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APUNTES DE MATEMÁTICAS

CURSO PROPEDÉUTICO

Ing. Cecilia Vargas Velasco

Ing. Enrique Márquez Rivas

Ing. Julio Meléndez Pulido

Periodo: 2011-1

Primera edición. 2011

Ingeniería Electrónica

Ingeniería en Sistemas Computacionales

2

INDICE

Págs.

1.0 Expresiones algebraicas 3

1.1 Notación y terminología 3

1.2 Operaciones con polinomios 6

2.0 Exponentes y Radicales 9

2.1 Exponentes 9

2.2 Radicales 12

2.3 Racionalización 13

3.0 Ecuaciones de primer grado 14

3.1 Solución de ecuaciones de primer grado 14

3.2 Sistemas de ecuaciones de primer grado 18

4.0 Productos Notables y Factorización 24

4.1 Productos Notables 24

4.2 Factorización 29

5.0 Solución de ecuaciones de segundo grado 51

5.1 Método de factorización 52

5.2 Por fórmula General 53

5.3 Método gráfico 55

3

1.0 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 NOTACION Y TERMINOLOGIA

Notación literal.

Además de los números usados en aritmética, en el álgebra se usan letras, una letra puede representar

cualquier número conocido o desconocido o cualquier intervalo numérico; los números representados por

letras se llaman literales.

Ejemplo:

3x + 4 = 5

x en Q / -3 < x < 2

Coeficiente.

En la expresión 7xy, 7, x, y, son factores. Las literales de un producto como x, y se llaman factores literales.

Comúnmente, el factor numérico 7 se llama coeficiente de los otros valores, pero, en forma más general,

cualquier factor o factores pueden considerarse como el coeficiente de los factores restantes; así, en 7xy, 7x

es el coeficiente de y y 7y es el coeficiente de x.

Ejemplo:

-5a -5 es el coeficiente numérico y a es la literal

a 1 es el coeficiente numérico y a es la literal.

Expresiones algebraicas.

El signo + o — separan una expresión, cada una de estas partes precedida de un signo + o - se llama

término.

Ejemplos:

3x + 2 Los términos son 3x y 2.

=

2 Los términos son

y 2

3x es una expresión de un solo término, por tanto, es un monomio, x2

+ 2x — 6 es una expresión de tres

términos, es decir, es un trinomio.

La palabra polinomio se usa para indicar una expresión de dos o más términos.

4

1.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS

LEYES DE SIGNOS tiene es un valor positivo (300 pesos) y los 800 pesos son los

PARA LA SUMA

(( + ) + ( + ) = +

(( + ) + ( - ) = se efectúa la suma algebraica y se coloca el signo del sumando mayor

(( - ) + ( + ) = se efectúa la suma algebraica y se coloca el signo del sumando mayor

(( - ) + ( - ) = -

PARA LA RESTA

Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma el minuendo al sustraendo cambiándole el

signo:

( + 8 ) - ( + 4 ) = ( + 8 ) + ( - 4 ) = + 4

( + 8 ) - ( - 4 ) = ( + 8 ) + ( + 4 ) = + 12

( - 8 ) - ( + 4 ) = ( - 8 ) + ( - 4 ) = - 12

( - 8 ) - ( - 4 ) = (( - 8 ) + ( + 4 ) = - 4

PARA LA MULTIPLICACIÓN

( + ) X ( + ) = +

( + ) X ( - ) = -

( - ) X ( + ) = -

( - ) X ( - ) = +

PARA LA DIVISION

(( + ) ÷ ( + ) = +

(( + ) ÷ ( - ) = -

(( - ) ÷ ( + ) = -

(( - ) ÷ ( - ) = +

Signos de agrupación

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben

considerarse como una sola cantidad. Existen cuatro signos de agrupación: el paréntesis ( ), el

corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra .

Regla general para suprimir signos de agrupación:

1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo +, se deja el mismo signo que tengan cada

una de las cantidades que están dentro de él.

2. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo –, se deja cambia el signo que tengan cada

una de las cantidades que están dentro de él.

5

3. Cuando los signos de agrupación están incluidos dentro de otros, se suprimen uno en cada paso,

empezando por el más interior.

Ejemplo 1:

Obtén el resultado de la suma de polinomios (5 ) 4(3 ) 3a b a b a b

(5 ) 4(3 ) 3a b a b a b

5 12 4 3a b a b a b

5 12 4 3a b a b a b

Ejemplo 2:

¿Cuál es el resultado de la siguiente operación entre polinomios? (2 ) 4(2 ) 4 6y z y z y z

(2 ) 4(2 ) 4 6y z y z y z =

2 8 4 4 6y z y z y z

2 8 4 4 6y z y z y z

Ejemplo 3:

Realiza la siguiente resta de polinomios 6(2 ) 8(3 ) 5( 7 )m n m n m n

6(2 ) 8(3 ) 5( 7 )m n m n m n

6(2 ) 24 8 5 35m n m n m n

6(2 ) 24 8 5 35m n m n m n

12 6 24 8 5 35m n m n m n

6

Operaciones con polinomios

Para realizar operaciones con polinomios agrupan los términos semejantes y se aplican las leyes de signos

correspondientes para simplificar términos, lo coeficientes de cada término siguen las reglas de las

operaciones aritméticas.

Ejemplo 1:

Dada la siguiente operación entre polinomios 2 3 2 3 2 3(7 ) 2(3 ) 2(4 )a b a b a b obtener el resultado.

