APORTE CALCULO
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CÁLCULO INTEGRAL
Trabajo Colaborativo Fase 2
TUTOR:
DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA
Ingeniero Electrónico
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
INTRODUCCIÓN
En este trabajo colaborativo encontraremos las referencias estudiadas en la fase dos del
curso cálculo integral, abarcando temas tales como técnicas y métodos de integración, a los
cuales trataremos de dar explicación por medio de la solución de los problemas planteados
con respecto a los temas antes mencionados.
OBJETIVO GENERAL
Comprender e interiorizar en cada uno de los ejercicios de la segunda fase del curso cálculo
Integral, para poderlos aplicar en diferentes escenarios del saber, utilizando las teorías y
definiciones que se soportan en el curso académico. Además de trabajar en grupo
colaborativo para socializar y compartir conocimientos.
EJERCICIOS
La integral definida de f entre a y b es
∫abf ( x )dx=Lím
n→∞∑i=1
n
f ( ci )∇ x=F (b )−F (a )para cualquier función f
definida en [a, b] para la que ese límite exista y sea el mismo para toda elección de los puntos de evaluación, c1, c2,…, cn. En tal caso, se dirá que f es integrable en [a, b].
Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto.Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:
Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.
Evaluar las siguientes integrales impropias:
1. ∫0
1
ln (x )dx=−1
Para evaluar esta integral, se calcula como una integral definida entre x=t y x=1cuando t=0+¿ ¿
∫0
1
ln (x )dx= limt=0+¿∫
1
1
ln ( x )dx ¿
¿
Resolviendo por partes u=lnx y dv=x de donde du=dxx
y v=xtenemos:
limt=0+¿∫
t
1
ln ( x )dx= limt =0+¿( x ln (x ) −x¿)|1t ¿¿
¿¿
¿
¿ limt=0+¿ 1 ln ( x )−¿ t ln (t )−1−t ¿ ¿
¿
¿ limt=0+¿−t ln ( t )−1+t= lim
t=0+¿−tln (t )−1¿¿ ¿
¿
Aplicando la regla de L`Hospital, tenemos:
∫a
b
f ( x )dx=Limt→b−
∫a
t
f (x )dx
limt=0+¿−t ln ( t )= lim
t=0+¿ ln ( t )1t
¿
¿¿¿
¿ limt=0+¿ 1 /t
−1t 2
¿
¿
¿ limt=0+¿−t=0¿
¿
Por tanto
∫0
1
ln (x )dx=¿ limt=0+¿−t ln (t )−1¿
¿
¿−0−1=−1
Y la integral converge a -1
2. ∫2
∞1
(x−1) ²dx=1
Realizamos integración por sustitución
u=( x−1 ): du=1dx ,dx=1du
∫ 1
u21du
¿∫u−2du
u−2+1
−2+1
Sustituimos u=( x−1 )
(x−1)−2+1
−2+1
−1x−1
+c
Calculamos los límites
limx
2+¿− 1x−1
=−1¿
limx∞( −1x−1 )=0
=0-(-1)
=1
3. ∫−∞
∞
e−5 xdx
Por sustitución
u=−5x
dudx
=−5
du=5dx
Reemplazamos
∫ eu(−15 )du
∫−eu
5du
−15 ∫eudu
Integrando
−15eu+c
Reemplazando
−15e−5x+c
¿− e−5 x
5+c
Calculamos límites
limx
−∞(−e−5x
5 )=−∞
limx∞(−e−5x
5 )=−∞= 0
0−(−∞ )=∞
4. ∫2
54+x
√ x2−4dx
Regla de la suma
∫ 4
√ x2−4dx +∫ x
√ x2−4dx
∫ 4
√ x2−4dx
Hallamos la constante
4∫ 1
√ x2−4dx
Sustituimos
x=2 sec (u ) :dx= 2cos (u)
tan (u )du
4∫ 1
√(2 sec (u ))2−4
2cos (u)
tan (u )du
4∫2
