Aplicación de la función respuesta al impulso

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Aplicación de la función respuesta al impulso a la solución de E.D.OUn sistema invariante en el tiempo queda descrito mediante la ecuación diferencial:

Encuentre la función de:a) Transferencia H(s)b) Respuesta al impulso h(t)

2

25 6 5 ~ (1)

d y dyy u

dt dt

Preparado por: Gil Sandro Gómez

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Solución Aplicamos transformada de Laplace en ambos lados de (1): La expresión (2) se transforma en:

Dado que el sistema está en reposo, las condiciones iniciales se anulan, por tal motivo , nos queda que:

'' 5 ' 6 5 ( ) ~ (2)L y L y L y L u

2 ( ) (0) '(0) 5 ( ) 5 (0) 6 ( ) 5 ( ) ~ (3)s Y s sY Y sY s Y Y s U s


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. Sacamos a Y(s) factor común y tenemos que:Despejando de (5) nos queda:Dividimos a (6) entre U(s) y obtenemos la expresión:

2 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 5 ( ) ~ (4)s Y s sY s Y s U s

2( ) 5 6 5 ( ) ~ (5)Y s s s U s

2

5 ( )( ) ~ (6)

5 6

U sY s

s s

2

( ) 5~ (7)

( ) 5 6

Y s

U s s s


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La función de transferencia queda definida por:

Usando (8), decimos que:

Ahora procedemos aplicar transformada inversa de Laplace a (9) para obtener la función de respuesta al impulso.

( )( ) ~ (8)

( )

Y sH s

U s

2

5( ) ~ (9)

5 6H s

s s


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.

Como podemos observar, no existe una fórmula que nos permita calcular de forma directa la transformada inversa de Laplace de (10), esto nos obliga a usar fracciones parciales. Multiplicamos (11) por :

1

2

5( ) ~ (10)

5 6L H s L

s s

2 5 6s s

2

5( ) ~ (11)

2 35 6

A Bh t L L

s ss s


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resultándonos:Aplicando la teoría de los polinomios en (12):Resolviendo (13) encontramos los valores :

5 ( 3) ( 2)

5 3 2 ~ (12)

A s B s

As A Bs B

0~ (13)

3 2 5

A B

A B

5, 5A B


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Sustituyendo los valores de A y B en (11).

La respuesta al impulso viene dada por:

1 2 35 5( ) 5 5

2 3t th t L e e

s s

2 3( ) 5 5 ~ (14)t th t e e


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