikythera -descubierto en 1900 en la islagriega de ese nombre en un barco hundido-. Elmecanismo, datado alrededor del ao 87 D.C.,result adems ser extremadamente complejo(inclua trenes de engranajes epicicloidales) ypodra tratarse de una especie de calendariosolar y lunar.

Con anterioridad a este descubrimiento, sehaba venido considerando como la primeraaplicacin conocida de engranajes diferencialesepicicloidales al llamado "carro que apuntahacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingeniosomecanismo de origen chino (Fig. 8.0) quemantena el brazo de una figura humanaapuntando siempre hacia el Sur (considerando,eso s, que en las ruedas del carro no existadeslizamiento). Figura 8.0 Carro que apunta hacia el Sur.

Posteriormente, la tecnologa de los engranajes apenas sufri avances hasta llegar a lossiglos XI-XIIIcon el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronoma. Asimismo, alpoco tiempo, el desarrollo en Europa de sofisticados relojes (en muchos casos destinados a

catedrales y abadas) hacia el sigloXIVimpuls tambin de forma importante esta tecnologa.


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Sera, sin embargo, un siglo ms tarde (XV al XVII) cuando las teoras de engrane y lasmatemticas de los perfiles de los dientes de los engranajes -los perfiles cicloides (Desargues) y losperfiles de evolvente (La Hire)- comienzan a ser establecidas. Y es con la revolucin industrial

(mediados del XIX)cuando la ciencia de los engranajes alcanza su mximo esplendor. A partir deeste momento, la aparicin de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas aplicaciones paralos engranajes, y con la llegada del automvil -por ejemplo- la preocupacin por una mayorprecisin y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.

Ya en nuestros das, los mtodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajeshan avanzado de forma considerable. As, por ejemplo, nos podemos encontrar con aplicacionesareas en las que se utilizan engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de granvelocidad y que a su vez deben soportar un carga importante. Al mismo tiempo, por poner unejemplo, las tcnicas de anlisis estructural basadas en la aplicacin del MEF permiten resolver losproblemas de tensiones y esfuerzos dinmicos, as como el clculo de las frecuencias deresonancia para este tipo de engranajes.


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8.2 Funcin de los engranajes yrelacin de transmisin

El objetivo de los engranajes es transmitir una rotacin entre dos ejes con una relacin

de velocidades angulares constante. As, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas oEngrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecnica entre dosejes mediante contacto directo entre dos cuerpos slidos unidos rgidamente a cada uno de los ejes.

La "Relacin de Transmisin" es el cociente entre la velocidad angular de salida 2

(velocidad de la rueda conducida) y la de entrada 1 (velocidad de la rueda conductora):=2/1. Dicha relacin puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- onegativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relacin de transmisin esmayor que 1 (>1) se hablar de un mecanismo multiplicador, y si es menor que 1 (


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8.3 Clasificacin de los engranajessegn el axoide del movimiento

Sea que tenemos dos ejes cualesquiera X1y X2, en

los que queremos obtener dos rotaciones 1 y 2tales que=2/1= cte.

Para conocer los axoides del movimiento, es decir losque definen el movimiento relativo del cuerpo 2 que ha degirar alrededor de X2 respecto del 1 que ha de giraralrededor de X1, daremos a todo el conjunto una rotacin

igual y contraria a 1 , con lo que el cuerpo 1 quedar

inmvil y el 2 tendr un movimiento resultante de 12 ,

cuyo eje instantneo de rotacin y deslizamiento definir en

cada instante el movimiento de que se trata. El lugargeomtrico de estos ejes definir los axoides.

Segn que los ejes sean paralelos, se corten o secrucen hablaremos de tres familias de engranajes:Cilndricos, Cnicos o Hiperblicos.

Figura 8.1 Axoides del

movimiento.

A su vez, en todo engranaje podremos distinguir dos partes claramente diferenciadas: elncleo(limitado por la superficie, generalmente de revolucin, del axoide) y los dientes (integradosen el axoide y cuya aplicacin se ver posteriormente).

De esta manera, partiendo del tipo de axoide que caracteriza el movimiento, y considerando

la disposicin de los dientes, podremos establecer una primera clasificacin de los engranajes:Dientes rectos exteriores Transmiten mov. de rotacin en sentido contrario.Dientes rectos interiores Transmiten mov. de rotacin en el mismo sentido.

Rectos pin cremalleraEngranes cilndricos rectos con una de las circunfs. deradio . La rotacin produce la traslacin.

Rectos escalonadosTransmiten potencia de forma ms suave que losrectos simples.

Cilndricos

Dientes helicoidales

Paso al lmite de los escalonados. Aparecen menosgolpes entre los dientes del pin y la rueda, luegopueden transmitir mayores potencias que los de

dientes rectos. Transmiten entre ejes paralelos.


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RectosCnicos

Helicoidales

Sin fin-corona Transmiten potencias elevadas.Helicoidales de ejes cruzadosHiperblicosHipoidales

No circularesOrientados a aplicaciones concretas, son ms compactos y equilibrados queotros elementos mecnicos que puedan generar el mismo efecto (por ej.,mecanismos de barras y levas). Resultan tambin ms costosos.

Figura 8.2 Clasificacin de los engranajes segn el axoide del movimiento.


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8.4 Ley general deengrane. Perfiles

conjugados

Al actuar entre s para transmitir el movimiento de rotacin, los dientes del engranajeconectados actan de modo semejante a las levas. Cuando los perfiles de los dientes (o levas) sedisean para mantener una relacin de velocidades angulares constante, se dice que tienen"Accin Conjugada".

En general, cuando una superficieempuja a otra, el punto de contacto "c"resulta aqul en donde las superficiesson tangentes entre s. A su vez, encualquier instante, las fuerzas de accin-

reaccin estn dirigidas a lo largo de lanormal comn "ab". Dicha recta recibe elnombre de "Lnea de Accin" y cortara la lnea de centros "O1O2" en un puntoP llamado "Punto Primitivo".

En los mecanismos de contactodirecto, en los que se produce contactoentre superficies que deslizan y/oruedan, la relacin de velocidadesangulares es inversamente proporcional

a la relacin de segmentos quedetermina el "punto primitivo" sobre lalnea de centros (la demostracin seapoya en el teorema de Aronhold-Kennedy), es decir:

1

2

1

2

Figura 8.3 Ley General de Engrane.

PO

PO

2

1

1

2 =

= (1)

donde O1P y O2P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1y

O2 con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relacin de


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transmisin se mantenga constante, el punto P deber permanecer fijo: la lnea de accin, paracada punto de contacto, deber pasar siempre por P.

Lo visto hasta aqu permite enunciar la Ley General de Engrane:

"Para que la relacin de transmisin entre dos perfiles se mantenga constante,es necesario y suficiente que la normal a los perfiles en el punto de contacto

pase en todo instante por un punto fijo de la lnea de centros."

Los perfiles que cumplen esta condicin se dice que son "Perfiles Conjugados". Dado unperfil cualquiera 1que gira alrededor de O1, siempre se puede calcular un perfil 2que girandoalrededor de O2y en contacto con 1d lugar a una relacin de transmisin constante =cte.; esdecir, tal que 2sea el perfil conjugado de 1(Fig. 8.4).

Conocidos O1 y O2 y la relacin de transmisin , se puede calcular el punto primitivo P

situado sobre la lnea de centros (y por tanto las circunferencias primitivas de radios R1 y R2)resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:

dPOPORR 2121 =+=+ (2)

2

1

2

1

1

2R

RPO

PO === (3)

Figura 8.4 Perfiles Conjugados.