2 3 2 3 2 3(7 ) 2(3 ) 2(4 )a b a b a b

2 3 2 3 2 37 6 2 8 2 )a b a b a b

Ejemplo 2:

Reduce los términos semejantes de la expresión 3 3 3 315 16 13 10ab a b b a ba

Se identifican términos semejantes

2 3

3 3 4

4

5 ?2

7

x y z

x y z

Se suman los términos semejantes

3 3 315 13 28ab b a ab

3 3 316 10 6a b ba a b

7

Ejemplo 3:

Resuelve la siguiente operación 2 22 (6 5 )x xy xy x

2 22 (6 5 )x xy xy x

2 22 6 5x xy xy x

Ejemplo 4:

¿Qué resultado obtienes de la resta 5 6 (6 )a b a ?

5 6 (6 )a b a

5 6 6a b a

5 6 6a b a

9. ¿Cuál es el resultado de la operación 3 3 32 1 3

?3 5 5

a b a b a b

3 3 32 1 3

3 5 5a b a b a b

3 5 32 1 3

3 5 5a b a b a b

3 3 310 3 9

15

a b a b a b

8

Ejemplo 5:

Selecciona el resultado correspondiente al producto de 2 3 2 5 27 3

( )( )5 4

a b z a b z

2 3 2 5 27 3( )( )

5 4a b z a b z

2 2 3 5 1 27 3( )( )

5 4a b z

Ejemplo 6:

¿Cuál es el cociente de

2 3

3 3 4

4

5 ?2

7

x y z

x y z

2 3

3 3 4

4

52

7

x y z

x y z

2 3 3 3 1 44 7

5 2

xx y z

x

1 0 328

10x y z

9

2.0 EXPONENTES Y RADICALES

2.1 Exponentes

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an, representa el producto del número real a multiplicado

n veces por si mismo. La expresión an se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero

positivo se llama exponente y el número real a, base. Entonces podemos generalizar: (recordemos que n es

cualquier entero positivo).

Casos especiales:

Ejemplos:

Una vez que hemos conocido lo anterior llegamos a los siguientes teoremas, que comúnmente son llamados

leyes de los exponentes.

Si m y n son enteros positivos, entonces

10

Ejemplos:

Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

¿Qué sucede si los exponentes no son positivos?

Exponente cero y negativo

Para a diferente de 0:

11

Ejemplos:

El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada

número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los

denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar:

Solución:

Simplificar:

12

2.2 Radicales

Radicación es la operación inversa a la potenciación .Llamamos raíz n-ésima de un número dado al número

que al elevarlo a n nos da el primero.

La expresión es un radical de índice n: el número n es el índice del radical y el número a es el

radicando.

Potencias de exponente fraccionario:

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical en el que el denominador de la fracción

es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando:

Operaciones con radicales:

Multiplicar: para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los

radicandos.

Ejemplo:

5 7 35

Dividir: Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos.

Ejemplo:

2 2

33

n a

equivale a nn a b b a

1 m

mnnn na a a a

. .n n na b a b

n

nn

a a

bb

13

Potencia de un Radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando a dicha potencia.

Radical de un Radical: Para hallar el radical de otro radical se multiplican los índices de ambos.

Para Reducir a común índice: Si se multiplica o divide el índice del radical y el exponente del radicando por

un número natural, se obtiene un radical igual:

2.3 Racionalización

Amplificación y simplificación de radicales: Si se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) el índice y el

exponente de un radical por un mismo número no nulo, el radical que se obtiene es equivalente al primero.

Los radicales son equivalentes porque los exponentes de las potencias asociadas son

fracciones equivalentes.

Reducción a índice común: Reducir a índice común varios radicales consiste en reducir a común

denominador las fracciones exponentes de su expresión como potencia. Ejemplo:

Racionalización: Racionalizar una expresión con radicales en el denominador, por ejemplo , consiste en

encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el

numerador y denominador por una expresión adecuada, en este caso multiplicamos y dividimos por :

( )m mnn a a

.n m n ma a

1 2 48 2.2 4 .... nna a a a a

2.2 423 3.2 623 64 4 4 4a

3 62 44 , 4

1 1.3 1.2 3 21

3 2.3 3. 632 2 36 62 26 63 65 .2 5 .2 5 .25. 2 5 . 2 5 .2 500

1

5

5

2

1 1. 5 5 5

55 5. 5 5

14

3.0 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuación

Una ecuación es una igualdad en la que intervienen letras, cuyos alores son desconocidos y se denominan

“incógnitas”, las cuales se indican generalmente por las últimas letras del alfabeto.

La ecuación está formada por dos partes llamadas “miembros‖, los cuales están separados por el símbolo

de igualdad ―=‖. Al miembro de la izquierda se le conoce como primer miembro y al de la derecha como

segundo miembro.

4x – 5 = 16 – 3 x

Grado de una ecuación:

El grado de una ecuación queda determinado por el mayor exponente al que está elevada la incógnita de la

ecuación, por ejemplo:

4x – 5 = 16 – 3 x Ecuación de primer grado

7x2 – 4x + 3 = 0 Ecuación de segundo grado

2x3 + x

2 – 18x + 15 = 0 Ecuación de tercer grado

3.1 Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita:

Resolver una ecuación, es hallar el valor(es) que adquieren la(s) incógnita(s) para satisfacer una ecuación,

a este valor o estos valores se les llama ―solución o raíz de una ecuación‖.

Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raíz, las de segundo grado dos y así sucesivamente.

Términos de una ecuación:

Son cada una de las cantidades que estén conectadas con otra por el signo + ó – .

