2015

Apuntes de Clases de Nivelacin Mtodos Empricos

MAGSTER DE POLTICAS PBLICAS UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

MATAS MARTNEZ VON DER FECHT

Contenido Repaso de Algebra............................................................................................................................... 1

Definiciones numricas ................................................................................................................... 1

Fracciones .................................................................................................................................... 1

Notacin exponencial y logartmica ............................................................................................ 2

Factorizacin y factorizacin de polinomios ................................................................................... 3

Ejercicios .......................................................................................................................................... 4

Funciones ............................................................................................................................................ 6

Composicin de funciones .............................................................................................................. 7

Grfica de una funcin .................................................................................................................... 8

Ejercicios ........................................................................................................................................ 11

Funciones lineales y otros modelos funcionales ............................................................................... 14

Otros modelos funcionales ........................................................................................................... 16

Ejercicios ........................................................................................................................................ 17

Concepto de lmite y continuidad ..................................................................................................... 19

Propiedades algebraicas de los lmites ......................................................................................... 21

Lmites al infinito ........................................................................................................................... 22

Lmites laterales y continuidad ..................................................................................................... 24

Ejercicios ........................................................................................................................................ 25

Derivadas ........................................................................................................................................... 27

Tcnicas de derivacin .................................................................................................................. 28

Derivacin implcita ....................................................................................................................... 29

Ejercicios ........................................................................................................................................ 30

Aplicaciones de las derivadas ............................................................................................................ 32

Anlisis Marginal ........................................................................................................................... 32

Funciones crecientes y decrecientes (grfica de una funcin) ..................................................... 33

Concavidad y puntos de inflexin ................................................................................................. 34

Optimizacin ................................................................................................................................. 35

Ejercicios ........................................................................................................................................ 35

Funciones exponenciales y logartmicas ........................................................................................... 37

Funcin exponencial ..................................................................................................................... 37

Funciones logartmicas .................................................................................................................. 39

Modelos basados en funciones exponenciales o logartmicas ..................................................... 40

Funcin de densidad normal estndar ...................................................................................... 40

Curvas de aprendizaje ............................................................................................................... 41

Curvas logsticas ........................................................................................................................ 41

Ejercicios ........................................................................................................................................ 42

Referencias ........................................................................................................................................ 44

1

Repaso de Algebra

Definiciones numricas

El conjunto de los nmeros reales () est constituido por los siguientes conjuntos de nmeros:

N = Conjunto de los Nmeros Naturales con N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,,}

Z = Conjunto de los Nmeros Enteros con Z = {-,,3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., }

Q = Conjunto de los Nmeros Racionales con Q = {-,,- , - , - , 0, , , ,..., }

Un nmero racional es un nmero que puede ser expresado como cociente

entre dos enteros,

donde

I = Q* = Conjunto de Nmeros Irracionales donde I es el conjunto de nmeros decimales infinitos

no peridicos

Los nmeros racionales e irracionales forman los nmeros reales y se pueden visualizar

geomtricamente en una recta numrica como la siguiente:

Si y son nmeros reales y est a la derecha de en la recta numrica, se dice que es mayor

a y se escribe . Si est a la izquierda de , se dice que es menor que y se escribe

. El smbolo significa mayor o igual a, y el smbolo quiere decir menor o igual a.

El valor absoluto de un nmero real , se denota , y equivale a la distancia de a 0 en la recta

numrica. Esta distancia es siempre positiva por lo que se deduce que . Para hallar un

intervalo formado por todos los nmeros reales tales que se debe reescribir la

desigualdad de la siguiente forma:

Fracciones

Las operaciones bsicas en el caso de las fracciones se definen de la siguiente forma:

i. Suma:

2

ii. Multiplicacin:

iii. Divisin:

Notacin exponencial y logartmica

Si y es un nmero natural, entonces se puede definir donde el producto

contiene factores.

Adems se define que:

i.

ii. Si es un nmero natural, entonces

iii. Si es otro nmero natural, entonces

iv. Finalmente si y son nmeros naturales, entonces

Los exponentes obedecen las siguientes leyes de exponentes:

Ley del producto:

Ley del cociente (si :

Ley de la potencia:

Por otro lado, si y Si , entonces se define que Si .

De manera equivalente a los exponentes, los logaritmos obedecen a las siguientes leyes de

logaritmos cuando y :

Ley del producto:

3

Ley del cociente (si :

Ley de la potencia:

Factorizacin y factorizacin de polinomios

Factorizar una expresin es escribirla como producto de dos o ms trminos, llamados factores. Se

utiliza la factorizacin para simplificar expresiones complicadas. Por ejemplo, para cualquier tro

de nmeros reales , y :

El siguiente ejemplo muestra que se puede combinar la factorizacin y cancelacin de trminos

iguales para simplificar ciertos tipos de cocientes:

Un polinomio es una expresin de la forma:

Donde es un entero no negativo y son nmeros reales, conocidos como los

coeficientes del polinomio. Si se dice que es el grado del polinomio. Por ejemplo

es un polinomio de grado 3.

En esta nivelacin slo revisaremos la factorizacin de polinomios de grado 2. Por ejemplo, para

resolver el siguiente polinomio de grado dos se ejecutan los siguientes pasos:

La meta es escribir el polinomio como un producto de la forma:

Lo cual es equivalente a:

4

De este modo:

Para el par hay cuatro opciones . Por otro lado, para el par

hay ocho opciones . De esta

forma hay 32 posibles modos de formar la expresin . Probando todas las

combinaciones se puede encontrar que la condicin de se satisface cuando

, por lo tanto:

Hay ciertas expresiones de los polinomios de grado dos que tienen una factorizacin ms simple:

En general cuando una expresin como la de arriba es igual a cero se tiene una ecuacin de la

forma

A esta ecuacin se le llama ecuacin cuadrtica. Una forma de hallar las soluciones para el valor de

es factorizar la ecuacin. Sin embargo, muchas veces encontrar los factores es costoso en

trminos de tiempo. En estos casos es posible usar una frmula general para obtener los valores

de .

El trmino de la frmula se llama discriminante de la ecuacin cuadrtica. Si el

discriminante es positivo, la ecuacin tiene dos soluciones. Si el discriminante es cero, la ecuacin

tiene una nica solucin. Si el discriminante es negativo, la ecuacin no tiene soluciones reales.

Ejercicios

1. Represente cada uno de los siguientes intervalos como segmento de recta sobre una recta

numrica:

a.

b. c.

5

d. e. f. g. h.

2. Resuelva las siguientes expresiones sin usar calculadora

a.

b.

c.

d.

e.

f. g.

3. Factorice las siguientes expresiones:

a.

b.

c.

d.

e.

4. Resuelva las siguientes ecuaciones por medio de la factorizacin:

a. b.

c.

d.

5. Resuelva las siguientes ecuaciones por medio de la aplicacin de la frmula general para

ecuacin cuadrticas:

a. b. c. d. e.