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Al lugar geomtrico del punto matemtico que coincide en cada instante con el punto decontacto entre ambos perfiles se le denomina "Lnea de Engrane". Y el ngulo que forma lanormal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la lnea de centros recibe el

nombre de "ngulo de Presin". Este ngulo determina, por tanto, la direccin en la que tienelugar la transmisin de esfuerzos entre ambos perfiles. Si este ngulo vara, la direccin detransmisin de esfuerzos vara y esto es algo que, desde el punto de vista dinmico, puede resultarmuy perjudicial. Lo ideal sera poder obtener una "lnea de engrane" que fuese una lnea recta (conlo que el ngulo de presin se mantendra constante).

Los perfiles conjugadosobtenidos 1y 2tienen, a su vez, una serie de propiedades:

- El perfil conjugado del perfil 2 es elperfil 1.

- Si se fija 1a una ruleta de radio "R

1" y

la hacemos rodar sobre una base deradio "R2" obtenemos una serie deposiciones sucesivas de ese perfil (Fig.8.5). La envolvente del perfil 1 entodas esas posiciones es el perfilconjugado.

- Siempre la normal a dos perfilesconjugados en el punto de contactopasa por P (punto primitivo).

Figura 8.5 Envolvente = perfil conjugado.

- Dado un perfil 1, si dicho perfil 1es el perfil conjugado de 2y ste lo es a su vez delperfil 3: entonces, 1es perfil conjugado de 3(Fig. 8.6).

Figura 8.6 Propiedad transitiva de los perfiles conjugados.


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8.5 Perfiles de los dientes

8.5.1 PERFIL DE EVOLVENTE

Interesa encontrar perfiles conjugados que, por una parte, satisfagan la ley general delengrane y, por otra, sean fciles de construir. Un perfil que cumple estas condiciones es el deevolvente (Fig. 8.7), que se emplea en la mayor parte de los engranes.

Evolvente

Circunferencia base

O

A

Figura 8.7 Perfil de Evolvente.

La Evolventees una curva tal que el lugar geomtricode los centros de curvatura de todos sus puntos forma unacircunferencia.

De forma intuitiva, el perfil de evolvente se obtiene aldesarrollar, mantenindolo tenso, un hilo de unacircunferencia y dibujar la trayectoria de uno de sus puntos.La circunferencia sobre la que se desarrolla se denominaCircunferencia Base, o tambin, evoluta.

Conocido el punto por donde debe de pasar el perfil,se puede calcular por puntos el correspondiente perfil deevolvente. Se traza la tangente a la circunferencia basedesde el punto (A), se divide en segmentos iguales y seavanza sobre la circunferencia base trasladando esossegmentos. Desde cada nuevo punto se traza la tangente(cada vez con un segmento menos), para acabar uniendo losextremos de las sucesivas tangentes.

Entre las propiedades de los perfiles de evolventeestn:1- La lnea de engrane es una recta.

Llambamos lnea de engraneal lugar geomtrico de los puntos de contacto entre perfilesconjugados. En el caso de los perfiles de evolvente la lnea de engrane es AB: la tangentecomn a las circunferencias base de ambos perfiles (Fig. 8.8).

La normal a los perfiles de evolvente, que coincide con la lnea de engrane, da la direccinde transmisin de los esfuerzos

El ngulo que forma la lnea de engrane con la horizontal, reciba el nombre de ngulode presin. El ngulo de presin en este caso es constante, lo que resulta beneficioso

desde el punto de vista dinmico.


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2- Engranan a cualquier distancia entre centros.

Al modificar la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con distintongulo de presin ' y distintos radios primitivos -R1 y R2-. Ello es debido a que larelacin de velocidades depende slo de los radios de la circunferencia base (1y 2), yno de la distancia entre centros. Conclusin que puede deducirse de forma directaobservando la figura 8.8:

cteR

R

PO

PO

cosRcosPOBO

cosRcosPOAO

1

2

2

1

2

1

2

1

2222

1111 ==

===

===

=== (4)

Figura 8.8 Propiedades 1 y 2 de los perfiles de evolvente.3- Los perfiles de evolvente son fciles de generar.

Apoyndose en la frmula de Euler-Savary puede comprobarse que todos los perfiles deevolvente son conjugados entre s, porque todos son conjugados a una ruleta constituidapor un plano mvil con un perfil solidario que es una lnea recta. Dicho plano apoya, a suvez, sobre una base que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje.

Sea un plano mvil, en el que seencuentra una curva Cmde centro decurvatura Om. Su conjugada en elplano fijo es Cf, de centro de curvaturaOf. El punto de contacto entre ambases A (Fig. 8.9).

Sea tambin que se conocen la base yla ruleta del movimiento relativo deambos planos.

La frmula de Euler-Savary establece:

ctesenPOm1

OfP1 =+ (5)

Y tambin se verifica:

Figura 8.9


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cte2

senPO1

PO1

21=

+ (6)

Por lo tanto:( )

21 PO1

PO1senPOm

1OfP

1 +=+ (7)

Figura 8.10

La normal por P (punto primitivo) al perfil rectosiempre es tangente a la circunferencia base.

La envolvente de las distintas posiciones del perfilrecto es el perfil de evolvente. Para comprobarlobasta con demostrar que C (Fig. 8.10) es el centrode curvatura del perfil y que se encuentra sobreuna circunferencia de radio .

Aplicando (7):

( ) +=+ 1R1senP1OfP1 (8)

de donde: OfP=Rsen.

Lo que significa que Of es un punto que est entodo momento sobre una circunferencia de centroO y radio Rcos. Es decir; OfC situado sobre lacircunferencia base de radio =Rcos.

8.5.2 OTROS TIPOS DE PERFILES

Al construir un par de ruedas dentadas, el perfil del diente de una rueda, en general, puedeelegirse arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calcular mediante elmtodo general de determinacin del perfil conjugado de uno dado (Fig. 8.4).

Las ventajas asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que ste seael perfil mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse tambin otro tipo de perfiles,aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones especficas.

As por ejemplo:- Engranajes Cicloides:

La cabeza del diente est trazada por una epicicloide y el pie por una hipocicloide.Tuvieron una gran difusin hace aproximadamente un siglo, en virtud de la facilidad parareproducirlos por fundicin. No obstante, en la actualidad slo se emplean en rarasocasiones para mecanismos especiales.

En estos engranajes el perfil convexo contacta con el cncavo. Ello hace que la presinespecfica en este tipo de contacto sea menor que cuando estn en contacto dos perfilesconvexos. Sin embargo, esto mismo les hace ser muy sensibles a las variaciones en ladistancia entre ejes, precisando de un gran ajuste.


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Al mismo tiempo, la velocidad dedeslizamiento que tiene lugarentre dos dientes de este tipo es

constante en cada una de laszonas del diente; y en amboscasos es significativamentemenor que en el caso de losengranajes de evolvente. Ello dalugar a un nivel de desgaste deldiente tambin inferior.

No obstante, en el punto delperfil situado sobre lacircunferencia primitiva (y queconstituye la frontera entre elperfil cncavo y el convexo) seproduce un cambio brusco de lavelocidad de deslizamiento y,como consecuencia, elquebrantamiento superficial delmaterial alrededor de ese puntoes ms probable en unengranaje cicloidal que en unode evolvente.

Figura 8.11 Engranajes Cicloides

Por ltimo, la lnea de engrane no resulta ser una lnea recta, con lo que el ngulo depresin vara. Debido a ello, varan tanto las magnitudes de las fuerzas de reaccin en loscojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que conduce al aflojamiento delos cojinetes. Al mismo tiempo, al ser el desgaste del diente proporcional a la fuerza depresin, el desgaste se lleva a cabo de forma desigual.