4x – 5 = 16 – 3 x

Los términos son 4x, – 5, 16 y 3x

Primer Miembro

Segundo Miembro

15

Transposición de Términos:

1. Si un término que está sumando o restando en un miembro de la ecuación, pasará del otro lado de la

igualdad con signo contrario al que tiene:

5x – 6 = 3x + 4

5x = 3x + 4 + 6

2. Cualquier cantidad que esté dividiendo en un miembro de la ecuación, pasará del otro lado de la

igualdad multiplicando a todo el término:

x12 x

3

x 3(12 x)

3. Cualquier cantidad que esté dividiendo en un miembro de la ecuación pasará al otro lado de la igualdad

multiplicando al todo el término:

2x 13 x

13 xx

2

Axioma fundamental de las ecuaciones

Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados serán iguales. Esto significa que si

a los dos miembros de una ecuación se le suman, restan, multiplican, dividen, se elevan a una misma

potencia o se le extrae raíz, sin importar si la cantidad es positiva o negativa, la igualdad no se altera.

Cambio de signos:

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación se altere.

Solución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita:

1. Se realizan las operaciones indicadas, si las hay y se simplifica

2. Se agrupan en el miembro izquierdo de la ecuación los términos que contienen a la incógnita y en el

miembro derecho los términos constantes.

3. Se reducen términos semejantes

4. Se despeja la incógnita.

Está restando pasa sumando

16

Ejemplo 1:

Encontrar la solución de la siguiente ecuación de primer grado

5x= 35

Despejar ―x‖.

x= 35 = 7;

5

;

Ejemplo 2:


5x + 2= 37

Despejar ―x‖;

5x= 37 – 2= 35

x= 35 = 7;

5

Ejemplo 3:


5x – 2x = 6 +3

3x = 9

x= 9 = 3

3

x = 7

x = 7

x = 3

17

Ejemplo 4:


7x + 5 = 9x -2

3 2

Despejar ―x‖;

(7x + 5) (2) = (9x – 2) ( 3)

14x + 10 = 27x – 6

14x – 27x = – 6 – 10

– 13x = – 16

( – 13x = – 16) – 1

13x = 16

Ejemplo 5:


2 1

x 2 x 1

2(x 1) 1(x 2)

2x 2 x 2

2x x 2 2

x = 16

13

x = 4

18

3.2 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, existen varios métodos, los que

se van a abordar en este capítulo serán:

Método de suma y resta o reducción

Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, por el método de suma y

resta, se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Se multiplica una o las dos ecuaciones por un número negativo o positivo de tal manera que al sumarlos

se elimine una incógnita.

2. Se suman las dos ecuaciones resultantes, se despeja la incógnita y se obtiene su valor numérico.

3. Se sustituye el valor obtenido de la incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se

despeja a la otra incógnita.

Notas:

1. Para comprobar que los resultados son correctos se sustituyen los valores encontrados de las incógnitas

en las dos ecuaciones originales y si las igualdades se cumplen, los valores son correctos.

2. Si las ecuaciones son fraccionarias, se convierten a lineales y después se aplica el método.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con

dos incógnitas

Suma

y

Resta

Determinantes Gráfico

19

Ejemplos:

1) El sistema de ecuaciones es:

( )

( )

Solución:

Se multiplica la ecuación (1) por -2 y se suma con la ecuación (2), para eliminar la incógnita .

( )

( )

Resultando:

Despejando , se obtiene:

( )

Se sustituye (5) en (1) y se obtiene:

( )

Se despeja

( )

Por lo tanto la solución es:

2) Las ecuaciones son:

( )

( )

Solución:

Se multiplica la ecuación (1) por -4 y se suma con la ecuación (2)

20

( )

( )

Resultando:

Despejando se obtiene:

( )

Se sustituye (5) en (1) y se obtiene:

Se despeja

( )

Por lo tanto la solución es:

Método de Determinantes:

Este método se basa en establecer dos determinantes de segundo orden para encontrar el valor de las

incógnitas (se establece un determinante por cada incógnita).

Determinante de segundo orden

Son cuatro números colocados dentro de un cuadro con rectas verticales a los lados. La posición de los

números será tal que se formen dos filas y dos columnas.

Las filas o renglones se forman por los números que se encuentran en una misma línea horizontal, las

columnas están compuestas por los números que se encuentran en una misma línea vertical.

a b

c d

Primera fila

Segunda

columna

Segunda fila

21

La línea que une ―a‖ con ―d‖ se llama diagonal principal y la que une a ―c‖ con ―d‖ diagonal secundaria.

Los términos a, b, c y d se llaman elementos del determinante, cuyo valor es el producto de los

elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Ejemplo:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de determinantes se

utiliza el siguiente procedimiento:

1. El valor de la incógnita ―x‖ será igual a una fracción cuyo numerador será un determinante en el cual

la primera columna tendrá a los términos independientes de cada ecuación (cada uno en un renglón)

y en la segunda columna los coeficientes de ―y‖. El denominador que se conoce como determinante

del sistema estará formado en la primer columna por los coeficientes de ―x‖ (cada uno en un

renglón) y en la segunda columna los coeficientes de ―y‖.

2. El valor de ―y‖ también será una fracción cuyo numerador será un determinante, en el cual en la

primera columna tendrá los coeficientes de ―x‖ y en la segunda el término independiente. El

denominador será igual al determinante del sistema.

Ejemplo 1:

Resolver por determinantes:

… (1)

… (2)

De (1) y (2)

Y aplicando (3) y (4)

|

|

|

|

y

a b

c d

8 9

3 5

Primera

columna

Diagonal principal

Diagonal secundaria

= ad – cd

= (8)(– 5 ) – (3)(9) = – 40 – 27 = – 67

22

|

|

|

|

Entonces:

Ejemplo 2:

. . . (1)

. . . (2)

De (1) y (2)

Y aplicando (3) y (4)

|

|

|

|

y

|

|

|

|

Entonces:

Método Gráfico

Como estamos tratando sistemas lineales, las gráficas de las ecuaciones son dos rectas.

