Apuntes de Cálculo

Apuntes

de

Clculo 1

Ing. Manuel Gutirrez G.

lim ( )x

f x

( )d

x tdt

( )

b

a

f w dw

Clculo 1

Ing. Manuel J. Gutirrez G 2

UNIDAD I CONCEPTOS BASICOS

0. CONCEPTOS BSICOS

0.1. Conjuntos de Nmeros 0.2. Axiomas y/o Propiedades de los Nmeros Reales 0.3. Desigualdades y Valor absoluto 0.4. Intervalos

1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL:

1.1. Producto Cartesiano 1.2. Relaciones 1.3. Definicin de funcin y notacin 1.4. Funcin real de variable real y notacin 1.5. Tipos de funcin 1.6. Algebra de funciones y graficas 1.7. Operaciones con funciones

2. ARITMETICA INFINITESIMALISTA

2.1. Nmeros grandes y nmeros pequeos 2.2. Los infinitesimales y los infinitamente grandes 2.3. Cocientes y productos de cantidades de diferente tipo 2.4. Infinitesimales e infinitamente grandes de orden superior 2.5. Expresiones racionales

2.5.1. Clculo del trmino mayor 2.5.2. Clculo de los trminos del residuo

3. SERIE DE POTENCIAS

3.1. Funciones algebraicas 3.2. Serie binomial

3.2.1. Intervalo de convergencia 3.2.2. Error absoluto y error relativo

4. LIMITES

4.1. Definicin y notacin 4.2. Limites laterales 4.3. Limites algebraicos 4.4. Limites trigonomtricos 4.5. Limites infinitos 4.6. Limites al infinito 4.7. Limites con series de potencias

5. CONTINUIDAD

5.1. Continuidad en un punto 5.2. Tipos de discontinuidad 5.3. Puntos de discontinuidad 5.4. Continuidad en un intervalo 5.5. Asntotas

Clculo 1


UNIDAD I CONCEPTOS BASICOS

0. CONCEPTOS BSICOS

0.1. Conjuntos de Nmeros 0.2. Axiomas y/o Propiedades de los Nmeros Reales 0.3. Desigualdades y Valor Absoluto 0.4. Intervalos

CONCEPTOS BASICOS Conjunto de nmeros

donde

I

Propiedades de los Nmeros Reales De campo De igualdad De relacin de orden Valor absoluto

Tarea No.: 1

Tema: Conceptos Bsicos

Desigualdad Una desigualdad es una inecuacin, resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que satisfacen la inecuacin o que la hacen verdadera. Por ejemplo:

1. 3 17 0x 22. 6 0x x

Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero x se denota mediante x y se define como:

0

0

x x si x

x x si x

I

Clculo 1


Intervalos Es el conjunto de nmeros o cantidades (reales) comprendidos entre dos nmeros o cantidades (reales) llamados extremos. Tipos de intervalos

Notacin de conjunto Notacin de intervalo Grfica

:x a x b ;a b o ;a b

:x a x b ;a b

:x a x b ,a b o ;a b

:x a x b ;a b o ;a b

:x x b ;b o ;b

:x x b ;b o ;b

:x x a ;a o ;a

:x x a ;a o ;a

; o ;

Ej. 1 Resolver las desigualdades dadas, expresando la solucin en notacin de conjunto, de intervalo y grfica.

2

3 1 5 71. 1

3

x

x x

x

x

54. 2 >1

5. 3 1

Clculo 1


1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1.1. Producto Cartesiano 1.2. Relaciones 1.3. Definicin de funcin y notacin 1.4. Funcin real de variable real y notacin 1.5. Tipos de funcin

1.5.1. Por su regla de correspondencia 1.5.2. Por su dominio o contradominio

1.6. Clasificacin de funciones y graficas 1.7. Algebra de funciones

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Producto Cartesiano Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, el producto cartesiano de A y B, denotado A x B , es el

conjunto de pares ordenados ,a b , tales que a A y b B ; es decir:

AxB = a,b /a A,b B Relacin Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, una relacin de A en B es un subconjunto cualesquiera de A x B.

Si ,a b es elemento de una relacin R, se dice que a est relacionado con b, lo que se denota

como a R b. Se llama dominio de una relacin al conjunto de sus primeros elementos, y rango, al conjunto de sus segundos elementos. Funcin Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, una funcin de A en B, es una relacin de A en B, tal que cada elemento de A est relacionado con nico elemento de B.

Si f es una funcin de A en B, lo cual se denotar por :f A B , A es el domino y B es el

contradominio de la funcin f . El rango de f es el subconjunto de B cuyos elementos son los

segundos elementos de cada par ordenado. Funcin Real de Variable Real

Una funcin real de variable real es toda funcin :f , de tal manera, una funcin real de

variable real ser un conjunto de pares ordenados de reales, y su grfica ser un conjunto de puntos en el plano, se representa por:

, / ,f x y y f x x

donde y f x es llamada regla de correspondencia, es decir una funcin real puede ser definida mediante su regla de correspondencia, sin especificar su dominio, cuyo caso se entender:

/D x f x

Clculo 1


Tipos de Funciones Funciones por su Regla de Correspondencia o Explicita

Es aquella funcin de la forma, y f x , es decir la variable independiente esta despejada en trminos de la variable independiente, por ejemplo:

1. 2y x 2 4 1

2.x x

ysen x

3 13. wf w e

o Implcita

Es aquella funcin de la forma, , 0f x y , es decir la variable independiente se encuentra establecida indirectamente en trminos de la variable independiente, sin embargo se dice que y

es una funcin implcita de x , por ejemplo:

1. 4x y 2 4

2. 1x xy y

sen xy

3 23. 0twe t w

Funciones por su Domino o Contradominio (Rango) o Inyectiva (Unvoca)

Una funcin es inyectiva, tambin llamada unvoca, cuando a cada elemento del contradominio le corresponde slo un elemento del dominio, sin importar que sobren en el contradominio.

Ej.

:

1, 2,3

1,6,7,8,9

5

f A B

A

B

f x x

o Suprayectiva (Sobreyectiva) Una funcin es suprayectiva, tambin llamada sobreyectiva, cuando a todo elemento del contradominio le corresponde uno o ms elementos del dominio, no debern sobrar elementos en el contradominio, no importa que algunos elementos del contradominio sean imgenes de ms de un elemento del dominio.

A B

1

2 3

1

6 7

8

9

f

Clculo 1


Ej.

:

2, 1,0,1

1, 2,3

2 1

1 2

0 2

1 3

f A B

A

B

f

f

f

f

o Biyectiva (biunvoca)

Una funcin es biyectiva, tambin llamada biunvoca, si todo elemento del contradominio es imagen de uno y solamente un elemento del dominio, es decir no sobran elementos en el contradominio, no importa que algunos elementos del contradominio, y ningn elemento es imagen de ms de un elemento del dominio.

Ej.

3

:

1, 2,3

1,8, 27

g C D

C

D

g x x

Ej.

Obtener dominio, rango y grafica de las siguientes funciones

2

2

2

2

1. 1

12.

1

3. 1

14.

1

f x x

yx

g x x

yx

A B

-2 -1

0

1

1

2

3

f

C D

1

2

3

1

8

27

g

Clculo 1


Clasificacin de una Funcin Real de Variable Real

)(

.

.)(

)(

.

)(.

)(.

.

))((

)(log.

))((

))((.

.

)(.

0)(;)(

)()(.

...)(.)(.

)(.)(.

.

.

lg.

Re

2

1

)(

)(

01

2

2

2

xf

xf

xf

ysSeccionadaF

xfyEnteroMximoF

xfyAbsolutoValorF

Otras

eyeBase

ayaBaselExponenciaF

xfLnyeBase

xfyaBaseasLogartmicF

xfTanArcYInversas

xfaSenyDirectasricaTrigonomtF

talesTrascendenF

xfyIrracionalF

xQconxQ

xPxfRacionalF

axaxaxaxfnsimaFcbxaxxfCuadrticaF

baxxfLinealFkxfConstanteF

EnteraF

RacionalF

ebraicaAF

alFuncin

n

xf

xf

a

n

m

n

n

n

lgebra de Funciones

Igualdad de Funciones

Sean f y g dos funciones reales cualesquiera, con dominio fD y gD , respectivamente, si f = g

entonces f y g tienen el mismo dominio gf =D D

Suma de Funciones

Sean f y g dos funciones reales cualesquiera, con dominio fD y gD , respectivamente, la

suma/resta de funciones se expresa de la forma:

x gff g x = f x g x D D

; x gff g = x,y /y = f x g x D D

Clculo 1


Multiplicacin de Funciones

Sean f y g dos funciones reales cualesquiera, con dominio fD y gD , respectivamente, la

multiplicacin de funciones se expresa de la forma:

x gff g x = f x g x D D

; x gff g = x,y /y = f x g x D D

Divisin de Funciones

Sean f y g dos funciones reales cualesquiera, con dominio fD y gD , respectivamente, la divisin

de funciones se expresa de la forma:

, 0x con

gf

f xfx = g x

g g xD D

; ; 0x con

gf

f xf= x,y /y = g x

g g xD D

Funcin Inversa

Sea f una funcin inyectiva, se define la funcin inversa de f como aquella que se obtiene al

intercambiar los elementos de cada uno de sus pares ordenados.