cos (u)tan (u)
√4 sec2(u)−4du
4 ∙2∫tan (u)cos (u)
√4 sec 2(u)−4du
Luego
4 sec2 (u )−4=4 ¿
Dado que
4 ∙2∫tan (u)cos (u)√4 ¿¿¿
¿
4 ∙2∫tan (u)cos (u)
2√2 sec2(u)−1du
Hallamos la constante
4 ∙2 ∙12∫
tan (u)cos (u)
√2 sec2(u)−1du
Utilizamos la identidad: sec2 ( x )=1+ tan2(x)
4 ∙2 ∙12∫
tan (u)cos (u)
√−1+1+tan 2(u)du
4 ∙2 ∙12∫
tan (u)cos (u)
√ tan2(u)du
4 ∙2 ∙12∫
tan (u)cos (u)tan (u)
du
v=tan (u2 ): du= 21+v2 dv ,cos (u )=1−v2
1+v2 , tan (u )= 2 v1−v2
4 ∙2 ∙12∫
2 v
1−v2
1−v2
1+v2
2 v
1−v2
2
1+v2dv
4 ∙2 ∙12∫
−2
v2−1dv
Hallamos la constante
4 ∙2 ∙12(−2∫ 1
v2−1dv )
Reemplazamos
v2−1=(−1)(−v2+1)4 ∙2 ∙12¿
4 ∙2 ∙12¿
∫ 1
−v2+1dv¿¿=arctanh ( v )
4 ∙2 ∙12¿
Sustituimos
v=tan (u2 ) ,u=arcsec ( x2 )
4 ∙2 ∙12¿
Simplificamos
8arctanh ( tan( arcsec ( x2 )
2 ))Parte 2:
∫ x
√ x2−4dx
Sustituimos
u=x2−4 : du=2 xdx ,dx= 12dx
dx
∫ x
√u1dxdu
∫ 12√u
du
Hallamos la constante
12∫
1
√udu
12∫ u
−0,5du
12u−0,5+1
−0,5+1
Reemplazamos
u=x2−4
12x2−4−0,5+1
−0,5+1
Simplificamos
√ x2−4
Solución:
8arctanh ( tan( arcsec ( x2 )
2 ))+√x2−4+C
Calculamos los límites
limx
2+¿(8 arctanh( tan( arcsec ( x2 )
2 ))+√x2−4)=0¿
limx
5−¿ (8arctanh( tan( arcsec ( x2 )
2 ))+√ x2−4)=√21+8arctanh(√ 37 )¿
Luego: √21+8arctanh(√ 37 )−0
Simplificamos y obtenemos:
√21+8arctanh(√ 37 )
Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades básicas de las integrales (integrales inmediatas) y las diferentes técnicas o métodos de integración como integración por sustitución e integración por cambio de variable.
Evaluar las siguientes integrales:
5. ∫ sec2 (u )u
udu
∫ sec2 (u )du
Se aplica la regla de la integración:
∫ sec2 (u )du=tanu
Entonces tenemos:
¿2 tanuY sustituimos
u=√x
¿2 tan (√ x )+c
6. ∫1
41
(1+√x )dx
Calculamos la integral indefinida:
∫ 1(1+√ x )
dx
Integración por sustitución:
u=√x : du=1
2√ xdx du=
12udx, dx=2udu
¿∫ 11+u
2udu
¿∫2−¿ 2u+1
du¿
Aplicamos la regla de la suma
¿∫2du−¿∫ 2u+1
du¿
∫2du=2u
∫ 2u+1
du=2nl(u+1)
¿2u−2nl(u+1)
Sustituimos la ecuación u=√x
¿2√x−2 ln (√x+1 )
Agregamos una constante a la solución:
¿2√x−2 ln (√x+1 )+c
Calculamos los límites:
limx→1+¿(2√x−2 ln (¿ √x+1 ))=2−ln (4 ) ¿¿
¿
limx→4−¿(2√x−2 ln (¿√x+1 ))=4− ln ( 9) ¿¿
¿
¿4−ln (9 )−( 2−ln (4 ) )
Simplificamos
¿2+ln ( 4 )−ln (9)
7. ∫0
π2
sen2 ( x )cos ( x )dx
Calculamos la integral indefinida:
∫ sen2 ( x )cos ( x )dx
Aplicamos integración por sustitución:
u=sen ( x ) :du=cos ( x )dx ,dx= 1cos (x )
du
¿∫u2 cos ( x ) 1cos ( x )
du
¿∫u2du
Aplicamos la regla de la potencia:
¿ u2+1
2+1
Sustituimos
¿sen2+1(x)
2+1
Simplificamos
¿sen3(x)
3
Agregamos una constante a la solución
¿sen3(x)
3+c
Calculamos los límites:
limx→0+¿( sen
3 (x)3 )=0¿
¿
limx→ π
2
( sen3(x )3 )=1
3
¿ 13−0
Simplificamos
¿ 13
8. ∫ xe(x2−1 )dx
Aplicamos la integración por sustitución:
u=x2−1: du=2 xdx ,dx= 12 xdu
¿∫ xeu 12xdu
¿∫ eu