- Engranaje de Reloj:

Utilizado en mecanismos de relojera y en ciertos aparatos. Son similares a los cicloides,pero en ellos la cabeza del diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras queel pie tiene una configuracin rectilnea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen unfuncionamiento muy suave.

- Engranaje de Linterna:En ellos el perfil de los dientes de una de las ruedas es una circunferencia; esta rueda sedenomina "rueda de linterna" y sus dientes "barrotes". Los barrotes pueden estar fijos deforma solidaria al cuerpo o ncleo de la rueda, o poseer ejes que permitan su rotacin -eneste caso las prdidas por rozamiento resultan pequeas-.

Se emplean en transmisiones lentas de grandes dimensiones que no exigen una granexactitud, ya que si bien la fabricacin de la "rueda linterna" es muy sencilla, no ocurre lomismo con la otra rueda.


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8.6 Engranajes cilndrico-rectos

Los engranajes cilndricos transmiten una rotacin entre dos ejes paralelos separados unadistancia "d" y con una relacin de transmisin =2/1 constante dada. Sus antecesores enllevar a cabo esta tarea son los "Cilindros o Ruedas de Friccin" (Fig. 8.12), para cuyo

dimensionamiento basta con resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas siguiente:dRRdRR 1221 ==+ (9)

(cilindros exteriores o interiores)

2

1

1

2R

R== (10)

de donde se pueden despejar los radios de los cilindrosrozantes:

1

dR

1

dR 21

+

=

+

= (cils.ext.) (11)

=

=1

dR

1

dR 21 (cils.int.) (12)

Figura 8.12 Cilindros de Friccin

Figura 8.13

Pero en este tipo de mecanismos, latransmisin de esfuerzos es muy desfavorable, yaque el esfuerzo normal de contacto pasa por elcentro de giro sin proporcionar momento.

Por tanto, el par transmitido se reduce al

originado por la fuerza de rozamiento Froz=T=.N(Fig. 8.13) y como los valores de son reducidos,se precisan N muy elevadas para obtener unatransmisin de momentos motores pequea.

Ello limita el empleo de ruedas de friccin y obliga a adoptar perfiles en los que se aprovecheel par creado por N. Estos mecanismos se deslizan y ruedan, uno sobre otro, y constituyen los"Mecanismos de Palancas Rodantes con Deslizamiento", pero el movimiento que proporcionanno es continuo. Para resolver esta cuestin se plantea el uso de varias palancas sucesivas igualescuyo contacto asegura la conduccin slo durante una fraccin de vuelta; suficiente para que el parde palancas siguientes tome contacto y contine la transmisin de movimiento. Surgen as las

"Ruedas Dentadas o Engranajes".


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8.6.1 NOMENCLATURA

En la figura 8.14 puede observarse el desarrollo de los dientes de un engranaje cilndrico

recto, a la vez que la nomenclatura empleada en el estudio de los engranajes.

Figura 8.14 Nomenclatura de los engranajes

Los parmetros que permiten definir un engranaje y la nomenclatura empleada en ellos son:- Circunf. primitiva(R), o de paso: la

del cilindro rodante o de friccinequivalente.

- Circunf. exterior(Re): llamadatambin de cabeza ode addendum.

- Circunf. interior(Rp): Llamadatambin de fondo,de pie odededendum.

- Anchura de cara o Longitud deldiente: dimensin del diente medidaen direccin axial.

- Addendum (a): distancia radial entrela c. primitiva y la de cabeza.

a = Re R

- Dedendum(l): distancia radial entre lac. primitiva y la de pie: l = R - Rp

- Paso circular(p): distancia entre dospuntos homlogos de dos dientesconsecutivos. En general, se midesobre la c. primitiva: p = 2R/z

- Paso angular(pa): ngulo entre dospuntos homlogos de dos dientesconsecutivos. pa= 2/z

- Hueco(h): anchura del hueco entre

dientes sobre la c. primitiva: h = p - e- Juego(j): diferencia entre el hueco de

un diente y el espesor del que engranacon l: j = h1- e2

- Holgurao espacio libre de fondo(c):diferencia entre el dedendum de undiente y el addendum del que engranacon l: c = l2- a1


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- Altura del diente(hT): distancia radialentre la c. de pie y la de cabeza:

hT= a + l- Espesor del diente(e): medido sobre

la c. primitiva.

- N de dientes(z): n de dientes quetiene el engranaje.

- Mduloo paso diametral(m, pd):cociente entre el dimetro primitivo delengranaje y el n de dientes:

m = 2R/z = p/

- Pin, rueda, borde superior o cabeza,cara (copa), flanco, fondo o bordeinferior y radio de acuerdo o chafln.

El valor numrico de mdulo determina el tamao del diente, ya que el paso es el mismo sinimportar si los dientes se colocan en una rueda pequea o en una rueda grande -a mayor "m",mayor ser el diente-. Por otro lado, y con respecto a otro tipo de pasos (p, pa) el mdulo o pasodiametral tiene la ventaja de no depender del nmero .

8.6.2 ENGRANAJES NORMALIZADOS

En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entres deben de cumplir las siguientes condiciones.

- Tener el mismo mdulo ( o mismo paso circular, ya que m = p /).

- Igual ngulo de presin de generacin .

- Presentar addendum y dedendum normalizados.

- Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia primitiva.

Un "Sistema de Dientes" es una norma que especifica las relaciones que deben existir entreaddendum, dedendum, espesor del diente y ngulo de presin, con el objetivo de posibilitar laintercambiabilidad de las ruedas dentadas. No obstante, tambin hay que constatar que lanecesidad de obtener ruedas de alto poder de transmisin puede aconsejar importantesdesviaciones con respecto a lo sealado en los sistemas de ruedas normalizadas.

En el estado espaol, la construccin y valores a emplear para los engranajes ha sidonormalizada por el Instituto Nacional de Racionalizacin del Trabajo, siguiendo las recomendacionesde la norma ISO. As, existe una normalizacinsobre:

- El valor a tomar para el mdulo del engranaje. Estn definidas tres series de valores

representadas en la tabla 8.2, de los que conviene evitar los valores comprendidos en lasseries II y III, dando preferencia a los mdulos comprendidos en la serie I.

I 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20

II 1,125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 18

III 3,25 3,75 6,5

Tabla 8.2 Series de mdulos normalizados

- el tipo de diente: normalo corto. Se establecen sus dimensiones con respecto al valordel mdulo "m".


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Diente normal:

- addendum (a) = 1.00 m

- dedendum (l) = 1.25 m- espacio de fondo (c) = 0.25 m

Diente corto:

- addendum (a) = 0.75 m

- dedendum (l) = 1.00 m- espacio de fondo (c) = 0.25 m

- la cremallera tipo y, en consecuencia, los dientes con ngulo de presin de valor 20;aunque, muy ocasionalmente, puedan emplearse 14.5 y 15.

Las normas que recogen estas recomendaciones son: UNE 18016, UNE 18022y UNE 18028

8.6.3 RELACIONES FUNDAMENTALES

A partir de la definicin de mdulo, puede obtenerse una expresin para la relacin detransmisin "" en funcin del n de dientes del las dos ruedas que constituyen el par de engrane:

2

1

2

1

2

1

1

2

z

z

2mz

2mz

R

R===

= (13)

Por lo tanto, al dentar las ruedas de friccin aparece una nueva condicin sobre lasvelocidades angulares de los engranajes: la relacin de transmisin viene determinada por losnmeros de dientes de las ruedas que engranan. Al ser el nmero de dientes siempre un nmeroentero ello implica que no ser posible, en general, obtener cualquier relacin de transmisin;mxime si se tiene en cuenta que tambin estar limitado el nmero mximo y mnimo de dientes asituar sobre una rueda dentada.