Es decir, si , /f x y y f x es inyectiva, entonces, su funcin inversa, denotada por 1f o *f , ser * , /f x y y f x . De esta manera, si y f x , entonces *x f y

Composicin de Funciones

Sean f y g dos funciones reales cualesquiera, con dominio fD y gD , respectivamente, la funcin

composicin de f y g, denotada por fog , tiene como dominio al conjunto gfog fD = x D /g x D , y como regla de correspondencia:

fog x =f g x

Clculo 1


Ej. 1. Sean las funciones dadas por:

2 24 , 9 2F x x x G x x y H x Sen x , realizar las operaciones que se piden:

2

2

1.1. 2

1.2.

S x F G

M x GF

*

1.3.

1.4. ( )

1.5.

T x G F

I x G

C x H G

2. Sean las funciones dadas por:

22 5, 22 , 4 2T x x x S x x I x x y H x Sen x , realizar las operaciones que se piden:

*

2.1.

2.2.

H T

S

* *

2.3.

2.4.

I S

S I

Tarea No.: 3 Tema: Operaciones con funciones

2. ARITMETICA INFINITESIMALISTA

2.1. Nmeros grandes y nmeros pequeos 2.2. Los infinitesimales y los infinitamente grandes 2.3. Cocientes y productos de cantidades de diferente tipo 2.4. Infinitesimales e infinitamente grandes de orden superior 2.5. Expresiones racionales

2.5.1. Clculo del trmino mayor 2.5.2. Clculo de los trminos del residuo

Tarea No.: 4

Tema: Aritmtica Infinitesimalista

Clculo 1


Introduccin a los nmeros infinitesimales e infinitamente grandes Ej.

1. Sea 24 7 9f x x x , completar las siguientes tablas:

x f x x f x 110 10 310 310 610 610 910 910

1210 1210

2. Sea 3 38 512f x x , completar las siguientes tablas:

x f x x f x 110 10 310 310 610 610 910

910 1210

1210

3. Calcular el trmino principal de cada una de las expresiones dadas (siendo N infinitamente grande y infinitesimal, ambos positivos).

2

2

2

2

2

3 23.1. 1 , 1 , ,

2 4 2

, 11 , 1

3.2. 1, 1<

Clculo 1


3. SERIE DE POTENCIAS 3.1. Funciones algebraicas 3.2. Serie binomial

3.2.1. Intervalo de convergencia 3.2.2. Error absoluto y error relativo

Serie de Potencias Funciones Algebraicas Las funciones algebraicas se pueden expresar como polinomios de grado infinito, tambin denominados series de potencias de la funcin.

Sea f x una funcin real de variable real, si existen constantes reales 1,2,3,...ic i , tales que, para cada x es un intervalo, se tiene que:

20 1 2 ... ...n

nf x c c x c x c x

entonces el segundo miembro es el desarrollo en serie de potencias de f x en el intervalo. Si el nmero de trminos es finito, el segundo miembro es un polinomio de grado finito con n trminos, es decir:

20 1 2 ...n

n nP x c c x c x c x

que al ser evaluado para un valor dado de la variable, proporciona un valor aproximado de la funcin, obteniendo un error que se espera ser menor en cuanto mayor sea el nmero de trminos considerado. Entonces el error absoluto, cometido al evaluar la funcin por medio de este polinomio ser:

n ne x f x P x as mismo, el error relativo ser:

1n n n

r

e x f x P x P xe x

f x f x f x

La serie converger para toda x real en un intervalo al que, por lo tanto, se denomina intervalo de convergencia. Si la serie no converge para todo valor de x , entonces se dir que diverge para ese valor de x

Clculo 1


Serie Binomial (Funciones Irracionales) Una serie binomial se desarrolla a partir del un binomio a la n-sima potencia es decir, mediante el tringulo de Pascal :

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1 2 2 3 3

2

3 3

4 6 4

1 1 2...

2! 3!

n n n n n

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

n n n n na b a na b a b a b

si el nmero n es natural entonces la serie es finita, pero si n no es natural entonces la serie es infinita. De igual manera se puede expresar la serie binomial se puede expresar como:

2 31 1 21 1 ...

2! 3!

n n n n n nw nw w w

en donde n es real y no natural y la serie converge solo para

Clculo 1


4. LIMITES 4.1. Definicin y notacin 4.2. Limites laterales 4.3. Limites algebraicos 4.4. Limites trigonomtricos 4.5. Limites infinitos 4.6. Limites al infinito 4.7. Limites con series de potencias

LIMITE DE UNA FUNCIN

Definicin y Notacin Sea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un nmero real, entonces el limite de f cuando x toma valores cada vez mas cercano a un valor fijo a se aproxima a L, esto es el limite de f cuando x tiende a a es igual a L y se denota como:

limx a

f x L

Limites Bsicos Si b y c son nmeros reales y n un nmero entero positivo, entonces:

1. lim

2. lim

3. lim

x c

x c

n n

x c

b b

x c

x c

Propiedades de los Limites Si b y c son nmeros reales y n un nmero entero positivo, f y g funciones los limites siguientes:

lim limx c x c

f x L y g x K

1. lim

2. lim

3. lim

x c

x c

x c

bf x bL

f x g x L K

f x g x LK

4. lim , 0

5. lim

x c

n n

x c

f x Lsiempre que K

g x K

f x L

Clculo 1


Ej. Obtener el limite dado, mediante aproximaciones sucesivas:

0limx

Tan x

x

x Tan x Tan x

x

x Tan x

Tan x

x

-1 1 -0.5 0.5

-1-0.1 = -10 -10.1 =10

-2-0.01 = -10 -20.01 =10

-3-0.001 = -10 -30.001 =10

-4-0.0001 = -10 -40.0001 =10

-5-0.00001 = -10 -50.00001 =10

0limx

Tan x

x

0limx

Tan x

x

0limx

Tan x

x

LIMITES LATERALES (UNILATERALES) Limite por la Izquierda

Sea f una funcin definida en un intervalo abierto ,c a y L un nmero real, entonces el limite de f cuando x toma valores a la izquierda cada vez mas cercano a un valor fijo a se aproxima a L, esto es el limite de f cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L y se denota como:

limx a

f x L

Limite por la Derecha

Sea f una funcin definida en un intervalo abierto ,a c y L un nmero real, entonces el limite de f cuando x toma valores a la derecha cada vez mas cercano a un valor fijo a se aproxima a L, esto es el limite de f cuando x tiende a a por la derecha es igual a L y se denota como:

limx a

f x L

Clculo 1


Teorema

El limx a

f x L

, si y slo si: lim limx a x a

f x f x L

Ej. 1. Obtener los siguientes lmites (si existen):

2

4

12

2

6

). lim 16

2, 1

). lim ( ), ( )

, 1

). lim 36

x

x

x

a x

x para x

b f x si f x

x para x

c x

2. Obtener los siguientes lmites algebraicos:

12

133).

4

8).

84

63).

6

65).

2

23

1

2

3

2

23

234

1

2

2

2

xx

xxxlimd

x

xlimc

xx

xxxlimb

x

xxlima

x

x

x

x

LIMITES TRIGONOMETRICOS

Sea u f x una funcin real, entonces:

0

1. lim

2. lim

3. lim 0

u

u

u

Sen u Sen

Cos u Cos

Sen u

0

0

4. lim 1

5. lim 1

u

u

Cos u

Sen u

u

Clculo 1


Considrese las siguientes identidades fundamentales:

*

1*

1*

Sen uTan u

Cos u

Sec uCos u

Csc uSen u

2 2

2 2

2 2

* 1

* 1

* 1

Sen u Cos u

Sec u Tan u

Csc u Cot u

2 2

2 2

* 1

* 1

* 1

Sen A Sen B

Sec u Tan u

Csc u Cot u

1 1* 2

2 2

1 1* 2

2 2

1 1* 2

2 2

1 1* 2

2 2

Sen A Sen B Cos A B Sen A B

Sen A Sen B Sen A B Cos A B

Cos A Cos B Cos A B Cos A B

Cos A Cos B Sen A B Sen A B

Ej. Calcular los siguientes limites:

0

4

3 51. lim

2 3

42. lim

4 4

x

x

Sen x

Sen x

Sen x

x Cos x

4

20

2

43. lim

4

14. lim

32

5. lim55

2

x

w

t

Sen x Sen

x

Cos w

w

Sen t

t

LIMITES INFINITOS

El limite de f x cuando x tiende a infinito es el nmero real L, el cual se denota como:

limx

f x L

Clculo 1


Ej. Calcular los limites dados:

2

2

2

3 41. lim

2 1

1 16 272. lim

3 2

x

x

x x

x

x x

x

2

3

2

16 413. lim

8 27

4. lim 5

x

x

x x

x

x x x

comprobar el resultado en maple

5. Completar la siguiente tabla:

x 1

x

11

x

11

x

x

x

1

x

11

x

11

x

x

10 10 310 310

610 610 910 910

1210 1210

6. Calcular el limite:

1lim 1

u

u u

7. Calcular los siguientes limites:

17.1. lim 1

4

3 17.2. lim

3

x

x

x

x

x

x

x

LIMITES AL INFINITO

Si f es una funcin definida mediante y f x , se dice que el limite de f cuando x tiende a a es

infinito , lo cual se denota:

limx

f x

a

Si infinitesimal, f a es infinitamente grande

Clculo 1



2

4

31. lim

4x

x

x

2

52. lim

2x x

LIMITES CON SERIE DE POTENCIAS


1

3

3

20

1 1

1. limx

x x

x

Clculo 1


5. CONTINUIDAD 5.1. Continuidad en un punto 5.2. Tipos de discontinuidad 5.3. Puntos de discontinuidad 5.4. Continuidad en un intervalo 5.5. Asntotas

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Una funcin f es continua en a , si limx

f x f a

a

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1. La grafica de una funcin f tiene una discontinuidad asinttica o tiene asuntota (vertical) en

x a , si

limx

f x

a

2. La grafica de una funcin f tiene una discontinuidad de hueco en x a , si

Clculo 1


limx

f x f a

a

o si limx

f xa

existe y f a no.

3. La grafica de una funcin f tiene una discontinuidad de salto en x a , si

lim limx x

f x f x

- +a a

Ej.

Clculo 1


Analizar la continuidad de la funcin dada, indicar en donde presenta discontinuidades y de que tipo.

1.1

xf x

x

2

22.

tg t

t t

2, 1

3.2

, 1

xx

xF x

xx

4. Obtener el valor de cada una de las constantes a y c para los cuales la funcin con regla de

correspondencia dada sea continua en .

2, 2

, 2 1

1, 1

x x

g x ax c x

x

ASINTOTAS Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asntota de la curva.

Asntota Vertical

La asntota vertical se expresa por: limx a

f x

, o tambin f a N

Asntota Horizontal

La asntota horizontal se expresa por: limx

f x L

, o tambin f N L

Asntota Oblicua

La asntota oblicua se expresa por:

:

( ) asntota oblicua

P xF x g x R x

Q x

en donde

g x

Funcin Racional Impropia

UNIDAD II

Clculo 1


CALCULO DIFERENCIAL

1. CONCEPTOS BSICOS Incrementos Razn de cambio Definicin de derivada Interpretacin geomtrica

2. CLCULO DE DERIVADAS

Teoremas de derivadas Regla de la cadena Derivacin implcita Derivacin de funciones inversas Derivadas de orden superior

3. SERIES DE POTENCIAS

Series de potencias Serie de Taylor

4. MXIMOS Y MNIMOS

Teorema del valor medio Teorema de Rolle Funcin creciente y decreciente Puntos extremos Concavidades Punto de Inflexin Criterio de la primera derivada Criterio de la segunda derivada

5. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ecuaciones de la recta tangente y normal Razn de cambio relacionadas Problemas de optimizacin Movimiento rectilneo Mtodo de Newton Regla de LHopital

UNIDAD II

Clculo 1


CALCULO DIFERENCIAL 1. CONCEPTOS BSICOS

Incrementos El cambio o incremento de una variable es la diferencia entre dos variables, es decir es la

diferencia entre el valor final y el valor inicial, usualmente el incremento se denota como x :

f ix x x

Si el incremento de la variable es infinitesimal, es decir, si los valores inicial y final de la variable difieren en una cantidad infinitesimal, el incremento se llamar diferencial que se denotar como

dx . Incremento:

Si: 2 1x h x x entonces 2 1x x x

En lo general: x a h

Diferencial:

Si: 2 1dx h x x infinitesimal, entonces

2 1x x dx

En lo general: x a dx

El cambio o incremento de una funcin y f x es la diferencia de la funcin entre dos variables, es decir es la diferencia entre la funcin del valor final y la funcin del valor inicial,

usualmente el incremento se denota como y o tambin f x :

f i

f i

y y y

f f x f x

La diferencial de una funcin se denotar como dy .

Incremento:

Si: 2 1y f x f x

como 2 1 1x x x x h

entonces 1 1y x h f x

En lo general, como x a h

Entonces: y f a h f a

Diferencial:

Si: 2 1dy f x f x infinitesimal,

entonces 1 1y x dx f x

En lo general: x a dx

Entonces: dy f a dx f a

Razn de cambio

Clculo 1

Ing. Manuel J. Gutirrez G

25

La razn de cambio promedio es el cociente del cambio o incremento de la funcin y entre

el cambio o incremento de la variable x , esto es:

p

f a h f ayr

x h

La razn de cambio instantnea es el limite de la razn de cambio promedio cuando el incremento de la variable tiende a cero, esto es:

0

0

lim

lim

ix

h

yr

x

f a h f ar

h

Definicin de derivada

Sea una funcin definida como y f x , que se denota como ' o y f x , define como:

0 lim

x

f x x f xf x

x

Formas de notacin de la derivada de una funcin dada como:

, , , , ,x x

df xdyD y D f x y f x

dx dx

Interpretacin geomtrica

2. CLCULO DE DERIVADAS

Clculo 1


26

Teoremas de derivadas: funciones algebraicas

2

2

2

2

2

2

( )22).

1

( )23).

1

( )24).

1

( )25).

1

( )26).

1

( )27).

1

28). ln ( )

29). ( )

( )30). log

log

xx

xx

xx

xx

xx

xx

u u

x x

u u

x x

xx a

D uD Arc Sen u

u

D uD Arc Cos u

u

D uD Arc Tan u

u

D uD Arc Cot u

u

D uD Arc Sec u

u u

D uD Arc Csc u

u u

D a a a D u

D e e D u

D uD u

u a

( )31). ln

32).

xx

x x x

D uD u

u

D f g x D f g x D g x

dy dy du

dx du dx

Regla de la cadena

1

2

1

lim ( ) ( )1). ( )

0

2). 0

3).

4).

5). ( ) ( )

6). ( ) ( )

( ) ( )7).

8). ( ) ( )

9). ( )

10). ( )

11).

x

x

n n

x

x x x

x x x

x xx

n n

x x

x x

x x

x

f x h f xf x

h h

D k

D kx k

D x nx

D u v D u D v

D u v uD v vD u

vD u uD vuD

v v

D u n u D u

D ku kD u

D Sen u Cos u D u

D Cos u Se

2

2

2

2

( )

12). ( )

13). ( )

14). ( )

15). ( )

16). ( )

17). ( )

18). ( )

19). ( )

20).

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

n u D u

D Tan u Sec u D u

D Cot u Csc u D u

D Sec u Sec u Tan u D u

D Csc u Csc u Cot u D u

D Senh u Cosh u D u

D Cosh u Senh u D u

D Tanh u Sech u D u

D Coth u Csch u D u

D Se

( )

21). ( )

x

x x

ch u Sech u Tanh u D u

D Csch u Csch u Coth u D u

Clculo 1


27

Ej. Obtener la derivada de las funciones dadas

2 2

2

3

1. 5

52.

2

3. arc tan 3

4. 2

5. 1

x

x

f x x e

Cos xg x

x

y w

f x Ln arc sen x

y e

Regla de la cadena

Sean u g x y y f u , de manera que:

y h x

y f g x

y f g x

La derivada de y con respecto a x, es decir la derivada de una funcin compuesta, se expresa como:

y h x f g x g x

dy dy duy h x

dx du dx

dy dy du

dx du dx

Ej.

Obtener la derivada de las funciones dadas mediante la regla de la cadena

3 21. , 2 3 4

2. , 3 2

3. , ( ) 3

u

y u g x x x x

y e g x x

y Ln u g x Sen x

Tarea No.: 6

Tema: Derivada de una funcin

Clculo 1


28

Derivacin implcita

Sea una relacin R definida mediante la ecuacin de la forma: , 0R x y , entonces la derivada de una funcin implcita, suponiendo que y depende de x, se emplea la siguiente estrategia: 1. Se deriva ambos lado de la ecuacin respecto a x. 2. Agrupar todos los trminos que contenga dy/dx (y) en el lado izquierdo de la ecuacin y

agrupar los dems trminos a la derecha. 3. Factorizar dy/dx (y) del lado izquierdo de la ecuacin. 4. Despejar dy/dx (y).