6

Funciones

Una funcin se usa para representar la dependencia de una cantidad sobre otra. Una funcin es

una regla que usa un conjunto de nmeros como insumo para asignar un nmero definido como

producto para cada uno de los insumos. El conjunto de nmeros que se usan como insumo se

conoce como dominio de la funcin y el conjunto de nmeros que se obtienen como resultado se

conoce como rango de la funcin. Puede resultar til pensar que la funcin es como una

transformacin de los nmeros del dominio en los nmeros del rango, como lo ilustra la figura

siguiente:

No importa como sea la relacin funcional, siempre se asigna uno y slo un nmero del rango

(producto) a cada nmero del dominio (insumo). No se considera como funcin cuando un

nmero del dominio es asignado a ms de un nmero del rango. Por otro lado, si dos nmeros

diferentes del dominio son asignados al mismo nmero del rango s se considera funcin.

El dominio de una funcin es el conjunto de todos los nmeros para los cuales est

definido est definido (como nmero real). A esto se le llama dominio natural de . La

determinacin del dominio natural de una funcin con frecuencia excluye todos los nmeros de

cuyo resultado sea una divisin por 0, o para los cuales se obtenga la raz cuadrada de un nmero

negativo.

A menudo las funciones se definen usando ms de una frmula, donde cada frmula la describe la

funcin sobre un subconjunto del dominio. Una funcin definida as, generalmente se denomina

funcin definida por partes. Un ejemplo de una funcin definida de esta forma es:

7

En algunas ocasiones puede resultar conveniente representar una relacin funcional usando una

ecuacin del tipo . En este contexto e son llamadas variables, siendo la variable

dependiente, y la variable la variable independiente.

Ejemplo de funciones: Rentabilidad del caf

Investigaciones de mercado indican que la demanda por caf puede ser definida por la siguiente

funcin , donde representa el total de toneladas de caf. Por otra parte, el

costo de producir toneladas de caf es . Se pide identificar las

funciones de ingreso y utilidades para la empresa. Adicionalmente se pide mostrar para que rango

de produccin el negocio genera utilidades.

La funcin de ingresos depende de la cantidad vendida de caf, y la cantidad vendida de caf

depende del precio. En general los ingresos se definen como la multiplicacin entre precio y

cantidad. En este caso pueden ser definidos

Las utilidades de la empresa se definen como la diferencia entre los ingresos y los costos, es decir:

Por ltimo, el negocio genera utilidades si las utilidades son mayores a cero.

Por lo tanto, la produccin es rentable cuando

Composicin de funciones

Existen varias situaciones en las que una magnitud se expresa como una funcin de una variable,

que a su vez, se puede escribir como una funcin de una segunda variable. Al combinar las

8

funciones en una forma apropiada, se puede expresar la magnitud original como una funcin de la

segunda variable. Este proceso se denomina composicin de funciones o composicin funcional.

En otras palabras, dadas las funciones y , la composicin es la funcin de

formada al sustituir por en la frmula de .

Ejemplo composicin funcional

Un estudio ambiental de cierta comunidad sugiere que el nivel diario promedio de monxido de

carbono en el aire ser partculas por milln cuando la poblacin es . Se estima

que en aos ms la poblacin de esta comunidad ser . Se pide expresar el

nivel de monxido de carbono en funcin del tiempo. Tambin se requiere saber cundo el

monxido de carbono alcanzar un nivel de 6.8 partculas por milln.

La composicin funcional puede ser expresada como:

Por otro lado cuando , tomar el valor de:

Grfica de una funcin

Las grficas revelan informacin que podra no ser evidente de las descripciones verbales o

algebraicas. Para representar geomtricamente una funcin como una grfica, es comn

usar un sistema coordenado rectangular en el que se marcan las unidades para la variable

independiente en el eje horizontal, y las unidades de la variable dependiente en el eje vertical.

9

La grfica de una funcin consta de todos los puntos , donde est en el dominio d y

; esto es, todos los puntos de la forma .

Existen distintos tipos de funciones con distintos tipos de grficas:

Las parbolas son del tipo CBxAxy 2 y tienen forma de U. Se abre hacia arriba cuando

y hacia abajo si El peak o el valle de la parbola se denomina vrtice y siempre se

encuentra en

Los polinomios tienen la siguiente forma

donde es

un entero no negativo y son constantes. Si , entonces el entero se denomina

el grado del polinomio.

Polinomio grado 3 (

Polinomio grado 3 (

Del mismo modo, un cociente

de dos polinomios y es llamado funcin racional. En

la siguiente figura se muestran tres ejemplos de funciones racionales:

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-30

-25

-20

-15

-10

-5 0

5

10

15

20

25

30

10

Ejemplo grfico: Costos de produccin del trigo

Considere los datos mostrados en la siguiente tabla. En sta se muestran los costos totales,

variables, fijos, medios y marginales:

Toneladas de trigo

CT CV CF Cme CMg

1 188 8 180 188.0 8

2 212 32 180 106.0 24

3 252 72 180 84.0 40

4 308 128 180 77.0 56

5 380 200 180 76.0 72

6 468 288 180 78.0 88

7 572 392 180 81.7 104

8 692 512 180 86.5 120

9 828 648 180 92.0 136

10 980 800 180 98.0 152

11 1148 968 180 104.4 168

12 1332 1152 180 111.0 184

La tabla anterior se gener asumiendo que los costos variables de produccin de trigo siguen la

siguiente funcin: y que adems los costos totales son igual a los costos variables ms

los costos fijos ( . Por otro lado los costos promedios son igual al costo total

dividido en nmero total de unidades producidas y el costo marginal es el costo

de cada unidad adicional . En cursos introductorios de microeconoma es

usual usar este tipo de ejercicios para examinar de forma descriptiva los distintos tipos de costos

asociados a la produccin de algn bien. Grficamente, los datos de la tabla anterior se

representan:

11

En resumen, las funciones pueden ser representadas por tablas, grficos, frmulas y descripciones

en palabras.

Ejercicios

1. Cul de los grficos a continuacin corresponden a cada una de las siguientes historias:

a. Haba salido de la casa hace poco cuando me di cuenta que se me haba olvidado mi

cuaderno de clculo y me devolv a buscarlo

b. El viaje iba tranquilo hasta que el metro se averi y nos quedamos en el tnel por

media hora

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CT CV CF

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cme CMg

12

c. Iba caminando lentamente hasta que me di cuenta que iba atrasado y comenc a

apresurar el paso.

2. La figura siguiente muestra la cantidad de nicotina, , en mg, en el flujo sanguneo de

una persona como una funcin del tiempo, , en horas, desde que la persona dej de fumar un

cigarrillo.

a. Visualmente, estime e interprtelo en trminos de la nicotina.

b. Cuntas horas han pasado antes de que nicotina baje a un nivel de 0.1 mg?

c. Cul es el intercepto vertical? Qu representa en trminos de nicotina?

d. Si esta funcin tuviera un intercepto horizontal, qu representara?