Por regla general, se tratar de aproximar la relacin "" por un cociente de dos nmerosenteros, de forma que el error cometido sea el menor posible, y siempre dentro de loscondicionamientos de tipo constructivo o funcional que nos vengan impuestos. En este sentido, unmtodo de aproximacin posible es el de las "fracciones continuas".

8.6.4 GENERACIN DE ENGRANAJES

Los procedimientos de tallado de ruedas dentadas se dividen en dos grandes familias:

- Procedimientos de reproduccin.

- Procedimientos de generacin o rodadura.

8.6.4.1 Reproduccin

En los procedimientos de tallado de ruedas dentadas por reproduccin, el borde cortante dela herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por ejemplo, delhueco entre dientes contiguos). Como consecuencia, estos mtodos precisan de un nmero elevadode herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo mdulo hace falta unaherramienta para cada nmero de dientes puesto que el hueco interdental vara.

Se pueden distinguir los siguientes procedimientos:


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- Fundicin: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el materialcolado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera elsobreespesor que va asociado a la fundicin.

- Procesos de metalurgia de polvos (pulvimetalurgia).

- Estampacin: La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futurarueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas.

- Estrusiny rebanado.

- Mediante cortadores conformadores: El cortador tiene la forma exacta del huecointerdental. Cabe distinguir dos procedimientos segn la mquina herramienta utilizada:

+ Cepillado: La herramienta en la seccin perpendicular a la direccin de su movimientotiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el contorno del huecointerdental del engranaje a tallar.

+ Fresado: Es un mtodo degran difusin, similar a latalla por cepillado, pero aquen lugar de una cuchilla conforma determinada se utilizacomo herramienta una fresaespecial estandarizada -la"fresa de mdulo"- cuyosdientes tienen perfilesidnticos a la forma del

hueco interdental que sepersigue. Al final de cadaoperacin de fresado la fresavuelve a su posicin inicial yla pieza bruta gira un nguloigual a 1/z de vuelta parapoder fresar el siguientehueco. Figura 8.15 Generacin de engranajes: Fresado

Figura 8.16 Evitar el acuamiento

El elevado precio de una "fresa de mdulo" y larapidez con la que se desgastan obliga a recurrir

a una cierta inexactitud en el tallado al emplear lamisma fresa para ruedas con un n de dientescercano a aqul para el que est diseada lafresa. Lo habitual es utilizar juegos de 8 fresas demdulo -en ocasiones tambin de 15 26 parauna mayor exactitud- de forma que cada fresa secorresponde con el nmero menor de dientes desu serie, ya que al aumentar "z" disminuye elhueco interdental, evitando de esta manera elpeligro de "acuamiento".


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8.6.4.2 Generacin por cremallera

Aprovechando la ltima propiedad del perfil de evolvente -todos los perfiles de evolvente sonconjugados a una ruleta constituida por un plano mvil, que apoya sobre una base que es lacircunferencia primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una lnea recta-, podemosgenerar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la lnea primitiva de sta ruedesobre la circunferencia primitiva del engranaje.

La cremallera consiste en varios planos rectos unidos rgidamente, de modo que puedengenerarse simultneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, lacremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano del dibujo(Fig. 8.17). Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se gira el engrane que se esttallando un ngulo , se avanza la cremallera R.y se corta otra vez. Repitiendo esta operacin

sucesivas veces obtenemos el engrane

Figura 8.17 Generacin de engranajes: Cremallera

8.6.4.3 Generacin por pin

Como todos los perfiles de evolvente son conjugados entre s, tambin podemos generar unarueda hacindola engranar con un pin herramienta (H) con un determinado nmero de dientes(zH). El proceso de tallado puede llevarse a cabo de dos formas posibles:

- Si la pieza bruta (B) de la futura rueda dentada (Fig. 8.18) se fabrica en material blando,girando ambas piezas tal y como se aprecia en la figura con velocidades y H, laherramienta (H) penetra en la pieza bruta (B) generando los perfiles conjugados a losperfiles de los dientes de la herramienta. Este mtodo -poco extendido- se suele emplearpara ruedas dentadas de mdulo pequeo.


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8.6.5 INTERFERENCIA DE TALLADO Y DE FUNCIONAMIENTO

Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a lainterferencia de la propia materia. Pueden distinguirse, en base a lo visto, dos tipos:

- Interferencia de tallado o penetracin.

- Interferencia de funcionamiento.

8.6.5.1 Interferencia de tallado o penetracin

Habr que diferenciar si el tallado se lleva a cabo con

cremallera o con pin. Este tipo de interferencia tiene lugarcuando la cremallera o el pin de generacin cortan material enpuntos situados en el interior de la circunferencia base -es decir,ms all de donde termina el perfil de evolvente-.

Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y provocaun debilitamiento en la base del diente que afecta muynegativamente a sus propiedades resistentes. Figura 8.20 Penetracin

El tallado de un engranaje con cremallerase realiza haciendo rodar la "lnea primitiva de lacremallera" (circunferencia primitiva de R = ) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. As losdientes de la rueda se tallan como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (envolventes

de sus sucesivas posiciones).Pero hay que tener en

cuenta que el perfil de evolventetermina en el punto C -punto dela circunferencia base-, y si lalnea exterior de la cremallerapasa por debajo de C seproduce interferencia de tallado.

En la figura 8.21 se harepresentado la posicin

extrema de tallado, en la que lacremallera est tallando el puntoC de evolvente (ltimo puntoposible del perfil de evolvente.

Figura 8.21 Tallado con cremallera

Para que ello no ocurra, el addendum de la cremallera "ac" deber cumplir:

acPM = CP sen= R sen2 (14)

y recordando que (por definicin) m = 2R / z 2c sen2mz

a (15)


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Si la cremallera est normalizada ac= m y la condicin para evitar la interferencia de talladoser:

2sen2z (16)

Por lo tanto, la generacin con cremallera nos impone un lmite en el nmero de dientes quepodemos tallar con ella. En la prctica, y dado que est normalizado y su valor suele ser de 20,el nmero de dientes z 17.1 z 18. Luegose podrn generar ruedas de ms de 18 dientescon altura de cabeza "m" y =20.

Existen, no obstante, varios mtodos que permiten salvar esta limitacin:

1- Disminuir el tamao del addendum de la cremallera a 0.8m: z 13.68

2- Aumentar a 25. Entonces: z 11.2

3- Tallar engranajes corregidos, es decir, con cremallera desplazada.

Por otro lado, cuando se trata detallado de engranajes con pin dadoque las puntas de los dientes del pinsiguen trayectorias circulares, el problemade interferencia de talladoser ms difcilque aparezca.

En este caso (Fig. 8.22), el ngulo depresin "" viene dado por el radio base del

pin y por el radio primitivo, y la condicina cumplir para que no se presente este tipode interferencia es que la circunferencia detallado mximo, que viene dada por lacircunferencia exterior del pinherramienta, no penetre en la circunferenciabase de la rueda tallada ms all del puntoC1-que C no llegue ms all de C1.

Figura 8.22 Tallado con pin

Es decir: R2+ a

tO

2C

1, siendo a

tel addendum del pin de tallado. Donde recordando

que Ri= mzi/2 y siendo (O2C1)2= (R12+ 2R1R2)sen2+ R22se puede obtener el nmero mnimode dientes que pueden tallarse con un pin dado.

