aprendizaje de competencias matematicas

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Revista de la Asociacin de Inspectores de Educacin de Espaa

Revista n 8 Mayo 2008 1

APRENDIZAJE DE COMPETENCIAS MATEMTICASEscrito por ngel Martnez Recio

Angel Martnez RecioUniversidad de Crdoba. [email protected]

RESUMENComo consecuencia del impacto del proyecto PISA, el tema de las competenciasbsicas, matemticas en particular, aparece como un tema de carcter destacado ennuestro escenario educativo.

Procede, pues, aportar ideas que ayuden desarrollar procesos deenseanza/aprendizaje de competencias matemticas bsicas. En este artculo seaportan algunas de ellas, tanto de carcter terico, como de carcter prctico. ABSTRACTAs a consequence of the impact provoked by the PISA Project Report, basiccompetences stand out as an interesting topic, with particular reference to Mathematicsin our educational environment.

Therefore, it is essential to provide new ideas which help to develop successfulteaching/learning processes focused on mathematic basic competence. In this paper,we give some theoretical and practical ideas about this topic.

1. COMPETENCIASEl concepto de competencia surgi en el mundo empresarial para designar al conjuntode elementos o factores que son necesarios para el xito en el desempeoprofesional.

McClelland fue el primero en acuar el trmino competencia. Su artculo "Testing forCompetence rather than for Intelligence" (1973), sigue siendo un referente histrico eneste campo. McClelland consider no slo aspectos tales como conocimientos yhabilidades, sino tambin otros que pueden incidir en un desempeo satisfactorio del

puesto de trabajo: sentimientos, creencias, valores, actitudes,....

Desde los aos 90, la Unin Europea viene instando a los Gobiernos europeos amejorar y redefinir sus sistemas educativos, buscando objetivos de calidad, con lafinalidad de promover la sociedad del conocimiento. Diversos documentos han incididoen la idea de crear un sistema europeo que permita comparar, difundir y evaluarcompetencias bsicas y las mejores metodologas para su adquisicin.

En un marco internacional ms amplio, como es el de la OCDE, se han puesto enprctica proyectos con ese objetivo de comparacin de resultados educativos entrediferentes pases.


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Merece especial mencin, en este sentido, el proyecto PISA (Programme for Indicatorsof Student Achievement), que es un el extenso estudio de evaluacin internacionalcomparada, efectuado en el seno de la OCDE.

Tambin procede destacar el proyecto DeSeCo (Definition and Selection of

Competencies), as mismo desarrollado en el mbito de la OCDE, encargado de definiry seleccionar las competencias consideradas esenciales para la vida de las personas yel buen funcionamiento de la sociedad.

En este proyecto se define el trmino competencia como "Capacidad de responder ademandas complejas y llevar a cabo tareas diversas de forma adecuada. Supone unacombinacin de habilidades prcticas, conocimientos, motivacin, valores ticos,actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que semovilizan conjuntamente para lograr una accin eficaz" . Sus rasgos diferenciales

seran los siguientes: primero, constituye un "saber hacer" (un saber que se aplica)segundo, es "un saber hacer" susceptible de adecuarse a una diversidad de contextos

tercero, tiene un carcter integrador, abarcando conocimientos, procedimientos yactitudes.

Es importante comprender que las competencias se manifiestan en la realizacin detareas. Las tareas son esquemas de accin, esquemas de pensamiento orientados ala realizacin de tareas prcticas. Deben tener relevancia para las personasimplicadas.

Especial importancia para la educacin obligatoria tienen las competencias bsicas,que son las competencias imprescindibles para cualquier persona,independientemente de su condicin social, para un adecuado desempeo de su vidapersonal o profesional.

En Espaa, el artculo 6 de La Ley Orgnica 2/2006, de 3 de mayo, de Educacin,sita las competencias bsicas como uno de los elementos fundamentales delcurrculo: "A los efectos de lo dispuesto en esta Ley, se entiende por currculo elconjunto de objetivos, competencias bsicas, contenidos, mtodos pedaggicos ycriterios de evaluacin de cada una de las enseanzas reguladas en la presente Ley".