3. Encuentre el rango y dominio de las siguientes funciones:

a.

b.

c.

d.

13

4. Grafique las funciones de la pregunta anterior.

5. Sea el aumento porcentual en el PIB de un pas cuando la tasa de desempleo cambia en un

porciento. (Por ejemplo, si si el desempleo aumenta de 4% a 6%). La Ley de Okun

establece que:

a. Qu significa el nmero 3.5 en la Ley de Okun?

b. Cul es el efecto en el PIB de un ao si el desempleo aumenta de 5% a 8%?

c. A qu cambio en la tasa de desempleo corresponde a un ao en que la produccin es

la misma que el ao anterior?

d. Cul es el significado del coeficiente -2 en la Ley de Okun?

6. Para estudiar la tasa a la que aprenden los animales, un estudiante de psicologa llev a cabo

un experimento en el que se enviaba a una rata reiteradamente a travs de un laberinto. Se

supone que el tiempo requerido por la rata para atravesar el laberinto en el n-simo intento

era aproximadamente:

a. Cul es el dominio de la funcin?

b. Para qu valores de n tiene significado en el contexto del experimento de

psicologa?

c. Cunto tiempo tard la rata en atravesar el laberinto en el tercer intento?

d. En qu intento atraves la rata el laberinto en 4 minutos o menos?

e. De acuerdo con la funcin , qu suceder con el tiempo necesario para que la

rata atraviese el laberinto a medida que aumenta el nmero de intentos? Ser capaz

de atravesar el laberinto en menos de 3 minutos?

7. En una fbrica, el costo total de elaborar q unidades durante un da de trabajo es

dlares. En un da tpico de trabajo, durante las primeras horas se fabrican

unidades.

a. Exprese el costo de fabricacin total como una funcin de .

b. Cunto se habr gastado en la produccin al final de la tercera hora?

c. Cundo llegar el costo total de fabricacin a los $11,000?

14

Funciones lineales y otros modelos funcionales

Una de las funciones ms usadas es la lineal. Una funcin lineal es una funcin que cambia a una

razn constante con respecto a su variable independiente. La grfica de una funcin lineal es una

lnea recta y la ecuacin de una funcin lineal se puede escribir de la forma:

Donde y son constantes.

Considere el siguiente ejemplo:

Durante los primeros aos de olimpiadas, la altura alcanzada por los ganadores del salto con

garrocha aument aproximadamente 20 centmetros cada cuatro aos. La siguiente tabla resume

la informacin:

ao 1900 1904 1908 1912

centimentros 330 350 370 390

Si es la altura alcanzada por el ganador en cada olimpiada y el nmero de aos desde 1900, es

posible escribir la relacin entre el tiempo y la altura como:

Dado que es aumenta con , se puede decir que es una funcin creciente. El

coeficiente que acompaa a la variable , nos muestra la tasa, en centmetros por ao, a la que la

altura del ganador de la prueba aumenta. Esta tasa de crecimiento es la pendiente de la recta.

La inclinacin de la recta o pendiente se puede obtener a partir de cualquier dos pares de puntos

y que estn sobre la recta. Entre estos dos puntos cambia en , y

cambia en :

300

310

320

330

340

350

360

370

380

390

400

0 4 8 12

Recorrido=4 2 1=

elevacin=8 21=

15

El signo y magnitud de la pendiente de una recta indican la direccin y la inclinacin de la recta. La

pendiente es positiva si la altura de la recta aumenta a medida que aumenta.

El trmino en la ecuacin general de la recta ( ) corresponde al valor de

correspondiente a . En otras palabras, es la altura a la cual la recta cruza al eje .

La expresin de la recta es llamada forma intercepto-pendiente, pues permite una

fcil identificacin de la pendiente e intercepto de la funcin lineal. Esta frmula, en donde, y

son constantes que pueden tomar muchos valores, puede representar una familia de funciones.

Todas las funciones en una familia comparten ciertas propiedades en este caso los grficos son

lneas. Las constantes y son llamadas parmetros. En la siguiente figura se muestra un grfico

con varios valores de y de .

Familia de (con ) Familia de (con )

Una forma alternativa de expresar una funcin lineal se conoce como forma punto-pendiente

, que no es ms que la definicin de pendiente multiplicando ambos lados

de dicha definicin por . Esta expresin de la funcin lineal es til para los casos en que

no contamos con el valor del intercepto pero s con dos puntos ubicados sobre la funcin lineal.

Por ltimo, en algunos contextos puede ser til saber si dos rectas dadas son paralelas o

perpendiculares. Si y son las pendientes de dos rectas no verticales y . Entonces y

son paralelas si, y slo si . Por otra parte, y son perpendiculares si, y slo si

.

Ejemplo aplicado: funciones de oferta y demanda

Suponga que el mercado de camisetas de ftbol de Colo Colo se puede describir a partir de las siguientes funciones de oferta y demanda:

16

Oferta: p = 2q

Demanda: p = 42 q

Al graficarlas es posible identificar un punto de equilibrio. Concepto usado en los cursos

introductorios de economa, el cual muestra el precio unitario al que se venderan las camisetas y

la cantidad que se ofrecera en el mercado.

Otros modelos funcionales

Muchos problemas en la economa o la vida pueden ser muy complicados para ser descritos con

precisin mediante frmulas lineales simples. Una prctica comn entre los acadmicos es hacer

supuestos sobre el problema de manera que se simplifique lo suficiente para permitir describirlo

matemticamente a travs de algn modelo. Este proceso se denomina modelacin matemtica.

Cuando se construyen modelos matemticos, frecuentemente es importante considerar las

relaciones de proporcionalidad. Los tipos de proporcionalidad ms usados se definen a

continuacin

i. Se dice que la magnitud es directamente proporcional a si para alguna

constante

ii. Se dice que la magnitud es inversamente proporcional a si para alguna

constante

iii. Se dice que la magnitud es directamente proporcional a si para alguna

constante

Ejemplo de oferta y demanda (no lineal)

Considere un ejemplo similar al anterior. Sin embargo, esta vez supongamos que la oferta no se

modela como una funcin lineal, sino que como un polinomio de grado 2. Esta vez supongamos

que la oferta y demanda se definen de la siguiente forma:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43

17

Oferta:

Demanda:

Por lo tanto, la modelacin matemtica de un problema similar sera distinto

Ejercicios

1. Halle la pendiente de la recta que pasa por el par de puntos datos:

a. y

b. y

c. y

d. y

e.

y

2. Halle la pendiente y las intersecciones de la recta en las siguientes ecuaciones. Grafique:

a. b. c.

d.

e.

3. Escriba una ecuacin de la recta con las propiedades que le indican:

a. Pasa por y su pendiente es

b. Pasa por y su pendiente es 5

c. Pasa y es paralela a la recta

d. Pasa por

y es perpendicular a la recta

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1 4 7 10 13 16 19

18

4. Los puntajes medios en la PSU de matemticas para los estudiantes que ingresan a una facultad de artes se han reducido a una razn constante en los ltimos aos. En 2005, el puntaje promedio PSU fue 575, mientras que en 2010 fue de 545.

a. Exprese el puntaje promedio PSU como una funcin del tiempo b. Si la tendencia lineal continua, cul ser el promedio PSU de los estudiantes que

la rindan en 2015?