Ejemplo 1:

Resolver gráficamente el sistema:

Hay que hallar la intersección de estas dos rectas en una gráfica:

23

Resolver gráficamente el sistema:

Hay que hallar la intersección de estas dos rectas en una gráfica:

( 4, 3 )

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

( -3, -5 )

- 30/1

- 20/1

- 10/1

0/1

10/1

20/1

30/1

40/1

50/1

60/1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

7x - y = -16

5x - 3y = 0

La intersección es el punto ( -3, -5 ). Por lo tanto la solución del sistema es: x= -3 y y= -5

-x

x - y = 1

x + y = 7

La intersección es el punto

(4,3). Por lo tanto la solución

del sistema es: x=4 y y=3

f(x)

-f(x)

x -x

f(x)

-f(x)

x

24

4.0 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

4.1 Productos Notables

Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados en forma

directa, debido a que cumplen con ciertas reglas fijas, y su resultado puede ser escrito por inspección, sin

que se necesite multiplicar término a término primero y luego reducir. Estos productos se conocen como

productos notables y son:

Binomio conjugado

Son dos factores cuyos términos son iguales, solo difieren del signo, y su producto será igual al cuadrado del

primer término menos el cuadrado del segundo término

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2 2

2 2 2 4 21 2 1 2 1 2 1 4x y x y x y x y

3 5 3 5 3 5 9 25

Productos

Notables

Cuadrado

de un

binomio

Cubo de un

binomio

Potencia de

un binomio

de la forma

(a ± b)n

Binomios

conjugados

Binomios

con término

común

Igual

Igual

25

Ejemplo 3:

2 2

n 1 m n 1 3m n 1 3m 2n 2 6m5a 3a 5a 3a 5a 3a 25a 9a

Binomio con término común

Son dos factores que tienen un término en común y su producto es igual al cuadrado del término común

más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los

términos no comunes:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2 2(x 7)(x 4) x (7 4)x (7)( 4) x 3x 28

Ejemplo 3:

2 2(x 6)(x 2) x (7 4)x ( 6)( 2) x 8x 12

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el producto del primer

término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo 1:

2 2 2

2 2

2a 3b 2a 2 2a 3b 3b

4a 12ab 9b

igual

26

Ejemplo 2:

2 2 2

n 1 n 2 n 1 n 1 n 2 n 2

2n 2 n 1 n 2 2n 4

x y x 2 x y y

x 2x y y

Ejemplo 3:

2 2

23 2 5 3 3 2 5 2 5

6 3 2 5 4 10

1 1 1x 3y x x 2 x 3y x 3y x

2 2 2

1 x 3x y x 9y x

4

Cubo de un binomio

El cubo de un binomio es igual cubo del primer término más (o menos) el triple producto del cuadrado del

primer término por el segundo, más el triple del primer término multiplicado por el cuadrado del segundo,

más (o menos) el cubo del segundo término

Ejemplo 1:

3 3 2 2 3

3 3 2 2

3 3 2 2

3xy 2 3xy 3 3xy 2 3 3xy 2 2

27x y 3 9x y 2 3 3xy 4 8

27x y 54x y 36xy 8

Ejemplo 2:

3 3 2 2 33 3 3 3

9 6 3 2 3

9 6 3 2 3

3x y 3x 3 3x y 3 3x y y

27x 3 9x y 3 3x y y

27x 27x y 9x y y

27

Ejemplo 3:

3 3 2 2 32n m 2n 2n m 2n m m

6n 4n m 2n 2m 3m

6n 4n m 2n 2m 3m

x y 3x 3 3x y 3 3x y y

27x 3 9x y 3 3x y y

27x 27x y 9x y y

Potencia de un binomio de la forma n

a b . Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal nos permite elevar un binomio a cualquier potencia, directamente, sin tener que hallar

las potencias anteriores. Este método se divide en dos partes, primero se encuentran los coeficientes del

desarrollo del binomio de cualquier potencia y después se encuentran los factores literales, el producto de

cada coeficiente y de cada factor literal formará cada uno de los términos del desarrollo del binomio.

Coeficientes del binomio

Los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio, se obtienen utilizando el triángulo de Pascal.

La manera de formar el triángulo es de la siguiente forma:

1. Comienza y termina con 1

2. En la segunda fila horizontal se coloca 1,

espacio 1

3. En la tercera fila y en las siguientes se

empieza por 1 y cada número posterior se

obtiene sumando en la fila anterior el primer

número con el segundo, el segundo con el

tercero, el tercero con el cuarto y así

sucesivamente y se termina con uno.

4. La primera fila corresponde a los coeficientes

de 0

a b

5. La segunda fila corresponde a los

coeficientes de 1

a b

6.

7. La tercera fila corresponde a los coeficientes

de 2

a b

8. La fila n-ésima da los coeficientes de

n 1

a b

28

El triángulo de pascal para el valor n = 10 queda de la siguiente manera:

Los factores de las literales se obtienen de la siguiente manera:

1. El primer factor de n

a b debe contener n a términos

2. El primer factor literal es na , el segundo es

n 1 1a b, el tercer término es

n 2 2a by así sucesivamente. El

grado del término ―a‖ decrece medida que el término del grado ―b‖ aumenta hasta llegar a nb .

3. Cada término se forma con el coeficiente numérico obtenido del triángulo de Pascal y el factor literal

señalado en el puto anterior.