El propio prembulo de la Ley comenta: "Especial inters reviste la inclusin de lascompetencias bsicas entre los componentes del currculo, por cuanto debe permitircaracterizar de manera precisa la formacin que deben recibir los estudiantes".

El R.D. 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseanzasmnimas correspondientes a la Educacin Secundaria Obligatoria dedica su anexo 1 alas competencias bsicas, sealando: "La incorporacin de competencias bsicas alcurrculo permite poner el acento en aquellos aprendizajes que se consideranimprescindibles, desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicacin de lossaberes adquiridos. De ah su carcter bsico. Son aquellas competencias que debehaber desarrollado un joven o una joven al finalizar la enseanza obligatoria parapoder lograr su realizacin personal, ejercer la ciudadana activa, incorporarse a lavida adulta de manera satisfactoria y ser capaz de desarrollar un aprendizajepermanente a lo largo de la vida".

En el marco de las propuestas realizadas por la Unin Europea, se identifican en el

Decreto ocho competencias bsicas:

Competencia en comunicacin lingstica.


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Competencia matemtica. Competencia en el conocimiento y la interaccin con el mundo fsico. Tratamiento de la informacin y competencia digital. Competencia social y ciudadana. Competencia cultural y artstica. Competencia para aprender a aprender. Autonoma e iniciativa personal.

Como caractersticas que se les demandan a todas ellas pueden sealarse:

Deben incluir una combinacin de saber, habilidades y actitudes. Deben ser transferibles (aplicable en varias situaciones y contextos). Han de ser multifuncionales (deben poder ser utilizadas para conseguir

mltiples objetivos). Deben proveer una respuesta adecuada a los requisitos de situaciones o

trabajos especficos. Deben constituir, para todas las personas, el prerrequisito

para un adecuado desempeo de su vida personal y laboral y la base de losaprendizajes posteriores.2. COMPETENCIAS MATEMTICAS2.1. Proyecto PISAPara el estudio y determinacin de las competencias matemticas bsicas, nosapoyaremos en los propios proyectos que han introducido este nuevo tipo de trminosen el mundo de las matemticas. En primer lugar, el proyecto PISA.

Hay que decir, de entrada, que el proyecto PISA evala slo conocimientos y

destrezas, renunciando explcitamente a evaluar actitudes y emociones.

Ese mismo planteamiento haremos nosotros, que nos planteamos determinar de formaoperativa los conocimientos y destrezas que forman parte de las competenciasmatemticas bsicas, as como las tareas apropiadas para promover su adquisicin yhacer factible su evaluacin, renunciando por el momento a operativizar elementostales como motivacin, valores ticos, actitudes, emociones y otros componentessociales y de comportamiento.

El proyecto PISA explicita 8 tipos de competencias matemticas:

Pensar y Razonar Argumentar Comunicar Construir modelos Plantear y resolver problemas Representar Utilizar un lenguaje simblico, formal y tcnico

Utilizar herramientas de apoyo (por ejemplo, TIC)

Cada una de las competencias contiene un conjunto extenso de elementos decompetencia y admite diferentes niveles de profundidad. Los expertos del proyectoPISA consideran tres niveles de complejidad en los problemas matemticos y en las

competencias demandadas por los mismos:Primer nivel: Reproduccin y procedimientos rutinarios.


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En este nivel se engloban aquellos ejercicios que son relativamente familiares y queexigen bsicamente la reiteracin de los conocimientos practicados, como son lasrepresentaciones de hechos y problemas comunes, recuerdo de objetos y propiedadesmatemticas familiares, reconocimiento de equivalencias, utilizacin de procesosrutinarios, aplicacin de algoritmos, manejo de expresiones con smbolos y frmulas

familiares, o la realizacin de operaciones sencillas. Un ejemplo de ejercicio propio deeste nivel es la resolucin de una ecuacin de primer grado con una incgnita.Segundo nivel: Conexiones e integracin para resolver problemas estndar.El nivel de conexiones permite resolver problemas que no son simplemente rutinarios,pero que estn situados en contextos familiares o cercanos. Plantean mayoresexigencias para su interpretacin y requieren establecer relaciones entre distintasrepresentaciones de una misma situacin, o bien enlazar diferentes aspectos con el finde alcanzar una solucin.