5. Considere un mercado con las siguientes funciones de oferta y demanda:

Oferta: p = 2q + 1

Demanda: p = 50 2 q

a. Hallar el precio y la cantidad de equilibrio. Representar el equilibrio grficamente. b. Suponga que un aumento en el ingreso promedio de los consumidores hace que la

curva de demanda se incremente en 3 pesos por cada unidad demandada. Cul es el nuevo punto de equilibrio?

6. En cierta fbrica, el costo de puesta en marcha es directamente proporcional al nmero de

mquinas utilizadas y el costo de la operacin es inversamente proporcional al nmero de

mquinas utilizadas. Exprese el costo total como una funcin del nmero de mquinas

utilizadas.

7. Usualmente, cuando un comprador compra algo en una subasta, este no slo paga el

precio con el que gan la subasta sino que tambin un impuesto al comprador. En una

casa de subastas, el impuesto al comprador es 17.5% del precio ganador para compras de

hasta $50,000. Para compras mayores, el impuesto al comprador es 17.5% para los

primeros $50,000 ms 10% de la cantidad que excede los $50,000.

a. Encuentre el precio total que paga un comprador (precio de subasta ms impuesto

al comprador) en esta casa de subastas para compras por $1,000; $25,000 y

$100,000.

b. Exprese el precio total de la compra de un lote en esta casa de subastas como una

funcin del precio final (ganador). Dibuje la grfica de esta funcin

19

Concepto de lmite y continuidad

La principal distincin entre el clculo y lgebra es el concepto de lmite. En palabras simples, el

proceso de lmite consiste en examinar el comportamiento de una funcin cuando se

aproxima a un nmero , que puede estar o no en el dominio de . Un ejemplo clsico para

entender el concepto de lmite se da en el caso de querer estimar la velocidad de un mvil en un

punto especfico del tiempo. La velocidad promedio de un mvil se puede definir como el cociente

entre la distancia recorrida (ej. Kilmetros (km)) y el tiempo transcurrido al recorrerla (ej. Horas

(h)). De esta forma, se puede escribir la funcin de la velocidad promedio como la diferencia entre

la distancia recorrida final y la distancia inicial (punto inicial desde donde nos interesa medir la

velocidad) dividido el tiempo final menos el tiempo inicial. Esto puede ser expresado de la

siguiente forma:

Sin embargo, para poder calcular la velocidad promedio es necesario que el denominador de la

expresin anterior sea distinto de cero, es decir, (pues la divisin por cero no tiene

sentido). Debido a lo anterior, la pregunta relevante en este caso es cmo se puede determinar la

velocidad del mvil en un punto del tiempo especfico (por ejemplo en ).

Una forma aproximada de obtener este valor es asumiendo que podemos considerar un lapso de

tiempo desde lo suficientemente pequeo, tanto desde la derecha de la funcin como desde la

izquierda de la funcin, que nos permita calcular la velocidad aproximada en el punto intermedio

de ambos pequeos lapsos de tiempo. Por ejemplo, supongamos que la funcin que determina la

distancia recorrida segn el tiempo transcurrido se define de la siguiente manera:

Si queremos encontrar la velocidad en un punto especfico del tiempo, tal como ,

podemos definir dos lapsos de tiempo, uno entre 0.5 y 0.51, y otro entre 0.49 y 0.5. Si se calcula la

velocidad en ambos lapsos obtendremos 12.84 (km/h) para el primera caso y 13.16 (km/h) para el

segundo. Al tomar lapsos cada vez menores, ambos valores se irn acercando cada vez ms. El

valor en que ambos valores coinciden es el lmite que nos interesaba encontrar en este ejercicio.

Este ejemplo tambin puede ser examinado de forma grfica. Asumamos que la lnea curva en la

siguiente figura es una funcin que toma como insumo el valor del tiempo transcurrido y da

como resultado la distancia recorrida. Como ya lo acabamos de ver, la velocidad promedio entre

dos puntos se define como . Esta expresin, tal y como fue revisado

en el captulo anterior, corresponde al clculo de la pendiente de una lnea recta. En el grfico, la

recta que une los puntos y representa el concepto de la velocidad promedio entre

ambos puntos. A medida que se va acercando a la pendiente va cambiando y se va

acercando hasta el valor de la velocidad en el punto especfico .

20

El proceso de lmites se aplica en muchos contextos. Considere el ejemplo en el que un gerente

determina que cuando se est utilizando un porcentaje de la capacidad de la planta de su

compaa, el costo total es:

Cientos de miles de dlares. La compaa tiene la poltica de rotar el mantenimiento de tal forma

que nunca se utiliza ms del 80% de su capacidad. La pregunta en este caso es cul sera el costo

esperado si la planta opera a toda la capacidad permitida (es decir, 80%). Si bien, la respuesta

pareciera encontrarse con tan slo con evaluar la funcin de costos en 80, lo que se obtiene al

realizar este ejercicio es una fraccin que no tiene sentido (

). Sin embargo, tal y como lo muestra

la siguiente tabla, s es posible evaluar la funcin para valores de que tienden a 80 por la

izquierda y por la derecha:

x 79.8 79.99 79.999 80 80.0001 80.001 80.04

C(x) 6.99782 6.99989 6.99999 - 7.000001 7.00001 7.00043

x tiende a 80 por la izquierda ->

21

Grficamente, este enunciado significa que la altura de grfica tiende a L, cuando

tiende a , tal y como se muestra en la siguiente figura:

Es importante notar que el lmite describe el comportamiento de una funcin cerca de un punto

dado, no necesariamente en el mismo punto. El concepto de funciones es diferente al concepto de

lmite. Incluso, en el punto de destino c, podra no existir ninguna funcin.

Propiedades algebraicas de los lmites

Los lmites obedecen ciertas reglas algebraicas que se pueden utilizar en los clculos. Estas reglas

pueden ser demostradas en cursos ms tericos, sin embargo, en este curso slo las utilizaremos

porque simplifican los clculos de lmites de funciones algebraicas.

i. Regla de la constante para lmites:

Si y son constantes, entonces

ii. Regla de la identidad para lmites:

Si es una constante, entonces

iii. Regla del producto por un escalar para lmites:

Para cualquier constante ,

iv. Regla de sumas para lmites:

v. Regla de diferencia para lmites:

22

vi. Regla del producto para lmites:

vii. Regla del cociente para lmites:

Si

, entonces

viii. Regla de la potencia para lmites:

Si

existe, entonces

ix. Lmite de polinomios:

Si es un polinomio, entonces

x. Lmite de funciones racionales:

Si y son polinomios y , entonces

Algunos ejemplos en donde se pueden aplicar algunas de estas propiedades son los siguientes:

Lmites al infinito

En muchas ocasiones interesa analizar el comportamiento de largo plazo. En matemticas, el

smbolo infinito se utiliza para representar el crecimiento ilimitado o el resultado de ese

crecimiento.