2du
Sacamos la constante:
¿ 12eu
Sustituimos
¿ 12e( x
2−1)
Simplificamos
¿ ex2−1
2
Agregamos una constante
¿ ex2−1
2+c
Existen varios métodos para resolver integrales como integración por racionalización, integración por sustitución trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales.Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad utilizada:
9. ∫ 1
(x2+4 x+13)dx
Aplicamos la integral por sustitución
u=( x+2 ) :du=1dx ,dx=1du
¿∫ 1
u2+91du
¿∫ 1
u2+9du
Aplicamos la integral por sustitución
u=3v : du=3 dv
¿∫ 1
(3v )2+93dv
¿∫ 1
3v2+3dv
Entonces:
¿∫ 13(v¿¿2+1)dv
¿
Tomamos la constante de salida:
¿ 13∫
1
v2+1dv
Utilizamos la integral común ∫ 1
v2+1dv=arctan (v)
¿ 13
arctan (v )
Sustituimos
v=13u ,u=(x+2)
=13
arctan ( 13(x+2))
Simplificamos
¿arctan( x+2
3 )3
Agregamos la constante
¿arctan( x+2
3 )3
+c
10. ∫ 1
4−x2dx
Aplicamos la integral por sustitución
x=2u :dx=2du
¿∫ 1
4−(2u)22du
¿∫ 1
2−2u2du
Aplicamos la propiedad algebráica
2−2u2=2(1−2u2
2 )¿∫ 1
2(1−2u2
2 )du
Tomamos la constante de salida:
¿ 12∫
1
1−2u2
2
du
¿ 12∫
1
1−u2du
Usamos la integral común
∫ 1
1−u2du=arctanh (u )
¿ 12arctanh (u )
Sustituimos
u=12x
¿ 12arctanh ( 1
2x)
Simplificamos
¿arctanh( x2 )
2
Agregamos la constante a la solución
¿arctanh( x2 )
2+c
11. ∫ x √x+1dx
Aplicamos la integración por sustitución
u=x+1 :du=1dx ,dx=1du
¿∫ x √u1du
¿∫ x √uduu=x+1→x=u−1
¿∫(u−1)√udu
Expandimos (u−1)√u¿∫ (u32−√u)du
Aplicamos la regla de la suma
¿∫u32 du−∫ √udu
∫u32du=
2u52
5
∫√udu=¿2u
32
3¿
¿2u
52
5−
2u32
3
Sustituimos en la ecuación
u=x+1
¿2(x+1)
52
5−
2(x+1)32
3
Agregamos una constante a la solución
¿2(x+1)
52
5−
2 ( x+1 )32
3+c
12. ∫ 2 x
(x2−3 x−10 )dx
Tomamos la constante de salida
¿2∫ x
(x2−3 x−10 )dx
¿2∫ x
(x−32 )
2
−494
dx
Aplicamos la integración y sustitución
u=(x−32 ) :du=1dx ,dx=1du
¿2∫ x
u2−494
1du
¿2∫ x
u2−494
du
u=(x−32 )→x=u+ 3
2
¿2∫u−3
2
u2−494
du
Aplicamos la regla de la suma
¿2(∫ u
u2−494
du+∫32
u2−494
du)∫ u
u2−494
du=ln(u2−49
4 )2
∫32
u2−494
du=3arctanh( 2u
7 )7
¿2( ln(u2−494 )
2−
3arctanh (2u7 )
7 )Sustituimos u=(x−3
2 )
¿2(( ln(x−32 )
2
−494 )
2−
3arctanh( 2(x−32 )
7)
7)
Agregamos una constante a la solución
¿2(( ln(x−32 )
2
−494 )
2−
3arctanh( 2(x−32 )
7)
7)+c
CONCLUSIONES
Identificamos los principios del cálculo integral para asimilar las técnicas de
integración.
Se aplicaron los diferentes métodos de integración.
Se comprendió el concepto de integral definida e indefinida.
Interpretamos diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral para
poder comprender en diversos escenarios, la mejor manera de utilizarlos.
A través de la anterior actividad se lograron adquirir nuevas habilidades, destrezas y
conocimiento que fortalecen el proceso de aprendizaje.
BIBLIOGRAFÍA
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