Ej.

Obtener y de las funciones implcitas dadas

2 2

4

2

1. 2 3 4

2. cos( )

3.

4.

5. ln

xy

x xy y

x y x y

e xy x y

x y xy

xy x y

Tarea No.: 7

Tema: Derivacin implcita Derivadas de orden superior

Sea y f x una funcin continua, entonces:

2 22 2

2 2

3 33 3

3 3

Primera derivada, , , , ,

Derivada de primer orden

Segunda derivada , , , , ,

Derivada de segundo orden

Tercera derivada , , , , ,

Deri

d dy f x Dy Df x y f x

dx dx

d dy f x D y D f x y f x

dx dx


dx dx

vada de tercer orden

n-esima derivada, , , , ,

Derivada de n-esimo orden

n nn n n n

n n


dx dx

Clculo 1


29

Ej.

Obtener las derivadas de orden superior de las funciones dadas

3 21. 2 3 4f x x x x Obtener y de las siguientes funciones:

3

2

2.

3.

xg x e

y Sen w

2 2

4. 2

5. 1

6. 9

f x Ln x

x xy y

x y

Tarea No.: 8

Tema: Derivadas de orden superior

Derivacin de funciones inversas Una funcin inyectiva tiene inversa, entonces la inversa de una funcin inyectiva f, es g, de

manera que, para todo punto ,x y de f, se tiene que: y f x y x g y De manera que:

dy

f xdx

y dx

g ydy

Entonces: 1

g yf x

3. SERIES DE POTENCIAS Series de potencias Una funcin puede desarrollarse en una serie de potencias, es decir que, para toda x, en algn intervalo se satisface la ecuacin, de tal manera que:

2 30 1 2 3n

nf x c c x c x c x c x

El desarrollo correspondiente es nico, de modo que cada uno de los coeficientes de la serie queda determinado por la funcin misma. La derivacin consiste en derivar trmino a trmino, que consiste en suponer que la serie puede derivarse como un polinomio (de grado infinito). La serie de potencias se puede relacionar con una serie binomial, para ello considrese que

Clculo 1


30

Serie de Taylor

La serie de Taylor de f, es una serie de potencias alrededor del punto a, se expresa de la forma:

2

2! !

nnf a f

f x f a f a x a x a x an

y el polinomio de Taylor que se emplea para aproximar una funcin se determina como:

2

2! !

nn

n

f a fP x f a f a x a x a x a

n

En donde el error absoluto correspondiente es: n ne x f x P x y el error relativo:

n

r

f x P xe x

f x

Ej. Desarrollar la serie de Taylor hasta el polinomio de grado 5, de la funcin

2

321. 1 , 0

3f x x si a

32. , 0xf x e si a 3. ln 1 , 0f x x si a

Tarea No.: 9

Tema: Serie de Taylor

4. MXIMOS Y MNIMOS Teorema del valor medio

Si f es continua en el intervalo cerrado ,a b y derivable en el intervalo abierto ,a b , entonces

existe un nmero c en ,a b tal que:

f b f a

f cb a

Teorema de Rolle

Sea f es continua en el intervalo cerrado ,a b y derivable en el intervalo abierto ,a b , si

f a f b entonces existe un nmero c en ,a b tal que: 0f c

Clculo 1


31

Funcin creciente y decreciente

Una funcin f es creciente en un intervalo I, si para cualesquiera 1x y 2x elementos del

intervalo,

1 2 1 2x x f x f x

Una funcin f es decreciente en un intervalo I, si para cualesquiera 1x y 2x elementos del

intervalo,

1 2 1 2x x f x f x

Si f es diferenciable en un intervalo I, entonces f es creciente en I, si y solo si 0f x , para toda x en el intervalo.

Si f es diferenciable en un intervalo I, entonces f es decreciente en I, si y solo si 0f x , para toda x en el intervalo.

Puntos extremos Los valores crticos de una funcin son aquellos valores o elementos de su dominio en los cuales la derivada se anula o no existe. Si a es un valor crtico de una funcin f, entonces

,a f a es un punto extremo o punto crtico de f.

Concavidades Una funcin, dos veces derivable, es:

Convoca hacia arriba si su segunda derivada es positiva en todo el punto del intervalo:

" 0f x Convoca hacia abajo si su segunda derivada es negativa en todo el punto del intervalo:

" 0f x

Punto de Inflexin Si la segunda derivada de una funcin f, es continua, entonces el punto de inflexin es el punto en donde la segunda derivada es cero, es decir el punto en que la curva cambia su sentido de concavidad.

Criterio de la primera derivada Siendo a un valor o nmero crtico de f:

Si f cambia su signo de a en x a , entonces f tiene un mximo en x a .

Si f cambia su signo de a en x a , entonces f tiene un mnimo en x a . Si f no cambia su signo en x a , entonces f no tiene ni mximo ni mnimo en x a .

Clculo 1


32

Criterio de la segunda derivada Siendo f una funcin dos veces derivable en un intervalo abierto que contiene un valor o nmero crtico a :

Si " 0f a , entonces f tiene un mnimo en x a

Si " 0f a , entonces f tiene un mximo en x a

Ej. Dadas las siguientes funciones, obtener los puntos extremos, intervalos donde la funcin es creciente y/o decreciente, mximo(s) y mnimo(s), concavidades, punto(s) de inflexin y bosquejo de la grafica, si:

4 2

3

1. 2 1

2. 6 2

f x x x

y x x

23.

4

4. 2 , 0,2

xf x

x

y x Sen x x

Tarea No.: 10

Tema: Mximos y mnimos 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ecuaciones de la recta tangente y normal

Si C es una curva definida por la ecuacin y f x , entonces la recta tangente TL a C, en el

punto de abscisa a , es aquella que pasa por el punto ,a f a , cuya ecuacin se expresa de la forma:

T Ty f a m x a L en donde la pendiente de la recta tangente, en el punto de

abscisa a ser:

Tf a h f a

m f ah

con h infinitesimal

Por otro lado la recta normal NL es la recta perpendicular a la recta tangente TL que pasa

por el punto ,a f a de la curva C, cuya ecuacin se expresa de la forma:

N Ny f a m x a L en donde la pendiente de la recta normal, en el punto de

abscisa a ser:

1

Tm

f a

Clculo 1


33

Ej. 1. Obtener la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal de la expresin:

2 2

) 2 3 0; 2

) 2 2 8 0, 0,2

a xy x y si x

b x y x y pasa por el punto

2. En que punto la tangente a la parbola 2 7 3y x x es paralela a la recta

5 3 0x y

Problemas de optimizacin Un problema de optimizacin es aquel en el que se busque maximizar o minimizar una variable o funcin. Si la variable a maximizar o minimizar puede expresarse en trminos de una sola variable independiente, entonces, se podr aplicar alguno de los criterios de mximos o mnimos, para resolver el problema, esto es encontrar el valor de la variable independiente para el cual la funcin tiene el valor mximo o mnimo. Ej.

1. La resistencia de una viga rectangular es directamente proporcional a su anchura y al cubo de su altura. Si se va a obtener una viga de un tronco, cuya forma es, aproximadamente la de un cilindro circular de 52 cm de dimetro, Cules deben ser las medidas del corte transversal de la viga, para que su resistencia sea mxima?

2. Se desea construir un recipiente cilndrico metlico de base circular cuyo volumen

tendr que ser de 64 cm3. hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal sea mnima, en los casos siguientes:

a. Sin tapa b. Con tapa

3. Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de mximo volumen que se puede inscribir en un cono circular. (con h=10 cm y r=2.5 cm)

Razn de cambio relacionadas Es una aplicacin de la Regla de la Cadena, que consiste en encontrar la razn de cambio de dos o ms variables relacionadas que estn cambiando con respecto al tiempo.

Regla de la Cadena: dy dy du

dx du dx en donde y f u y u g x

Razn de cambio con respecto al tiempo: dy dy du

dt du dt en donde y f u y u g t

Clculo 1


34

Ej. 1. Una bola de nieve se derrite de manera que su superficie decrece a razn de 1,2

cm2/min Calcular la razn con la que cambia el dimetro cuando ste mide 2,3 cm. 2. Un hombre de 1,60 m de estatura camina alejndose de un farol de la calle que est a

6 m del piso, si el hombre camina a 0,6 m/s, calcular la razn con la que cambia la longitud de su sombra sobre el piso cuando se encuentra a 8 m de la base del poste.

3. De un tubo sale arena a razn de 125 cm3/s, si la arena forma en el suelo una pirmide cnica cuya altura es siempre del dimetro de la base. Con qu rapidez aumenta la pirmide cuanto tiene 1 m de altura?