De manera ms formal, si los valores de la funcin tienden al nmero , cuando aumenta

sin lmite, se escribe:

23

De manera similar cuando los valores de la funcin tienden al nmero M cuando disminuye

sin lmite, entonces la expresin matemtica se escribe:

Grficamente este fenmeno se puede representar de la siguiente forma:

Las rectas y de la figura se llaman asntotas horizontales.

Las propiedades algebraicas de los lmites descritas anteriormente tambin se aplican a los lmites

al infinito. Adems, debido a que cualquier recproco de una potencia (es decir para ),

se hace ms y ms pequeo en valor absoluto cuando aumenta o disminuye sin lmite, se tienen

las siguientes reglas:

xi. Regla del recproco de la potencia:

Si y son constantes con , entonces

y

Esta regla permite definir un procedimiento de dos pasos para evaluar de manera conveniente un

lmite al infinito de una funcin racional ( ):

1. Se divide cada trmino de entre la potencia ms alta que est en el polinomio del

denominador .

2. Calcule

o

utilizando propiedades algebraicas de los lmites y reglas del

recproco de la potencia.

Ejemplo:

Tcnicamente el lmite de a infinito no existe, s entrega informacin sobre el

comportamiento de la funcin.

24

Lmites laterales y continuidad

Muchos teoremas en clculo requieren que una funcin sea continua en ciertos intervalos de

nmeros reales. Por ejemplo, una condicin necesaria para poder derivar una funcin (concepto

tratado ms adelante) en un intervalo es necesario que la funcin sea continua. Informalmente,

una funcin continua es aquella en la que cambios pequeos en la variable independiente genera

cambios pequeos en la variable dependiente. Ms informalmente aun, es posible decir que una

funcin es continua si es posible dibujarla sin levantar el lpiz. En caso contrario, se dice que la

funcin es discontinua.

Para poder describir matemticamente este fenmeno es necesario introducir el concepto de

lmite lateral de una funcin. Esto es, un lmite en el que el acercamiento al punto de inters es

por un solo lado, por la izquierda o por la derecha. Ms formalmente, si se aproxima a

cuando tiende a por la izquierda ( ), se escribe . De la misma manera, si

se aproxima a cuando tiende a por la derecha ( ), se escribe .

Considere como ejemplo encontrar el lmite la funcin

cuando tiende a 3 por la izquierda y

por la derecha.

En primer lugar, observe que para , la cantidad

; por lo que al

acercarse a 3 por la izquierda, decrece sin lmite. Esto se escribe de la siguiente forma:

Asimismo, cuando tiende a 3 por la derecha, aumenta sin lmite, lo cual se escribe:

Grficamente la funcin anterior se representa de la siguiente forma:

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21

25

Al analizar el ejemplo anterior se observa que no existe un mismo lmite por los dos lados pues no

tienden a un valor nico cuando tiende a 3 por cada lado.

Para verificar la existencia de un lmite se puede establecer el siguiente criterio: El lmite por

ambos lados de una funcin existe si y slo si existen y son iguales los dos lmites laterales:

Existen diversos casos en que una funcin presenta discontinuidades y no es continua. La siguiente

figura muestra varios ejemplos:

Las propiedades que garantizan que sea continua en son las tres siguientes:

i. est definida

ii.

existe

iii.

La continuidad de las funciones puede ser evaluada en un intervalo. Ms especficamente, se dice

que una funcin es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto

de este intervalo.

Ejercicios

1. Dibuje un posible grfico para la funcin que cumpla con las siguientes propiedades

(todas):

a. b. c. d. e.

26

f.

g. h.

2. Halle el lmite pedido en las siguientes funciones

a.

b.

c.

d.

e.

3. Halle y

a.

b.

c.

d.

e.

4. Liste todos los valores de para los cuales la funcin dada no es continua

a.

b.

c.

d.

5. Analice la continuidad de la funcin

en el intervalo abierto y

en el intervalo cerrado .

6. En cada uno de los siguientes casos, halle el valor de la constante A que hace que la

funcin sea continua para todo :

a.

b.

27

Derivadas

Considere el ejemplo del captulo anterior donde nos interesaba encontrar la velocidad de un

mvil en un instante del tiempo especfico, no la velocidad promedio en un intervalo de tiempo.

Como se describe en el captulo anterior la velocidad promedio entre dos puntos se defina por la

razn entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido . Esta

expresin, tal y como fue revisado anteriormente, corresponde al clculo de la pendiente de una

lnea recta.

En la figura siguiente suponga que la distancia recorrida ( ) es una funcin que depende del

tiempo ( ), es decir . Suponga adems que quiere conocer la velocidad instantnea en el

punto . Para lograrlo debemos recurrir al concepto de lmite. Podemos comenzar calculando la

velocidad promedio entre el punto y un punto a una distancia a la derecha de . La

velocidad promedio entre ambos puntos se representa por la recta secante asociada a . Ahora si

calculamos la velocidad promedio entre el punto y un punto a una distancia a la derecha

de con , la velocidad promedio entre ambos puntos se representa por la recta secante

asociada a . De esta forma podramos ir eligiendo valores de cada vez menores. Por ejemplo

para la velocidad promedio entre y estar representada por la recta secante

asociada a . En el lmite cuando tiende a cero se encuentra la recta tangente a , la cual toca

a la funcin slo en ese punto. La pendiente de esta recta representa la velocidad instantnea en

el punto y es la derivada de la funcin bajo anlisis.

De manera ms formal, la derivada de una funcin respecto de es la funcin que se

define como:

El proceso de calcular la derivada se denomina derivacin, y se dice que es derivable en

si existe; es decir, si el lmite que define existe cuando

Ejemplo: Encuentre la derivada de la funcin

28

El signo de la derivada muestra si la funcin es creciente o decreciente.

Especficamente, es creciente en si . Por otro lado es decreciente en si

Existe la posibilidad de que una funcin no sea derivable en algn punto . Esto ocurre en

cualquier de los siguientes tres casos: i) no es continua en , ii) la recta tangente es vertical

en (la derivada se hace infinito) y iii) hay una esquina en el punto

Tcnicas de derivacin

Para simplificar el clculo de derivadas es til aprender algunas reglas de derivacin.

i. Regla de la constante para derivadas:

Para cualquier constante ,

29

ii. Regla de la potencia para derivadas:

Para cualquier nmero real ,

iii. Regla general de la potencia para derivadas:

Para cualquier nmero real y cualquier funcin derivable ,

iv. Regla del factor constante para derivadas:

Si es una constante y es derivable, entonces tambin es derivable y

v. Regla de sumas para derivadas: Si y son derivables, entonces la suma de ambas

tambin es derivable segn la siguiente regla:

vi. Regla del producto para derivadas: Si y son derivables, entonces su producto

tambin es derivable segn la siguiente regla:

vii. Regla del cociente para derivadas: Si y son derivables, entonces su cociente

tambin es derivable segn la siguiente regla:

viii. Regla de la cadena: Si es una funcin derivable de , y es una funcin

derivable de , entonces la funcin compuesta es una funcin derivable de

cuya derivada est dada por el producto

Derivacin implcita

Las funciones usadas hasta el momento han estado definidas de forma explcita, es decir, de la

forma . En muchos casos, las funciones son presentadas de forma implcita. Cuando no

est despejada se dice que la funcin est en forma implcita (ejemplo: ).

