1

onsidere un alambre de longitud . La densidad lineal de

masa se define como la cantidad de masa por unidad de lon-

gitud. Si es constante, por definicin:

= (1)

Por ejemplo, si =20 cm y = 5 g/cm, entonces la masa total del alam-

bre es = 20 5 = 100 g.

Considere ahora un alambre delgado que se extiende sobre el eje

desde = hasta = , como se muestra en la figura siguiente, y

cuya densidad de masa () es una funcin continua de .

Para calcular la masa total ,

dividimos el alambre en pe-

queos segmentos de longi-

tud = ( )/ , y sea =

1 . Si escogemos de

manera que < < 1, en-

tonces en la masa est dada

por (). Como es con-

tinua, podemos aproximar la

masa de este pequeo seg-

mento por el incremento

= ()

Entonces, la masa total est dada por:

=1

= ()

=1

Donde es la masa del i-simo segmento.

No podemos usar la ecuacin (1) porque () no es constante, pero si

es lo suficientemente pequeo, entonces () es aproximadamente

constante a lo largo del i-simo segmento.

C

Otras Aplicaciones de la Integral Definida Universidad de El Salvador Facultad de Ingeniera

y Arquitectura Matemtica II Por Oscar Daz.

Densidad

En ingeniera es comn tra-

bajar con algunas propieda-

des fsicas que se distribu-

yen espacialmente. Por

ejemplo, al considerar un

objeto cuya masa se encuen-

tra distribuida en una sola

dimensin principal, como

el caso de una varilla larga,

hablamos de una densidad

lineal de masa.

Si consideramos una placa

delgada y grande que ha

sido cargada elctrica-

mente, la carga se distri-

buir principalmente en la

superficie de la placa. En

este caso hablamos de una

densidad superficial de

carga.

En general, podemos decir

que la densidad es una me-

dida de cunto material

se encuentra comprimido

en un espacio determinado.

El ejemplo ms comn es la

cantidad de masa por uni-

dad de volumen.

()

2

Si la exactitud de la aproximacin mejora y podemos calcular la masa total como

= lim0

()

=1

= ()

Ejemplo 1: Encuentre la masa total de un alambre de 2 m que tiene una densidad lineal de masa dada

por () = (1 + (2 )) kg/m donde es la distancia desde uno de los extremos del alambre..

Ejemplo 2: Una carga se distribuye en un alambre de longitud =10 cm con una densidad lineal de carga

uniforme () = (2 + 1)2 104 coulombs por centmetro, para para 0 10. Calcule la carga to-

tal .

Respuesta:

Solucin:

Respuesta: 10/3 kg

Solucin:

3

Ejemplo 3: Para calcular la fuerza ejercida por el fluido sobre la pa-

red lateral de la caja mostrada en la figura, procedemos de la si-

guiente manera (las unidades estn en metros):

Como la presin varia con la profundidad, dividimos la caja en

rectngulos horizontales delga-

dos. Sea la fuerza en el j-simo

elemento. La fuerza total es la

suma de las fuerzas sobre cada

uno de estos elementos diferen-

ciales:

= 1 + 2 + +

Sea la profundidad, donde = 0

se mide en la superficie del fluido

y es positiva a medida que aumenta la profundidad.

Cada rectngulo tiene un ancho = 5/ y una longitud de 2, y

por tanto su rea es 2. El borde inferior del j-simo rectngulo

est a una profundidad = 3 + .

Si es muy pequeo, la presin sobre este rectngulo es aproxi-

madamente constante (ya que todos los puntos sobre este borde es-

tn aproximadamente a la misma profundidad) y est dada por

. Por tanto, podemos aproximar la fuerza que acta sobre este

rectngulo por medio de

2 = (2)

La fuerza total la podemos aproximar por

= 1 + 2 + + 2

=1

= lim||||0

2

=1

= 2 8

3

con =103/3, = 28

3= 2|3

8 =539,000 N.

Ejemplo 4: Calcular la fuerza que el fluido ejerce sobre un lado de

la placa en forma de tringulo equiltero de 2 m de lado, sumergida

verticalmente en un depsito con aceite con densidad de masa

=900 /3, como se muestra en la siguiente figura. Cul sera

una expresin general para calcular la fuerza cuando la longitud del

rectngulo horizontal varia con la profundidad? (en el ejemplo an-

terior esta longitud, de 2 m, es constante).

Presin de un

Fluido y Fuerza

Cuando se sumerge un cuerpo

en un fluido como el agua, el

fluido ejerce una fuerza per-

pendicular a la superficie del

cuerpo en cada punto de la su-

perficie. Esta fuerza por uni-

dad de rea se denomina pre-

sin del fluido:

=

Esta presin est determinada

por dos principios:

La presin es proporcional

a la profundidad.

El fluido ejerce una pre-

sin en cada superficie del

objeto en una direccin

perpendicular a sta.

A una profundidad h, un

fluido con densidad (masa

por unidad de volumen)

ejerce una presin = .

En este caso, la fuerza total ac-

tuando sobre una superficie de

rea A es

=

=

A la magnitud , se le llama

densidad de peso del fluido; es

el peso por unidad de volumen

de fluido. En el agua la densi-

dad de peso es 9800 /3 =

62.4 lb/3.

Las unidades SI para la presin

es el pascal (Pa).

(1Pa=1 N/m2)

4

Ejemplo 5: La presa de las tres gargantas en el rio Yangtze, China tiene una altura de 185 m. Calcule la

fuerza sobre la presa, asumiendo que sta es un trapezoide de base 2000 m y borde superior de 3000 m,

inclinado a un ngulo de 55 con respecto a la horizontal como muestra el siguiente esquema.

Solucin:

Respuesta: 17,640 N

Solucin:

Respuesta: aproximadamente 5.46 x 1011 N.

