PRÁCTICA 14. APLICACIONES

Se revisarán las aplicaciones de la Integral a la Geometría, calculando el volumen de un cono

Actividades de la práctica:

1) Considera la figura que representa a un cono cuya altura es h y el radio de la base b. Se quiere calcular su volumen. Para lograrlo, primero divide la altura del cono en n partes iguales. Al hacer los cortes al cuerpo que clase de figuras geométricas forman cada rebanada? Que forma tienen las bases de estos cuerpos?.

Al realizar cortes al cuerpo obtenemos rebanadas en forma de discos(cilindros) con base circular.

h y 0

z

Considera que los cortes hechos al cuerpo tienen base cilíndrica y cierta altura, considere que la altura se denota por .

2) Obtén la altura de los conos truncados

; con n = número de rebanadas de igual ancho en las que se divida h

3) El volumen de cada cono truncado se puede aproximar por la expresión superficie de la base por la altura: (aproximación por cilindros)

4) El volumen del cono será l a suma de los volúmenes de todos los conos truncados en el límite, es decir, la cual es la integral

definida

5) El cálculo de A(x): Área de los conos truncados, se sustituirá en la expresión anterior para obtener el volumen del cono.

6) Nota que para el cálculo de A(x) se necesita la figura siguiente considerada como un corte del cono en el plano.

h

xb

b y

x

7)Se observa que “y” es el radio de uno de los conos truncados , de acuerdo a la figura calcula la relación de “semejanza” correspondiente.

8) De la relación de semejanza despeja a “y” sustitúyelo en

9) Finalmente ?

10)Resuelve esta integral, sustituye los límites de integración entre” 0” y “h”

y el resultado debe ser el cual representa el volumen del cono.

Tarea

1. Calcula el área de un cono de radio R y altura H.

Corte del cono en el plano: H

g R

Área de la sección transversal: A = HRÁrea de la superficie de un cono recto:

Como

2. Calcula el volumen de una esfera de radio R.

Colocando la esfera de modo que su centro esté en el origen (figura 2a) entonces el plano corta la esfera en un círculo cuyo radio (por el teorema de Pitágoras) es .

Figura 2a.

Por tanto el área de la sección transversal es

Aplicando la definición de volumen de –R a R,

El integrando es par

3. Para calcular la “longitud de arco” de una curva sin rupturas ni picos en

un intervalo se usa la fórmula: dx. , donde: , es la

derivada de la función correspondiente.

4. Calcula la longitud de arco y grafique la función, dada en el intervalo indicado.

a) en el intervalo

Solución:

Con la fórmula de longitud de arco,

b) en el intervalo [1,8]

Solución:

Con la fórmula de longitud de arco,

c) en el intervalo [0,2]

Con la fórmula de longitud de arco,

d) en el intervalo de [0, ]

Con la fórmula de longitud de arco,

e) en el intervalo de [1,4]

Con la fórmula de longitud de arco,