Un ejemplo de problema ajustado a este nivel es el siguiente: "Una pizzera sirve dospizzas redondas, del mismo grosor en diferentes tamaos. La menor tiene un dimetrode 30 centmetros y cuesta 3 euros. La mayor tiene un dimetro de 40 centmetros ycuesta 4 euros. Qu pizza tiene mejor precio?".Tercer nivel: Razonamiento, argumentacin, intuicin y generalizacin pararesolver problemas originales.Este nivel moviliza competencias que requieren cierta comprensin y reflexin porparte del alumno, creatividad para identificar conceptos o enlazar conocimientos dedistintas procedencias. Las tareas de este nivel requieren competencias mscomplejas, implican un mayor nmero de elementos, exigen anlisis de diferentes

estrategias posibles, invencin de sistemas de representacin no usuales,generalizacin y explicacin o justificacin de los resultados.2.2. Prueba de Diagnstico de la Junta de AndalucaAl calor de las pruebas PISA, en nuestra Comunidad Autnoma Andaluza se vienendesarrollando todos los aos unas pruebas de evaluacin para diagnstico del sistemaeducativo andaluz que tambin evalan competencias matemticas. Hay pruebas paraPrimaria y para ESO. Aqu nos centraremos en las de Primaria, puesto que ste es elperiodo educativo del que nos ocupamos prioritariamente.

Las competencias matemticas utilizadas para la evaluacin se han clasificado en trescategoras.

Organizar, comprender e interpretar la informacin. Expresin matemtica.

Plantear y resolver problemas.2.3. Nuestra propuesta personalNuestra propuesta de estructura de competencias, recoge ideas de los dos sistemasanteriores.

En su presentacin, con leves modificaciones, nuestra propuesta se ajusta ms alformato de la Junta de Andaluca, que nos parece ms operativo. Recoge, pues, las


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tres dimensiones referidas para estructurar las competencias matemticas,concretadas en los siguientes elementos de competencias, recogidos de ambaspropuestas:Organizacin e interpretacin de la informacin

Comprender la informacin presentada en un formato verbal y/o grfico Conocer y utilizar sistemas de organizacin y representacin de la informacin,

en trminos matemticos

Traducir situaciones reales a esquemas o estructuras matemticosResolucin del problema

Seleccionar los datos apropiados para resolver el problema Formular preguntas tpicas (cuntos son?, cunto mide?, por qu?,...) Conocer hechos y propiedades matemticas.

Seleccionar y evaluar estrategias adecuadas para resolver el problema Desarrollar procesos matemticos rutinarios Aplicar algoritmos estndares Utilizar herramientas de ayuda (incluidas herramientas de tecnologa de la

informacin). Simbolizar en trminos matemticos Manipular de forma estandarizada clculos, expresiones simblicas y frmulas Seguir y valorar cadenas de argumentos matemticos de diferentes tipos. Justificar los resultados obtenidos, argumentndolos con una base matemtica

Expresin del resultado Representar el contenido matemtico en un formato verbal y/o grfico Expresar correctamente los resultados obtenidos al resolver problemas

Plantear problemas relacionados con el problema actual

Esta relacin de competencias es importante, porque permite operativizar el anlisisde la calidad de los problemas, para favorecer el aprendizaje de competenciasmatemticas. Basta construir una rejilla con esos elementos de competencia y analizarcules son necesarias para resolver un problema matemtico dado.

Conviene, en ese anlisis, destacar los elementos de competencia que acompaan alos problemas de un mayor nivel de complejidad, los cuales demandan fuertes

componentes de razonamiento matemtico autnticos problemas, no reducibles ameros ejercicios algortmicos de carcter rutinario, que favorecern la adquisicin porparte de los alumnos de competencias de alto nivel.