5

Estamos interesados en el caso donde la fuerza aplicada () vara

cuando el objeto se mueve desde hasta a lo largo del eje . En

este caso la ecuacin (1) no se puede aplicar directamente, pero po-

demos dividir el trabajo en pequeos diferenciales de trabajo, para

los cuales la ecuacin (1) da una buena aproximacin.

Dividamos el intervalo [a, b] en N subintervalos de longitud

= ( )/ como en la figura anterior. Sea el trabajo nece-

sario para mover el objeto desde 1 hasta . Si es lo suficiente-

mente pequeo, entonces la fuerza () es aproximadamente cons-

tante en el intervalo [1, ] con valor (). Entonces

()

Sumando todas las contribuciones obtenemos

=

=1

()

=1

Si hacemos que los intervalos sean cada vez ms pequeos

= lim||||0

()

=1

= ()

Trabajo y Energa

Toda actividad fsica, desde

caminar hasta encender una

computadora, requiere del

gasto de energa. Cuando

una fuerza se aplica a un ob-

jeto para moverlo, la ener-

ga gastada se conoce como

trabajo. Si la fuerza aplicada

F es constante y el objeto se

desplaza una distancia d en

la direccin de la fuerza, el

trabajo W se define como

= (1)

Las unidades SI para el tra-

bajo y energa es el joule (J)

igual a 1

6

Ejemplo 6: Un tanque esfrico de radio R se llena con agua. Calcular el trabajo efectuado (contra la gra-

vedad) para bombear el agua fuera del tanque por un pequeo agujero en la parte superior. La densidad

del agua es de 1000 /3.

Solucin:

En la siguiente figura se muestra un esquema del tanque

dividido en muchas capas delgadas de agua con ancho

. Escogemos el centro de la esfera como el origen del

sistema de coordenadas.

El primer paso es calcular el trabajo realizado, contra la

gravedad, sobre una capa delgada de agua. A una altura y

la seccin transversal es un crculo con radio = 2 2

como se indica en el siguiente esquema.

= 9.8 1000 (2

2) = 9800(2

2)

La capa delgada de agua tiene que ser desplazada una distancia , por tanto el trabajo sobre ella es

= 9800(2

2) ( ) = 9800(3 2

2 + 3)

Finalmente, sumando las contribuciones de cada una de las N capas, el trabajo es aproximadamente

9800 (3 2 2 +

3)

=1

Cuando (es decir cuando 0) esta suma se aproxima a la integral

= 9800 (3 2 2 + 3) =

39200

34

Nota: un litro de gasolina proporciona, al arder, aproximadamente 3.4 107 J. Si el tanque tiene 5 metros de radio, el trabajo es

aproximadamente 2.6 107, para lo cual se requiere, aproximadamente, tres cuartos de un litro de gasolina.

El rea de la capa delgada de agua es

() = 2 = (2

2).

El volumen de la capa es () y

para bombearla una distancia verti-

cal hacia arriba debemos ejercer una

fuerza contra la gravedad igual a

= ()

masa

7

Ejemplo 7: Un tanque esfrico de radio 8 pies est medio lleno de un aceite que pesa 50 /3.

Calcular el trabajo requerido para extraer el aceite a travs de un orificio en la parte superior del tanque.

Respuesta: Aproximadamente 589782 lbpie

8

Ejercicios Propuestos.

1. Calculando la Poblacin total. En algunas situaciones, la densidad es una funcin de la distancia

al origen. Por ejemplo, en el estudio de poblaciones

urbanas, podemos asumir que la densidad de poblacin

(r) [en personas por kilmetro cuadrado] depende solamente de la distancia r desde el centro de la ciu-dad.

La poblacin en cierta ciudad tiene una funcin

de densidad radial dada por () = 15(1 +2)1/2 Donde es la distancia desde el centro de la

ciudad (en kilmetros) y tiene unidades de

miles de personas por kilmetro cuadrado.

Cunta gente vive en un radio comprendido

entre los 10 y 30 kilmetros desde el centro de

la ciudad? Respuesta: aproximadamente 1.9 millo-nes de personas.

2. Fuerza sobre una presa. Una presa esta incli-

nada un ngulo de 45 y su base tiene un ancho

de 1500 pies y una altura de 700 pies como se

muestra en la siguiente figura.

Si la presa se llena completamente, muestre

que la fuerza sobre ella est dada por

= 15002 3.24 1010700

0

donde = 62.4 /3 es la densidad de peso

del agua.

3. Trabajo para mover una cadena. Considere

una cadena de 15 pies de largo que pesa 3 libras

por pie y que cuelga de un mecanismo capaz

de subirla y que se encuentra a 15 pies sobre el

nivel del suelo. Calcular el trabajo realizado

por el mecanismo para:

a) Subir toda la cadena. Respuesta: 337.5 lbpie

b) Subir la cadena hasta que el extremo infe-

rior est a 10 pies del suelo. Respuesta: 300 lbpie

4. Vaciado de Tanques. Calcular el trabajo (en

joules) requerido para bombear toda el agua

fuera del tanque. Las distancias estn en me-

tros y la densidad del agua es 1000 /3.

5. Valor promedio de una funcin. El valor pro-

medio (o media) de una funcin continua en

un intervalo es

(

[, ]) =

1

()

La poblacin de Estados Unidos se puede mo-

delar por la ecuacin () = 3090.0087 (millo-

nes de personas) donde es el nmero de aos

desde 2010. Cul ser la poblacin promedio

entre los aos 2020 y 2030? Respuesta: aproximada-mente 352 millones de personas.

Se

sub

ir

tod

a la

cad

ena

Respuesta: 3.92 x 106 J

Respuesta: 1.18 x 108 J

Respuesta: 98003 J