Cuando no sea posible escribir la funcin de forma explcita, o bien, cuando la forma explcita de la

funcin resulte en una frmula complicada de derivar, es posible aplicar una tcnica basada en la

regla de la cadena sin tener que despejar de forma explcita. Esta tcnica se conoce como

derivacin implcita y consiste en derivar ambos lados de la ecuacin original con respecto a y

30

luego despejar algebraicamente

. Por ejemplo si se quiere determinar

si , en

primer lugar se deber derivar con respecto a ambos lados de la ecuacin, trmino a trmino:

En ciertos problemas, y estn relacionadas por una ecuacin y se pueden considerar como

funciones de una tercera variable . La derivacin implcita se puede emplear para relacionar

con

. Este tipo de problema involucra tasas relacionadas. El siguiente ejemplo grafica el uso de

tasas relacionadas.

Ejemplo:

El gerente de una compaa de autos determina que cuando se producen cientos unidades, el

costo total es miles de dlares, donde . Cuando se fabrican 1500 autos, el

nivel de produccin se incrementa a una razn de 20 unidades por semana. Cul es el costo total

en este momento y a qu razn cambia?

En este problema se desea determinar el costo total cuando (1500 autos) y

cuando

(1500 autos) y

(20 unidades por semana)

En primer lugar cuando implica

En segundo lugar, derivando implcitamente se obtiene:

Ejercicios

1. Derive las siguientes funciones:

a.

b.

31

c.

d.

e.

2. Utilice la regla de la cadena para calcular la derivada

:

a.

b.

c.

d.

e.

3. Determine

por derivacin implcita y derivando una frmula explcita para .

Demuestre que ambos mtodos llegan al mismo resultado:

a. b. c. d. e.

f.

4. Determine

por derivacin implcita:

a. b.

c.

d. e.

5. Un estudio de eficiencia del turno matutino en cierta fbrica indica que un trabajador

promedio que llega a las 8 am. habr producido unidades

horas despus.

a. Calcule la tasa de produccin del trabajador

b. A qu razn est cambiando la tasa de produccin del trabajador respecto al

tiempo a las 9 am.?

6. Cuando cierto artculo se vende a dlares por unidad, los consumidores compran

unidades por mes. Se estima que dentro de meses, el precio del artculo

ser dlares por unidad. A qu razn porcentual cambiar la

demanda mensual del artculo respecto al tiempo dentro de 4 meses a partir de ese

momento?

32

Aplicaciones de las derivadas

Anlisis Marginal

En economa y administracin es comn el uso de la derivada como una aproximacin del cambio

en una cantidad de inters como resultado del incremento unitario en otra. Esto se conoce como

anlisis marginal. Por ejemplo, es comn el anlisis de cmo cambia el costo, ingreso y utilidad de

una empresa cuando aumenta la produccin de su bien en una unidad. Suponga que es el

costo total de producir unidades. Si actualmente se producen unidades, entonces la derivada

definida por:

Recibe el nombre de costo marginal de produccin de unidades. El valor lmite que define a

esta derivada es aproximadamente igual al cociente incremental de cuando (la

produccin del bien aumenta en una unidad); es decir:

El anlisis marginal es un ejemplo de un procedimiento ms general de aproximacin basado en

que como para valores de pequeos la derivada es aproximadamente igual al cociente

incremental, es decir:

O de forma equivalente:

Muchas veces para enfatizar que el incremento ocurre en la variable , se escribe , por lo

que la expresin anterior queda:

De forma equivalente, si , entonces la expresin anterior queda:

El incremento tambin es conocido como el diferencial de y puede ser denotado por . En

este caso la frmula anterior tambin puede ser expresada como:

En la siguiente figura, es posible observar grficamente como la pendiente de la recta tangente en

el punto es y el diferencial es la variacin de altura de la tangente

que corresponde a la variacin de a . Por otro lado, es la variacin en la altura de la

33

curva correspondiente a esa variacin en . De ah que el anlisis marginal est basado en una

aproximacin.

Funciones crecientes y decrecientes (grfica de una funcin)

Si es una funcin definida en el intervalo , y sean y , dos nmeros del

intervalo. Entonces es creciente en el intervalo si siempre que , y

es decreciente en el intervalo si siempre que .

La pendiente de una funcin continua no puede cambiar de signo sin pasar primero por 0. Esto

significa que, si se marcan sobre la recta numrica todos los valores de donde es

discontinua o , la recta quedar dividida en intervalos donde no cambia de signo.

Por lo tanto, al elegir un nmero de prueba dentro de cada intervalo, es posible determinar si

es positivo (funcin creciente) o negativo (funcin decreciente).

Cuando la pendiente cambia de signo en una funcin continua quiere decir que existe una cima

o un valle. En algunas funciones el nmero de cimas y valles puede ser numeroso. De

manera ms formal, las cimas de una funcin se conocen como mximos relativos y los valles

como mnimos relativos. En conjunto, los mximos y mnimos relativos se les conocen como

extremos relativos. Los nicos puntos donde puede tener extremos relativos son aquellos

donde o donde no existe. Los puntos donde ocurre esta condicin se denominan

puntos crticos.

La primera derivada puede ser usada para identificar si los puntos crticos son mximos relativos,

mnimos relativos. Si a la izquierda del punto crtico y a la derecha de ,

entonces el punto crtico es un mximo relativo. Por otro lado si Si a la izquierda del

punto crtico y a la derecha de , entonces el punto crtico es un mnimo relativo.

Una vez que se han determinado los intervalos de crecimiento y decrecimientos de una funcin ,

y se han encontrado sus extremos relativos, es posible esbozar la funcin de manera grfica. El

procedimiento para realizar esto es el siguiente:

34

1. Determinar el dominio de . Dibujar una recta numrica restringida a aquellos valores que

estn en el dominio de .

2. Encuentre y marque cada punto crtico en la recta numrica restringida que se obtuvo

en el paso 1. Luego analice el signo de la derivada para determinar los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de sobre la recta numrica restringida.

3. Para cada punto crtico , encuentre y represente el punto crtico en un plano

coordenado. Trace las intersecciones y otros puntos clave que puedan encontrarse con

facilidad.

