Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES Villalobos, Paula

paulamvillal@gmail.com Fundación Universitaria Konrad Lorenz

Resumen: en este documento se mostrará a través de un ejercicio la aplicación de integrales dobles. Índice de términos: densidad, masa, coordenadas.

I. INTRODUCCIÓN La aplicación de las integrales dobles tiene como tiene un objetivo geométrico principalmente, calcular volúmenes bajo superficies, áreas de superficies y aplicaciones físicas. El problema que a continuación se planteará tiene una aplicación de conceptos físicos tales como densidad y masa.

II. FORMULACIÓN

La frontera de una lámina está formada por los semicírculos 21y x= − y

24y x= − junto con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de

masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen.

Gráfica 1. Lámina formada por los semicírculos 21y x= − y 2

4y x= −

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

III. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Las coordenadas ( ),x y del centro de masa de la lámina que ocupa una región

D y con una función de densidad ( ),x yρ son:1

( )1

,D

Myx x x y dA

m mρ= = ∫∫ ( )

1,

D

Mxy y x y dA

m mρ= = ∫∫

Donde la masa m está dada por:

( ),D

m x y dAρ= ∫∫

Se coloca la lámina como la mitad superior del círculo 22 2

yx a+ = .Como la

densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen, entonces la distancia de un punto ( ),x y al centro del círculo (el origen) es

2 2x y+ , por lo tanto la función de la densidad es:

2 2

( , )x y K x yρ = +

Donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lámina permiten que se convierta a coordenadas polares. Entonces

2 2x y r+ = y la región está dada por 0 2,0r θ π≤ ≤ ≤ ≤

- Convertimos a coordenadas polares:

2 2( , )x y K x yρ = + ⇒ ( , )r Krρ θ =

- Hallamos m:

2

2 2

0 1

( , ) ( )D D

m x y dA K x y dA Kr rdrd

π

ρ θ= = + =∫∫ ∫∫ ∫ ∫

22 3

2

0 1 0 0 01

7 7 7

3 3 3 3

rm K r drd K K d K

ππ π ππ

θ θ θ= = = = =∫ ∫ ∫ ∫

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

Gráfica 2. Relación del � θ con respecto a r y y

- Hallamos y partiendo de la Gráfica 2., donde tomamos el ángulo θ ,

entonces:

ySen

rθ =

y rSenθ= - Hallamos y :

1( , )

D

y y x y dAm

ρ= ∫∫

2

3

0 1 0

3 3( )

7 7y rSen Kr rdrd Sen Kdrd

K Kr

π π

θ θ θ θπ π

= =∫ ∫ ∫

( )

24

0 0 01 0

3 3 1 3 15 45 454 0.5115

7 4 7 4 7 4 28 28y Sen Sen d Sen d Cosr

ππ π π

θ θ θ θ θ θπ π π π π

= = − = = = =

∫ ∫ ∫

Observando la Gráfica 2. encontramos que 0x = , luego el centro de masa de la lámina es ( )0,0.5115

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

REFERENCIAS

1 Stewart J. Calculo de varias variables 6ª Edición