Movimiento rectilneo

Sea x t la funcin de posicin de una partcula que se mueve en lnea recta, en trminos del tiempo.

Velocidad Promedio Es la razn promedio de cambio de la posicin con respecto al tiempo, es decir, qu tan rpido cambia su posicin con el tiempo. Si el objeto se mueve en la direccin asignada al eje de referencia, entonces la posicin (variable) aumentar con el tiempo, de manera que la velocidad ser positiva, en cambio, si se mueve en direccin contraria a la asignada al eje de referencia, la velocidad ser negativa.

f i

f i

y yy

t t t

Velocidad Instantnea Es la velocidad promedio correspondiente a un intervalo infinitesimal de tiempo, es decir, a un instante:

x a dt x ad

v a x adt dt

, en un tiempo t a

dx

v t x tdt

El valor (absoluto) de la velocidad es el indicador de la rapidez con que la partcula cambia su posicin con el tiempo, y el signo de la velocidad indica si la partcula se mueve en la direccin asignada al eje de referencia o en direccin opuesta, segn si la velocidad es positiva o negativa.

Aceleracin Instantnea

Clculo 1


35

Es la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

dv

a t v tdt

El valor (absoluto) de la aceleracin indica qu tan rpido est cambiando la velocidad, y su signo indica si el valor de la velocidad (considerando su signo), aumenta o disminuye.

Ej.

1. La posicin de una partcula esta dada por: 22 10x t t con t en segundos y x(t) en metros:

a. Cul es el desplazamiento de la partcula entre t=0 y t=4 s? b. Cul es la posicin y la aceleracin de la partcula en t=0 s? c. Cul es la velocidad y aceleracin de la partcula en t=4 s?

2. Sea 3 22 15 48 10,x t t t t la funcin de posicin en donde t en segundos y x(t) en metros:

a. Cul es la aceleracin cuando la velocidad es 12 m/s. b. cul es la velocidad cuando la aceleracin es 10 m/s2.

Mtodo de Newton El mtodo de Newton se utiliza para aproximar los ceros reales de una funcin mediante rectas tangentes de la funcin cerca de sus intersecciones con el ejes.

Sea 0f c , donde f es derivable en un intervalo abierto que contiene a c . Entonces, para aproximar c , se siguen los siguientes pasos:

Se efecta una estimacin inicial 1x que es cercana a c . (Una grfica es til)

Se determina una nueva aproximacin mediante la expresin:

1

n

n n

n

f xx x

f x

Si 1n nx x est dentro de la precisin deseada, dejar que 1nx sirva como la aproximacin

final. En otro caso, volver al paso dos y calcular una nueva aproximacin.

Cada aplicacin sucesiva de este procedimiento recibe el nombre de iteracin.

Ej.

Obtener las races reales de la ecuacin: 4 39 4 4 0x x

Regla de LHopital

Clculo 1


36

La Regla de LHopital se utiliza para evaluar un limite, cuando se encuentra en sus

indeterminadas 0 ,0 , es decir:

01. lim

0

2. lim

x a

x

f x

g x

f x

g x

Sea f y g funciones que son derivables en un intervalo abierto ,a b conteniendo c ,

suponiendo que 0g x para toda x en ,a b . Si el limite de

f x

g x cuando x tiende a

c produce la forma indeterminada 00

, entonces:

lim lim

x c x c

f x f x

g x g x

De la misma forma:

lim lim

x x

f x f x

g x g x

Ej. 1. Calcular los siguientes limites

0

2

0

tan. lim

t. lim

1 cos t

x

t

xa

x

b

UNIDAD III

Clculo 1


37

CALCULO INTEGRAL

1. DIFERENCIAL 1.1. De una variable 1.2. De una funcin

2. INTEGRAL INDEFINIDA

2.1. Clculo de primitivas o antiderivadas

2.2. Integral indefinida (notacin) 2.3. Teoremas de integrales

3. INTEGRAL DEFINIDA 3.1. Integral definida (notacin) 3.2. Teorema fundamental del clculo

3.3. Teorema del valor promedio 3.4. Propiedades de una integral definida

4. MTODOS DE INTEGRACIN 4.1. Integracin Directa 4.2. Integracin por Sustitucin o Cambio de Variable

4.3. Integracin por Partes 4.4. Integracin por Sustitucin Trigonomtrica 4.5. Integracin por Diferenciales Trigonomtricas

4.6. Integracin por Fracciones Parciales 4.7. Integracin por Series de Potencias 4.8. Integracin Numrica: Mtodo del Trapecio

5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

5.1. rea bajo la curva

5.2. Area entre curvas 5.3. Volumen de un slido de revolucin 5.4. Longitud de arco

Clculo 1


38

UNIDAD III CALCULO INTEGRAL

1. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN

Sea una funcin real continua )(xf , entonces la diferencial de la variable independiente

)(dx es igual al incremento de la variable independiente )( x , esto es: xdx

La diferencial de la variable dependiente )(dy se define como: dxxfdy )('

2. INTEGRAL INDEFINIDA

Antiderivadas

Sea )(xF una funcin real continua en un intervalo, cuya derivada es la funcin )(xf ,

entonces )(xF es una primitiva o antiderivada de )(xf , esto es:

)('))(()( xFxFDxf

Integral Indefinida y Notacin

La integracin es el proceso inverso de la diferenciacin, es decir la integral de la diferencial de una funcin debe ser la funcin misma, la integral indefinida se expresa como:

CxFdxxf )()(

Donde:

cinIntedeConstanteC

xfdedaAntiderivaxF

lDiferenciadx

ndoIntedxxf

ledeSmbolo

gra

)()(

gra)(

graint

' ,

( ) '( )

( ) ( )

:

( ) ( )

:

( ) ( )

Sea F f entonces

dF x F x dx

dF x f x dx

Asi que

f x dx F x

Finalmente

f x dx F x C

Clculo 1


39

Teoremas Fundamentales de Integrales

1

1

1).

2).

3). , 11

14). ln

5).

6).1

7). ln , 1

8).

9).ln

10).

11).

12). ln

nn

nn

u u

uu

dx x C

k dx kx C

xx dx C con n

n

dx x Cx

ku dx k u du

uu du C

n

duu C con n

u

e du e C

aa du C

a

Sen u du Cos u C

Cos u du Sen u C

Tan u du Sec u

13). ln

14). ln

C

Cot u du Sen u C

Sec u du Sec u Tan u C

b

aaFbFdxxf

duvuvdvu

Cau

au

aau

du

Cau

au

aua

du

Ca

uSecArc

aauu

du

Ca

uTanArc

aua

du

Ca

uSenArc

ua

du

CuCscduuCotuCsc

CuSecduuTanuSec

CuCotduuCsc

CuTanduuSec

CuCotuCscduuCsc

).26

).25

ln2

1).24

ln2

1).23

1).22

1).21

).20

).19

).18

).17

).16

ln).15

22

22

22

22

22

2

2

3. INTEGRAL DEFINIDA

Integral Definida y Notacin La integral definida se denota de la forma:

inf

( )sup

b

a

a valor eriorf x dx con a b

b valor erior

Teorema Fundamental del Clculo

La integral definida de una funcin )(xf en el intervalo ba, , est dada por:

b

a

b

a

xFdxxf )()(

b

a

aFbFdxxf )()()(

Clculo 1


40

Teorema del valor promedio Si f es una funcin continua en [a,b], entonces:

1

, ( )

b

prom

a

f a b f x dxb a

Propiedades de la Integral Definida

b

a

c

a

b

c

b

a

b

a

b

a

a

b

b

a

a

a

b

a

baccondxxfdxxfdxxfe

dxxgdxxfdxxgxfd

dxxfdxxfentoncesbaSic

dxxfb

abkdxka

;,).

).

)()(:,).

0)().

)().

4. METODOS DE INTEGRACION

Integracin Directa La integracin se emplea utilizando de manera directa los teoremas de integracin sin necesidad de utilizar algn otro mtodo de integracin.

Ejs: Resuelva las siguientes integrales

2

1 4 21. 5

3dx

x xx x

2

22.

xdx

x

33

1

13. x dx

x

Tarea No.: 11

Tema: Integracin directa

Clculo 1


41

Integracin por Sustitucin o Cambio de Variable Sea g una funcin derivable y F una antiderivada de f, entonces u=g(x) y du=g(x)dx,

por lo tanto:

f g x g x dx = f u du

f g x g x dx =F u +C

f g x g x dx =F g x +C


53 4 21. 10 5x x x x dx 3

32.

1

x

x

edx

e

1

2

0

2 43.