Esos elementos seran:

Conocer y utilizar sistemas de organizacin y representacin de la informacin,en trminos matemticos

Seleccionar y evaluar estrategias adecuadas para resolverlos problemas Simbolizar en trminos matemticos Seguir y valorar cadenas de argumentos matemticos de diferentes tipos. Justificar los resultados obtenidos, en la resolucin de problemas,

argumentndolos con una base matemtica


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3. UN MODELO DE TAREAS PARA EL APRENDIZAJE DE COMPETENCIASMATEMTICASComo decamos anteriormente, las competencias se manifiestan en la realizacin detareas. Las tareas son esquemas de accin, esquemas de pensamiento orientados a

la realizacin de tareas prcticas. Deben tener relevancia para las personasimplicadas. Tambin sabemos, de acuerdo con el proyecto PISA, que las tareas seajustan a una situacin o a un contexto dado. Y segn el sentido que tienen lascompetencias bsicas, ese contexto debe ser relevante en la vida cotidiana.

Una persona es matemticamente competente, en un plano bsico, cuando es capazde resolver problemas, tareas de ndole matemtica, socialmente relevantes, que sepresentan en la vida cotidiana.

Las tareas escolares deben ser relevantes para los escolares, no slo por su valorpara favorecer su insercin en la vida adulta, sino tambin por su valor en el propio

periodo de educacin de los nios, favoreciendo su integracin en sus contextoscotidianos y ayudndoles a integrarse en ellos: familia, colegio, barrio, ciudad, pas,etc.

A continuacin exponemos un ejemplo de unidad de enseanza, para el 1 ciclo dePrimaria, acorde con estas ideas.

Conviene que introduzcamos, aunque sea brevsimamente, unos apuntes sobrenuestra metodologa de enseanza. En primer lugar, indicar que para nosotros eljuego una importante significacin en los procesos de aprendizaje. Habitualmente setiende a contraponer aprendizaje y juego, como si el juego fuera un importanteinconveniente para el aprendizaje. Para nosotros, sucede exactamente lo contrario: los

nios, en situaciones de juego, se abren al aprendizaje de una manera natural. Hayque tener en cuenta que el juego es la forma normal de acercamiento de los nios a larealidad exterior y por eso conviene aprovecharla. Naturalmente, no hay que caer en eljuego por el juego. Se trata de jugar para aprender.

El juego psicomotriz nos resulta especialmente motivador, en los primeros niveles dePrimaria. Por una parte permite dar rienda suelta al caudal de energa fsica que tienenlos nios. Por otra parte se presta muy bien a la exploracin del espacio exterior, a laprctica de la medida y, desde ellos, al acercamiento a otros conceptos matemticos.

Nuestro modelo de enseanza de las matemticas en educacin primaria consta de

tres tipos diferentes de situaciones de enseanza.

Iniciamos el acercamiento a un tema desde una sesin de juego psicomotriz, en la quelos nios exploran el espacio, mediante situaciones de juego corporal, utilizandorecursos didcticos apropiados al tema.

Esa sesin sirve de motivacin para trabajar, posteriormente, los conceptos propiosdel tema en el aula convencional, utilizando recursos didcticos apropiados para el

aula.

Esos conceptos deben ser, adems, trabajados en el aula de nuevas tecnologas, conayuda de recursos didcticos virtuales.


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Finalmente, planteamos una sesin de problemas de enunciado verbal, en el aulatradicional otra vez, para acostumbrarlos a los tipos de problemas que les ponen enlas pruebas PISA o similares.UNIDAD DE ENSEANZA: EXPLORAMOS NUESTRA CLASESesin ldica en el Gimnasio, de iniciacin a las medidas de longitud (1 hora) Nos movemos por el espacio, al ritmo de la msica (msica rtmica, 2 minutos).

Nos movemos por el espacio, al ritmo de la msica, saludando a los compaeros quenos encontremos por el camino (msica rtmica, 2 minutos).

