Apunte cátedra Murmis - Integrales Impropias

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U.B.A. - Facultad de Ingeniería – Análisis Matemático III - Teoría

Integrales Impropias

2011 Pág. 1 de 8

Integrales Impropias - ResumenRev. 2011-05

Preparado por Gabriel C. LavoratoRevisado por Gustavo M. Murmis – Eduardo G. Murmis

U.B.A. - Facultad de Ingeniería – Análisis Matemático III

Definición

Integral impropia de 1a especie:

1

1 22

0 0lim lim

B

A

C ε B

ε ε

A C ε

f x dx f x dx f x dx


lim lim

C

B

A B A C






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Valor Principal


1 20

lim

B C ε B

ε A A C ε

ε ε f x dx f x dx f x dx


lim A B

C A

A A C


Criterios de convergencia

1. Comparación

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

V a V a

V a

g x f x h x

h x dx CV f x dx CV

g x dx CV

Corolarios:

( )( )

0 ( ) ( )

( )( )V a

V a

f x h x

f x dx CV h x dx CV

( )( )

0 ( ) ( )

( )( )V a

V a

f x h x

h x dx DV f x dx DV

2. Comparación por paso al límite

( )

( )

0( )lim

( )( ) ( )

( ) ( ) V a

V a

f x

g x f x dx CV DV

g x dx CV DV

x a





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Corolarios:

( )

( )

( )lim 0

( )

( )( ) V a

V a

f x

g x

f x dx CV g x dx CV

x a

( )

( )

( )lim

( )( )

( ) V a

V a

f x

g x f x dx DV

g x dx DV

x a

3. Criterio de Abel (en V( ∞ ))

4. Criterio de Leibnitz (comparación con series en V( ∞ ))

10

(serie numérica)

0 0

0

(serie numérica)

0 0

CV ( ) CV

Dada ( ) ( )

DV ( ) DV

( ) CV ( ) CV

Dadas

( )

n

n

nan a

n

n na a

n

n a

n n

n na a

n

na

u f x dx

f x dx f x dx u

u f x dx

f x dx u u f x dx

f x dx u

(serie numérica)

0 0

0

1

0

DV ( ) DV

Un criterio de convergencia de series numéricas alternadas:

( 1)

( 1)

lim 0

n

n a

n

n

n

n

n n n

n

nn

u f x dx

u

u u u CV

u

α(x) monótona

de 0

( ) 0 [ , )

'( ) 0 [ , )

lim ( ) 0

( , ) [

, ) : ( )

x

q

p

a

x

x x a

x x a

x

p q a x dx M

x dxCV





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Teoremas:

Dado : arco de circunferencia con centro en el origen,

lim ( ) 0 lim ( ) 0

R

R

z R zf z f z dz

lim ( ) 0

0lim ( )e 0

: Re

(0, )

R

z

imz

i R

R

f z

m f z dz

z

Generalizando:

lim ( ) 0

0lim ( )e 0

: Re

( ,2 )

R

z

imz

i R

R

f z

m f z dz

z

lim ( ) 0

0lim ( )e 0

: Re

( 2,3 2)

R

z

imz

i R

R

f z

m f z dz

z

lim ( ) 0

0lim ( )e 0

: Re( 2, 2)

R

z

imz

i R

R

f z

m f z dz

z





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Por otra parte:

00

00

lim( ) ( ) 0lim ( ) 0

:r

r

r r

z z f z f z dz

z z r

Y además:

0

00

0

1 ( )lim ( ) Re ( )

: y amplitudr

r r

z polo de orden de f z f z dz i s z

z z r

Casos de cálculo

Los casos analizados a continuación no representan teoremas ni reglasgenerales, sino que constituyen un conjunto de herramientas a modo deayuda para el cálculo de integrales impropias. Cada ejercicio deberá por lotanto ser analizado en forma particular.

1.2

0

Cambio de variable

(cos , ) Camino de integración en

: 1

i z e

R sen d

z





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2.

( ) ( )( )Sustitución

( ) ( )( )

Camino de integración en (ver figura)[ ( )] 2 [ ( )]

Aplicar teorema de los residuos( ) 0

Calcular lim R

P x P zP x x zdx

Q x Q zQ x

gr Q x gr P x

Q x x

3.

( ) ( )Sustitución

( ) ( ) ( )( )ó

Sustitución [cos( ), ( )]( )cos( )

Camino de integración en (ver figura)

A[ ( )] 2 [ ( )]

( ) 0

inz

P x P z x z

sen nx Q x Q zP xdx

nx sen nx eQ xnx

gr Q x gr P x

Q x x

plicar teorema de los residuos

Calcular lim

Separar parte Re y parte Im

R





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4.

( ) ( )Sustitución( ) ( ) ( )

Sustitución [cos( ), ( )]( )( ) Camino de integración( ) ó( )

cos( )

( ) tiene ceros en

semiplano inf. o sup.

inz

P x P z x z f x dx Q x Q z

nx sen nx esen nxP x

f xQ x

nx

Q x

en (ver figura)

Aplicar teorema de los residuos

Calcular lim

Separar parte Re y parte Im

R

5.

0

Sustitución ( ) ( )

Camino de integración en (ver figura). . ( )

Aplicar teorema de los residuos

( ) tiene polos de 1 orden Calcular lim y limer

R r

f x f z

V P f x dx

f x





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6.

Condición de

convergencia

1

0

0

( ) Sustitución ( ) ( )

Camino de integración en (ver figura)

/ 0 1 Aplicar teorema de los residuos

( ) 0 Calcular lim y lim

p

R r

I f x x dx f x f z

p p

f x x

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