4 13

xdx

x x

24. xSen x dx

Tarea No.: 12

Tema: Integracin por cambio de variable

Integracin por Partes Sea u=f(x) y v=g(x) entonces, la derivada de un producto se expresa como:

( ) ( ) ( )D u v u D v v D u

integrando ambos lados, se tiene que:

d u v u dv v du

d u v u dv v du

u v u dv v du

u dv u v v du


1. xSen x dx 3

22 2

12

2. xx e dx

1

3

2

3. lnx x dx 24. xe Cos x dx

Clculo 1


42

Tarea No.: 13

Tema: Integracin por partes

Integracin por Sustitucin Trigonomtrica

CASO I: Integral que contiene una expresin de la forma: 22 ua

aCosuaa

uaCos

aSenua

uSen

2222

CASO II: Integral que contiene una expresin de la forma: 22 ua

aSecuaa

uaSec

aTanua

uTan

2222

CASO III: Integral que contiene una expresin de la forma: 22 au

aTanaua

auTan

aSecua

uSec

2222


2 21.

4

dx

x x 22. 9

dx

x x

3

2

10

3. 9x x dx

32 2

4.

4

dx

x

2 2a u

a u

2 2a u

a

u

a

u 2 2u a

Clculo 1


43

Tarea No.: 14

Tema: Integracin por sustituciones trigonomtricas

Integracin por diferenciales Trigonomtricas

CASO I. m o n nmeros enteros impares positivos:

uSenuCosc

uCosuSenb

uCosuSena

duuCosuSen nm

22

22

22

1).

1).

1).

CASO II. m y n nmeros enteros pares positivos:

2

2

1 1). 2

2 2

1 1). 2

2 2

1).

2

m n

a Sen u Cos u

Sen u Cos u du b Cos u Cos u

c Sen u Cos u Sen u

CASO III. n nmero entero:

1).

1).

1).

.1.3

22

22

22

uTanuSecc

uSecuTanb

uTanuSeca

duuSecuTan nm

1).

1).

1).

.2.3

22

22

22

uCotuCscc

uCscuCotb

uCotuCsca

duuCscuCot nm

Integracin por Fracciones Parciales

Funcin Racional de la forma:

nmpropiaFraccinb

nmimpropiaFraccina

bxbxb

axaxa

xQ

xPxF

o

m

m

o

n

n

:).

:).

...

...

1

1

INTEGRAL DE LA FORMA:

dxxQ

xPdxxF propiaparcialFraccin

Clculo 1


44

CASO I: Factores lineales no repetidos:

nn

n

nn bxa

A

bxa

A

bxa

A

bxabxabxa

xP

xQ

xP

...

...

)(

)(

)(

22

2

11

1

2211

CASO II: Factores lineales repetidos:

n

n

nbax

A

bax

A

bax

A

bax

xP

xQ

xP

...

)(

)(

)(2

21

CASO III: Factores cuadrticos no repetidos:

nnn

nn

nnn cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

cxbxacxbxa

xP

xQ

xP

2

11

2

1

11

2

11

2

1

......

)(

)(

)(

CASO IV: Factores cuadrticos repetidos:

n

nn

ncbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

xP

xQ

xP

222

22

2

11

2...

)(

)(

)(


2

341.

4 12

xdx

x x

2 2

3 2

0

5 30 432.

9 27 27

x xdx

x x x

5 3 2

3

9 9 93.

3

x x xdx

x x

5 3

32

44.

2

x xdx

x

Tarea No.: 15

Tema: Integracin por fracciones parciales

Clculo 1


45

Integracin por Serie de Potencias

La integral dada se resuelve utilizando Serie de potencias para poder simplificar la funcin a integral.

Ej.: Resuelva las siguientes integrales

2

ln 11.

xdx

x

Integracin Numrica: Mtodo del Trapecio

1 2 122

b

o n n

a

hf x dx f x f x f x f x f x

,b a

h nn

nmero de intervalos

Ej.: Estimar el valor de:

2

1

1. , 4sen x

dx nx

4

30

2. , 44

dxn

x

Clculo 1


46

5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA rea bajo la curva

Sea f una funcin real, entonces el rea bajo la grafica de f en el intervalo cerrado [a,b], est dada por:

1

( )n

i i

i

A f x x

donde ix es el ancho del i-simo subintervalo, ipx es el punto medio del subintervalo,

y n el nmero de subintervalos.

1

( ) ( )

( )

b n

i i

ia

b

a

f x dx f x x

A f x dx

rea entre curvas

Sean las curvas f(x) y g(x) funciones definidas en el intervalo [a,b], entonces el rea de la regin generada por las funciones est dada por:

, / ,R x y a x b g x y f x entonces:

b

a

A f x g x dx

De la misma manera:

d

c

A y y dy

En coordenadas polares:

1 2, / ,R r a b g r g

2 22 112

b

a

A g g d

Ejs: Encontrar el rea de la regin limitada por:

241.

2

y x

y x

3

3

22.

6

y x x

y x x

Clculo 1


47

Volumen de un slido de revolucin Sea la porcin de la curva definida por la funcin y=f(x) en el intervalo [a,b] y que el

plano XY gira con respecto al eje x, generando entonces un slido de revolucin, de tal manera que el volumen del slido generado est dado por.

22dV y dx f x dx

Por lo tanto:

2

b

a

V f x dx

As mismo,

22dV x dy y dy

2

b

a

V y dy

Ej.: Encontrar el volumen del slido de revolucin al girar la regin acotada por

, 0; 4y x y x alrededor del eje x.

Longitud de arco

Sea C una curva definida por la funcin y=f(x) en el intervalo [a,b], entonces la longitud de arco de la curva C, est dada por:

2

2

1 '

1 '

b

b

a

a

b

b

a

a

L f y dx

L f f x dx

Ej.:

Encontrar la longitud de arco de la parbola semicbica 2 3 0y x a partir de su vrtice

0,0A hasta el punto 1,1B

Clculo 1


48

ANEXOS

Anexo 1. Tareas UNIDAD I

CONCEPTOS BASICOS

Tarea No.: 1

Tema: Conceptos Bsicos Fecha de Entrega: ____________________

INSTRUCCIONES

Investigar los siguientes conceptos bsicos

Propiedades de los nmeros reales

a. Axiomas o propiedades de los nmeros reales i. De campo ii. De igualdad iii. De relacin de orden iv. Valor absoluto

Tarea No.: 2 Tema: Desigualdades

Fecha de Entrega: ____________________

Instrucciones

Resolver las desigualdades dadas, expresando la solucin en notacin de conjunto, de

intervalo y grafica:

2

8 - 21. 1 5

-5

2. 2 9 5

33.

1 3

4. 2 1 2

5. 3 2 4 2 3

x

x x

x

x x

x

x x

Clculo 1


49

Tarea No.: 3

Tema: Operaciones con funciones Fecha de Entrega: ____________________

Instrucciones:

Realiza lo que se pide, se claro en tus resultados.

1. Dadas las siguientes funciones:

32

2

1

1

x

f x x

g x x

h x e

Obtener:

21.1.

1.2.

1.3.

1.4. *

1.5. , 0

M g f

N f g

P h f

Q g f

f a h f aD con h

h

Tarea No.: 4

Tema: Aritmtica Infinitesimalista Fecha de Entrega: ________________________

Instrucciones

Investigar los siguientes conceptos:

o Cantidades muy grandes y muy pequeas

o Cantidades infinitesimales e infinitas y sus propiedades

o Orden de una cantidad infinitesimal o infinita

o Trmino principal y tamao del residuo

Bibliografa Ismael Arcos Quezada, Clculo Infinitesimal para estudiantes de ingeniera, Editorial Kali

Clculo 1


50

Tarea No.: 5

Tema: Operaciones con aritmtica infinitesimalista Fecha de Entrega: ____________________

Instrucciones:

Realiza lo que se pide, se claro en tus resultados.

1. Dada la funcin 2

2

3 2

2 4 2

x xf x

x x

, obtener:

1.1. 1

1.2. 1

1.3.

1.4.

f

f

f N

f N

2. Dada la funcin 2

2

, 1

1, 1 1

3 4, 1

x x

f x x x

x x x

, obtener:

2.1. 1

2.2. 1

2.3. 1

2.4. 1

f

f

f

f

Clculo 1


51

UNIDAD II CALCULO DIFERENCIAL

Tarea No.: 6

Tema: Derivada de una funcin

Fecha de entrega: ____________________

1. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

2. Calcular la derivada dy

dx de las siguientes funciones, mediante regla de la

cadena:

2 2

3 2

2.1. 1

2.2.2

2.3. 2 5

y u u x

xy u u

x

y Tan u u x

2

2

2

21.6.

1

1.7.

1.8. ln tan 2 1

1.9. ln 2 2

11.10. ln

1

x

Sen xy

x

y arc sen x

y x

y e x

xy

x

31 12 2 2

2 4 3

3

3

3 24

3 3 2

1.1. ( ) 3 2

1.2. ( ) 7 1 7

3 21.3. ( )

3 2

1.4. ( ) tan ( 1)

11.5. ( )

2 5 1

f x x x x

f x x x x x

x xf x

x x

f x x

f xx x

Clculo 1


52

Tarea No.: 7

Tema: Derivacin implcita

Fecha de entrega: ____________________

1. Calcular la derivada de las siguientes funciones implcitas:

241.1. 2 2

1.2.