8.6.5.2 Interferencia de funcionamiento

Tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas entra en contacto con el de la otra en unpunto que "no est tallado" como funcin evolvente, tanto en el caso de que se pretenda engranarfuera de "segmento de engrane" -segmento C1C2sobre la lnea de engrane en la figura anterior-,como en el que se pretenda engranar en un punto de este segmento que no est tallado como perfil


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de evolvente (al fin y al cabo, al tallar el engranaje bien sea con cremallera, bien con pin, nadaimplica que haya que tallar justo hasta llegar a la circunferencia base).

En el caso de que ambos engranajeshayan sido tallados con una cremallera (del mismoaddendum -para simplificar- ac) y suponiendo que en la rueda de menor nmero de dientes -pin-se cumple la condicin vista (15) para que no haya interferencia de tallado, el peligro deinterferencia de funcionamiento siempre estar en la rueda de menor dimetro.

Figura 8.23 Tallado con cremallera

Figura 8.24 - Detalle

Se deber cumplir:

( ) + senRsenRcosRaRCPAP 1222

22

2 (17)

Pero, adems el addendum de la cremallera de tallado debe ser tal que el punto A estrealmente tallado. En la figura se observa que AP A'P, siendo A' el ltimo punto de la lnea deengrane tallado por la cremallera, es decir AP senac

De donde se obtiene la condicin para evitar este tipo de interferencia:

( )

+

sen

asenRcosRaR c222

22

2 (18)

De forma anloga, suponiendo que ambos engranajeshan sido tallados con un pin(delmismo addendum at) que cumple la condicin necesaria para evitar la interferencia de tallado en larueda de menor nmero de dientes, para que no se presente interferencia de funcionamiento setendr que cumplir que: AP CP (Figs. 8.25 y 8.26).

Pero si adems engranamos esa rueda pequea con otra de radio R2 Rt (radio de la

circunferencia primitiva del pin de tallado), deber de comprobarse que AP A'P quedesarrollado resulta:

( ) ( ) ++ senRcosRaRsenRcosRaR t22

t2

tt222

22

2 (19)


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Figura 8.25 Tallado con pin

Figura 8.26 Detalle

8.6.6 ARCO DE CONDUCCIN Y RELACIN DE CONTACTO

Se denomina ngulo de conduccin (t) al ngulo girado por el engranaje desde que dosdientes establecen el contacto hasta que lo pierden. A su vez, arco de conduccin(qt) es el arcodeterminado por el ngulo de conduccin sobre la circunferencia primitiva. Cada uno de los dosengranes que forman el par de engrane tiene su propio ngulo de conduccin (1y t2), pero ambosngulos interceptan el mismo arco sobre la circunferencia primitiva, ya que se parte del supuestoprevio de la rodadura entre circunferencias primitivas.

Todos los puntos de contacto entre los dientes estn situados en el segmento de engraneAB definido sobre la lnea de engrane por las circunfs. exteriores de los engranajes (Fig. 8.27).

El punto A corresponde al contacto delflanco del diente conductor con la punta deldiente conducido y el Bal punto en que se pierdeel contacto entre la punta del diente conductor yel flanco del diente conducido.

Dentro de ese contacto entre los dosdientes se distingue una fase de aproximacin-entre el instante en el que los dos dientes entranen contacto (A) y el instante en el que el puntode contacto es el punto primitivo P- y una fasede retroceso o alejamiento -desde el instanteanterior hasta el momento en el que ambosdientes dejan de estar en contacto (B)-.

Figura 8.27 Zona de engrane


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A partir de ah se definen:

- AP: Segmento de aproximacin.

- a: ngulo de aproximacin.- qa: Arco de aproximacin.

- BP: Segmento de alejamiento.

- r: ngulo de alejamiento.- qr: Arco de alejamiento.

De la definicin de evolvente se deduce que existe una relacin directa entre las distanciasmedidas sobre la lnea de engrane y el ngulo girado por el engranaje. En efecto, de la idea intuitivade ver la evolvente como un hilo que va enrollndose en la circunferencia base, se concluye que lasdistancias medidas sobre la lnea de engrane -lo que se acorta el hilo- son iguales a los arcosmedidos sobre la circunferencia base -lo que se recoge el hilo sobre la circunferencia-.

Figura 8.28

Entonces se cumplir (Fig. 8.28) que:

AP=A'P' y PB=P'B'.

Y se trata de determinar qu ngulo giran losengranajes cuando se pasa del punto de contacto en A alcontacto en B. Sabemos que:

=

=

=

=

22r

22a

2r2

2a2

PB

AP

PB

AP (20)

Por geometra:

( ) +== senRaRPDADAP 222

222 (21)

( ) +== senRaRBDPDPB 121211 (22)

El arco de conduccin ser por lo tanto:

( ) ( )2222r2a2t PBAPRRq +=+= (23)

que de forma desarrollada puede expresarse:

( ) ( ) ( ) ++++= senRRaRaRRq 2122

222

21

21122t (24)

Por otro lado, se llama relacin de contacto(c) al cociente entre el arco de conduccin y elpaso circular (c = qt / p). Da una idea del nmero de dientes que engranan en cada instante ynunca podr ser menor que la unidad. Por ejemplo, una relacin de contacto de 1.8 significa que el80% del tiempo hay dos pares de dientes en contacto simultneamente, mientras que el 20%restante slo hay uno.

Cuanto mayor sea esta relacin de contacto, menor ser el esfuerzo que soporta cada diente-ya que el esfuerzo de transmisin se reparte entre un nmero mayor de dientes- y, por tanto, mayorpodr ser la potencia a transmitir por el par de engrane. El inters se fijar por ello en la obtencinde relaciones de contacto altas. Normalmente, se recomienda que la relacin de contacto alcance,por lo menos, un valor de 2, a poder ser entero y nunca menor que 1 -o, mejor dicho, nunca menorque 1.2, para evitar que los errores de fabricacin y montaje den lugar a una c


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Por otro lado, las cada vez mayores exigencias de confort obligan a reducir el nivel de ruidoen los engranajes. En este ruido existen dos componentes fundamentales: el ruido provocado por elchoque de dos dientes en el momento en que empiezan a engranar, y el ruido generado por el

rozamiento entre dos dientes que estn deslizando entre s. Ambos casos dependen directamentede la fuerza que deba transmitir cada par de dientes, y ello depende -como se ha visto- de larelacin de contacto: cuanto mayor sea sta, menor ser el esfuerzo normal entre los dientes queestn engranando y, por lo tanto, menor ser el ruido de engrane y mayor el confort.

8.6.7 ESTUDIO ANALTICO DEL PERFIL DE EVOLVENTE. ESPESOR DEL DIENTE

Figura 8.29 Perfil de evolvente. Estudio analtico

Observando la Figura 8.29 y teniendoen consideracin el sentido fsico de laevolvente (desenrolle de un hilo), el arco BA

coincide con AT, luego:

( ) ( )( )

( )+=

=

+=

=

tg

ABarcAT

ABarc

tgAT

(25)

de donde despejando se obtiene ladenominada Funcin Evolvente de :

( )== Evtg (26)

y, a su vez, despejando resulta la FuncinEvolvente Inversa de :( )= 1Ev (27)

Dado el ngulo , calcular su funcin evolvente () resulta sencillo, basta una simplecalculadora; sin embargo, el problema inverso es ms complicado y su resolucin precisa el uso devalores tabulados y su posterior interpolacin, o el empleo de una calculadora programable.