Formamos parejas. Nos movemos por el espacio, en pareja, al ritmo de la msica(msica rtmica, 2 minutos).

Formamos grupos de 6 miembros. Nos movemos por el espacio, en grupos, al ritmode la msica (msica rtmica, 2 minutos).

(Se reparten cuerdas). Formamos casas con las cuerdas. Nos movemos por elespacio, en grupos, al ritmo de la msica, fuera de las casas. Cuando pare la msica,nos metemos dentro de nuestra casa (msica rtmica, 5 minutos).

(Se reparten ms cuerdas). Formamos, con cuerdas, un camino entre nuestra casa yotra casa. Esperamos que se formen todos los caminos. Visitamos las casas denuestros compaeros (msica clsica, 10 minutos).

(Se reparten varillas de madera). Estas varillas miden un metro. Vamos a medir, conayuda de las varillas, la longitud de los caminos entre las casas, es decir, el nmero demetros que tiene cada camino. Anotamos los datos en un folio (msica clsica, 10minutos).

(Se reparten lanas, una caja de regletas Cuisenaire, masilla de pegar y una cartulinagrande por grupo). Representamos las casas y los caminos con lanas, pegadas a lacartulina con la masilla. Comprobamos con ayudas de las regletas Cuisenaire que lasdistancias entre las casas es correcta. Cada metro de las casas en el Gimnasio lohacemos corresponder con un decmetro (una regleta naranja) sobre la cartulina(msica clsica, 20 minutos).Sesin en el aula tradicional (1 hora)Vamos a construir un plano de nuestra clase. Pedimos a un alumno que, con ayudade las varillas de 1 metro y regletas Cuisenaire, mida la longitud de una pared.Revisamos sus clculos entre todos. Repetimos con otros alumnos para las restantesparedes (15 minutos).

Por parejas, vamos a representar el rectngulo del suelo de la clase, sobre unacartulina, utilizando palillos de dientes planos, pegados con pegamento sobre lacartulina. Cada palillo debe representar 1 metro. Si es necesario, se utilizan trozos depalillo (10 minutos).


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Representamos sobre la cartulina, con regletas Cuisenaire pegadas con masilla, lasmesas, sillas y armarios de la clase, cuidando que haya concordancia relativa con lasdistancias y longitudes reales (15 minutos).

El profesor le ensea a cada pareja su propio croquis, lo compara con el que ellos

han hecho, les hace ver los errores y les ayuda a corregirlo. (20 minutos). Sesin en el aula de informtica (3 horas).

Jugamos con la longitud Sistema mtrico decimal Conversin de unidades Permetros de cuadrilteros Permetros de cuadrados Permetros de tringulos Con ayuda de un programa de dibujo (por ejemplo,

http://www.sketchr.net/draw/, http://www.cerotec.net/aplicaciones/pizarra/),hacemos un plano que represente nuestra clase y sus mesas, sillas y armarios.Nos ayudamos del croquis que hicimos en clase. Cuando est correcto, loimprimimos.

Sesin de problemas (1 hora).Problema 1a) Tomando como unidad de longitud la longitud de una baldosa de tu clase, calcula

aproximadamente la longitud, la anchura y el permetro de la clase.

Explica como lo calculas.

b) Mide en cm. la longitud de la baldosa y calcula la longitud, anchura y permetro de la

clase en metros.Problema 2Varios colegios van al parque a una carrera de orientacin. Se hacen 5 equipos(blanco, verde, rojo, morado), y a cada uno le dan el siguiente mapa con el recorrido:


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El equipo azul, al terminar la carrera, ha pasado por los siguientes puntos: Encinas,Colinas, Paso del Arroyo, Matorral y ha terminado en el Parque Infantil. Cuntosmetros ha recorrido?

En la carrera de orientacin el equipo azul y el verde fueron juntos hasta el punto 3.All, el equipo azul fue al punto 5 y despus al 4, mientras que el equipo verde cruz elro, fue al punto 4 y de all al 5. Qu equipo recorri ms metros? Cuntos ms?

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