1.3. ln

1.4. tan

1.5.

x

xy x y

xSen y yCos x

ye xy xy

arc xy x y

x y x y

Tarea No.: 8

Tema: Derivadas de orden superior

Fecha de entrega: ____________________

1. Calcular la derivada que se pide:

2

2 2

11.1. , "( )

5

1.2. ,

1.3. ln 1 ,

1.4. 4 9 36,

xf x f x

x

y Cos x y

y t y

x y y

Tarea No.: 9

Tema: Serie de Taylor

Fecha de entrega: ____________________

Desarrollar la serie de Taylor para las siguientes funciones

3

2

1. , 0 5

2. , 24

3. ln 1 , 0 3

xf x e a y n

f x Cos x a y n

f x x a y n

Clculo 1


53

Tarea No.: 10

Tema: Mximos y mnimos

Fecha de entrega: ____________________

Para cada una de las siguientes funciones, obtener:

Puntos Extremos

Intervalos donde la funcin es creciente o decreciente

Mximos y mnimos

Concavidades

Puntos de inflexin

Grafica

3 2

2

1. 2

2. 6

3.1

f x x x x

f x x x

xf x

x

Clculo 1


54

UNIDAD III CALCULO INTEGRAL

Tarea No.: 11

Tema: Integracin directa Fecha de entrega: ____________________

Resolver las siguientes integrales:

2

3 2

1 11. 1

2x dx

x

3

2

12.

x xdx

x

22 2

0

13.

xdx

x

Tarea No.: 12

Tema: Integracin por cambio de variable

Fecha de entrega: ____________________

Resolver las siguientes integrales, mediante cambio de variable:

2

2

3

6

0

0

2

2

1.

52.

1

3.

4. 2

5.16

x

x

Sen x

Sen x

Cos xdx

x

edx

e

Sec x edx

Sec x

Cos x dx

Sen xdx

Cos x

Clculo 1


55

Tarea No.: 13

Tema: Integracin por partes Fecha de entrega: ____________________

Resolver las siguientes integrales por partes:

22

6

0

2

2

1. 1

2. arctan

3. ln

4.

5. s

x x dx

x dx

x x dx

x Csc x dx

Co x dx

Tarea No.: 14

Tema: Integracin por sustituciones trigonomtricas Fecha de entrega: ____________________

Resolver las siguientes integrales

2

2

32 2

2

8

2 25

2 2

3

5

1.9

2.

9

3.9

4.16

45.

xdx

x

dx

x

dx

x x

dx

x x

xdx

x

Clculo 1


56

Tarea No.: 15

Tema: Integracin por fracciones parciales Fecha de entrega: ____________________

Resolver las siguientes integrales

2

2

4 2

3

2

3

4 2

2 211.

2 9 5

12.

6 9

8 83.

4

20 114.

3 2 4 5

45.

2 1

xdx

x x

xdx

x x

x xdx

x x

xdx

x x x

x xdx

x x

Clculo 1


57

Anexo 2. Serie de Ejercicios

SERIE DE EJERCICIOS No. 1

CONCEPTOS BASICOS

Fecha de entrega:______________________

1er. Examen Parcial: ____________________

INSTRUCCIONES. Contesta lo que se pide, se claro en tus procedimientos y resultados.

1. Resolver las siguientes desigualdades, expresar la solucin en forma de intervalo.

2. Para cada una de las siguientes funciones con regla de correspondencia dada, analizar la

continuidad, obteniendo intervalos de continuidad y/o discontinuidad, puntos de

discontinuidad, graficar e identificar el tipo de discontinuidad (si existe).

x

xxfb

x

xxxfa

2

4)().

12

12)().

2

3,1

3,3

3

)().

)82)(3(

74)().

2

xsi

xsix

x

xfd

xxx

xxfc


x

xlimc

h

hhlimb

xx

xxlima

x

h

x

1

1).

11).

276

352).

4

1

0

2

2

21

x

xSenxSenlime

tx

tSecxSeclimd

x

tx

11).

).

0

2). 3 21 5 0

1).

2 3

a x x

x xb

x x

2

2

5 4). 0

3 10 8

3 2). 4

2

x xc

x x

xd

x

Clculo 1


58

4. Obtener el desarrollo de la serie si 32 3

5

xf x

hasta el trmino de tercer grado 3,

obtener el intervalo de convergencia. Estimar el valor de 0.25f , calcular el error relativo.

5. Realizar las operaciones que se indican:

Sean:

5.1. xxxgxxxf ,17)(,4)( 22

gfb

fga

5).

).

2

h

xfhxfd

gfc

)()().

1). 2

5.2. 2

2

2 1( )

3 3

x xf x

x

). 1

). 1

).

).

a f

b f

c f N

d f N

6. Dadas las siguientes funciones: a). Obtener su dominio. b). Encontrar sus asntotas c). Graficar

4

1)(.1.6

2

xxf

2)(.2.6

2

2

x

xxf

4)(.3.6

2

3

x

xxf

103

3)(.4.6

2

2

xx

xxf


2

2

3 2

5

22

3

1).

1).

1

1).

)1(

2332).

x

x

x

x

x

x

xlimd

x

xlimc

x

xlimb

x

xxlima

Clculo 1


59


CALCULO DIFERENCIAL

Fecha de entrega: ____________________

2 Examen Parcial: ____________________


I. DERIVADA DE UNA FUNCION.

1. Calcular "f x , si:

xyxySenyxSencx

xCosxfb

exxfa x

)

)1(

)35()()

15)()

2

132

2. Calcular )2("f , si 2)( 2 xxxf

3. Calcular )1('"f , si xLnxxf 2)(

II. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Recta Tangente y recta normal: 4. Obtener la ecuacin de la recta tangente y recta normal de las siguientes funciones y

graficar.

3

0

0

) ( ) 1; 1

) ( ) , 0

a f x x x en x

b f x Sen x en x

2 2

2

) 8 6 20 0, 3,5

) 2 0, 1,0y

c x y x y en

d xe x y en

Serie de Taylor:

5. Desarrollar la serie de Taylor para los primeros cinco trminos de las siguientes

funciones, para 0ox :

xxfa

21

3)()

xLnxfb 1)()

2

22

) ( ) 1 3

) ( ) 2 1

) ( ) 1

xd f x

e f x Ln Arc Sen x

f f x arc Tan x

Clculo 1


60

Mximos y/o mnimos: 6. Dadas las siguientes funciones, calcular:

a). Puntos crticos. b). Puntos extremos.

c). Intervalos donde la funcin es creciente o decreciente. d). Mximos y/o mnimos. e). Concavidades. f). Puntos de inflexin.

g). Grafica

3 26.1. ( ) 2f x x x x 6.2. ( ) , 0,2f x Cos x x 2

2

26.3. ( )

4

xf x

x

Movimiento rectilneo: 7. Se deja caer una piedra desde una altura de 200 metros, la ecuacin de su movimiento

est dada por: ,109.4)( 2 ttS donde t en segundos y S(t) en metros, calcular:

a). Con que velocidad llegar al suelo. b). Cunto tardar en hacerlo.

8. Desde un tejado de 112 metros de altura, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota, que finalmente, regresa al suelo sabiendo que el espacio S metros recorridos, desde el

tejado en funcin del tiempo (t), est dada por 21696)( tttS :

a). Calcular la posicin de la pelota y velocidad en el instante t=2 segundos. b). Calcular la velocidad con la que llega al suelo.

Optimizacin de mximos y/o mnimos:

9. Hallar el rea del rectngulo ms grande que se puede inscribir en un semicrculo de

radio r.

10. Se desea construir una lata para refresco que contenga 600 mililitros. Encuentre las dimensiones que minimizar el costo del material para fabricar la lata.

Razn de cambio: 11. El rea de un tringulo equiltero disminuye a razn de 4 cm2/min. Qu tan rpido cambia

la longitud de cada uno de sus lados, en el momento en el que el rea es de 200 cm2?

12. Una persona mide 1.80 metros de estatura y se aleja de la luz de un poste de alumbrado que est a 9 metros de altura a razn de 0.6 m/s. Con que rapidez crece la sombra cuando

la persona est a 7.20 metros del poste?