4. Si el binomio es de la forma n

a b , todos los signos de los términos del desarrollo del binomio, serán

positivos

5. Si el binomio es de la forma n

a b , los signos de los términos del desarrollo del binomio se alternarán

+, – , empezando con el signo positivo

6. En el triángulo de pascal el segundo número de la fila horizontal indica el exponente ―n‖ del binomio

Ejemplo 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

29

Ejemplo 2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

4.2 Factorización

El proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización. Factorizar una expresión algebraica

(suma de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, para lo cual se debe

identificar a los factores comunes a todos los términos y agruparlos. Los factores comunes son aquellos

números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica y pueden ser

números o literales. Existen varios métodos de factorización dependiendo del tipo de expresión algebraica

que se tenga, los más utilizados son:

FACTOR COMUN

En este tipo de expresiones todos los términos presentan un monomio factor común, que puede ser una

literal, o bien un coeficiente. La ley distributiva de la multiplicación permite expresar estos términos como un

producto de dos factores, donde uno de ellos es el monomio factor común. Para llevar a cabo este tipo de

factorización se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Determinar el máximo común denominador de todos los coeficientes presentes en la expresión

algebraica

2. Identificar la(s) literal(es) que se repiten en cada uno de los términos y escoger la de menor potencia

3. El coeficiente y literal seleccionadas en los pasos anteriores será el monomio factor común

4. Aplicando la ley distributiva escribir la expresión algebraica como una multiplicación

Factorización

Factor común Por

agrupación Diferencia de

cuadrados Trinomio de

la forma

Trinomio cuadrado perfecto

Completar trinomio cuadrado perfecto

x2 + bx + c ax2 + bx + c

Diferencia de cubos

División sintética

30

Ejemplo 1:

Factorizar: 2 38a b 32a c 24a

1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar encontramos que los coeficientes de los tres términos

son 8, 32 y 24, su mínimo común denominador es

El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 2

3 = 8

2. La literal que aparece en los tres términos es la letra ―a‖ y la de menor potencia es “a”, por lo que esta

será la literal factor común.

3. Podemos concluir que el monomio factor común es 8a.

4. Dividir cada término entre 8a y después aplicar la ley distributiva: 2 3

2 3 28a b 32a c 24a8a b 32a c 24a ab 4a c 3

8a 8a 8a

5. El término factorizado queda de la siguiente manera

28a ab 4a c 3

8 2

32 2 24 2

4 2 16 2 12 2

2 2 8 2 6 2

1 4 2 3 3

8 = 23 2 2 1

1 24 = 3 x 23

32 = 25

31

Ejemplo 2:

Factorizar 3 2 4 2 5 316x y 24x y z 40x y b

1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar se encuentra que los coeficientes de los tres

términos son 16, 24 y 40, su mínimo común denominador es

El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 2

3 = 8

2. La literal que aparece en los tres términos es la letra ―x‖ y ―y‖, la de menor potencia de ―x‖ es “x

3”, y

la de menor potencia de ―y‖ es “y2”, por lo que esta será la literal factor común.

3. Se puede concluir que el monomio factor común es 8x

3y

2.

4. Dividir cada término entre 8ª y después aplicaremos la ley distributiva:

3 2 4 2 5 3

3 2 4 2 5 3 2

3 2 3 2 3 2

16x y 24x y z 40x y b16x y 24x y z 40x y b = 2 3xz 5x yb

8x y 8x y 8x y

5. El término factorizado queda de la siguiente manera

3 2 2 8x y 2 3xz 5x yb

Factorización por agrupación

Cuando un polinomio consta de cuatro términos, y no tienen un mismo factor en común, en algunas

ocasiones éstos pueden factorizarse mediante un arreglo que consiste en reescribir dicha expresión

algebraica como dos binomios, agrupando adecuadamente los términos, para explicar este método se

utilizarán los siguientes ejemplos:

16 2 24 2 40 2

8 2

12 2 20 2

4 2 6 2 10 2

2 2 3 3 5 5

1 1 1

8 = 24 24 = 3 x 2

3 40 = 5 x 2

3

32

Ejemplo 1:

Factorizar: ax bx ay by

1. Se observa que los dos primeros términos tienen en común a la literal ―x‖ y los dos último términos a la

literal ―y‖, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:

ax bx ay by

2. Factorizar cada uno de los términos:

x a b y a b

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (a + b), finalmente

se vuelve a factorizar:

x y a b

Ejemplo 2:

Factorizar: 23m 6mn 4m 8n

1. Se puede observar que los dos primeros términos tienen en común a la literal ―m‖ y al coeficiente 3,

mientras que los dos últimos términos tienen como factor al coeficiente 4, vamos a agrupar estos

términos de la siguiente forma:

23m 6mn 4m 8n


3m m 2n 4 m 2n

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (m – 2n), entonces

finalmente volvemos a factorizar:

3m 4 m 2n

33

Ejemplo 3:

Factorizar: 22x 3xy 4x 6y

1. Se puede observar que los dos primeros términos tienen en común a la literal ―x‖, mientras que los dos

últimos términos tienen como factor al coeficiente 2, vamos a agrupar estos términos de la siguiente

forma:

22x 3xy 4x 6y


x 2x 3y 2 2x 3y

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (2x – 3y), entonces


x 2 2x 3y

NOTA:

El ejemplo 3 también se puede resolver de la siguiente forma

Factorizar: 22x 3xy 4x 6y

1. Se puede que el primero y tercer término tienen en común a la literal ―x‖, y al coeficiente 2, mientras que

el segundo y cuarto término tiene como factor común a la literal ―y‖ y al coeficiente 3, vamos a agrupar

estos términos de la siguiente forma:

22x 4x 3xy 6y


2x x 2 3y x 2

3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (x – 2 ), entonces


x 2 2x 3y

el resultado es el mismo

Factorización de una diferencia de cuadrados

Si recordamos que al multiplicar dos binomios conjugados, el producto de éstos es una diferencia de

cuadrados, por lo tanto si lo expresamos de forma inversa, estaremos factorizando una diferencia de

cuadrados:

34

El método para llegar a esta factorización es extraer la raíz cuadrada del primero y segundo término y

multiplicar la suma de estas raíces por su diferencia

Ejemplo 1:

