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Semana 10 [1/52]

Aplicaciones de la integral

September 30, 2007


Apicaciones de la integral Semana 10 [2/52]

Longitud de un Arco de Curva

y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , donde x ∈ [a, b].

Queremos calcular el largo de la curva.

Q = {x0 . . . , xn}: Partición del intervalo [a, b].

En [xi−1, xi ], se a aproxima la curva con el segmento entrePi−1 = (xi−1, f (xi−1)) y Pi = (xi , f (xi)).Si f es diferenciable,

Lba(f ) = lim

|Q|→0

n∑

i=1

Pi−1Pi︸︷︷︸

∆Li=√

1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)

.

Luego

Largo curva

Lba(f ) =

∫ b

a

√

1 + f ′2(x)dx .








Lba(f ) = lim

|Q|→0

n∑

i=1


∆Li=√

1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)

.

Luego

Largo curva

Lba(f ) =

∫ b

a

√

1 + f ′2(x)dx .



Manto de un Sólido de Revolución

y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , con f es continuamentediferenciable en [a, b].

Q = {x0, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b].

En [xi−1, x1], la rotación del trazo entre Pi−1 = (xi−1, f (xi−1)) yPi = (xi , f (xi)) genera el manto de un tronco de cono de área

∆Ai = 2πf (xi)∆Li

xi ∈ [xi−1, xi ].

Aba(f ) = lim

|Q|→0

n∑

i=1

∆Ai

= lim|Q|→0

n∑

i=1

2πf (xi)∆Li

= lim|Q|→0

n∑

i=1

2πf (xi)

√

1 + f ′2(ξi)∆xi .








xi ∈ [xi−1, xi ].

Aba(f ) = lim

|Q|→0

n∑

i=1

∆Ai

= lim|Q|→0

n∑

i=1

2πf (xi)∆Li

= lim|Q|→0

n∑

i=1

2πf (xi)

√

1 + f ′2(ξi)∆xi .




Como el anterior no es un límite de suma de Riemann, hacemos:

Aba(f ) = lim

|Q|→0

n∑

i=1

2πf (ξi)

√

1 + f ′2(ξi)∆xi

+ lim|Q|→0

n∑

i=1

2π (f (xi) − f (ξi))

√

1 + f ′2(ξi)∆xi .

La segunda suma converge a cero. Luego

Área manto sólido de revoluciónAb

a(f ) = 2π

∫ b

af (x)

√

1 + [f ′(x)]2dx .





Aba(f ) = lim

|Q|→0

n∑

i=1

2πf (ξi)

√

1 + f ′2(ξi)∆xi

+ lim|Q|→0

n∑

i=1

2π (f (xi) − f (ξi))

√

1 + f ′2(ξi)∆xi .



a(f ) = 2π

∫ b

af (x)

√

1 + [f ′(x)]2dx .


Coordenadas polares Semana 10 [18/52]

Definición

Coordenadas polaresDado los reales r y φ, se determina el punto P del plano de coordenadas(x , y) mediante las fórmulas

x = rcos φ

y = rsen φ.

(r , φ): Coordenadas polares del punto P.



Definición


x = rcos φ

y = rsen φ.




Algunos conjuntos

Ejemplosr = cte define una circunferencia con centro en 0.

φ = cte define una recta que pasa por el origen de pendiente tg φ.

r = a(1 + εsen φ) con ε pequeño define una curva cercana a unacircunferencia de radio a.



Algunos conjuntos






Área en coordenadas polares

f : [a, b] → R una función integrable.

Se define la curva en coordenadas polares r = f (φ).

f no negativa y b − a ≤ 2π.

Buscamos el área de

R = {(rcos φ, rsen φ) : φ ∈ [a, b], r ∈ [0, f (φ)]}.




Sea P = {φ0, φ1, . . . , φn} una partición del intervalo [a, b].

Sean

Ri = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, f (φ)]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, mi(f )]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, Mi(f )]}.

Es claro que:

R =n⋃

i=1

Ri y que,

R i ⊆ Ri ⊆ Ri

luego:

12

m2i (f )∆φi = area(R i) ≤ area(Ri) ≤ area(Ri) =

12

M2i (f )∆φi .





Sean


Es claro que:

R =n⋃

i=1

Ri y que,

R i ⊆ Ri ⊆ Ri

luego:

12


12

M2i (f )∆φi .




Sumando sobre i ,

12

s(f 2, P) ≤ area(R) ≤ 12

S(f 2, P)

De donde,


A(R) =12

∫ b

af 2(φ)dφ.


Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [35/52]

Momento estático

Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.

Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.

Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.

Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:

ML(xi) = (xi − x0) · mig.

Momento estático total:

ML =n∑

i=1

(xi − x0)mig.

De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:

x0 =

∑mixi

∑mi

, y0 =

∑miyi

∑mi

.

Centro de GravedadAplicaciones de la integral


Momento estático







ML =n∑

i=1

(xi − x0)mig.


x0 =

∑mixi

∑mi

, y0 =

∑miyi

∑mi

.



Caso área plana

La masa total del sistema se encuentra uniformemente distribuida sobre unaregión plana.

1 Si una región plana tiene un eje de simetría, su centro de gravedad debeestar sobre él.

2 La masa de cualquier región de área A es ρ · A, donde ρ es la densidad yla suponemos contante.

Sea f no negativa e integrable. Definimos

R ={(x , y) ∈ R2; x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]

}.



Caso área plana





R ={(x , y) ∈ R2; x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]

}.



Caso área plana

Sea una partición P = {x0, . . . , xn} del intervalo [a, b] con |P| → 0.

En cada intervalo [xi−1, xi ], se tiene una región “Casi Rectangular" de ∆xi

por f (ξi) con ξi ∈ [xi−1, xi ] cuyo centro de gravedad es el punto:

XG,i = xi + ∆xi/2

YG,i = f (ξi)/2

Luego:

∆M0X = ρf (ξi)∆xI ·f (ξi)

2∆M0Y = ρf (ξi)∆xI · (xi + ∆xi/2)

⇒ M0X =ρ

2

∫ b

af 2(x)dx

M0Y = ρ

∫ b

axf (x)dx .



Caso área plana




XG,i = xi + ∆xi/2

YG,i = f (ξi)/2

Luego:


2∆M0Y = ρf (ξi)∆xI · (xi + ∆xi/2)

⇒ M0X =ρ

2

∫ b

af 2(x)dx

M0Y = ρ

∫ b

axf (x)dx .



Caso área plana

Para el centro de gravedad (XG, YG) usamos las reglas

MOX = YG · m

MOY = XG · m

de donde se deduce que

XG =

∫ b

axf (x)dx

∫ b

af (x)dx

YG =

∫ b

af 2(x)/2dx

∫ b

af (x)dx

.



Caso área plana


MOX = YG · m

MOY = XG · m


XG =

∫ b

axf (x)dx

∫ b

af (x)dx

YG =

∫ b

af 2(x)/2dx

∫ b

af (x)dx

.


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