4. Dibuje la grfica de .

Concavidad y puntos de inflexin

El crecimiento y decrecimiento de la pendiente de la recta tangente a la curva definida por una

funcin se describe grficamente por su concavidad. Especficamente, si una funcin es

derivable en el intervalo , entonces la grfica de es cncava hacia arriba (o convexa)

en si es creciente en ese intervalo. Por otra parte, es cncava hacia abajo en

si es decreciente en ese intervalo.

Existe una forma simple para determinar la concavidad de una funcin a partir de su segunda

derivada . Si , en un intervalo , entonces es creciente, lo que

significa que la funcin es cncava hacia arriba en este intervalo. De igual forma, si , en

un intervalo , entonces es decreciente, lo que significa que la funcin es cncava

hacia abajo en este intervalo.

Un punto de la grfica de una funcin continua donde la concavidad cambia se llama punto de

inflexin de . Para determinar los puntos de inflexin de una funcin se deben seguir dos

pasos:

1. Se debe calcular y determinar todos los nmeros en el dominio de donde

y no es continua.

2. Para cada nmero hallado en el punto anterior, se debe determinar el signo de a la

izquierda y a la derecha de . Si a un lado de y en el otro

lado, entonces el punto es un punto de inflexin.

La segunda derivada tambin puede ser utilizada para clasificar un punto crtico de una funcin

como mximo o mnimo relativo. Si existe en un intervalo abierto que contiene y

35

, entonces si , entonces tiene un mnimo relativo en . Por otro lado, si

, entonces tiene un mximo relativo en . Sin embargo, si o si

no existe, entonces el criterio de la segunda derivada no es suficiente y puede tener un mximo

relativo, un mnimo relativo o ningn extremo relativo en .

Optimizacin

En muchas aplicaciones de la economa se busca encontrar el mximo o mnimo absoluto de cierta

funcin en un intervalo particular. Si es una funcin definida en un intervalo , que contiene el

nmero . Entonces, es el mximo absoluto de en si para toda de . Del

mismo modo, es el mnimo absoluto de en si para toda de .

Para hallar los extremos absolutos de una funcin continua en un intervalo cerrado

se debe:

1. Encontrar todos los nmeros crticos de en el intervalo abierto

2. Calcular en los nmeros crticos encontrados en el punto 1 y en los extremos y

.

3. Los valores ms grandes y pequeos encontrados en el paso 2 son, respectivamente, los

valores mximo absoluto y mnimo absoluto de en el intervalo cerrado .

Ejercicios

1. Un fabricante estima que cuando se producen unidades de cierto artculo , el costo total

es

dlares, y adems, que todas las unidades se vendern,

cuando el precio sea

dlares por unidad:

a. Encuentre el costo marginal y el ingreso marginal

b. Utilice el costo marginal para calcular el costo de producir la novena unidad

c. Cul ser el ingreso real derivado de la venta de la novena unidad?

2. Represente la grfica de la funcin dada:

a. b.

c.

d.

e.

3. Use el criterio de la segunda derivada para hallar los mximo y mnimos relativos de la

funcin dada:

a. b.

36

c.

d.

e.

f.

4. Una empresa de plsticos ha recibido un pedido del departamento de recreacin de la

ciudad para fabricar 8000 tablas de plstico para su programa de natacin en verano. La

empresa cuenta con 10 mquinas, cada una puede producir 30 tablas por hora. El costo de

poner en marcha las mquinas para fabricar las tablas es de $20 por mquina. Una vez que

las mquinas echan a andar, la operacin es completamente automatizada y puede ser

supervisada por un empleado de produccin que gana $15 la hora.

a. Cuntas mquinas se deben utilizar para minimizar el costo de produccin?

b. Cunto ganar el supervisor durante un turno de produccin si se utiliza el

nmero ptimo de mquinas?

c. Cunto costar poner en marcha el nmero ptimo de mquinas?

5. Un monopolista es un fabricante que puede manipular el precio de un artculo y,

generalmente, lo hace para tener la mxima utilidad. Cuando el Gobierno fija impuestos a

la produccin, stos se vuelven un costo adicional y el monopolista se ve obligado a

decidir cunto impuesto absorber y cunto pasarle al consumidor.

Suponga que cierto monopolista estima que cuando se producen unidades, el costo total

ser

dlares y el precio del artculo en el mercado ser

dlares la unidad. Adems, suponga que el Gobierno establece un

impuesto de dlares a cada unidad producida

a. Demuestre que la utilidad se maximiza cuando

b. Suponga que el gobierno asume que el monopolista siempre actuar de tal forma

que pueda maximizar la utilidad total Qu valor de debera escogerse para

garantizar la mxima recaudacin tributaria total?

37

Funciones exponenciales y logartmicas

Funcin exponencial

Una funcin crece exponencialmente si cuando se mide a intervalos de tiempo igualmente

espaciados, al final de cada intervalo la poblacin es igual a la poblacin al final del intervalo

anterior, multiplicado por una constante fija. Por ejemplo si desde el 2000 la poblacin mundial,

igual a 6,1 miles de millones, hubiese crecido exponencialmente a una tasa de 1,4% al ao, la

situacin podra modelarse a travs de una funcin exponencial de la siguiente forma:

Una funcin de la forma general , donde (base) es un nmero positivo, se denomina

funcin exponencial. Las funciones exponenciales se utilizan en demografa para predecir el

tamao de la poblacin; en finanzas, para calcular el valor de las inversiones; en arqueologa, para

datar objetos antiguos; en psicologa, para estudiar patrones de aprendizaje.

Las propiedades bsicas de las funciones exponenciales se definen a continuacin. Para bases

y cualesquiera nmeros reales , se tiene:

1. Regla de la igualdad: si y slo si

2. Regla del producto:

3. Regla del cociente:

4. Regla de la potencia:

5. Regla de la multiplicacin:

6. Regla de la divisin:

7. Derivada:

Una funcin exponencial puede mostrar un crecimiento exponencial o un decrecimiento

exponencial. Ello depender del valor de la base. Si la base es mayor a 1, entonces la funcin

mostrar un crecimiento exponencial. Por el contrario, si la base est entre 0 y 1, entonces la

funcin mostrar un decrecimiento exponencial. Por ltimo si la base es igual a 1, la funcin ser

una recta horizontal en

Grficamente, la familia de la funcin exponencial puede ser expuesta mediante la siguiente

figura:

38

En clculo, la base que suele ser usada para las funciones exponenciales es , un nmero

constante descubierto por un famoso matemtico llamado Jacob Bernoulli (1683) al estudiar el

inters compuesto. El inters compuesto representa el fenmeno de acumulacin de intereses

que se han generado en un periodo, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada

periodo tambin se capitalizan. Suponga que se invierten dlares a una tasa de inters anual y

que el inters se capitaliza veces al ao, el saldo despus de aos ser:

A medida que crece la frecuencia a la cual se capitaliza el inters, tambin crece el saldo

correspondiente . De esta manera, los bancos pueden atraer ms clientes si ofrecen una

capitalizacin ms frecuente. En este contexto, uno se podra preguntar qu pasa si la

capitalizacin, no es semestral, trimestral, mensual ni diaria, sino que es continua ( ).