Factorizar 2 416x 25y

2 4 2 2

2

4 2

16x 25y 4x 5y 4x 5y

16x 4x

25y 5y

Ejemplo 2:

Factorizar

2 6a 9b

4 25

2 6 3 3

2

6 3

a 9b a 3b a 3b

4 25 2 5 2 5

a a

4 2

9b 3b

25 5

Ejemplo 3:

Factorizar 2n 6m 24a 9b

2n 6m 2 n 3m 1 n 3m 1

2n n

6m 2 3m 1

4a 9b 2a 3b 2a 3b

4a 2a

9b 3b

35

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Antes de estudiar este método definamos lo que es un trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrático es

perfecto cuando es el producto del binomio al cuadrado, así el trinomio 2 2a 2ab b es cuadrado perfecto

porque resulta de elevar 2

a b

Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrado perfecto, es recomendable, verificar si lo es, este

trinomio debe cumplir con dos características:

1. Las literales del primero y tercer término deben tener raíz cuadrada exacta

2. El segundo término debe ser igual a:

segundo término = 2ab

Ejemplo 1:

Factorizar 2 24x 20xy 25y

1. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto

2.

2 2

2 2

2

2

4x 20xy 25y

a b

4x 2x

25y 5y

El segundo término debe ser igual a 2ab

2ab 2 2x 5y 20xy

3. Factorizar

Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado

perfecto

36

22 2

22 2

a 2ab + b = a b

4x 20xy 25y 2x 5y

Ejemplo 2:

Factorizar 2 225a 40ab 16b

4. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto

2 2

2 2

2

2

25a 40 b 16b

a b

25a 5a

16b 4b


2ab 2 5a 4b 40ab

a

5. Factorizar

2

2 2

2 2 2

a 2ab + b = a b

25a 40 b 16b (5a 4b)

a

Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto

Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado

perfecto

mismo signo

mismo signo

37

En algunas ocasiones el trinomio no está completo, puede faltar el segundo o tercer término o bien no están

completas, en estos casos se puede completar el trinomio de la siguiente forma:

Caso No.1: Se tiene una suma de cuadrados, falta el segundo término

Para completar el trinomio se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Determinar cuál sería el segundo término y sumarlo y restarlo a la expresión para que no se altere, para

ello utilizaremos la siguiente fórmula

segundo término = 2ab

2. La expresión resultante es una diferencia de cubo que se puede factorizar fácilmente.

Ejemplo 1:

Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica:

4 4a 4b

1. Calcular del segundo término

4 4

4 2

4 2

2 2 2 2

a 4b

a a

4b 2b


2ab 2 a 2b 4a b

2. Sumar y restar el segundo término

4 4 2 2 2 2a 4b 4a b 4a b

3. Agrupar términos

4 2 2 4 2 2a 4a b 4b 4a b

38

4. Factorizar el trinomio

2

2 2 2 2a b 4a b

5. Factorizar la diferencia de cuadrados

2

2 2 2 2 2 2 2 2a b 4a b a b 2ab a b 2ab

6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma:

4 4 2 2 2 2a 4b a b 2ab a b 2ab

Ejemplo 2:

Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica:

4x 9

1. Calcular del segundo término

4

4 2

2 2

x 9

x x

9 3


2ab 2 x 3 6x

2. Sumar y restar el segundo término

2 2 2x 9 6x 6x

39

3. Agrupar términos

4 2 2x 6x 9 6x


2

2x 3 6x


2

2 2 2 2x 3 6x x 3 6x x 3 6x

6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma:

4 2 2x 9 x 3 6x x 3 6x

Caso No.2: Si se tiene el primero y segundo término o el trinomio no es perfecto

En este caso se debe calcular el tercer término mediante la siguiente fórmula:

2

2ndo.términoTercer término =

2 1er.término

El procedimiento se explica con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar: 2 2a 6ab 16b

1. Verificar si el trinomio es cuadrado perfecto, este paso lo omitiremos, para cualquier duda consultar el

tema 3.4.2.4

2. Calcular el tercer término

2 2

22 22

2

2

a 6ab 16b

2ndo.término 6ab 6abTercer término = 3b 9b

2a2 1er.término 2 a

40

3. Sumar y restar el tercer término

2 2 2 2a 6ab 16b 9b 9b

4. Agrupar los dos primeros términos

2 2 2 2

2 2 2

a 6ab 9b 16b 9b

a 6ab 9b 25b


2

2a 3b 25b


22a 3b 25b a 3b 5b a 3b 5b

= a 3b 5b a 3b 5b

= a 8b a 2b

7. La expresión algebraica factorizada queda:

2 2a 6ab 18b a 8b a 2b

Ejemplo 2:

Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar: 2x 4x

1. Calcular el tercer término

2

22 22

2

x 4x

2ndo.término 4x 4xTercer término = 2 4

2x2 1er.término 2 x

2. Sumar y restar el tercer término

2x 4x 4 4

3. Agrupar los dos primeros términos

2x 4x 4 4

41


2

x 2 4


2

x 2 4 x 2 2 x 2 2

x 2 2 x 2 2

= x 4 x

6. La expresión algebraica factorizada queda

2x 4x x x 4

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c

Para que un trinomio sea de la forma x2 + bx + c se debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) El coeficiente del primer término debe ser 1 y la literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta

b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de

éstos.

c) El tercer término puede tener cualquier coeficiente, pero su literal(es), si la tiene(n) debe(n) tener

raíz cuadrada exacta.

Para factorizar este tipo de expresiones se utiliza el siguiente método:

1. Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio

3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el

coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como

segundos términos dentro de los paréntesis.