A partir de aqu, la ecuacin del perfil de evolvente puede escribirse en coordenadas polares(r, ) de la forma::

( )( )

=

= 1Evcoscosr (28)

Para hallar el espesor del dienteen un punto T, conocido dicho espesor en otro punto A, elanlisis de la Figura 8.30 de la pgina siguiente permite establecer las siguientes relaciones:

AAA

TTT

R2e

R2e

=

= (29)

( ) ( ) AATTAATT

EvEv +=+

+=+ (30)


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Operando:

( ) ( )TAAT EvEv += (31)

Y sustituyendo en (29):( ) ( )[ ]TATATT EvEvR2R2e += (32)

( ) ( )[ ]TATA

ATT EvEvR2R2

eR2e += (33)

De donde se puede deducir la formula que nospermite calcular el espesor del diente en un puntocualquiera T, conocido el espesor en un punto A:

( ) ( )[ ]

+= TAA

A

TT EvEv2R

e

Re (34) Figura 8.30

Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva(es decir, A est sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin correccin,como se ver en el prximo apartado) se verifica que eA= p/2 = m/2, siendo A = = ngulo depresin.

Figura 8.31 - Apuntamiento

Al mismo tiempo, la expresin (34) obtenida permitedeterminar el addendum mximo permitido en los dientes paraevitar el apuntamiento-para evitar que el espesor del diente lleguea hacerse 0 como se aprecia en la Figura 8.31-. Para ello, bastacon aplicar dicha expresin para un punto de la circunferenciaexterior del diente y obligar a que su espesor en ese punto sea 0.

8.6.8 ENGRANAJES CORREGIDOS

Los engranajes vistos hasta ahora son engranajes normales o tallados a cero, es decir,tallados de forma que la circunferencia primitiva de tallado (la que rueda sobre la lnea primitiva delpin o de la cremallera) tiene igual espesor de diente que de hueco. Adems del inters que sepuede tener en obtener una relacin de contacto razonable y en mejorar la resistencia mecnica de

los dientes de las ruedas, estos engranajes tienen dos importantes limitaciones:- Un n de dientes mnimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado (16):

2sen

2z (35)

- La distancia entre centros viene impuesta por la normalizacin de los mdulos y losnmeros de dientes, ya que:

( )2121 zz2m

RRd +=+= (36)


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La solucin a estas necesidades y problemas viene dada por los engranajes corregidos. Laidea consiste en tomar como lnea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generacinpor cremallerauna lnea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco.

Es decir, consiste (Fig. 8.32)en desplazar la cremallera unacantidad 'xm', donde xes llamadofactor de correccin y m el mdulodel engranaje. Una correccinpositiva, evitar la interferencia detallado y el apuntamiento del diente.

Figura 8.32 Correccin positiva en tallado con cremallera

Se puede, en tal caso, plantear el problema de interferencia de tallado de modo inverso:conocido el nmero de dientes a tallar, calcular cul ser el factor de correccin mnimo para que notenga lugar interferencia de tallado.

Figura 8.33 Correccin con cremallera

Analizando la Figura 8.33 adjunta,donde se ha desplazado la cremallerauna distancia xm, puede deducirse quepara que no exista interferencia de talladoha de cumplirse que:

( ) senCPx1m (37)

siendo

== 22 sen

2

mzsenRsenCP

De donde, recordando (35):

itelm

2

zz1

2senz

1x =

(38)

Por otro lado, en lo referente a la limitacin de la distancia entre centros, sean dos ruedas R 1y R2 talladas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x 1 , x2. Si x1 y x2 sonpositivos, las ruedas no engranarn a la distancia d = R1+ R2, porque ha aumentado el espesor delos dientes en las circunferencias primitivas de tallado, y cada diente no cabe en el hueco de la otrarueda. Anlogamente, si ambas son negativas, existir gran holgura entre el espesor del diente y el

hueco sobre la circunferencia primitiva. Y cabe la posibilidad de que x1 y x2 sean de signoscontrarios.

En cualquier caso, las ruedas engranarn a otra distancia entre ejes y los radios de lascircunferencias primitivas de tallado no coincidirn con los de las circunferencias primitivas defuncionamiento.

Tal y como se observa en la Figura 8.34 de la pgina siguiente, los nuevos radios primitivosde funcionamiento R1vy R2vse hallarn situando los engranajes a una distancia tal que el espesordel diente de una rueda coincida con el hueco de la otra. La nueva distancia de engrane ser ahorad = R1v+ R2v. Por otro lado, al variar la distancia tambin variar el ngulo de presin, designadopor v.


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Engranajes sin correccin Engranajes corregidos Condiciones de funcionamiento

Figura 8.34 Condiciones de funcionamiento de engranajes corregidos

Las circunferencias base no varan, por lo que se cumple:

VV222

VV111

cosRcosR

cosRcosR

==

== (39)

Para deducir las condiciones de funcionamiento de los engranajes corregidos habr queestudiar la forma en que vara el espesor del diente. Partimos para ello (Fig. 8.35) de una

cremallera en la que colocamos la lnea primitiva y la lnea media (lnea en la que la que la anchuradel diente es igual a la anchura del hueco, y que en el caso de engranajes no corregidos coincidecon la lnea primitiva). Podemos distinguir:

Figura 8.35

- e: espesor del diente tallado a cero -con lacircunferencia primitiva normal-

e = p/2 = m/2 (40)

- e': espesor del diente tallado con lacircunferencia primitiva con correccin(circunferencia primitiva de tallado).

+= tgmx2e'e (41)

Los espesores de los dientes sobre las circunferencias primitivas de tallado sern entonces:

+=

+=

tgmx22me

tgmx22me

2,2

1,1

(42)

con lo que al variar el espesor del diente y en igual medida, pero con signo contrario, la anchura delhueco en las circunferencias primitivas de tallado, stas ya no podrn ser las circunferenciasprimitivas de funcionamiento.


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Teniendo en cuenta la expresin vista para el espesor de un diente para un radio dadoconocido el espesor en otro punto del mismo (34), los espesores del diente en las nuevascircunferencias primitivas de funcionamiento sern:

( ) ( )[ ]

+= V1

,1

V1,V1 EvEv2R

eRe (43)

( ) ( )[ ]

+= V2

,2

V2,

V2 EvEv2R

eRe (44)

E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobrelas circunferencias primitivas de funcionamiento:

1

V1

1

V1

1

V1V

,V2

,V1

R

Rm

mR2

R2

z

R2pee =

=

==+ (45)

Sustituyendo (43) y (44) en la expresin (45) anterior queda:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1

V1V

2

,2

V2V1

,1

V1 R

RmEvEv2

R

eREvEv2

R

eR =

++

+ (46)

que, operando, resulta:

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ }1

V1V2

,2

2

V2V1

,1

1

V1

R

RmEvEvR2e

R

REvEvR2e

R

R=+++ (47)

Teniendo en cuenta que, segn (39) la relacin de radios permanece constante,

2V

1V

2

1

2

1

R

R

R

R==

, se puede simplificar esta expresin quedando:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =+++ mEvEvR2eEvEvR2e V2,2V1

,1 (48)

Sustituyendo (40) y (41), sacando factor comn y simplificando:

( ) ( )

( ) ( )[ ] 0EvEv2

zzmtgxxm V

2121 =

+++ (49)

Luego de la condicin geomtrica de que un engranaje engrane con otro sin juego, se obtieneuna relacin entre las correcciones y las condiciones de funcionamiento:

( ) ( ) ( )

( )

+

++= tg

zz

xx2EvEv

21

21V (50)


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8.7 Engranajes cilndrico-helicoidales

8.7.1 CARACTERSTICAS

Los engranajes rectos tienen la caracterstica de que cada diente empieza a engranarbruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los pequeoserrores geomtricos inevitables en la fabricacin de los dientes se traducen en pequeos choques alempezar el engrane, acompaados del correspondiente ruido. Adems, al ser variable con el tiempoel nmero de dientes en contacto (por ejemplo, para una relacin de contacto del 1,7), ello setraduce en variaciones de carga sbitas sobre los dientes(no es lo mismo que un diente soportetoda la carga que sta sea repartida entre dos); es decir, variaciones bruscas de la fuerzatransmitida a cada diente.