Clculo 1


61

Mtodo de Newton 13. Calcular (con precisin de diez milsimas) las tres races de la ecuacin dada:

043 23 xxx

14. Utilizar el mtodo de Newton para resolver la ecuacin: 045)(23 xxxf

Regla de LHpital

15. Calcular los limites indicados:

23) xx

exlima

30

)x

xSenxlimbx

xlimc

xx

x

26)

0

Clculo 1


62


CALCULO INTEGRAL

Fecha de entrega: ____________________

3er Examen Parcial: ____________________


INTEGRAL

1. RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS.

5 4 2 3

2 2

3 2 2

2

4

4

2

1 2).

). 10 5

). 1

). 1 1

1).

3 2

).

). 2

).

x x

x

x xa dx

x

b x x x x dx

c e e dx

d xSen x Cos x dx

xe dx

x x

f Tan x Sec x dx

g Cos x dx

h e Cos x dx

2

3 2

3

2

2

4 2

3

3

3 2

).

). 3

). 4

).4

).1

2 9 4).

4

3 1).

1

x

x x

Ln xi dx

x

j Sen x e dx

k x x dx

xl dx

x

dxm

e e

x x xn dx

x x

xo dx

x x x

2. CALCULAR EL VALOR DE LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

4

0

1

0

2

2

0

4

).

1).

).

dxxSec

xTanc

dxe

eb

xdxSena

x

x

0

2

23

2

1

4

1

2

2

).

).

4).

dxexf

dxxLnxe

dxx

xd

x

Clculo 1


63

3. CALCULAR EL AREA DE LAS REGIONES LIMITADAS POR LAS FUNCIONES DADAS:

22

23

28,4).

,2).

xyxyb

xejexxxya

2,0,0,).02,0,6). 3

xyxSenyd

xyxyxyc

4. OBTENER EL VOLUMEN DEL SLIDO DE REVOLUCION GENERADO AL ROTAR EL

AREA DELIMITADA POR LAS CURVAS DADAS, ALREDEDOR DEL EJE INDICADO:

xejexxxyc

xejexxxxyb

xejexyxya

,1,1,1).

,6,2,67).

,2,0,).

2

2

3

5. ESTIMAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA CURVA CUYA ECUACIN ES 3 2y x ,

COMPRENDIDA ENTRE LOS PUNTOS 0,0 8,4 .Y

Clculo 1


64

Anexo 3. Trabajos

TRABAJO No. 1

CONCEPTOS BASICOS

Fecha de entrega:______________________

1. Grafica de funciones

Dadas las siguientes funciones, obtener lo que se pide:

a) Dominio y Rango b) Asintotas (si existen)

c) Intervalos de continuidad y discontinuidad y/o puntos de discontinuidad d) Grafica

2. Calcular los siguientes limites

4

5

6

1.4. 32 4

1.5. ln 1

, 1

1.6. 3 1,

, 2

xf x Sen

f x x

x x en x

f en x

Cos x en x

2

1

22

2

3

1.1. ( )1

11.2.

1

1.3. 3 5

xf x

x

f xx

f x x

2

22

2 2

23

2

332

2

0

22.1. lim

2 6

2 6 2 62.2. lim

4 3

22.3. lim

2

22.4. lim

8

42.5. lim

1

x

x

x

x

x

x x

x x

x x x x

x x

x

x

x

x

Sen x

Cos x

0

3

3 2

3 2

2

2

1 12.6. lim

1 22.7. lim

3

12.8. lim

1

22.9. lim

2 1 4 1

12.10. lim

3

x

x

x

x

x

x

Sen x Sen x

x

Cos x

x

x

x

x x

x x

x

x

Clculo 1


65

TRABAJO No. 2

CALCULO DIFERENCIAL

Fecha de entrega: ____________________

Derivada de una funcin

1. Calcular "f x , si:

2 3 1) ( ) 5

(5 3)) ( )

( 1)

) 0

xa f x Sen x e

Sen xb f x

x

c xCos y xSen y

235

122

) ( ) 1

) ( ) 2 1

) ( ) 1

xd f x e

e f x Ln Arc Sen x

f f x arc Tan x

Mtodo de Newton

2. Calcular (con precisin de diez milsimas) las tres races de la ecuacin dada:

3. Utilizar el mtodo de Newton para resolver la ecuacin (con precisin de diez milsimas):

2( ) ln 2 0f x x x x

3 24 90 900 3000 0x x x

Clculo 1


66

TRABAJO No. 3

CALCULO INTEGRAL

Fecha de entrega: ____________________

1. RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS.

2

2

3

2

3 2

).

).

).

).

). 3

). 4

x

x

x

a e Cos x dx

b x e dx

Ln xc dx

x

d Arc Sen x dx

e Sen x e dx

f x x dx

3

2

2

4 2

3

3

3 2

).4

).1

2 9 4).

4

3 1).

1

x x

xg dx

x

dxh

e e

x x xi dx

x x

xj dx

x x x

2. CALCULAR EL VALOR DE LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

2

4

0

).a Sen xdx

1 2

0

1).

x

x

eb dx

e

4

0

).Tan x

c dxSec x

Clculo 1


67

Anexo 4. Ejemplos en Maple

1. Funciones, limites y continuidad

Ejemplo Grafica de funciones Dadas las siguientes funciones, obtener lo que se pide: a) Dominio y Rango

b) Asintotas (si existen)

c) Intervalos de continuidad y discontinuidad y/o puntos de discontinuidad

d) Grafica

1 2

41. ( )

4

xf x

x

Dominio: , 2x x

Rango: y

Asintotas:

Asintota horizontal: 0y

Asintota vertical: 2 2x x Asintota oblicua: No tiene

Intervalos de Continuidad: ( , 2),( 2,2),(2, )

Intervalos de discontinuidad: No tiene

Puntos de discontinuidad: 2 2x x Grafica: Utilizando Maple

1.1.

1.2. 2

1.3. 2

1.4. 2

1.5. 2

1.6.

f N

f N

f N

f N

f N

f N

> with(student);

[D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar , completesquare, distance, equate,

integrand, intercept, intparts, leftbox, leftsum, makeproc , middlebox, middlesum, midpoint, powsubs,

rightbox, rightsum, showtangent, simpson, slope, summand , trapezoid]

> f1(x):=((4*x)/(x^2-4));

f1 x( ) := 4 x

x2 - 4

> plot(f1(x),x=-5..5,y=-20..20);

Discontinuidad Infinita o Asinttica

Clculo 1


68

2

2

2

, 1

2. ( ) 1, 1< f2:=x->piecewise(x

Clculo 1


69

2

33. ( ) 2 3f x x

Dominio: x

Rango: y

Asintotas:

Asintota horizontal: No tiene

Asintota vertical: No tiene

Asintota oblicua: No tiene

Intervalos de Continuidad: , Intervalos de discontinuidad: No tiene Puntos de discontinuidad:

Grafica: Utilizando Maple

3.1.

3.2. 3

3.3. 3

3.4.

f N N

f

f

f N N

> f3:=(sqrt(2*x^2+3));

f3 := 2 x2 + 3

> plot(f3(x),x=-5..5);

Clculo 1


70

Ejemplo de limites Limites

Calcular los siguientes limites: 2

21

2lim

3 2x

x x

x x

Aplicando maple:

> with(student);

[D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar , completesquare, distance, equate,

integrand, intercept, intparts, leftbox, leftsum, makeproc , middlebox, middlesum, midpoint, powsubs,

rightbox, rightsum, showtangent, simpson, slope, summand , trapezoid]

> Limit((x^2+x-2)/(x^2-3*x+2),x=1);

limx 1

x

2 + x - 2

x2 - 3 x + 2

> limit((x^2+x-2)/(x^2-3*x+2),x=1);

-3

Clculo 1


71

2. La Derivada

DERIVADAS

> with(student); D Diff Doubleint Int Limit Lineint Product Sum Tripleint changevar, , , , , , , , , ,[

completesquare distance equate integrand intercept intparts leftbox leftsum, , , , , , , ,

makeproc middlebox middlesum midpoint powsubs rightbox rightsum, , , , , , ,

showtangent simpson slope summand trapezoid, , , , ]

>

> Diff(exp(2*x)*cos(x),x);

> diff(exp(2*x)*cos(x),x);

> Diff(sqrt(x),x);

d

d

x( )x

> diff(sqrt(x),x); 1

2 x

DERIVADAS IMPLICITAS > f:=x^2+x*y+y^2=9;

> ImplicitDiff(f,y,x);

> implicitdiff(f,y,x);

Clculo 1


72

METODO DE NEWTON > f(x):=x^3+2*x^2+10*x-20;

:= ( )f x x3 2 x2 10 x 20

> fsolve(f(x),x,maxsols=1); 1.368808108

> y:=9*x^4-4*x^3-4; := y 9 x4 4 x3 4

> fsolve(y,x,maxsols=2); ,-0.7244578052 0.9548936201

Clculo 1


73

3. La Integral

* INDEFINIDA

1.>

>

>

2.

>

* DEFINIDA

3.>

>

>

>

>

>

Apuntes de Cálculo

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