Ejemplo 1:

Factorizar 2x 7x 12


2x 7x 12

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio

2x 7x 12 x x

42




Factores de 12

2x 7x 12 x+4 x 3

Ejemplo 2:

Factorizar 2 2x 180y 3xy


2 2x 3xy 180y

2. Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Si el

tercer término tiene literal, también se le extrae su raíz cuadrada y solo quedará pendiente el coeficiente

que la acompañará

2 2x 3xy 180y x y x y

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

12

x

12 1

6 2

4 3

43




Factores de 180

2x 3x 180 x+12 x 15

Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c

Para que un trinomio sea de la forma ax2 + bx + c debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) El coeficiente del primer término debe ser diferente a 1 y la literal(es) que lo acompaña(n) debe(n)

tener raíz cuadrada exacta

b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de

éstos.

c) El tercer término es diferente al primero y segundo, su coeficiente puede ser cualquier número real y

su literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta

Para explicar el método de factorización de este tipo de expresiones se utilizarán los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Factorizar 26x 7x 3

1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en lugar del

tercer término:

26x 7x 3

12 – 15= – 3

12 x – 15 = – 180

6 x 3 = 18

180

x

90 2

60 3

45 4

36 5

30 6

20 9

18 10

15 12

44

26x 7x 18

2. Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente del primer

término por la raíz cuadrada de su literal.

26x 7x 18 6x 6x

3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el segundo, 7.

26x 7x 18 6x 9 6x 2

4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero descomponiéndolo

en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis obtenidos en el paso

anterior.

2

6x 9 6x 2 6x 7x 18 2x 3 3x 1

3 x 2

Ejemplo 2:

Factorizar 220x 7x 6

1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en lugar del

tercer término:

220x 7x 6

220x 7x 120

12

x

18 1

9 2

6 3

6

x

6 1

3 2

20 x 6 = 120

45

2. Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente del primer

término por la raíz cuadrada de su literal.

220x 7x 120 20x 20x

3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el segundo, 7.

220x 7x 120 20x +15 20x 8

4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero descomponiéndolo

en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis obtenidos en el paso

anterior.

220x +15 20x 8

20x 7x 120 4x 3 5x 2 5 x 4

Factorización de una diferencia de cubos

La suma o diferencia de cubos son dos términos cuyas literales que tienen raíz cúbica exacta, separados por

un signo positivo o negativo.

120

x

120 1

60 2

40 3

30 4

20 6

15 8

20

x

20 1

10 2

5 4

46

Ejemplo 1:

Factorizar: 3x 8

3 2

3 3

3

x 8 x 2 x 2x 4

x x

8 2

Ejemplo 2:

Factorizar: 38x 27

3 2

3 3

3

8x 27 2x 3 4x 6x 9

8x 2x

27 3

Factorización por división sintética

En algunas ocasiones el polinomio que se desea factorizar es de un grado mayor o igual a 3, y no se pueden

emplear los ya vistos, sin embargo es posible factorizarlo, empleando la división sintética y una vez que el

polinomio ya sea de segundo grado, entonces se pueden utilizar los métodos anteriores. A continuación e

explica el procedimiento de la división sintética:

1. Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin omitirse

los coeficientes cero.

2. Determinar las posibles raíces del polinomio, las cuales serán identificadas con la letra ―a‖

Para determinar las raíces del polinomio se deben considerar los factores p y q, donde q es el

coeficiente del término que contiene a la ―x‖ con mayor exponente y p, es el término independiente,

todas las posibles combinaciones de p/q, serán las posibles raíces del polinomio.

Ejemplo:

Sea polinomio

4 3 22x 3x 14x 2x 4

p = 4 q = 2

47

p = 2, los factores de p son ± 1 y ± 2 y ± 4

q = 4, los factores de q son ± 1, ± 2

Por lo tanto las posibles raíces son:

p 1 2 4 1 2 4± , ± , ± , ,± , ±

q 1 1 1 2 2 2

p 1±1, ±2, ±4, ,±1, ±2

q 2

p 1±1, ±2, ±4,

q 2

3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo los que son

igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal

4. Colocar el valor de ―a‖, en el extremo derecho de la primera fila, recordar que este valor(es) son las

posibles raíces del polinomio, determinadas el paso 2.

5. Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón (debajo de la línea horizontal) y se multiplicarlo por el

valor de ―a‖, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el renglón vacio y hacer la

simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del segundo coeficiente, pero debajo de

la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se vuelve a multiplicar por el término independiente ―a‖

y así sucesivamente hasta el último término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo, para

nuestros fines de factorización debe ser cero.

6. El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x–a)

Ejemplo 1:

Factorizar el polinomio 3 2p(x) x 5x 3x 9

1. Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin omitirse

los coeficientes cero.

3 2p(x) x 5x 3x 9

2. Posibles raíces del polinomio

3 2p(x) x 5x 3x 9

p = 9 q = 1

48

p = 9, los factores de p son ± 1 y ± 3 y ± 9

q = 1, los factores de q son ± 1,


p 1 3 9± , ± , ±

q 1 1 1

p±1, ±3, ±9,

q

3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo los que

son igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal

3 2p(x) x 5x 3x 9

1 – 5 + 3 + 9

4. Colocar el valor de ―a‖, en el extremo derecho de la segunda fila, recordar que este valor(es) son las

posibles raíces del polinomio, determinadas el paso 2.

Probando el valor p

1 q

1 – 5 + 3 + 9 + 1

5. Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón (debajo de la línea horizontal) y se multiplicarlo por el

valor de ―a‖, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el renglón vacio y hacer la

simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del segundo coeficiente, pero debajo de

la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se vuelve a multiplicar por el término independiente

―a‖ y así sucesivamente hasta el último término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo,

para nuestros fines de factorización debe ser cero.