Debido a esto, los engranajes cilndricos rectos no resultan adecuados para transmitirpotencias importantes (producen vibraciones, ruidos,...).

Una primera aproximacin para solucionar este problema podra consistir en tallar engranajesrectos desplazados, de modo que los saltos sbitos se suavicen. Es lo que se conoce comoengranajes cilndricos escalonados (Fig. 8.36) y su funcionamiento es tanto ms suave cuantomayor es el nmero de escalones en los que es tallado el engranaje.

Figura 8.36 Las ruedas helicoidales pueden considerarse el lmite de una rueda escalonadaLa idea de los engranajes helicoidales surge as como el paso al lmite de los engranajes

escalonados, en donde los saltos son tan pequeos (infinitesimales) que hay continuidad (Fig. 8.36).En ellos, el engrane de dos dientes empieza y termina de forma gradual, lo que se traduce en unamarcha ms suave (menos ruido y vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permitenobtener, con cualquier nmero de dientes, una relacin de contacto tan grande como se desee.


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8.7.2 PLANO NORMAL Y PLANO FRONTAL. RELACIONES ANGULARES

En una rueda

helicoidal (Fig. 8.37), unaseccin por un plano normalal eje de giro presenta unperfil anlogo al de unarueda de dientes rectos(perfil de evolvente, ngulode presin, lnea deengrane, ...). Este es elperfil frontal de la rueda,situado sobre el planofrontal o aparente. Figura 8.37 Angulo de inclinacin en el cilindro base b

En sucesivos planos paralelos al anterior, se va repitiendo el mismo perfil, pero desfasadorespecto al plano frontal de tal manera que la base del flanco del diente traza sobre el cilindro debase de las evolventes una hlice de ngulo de inclinacin b(ngulo de inclinacin en el cilindrobase).

Figura 8.38 Helicoide reglado

La forma que toman los flancos delos dientes es una superficie llamadahelicoide reglado. Esta superficie es laque engendra el segmento AB de laFigura 8.38 cuando el plano ABCD se

enrolla sobre el cilindro base o ruedasobre l sin deslizar. Cualquier seccinde esta superficie por un plano tangenteal cilindro base es una lnea recta, ycualquier seccin perpendicular al eje delcilindro es una evolvente.

En un engranajecilndrico de ruedashelicoidales (Fig. 8.39),las dos ruedas deben

tener las hlices desentidos contrarios(una a derechas y laotra a izquierdas), peroambas con el mismovalor del ngulo deinclinacin b. Es decir:b1= -b2

Figura 8.39 La hlice del cilindro primitivo de la del cilindro base

Cada rebanada de las ruedas de espesor infinitesimal engrana como si se tratara de unarueda de dientes rectos con un perfil igual al perfil frontal o aparente. En sucesivos planos paralelos

al anterior, se reproduce el mismo engrane pero con un cierto retraso o adelanto. Es decir, que a


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efectos de engrane dos ruedas helicoidales se comportan igual que dos ruedas rectas cuyo perfilfuera el perfil frontal o aparente. As, los axoides son dos cilindros de contacto, el ngulo de presin ser el ngulo de presin del perfil frontal o ngulo de presin aparente a, y los radios de las

circunferencias primitivas o axoides (R1y R2) se calcularn con las mismas expresiones vistas paraengranajes de dientes rectos:

d = R1+ R2 (51)

R1= 1/ cosa (52)

R2= 2/ cosa (53)

Ahora bien, la traza del flanco de un diente sobre el cilindro primitivo es tambin una hlice,pero con un ngulo de inclinacin () mayor que el de la hlice del cilindro base (Fig. 8.39). Ello esdebido a que esta nueva hlice se desarrolla sobre un cilindro de mayor radio. Observando la Figura8.40, puede demostrarse que el ngulo de inclinacin sobre el cilindro primitivo o ngulo de

inclinacin de funcionamiento () es:tg= tgb/ cosa (54)

Tanto la hlice del cilindro primitivo comola del cilindro base deben tener el mismo pasoaxial (H: avance axial correspondiente a unavuelta completa de la hlice), que es unacaracterstica general del diente.

Desarrollando ambos cilindros sobre unplano (Fig. 8.40) puede verse que:

HR2tg,

H2tg b == (55)

De donde se deduce, como afirmbamosen (54):

ab cosRtgtg == (56)

Figura 8.40 Relacin entre y b

8.7.2.1 Cremallera de dientes inclinados. Perfil frontal y perfil normal

Por definicin, una cremallera es una rueda dentada de radio infinito, en la que el cilindroprimitivo se convierte en un plano primitivo. La cremallera correspondiente a una rueda helicoidal esuna cremallera de dientes inclinados. Los dientes de esta cremallera tienen una generatrizrectilnea, pero estn inclinados respecto a la direccin transversal de la cremallera el ngulo deinclinacin sobre el cilindro primitivo (Fig. 8.41). Los flancos de estos dientes son planos, igual quelos de una cremallera recta; pero en una cremallera de este tipo cabe distinguir dos planos o perfilesdiferentes que pueden apreciarse en la Figura 8.41:

- El perfil frontal o aparente( de datos a, may a), que se obtiene cortando la cremallerapor un plano perpendicular al eje de la rueda. Este perfil es conjugado del perfil frontal deuna rueda helicoidal y es el que define la manera de engranar la cremallera con la rueda.


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- El perfil normal(de datos n, mny a), que se obtiene cortando la cremallera por un planonormal a la directriz de los dientes. Este plano forma un ngulo con el plano frontal oaparente (Fig. 8.41). Este perfil es el que debe tenerse en cuenta en el tallado de la rueda

y al calcular la resistencia de los dientes.

Figura 8.41 Perfil frontal y perfil normal de una cremallera de dientes inclinados

La Figura 8.42 representa lacremallera cortada por un plano normal yotro frontal, y permite determinar la

relaciones angulares entre losparmetros definidos en cada plano.

Por la forma de hacer estassecciones se comprende que los dosperfiles tendrn el mismo addendum oaltura de cabeza (a). No obstante, elperfil frontal resulta un perfil ms estirado(como un acorden), con un mayor paso(un mayor mdulo) y un mayor ngulo depresin ().

De la Figura se deduce que:pn= pacosmn= macos (57)

qn= qacos

y como:

qa= atga , qn= atgn

resulta

tgn= tgacos (58)

Figura 8.42 Relacin perfil normal vs. frontal

En una rueda helicoidal existe tambin el perfil frontal, pero no cabe definir un perfil normal ya

que, por la forma alabeada del diente, no cabe cortarlo por un plano que sea perpendicular a la


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La cremallera que se utiliza en los engranajes cilndricos helicoidales es idntica a la usadapara tallar dientes rectos, pero inclinada una ngulo ###respecto al eje del cilindro (Fig. 8.44). Elproceso a seguir para el tallado ser tambin el mismo.

a - Engranaje cilndrico recto b - Engranaje cilndrico helicoidal

Figura 8.44 Tallado con cremallera de un engranaje cilndrico

El perfil de la herramienta se convierte en el perfil normal de la cremallera generadora

imaginaria. En cambio, el perfil frontal o aparente de la cremallera generadora tendr un paso y unngulo de presin mayores. Si los datos nominales de la herramienta son m t, ty at, los datos delperfil frontal de la superficie generadorasern:

ttat

tatt

ta aa,cos

tgtg,

cos

m

cos

pp =

=

=

= (61)

Las ruedas helicoidales pueden tambin tallarse a cero o con desplazamiento, aunque la tallacon desplazamiento tiene mucho menos inters que en el caso de ruedas rectas.