Cuando esto ocurre, aparece la constante .

Para simplificar el clculo, definamos

. Con esto , por lo que la expresin anterior se

puede expresar:

Si , entonces . Al tomar el lmite de la expresin anterior queda:

Donde

39

Funciones logartmicas

Suponga que se invierten $1000 dlares a 8% capitalizado continuamente y se desea saber cunto

tiempo debe transcurrir para que la inversin duplique su valor. Siguiendo la ecuacin de la

seccin anterior se tiene que:

Para resolver esta ecuacin exponencial se requiere el uso de logaritmos, los cuales revierten el

proceso exponencial.

Si es un nmero positivo, entonces el logaritmo de de base ( ), denotado por

, corresponde a , tal que , es decir, si y slo si

para .

Las propiedades bsicas de las funciones logartmicas se definen a continuacin. Sea

cualesquier base logartmica. Entonces:

y

Adems si y son cualesquiera nmeros positivos, se tiene:

1. Regla de la igualdad: si y slo si

2. Regla del producto:

3. Regla del cociente:

4. Regla de la potencia: para cualquier nmero real

5. Derivada:

Grficamente la funcin logartmica puede ser expuesta mediante la siguiente:

40

Las grficas de la funcin logartmica y exponencial son la imagen de la otra respecto a un espejo

imaginario colocado en la recta . Por ejemplo, la funcin , es el espejo de la

funcin

En general, cuando para dos funciones y se cumple que y se dice

que son inversas entre s. Este es el caso de y . En otras palabras se

cumplen las siguientes condiciones:

y

Modelos basados en funciones exponenciales o logartmicas

Existen diversos modelos basados en las funciones exponenciales o logartmicas que tienen

aplicaciones en diversas reas del conocimiento.

Funcin de densidad normal estndar

La funcin

es conocida como la funcin de densidad de probabilidad normal

estndar y tienen un papel crucial en la estadstica y probabilidades. La famosa forma de campana

de la grfica es utilizada para describir distribuciones de distintos puntajes en pruebas de

aprendizaje tales como la PSU y SIMCE.

Tambin existen muchas variables asociadas a rasgos morfolgicos de personas, animales y

plantas que siguen el modelo de la normal: Tallas, pesos, envergaduras, dimetros, permetros.

41

Curvas de aprendizaje

La funcin de la forma , donde y son constantes positivas se denomina

curva de aprendizaje y se origin en el estudio de la psicologa sobre la eficiencia con la cual un

individuo realiza una tarea y el tiempo de entrenamiento o experiencia que ha tenido el

aprendiz

Curvas logsticas

La funcin de la forma

, donde y son constantes positivas se denomina

curva logstica. La curva logstica tiene una asntota horizontal que representa un nivel de

saturacin para la cantidad representada por la curva logstica y se denomina capacidad mxima

de la cantidad. A menudo las curvas logsticas proporcionan buenos modelos de crecimiento para

la poblacin, cuando los factores del medio, tales como el espacio para vivir restringido,

abastecimiento inadecuado de alimento, o contaminacin urbana, imponen un lmite superior en

el tamao posible de la poblacin.

42

Ejercicios

1. Encuentre todos los nmeros reales que satisfacen la ecuacin dada:

a. b. c.

d.

e.

2. Suponga que se invierten $1000 a una tasa de inters anual de 7%. Calcule el saldo al cabo

de 10 aos si el inters se capitaliza:

a. Anualmente

b. Trimestralmente

c. Mensualmente

d. Continuamente

3. Cunto dinero se deber invertir en este momento al 7% para obtener $9000 dentro de 5

aos, si el inters se capitaliza:

a. Trimestralmente

b. Continuamente

4. El editor de economa en una casa editorial importante estima que si se distribuyen a

profesores miles de ejemplares de cortesa, las ventas del primer ao de cierto libro

sern miles de ejemplares. Actualmente, el editor est planeando

distribuir 9000 ejemplares de cortesa.

a. Use el anlisis marginal para estimar el incremento en las ventas del primera ao

que resultarn si se distribuyen 1000 ejemplares de cortesa adicionales

b. Calcule el incremento real en las ventas del primer ao que resultar de la

distribucin de los 1000 ejemplares de cortesa adicionales. Es buena la

estimacin en a.?

43

5. En un negocio se estima que cuando se emplean miles de personas, su utilidad ser

millones de dlares, donde:

Para . Qu nivel de empleo maximiza la utilidad? Cul es la utilidad mxima?

6. Un psiclogo mide la capacidad para aprender y recordar de un nio mediante la funcin:

Donde es la edad del nio en aos, para , responda las preguntas acerca de

este modelo:

a. A qu edad tiene el nio la mayor capacidad de aprendizaje?

b. A qu edad crece ms rpidamente la capacidad de aprendizaje del nio?

7. En 1960 W.F. Libby gan un premio Nobel por su descubrimiento del mtodo de datacin

por carbono. La tcnica consiste en que el bixido de carbono en el aire contiene el

istopo radiactivo 14C (carbono 14) y un istopo estable 12C (carbono 12). Los animales

y plantes vivas absorben bixido de carbono del aire, lo que significa que la relacin de 14C

a 12C es igual a la del aire. Cuando una planta o un animal muere, cesa la absorcin de

bixido de carbono. El 12C ya presente en la planta o animal permanece igual que en el

momento de la muerte, mientras que el 14C decae, y el cociente entre 12C y 14C decrece

exponencialmente. La razn de 14C entre 12C puede ser expresada por la siguiente funcin:

La vida media de 14C es 5730 aos. Los arquelogos, comparando y pueden

estimar la edad de muestras fsiles u otros objetos.

Asumiendo que responda lo siguiente:

En 1988 la tela del manto de Turn o sudario de Jesucristo se someti a datacin por

carbono en 1988. Si la tela fuera autntica, hubiera tenido aproximadamente 1960 aos

en aquel momento.

a. Si en realidad el manto tuviera 1960 aos, qu porcentaje de 14C estara

presente?

b. Los cientficos determinaron que estaba presente el 92.3% del 14C original

del sudario. Basado slo en esta informacin, cul es la edad probable del

Sudario en 1988?

44

Referencias Hoffman, L. D., Bradley, G., & Rosen, K. H. (2006). Clculo Aplicado para Administracin, Economa

y Ciencias Sociales. Mxico D.F.: The McGraw-Hill.

Hughes-Hallett, D., Lock, P., Gleason, A. M., Flath, D. E., Gordon, S. P., Lomen, D. O., . . . Tucker, T.

W. (2003). Applied Calculus. Wiley.

Massachusetts Institute of Technology. (2010). MIT OpenCourseWare. Recuperado el 16 de Marzo

de 2015, de http://ocw.mit.edu/resources/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

Massachusetts Institute of Technology. (2010). MIT OpenCourseWare. Recuperado 16 de Marzo de

2015, de http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-

2010/