Probando el valor p

1 q

49

1 – 5 + 3 + 9 + 1

+ 1 – 4 – 1

1 – 4 – 1 + 8

Como el residuo no es cero se prueba con otro valor de ―a‖

Probando el valor p

1 q

1 – 5 + 3 + 9 – 1

– 1 + 6 – 9

1 – 6 + 9 0

6. El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x–a)

1 – 5 + 3 + 9 – 1

– 1 + 6 – 9

1 – 6 + 9 0

La factorización queda: 2x 6x 9 x 1

Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos

anteriormente

2

22

x 6x 9 x 1 x 3 x 3 x 1

x 6x 9 x 1 x 3 x 1

Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma:

Residuo

x 1 x 1

x2 x Num Con signo

contrario

x 1

Residuo

Residuo

( x – a )

50

Ejemplo 2:

Factorizar el polinomio 3 2p(x) x 3x x 3

Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin omitirse los

coeficientes cero.

3 2p(x) x 3x x 3

1. Posibles raíces del polinomio

3 2p(x) x 3x x 3

p = 3, los factores de p son ± 1 y ± 3

q = 1, los factores de q son ± 1,


p 1 3± , ± ,

q 1 1

p±1, ±3,

q

Probando para p

1 q

3 2p(x) x 3x x 3

1 + 3 – 1 – 3 1

+ 1 + 4 + 3

1 + 4 + 3 0

2. El polinomio quedará degradado un grado y este queda

1 + 3 – 1 – 3 1

+ 1 + 4 + 3

1 + 4 + 3 0

Residuo

x2 x Num

Con signo

contrario

p = 3 q = 1

( x – a )

51

La factorización queda: 2x 4x 3 x 1

Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos

anteriormente. Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma:

5.0 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuación cuadrática con una incógnita Es una ecuación en la cual, el mayor exponente de la incógnita es dos, se representa de la siguiente manera:

Donde a, b, c son constantes, b y c pueden tomar cualquier valor, a, debe ser diferente a cero, sin lo a ecuación se convierte en una de primer grado.

ECUACION CUADRÁTICA

Completas

Tiene la forma

donde a,b y c son constantes

diferentes a cero

Incompletas

son aquellas donde b y/o c toman el valor de cero

52

Raíces de una ecuación cuadrática Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación ―la solución‖, las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, en donde ambos valores satisfacen la ecuación. Métodos para encontrar la solución de una ecuación de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver, es decir, encontrar sus raíces por tres métodos distintos:

5.1 Factorización:

Si el primer miembro de la ecuación cuadrática se puede descomponer en dos factores, las raíces se

determinan directamente a partir de dichos factores; igualando a cero cada uno de los factores y despejando

la incógnita.

Ejemplo 1 Ejemplo 2

( )( )

( )( )

Ecuaciones cuadráticas incompletas:

Si la ecuación es de la forma incompleta, es decir a = 0 y/o b = 0 se utiliza el mismo procedimiento descrito

anteriormente o bien se realiza el despeje correspondiente:

SOLUCION ECUACION

DE SEGUNDO GRADO

MÉTODO

GRÁFICO

FORMULA

GENERAL

FACTORICACIÓN

𝑥 𝑥

Raíces

𝑥

𝑥

Raíces

53

Ejemplo 1

Raíces

Ejemplo 2

( )

Raíces imaginarias:

√

Raíces

5.2 Por fórmula general:

Las raíces de una ecuación de segundo grado, también se pueden obtener utilizando la fórmula general para

ecuaciones de segundo grado, sin importar si la ecuación está completa o no.

Fórmula General

Donde:

a = Coeficiente de

b = Coeficiente de

c = el término independiente

𝑥 𝑥

Raíces

𝑥 √

𝑥 𝑖 𝑥 𝑖

𝑥 𝑏 √𝑏 𝑎𝑐

𝑎

54

Ejemplo 1

( ) √( ) ( )( )

( )( )

√

√

Ejemplo 2 Ejemplo 3

( )

( ) √( ) ( )( )

( )( )

√

√

( ) √( ) ( )( )

( )( )

√

√

𝑥

𝑥

𝑥 𝑥

𝑥

𝑥

55

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

5.3 Por el método gráfico:

Al graficar una ecuación de segundo grado con una incógnita, se obtiene una parábola. Para encontrar sus

raíces se debe graficar la ecuación y las raíces son el punto de intersección de la parábola con el eje de las

abscisas, es decir el eje ―x‖.

La gráfica de una parábola tiene las siguientes características:

Coordenadas del vértice:

[

]

Al graficar una ecuación cuadrática es conveniente calcular su vértice y determinar su concavidad para

asignar los valores adecuados para graficar.

Ejemplo 1:

Cóncava hacia arriba,

El valor de “a = +”

Cóncava hacia arriba,

El valor de “a = – ”

56

[

]

[ ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ]

[

]

[

]

[ ]

Tabulación

x y

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9

Ejemplo 2:

[

]

[ ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ]

[

]

Tabulación

x y

-1 9

0 10

1 4

Punto de

intersección

en x = o

Entonces las

raíces 𝑥 𝑥

57

[ ]

2 0

3 -2

4 -2

5 0

6 10

Punto de

intersección

en x = 1

y x = 4

Entonces las

raíces

𝑥

NOTA:

Adicionar la coordenada del vértice

cuando se grafique

𝑥

58

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. BALDOR Aurelio;(1995), Algebra, México D.F., México Editorial Publicaciones Cultural

2. CARREÑO, X y Cruz, X. (2003), Álgebra, México D.F., México, Editorial Publicaciones Cultural

3. CUÉLLAR Carvajal, Juan; (2004), Álgebra, México D.F., México, Editorial Mc Graw Hill

4. LEHMANN Charles; (2008), Álgebra, México D.F., México, Editorial Limusa

5. Lovaglia, F., Elmore, M., Conway, D. (2004). Álgebra. México, D.F, México.: OXFORD.

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