Los datos intrnsecos que determinan la rueda obtenida quedan definidos con su perfilfrontal y su ngulo de inclinacin:

- El perfil frontal se calcula igual que si fuese una rueda de dientes rectos tallada con unacremallera recta cuyo perfil fuera el perfil frontal calculado en (61); es decir, empleando(ta mta) en lugar de (t mt) o, lo que es lo mismo, (a ma) en lugar de ( m); ya querueda y herramienta tenan el mismo mdulo y el mismo ngulo de presin-.

- El ngulo de inclinacin de la hlice de la base (b) obtenida se calcula aplicando laexpresin (54)

tgb= tg cosat (62)

Por lo tanto, los engranes helicoidales sern estudiados en las secciones frontales oaparentes, necesitando para ello definir los llamados parmetros aparentes:


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=

=cos

m

cos

pp a (63)

=

cosmma (64)

Es decir, el paso en una seccin de engranaje helicoidal puede tomar distintos valorescambiando el ngulo .

Sobre cada seccin trabajaremos como si se tratara de un engranaje cilndrico recto, perocambiando###m por may ###por a, recordando (58):

= costgtg a (65)

Podremos tambin estudiar el nmero de dientes mnimo para evitar la interferencia de

tallado:

a2

a2a

a2

a2 sen

cos2

mzsen

2

zmsenRcosRRm

===

a2sen

cos2z

(66)

Del mismo modo, la distancia entre centros vendr dada por:

( )

+

cos2

zzm=

2

zm+

2

zm=R+R=d 212a1a21 (67)

Donde se observa que en los engranajes helicoidales la distancia entre centros depende deun parmetro ms: cos. Por ello, en la prctica no se utilizan engranajes helicoidales corregidos,ya que basta con cambiar el ngulo para conseguir la distancia entre centros deseada.


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8.8 Dinmica de engranajes

8.8.1 ESFUERZOS DE CONTACTOAl estudiar la cinemtica de los engranajes, se ha descrito la lnea de engrane como el lugar

geomtrico de los sucesivos puntos de contacto entre la rueda y el pin. As, las rectas que unenpuntos de la lnea de engrane con el punto primitivo P representan las sucesivas normales a losperfiles de los dientes en el momento de contacto y, por ello, a su vez representan la direccin enque uno de los perfiles transmite fuerza sobre el otro (suponiendo que no exista rozamiento).

Si los perfiles en contacto ern perfiles de evolvente, la lnea de engrane resultaba ser unalnea recta. Por lo tanto, en este caso, la fuerza transmitida es de direccin constante, lo quedinmicamente constituye un efecto muy favorable frente a cualquier otro perfil de diente. En lodesarrollado a lo largo de este apartado consideraremos, en todo momento, que los perfiles de losdientes son perfiles de evolvente.

La fuerza de un diente sobre otro (F), si se desprecia el rozamiento, es perpendicular a lasuperficie del diente; por lo tanto, no es tangente al cilindro primitivo de funcionamiento o axoide. Engeneral, F tendr una componente tangencial (T), una radial (R) y una axial (A), relacionadas entres por la geometra del diente. La componente tangencial (T), que es la nica que da unmomento respecto al eje de giro, queda determinada por el par transmitido . Las otrascomponentes quedan determinadas en funcin de T:

- Engranajes Cilndrico-rectos: El punto decontacto evoluciona a lo largo de la recta deengrane para los perfiles de evolvente. Elempuje F tiene, considerando que no existe

rozamiento, la direccin de la lnea de engrane.Por ello, aunque su punto de aplicacin vacambiando de posicin, F pasa siempre por elpunto primitivo P (Fig. 8.45). Trasladando elempuje al punto P se puede descomponer en:

T = Fcos R = Fsen (68)

o, en funcin de los pares transmitidos:

T = M1/R1= M2/R2 (69)

R = Ttg (70)

Figura 8.45 Fuerza sobre un diente

cilndrico-recto


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- Engranajes Cilndrico-helicoidales: La carga F corta siempre al eje instantneo delmovimiento relativo (pasa siempre por el punto primitivo P del perfil frontalcorrespondiente), pero su posicin exacta respecto a las caras frontal y trasera de la rueda

dentada depende de qu trozo del diente est engranando:En la Figura 8.46, se supone aplicada en un puntointermedio de la rueda, pudindose deducir que:

T = Fcoscos (71)

A = Fcossen (72)

R = Fsen (73)

o bien, en funcin de los pares transmitidos:

T = M1/R1= M2/R2 (74)

A = Ttg (75)

R = Ttg/cos (76)

En este caso, debe tenerse especial cuidado a lahora de establecer el sentido de la componenteaxial A.

Figura 8.46 Fuerza sobre un diente

cilndrico-helicoidal

La figura 8.47 puede servir de orientacin para determinar correctamente dicho sentido.

Figura 8.47 Sentidos de la componente axial

8.8.2 RENDIMIENTO

Sea el caso de la figura 8.48 donde una primera rueda motora engrana con una segundarueda conducida . Si consideramos la presencia de rozamiento, aparecer una fuerza que seopone al deslizamiento relativo entre los dientes de ambas ruedas.

Para estudiar ese deslizamiento relativo paramos la rueda introduciendo en el sistema unavelocidad angular de 1. En tal caso, la de la ruedaser: r= 1+ 2(puesto que 1y 2eran de sentido opuestos al tratarse de engranajes exteriores).


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En tal caso, el espacio diferencial recorrido por la fuerza de deslizamiento en un dt es:

ds = vddt = (1+2)ldt (83)

Adems, los ngulos girados por las ruedas y en ese intervalo diferencial (1dt y2dt), se pueden expresar (recordando como a partir de la definicin del perfil de evolventededucamos que los segmentos medidos sobre la recta de engrane son iguales a los arcos descritossobre la circunferencia base):

1dt = dl / R1cos (84)

2dt = dl / R2cos (85)

Sustituyendo (84) y (85) en (83) e integrando el ds entre 0 y l1, l2respectivamente (longs. delos segmentos de aproximacin y alejamiento sobre el segmento de engrane, Fig. 8.49):

+= cosdl

Rl

Rl

ds 21 (86)

+=

+== cos2

l

R1

R1

dllcos

1R1

R1

dsS21

21

l

'021

l

'01

11

(87)

+=

+== cos2

l

R1

R1

dllcos

1R1

R1

dsS22

21

l

'021

l

'02

22

(88)

+

+=+=

cos2

ll

R

1

R

1SSS

22

21

2121 (89)

En tal caso, el trabajo realizado por la fuerza de rozamientoser:

+

+=

cos2

ll

R1

R1

FW22

21

21roz (90)

Por otro lado, el trabajo aprovechable de la fuerza motora(trabajo til) es:

( )21til llFW += (91)

De donde se deduce que el rendimiento medioes:

( )( )

21

22

21

21

22

21

2121

21

ll

ll

R

1

R

1

cos21

1

cos2

ll

R

1

R

1FllF

llF

++

+

+=

+

+++

+= (92)

Expresin que permite concluir que para que el rendimiento aumente es necesario:

- Minimizar el coeficiente de rozamiento () entre las superficies de los dientes.

- Aumentar el radio (R1y R2) de los cilindros primitivos de funcionamiento.

- Aumentar el cos; es decir, disminuir el ngulo de presin .

- Minimizar las longitudes (l1y l2) de los segmentos de aproximacin y alejamiento.

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